Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 4 (Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 4)

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 4
I. Bèn phép tính với số tự nhiên, phân số và số thập phân
A. Phép cộng

Bài 1: Tìm hai số có tổng bằng 1149, biết rằng nếu giữ nguyên số lớn và gấp số bé
lên 3 lần thì ta được tổng mới bằng 2061.
Bi gii
Tổng mới hơn tổng cũ là:
2061- 1149 = 912
Số bé mới hơn số bé cũ là:
3- 1 = 2 lần
Sè bÐ lµ : 912 : (3-1) =456
Sè lín là : 1149 456 = 693
Đ/s : SL : 693 , SB : 456
Bµi 2: Hai sè cã tỉng bằng 6479, nếu giữ nguyên số thứ nhất, gấp số thứ hai lên 6 lần
thì được tổng mới bằng 6789. HÃy tìm hai số hạng ban đầu.
Bi gii
Tổng mới hơn tỉng cị lµ:
6789 - 6479 = 310
Số thứ hai mới hơn số thứ hai cũ là:
6 – 1 = 5 lần
Sè thứ hai lµ : 310: 5 = 62
Sè thứ nhất lµ : 6479 – 62 = 456
62 và 6417
Bµi 3: T×m hai sè cã tỉng b»ng 140, biÕt r»ng nếu gấp số hạng thứ nhất lên 5 lần và
gấp số hạng thứ hai lên 3 lần thì tổng mới là 508.
Bi gii
Tổng mới hơn tổng cũ là:
508 - 140 = 368
Số hạng thứ hai là:
1

368 : 2 =184
Tỉng khi Sè h¹ng thø nhÊt gÊp lên 5 lần hơn tổng cũ là
184 - 140 = 48
Số hạng thứ hai là
48 : 2 = 24
T luyn:
Bài 4: Tìm hai số tự nhiên có tổng là 254. Nếu viết thêm một chữ số 0 vào bên phải
số thứ nhất và giữ nguyên số thứ hai thì được tổng mới là 362.
Bài 5: Tìm hai số có tổng bằng 586. Nếu viết thêm chữ số 4 vào bên phải số thứ hai
và giữ nguyên số thứ nhất thì tỉng míi b»ng 716.
Bµi 6: Tỉng cđa hai sè thËp phân là 16,26. Nếu ta tăng số thứ nhất lên 5 lần và số thứ
hai lên 2 lần thì được hai số có tổng mới là 43,2. Tìm hai số ®ã.
Bµi 7: Tỉng cđa hai sè lµ 10,47. NÕu sè hạng thứ nhất gấp lên 5 lần, số hạng thứ hai
gấp lên 3 lần thì tổng mới sẽ là 44,59. Tìm hai số ban đầu.

2


b. Phép trừ

Bài 1: Tìm hai số có hiệu là 23, biết rằng nếu giữ nguyên số trừ và gấp số bị trừ lên 3
lần thì được hiệu là 353.
Bi gii
Hiệu giữa SBT mới và cũ là:
353 23 = 330
Hiệu số phần bằng nhau là:
3-1 = 2 phần
Số bị trõ cị lµ:

330 : 2 = 165
Sè trõ cị lµ :
165- 23 = 142
Bài 2: Tìm hai số có hiệu là 383, biết rằng nếu giữ nguyên số bị trừ và gấp số trừ lên
4 lần thì được hiệu mới là 158.
Bi gii
Hiệu mới giảm là:
383 - 158 = 225
Số trừ cũ là: 225 - (4-1) = 75
Số bị trừ là : 75 + 383 = 458
TLại: 458 75 = 383
458 (75 x 4) = 158 đúng
Bài 3: Hiệu của hai số tự nhiên là 4441, nếu viết thêm một chữ số 0 vào bên phải số
trừ và giữ nguyên số bị trừ thì được hiệu mới là 3298.
Bài giải
Sè trõ cị lµ:
(4441 – 3298 ) : ( 10- 1) = 127
Số bị trừ là :
4441 + 127 = 4568

3


Bài 4: Hiệu của hai số tự nhiên là 134. Viết thêm một chữ số vào bên phải của số bị
trừ và giữ nguyên số trừ thì hiệu mới là 2297. Tìm chữ số viết thêm và hai số
đó.
Bài giải
Hiệu SBT míi vµ SBT cị lµ:
2297 - 134 = 2163
Sè bị trừ cũ là :

