Nghiên cứu một số bài toán biên cho phương trình nhiệt phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——oo——

NGUYỄN VĂN Ý

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN
CHO PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT PHI TUYẾN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

TP. Hồ Chí Minh - 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——oo——

NGUYỄN VĂN Ý

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN
CHO PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT PHI TUYẾN
Ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số: 62 46 01 02

Phản biện 1: PGS. TS. Nguyễn Bích Huy
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Hội Nghĩa
Phản biện 3: TS. Đào Nguyên Anh
Phản biện độc lập 1: PGS. TS. Nguyễn Hội Nghĩa
Phản biện độc lập 2: TS. Nguyễn Thành Nhân

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. TRẦN MINH THUYẾT
2. TS. NGUYỄN THÀNH LONG

TP. Hồ Chí Minh - 2017


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận án này là cơng trình nghiên cứu được hồn thành dưới sự hướng dẫn
của TS. Trần Minh Thuyết và TS. Nguyễn Thành Long. Các kết quả trong luận án là trung
thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Các bài báo có đồng
tác giả đã được các đồng tác giả cho phép sử dụng để viết luận án này.

Tác giả luận án
Nguyễn Văn Ý

i


Lời cảm ơn

Qua luận án này, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai thầy hướng dẫn khoa
học của tôi, TS. Trần Minh Thuyết và TS. Nguyễn Thành Long. Các Thầy đã tận tình
hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ cũng như tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt trong học
tập cũng như trong nghiên cứu khoa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Lê Thị Phương Ngọc vì những ý kiến đóng góp
q báu cho tơi trong q trình làm luận án.
Tơi xin cảm ơn các nhà khoa học là các thành viên trong các Hội đồng chấm luận
án cấp Đơn vị chuyên môn và cấp Cơ sở đào tạo cùng các chuyên gia phản biện đã đọc
tỉ mỉ bản thảo luận án của tơi và cho những nhận xét, góp ý q báu giúp cho luận án

được hồn thiện hơn.
Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn-Tin học, Bộ mơn Tốn Giải tích
và Phịng Đào tạo Sau Đại học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh
về những giúp đỡ tận tình, tạo điều kiện để tơi học tập và hồn thành luận án.
Tơi xin được bày tỏ sự biết ơn đến Ban giám hiệu và Ban chủ nhiệm Khoa Khoa
học cơ bản Trường Đại học Cơng nghiệp Thực phẩm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện
thuận lợi về nhiều mặt để tơi có thể hồn thành chương trình nghiên cứu sinh.
Tơi xin cảm ơn các bạn bè và các đồng nghiệp đã luôn ở bên tơi và có những động
viên kịp thời giúp tơi có thêm động lực để hồn thành nhiệm vụ học tập của mình.
Tơi muốn gửi lời cảm ơn đặc biệt đến cha mẹ của tơi vì tình u và sự hinh sinh cao
cả của họ dành cho tôi để tôi có được như ngày hơm nay.
Cuối cùng, lời tri ân sâu thẳm nhất tôi muốn gởi đến vợ và các con của tơi, họ chính
là những người bạn đồng hành luôn tin yêu, cùng chia sẻ, gánh vác giúp tôi có thêm
động lực vượt qua mọi khó khăn để hồn thành nhiệm vụ của mình.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2017.
NGUYỄN VĂN Ý

ii


Mục lục
Danh sách ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Phương trình nhiệt phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt

10

Mở đầu
Chương 1
1.1

Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2

Tính bị chặn của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3

Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t ! +∞. . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Nhận xét chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 2

30

Phương trình nhiệt phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết
với điều kiện biện Robin phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1

Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2

Tính bùng nổ của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3

Tính tắt dần mũ của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Nhận xét chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Chương 3

Phương trình nhiệt phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết
với điều kiện biên Robin độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.1

Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.2

Tính bùng nổ của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.3

Tính tắt dần mũ của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Nhận xét chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

A

Không gian Sobolev một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

A1

Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

A2

Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

A3

Xấp xỉ hàm trong không gian Sobolev bằng hàm trơn . . . . . . .

77

A4

Vài bổ đề thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

B

Không gian L p (0, T; X ), 1

∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

C

Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

p

iii


iv

Mục lục
C1

Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

C2

Bất đẳng thức Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

C3

Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

C4

Bất đẳng thức Gronwall (dạng tích phân) tuyến tính . . . . . . . .

79

C5

Bất đẳng thức Gronwall (dạng tích phân) phi tuyến . . . . . . . .

79

D

Định lý Ascoli-Arzela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

E

Một số định lý về điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

F

Một số kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Danh mục cơng trình của tác giả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86


Danh sách ký hiệu
Ký hiệu tập hợp

N
Z
R
Z+
R+ = [0, ∞)
Ω = (0, 1)

QT = Ω (0, T ), với T > 0

Tập hợp các số tự nhiên
Tập hợp các số nguyên
Tập hợp các số thực
Tập hợp các số nguyên không âm
Tập hợp các số thực không âm

Ký hiệu về đa chỉ số

jαj = α1 + ... + α N

N
Bậc của đa chỉ số α = (α1 , ..., α N ) 2 Z+

Ký hiệu đạo hàm
u (t) ( x ) = u ( x, t)

Với mỗi t, u(t) là hàm theo biến x

∂u
∂t
∂2 u
utt (t) = u00 (t) = 2
∂t
∂u
u x (t) ru (t) =
∂x
∂2 u
u xx (t) ∆u (t) = 2

∂x
ut (t) = u0 (t) =

f = f ( x1 , x2 , ..., xn )
Dik f =

∂k f
∂xik

Đạo hàm riêng bậc k của hàm f theo biến xi

Dα f =

∂jαj f
∂x1α1 ...∂x αNN

N
D1α1 ...D αNN f , với α = (α1 , ..., α N ) 2 Z+

1


2

Danh sách ký hiệu

Các không gian hàm thông dụng
X, X 0

Không gian Banach X và đối ngẫu X 0

k kX

Chuẩn trên khơng gian X

h, i

Tích vơ hướng trong L2 (Ω) hoặc cặp tích đối ngẫu

C0 (Ω)

giữa X 0 và X ( X L2 (Ω))
Không gian các hàm số u : Ω ! R liên tục trên Ω

C (Ω)

C m (Ω)

Không gian các hàm u 2 C0 (Ω) sao cho Di u 2 C0 (Ω)
với mọi i = 1, 2, ..., m

C m (Ω)

