Một số bất đẳng thức hình học và ứng dụng trong giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

BÙI ANH TRƯỜNG

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN
SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - Năm 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

BÙI ANH TRƯỜNG

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN
SƠ CẤP

Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 84601113

NGƯỜI HƯỚNG DẪN:
TS. NGUYỄN HỮU TRỌN


Mục lục

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Các định lý về trung bình số học và trung bình hình học . . . . .

6

1.2

Tỉ số lượng giác của một góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Một số đẳng thức, bất đẳng thức cơ bản trong hình học . . . . . . 12

2 Các định lý đẳng chu

18

2.1

Cực đại và cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2

Các định lý đẳng chu trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3

Các định lý đẳng chu trong đa giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4

Các định lý đẳng chu trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Đối xứng hóa và các vấn đề liên quan

44

3.1

Phép đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2

Bài toán Dido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3

Đối xứng hóa Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4

Tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1


2

4 Các bài toán và lời giải

58

4.1

Một số bài toán sử dụng định lý đẳng chu . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2

Một số bài toán sử dụng nguyên lý phản xạ . . . . . . . . . . . . . 65

KẾT LUẬN

77

TÀI LIỆU THAM KHẢO

77

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)


Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giải
cho phép sử dụng và chưa từng được cơng bố trong bất kỳ một cơng trình
nào khác.
Tác giả luận văn

Bùi Anh Trường

3


Lời nói đầu
Hình học là một phân nhánh của Tốn học liên quan đến các câu hỏi về
hình dạng, kích thước, vị trí tương đối của các hình khối, và các tính chất
của nó. Hình học phát triển độc lập trong một số nền văn hóa cổ đại như
một phần của kiến thức thực tiễn liên quan đến chiều dài, diện tích, và thể
tích,... Từ nhu cầu khoa học thực tiễn liên quan đến khảo sát, đo đạc, diện
tích, và khối lượng. Những thành tích đáng chú ý nhất trong giai đoạn đầu
của hình học bao gồm các cơng thức về độ dài, diện tích và thể tích,... Các
nhà tốn học cũng nhận ra rằng các đánh giá về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất hay so sánh giữa các đại lượng hình học cũng đóng vai trị quan trọng
và nhiều khi quan trọng hơn cả các đẳng thức.
Luận văn tập trung nghiên cứu về các định lí đẳng chu trong hình học và

các vấn đề liên quan. Trong thực tế ta có thể bắt gặp định lí đẳng chu khá
thường xuyên ví dụ con mèo trong đêm lạnh, thường cuộn mình lại khá giống
hình cầu, hiển nhiên con mèo làm vậy để giữ nhiệt, làm nhiệt lượng thoát
ra khỏi bề mặt là nhỏ nhất và nó khơng hề có ý định làm giảm thể tích của
bản thân nó,... Rõ ràng, nó làm ta liên tưởng đến định lí: "Trong các vật thể
có cùng thể tích thì hình cầu có diện tích bề mặt nhỏ nhất". Luận văn trình
bày lại một cách có sắp xếp, hệ thống lý thuyết về định lý đẳng chu và các
bất đẳng thức hình học liên quan. Luận văn trình bày trong 75 trang, gồm:
Lời nói đầu, 4 chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày các kiến thức chuẩn
bị về bất đẳng thức AM - GM, các hệ thức lượng trong tam giác, tỉ số lượng
giác của một góc,... làm cơ sở, cơng cụ chứng minh các định lý trong luận
văn.
Chương 2: Các định lý đẳng chu. Chương này trình bày lý thuyết về cực
đại và cực tiểu, trình bày và chứng minh các định lý đẳng chu trong tam giác
4


5

và đa giác và mở rộng sang một số lớp hình trong khơng gian như tứ diện,
lăng trụ tứ giác.
Chương 3: Đối xứng hóa và các vấn đề liên quan. Chương này trình
bày về nguyên lý phản xạ như là một phương pháp hình học để tiếp cận lời
giải một lớp bài tốn, định lý hình học một cách đơn giản dễ hình dung.
Chương 4: Các bài tốn và lời giải. Chương này trình bày hệ thống các
bài tốn hình học sơ cấp, cực trị hình học có thể tiếp cận bằng định lý đẳng
chu và phép đối xứng,... tạo nguồn tư liệu học tập, nghiên cứu cho học sinh.
Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy TS.
Nguyễn Hữu Trọn, người luôn nhắc nhở, động viên, giúp đỡ tơi trong q