2163 : (10 1) = 240 d­ 3
Sè tõ cị lµ : 240 – 134 = 106
Vậy chữ số viết thêm là chữ số 3
Tlại:
240 -106 = 134
2403 -106 = 2297 đúng
Bài 5: Hiệu của hai số là 3,58. Nếu gấp số trừ lên 3 lần thì được số mới lớn hơn số bị
trừ là 7,2. Tìm hai số đó.
Bài giải
Số bị trừ cũ là ;
7,2 – (3- 1) = 3,6
Sè trõ cị lµ :
3,6 – 3,58 = 0,02
Bµi 6 : HiƯu cđa hai sè là 1,4. Nếu tăng một số lên 5 lần và giữ nguyên số kia thì
được hai số có hiệu là 145,4. Tìm hai số đó.
Bi gii
Hiệu mới hơn hiệu cũ là:
145,4 1,4 = 144
Số bị trừ cũ là :
144 : (5-1) = 36
Sè trõ cị lµ:
36 – 1,4 = 34,6
4


Bµi 7: HiƯu hai sè lµ 3,8. NÕu gÊp sè trừ lên hai lần thì được số mới hơn số bị trừ là
4,9. Tìm hai số đà cho.
Bi gii
Số bị trõ cị lµ:
4,9 x2 = 9,8

Sè trõ cị lµ:
9,8 –3,8 = 6
TL¹i
6 x2 – 9,8 =

5


C. Phép nhân
Bài 1: Tìm tích của 2 số, biết rằng nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và tăng thừa số
thứ 2 lên 4 lần thì được tích mới là 8400.
Bài giải
Tích của hai số là :
8400 : 2 = 4200 ( V× trong mét tÝch nÕu cã mét thừa số gấp lên nlần và thừa số kia gữ
nguyên thì thích đó gấp lên nlần và ngược lại.)
Bài 2: T×m 2 sè cã tÝch b»ng 5292, biÕt r»ng nÕu giữ nguyên thừa số thứ nhất và tăng
thừa số thứ hai thêm 6 đơn vị thì được tích mới bằng 6048.
Bài giải
Tăng thừa số thứ hai lên 6 đơn vị thì 6 lần thừa số tứ nhất là:
6048 5292 = 756
Thõa sè thø hai lµ:
756 : 6 = 126
Thõa sè thø nhÊt lµ :
5292 : 126 = 42
Bµi 3: T×m 2 sè cã tÝch b»ng 1932, biÕt r»ng nÕu giữ nguyên một thừa số và tăng một
thừa số thêm 8 đơn vị thì được tích mới bằng 2604.
Bài giải
Thừa sè thø nhÊt lµ:
(2604 - 1932 ) : 8 = 84
Thõa sè thø hai lµ :

1932 : 84 = 23

6


II. DÃy số
1. DÃy số cách đều:
a) Tính số lượng số hạng của dÃy số cách đều:
Số số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : d + 1
(d là khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp)
Ví dụ: Tính số lượng số hạng của dÃy số sau:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 94, 97, 100.
Ta thÊy:
4-1=3

...

7-4=3

97 - 94 = 3

10 - 7 = 3

100 - 97 = 3

Vậy dÃy số đà cho là dÃy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp
là 3 đơn vị. Nên số lượng số hạng của dÃy số đà cho là:
(100 - 1) : 3 + 1 = 34 (sè h¹ng)
b) TÝnh tỉng cđa d·y sè cách đều:

Ví dụ : Tổng của dÃy số 1, 4, 7, 10, 13, …, 94, 97, 100 lµ:
(1  100) x 34
= 1717
2

2. Bµi tËp.
Bµi 1: ViÕt tiÕp 3 sè hạng vào dÃy số sau:
a) 1, 3, 4, 7, 11, 18, …

d) 1, 4, 7, 10, 13, 16, …

b) 0, 3, 7, 12, …

e) 0, 2, 4, 6, 12, 22, …

c) 1, 2, 6, 24, ….

g) 1, 2, 3, 5, 17, …
Đ/s:

a) 29,47,76 (Kể từ số hạng thứ ba thì số đứng sau bằng tổng hai số liền trước)
b) 18, 25, 33 ( số đứng sau tăng thêm 1 đơnvị )
0+3=3
3+4=7
7


7 + 5 = 12
c) 100, 600, 4200
Ta cã :

1x2=2
2x3=6
6 x 4 = 24
d) 19, 22, 25
e ) 40 , 74, 136
Vì : Kể từ số hạng thứ tư thì sè ®øng sau b»ng tỉng 3 sè ®øng tr­íc
g) Sè thứ hạng thứ ba bằng tổng hai ssó đứng liền trước.
Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của dÃy sau. Biết mỗi dÃy có 10 số hạng:
a) ..., 17, 19, 21, ...

b) ..., 64, 81, 100, ....

