Môđun không bé, môđun không đối bé và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HỒ THỊ MINH HƯƠNG

MÔĐUN KHÔNG BÉ, MÔĐUN KHÔNG ĐỐI
BÉ VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HỒ THỊ MINH HƯƠNG

MÔĐUN KHÔNG BÉ, MÔĐUN KHÔNG ĐỐI
BÉ VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Lê Đức Thoang

Bình Định - 2020

Mục lục
Bảng ký hiệu
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

Kiến thức chuẩn bị
1.1 Môđun con cốt yếu, đối cốt yếu. .
1.2 Môđun mở rộng . . . . . . . . . .
1.3 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ . .
1.4 Vành Artin, Vành Nơte . . . . . .
1.5 Vành nửa hoàn chỉnh, hoàn chỉnh
1.6 Vành Goldie và vành QF . . . . .

2
3

.
.
.
.
.
.

5
5
6
8
9
10

12

2

Môđun không bé, môđun không đối bé
2.1 Môđun không bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Môđun không đối bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
14
17

3

Áp dụng vào vành
3.1 Về đặc trưng vành co-H . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh QF-3 . . . . . . . . . . .

21
21
30

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

KẾT LUẬN

39

TÀI LIỆU THAM KHẢO
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) . . . . .

40

1


Bảng ký hiệu

N, Z, Q, R, C

:

R
MR ( R M )
A ≤ B( A < B)
A ≤max
A≤ B
A ≤e B
A
B
∼
A=B
A B
A B
Z ( M)
E( M), Soc( M)
End( M)
Hom R ( M, N )
Im( f ), Ker ( f )
Rad( M), J ( R)
ann( M)

:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:

Các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ,
số thực, số phức (tương ứng);
vành với đơn vị 1 = 0;
M là một R-môđun phải (t.ư., trái);
A là môđun con (t.ư., con thực sự) của B;
A là môđun con cực đại của B;
A là hạng tử trực tiếp của B;
A là môđun con cốt yếu của B;
A là môđun con đối cốt yếu của B;
A đẳng cấu với B;
A không đẳng cấu với B;

tổng trực tiếp của môđun A và môđun B;
Mô đun con suy biến của mô đun M;
bao nội xạ, đế của môđun M (tương ứng);
vành các tự đồng cấu của mơđun M;
nhóm các R-đồng cấu từ M vào N;
ảnh, hạt nhân của đồng cấu f (tương ứng);
căn của môđun M, căn của vành R (tương ứng);
linh hóa tử của mơđun M.

2


MỞ ĐẦU
Khái niệm môđun không bé và môđun không đối bé là những khái
niệm cơng cụ tiện ích cho việc nghiên cứu vành, được Rayar đề xuất
nghiên cứu đầu tiên vào năm 1971, sau đó Harada tiếp tục nghiên cứu
và thu được nhiều kết quả có ý nghĩa và áp dụng, một trong những áp
dụng là đặc trưng các lớp vành. Đây là một hướng nghiên cứu được
nhiều tác giả quan tâm. Chúng tơi chọn đề tài: MƠĐUN KHƠNG BÉ,
MƠĐUN KHƠNG ĐỐI BÉ VÀ ÁP DỤNG.
Khái niệm mơđun bé, trước đây đã được nhiều tác giả quan tâm
nghiên cứu như W. W. Leonard (xem [9]), M. Rayar (xem [11]). Năm
1978, M. Harada đã định nghĩa và dùng khái niệm môđun không bé để
nghiên cứu lớp vành Artin và thu được nhiều tính chất và kết quả đẹp
cho lĩnh vực lý thuyết vành. Từ đó khái niệm mơđun khơng bé trở thành
một khái niệm cơng cụ tiện ích cho việc nghiên cứu vành.
Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận và Tài liệu tham
khảo. Nội dung của luận văn gồm ba chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Môđun không bé, môđun không đối bé. .

Chương 3: Áp dụng vào vành.
Tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâu sắc
đến TS. Lê Đức Thoang, thầy đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn và tạo
mọi điều kiện trong quá trình học tập và nghiên cứu để tơi có thể hồn
thành luận văn này một cách tốt nhất. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban
giám hiệu, Phịng sau đại học, Khoa Tốn và Thống kê trường đại học
Quy Nhơn cùng quý thầy cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi
trong q trình học tập tại trường. Nhân đây, tôi cũng xin cảm ơn các
anh, chị học viên trong lớp Đại số và Lý thuyết số khóa 21, gia đình và
3


4

bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt q trình học tập và hồn
thành luận văn.
Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nên
bên cạnh những kết quả đã đạt được, luận văn không thể tránh khỏi
những hạn chế và thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý thẳng
thắn và chân thành của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Ngày 8 tháng 9 năm 2020
Học viên thực hiện

Hồ Thị Minh Hương


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số khái niêm cơ bản về

lý thuyết mô-đun, lý thuyết vành. Các khái niệm, kết quả trong chương
này được trình bày dựa vào [1].