Không gian các hàm u 2 C m (Ω) sao cho Di u bị chặn và
liên tục đều trên Ω

C ∞ (Ω)

T∞

m =0 C

m (Ω)

C0∞ (Ω)

Không gian các hàm u 2 C ∞ (Ω) có giá compact

L p = L p (Ω)

Không gian các lớp tương đương chứa hàm đo được Lebesgue
R
u : Ω ! R thỏa Ω ju( x )j p dx < ∞, với 1 p < ∞

L∞ = L∞ (Ω)
W m,p = W m,p (Ω)
m,p

W0

m,p

Không gian các lớp tương đương chứa hàm đo được Lebesgue
u : Ω ! R, bị chặn cốt yếu

fu 2 L p : Di u 2 L p , 1

i

mg

= W0 (Ω) Bao đóng C0∞ (Ω) trong W m,p

H m = H m (Ω)

W m,2

C ([0, T ]; X )

Không gian Banach các hàm liên tục u : [0, T ] ! X
đối với chuẩn kukC([0,T ];X ) = max0 t T ku(t)k X

L p (0, T; X )

Không gian Banach gồm các lớp tương đương chứa hàm
đo được u : [0, 8
T ] ! X đối với chuẩn
1/p
p
< RT
< ∞, 1 p < ∞,
ku(t)k X dt
0
kuk L p (0,T;X ) =
: ess sup
p = ∞.
0 t T k u ( t )k X ,


Giới thiệu

Lý thuyết các bài tốn biên cho phương trình đạo hàm riêng là một trong những
lĩnh vực quan trọng của toán học lý thuyết và áp dụng. Các bài toán này xuất hiện
rất nhiều trong khoa học kỹ thuật, vật lý, hóa học, sinh học, ... và đã được nghiên cứu
rộng rãi bởi nhiều nhà tốn học. Q trình tìm kiếm nghiệm cho các bài tốn biên đã
góp phần rất lớn vào sự phát triển của giải tích hàm phi tuyến về mặt lý thuyết (lý
thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm,...) cũng như
các phương pháp nghiên cứu (phương pháp xấp xỉ, phương pháp nghiệm trên-nghiệm
dưới, ...).
Một trong những bài toán biên thuộc lý thuyết phương trình đạo hàm riêng được
nghiên cứu sâu rộng bởi nhiều nhà tốn học đó là bài tốn giá trị biên cho phương
trình nhiệt, trong đó có các bài toán giá trị biên và ban đầu cho các phương trình nhiệt
phi tuyến có hoặc khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết với các loại điều kiện
biên khác nhau. Nhiều cơng trình nghiên cứu về các bài tốn biên cho phương trình
nhiệt trong khoa học ứng dụng đã được đăng tải trong nhiều tài liệu, chẳng hạn như
[14, 27, 34, 40, 44, 52, 84] và các tài liệu tham khảo trong đó, cũng như trong các bài báo
đăng trên các tạp chí khoa học có uy tín của các tác giả như Friedman [15, 35], Lacey
[42, 43], Levine [45, 46, 47], Long [5, 6, 58], Messaoudi [63, 64, 65, 66, 12, 67], Payne
[76, 77, 78, 79], ...
Năm 1807, Fourier thiết lập phương trình truyền nhiệt
K
∂u
= ∆u,
∂t
c

(1)

và sau đó đã được hồn thiện và xuất bản trong tác phẩm "Analytic Theory of Heat"
năm 1822 (xem [69]). Cho đến nay, lý thuyết phương trình truyền nhiệt khơng ngừng
phát triển và làm nền tảng cho nhiều lĩnh vực của khoa học ứng dụng như trong điện

hóa, nhiệt điện, q trình dẫn nhiệt, động học phát triển dân số, phản ứng hạt nhân,
y học, hóa sinh, sinh thái học, ...(xem [69, 84]). Nhiều kết quả định tính và định lượng
đã được cơng bố liên quan đến các phương trình nhiệt phi tuyến một chiều cũng như
nhiều chiều kết hợp với các điều kiện biên khác nhau đã được đề cập nhiều trong các
cơng trình nghiên cứu, chẳng hạn [2] – [8], [15], [18] – [26], [28] – [32], [35] – [39], [41] –
3


4

Giới thiệu

[43], [45] – [50], [52] – [68], [72], [74] – [79], [83], [85], [87] – [98], và [Y1] – [Y3] và các tài
liệu tham khảo trong đó.
Hiện nay, có rất nhiều phương pháp khác nhau để nghiên cứu các phương trình đạo
hàm riêng, đặc biệt là các bài tốn biên cho phương trình nhiệt phi tuyến với các điều
kiện biên khác nhau như phương pháp biến phân, phương pháp đơn điệu, phương
pháp nghiệm trên - nghiệm dưới, .... Tuy nhiên, chúng ta khơng có một phương pháp
chung để nghiên cứu các khía cạnh khác nhau của các bài tốn biên phi tuyến vốn dĩ
phong phú và đa dạng. Vì vậy khi xét đến các bài tốn cụ thể thì cịn nhiều dạng bài
tốn vẫn là "bài tốn mở" - cần tiếp tục khảo sát. Bằng cách lựa chọn các cơng cụ tốn
học thích hợp và mang tính đặc thù, chúng ta cố gắng tìm càng nhiều càng tốt các tính
chất về nghiệm mà thơng thường ta xem xét tính giải được của bài tốn và các tính chất
có thể có của nghiệm của bài tốn như tính duy nhất, tính trơn, tính ổn định, tính tuần
hồn, tính bị chặn, tính bùng nổ, tính tắt dần, dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ...Chính
vì thế, việc khảo sát các bài tốn giá trị biên và ban đầu cho phương trình nhiệt phi
tuyến là cần thiết và có ý nghĩa thực tiễn.
Luận án này trình bày những kết quả nghiên cứu cho ba bài tốn biên cụ thể cho ba
dạng phương trình nhiệt phi tuyến một chiều có hoặc khơng có số hạng đàn hồi nhớt
liên kết với điều kiện biên Robin, liên quan mật thiết đến các bài toán biên được nêu ở

trên. Dưới đây là sự giới thiệu một số nét tổng quan về những nội dung trong luận án.
Nội dung thứ nhất, được trình bày ở Chương 1, liên quan đến bài tốn cho phương
trình nhiệt phi tuyến
ut