Bài 4: Tìm 2 số hạng đầu của các dÃy số, trong mỗi dÃy ®ã cã 15.:
a) ..., 39, 42, 45, ....

b) ..., 4, 2, 0.

c) ..., 23, 25, 27, 29, ...
Bµi 5: Cho d·y sè : 1, 4, 7, 10, ..., 31, 34, ...
Tìm số hạng thứ 100 trong dÃy.
Bài giải
- DÃy số đà cho có khoảng cách giữa hai số là 3
- 100 số hạng có khoảng cách là 100 1 = 99 khoảng cách
99 số có số đơn vị là :
99 x 3 = 297
Chữ số thứ 100 là 1 + 297 = 298
Bµi 6: Cho d·y sè : 3, 18, 48, 93, 153, ...
a) Tìm số hạng thứ 100 của dÃy.

b) Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu cña

d·y?

8


Bµi 7: Cho d·y sè : 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ... ; 108,9 ; 110,0 .
a) D·y sè này có bao nhiêu số hạng?

b) Số hạng thứ 50 cđa d·y lµ sè

nµo?
c) TÝnh tỉng cđa 100 sè tù nhiên đầu tiên.
Bài giải
a) Khoảng cách giữa các số là :1,1
Có số lượng số hạng là :
(110 1, 1) : 1,1 + 1 = 100 (sè h¹ng)
b) D·y sè có 50 số hạng nên có 49 khoảng cách ( 50-1)
49 số có số đơn vị là :
49 x1,1 = 53,9 ( đơn vị)
Số hạng thứ 50 là : 1,1 + 53,9 = 55
c) Tổng của 100 số hạng đầu tiên là :
(1,1 + 110 ) X 100 :2 = 5555
Bài 16: Để đánh số trang sách của một cuốn sách dày 220 trang, người ta
phải dùng bao nhiêu lượt chữ số?
Bài giải
Từ trang 1 đến trang 9 có số trang lµ :
(9-1 ) : 1 + 1 = 9 trang
Từ trang 1 đến trang 9 cần só chữ số là:
9 x 1 = 9 chữ số

Từ trang 10 đến trang 90 cã sè trang lµ :
(90- 10 ) :1 + 1 = 90 trang
Tõ trang 1 ®Õn trang 9 cần só chữ số là:
90 x 2 = 180 chữ số
Số trang phải đánh 3 chữ số là:
220 - 90 - 9 = 121 trang
Số chữ số để đánh 121 trang là :
121 x 3 = 363 chữ số
Số chữ số cần để đánh cuốn sách 220 tang là :
363 + 180 + 9 = 552( ch÷ sè)

9


Bµi 17: Trong mét kú thi cã 327 thÝ sinh dự thi. Hỏi người ta phải dùng bao nhiêu
lượt chữ số để đánh số báo danh cho các thí sinh dự thi?
Bai 18: Để đánh số thứ tự các trang sách của sách giáo khoa Toán 4, người ta phải
dùng 216 lượt các chữ số. Hỏi cuốn sách đó dày bao nhiêu trang?
Bài giải
Số trang đánh 1 chữ số là :
1 x9 = 9 trang
Số trang đánh hai chữ số lµ :
90 -10 ) : 1 + 1+ 90 trang
Sè chữ số để đánh 90 trang sách là
90 x 2 = 180 chữ số
Số trang phảI đánh 3 chữ số là:
216 180 9 = 27 chữ số
Số trang sách phảI đánh 3 chữ số là :
27 : 3 = 9 trang
Cuốn sách đó có số trang là :

9 + 90 = 9 = 108 trang
Bµi 19: Trong mét kỳ thi học sinh giỏi lớp 5, để đánh số báo danh cho các thí sinh dự
thi người ta phải dùng 516 lượt chữ số. Hỏi kỳ thi đó có bao nhiêu thí sinh
tham dự?
Bài 20: Cho dÃy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1983 được viết theo thø tù liỊn nhau
nh­ sau: 12345678910111213…19821983. H·y tÝnh tỉng cđa tất cả các chữ số
vừa viết.
Bài giải
Có tất cả các chữ số là :
( 1983 1 ): 1 + 1 = 1983 chữ số
Tổng của dÃy là :
(1983 + 1) x 1983 : 2 =1967136