1.1

Mơđun con cốt yếu, đối cốt yếu.

Định nghĩa 1.1.
(1) Môđun con N của R-môđun M được gọi là môđun con cốt yếu (hay
lớn) trong M, kí hiệu N ≤e M nếu với mọi mơđun khác khơng K
của M ta đều có K ∩ N = 0. Có nghĩa là, ∀U ≤ M, U ∩ E = 0 thì
U = 0. Khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của N.
(2) Cho M là R-môđun. Môđun con K của M được gọi là đối cốt yếu (
hay bé) trong M nếu với mỗi mơđun con X của M mà X = M thì
K + X = M. Nói cách khác, mơđun con K được gọi là môđun con
bé trong M nếu với mọi môđun con X của M mà K + X = M thì
X = M. Khi đó ta kí hiệu: K M.
Ví dụ 1.1.1. Xét Z-mơđun Z, Q ta có 2Z ≤e Z, Z ≤e Q. Nếu R là miền
nguyên thì mọi ideal phải khác không là cốt yếu trong R R .
Môđun con 0 M, môđun con 2Z là đối cốt yếu trong Z-mơđun Q.
Tính chất 1.1.1.
(1) Cho A, B, C là các mơđun con của M. Khi đó:
5


6

(a) Nếu A ≤ B ≤ C thì A ≤e M kéo theo B ≤e C.
(b) Nếu A ≤e M và B ≤e M thì A ∩ B ≤e M.
(c) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và A ≤e N thì ϕ−1 ( A) ≤e

M.
(2) Cho A, B, C là các môđun con của M. Khi đó:
(a) Nếu A ≤ B ≤ C thì B
(b) Nếu A

M và B

C kéo theo A

M thì A + B

M.

M.

(c) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và A
Hệ quả 1.1. Giả sử M =
I

M thì ϕ( A)

N.

Mi và B là mơđun con của M. Khi đó các phát

biểu sau là tương đương:
(1) ( B ∩ Mi ) ≤e Mi , ∀i ∈ I.
(2)
I

( B ∩ Mi ) ≤e M.

(3) B ≤e M.
Mệnh đề 1.1. Giả sử A, B, C là các môđun con của môđun M. Khi đó:
(1) Nếu B ≤ C và A

B thì A

C.

(2) A ≤ B, A ≤ M và B là hạng tử trực tiếp của M thì A

1.2

B.

Mơđun mở rộng

Định nghĩa 1.2.
(1) Một R-môđun M được gọi là môđun mở rộng (hay CS-Môđun) nếu
mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của
M. Tương đương, một R-môđun M được gọi là môđun mở rộng
nếu mỗi môđun con đóng của M là một hạng tử trực tiếp của M.
(2) Một R-môđun M được gọi là mở rộng đều (uniform-extending) nếu
mỗi môđun con đều là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.


7

(3) Một môđun M được gọi là môđun FI-mở rộng nếu với mọi N

tồn tại một hạng tử trực tiếp N ≤⊕ M sao cho N ≤e N .

M

Định lý 1.1. Cho M là một R-mơđun. Khi đó, các điều kiện sau là tương
đương:
(1) M là môđun mở rộng.
(2) Mỗi mơđun con N của M đều có sự phân tích M = M1
N ≤ M1 và N + M2 ≤e M.

M2 sao cho

(3) Mỗi mơđun con đóng của M là một hạng tử trực tiếp của nó.
Hệ quả 1.2. Một R-mơđun M khơng phân tích được là mở rộng nếu và chỉ
nếu M là môđun đều.
Định lý 1.2. Nếu M là môđun mở rộng và M = M1
các môđun mở rộng.

M2 thì M1 , M2 là

Nhận xét 1.1. Mọi hạng tử trực tiếp của môđun mở rộng đều (uniformextending) cũng là mơđun mở rộng đều (uniform-extending).
Ví dụ 1.2.1. (1) Mỗi mơđun nửa hồn chỉnh là mở rộng, vì mỗi mơđun
con là hạng tử trực tiếp.
(2) Mỗi môđun đều là mở rộng, vì mỗi mơđun con khác 0 là cốt yếu.
Định lý 1.3. Cho M = M1 M2 với M1 , M2 là các mơđun mở rộng. Khi
đó, M là mơđun mở rộng nếu và chỉ nếu mỗi mơđun con đóng K ⊂ M với
K ∩ M1 = 0 hoặc K ∩ M2 = 0 là một hạng tử trực tiếp của M.
Mệnh đề 1.2. Cho M = M1 M2 với M1 , M2 là các môđun mở rộng. Nếu
M1 là M2 -nội xạ và M2 là M1 -nội xạ thì M là môđun mở rộng.
Mệnh đề 1.3. Cho M là R-mơđun có chiều uniform hữu hạn. Nếu M là mơđun

mở rộng thì M =

n

i =1

Mi , với Mi là các môđun đều và u. dim( M) = n.