∂
[µ( x, t)u x ] + f (u) = f 1 ( x, t), ( x, t) 2 (0, 1)
∂x

(0, T ),

(2)

g1 ( t ) ,

(3)

liên kết với điều kiện biên Robin không thuần nhất
u x (0, t)

h0 u(0, t) = g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) =

và điều kiện đầu
u ( x, 0) = u0 ( x ) ,

(4)

h0 , h1 0 là các hằng số với h0 + h1 > 0 và u0 , µ, f , f 1 , g0 , g1 là các hàm số cho trước.
Bài tốn thuộc dạng này có nhiều ý nghĩa trong vật lý, hóa học, sinh học, ...đã được
đề cập nhiều trong các cơng trình nghiên cứu của nhiều tác giả từ trước đến nay và

trong các tài liệu tham khảo trong đó (xem [2] – [8], [15], [18] – [26], [28], [32], [35] –
[38], [41] – [43], [45] – [50], [52], [54] – [64], [68], [72], [74] – [79], [83], [85], [87], [88] –
[91], [95] - [98] và [Y1]).
Điều kiện (3) gọi là điều kiện Robin. Đôi lúc cịn gọi (3) là điều kiện DirichletRobin, bởi vì chúng kết nối điều kiện Dirichlet và điều kiện Neumann. Trong trường


5

Giới thiệu

hợp h0 = h1 = ∞, ta xem (3) như là điều kiện Dirichlet (u(0, t) = u(1, t) = 0). Các điều
kiện này xuất hiện từ các hiệu ứng điện giải của hệ điện hóa nhiễu [9, 70, 71, 81, 20].
Trong điện hóa, các phản ứng oxi-hóa khử sinh ra dịng điện được mơ hình bởi bài tốn
giá trị biên elliptic phi tuyến mà sự tuyến tính hóa của nó dẫn đến điều kiện Dirichlet
– Robin [13].
Phương trình (2) được viết lại dưới dạng
(5)

ut + Au = F ( x, t, u),

∂
trong đó Au = ∂x
[µ( x, t)u x ] , F ( x, t, u) = f (u) + f 1 ( x, t), liên kết với các điều kiện
biên khác với điều kiện biên Dirichlet mà theo sự hiểu biết của chúng tơi, thì bài tốn
tổng quát (5), (3) – (4) cho đến nay cũng chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ. Các
kết quả thu được không nhiều và chỉ giải quyết được trên một số dạng cụ thể bài
toán của bài toán này, chẳng hạn như: trường hợp Au = ∆u, f (u) có dạng đa thức
a juj p 2 u hoặc tổng quát ở một mức độ nào đó, bài tốn (5), (3) – (4) đã được đề cập
trong các cơng trình của nhiều tác giả, ví dụ như Kalantarova (chương 15) [2], Ball
[7], Caffarrelli [15], Du [21], Duzgun [24], Hale [38], Lacey [42, 43], Levine [46], Marras

[60, 61], Martel [62], Nittka [72], Ozturk [74, 75], Payne [79, 77], Shomberg [83], Sun [87],
n
n
∂
Xie [88], Xu [90, 91], và trường hợp Au = ∑i,j
=1 ∂x aij ( x ) u xi ( x ) + ∑i =1 bi ( x ) u xi ( x ) bài
j

toán (5), (3) – (4) được xét đến trong Levine [45], Zhang [95], còn trường hợp Au =
a(t) ∂
γ
xb(t)u x bài toán dạng trên được khảo sát bởi Alexandre và các cộng
x γ ∂x ( x u x )
sự [5, 6], Long và Định [58] và đã thu được các kết quả về sự tồn tại nghiệm cùng các
vấn đề liên quan như tính ổn định, tính bị chặn hoặc không bị chặn, dáng điệu tiệm
cận của nghiệm khi t ! +∞, ...
Như một sự tiếp nối và mở rộng các kết quả nêu trên, chúng tôi xét bài tốn (5),
∂
(3) – (4) với Au = ∂x
[µ( x, t)u x ] và f (u) tổng quát. Bằng cách sử dụng phương pháp
xấp xỉ Feado-Galerkin kết hợp với một số đánh giá tiên nghiệm và một số phép nhúng
compact, cũng như sử dụng một số đánh giá năng lượng để thu được các kết quả về
sự tồn tại, duy nhất nghiệm và các tính chất của nghiệm như tính bị chặn của nghiệm,
dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t ! +∞. Kết quả trên đây được công bố trong
[Y1].
Nội dung thứ hai, được trình bày ở Chương 2, liên quan đến bài tốn cho phương
trình nhiệt phi tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt dạng
ut

∂

∂x

[µ( x, t)u x ] +

Z t
0

g(t

∂
s) ∂x
[µ( x, s)u x ( x, s)] ds = f (u) + f 1 ( x, t),

( x, t) 2 (0, 1)

(0, ∞),

(6)


6

Giới thiệu
liên kết với điều kiện biên Robin phụ thuộc dạng
µ(0, t)u x (0, t)

h0 u(0, t) = g0 (t), µ(1, t)u x (1, t) + h1 u(1, t) =

g1 ( t ) ,

(7)

và điều kiện đầu
(8)

u ( x, 0) = u0 ( x ) ,
trong đó h0 , h1

0 là các hằng số, u0 , µ, g, f , f 1 , g0 , g1 là các hàm số cho trước.

Trong điều kiện biên (7), do có sự xuất hiện các số hạng µ(0, t) và µ(1, t) của hàm
µ xuất hiện trong phương trình (6) nên chúng tơi gọi điều kiện này là điều kiện phụ
thuộc với ý nghĩa chỉ sự liên quan giữa điều kiện này với phương trình đang xét.
Phương trình (6) xuất hiện một cách tự nhiên từ nhiều mơ hình tốn học trong khoa
học kỹ thuật và vật lí. Chẳng hạn như trong nghiên cứu sự dẫn nhiệt trong vật liệu có
độ đàn hồi, từ phương trình cân bằng nhiệt, nhiệt độ u( x, t) sẽ thỏa phương trình (6).
Các bài tốn liên quan đến phương trình (6) đã thu hút rất nhiều sự chú ý trong vài
thập kỷ qua [29, 30, 31, 39, 48, 65, 66, 67, 92, 94]. Đã có nhiều kết quả về sự tồn tại, bùng
nổ hoặc tắt dần của nghiệm. Ví dụ như trong [67], Messaoudi đã nghiên cứu phương
trình
Z t
ut ∆u +
g(t s)∆u( x, s)ds = juj p 2 u,
(9)
0