10


iii. DÊu hiƯu chia hÕt
I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí
II. Bài tập
Bài 1: Từ 3 chữ số 0, 1, 2. HÃy viết tất cả các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2.
Bài 2: Viết tất cả các số chia hết cho 5 có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0, 1, 2 , 5.
Bµi 3: Em h·y viÕt vµo dÊu * ë sè 86* một chữ số để được số có 3 chữ sè vµ lµ sè:
a) Chia hÕt cho 2

b) chia hÕt cho 3

c) Chia hÕt cho 5

d) chia hÕt cho 9

e) Chia hết cho cả 2 và 5

g) Chia hết cho cả 3 và 9

Bài 4: HÃy tìm các chữ số x, y sao cho 17 x8 y chia hÕt cho 5 và 9.

Bài 5: Tìm x, y để x765 y chia hết cho 3 và 5.
Đáp số: Y = 0 ta cã c¸c sè : x= 3, 6 9
Y = 5 ta có x = 14,7
Bài 6: Tìm x và y ®Ĩ sè 1996 xy chia hÕt cho 2, 5 và 9.
Bài 7: Tìm a và b để 56a3b chia hết cho 36.
Đáp số: ( Chia ht cho 36 thỡ tổng của 56a3b chia hết cho 4 và 9)
Bµi 8: Tìm tất cả các chữ số a và b để phân số

1a83b
là số tự nhiên.
45

Đáp số: ( Chia ht cho 45 thì tổng của

11

1a83b
chia hết cho 5 và 9)
45


Bài 9: Tìm x để 37 2 x5 chia hết cho 3.
Đáp số: 37 + 2 + 5 = 41 vậy x = 1, 4 , 7
Bài 10: Tìm a và b để số a391b chia hết cho 9 và chia cho 5 dư 1.

Bài giải
Chia 5 dư 1 thì b = 1 hoặc 6 và a + 3 + 1+9 + 6 chia hÕt cho 9 vµ a + 3 + 1+9 + 1

Bài 11: Tìm tất cả các số có 3 chữ số khác nhau abc , biÕt:

ac 2
 .
b7 3

B= 2 th× ac = 2 x 9 = 18
B= 5 th× ac = 2 x 19 = 39
B= 8 th× ac = 2 x 29 = 54
Bài 12: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dÃy
TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM
a) Chữ cái thứ 1996 trong dÃy là chữ gì?
b) Người ta đếm được trong dÃy đó có 50 chữ T thì dÃy đó có bao nhiêu chữ O? Bao
nhiêu ch I?
c) Bạn An đếm được trong dÃy có 2007 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Vì sao?
d) Người ta tô màu vào các chữ cái trong dÃy trên theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng,
xanh, đỏ, tím, vàng, Hỏi chữ cái thứ 2007 được tô màu gì?
Bài giải
a)Nhúm t TOQUOCVIETNAM gm 13 ch cái
Ta có 1996 : 13 = 153 dư 7 nên chữ cái thứ 1996 là chữ C
b)- Trong dãy có 2 chữ T và 2 chữ O nếu có 50 chữ T thì xẽ có 50 chữ O và có 50 : 2
+ 1 chữ I = 26 chữ I

12


Bài 13: Một người viết liên tiếp nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM thành dÃy

CHAMHOCCHAMLAM CHAMHOCCHAMLAM
a) Chữ cái thứ 1000 trong dÃy là chữ gì?
b) Người ta đếm được trong dÃy đó có 1200 chữ H thì dÃy đó có bao nhiêu chữ
A?
c) Bạn Bình đếm được trong dÃy có 2008 chữ C. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai?
Vì sao