Mệnh đề 1.4. Cho M là môđun chuỗi với chuỗi hợp thành duy nhất 0 ⊂ U ⊂
V ⊂ M. Khi đóM (U/V ) không là môđun mở rộng.


8

1.3

Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ

Định nghĩa 1.3. R-môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu
f : P −→ B và mỗi toàn cấu g : A −→ B của những R-môđun đều tồn
tại đồng cấu h : P −→ A sao cho g◦ h = f . Có nghĩa, biểu đồ sau giao
hốn
P
∃h

A

 g
G



f
G0

B

Định nghĩa 1.4. R-môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu
f : A −→ Q và mỗi đơn cấu g : A −→ B của những R-môđun đều tồn
tại đồng cấu h : B −→ Q sao cho h◦ g = f . Có nghĩa, biểu đồ sau giao
hốn
g
GA
GB
0
f

 

∃h

Q

Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn Baer). R-mơđun Q là nội xạ nếu và chỉ nếu với
mỗi iđêan phải U của R R và mỗi đồng cấu f : U −→ Q đều tồn tại đồng cấu
h : R R −→ Q sao cho h◦ i = f với i : U −→ R là phép nhúng chính tắc. Có
nghĩa, biểu đồ sau giao hoán
0

GU

f

 

i G

R

∃h

Q

Định nghĩa 1.5. Đơn cấu ϕ : A R −→ CR được gọi cốt yếu nếu Imϕ là
môđun con cốt yếu trong C.
Định nghĩa 1.6. Cho R-môđun A, đơn cấu α : A −→ Q gọi là bao nội xạ
của A nếu Q là môđun nội xạ và α là đơn cấu cốt yếu. Kí hiệu E( A).
Ví dụ 1.3.1. Đơn cấu chính tắc i : ZZ −→ QZ là bao nội xạ của Z vì QZ
nội xạ và ZZ là mơđun con cốt yếu trong QZ .
Bổ đề 1.1. Đối với R-môđun trong vành R thì


9

1. M là nội xạ nếu và chỉ nếu M = E( M).
2. Nếu M là môđun con cốt yếu của N thì E( M) = E( N ).
3. Nếu M là một môđun con của N với N là nội xạ thì E( M ) là một hạng
tử trực tiếp của N.
4. Nếu M ⊂ Q với M nội xạ thì M là một hạng tử của Q.
5. Tổng trực tiếp hữu hạn các môđun nội xạ là nội xạ.

6. Mỗi hạng tử của môđun nội xạ là nội xạ.

1.4

Vành Artin, Vành Nơte

Tiếp theo chúng tôi giới thiều điều kiện dây chuyền tăng, giảm trên
các môđun.
Định nghĩa 1.7 (ACC: ascending chain condition). Cho R−môđun M và L
là lớp các mơđun con nào đó của M. Ta nói L thỏa mãn điều kiện dây
chuyền tăng nếu mọi dãy tăng
A1 ≤ A2 ≤ · · · ≤ A n ≤ · · ·
các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại n ∈ N sao cho Ai = An+i
với mọi i ∈ N.
Định nghĩa 1.8 (DCC: descending chain condition). Cho R−mơđun M và
L là lớp các mơđun con nào đó của M. Ta nói L thỏa mãn điều kiện dây
chuyền giảm nếu mọi dãy tăng
D1 ≥ D2 ≥ · · · ≥ Dn ≥ · · ·
các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại n ∈ N sao cho Di = Dn+i
với mọi i ∈ N.
Định nghĩa 1.9 (Vành Nơte). Một R−môđun phải được gọi là Nơte phải
nếu M thỏa mãn điều kiện ACC trên tập các môđun con.
Định nghĩa 1.10 (Vành Artin). Một R−môđun được gọi là Artin nếu M
thỏa mãn điều kiện DCC trên tập các môđun con.