(có dạng (6) với µ( x, t)
1, f (u) = juj p
Dirichlet, với giả thiết g không âm, g0 (t)
Z ∞

0

2

u, f 1 ( x, t)
0 và

g(s)ds <

p
p

0) liên kết với điều kiện biên

2
,
3/2

Messaoudi đã chứng minh sự bùng nổ của nghiệm yếu với năng lượng ban đầu âm
bằng phương pháp hàm lồi. Độc giả có thể tham khảo [73] để biết thêm kết quả về loại
phương trình này.
Trong [65], Messaoudi xét bài tốn Dirichlet cho phương trình
ut

∆u +

Z t
0

s)∆u( x, s)ds = juj p

g(t

2

(10)

u,

và chứng minh rằng với điều kiện thích hợp của g và p, nghiệm yếu bùng nổ nếu năng
lượng ban đầu dương.
Hệ phương trình nhiệt tựa tuyến tính dạng
A(t) jut j
với a

0, m

m 2

ut

∆u +

Z t
0

g(t

s)∆u( x, s)ds = a juj p

2

u,

(11)

2, A(t) là ma trận bị chặn và xác định dương, hàm g khả vi liên tục và


7

Giới thiệu

tắt dần cũng được khảo sát trong [66, 54]. Trong [66], Messaoudi và Tella đã xét hệ (11)
với a = 0 và thiết lập kết quả tắt dần tổng quát của nghiệm, trong đó chứa các kết quả
tắt dần mũ và đa thức như là các trường hợp riêng. Trong [54], Liu và Chen đã xét hệ
(11) với a = 1 và thu được kết quả tổng quát về sự tắt dần của nghiệm tồn cục và tính
bùng nổ của nghiệm cho cả hai trường hợp năng lượng ban đầu âm và dương.
Mặt khác, phương trình (6) khi khơng có số hạng đàn hồi nhớt (tức g
0) có thể
xem là một trường hợp riêng của (2). Tuy nhiên, do nhưng tính chất đặc trưng của số
hạng đàn hồi nhớt

Z t
0

g(t

∂
s) ∂x

[µ( x, s)u x ( x, s)] ds nên nghiệm của phương trình (6) có

những điểm khác biệt so với (2), ta sẽ thấy điều này rõ hơn ở kết quả tồn tại cũng như
tính chất của nghiệm của hai bài tốn được trình bày chi tiết ở chương 1 và chương 2
khi so sánh với nhau.
Tiếp nối các kết quả nêu trên, chúng tơi khảo sát bài tốn (6)-(8). Trước hết, bằng
cách sử dụng phương pháp xấp xỉ Feado-Galerkin kết hợp với một số đánh giá tiên
nghiệm và một số phép nhúng compact, chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn
tại và duy nhất cũng như tính trơn của nghiệm. Điểm nổi bật trong chương này là số
hạng phi tuyến f (u) bị chặn bởi một hàm Φ : R+ ! R+ liên tục, không giảm sao cho
j f (u)j Φ(juj), 8u 2 R. Chúng tôi sẽ phân tích rõ hơn về điều này ở chương 2. Tiếp
theo, tính bùng nổ của nghiệm cũng thu được nhờ các giả thiết về điều kiện đầu và số
hạng phi tuyến phù hợp. Cuối cùng, kết quả về sự tắt dần mũ của nghiệm cũng được
thiết lập nhờ xây dựng phiếm hàm Lyaponov phù hợp. Kết quả trên đây được cơng bố
trong [Y2].
Nội dung cuối cùng, được trình bày ở Chương 3, chúng tơi xét phương trình nhiệt
phi tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt dạng
ut

∂
∂x

[µ1 ( x, t)u x ] +

Z t
0

g(t

∂

s) ∂x
[µ2 ( x, s)u x ( x, s)] ds = f (u) + f 1 ( x, t),

( x, t) 2 (0, 1)

(0, ∞),

(12)

liên kết với điều kiện biên Robin độc lập dạng
u x (0, t)

h0 u(0, t) = g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) =

g1 ( t ) ,

(13)

và điều kiện đầu
u ( x, 0) = u0 ( x ) ,
trong đó h0 , h1

(14)

0 là các hằng số, u0 , µ1 , µ2 , g, f , f 1 , g0 , g1 là các hàm số cho trước.

Cũng như đã trình bày ở phần nội dung thứ 2, điều kiện biên (13), so với điều kiện
(7), ta thấy khơng có sự xuất hiện của các số hạng µi (0, t), µi (1, t) (i = 1, 2) nên chúng
tôi gọi điều kiện này là điều kiện độc lập với ý nghĩa rằng điều kiện này độc lập với

8

Giới thiệu

phương trình đang xét.
Bài tốn liên quan đến (12) có nhiều ý nghĩa trong khoa học kỹ thuật và khoa học
vật lí, ... đã được đề cập nhiều trong các cơng trình nghiên cứu của nhiều tác giả (xem
[29, 30, 48, 31, 39, 92, 94, 65, 66, 67] và các tài liệu trích dẫn trong đó).
Phương trình (12) với µ1 = µ2
µ và điều kiện biên dạng (7) cũng đã được xét
trong chương 2, và các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu, tính bùng nổ và tắt
dần mũ của nghiệm cũng được thiết lập.
Liên quan đến mơ hình dạng này với số hạng nhớ xuất hiện trên biên cũng được
khảo sát bởi một số tác giả, chẳng hạn như Fang [29, 48], Han [39]. Trong [29, 48], với giả
thiết rằng nhân g khả vi và tắt dần mũ, bằng cách xây dựng một phiếm hàm Lyapunov
phù hợp và sử dụng phương pháp nhiễu năng lượng, các tác giả đã thu được kết quả
về tính tắt dần mũ và đa thức của nghiệm toàn cục cho phương trình
ut

∆u +

Z t
0

g(t

s) div[ a( x )ru( x, s)]ds = 0, x 2 Ω, t > 0.