13


IV. Các bài Toán dùng chữ thay số
1. Sử dụng cấu tạo thập phân của số
1.1. Phân tích làm rõ ch÷ sè
ab = a x 10 + b
abc = a x 100 + b x 10 + c
VÝ dô: Cho số có 2 chữ số, nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số của số
đà cho thì bằng chính số đó. Tìm chữ số hàng đơn vị của số đà cho.
Bài giải
Bước 1 (tóm tắt bài toán)
Gọi số có 2 chữ số phải tìm là ab (a > 0, a, b < 10)
Theo bµi ra ta cã ab = a + b + a x b
B­íc 2: Phân tích số, làm xuất hiện những thành phần giống nhau ở bên trái và bên
phải dấu bằng, rồi đơn giản những thành phần giống nhau đó để có biểu thức
đơn giản nhất.
a x 10 + b = a + b + a x b
a x 10 = a + a x b (cïng bít b)
a x 10 = a x (1 + b) (Mét sè nh©n víi mét tỉng)
10 = 1 + b (cïng chia cho a)
B­íc 3: Tìm giá trị :
b = 10 - 1

b=9
Bước 4 : (Thử lại, kết luận, đáp số)
Vậy chữ số hàng đơn vị của số đó là: 9.
Đáp số: 9
1.2. Phân tích lµm râ sè
ab = a 0 + b
abc = a 00 + b0 + c
abcd = a 00 + b00 + c0 + d

= ab00 + cd
14


Ví dụ : Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó thì ta
được một số lớn gấp 31 lần số cần tìm.
Bài giải
Bước 1: Gọi số phải tìm là ab (a > 0, a, b < 0)
Khi viÕt thªm số 21 vào bên trái số ab ta được số míi lµ 21ab .
Theo bµi ra ta cã:
21ab = 31 x ab

B­íc 2: 2100 + ab = 31 x ab (ph©n tÝch sè 21ab = 2100 + ab )
2100 + ab = (30 + 1) x ab
2100 + ab = 30 x ab + ab (mét sè nh©n mét tỉng)
2100 = ab x 30 (cïng bít ab )
B­íc 3: ab = 2100 : 30
ab = 70.

B­íc 4: Thư l¹i
2170 : 70 = 31 (đúng)

Vậy số phải tìm là: 70
Đáp số: 70.
2.2.Ví dụ: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 6 lần chữ số hàng đơn vị của
nó.
Bài giải
Cách 1:
Bước 1: Gọi số phải tìm là ab (0 < a < 10, b < 10).
Theo ®Ị bµi ta cã: ab = 6 x b
B­íc 2: Sư dụng tính chất chẵn lẻ hoặc chữ số tận cùng.
Vì 6 x b là một số chẵn nên ab là một số chẵn.
b > 0 nên b = 2, 4, 6 hoặc 8.
Bước 3: Tìm giá trị bằng phương pháp thư chän
NÕu b = 2 th× ab = 6 x 2 = 12. (chän)
NÕu b = 4 th× ab = 6 x 4 = 24. (chän)
NÕu b = 6 th× ab = 6 x 6 = 36. (chän)
NÕu b = 8 th× ab = 6 x 8 = 48. (chän)

15


Bước 4: Vậy ta được 4 số thoả mÃn đề bài là: 12, 24, 36, 48.
Đáp số: 12, 24, 36, 48.
Cách 2:
Bước 1: Gọi số phải tìm là ab (0 < a < 10, b < 10)
Theo đề bài ta cã: ab = 6 x b
B­íc 2: XÐt ch÷ sè tận cùng
Vì 6 x b có tận cùng là b nên b chỉ có thể là: 2, 4, 6 hoặc 8.
Bước 3: Tìm giá trị bằng phương pháp thử chọn
Nếu b = 2 th× ab = 6 x 2 = 12 (chän)
NÕu b = 4 th× ab = 6 x 4 = 24 (chän)

NÕu b = 6 th× ab = 6 x 6 = 36 (chän)
NÕu b = 8 th× ab = 6 x 8 = 48 (chän)
B­íc 4: VËy ta được 4 số thoả mÃn đề bài là: 12, 24, 36, 48.
Đáp số: 12, 24, 36, 48.
II. Bài tập
Bài 1: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 4 vào bên trái số đó, ta
được một số gấp 9 lần số phải tìm.
Bài giải
Nếu viết thêm chữ số 4 vào bên phảI số có 2 chữ số thì số đó tăng thêm 400 đơn vị
Theo bài ra ta có:
4ab = ab x 9
400 + ab = ab x 9
400 + ab = ab x (8+ 1)
400 + ab = 8ab + ab
400 = 8ab ( Cïng bít 2 vÕ ®i ab)
Ab = 400 : 8
Ab = 50
Đáp số 50
Bài 2: Tìm một số có 2 chữ số, khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một
số gấp 13 lần số phải tìm.
16