10

Cho R−môđun phải M = 0. Một dãy n + 1 môđun con của M
M = M0 > M1 > M2 > · · · > Mn = 0

được gọi là một dãy hợp thành độ dài n của M nếu M/Mi với i =
1, . . . , n là các mơđun đơn. Kí hiệu, độ dài của dãy hợp thành của môđun
M là length ( M ).
Cho R− môđun phải M. Khi các môđun con của M là được sắp tuyến
tính, có nghĩa là A và B là hai mơđun con của M thì hoặc là A ≤ B hoặc
là B ≤ A, thì người ta gọi M là môđun chuỗi. M được gọi là môđun chuỗi
tổng quát nếu M được phân tích thành tổng trực tiếp các môđun chuỗi.
Định nghĩa 1.11. Vành R được gọi là chuỗi phải (chuỗi tổng quát phải) nếu
R R là môđun chuỗi (chuỗi tổng quát, tương ứng)
Định nghĩa 1.12. Vành R được gọi là vành Artin phải, Nơte phải nếu
R R lần lượt là các môđun Artin phải, Nơte phải.
Định nghĩa 1.13. Một vành R được gọi là vành địa phương nếu R có
duy nhất một ideal phải (hoặc trái) cực đại. Vành R được gọi là nửa địa
phương nếu vành thương R/J ( R) là Artin nửa đơn.
Ta có, mọi vành Artin đều là vành nửa địa phương và điều kiện nêu
trong định nghĩa vành địa phương tương đương với một trong các điều
kiện sau.
(i) R/J ( R) là một thể.
(ii) R J ( R) bao gồm tất cả các phần tử khả nghịch của R.
(iii) Nếu a ∈ R thì hoặc a hoặc 1 − a khả nghịch trong R.
(iv) J ( R) là ideal phải (trái) cực đại của R.

1.5

Vành nửa hoàn chỉnh, hoàn chỉnh

Định nghĩa 1.14. Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu
e2 = e.

11

Nhận xét 1.2. Mỗi vành ln có hai phần tử lũy đẳng là 0, 1 và chúng
được gọi là hai phần tử lũy đẳng tầm thường. Vành nguyên chỉ có hai
phần tử lũy đẳng là 0 và 1.
Định nghĩa 1.15. Hai lũy đẳng e và f của vành R được gọi là trực giao
với nhau nếu e f = f e = 0.
Nếu lũy đẳng e = 0 của vành R khơng phân tích được thành tổng của
hai lũy đẳng khác 0 trực giao với nhau, thì e được gọi là lũy đẳng nguyên
thủy. Lũy đẳng e ∈ R được gọi là lũy đẳng địa phương nếu eRe là một vành
địa phương. Tập {e1 , . . . , en , . . .} các lũy đẳng của vành R được gọi là
trực giao nếu ei e j = 0 với mọi cặp i = j. Tập {e1 , . . . , en , . . .} các lũy đẳng
nguyên thủy trực giao của R được gọi là đầy đủ nếu 1 = e1 + · · · + en .
Định nghĩa 1.16. Vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R là vành nửa
địa phương và mọi phần tử lũy đẳng của R/ J ( R) có thể nâng được theo
môđun J ( R).
Mệnh đề 1.5.
1. Nếu R là vành Artin trái (phải) thì R là vành nửa địa phương và J ( R) là
lũy linh.
2. Nếu R là vành địa phương thì R/ J ( R) là vành chia và R là nửa địa phương.
Hơn nữa, R là vành nửa hoàn chỉnh.
Định nghĩa 1.17. Tập con A của vành R được gọi là T-lũy linh trái (phải)
nếu với mọi dãy phần tử { a1 , a2 , a3 , . . .} ⊆ A, luôn tồn tại n ∈ Z+ sao
cho a1 a2 . . . an = 0 ( an . . . a2 a1 = 0).
Định nghĩa 1.18. Vành R được gọi là vành hoàn chỉnh phải (trái) nếu
R/ J ( R) là vành nửa đơn và J ( R) là T-lũy linh phải (trái).
Nếu R là vành hồn chỉnh hai phía thì R là vành hoàn chỉnh.
Kết quả dưới đây là đặc trưng vành hoàn chỉnh của Bass.
Định lý 1.5 ([1],Định lý 28.4). Cho vành R. Khi đó, các phát biểu sau đây là
tương đương

12

(i) R là vành hồn chỉnh trái.
(ii) Mọi R−mơđun trái đều có một phủ xạ ảnh.
(iii) R thỏa mãn DCC trên các ideal phải chính.
(iv) Mọi R−mơđun phải khơng tầm thường đều chứa một môđun con cực tiểu
và R không chứa một tập vô hạn các lũy đẳng trực giao.
Mệnh đề 1.6. Vành nửa nguyên sơ là vành hoàn chỉnh. Do đó, vành Artin một
phía là vành hồn chỉnh. Vành hồn chỉnh một phía là vành nửa hồn chỉnh.