(15)

Trong [39], các tác giả đã xét phương trình
ut

∆u +

Z t
0

g(t

s)∆u( x, s)ds = 0,

(16)

và chứng minh rằng nghiệm yếu bùng nổ nếu năng lượng ban đầu âm nhờ phương
pháp nhiễu năng lượng và lý luận hàm lõm.
Như một sự mở rộng những kết quả nêu trên cũng như trong [Y2], chúng tôi khảo
sát bài tốn (12)-(14). Chúng tơi tìm lại các kết quả cho bài toán (6)-(8) cũng đúng cho
bài toán (12)-(14) với các giả thiết và phương pháp thực hiện tinh tế hơn, đặc biệt ở các
kết quả bùng nổ và tắt dần mũ của nghiệm chúng tơi xét bài tốn với µ1 là hàm của hai
biến x, t cịn µ2 là hàm chỉ của biến x, trong khi ở chương 2 chúng tơi chỉ mới xét được
với µ là hàm số của biến x. Hơn nữa, ở kết quả tắt dần mũ của nghiệm ở chương 3,
chúng tôi xét bài toán với điều kiện của nguồn phi tuyến f (u) dành cho một lớp hàm
rộng hơn so với điều kiện của f (u) ở chương 2. Đặc biệt, phương pháp và điều kiện
của chương 2 ở phần tắt dần không áp dụng được cho 2 ví dụ ở chương 3. Kết quả trên
đây được cơng bố trong [Y3].
Ngồi phần giới thiệu và nội dung chính của luận án được trình bày trong ba
chương (I, II, III) như đã nêu trên, luận án cịn có những phần sau:
1. Phần kết luận. Tóm tắt các nội dung chính của luận án, đồng thời nêu ra một số

vấn đề mở cịn có thể tiếp tục nghiên cứu.
2. Phần phụ lục. Trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm, giải tích thực,
một số bất đẳng thức cũng như một số kết quả có liên quan được dùng trong luận án.
3. Danh mục cơng trình của tác giả.


Giới thiệu

9

4. Tài liệu tham khảo.
Toàn bộ các kết quả trình bày trong luận án này đã được cơng bố trong [Y1, Y2, Y3].
Một phần trong số các kết quả này đã được báo cáo tại "Hội nghị khoa học Miền
Trung và Tây Nguyên", Qui Nhơn 08/2015, Hội thảo khoa học "Tốn học Giải tích và
Ứng dụng", Đại học Hồng Đức-Thanh Hóa 26-28/05/2016, "Hội nghị Khoa học Trường
ĐHKHTN TP. HCM lần thứ 10, 11/11/2016" và một số hội nghị khác.


Chương 1
Phương trình nhiệt phi tuyến khơng
chứa số hạng đàn hồi nhớt
Nội dung chính của chương này là khảo sát bài tốn Robin cho phương trình nhiệt
phi tuyến dạng
ut

∂
[µ( x, t)u x ] + f (u) = f 1 ( x, t), ( x, t) 2 (0, 1) (0, T ),
∂x
u x (0, t) h0 u(0, t) = g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) = g1 (t),

(1.0.1)
(1.0.2)
(1.0.3)

u ( x, 0) = u0 ( x ) ,

trong đó h0 , h1 0 là các hằng số và u0 , µ, f , f 1 , g0 , g1 là các hàm cho trước thỏa các
điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau.
Các kết quả chính liên quan đến bài tốn này được trình bày ở 3 mục, từ mục 1.1
đến 1.3. Trong mục 1.1, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của
bài tốn (1.0.1)-(1.0.3). Mục 1.2 đề cập đến tính chất bị chặn của nghiệm yếu với giả
thiết điều kiện đầu bị chặn. Cuối cùng, trong mục 1.3, dáng điệu tiệm cận của nghiệm
khi t ! +∞ với đánh giá sai số tiệm cận là tắt dần mũ cũng được xét đến. Các kết quả
của chương này được công bố trong [Y1].

1.1

Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu

Ta thành lập các giả thiết sau:

( H1 ) h0 , h1

0 sao cho h0 + h1 > 0,

( H2 ) u0 2 L2 ,
( H3 )

g0 , g1 2 W 1,1 (0, T ),

( H4 ) µ 2 C1 ([0, 1]

[0, T ]), µ( x, t)

µ0 > 0, 8( x, t) 2 [0, 1]

10

[0, T ],


11

Chương 1. Phương trình nhiệt phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt

( H5 )

f 1 2 L2 ( Q T ),

( H6 )

f 2 C0 (R) sao cho tồn tại các hằng số dương C1 , C10 , C2 và p > 1 thỏa

(i ) u f ( u )

C1 juj p

(ii ) j f (u)j

C10 , với mọi u 2 R,

C2 (1 + juj p

1

), với mọi u 2 R.

Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi một hàm u 2 L∞ (0, T; L2 ) \ L2 (0, T; H 1 ) thỏa điều kiện tu 2
L∞ (0, T; H 1 ), tut 2 L2 (0, T; L2 ), là nghiệm yếu bài toán (1.0.1)-(1.0.3) nếu
u (0) = u0
và với mọi v 2 H 1 , ta có
d
hu(t), vi + a(t; u(t), v) + h f (u(t)), vi = h f 1 (t), vi µ(0, t) g0 (t)v(0)
dt
µ(1, t) g1 (t)v(1)
(1.1.1)
a.e. t 2 (0, T ), trong đó
a(t; u, v) =

Z 1
0

µ( x, t)u x ( x )v x ( x )dx + h0 µ(0, t)u(0)v(0)

+h1 µ(1, t)u(1)v(1), 8u, v 2 H 1 .

(1.1.2)

Định lý 1.1.2. Giả sử ( H1 ) ( H6 ) thỏa. Khi đó, với mỗi T > 0, bài tốn (1.0.1)-(1.0.3) có một
nghiệm yếu u 2 L∞ (0, T; L2 ) \ L2 (0, T; H 1 ) sao cho tu 2 L∞ (0, T; H 1 ), tut 2 L2 (0, T; L2 ).

Hơn nữa, nếu f thỏa thêm điều kiện
( H7 ) tồn tại δ > 0 sao cho (y z)( f (y) f (z))
δ jy zj2 , với mọi y, z 2 R,
thì nghiệm yếu là duy nhất.
Chứng minh. Chứng minh gồm 4 bước.
Bước 1. Xấp xỉ Feado-Galerkin.
Gọi fw j g là một cơ sở đếm được của H 1 và trực chuẩn trong L2 . Ta tìm nghiệm xấp
xỉ của bài toán (1.0.1)-(1.0.3) dưới dạng
m

um (t) =

∑ cmj (t)w j ,

(1.1.3)

j =1

trong đó, các hàm cmj (t) là nghiệm của hệ phương trình vi phân phi tuyến
8
>
hu0m (t), wi i + a(t; um (t), wi ) + h f (um (t)), wi i
>
>
<
= h f 1 (t), wi i µ(0, t) g0 (t)wi (0) µ(1, t) g1 (t)wi (1), 1
>
>
>
: u (0) = u ,

m
0m

i

m,

(1.1.4)


12

Chương 1. Phương trình nhiệt phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt
ở đây
m

u0m =

∑ αmj w j ! u0

mạnh trong L2 .