Bài giải
Nếu viết thêm chữ số 9 vào bên phảI số có 2 chữ số thì số đó tăng thêm 900 đơn vị
Theo bài ra ta có:
9ab = ab x 13
900 + ab = ab x 13
900 + ab = ab x (12+ 1)
900 + ab = 12ab + ab

900 = 12ab ( Cïng bít 2 vÕ ®i ab)
Ab = 900 : 12
Ab = 75
Đáp số 75
Bài 3: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta
được một số hơn số phải tìm 1112 đơn vị.
Bài giải
Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phảI số đó thì số đó tăng thêm 10 lần và 5 đơn vị
Để số đó tăng thêm 10 lần thì hiệu mới là:
1112 - 5 = 1107
Số cần tìm là :
1107 : (10-1) = 123
Đáp số 123
Bài 4: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta
được một số hơn số phải tìm 230 đơn vị.
Bài giải
Số cần tìm là:
(230 5) : ( 10 – 1) = 25
§/ s : 25
Bài 5: Cho một số có 2 chữ số. Nếu viết thêm chữ số 1 vào đằng trước và đằng sau số
đó thì số đó tăng lên 21 lần. Tìm số đà cho.
Bài giải
Theo đầu bài ta có
ab x 21 = 1ab1
ab x 21 = 1000 + ab0 + 1
17


ab x 21 = 1001 + ab0
ab x 21 = 1001 + ab x 10

ab x11 = 1001 ( Cïng bít di ab x 10)
ab = 1001 : 11
ab= 91
Bµi 6: Tìm số có 4 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được
số lớn gấp 5 lần số nhận được khi ta viết thêm chữ số 1 vào bên trái số đó.
Bài 7: Cho số có 3 chữ số, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên phải số đó, viết thêm chữ
số 2 vào bên trái số đó ta đều được số có 4 chữ số mà số này gấp 3 lần số kia
Bài giải
Gọi số phải tìm là abc ( 0 < a; b,c< 10
Theo đầu bài ta có hai khả năng: abc 1 > 2abc hoặc abc1 < 2abc
a) Xét khả năng abc1 > 2abc
- Theo đầu bµi ta cã :
abc1 = 3 x 2abc
abc x10 + 1 = (2000 +abc) x3 ( Ct¹o sè )

abc x 3 + abcx7 + 1 = 6000 + abc x 3 ( Mét sè nh©n víi 1 tỉng)
abc x 7 + 1 = 6000 ( Bít c¶ hai vÕ cho abc x 3)
abc x7 = 6000 -1( Tìm số hạng cđa tỉng)
abc = 599 : 7857 ( T×m mét thõa số )
Bài 8: Cho một số có 3 chữ số, nếu xoá đi chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 3 lần.
Tìm số đó.
Bài giải
Gọi số phải tìm là abc ( 0 < a ; bc< 10)
Theo đầu bài ta có :
abc = 3 x bc
( Đặt tính theo cột dọc) Số 50)
Bài 9: Tìm một số có 4 chữ số, nếu xoá đi chữ số hàng nghìn thì số đó giảm đi 9 lần.
( Đặt tính theo cét däc) : Sè 500
18

Bài 10: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó.
Bài giải
Gọi số phải tìm là ab : ĐKiện
Theo đầu bài ta có :
Ab = ( a+b) x5
Ab = a x 5 + b x 5 ( nh©n mét sè víi mét tỉng)
A x 10 + b = a x 5 + bx5
A x( 5 + 5 ) + b = a x 5 + b x (1 + 4)
Ax5+ax5+b=ax5+b+bx4
A x 5 = b x 4 ( Cïng bít ®i a x5 + b)
Nõu a = 1 th× a x 5 = 1 x 5 = 5 Suy ra b không có giá trị thích hợp
Thử chọn ta có a = 5 nên b = 4
Vậy số cần tìm là 45.
Bài 11: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 11 lần tổng các chữ số của nó.
Bài giải
Gọi số phải tìm là abc : ĐKiện
Theo đầu bài ta có :
Abc = ( a + b+ c) x 11
Abc = 11 x a + 11 x b + 11 x c
A x 100 + bx 10 + c = a x11 + b x 11 + c x11
A x ( 11 + 89 ) + bx 10 + c = a x 11 + b x ( 10 + 1) + c x ( 1 + 10)
A x11 + a x 89 + b x 10 + c = a x11 + b x10 + b + c + c x 10
A x 89 = b+ c x10 ( Cùng trừ đi nững số hạng giống nhau)
Số cầntìm là 198