1.6

Vành Goldie và vành QF

Một R-môđun M được gọi là chiều Goldie hữu hạn n, kí hiệu
u · dim ( M = n) hoặc G · dim ( M) = n,
tồn tại n môđun con đều Mi của M sao cho
n

Mi ≤e M.
i =1

Khi R R có chiều Goldie hữu hạn thì ta gọi u · dim ( R R ) là chiều phải của
vành R.
Định nghĩa 1.19. R được gọi là vành Goldie phải nếu R có điều kiện dây
chuyền tăng trên linh hóa tử phải và có chiều Goldie hữu hạn.
Định nghĩa 1.20. R được gọi là vành CEF phải nếu mỗi R-môđun xiclic
nhúng cốt yếu được trong một môđun xạ ảnh.

Định nghĩa 1.21. R được gọi là vành QF nếu R thỏa mãn điều kiện dây
chuyền tăng trên iđêan phải và R là tựa nội xạ phải.
Các kết quả dưới đây, được đưa ra bởi Faith và Walker năm 1967, chỉ
ra rằng trên vành QF thì các lớp mơđun nội xạ và xạ ảnh trùng nhau.
Định lý 1.6. Các điều kiện sau là tương đương:
(1) R là vành QF,


13

(2) Mỗi R-môđun nhúng được trong một môđun xạ ảnh,
(3) Mỗi R-môđun xạ ảnh là nội xạ,
(4) Mỗi R-môđun nội xạ là xạ ảnh.
Định lý 1.7. R là vành QF nếu và chỉ nếu R là vành CEF phải và trái.
Định nghĩa 1.22. R được gọi là vành CF nếu mỗi R-mơđun xiclíc nhúng
được trong một mơđun tự do.


Chương 2
Môđun không bé, môđun không đối bé
Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm và một số tính chất
cơ bản của môđun không bé, môđun không đối bé. Các kết quả chương
này được trình bày dựa vào [1],[7], [11], [13].

2.1

Môđun không bé

Định nghĩa 2.1. Môđun N được gọi là mơđun bé (small module) nếu
N

E( N ), trong đó E( N ) là bao nội xạ của N. Ngược lại, N được gọi
là môđun không bé (non-small module) nếu N
E ( N ).
Tiếp theo, chúng ta xem xét một số kết quả về môđun không bé.
Trước hết chúng ta xét các điều kiện tương đương sau đây.
Mệnh đề 2.1. Cho M là một R−môđun. Những điều kiện sau đây là tương
đương
(i) M là một môđun không bé;
(ii) M không là mơđun con đối cốt yếu của bất kì mơđun mở rộng M nào của
M;
(iii) Tồn tại một môđun nội xạ E chứa M, thỏa mãn M không đối cốt yếu trong
E.
Chứng minh. Chứng minh (i) ⇒ (ii)
Giả sử có M ≥ M, ta cần chứng minh M
E( M ) = E ( M)
14

M . Ta có
E1 ,


15

với E1 là mơđun con nào đó của E( M ). Vì M
E( M) nên M
Do đó, tồn tại A ≤ E M , A = E M sao cho
A+M = E M

E ( M ).

.

Mặt khác, do M ≤ M nên suy ra M + A M = M và A
M . Vì nếu A M = M thì phải có M ≤ A và do đó, từ

M

=

A+M = E M
ta thu được A = E M , mâu thuẫn. Vậy M
minh.
Chứng minh (ii) ⇒ (i)⇒ (iii). Rõ ràng.

M và ii) được chứng

Chứng minh (iii) ⇒ (i). Giả sử có mơđun nội xạ E chứa M, thỏa mãn
M
E. Khi đó ta có
E = E( M)
E1 ,
với E1 là mơđun con nào đó của E. Từ đó suy ra M
mơđun không bé.

E( M), hay M là

Mệnh đề 2.2. Giả sử có đơn cấu f : M → Q và tồn cấu p : P → M. Khi
đó, nếu M là mơđun khơng bé thì Q và P cũng là các môđun không bé.
Chứng minh. Gọi i : Q → E( Q) là bao nội xạ của Q, j : M → E( M ) là
bao nội xạ của M. Khi đó

i · f : M → E( Q)
là đơn cấu. Do tính nội xạ của E( M) nên tồn tại đồng cấu h : E( Q) →
E( M) thỏa mãn
h · i · f = j,
tức biểu đồ sau giao hoán.
0

G

G

M


E( M)

v

Q

G

E( Q)