(1.1.5)

j =1

Bổ đề 1.1.3. Tồn tại Tm 2 (0, T ] sao cho hệ phương trình (1.1.4) có ít nhất một nghiệm um (t)
xác định trên khoảng [0, Tm ] .
Chứng minh bổ đề 1.1.3. Hệ phương trình (1.1.4) được viết lại dưới dạng vectơ
c0m (t) =

A(t)cm (t)

(1.1.6)

F (cm (t)) + G (t),

mà nó tương đương với hệ phương trình tích phân
cm (t) = αm

Z t
0

A(s)cm (s)ds

Z t
0

F (cm (s))ds +

Z t
0

G (s)ds,

(1.1.7)

trong đó
8
>

A(t) = ( aij (t))m , aij (t) = a(t; w j , wi ),
>
>
>
D
E
>
>
>
< F (cm (t)) = ( F1 (cm (t)), ..., Fm (cm (t))) T , Fi (cm (t)) = f ∑m
c
(
t
)
w
,
w
j
i ,
j=1 mj
>
>
G (t) = ( G1 (t), ..., Gm (t)) T , Gi (t) = h f 1 (t), wi i ∑1k=0 µ(k, t) gk (t)wi (k ),
>
>
>
>
>
: c(t) = (c (t), ..., c (t)) T , α = (α , ..., α ) T .
m

m
mm
1
m1
Lược bỏ chỉ số m, ta viết lại hệ (1.1.7) thành

(1.1.8)

c(t) = (Uc) (t),
ở đây

(Uc) (t) = α

Z t
0

A(s)c(s)ds

Z t
0

F (c(s))ds +

Z t
0

G (s)ds.

(1.1.9)

Với Tm 2 (0, T ], ta ký hiệu X = C0 ([0, Tm ] ; Rm ) là không gian Banach gồm các hàm
liên tục c = (c1 , ..., cm ) T : [0, Tm ] ! Rm đối với chuẩn

kck X = sup jc(t)j1 , c = (c1 , ..., cm )T 2 X,
0 t Tm

với jc(t)j1 = ∑m
j=1 c j ( t ) . Với ρ > 0, ta đặt
Bρ = fc 2 X : kck X

ρg .

Khi đó Bρ là tập con lồi đóng và bị chặn trong X. Ta sẽ chứng minh U : Bρ ! Bρ có
điểm bất động nhờ định lý Schauder.


13

Chương 1. Phương trình nhiệt phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt
Chứng minh U : Bρ ! Bρ , với ρ và Tm được chọn thích hợp.
Xét c = (c1 , ..., cm ) T 2 Bρ , ta có

j(Uc) (t)j1

j α j1 +

Z Tm
0

j G (s)j1 ds +

Z t
0

j A(s)c(s)j1 ds +

Z t
0

j F (c(s))j1 ds.

(1.1.10)

Ta lại có
Z Tm

Z t
0

0

Z T

j G (s)j1 ds

0

Z t

j A(s)c(s)j1 ds

0

j G (s)j1 ds

(1.1.11)

GT ,

k A(s)k1 jc(s)j1 ds

sup k A(t)k1

0 t T

Z t
0

jc(s)j1 ds
(1.1.12)

sup k A(t)k1 ρTm ,

0 t T

trong đó k Ak1 = max ∑im=1 aij , với A = ( aij )m .
1 j n

Hơn nữa
m

m

∑ c j (t)w j

∑

j =1

c j (t)

wj

j =1

j Fi (c(t))j =

*

m

f

∑ c j (t)w j

j =1

C2 1 + W
nên

Z t
0

trong đó W = max

1 j m

wj

p 1

, wi

1 j m

+

p 1
jc(t)j1

j F (c(s))j1 ds
C0 ([0,1])

!

wj

max

C0 ([0,1])

C0 ([0,1])

m

∑ c j (t)w j

f

j =1

C2 1 + W

mC2 1 + W

!

W kck X ,

k wi k

p 1 p 1

p 1 p 1

ρ

jc(t)j1

ρ

(1.1.13)

Tm ,

.

Từ (1.1.10), (1.1.11)-(1.1.13), ta suy ra

j(Uc) (t)j1

jαj1 + GT + sup k A(t)k1 ρTm + mC2 1 + W

p 1 p 1

ρ

Tm .

(1.1.14)

0 t T

1
Chọn ρ > 0 sao cho ρ > jαj1 + GT , sau đó chọn Tm 2 (0, T ], sao cho
2
sup k A(t)k1 ρTm + mC2 1 + W

p 1 p 1

0 t T

Khi đó kUck X
minh.

ρ, với mọi c 2 Bρ , như thế U ( Bρ )

Chứng minh U : Bρ ! Bρ là liên tục.

ρ

Tm

1
ρ.
2

Bρ , ta suy ra điều phải chứng


14

Chương 1. Phương trình nhiệt phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt
n o
X, c(k)
Giả sử c(k)
khi k ! ∞.
Thật vậy, ta có
Uc

(k)

(t)

c

! 0, khi k ! ∞. Ta chứng minh Uc(k)

X

(Uc) (t)

sup k A(t)k1

1

0 t T
Z t

+

0

Z t
0

F (c(k) (s))

c(k) ( s )

+

0

Từ (1.1.15), để chứng minh Uc(k)
Z Tm
0

Uc

X

!0

c(s) ds
1

F (c(s)) ds
1

sup k A(t)k1 Tm c

0 t T
Z Tm

Uc

(k)

F (c(k) (s))

c

X

F (c(s)) ds.
1

(1.1.15)

! 0, ta chỉ cần chứng minh

X

F (c(k) (s))

(1.1.16)

F (c(s)) ds ! 0.
1

(k)

m
Đặt u(k) (t) = ∑m
j=1 c j ( t ) w j , u ( t ) = ∑ j=1 c j ( t ) w j , ta có

F (c(k) (s))

F (c(k) (s))

Do u(k)

u

F (c(s)) = (d1k (s), d2k (s), ..., dmk (s)) T ,
D
E
dik (s) =
f u(k) ( s )
f (u(s)) , wi ,
m

F (c(s))

C0 ( Q Tm )

∑ jdik (s)j

1

m f u(k) ( s )

f (u(s)) . (1.1.17)

j =1

max

1 j m

wj

C0 ([0,1])

c(k)

c

X

! 0, nên u(k) ! u trong

C0 Q Tm .Từ tính liên tục của f ta suy ra
f u(k)

f (u) ! 0 trong C0 Q Tm .