19


V. Phân số - tỉ số phần trăm

Bài 1: Viết tất cả các phân số bằng phân số

75
mà mẫu số là số tròn chục và có 2
100

chữ số.
75/100 =15/20 ,
3/4 = 30/40
3/4 =60/80

Bài 2: Viết tất cả các phân số bằng phân số

21
mà mẫu số có 2 chữ số và chia
39

hết cho 2 và 3.
Bài giải
Mẫu số có 2 chữ sè chia hÕt cho 2 vµ 3 lµ p/s :

42
78

Bµi 3: Viết mỗi phân số sau thành tổng 3 phân sè cã tư sè lµ 1 nh­ng cã mÉu sè kh¸c
nhau:

7 3 2
; ;
8 8 3

7 = 1+ 3 + 4
Ta cã:
1 3  4 1 2 4 1 1 1
     
8
8 8 8 8 4 2

Bài 4: Viết mỗi phân số sau thành tổng 2 phân số tối giản có mẫu số khác nhau.
a)

7
12

b)

13
27

a) 7/12 = 5/12 + 2/12
= 5/12 + 1/6
b) 13/27 = 9/27 + 4/27
= 1/3 + 4/27
Bµi 5:
a) ViÕt 5 p/s cã tử số bằng nhau mà mỗi phân số đều lớn hơn
b) Viết 5 p/s có mẫu số bằng nhau và mỗi p/s đều bé hơn
20

1
2

4
nhưng bé hơn 1
5


c) ViiÐt 3 p/s cã tư sè b»ng 1 mµ mỗi p/s đều lớn hơn

1
2
nhưng bé hơn
6
3

Bài 6: HÃy viết mỗi phân số sau thành tổng các phân số có tử số bằng 1 và mẫu số
khác nhau.
31 15 25
; ; .
12 16 27

Bài 7: HÃy viết tất cả các phân số có tổng của tử số và mẫu số bằng 10.
Bài 8: Tìm:

Bài 9: Biết

a)

1
của 6m
2

c)

1
1
của
10
5

b)

1
của 21kg
7

d)

8
3
của
9
4

1
1
số học sinh cđa líp 3A b»ng sè häc sinh cđa líp 3B. HÃy tìm tỉ số
2
3

giữa số học sinh lớp 3A và học sinh lớp 3B.

Bài 10: Tìm số học sinh của khèi líp 4, biÕt

21

1
sè häc sinh cđa khèi líp 4 lµ 50 em.
3


VI. So sánh phân số
1. So sánh phân số bằng cách so sánh phần bù với đơn vị của phân số
- Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.
- Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ
hơn và ngược lại.
Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất.
2000
2001
và
2001
2002

Bước 1: (Tìm phần bù)
Ta có : 1

2000
1

2001 2001

1-

2001
1

2002 2002

Bước 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh)
Vì

1
1
2000 2001


nên
2001 2002
2001 2002

* Chú ý: Đặt A = MÉu 1 - tö 1
B = mÉu 2 - tử 2
Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B. NÕu trong tr­êng hỵp A  B ta có
thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới có hiệu
giữa mẫu số và tử số của hai phân sè b»ng nhau:
VÝ dơ:

2000
2001
vµ
.
2001

2003

+) Ta cã:

2000 2000  2 4000


2001 2001 2 4002

1+)Vì

4000
2

4002 4002

1-

2001
2

2003 2003

2
2
4000 2001
2000 2001
nên
hay

4002 2003
4002 2003
2001 2003

2. So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn với đơn vị của phân số:
- Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.
- Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Ví dụ: So sánh:

2001
2002
và
2000
2001

Bước 1: Tìm phần hơn
Ta có:

2001
1
1
2000
2000

2002
1
1
2001

2001

22


Bươc 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh.
Vì

1
1
2001 2002
nên


2000 2001
2000 2001

* Chú ý: Đặt C = tử 1 - mẫu 1
D = tử 2 - mẫu 2
Cách so sánh phần hơn ®­ỵc dïng khi C = D. NÕu trong tr­êng hỵp C  D ta cã
thĨ sư dơng tÝnh chÊt c¬ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân số mới có
hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau.
Ví dụ: So sánh hai phân số sau:
Bước1: Ta có:

2001
2003
và
2000
2001

2001 2001 2 4002


2000 2000 2 4000

4002
2
1
4000
4000

Bước 2: Vì

2003
2
1
2001
2001

2
2
4002 2003
2001 2003
nên
hay



4000 2001

4000 2001
2000 2001

3. So sánh phân số bằng cách so sánh cả hai phân số với phân số trung gian
Ví dụ 1: So sánh

3
4
và
5
9

Bước 1: Ta có:
3 3 1

5 6 2

B­íc 2: V×

4 4 1
 
9 8 2

3 1 4
3 4
  nªn 
5 2 9
5 9

VÝ dơ 2: So sánh

19
31
và
60
90

Bước 1: Ta có:
19 20 1


60 60 3

Bước 2: Vì

19 1 31
19 31
 

nªn
60 3 90
60 90

VÝ dơ 3: So sánh
Vì

31 30 1


90 90 3

101
100
và
100
101

101
100
101 100
nên
1

100
101
100 101

Ví dụ 4: So sánh hai phân số bằng cách nhanh nhất.
23


40
41
và
57
55

Bài giải
+) Ta chọn phân số trung gian là :
+) Ta cã:

+) VËy

40
55

40 40 41


57 55 55

40 41

57 55

* C¸ch chän ph©n sè trung gian :
- Trong mét sè tr­êng hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những
phân số dễ tìm được như: 1,

1 1
, ,... (ví dụ 1, 2, 3) bằng cách tìm thương của
2 3

mẫu số và tử số của từng phân số rồi chọn số tự nhiên nằm giữa hai thương vừa
tìm được. Số tự nhiên đó chính là mẫu số của phân số trung gian còn tử số của
phân số trung gian chính bằng 1.
- Trong trường hợp tổng quát: So sánh hai phân số

a
c

và (a, b, c, d khác 0)
b
d

- Nếu a > c còn b < d (hoặc a < c còn b > d) thì ta có thể chọn phân số trung
gian là

a
c
(hoặc )
d
b

- Trong trường hợp hiệu của tư sè cđa ph©n sè thø nhÊt víi tư sè của phân số
thứ hai và hiệu của mẫu số phân sè thø nhÊt víi mÉu sè cđa ph©n sè thø hai cã
mèi quan hƯ víi nhau vỊ tØ sè (vÝ dụ: gấp 2 hoặc 3lần,hay bằng

1 2 4
, , ,... )
2 3 5

thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số lần sao cho hiệu
giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất. Sau đó ta
tiến hành chọn phân số trung gian như trên.
Ví dụ: So sánh hai phân số
Bước 1: Ta có:

15
70
và

23
117

15 15  5 75


23 23  5 115

Ta so s¸nh

70
75
víi
117
115

24


Bước 2: Chọn phân số trung gian là:
Bước 3: Vì

70
115

70
70
75
70
75

70 15




nên
hay
117 115 115
117 115
117 23

4. Đưa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh
- Khi thực hiện phép chia tư sè cho mÉu sè cđa hai ph©n sè ta được cùng
thương thì ta đưa hai phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai phần
phân số của hai hỗn số đó.
Ví dụ: So sánh hai phân số sau:
Ta có:
Vì

47
2
3
15
15

47
65
và .
15
21

65
2
3
21
21

2
2
2
2
47 65


nên 3 3 hay
15 21
15
21
15 21

- Khi thùc hiªn phÐp chia tư sè cho mẫu số, ta được hai thương khác nhau, ta
cũng đưa hai phân số về hỗn số để so sánh.
Ví dụ: So sánh

41
23
và
11
10

Ta có:
41
8
3
11
11

Vì 3 > 2 nên 3

23
3
2
10
10

8
3
41 23
hay >
2
11
10
11 10

* Chó ý: Khi mÉu sè cđa hai ph©n sè cïng chia hÕt cho mét sè tù nhiªn ta có
thể nhân cả hai phân số đó với số tự nhiên đó rồi đưa kết quả vừa tìm được về
hỗn số rồi so sánh hai hỗn số đó với nhau
Ví dụ: So sánh
+) Ta có:
+) Vì

47
65
và .
15
21

47
47
2
9
x3=
15
5
5

65
65
2
3
9
21
7
7

2 2
2
2
47
65

>
nên 9  9 hay
5 7
5
7
15
21

5. Thùc hiÖn phÐp chia hai phân số để so sánh
- Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thương tìm được bằng 1 thì
hai phân số đó bằng nhau; nếu thương tìm được lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất
25