16

Từ đó ta có: M ≤ h( Q) ≤ E( M). Như vậy, nếu M là mơđun khơng bé
thì Q là mơđun khơng bé. Vì nếu ngược lại thì h( Q)
E( M), kết hợp

với M ≤ h( Q) suy ra M
E( M) và điều này là mâu thuẫn.
Gọi λ : P → E( P) là bao nội xạ của P. Do tính nội xạ của E( M) nên
tồn tại đồng cấu µ : E( P) → E( M) thỏa mãn
µ · λ = j · p,
tức biểu đồ sau giao hốn.
0

G

P

G

E( P)



M
 Ĩ

E( M)
Từ đó, ta có
µ · λ ( P ) = j · p ( P ),
suy ra µ( P) = M ≤ E( M ). Như vậy, nếu M là mơđun khơng bé thì P là
mơđun khơng bé. Vì nếu ngược lại thì µ( P)
E( M), suy ra M
E( M)
và điều này là mâu thuẫn.
Mệnh đề 2.3. Nếu p : P → E là một phủ xạ ảnh của mơđun nội xạ E, thì mỗi

hạng tử trực tiếp khác không của P là một môđun không bé.
Chứng minh. Giả sử P = X Y, trong đó X = 0, X là mơđun bé. Khi đó
X là mơđun con đối cốt yếu trong P, do đó p( X ) là mơđun con đối cốt
yếu trong E. Từ đó ta có
E = p ( X ) + p (Y ) = p (Y ) .
Mặt khác ta có
P = p−1 ( E) = p−1 p(Y ) = Y + ker p,
do ker p
P nên suy ra Y = P và điều này là mâu thuẫn với X = 0.
Vậy, mệnh đề được chứng minh.


17

Mệnh đề 2.4. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh. Nếu M là một mơđun bé xạ
ảnh khơng phân tích được và E( M) có một phủ xạ ảnh, thì M được chứa trong
n

i =1

Mi , trong đó mỗi Mi là một mơđun khơng bé xạ ảnh khơng phân tích được.

Chứng minh. Giả sử M là một môđun bé xạ ảnh khơng phân tích được
và p : P → E( M) là phủ xạ ảnh của bao nội xạ của M. Khi đó ta có
P=

ei R,
i∈ I

trong đó ei R, i ∈ I, là các môđun xạ ảnh không phân tích được. Khi đó,

các ei R, i ∈ I, là các mơđun khơng bé. Vì M xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu
h : M → P, sao cho
p · h = i,
trong đó i : M → E( M) là bao nội xạ của M, tức biểu đồ sau giao hốn
M
P

|
G



E( M)

G 0.

Từ đó suy ra h là một đơn cấu. Ngồi ra, do M xạ ảnh, khơng phân tích
được nên Mlà mơđun xyclic. Do đó, tồn tại tập hữu hạn {1, 2, . . . , n} ⊂ I
sao cho
n

M≤

Mi ,
i =1

trong đó Mi

2.2

ei R với i = 1, n.

Môđun không đối bé

Trong mục này, chúng ta xem xét đối ngẫu của mô-đun không bé.
Định nghĩa 2.2. Môđun M được gọi là đối bé nếu tồn tại mô-đun xạ
ảnh P và toàn cấu p : P −→ M thỏa mãn ker p ≤e P.
Định nghĩa 2.3. Môđun M được gọi là môđun không đối bé (noncosmall) nếu với mọi toàn cấu f : P −→ M với P là mô-đun xạ ảnh,
ker f không cốt yếu trong P.


18

Từ định nghĩa mơđun khơng đối bé, ta có kết quả sau.
Mệnh đề 2.5. Cho M là R-môđun phải và N là một mơđun con của M. Khi
đó,
(1) Nếu N khơng đối bé thì M cũng khơng đối bé.
(2) Nếu M/N khơng đối bé thì M cũng khơng đối bé.
Chứng minh. (1) Giả sử M đối bé, khi đó tồn tại mơđun xạ ảnh P và tồn
cấu p : P → M thỏa mãn ker p≤e P.
Đặt Q = p−1 ( N ) = x ∈ P| p( x ) ∈ N , ta có Q ≤ P. Xét
q = p|Q : Q → N, q( x ) = p( x ), ∀ x ∈ Q.
Ta có q là tồn cấu và rõ ràng ker q ≤e Q. Điều này mâu thuẫn với
N không đối bé. Vậy M không đối bé.
(2) Giả sử M đối bé, khi đó tồn tại mơn đun xạ ảnh P và tồn cấu p :
P −→ M sao cho ker p ≤e P. Đặt M = M/N. Xét toàn cấu tự nhiên,
π : M −→ M. Khi đó, dựa vào tính chất xạ ảnh của mơđun P, ta xây
dựng được tồn cấu f : P −→ M sao cho ker f ≤e P, điều này mâu
thuẩn với giả thiết M là môđun không đối bé.
Kết quả dưới đây, cho chúng ta điều kiện cần và đủ để một môđun là