(1.1.18)

Từ (1.1.18) và (1.1.17) ta suy ra (1.1.16) đúng.
Chứng minh U ( Bρ ) là compact tương đối trong X.
Giả sử c 2 Bρ , t, t0 2 [0, Tm ]. Từ (1.1.9), ta thu được

(Uc) (t)

(Uc) (t0 )

1

Z t0
t

+

j A(s)c(s)j1 ds

Z t0
t

j F (c(s))j1 ds +

Z t0
t

j G (s)j1 ds .

(1.1.19)


15

Chương 1. Phương trình nhiệt phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt
Ta lại có
Z t0
t

j A(s)c(s)j1 ds

Z t0

sup k A(t)k1

t

0 t T

jc(s)j1 ds

sup k A(t)k1 ρ t

Z t0
t

(1.1.20)

0 t T

mC2 1 + W

j F (c(s))j1 ds

Z t0
t

j G (s)j1 ds

t

(Uc) (t0 )

t

0 1/2

eT t
C
m

Từ (1.1.19)-(1.1.22), ta suy ra

(Uc) (t)

t0 ,

t

p 1 p 1

ρ

Z Tm

0
1/2
0

j G (s)j21 ds

1/2

(1.1.22)

p 1 p 2

ρ

0 t T

+CeTm t

t0

1/2

(1.1.21)

.

sup k A(t)k1 + mC2 1 + W

1

t0 ,

t

!

ρ t

t0
(1.1.23)

.

Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho

sup k A(t)k1 ρ + mC2 1 + W

p 1 p 1

ρ

0 t T

!

eT δ1/2 < ε.
δ+C
m

Khi đó, với mọi t, t0 2 [0, Tm ] sao cho jt t0 j < δ thì j(Uc) (t) (Uc) (t0 )j1 < ε. Điều
này chứng tỏ U ( Bρ ) đẳng liên tục trong X.
Mặt khác, do U ( Bρ ) Bρ nên U ( Bρ ) bị chặn đều.
Theo định lý Arzela-Ascoli, U ( Bρ ) là compact tương đối trong X.
Áp dụng định lý điểm bất động Schauder, U có điểm bất động c = (c1 , ..., cm ) T
trong Bρ . Bổ đề 1.1.3 được chứng minh.
Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm
(a) Đánh giá thứ nhất. Nhân phương trình thứ i của hệ (1.1.4) với cmi (t) và lấy tổng

theo i, sau đó tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t, ta thu được
2

kum (t)k + 2

Z t
0

a(s; um (s), um (s))ds + 2
2

= ku0m k + 2

Z t
0

2

Z t

h f 1 (s), um (s)i ds

Z t
0

0

h f (um (s)), um (s)i ds
2

Z t
0

µ(0, s) g0 (s)um (0, s)ds

µ(1, s) g1 (s)um (1, s)ds.

(1.1.24)

Trước hết, do u0m ! u0 mạnh trong L2 nên tồn tại hằng số C0 (độc lập với m) sao


Chương 1. Phương trình nhiệt phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt

16

cho

ku0m k2

C0 , với mọi m.

(1.1.25)

Tiếp theo, do các giả thiết ( H3 ) ( H6 ) và sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta lần lượt
đánh giá các số hạng ở (1.1.24) như sau:
2

2
2

2

Z t
0

Z t
0

Z t
0

Z t
0

a(s; um (s), um (s))ds

h f (um (s)), um (s)i ds

2C1

2a0

Z t

Z t

kum (s)k L p ds

0

k f 1 k L1 (0,T;L2 ) +

h f 1 (s), um (s)i ds

0

Z t
0

kum (s)k2H1 ds,
p

(1.1.26)

2TC10 ,

(1.1.27)

k f 1 (s)k kum (s)k2 ds,

(1.1.28)

Z t
p
2 2 k µ k L ∞ ( Q T ) k g0 k L ∞
kum (s)k H1 ds

µ(0, s) g0 (s)um (0, s)ds

0

2
T kµk2L∞ (QT ) k g0 k2L∞ + β
β

Z t

kum (s)k2H1 ds,

Z t

kum (s)k2H1 ds, (1.1.30)

0

(1.1.29)

với mọi β > 0.
Tương tự
2

Z t
0

2
T kµk2L∞ (QT ) k g1 k2L∞ + β
β

µ(1, s) g1 (s)um (1, s)ds

0

với mọi β > 0.
Từ (1.1.25), (1.1.26)-(1.1.30), ta suy ra từ (1.1.24) rằng
2

kum (t)k + 2( a0

β)

Z t
0

kum (s)k2H1

ds + 2C1

C0 + 2TC10 + k f 1 k L1 (0,T;L2 ) +

+

Z t
0

Chọn β =

Z t
0

p

kum (s)k L p ds

2
T kµk2L∞ (QT ) k g0 k2L∞ + k g1 k2L∞
β

k f 1 (s)k kum (s)k2 ds.

(1.1.31)

1
a0 trong (1.1.31), ta thu được
2
Sm ( t )

(1)
CT

+

Z t
0

(2)

CT (s)Sm (s)ds,

(1.1.32)

17

Chương 1. Phương trình nhiệt phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt
trong đó
8
Z t
Z t
>
p
2
2
>
>
Sm (t) = kum (t)k + a0 kum (s)k H1 ds + 2C1 kum (s)k L p ds,
>
>
0
0
>
<
4
(1)
CT = C0 + 2TC10 + k f 1 k L1 (0,T;L2 ) + T kµk2L∞ (QT ) k g0 k2L∞ + k g1 k2L∞ ,
>
>
a0
>
>

>
>
: C (2) (s) = k f (s)k , C (2) (.) 2 L1 (0, T ).
1
T
T

(1.1.33)

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, từ (1.1.32) ta thu được
(1)
CT exp

Sm ( t )

Z t
0

(2)

CT (s)ds

(1.1.34)

CT ,

với mọi m 2 N, với mọi t, 0 t Tm
T, i.e., Tm = T, ở đây CT chỉ một hằng số chỉ
phụ thuộc T.
(b) Đánh giá thứ hai. Nhân phương trình thứ i của hệ (1.1.4) với t2 c0mi (t) và lấy tổng

theo i, ta có
tu0m (t)

2

+ t2 a(t; um (t), u0m (t)) + t f (um (t)), tu0m (t)

= t f 1 (t), tu0m (t)

t2 µ(0, t) g0 (t)u0m (0, t)

t2 µ(1, t) g1 (t)u0m (1, t).