môđun không đối bé.
Mệnh đề 2.6 ([11], Mệnh đề 2.4). M là không đối bé nếu và chỉ nếu M =
Z ( M ).
Chứng minh. Như chúng ta đã biết rằng, mô-đun M là suy biến khi và
chỉ khi tồn tại toàn cấu ϕ : L −→ M sao cho ker ϕ ≤e L, [xem [6], Mệnh
đề 1.20 (b)]. Từ đây, chúng ta nhận được kết quả của bổ đề.
Mọi môđun xạ ảnh là không đối bé và do vậy mọi môđun chứa một
môđun con xạ ảnh đều là môđun không đối bé. Bây giờ chúng ta xem
xét trường hợp ngược lại.


19

• (∗)∗ : Mọi R− mơđun phải khơng đối bé đều chứa một mơ-đun con
xạ ảnh.
• (∗∗)∗ : Mọi mơ-đun xạ ảnh khơng phân tích được là đều.

Bổ đề 2.1. Giả sử chúng ta có (∗)∗ . Khi đó mọi môđun xạ ảnh địa phương là
đều.
Chứng minh. Giả sử P là mơđun thỏa giả thiết. Khi đó J ( P) là môđun
con cực đại của P. Lúc này, P/K là mơđun khơng phân tích được, với
mọi mơđun con K của P.
Gọi K1 , K2 là các môđun con của P sao cho K1 ∩ K2 = 0. Khi đó, P/K1
là môđun con không đối bé nếu K2 = 0. Do vậy, P/K1 là môđun xạ ảnh.
Suy ra K1 = 0.
Bổ đề 2.2. Nếu P thỏa điều kiện (∗)∗ thì P chưa một iđêan phải xạ ảnh và một
iđêan phải nội xạ.
Chứng minh. Đặt E = E( R). Khi đó E = Z ( E) vậy E là tổng trực tiếp
của một mơđun xạ ảnh với mơđun P. Vì P là tổng của mơđun tự do và
là nội xạ, do đó R là chứa một tổng trực tiếp đẳng cấu với tổng P.

Kết quả dưới đây, cho chúng ta điều kiện cần và đủ để môđun M là
môđun không đối bé khi có (∗∗)∗ .
Mệnh đề 2.7. Cho R là vành nửa hồn chỉnh thỏa mãn điều kiện (∗∗)∗ . Khi
đó M là môđun không đối bé khi và chỉ khi M chứa một môđun con xạ ảnh.
Chứng minh. Gọi M là một mơđun con khơng đối bé. Khi đó M chứa
một môđun con không đối bé xyclic mR. Gọi
f

0 ← mR ←
−

ei R

là phủ xạ ảnh của mR.
Vì ker f không cốt yếu trong ei R, ker f ∩ e j R không cốt yếu trong
e j R với j nào đó. Do vậy, ker f ∩ e j R = 0 và M chứa một môđun con
đẳng cấu với e j R.


20

Mệnh đề 2.8. Giả sử chúng ta có (∗)∗ . Khi đó, mọi mơđun con xạ ảnh đều
P hoặc Z( P) = 0 hoặc Z P/(Z(P)) = P/(Z( P)). Mọi môđun con không
chứa trong Z( P) đều xạ ảnh.
Chứng minh. Lấy T ⊂ P. Khi đó, T là mơđun khơng đối bé và T khơng
phân tích được. Do vậy T xạ ảnh. Lấy Ki là môđun con chứa Z ( P) (i =
1, 2). Khi đó Ki xạ ảnh.
Mặt khác, đặt K = K1 ∩ K2 , xét đồng cấu tự nhiên
K1

K2 −→ K1 + K2 −→ 0,

trong đó ϕ = 1K1 − 1K2 . Khi đó ker ϕ ∼
= K. Vì K1 + K2 xạ ảnh nên K xạ
ảnh. Do vậy, K = Z ( P). Do đó Z ( P) khả nghịch và P/Z( P) khơng phân
tích được. Do vậy
P/(Z(P))) = P/(Z( P))
nếu như Z ( P) = 0.


Chương 3
Áp dụng vào vành
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một ứng dụng mơđun khơng
bé vào vành nửa hồn chỉnh và đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh QF − 3.
Trong chương này, chúng ta tập trung vào nghiên cứu các điều kiện (∗)
và (∗)∗ , các điều kiện này đã được Harada chỉ ra trong [7].
• (∗): Mọi R− mơđun phải khơng bé đều chứa một mơ-đun con nội
xạ.
• (∗)∗ : Mọi mô-đun không đối bé chứa tổng trực tiếp của modules
xạ ảnh khác 0.

Các kết quả ở đây, được trình bày dựa vào [2], [7], [13]

3.1

Về đặc trưng vành co-H

Trong mục này, chúng tơi trình bày một số đặc trưng của vành co− H.
Định nghĩa 3.1. Vành R được gọi là H phải nếu R là vành Artin phải và
thỏa mãn điều kiện (∗). Vành R được gọi là co− H phải nếu R thỏa mãn

điều kiện (∗)∗ và trên các linh hóa tử phải.
Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng lớp các vành co− H là một mở rộng thực
sự của lớp các vành QF.
Ví dụ 3.1.1. Xét vành QF địa phương
Q = K x, y
21

x 2 , y2 ,


22

trong đó K là một trường.
Đặt
J = J ( Q) , S = Soc QQ

= Soc

QQ

Q = Q/S = a| a = a + S, ∀ ∈ S
Ta định nghĩa T, V, W như sau


Q Q
=
T =

J Q



Q Q
=
T =

J Q


Q Q
T =
=

J Q

a b
d c

a, b, c ∈ Q; d ∈ J

a b
d c

a, b, c ∈ Q; d ∈ J

a b
d c

a, b, c ∈ Q; d ∈ J











,

(3.1)

,

(3.2)

.

(3.3)



Khi đó,
(i) T là vành QF.
(ii) V là vành H và co− H (phải và trái).
(iii) W là vành H trái và co− H phải. Tuy nhiên, W không là vành H
phải cũng không là co− H trái.
(iv) V, W khơng là vành QF.
Ta có, mọi vành QF đều là vành co-H hai phía và quan hệ giữa H và
co- H như sau.

• co− H phải ⇒ H trái;
• co− H phải = H phải

Kết quả dưới đây, được đưa ra bởi Harada, cho chúng ta cấu trúc của
vành nửa hoàn chỉnh thỏa mãn điều kiện (∗)∗ .


23

Định lý 3.1 ([7], Định lý 3.6). Cho vành R nửa hồn chỉnh. Khi đó R thỏa
mãn điều kiện (∗)∗ khi và chỉ khi

···

R R = e1 R

ek R

f1 R

···

f l R,

trong đó {e1 , . . . , ek } ∪ f 1 , . . . , f l là tập đầy đủ các lũy đẳng nguyên thủy
trực giao của R sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) k ≥ 1 và với mọi i ∈ [1, k ], ei R là nội xạ.
(ii) Với bất kỳ f j đều tồn tại ei , i = 1, . . . , k, sao cho f i R

ei R.

(iii) Với mỗi i, 1 ≤ i ≤ k, tồn tại số nguyên ti sao cho ei J t là mô-đun xạ ảnh
với mọi t ≤ ti và ei J ti +1 là mô-đun suy biến, tức là J = J ( R).
Chứng minh. Giả sử (∗)∗ xảy ra. Khi đó, tồn tập một tập đầy đủ các lũy
linh nguyên thủy {ei } sao cho ei R là nội xạ. Đặt e = ei và eK là môđun
con nội xạ thực sự của eR. Khi đó
eR ⊃ eJ ⊃ eK.
Vì eR đều và eK ⊂ Z (eR) nên eJ là mơđun xạ ảnh, theo Mệnh đề 2.8.
Ta có eJ
f R và eJ 2 là môđun con cực đại duy nhất của eJ. Do vậy,
chúng ta có duy nhất dây chuyền
eR ⊃ eJ ⊃ eJ 2 ⊃ · · · ⊃ eJ t ⊃ eK
với eJ i là nội xạ, i = 1, . . . , t.
Nếu eJ i
eJ j thì đẳng cấu này được mở rộng lên một đẳng cấu của
eR. Do vậy i = j. Điều này chỉ ra rằng, chúng ta có thể tìm được một giá
trị m nào đó sao cho eJ m xạ ảnh và eJ m+1 đối bé, tức là suy biến.
Nếu f j R khơng nội xạ thì f j R chứa trong ei R nào đó. Do vậy f j R ∼
=
ei J ti . Ngược lại, gọi M là môđun khơng đối bé. Khi đó, tồn tại m ∈ M
và một lũy linh nguyên thủy g sao cho gmR đối bé. Vì gR là đều nên
mgR eR và gR ei J t . Do vậy, chúng ta có biểu đồ giao hoán
0

G

G

mgR


ei


∼
=
}
t
J

ei R

h

M