(1.1.35)

Trước hết, chúng ta cần hai bổ đề sau mà chứng minh của chúng khơng khó khăn.
Bổ đề 1.1.4. Ký hiệu

∂a
(t; u, v) là dạng song tuyến tính trên H 1
∂t

H 1 xác định bởi

∂a
(t; u, v) = µ0 ( , t)u x , v x + h0 µ0 (0, t)u(0)v(0) + h1 µ0 (1, t)u(1)v(1),
∂t
với mọi u, v 2 H 1 . Khi đó

(i )

∂a
(t; u, v)
∂t

e
a T kuk H1 kvk H1 , với mọi u, v 2 H 1 ,

∂a
d
a(t; um (t), um (t)) = 2a(t; um (t), u0m (t)) + (t; um (t), um (t)),
dt
∂t
0
trong đó e
a T = (1 + 2h0 + 2h1 ) sup( x,t)2[0,1] [0,T ] jµ ( x, t)j .

(ii )

Bổ đề 1.1.5. Đặt λ0 =
Khi đó, ta có

C10
C1

m0

1/p

, m0 =

Z λ0

λ0

f (z)

j f (y)j dy và f (z) =

C2 jzj +

1 p
j z j , 8 z 2 R.
p

Z z
0

f (y)dy, z 2 R.
(1.1.36)


18

Chương 1. Phương trình nhiệt phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt
Do bổ đề 1.1.4, ta viết lại (1.1.35) như sau
d
a(t; tum (t), tum (t)) + 2 t f (um (t)), tu0m (t)
dt
∂a

= 2ta(t; um (t), um (t)) + (t; tum (t), tum (t)) + 2 t f 1 (t), tu0m (t)
∂t
2
0
2t µ(0, t) g0 (t)um (0, t) 2t2 µ(1, t) g1 (t)u0m (1, t).

2 tu0m (t)

2

+

(1.1.37)

Tích phân (1.1.37) theo biến thời gian từ 0 đến t, ta thu được
2

Z t

2
su0m (s)

0

=2
+2

Z t

+ a(t; tum (t), tum (t)) + 2

sa(s; um (s), um (s))ds +

0
Z t

s f 1 (s), su0m (s) ds

0

2

Z t
0

2

Z t

Z t
∂a

Z

0
t

0

∂t

0

s f (um (s)), su0m (s) ds

(s; sum (s), sum (s))ds

s2 µ(0, s) g0 (s)u0m (0, s)ds

s2 µ(1, s) g1 (s)u0m (1, s)ds.

(1.1.38)

Sử dụng bất đẳng thức (1.1.36), ta có các đánh giá cho số hạng ở (1.1.38) như sau
a0 ktum (t)k2H1 ,

a(t; tum (t), tum (t))

2

Z t
0

(1.1.39)

s f (um (s)), su0m (s) ds
Z t

Z

Z

um ( x,s)
d 1
dx
f (y)dy
ds 0
0
0
Z t
Z
d 1
2
=2
s ds
f (um ( x, s))dx
ds 0
0
Z 1
Z t
Z 1
d
2
=2
s
f (um ( x, s))dx
2s
f (um ( x, s))dx
ds
0

0
0

=2

= 2t2

s2 ds

Z 1
0

f (um ( x, t))dx

2

Z t

2T m0

4C2

2T 2 m0

4TC2

CT .

0

4

Z t
0

sds

Z 1
0

f (um ( x, s))dx

1
p
kum (s)k L p ds
p
1 1
Sm ( t )
T kum k L∞ (0,T;L2 ) +
p 2C1

s kum (s)k L1 +

(1.1.40)


19

Chương 1. Phương trình nhiệt phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt

2

Z t
0

sa(s; um (s), um (s))ds
2Ta T

Z t
∂a

∂t

0

Z t
0

kum (s)k2H1 ds

e
aT

(s; sum (s), sum (s))ds

Z t
0

2

T e
aT

CT ,

2

Z t
0

s f 1 (s), su0m (s)

ds

2

Z t

T

2

0

2Ta T

1
Sm ( t )
a0

(1.1.41)

CT ,

ksum (s)k2H1 ds

Z t
0

kum (s)k2H1 ds

T2e
aT

1
Sm ( t )
a0
(1.1.42)

ks f 1 (s)k su0m (s) ds

Z T
0

CT +

2

k f 1 (s)k ds +

Z t
0

su0m (s)

2

Z t
0

su0m (s)

2

ds

ds.

(1.1.43)

Sử dụng tích phân từng phần, ta có
2

Z t

=

0

s2 µ(0, s) g0 (s)u0m (0, s)ds

2

2t µ(0, t) g0 (t)um (0, t) + 2

Z th
0

i0
s2 µ(0, s) g0 (s) um (0, s)ds

p Z
2 2T kµk L∞ (QT ) k g0 k L∞ ktum (t)k H1 + 2 2
p

t

0

p
2 2
T kµk2L∞ (QT ) k g0 k2L∞ + β ktum (t)k2H1 + 2 2
β

trong đó ge0 (s) = s2 µ(0, s) g0 (s).
Mặt khác, ta có
ge00 (s)

=

ge00 (s) kum (s)k H1 ds

Z t
0

ge00 (s) kum (s)k H1 ds, (1.1.44)

2sµ(0, s) g0 (s) + s2 µ0 (0, s) g0 (s) + µ(0, s) g00 (s)
2s kµk L∞ (QT ) k g0 k L∞ + s2 kµkC1 (QT ) k g0 k L∞ + g00 (s)
s kµkC1 (QT ) (2 + T ) k g0 k L∞ + T g00 (s)
sCT ψ0 (s),

(1.1.45)

ở đây
CT = kµkC1 (QT ) [(2 + T ) k g0 k L∞ + T ] , ψ0 (s) = 1 + g00 (s) , ψ0 2 L1 (0, T ).