trình nghiên cứu để tơi có thể hồn thành luận văn này. Tơi cũng xin bày tỏ
lịng biết ơn đối với q thầy cơ trong khoa Tốn và Thống kê, phịng Sau
đại học trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt là quý thầy cô đã trực tiếp giảng
dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 21. Cuối cùng tơi tỏ lịng biết ơn đến gia
đình, người thân và bạn bè đã luôn ủng hộ, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi về
mọi mặt trong suốt thời gian tơi học thạc sĩ cũng như hồn thành luận văn
này.
Mặc dù tơi đã rất cố gắng nhưng vì khả năng và thời gian cịn hạn chế nên
luận văn khơng thể tránh khỏi các thiếu sót. Tơi rất mong nhận được những
ý kiến, góp ý của q thầy cơ và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Ngày 5 tháng 9 năm 2020
Học viên thực hiện

Bùi Anh Trường


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản hữu dụng
cho các chương sau như: Định lý về trung bình số học và trung bình hình
học, tỉ số lượng giác, một số đẳng thức cơ bản trong hình học. Các kết quả
trong chương này được trình bày dựa vào [4], [7].

1.1

Các định lý về trung bình số học và trung bình
hình học

Định nghĩa 1.1.1. Trung bình số học A của n số a1 , · · · , an là

a1 + a2 + · · · + an
.
n
Trung bình số học của một tập hợp các số thực còn được gọi là trung bình
cộng của các số đó.
Định lý 1.1.2. Tích của n số dương với tổng cho trước là lớn nhất khi các
n

số ấy bằng nhau. Cụ thể, nếu ai > 0 (i = 1, · · · , n) và

ai = nA khơng
i=1

đổi thì

a1 · a2 · · · an ≤ A n .

(1.1)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an .
Hiểu theo nghĩa hình học, trong tất cả các hình hộp n chiều có tổng độ
dài các cạnh khơng đổi thì khối hộp n chiều có thể tích lớn nhất. Một cách
6


7

phát biểu hình học tương đương khác là: "Nếu một đoạn thẳng có độ dài cho
trước được chia thành hữu hạn các đoạn thẳng nhỏ có độ dài nhỏ hơn thì
tích các độ dài các đoạn thẳng ấy là lớn nhất khi các đoạn thẳng được chia

có độ dài bằng nhau".
Chứng minh.
n

Xét các số dương a1 , a2 , · · · , an và

ai = nA không đổi.
i=1

Nếu ai = A, i = 1, 2, · · · , n thì dấu = trong (1.1) xảy ra.
Nếu có ai = A thì sẽ có ít nhất một số lớn hơn A và một số nhỏ hơn A. Giả
sử là a1 và a2 . Đặt a1 = A − h, a2 = A + k trong đó h, k > 0.
Tiếp tục đặt a1 = A, a2 = A + k − h.
Khi đó

a1 + a2 = 2A + k − h = a1 + a2 ,
và

n

a1 + a2 + a3 + · · · + an =

ai = nA.
i=1

Rõ ràng a1 , a2 là các số dương. Đồng thời ta được một tập hợp mới gồm n
số dương thỏa mãn tổng của chúng bằng tổng của n số dương ban đầu. Ta
cần chứng minh

a1 a2 > a1 a2 .

Thật vậy, ta có:

a1 a2 = A (A + k − h) = A2 + (k − h) A,
a1 a2 = (A − h) (A + k) = A2 + (k − h) A − hk.
Suy ra

a1 a2 = a1 a2 + hk > a1 a2 .
Vì vậy

a1 · a2 · a3 · · · an > a1 · a2 · a3 · · · an .
Bây giờ nếu A = a1 = a2 = a3 = · · · = an thì (1.1) đúng. Ngược lại tồn tại
ít nhất một số lớn hơn A và một số nhỏ hơn A. Giả sử b1 , b2 . Lặp lại chứng
minh trên với hai số b1 , b2 ta cũng tìm được một tập hợp các số dương mới
thỏa mãn tổng của chúng bằng tổng n số dương ban đầu và tích của chúng
lớn hơn a1 · a2 · a3 · · · an .
Tiếp tục lặp lại quá trình trên (nhiều nhất n − 1 lần) ta sẽ được n số dương


8

bằng nhau và bằng A và có tích lớn hơn tích của n số dương khác có cùng
tổng.
Định lý 1.1.3. Tổng của n số thực dương có tích bằng 1 luôn lớn hơn hoặc
bằng n. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tất cả các số bằng nhau và bằng 1.
n

Cụ thể, nếu ai > 0, i = 1, · · · , n và a1 · a2 · · · an = 1 thì

ai ≥ n.
1

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ai = 1, ∀i = 1, 2, · · · , n.
Hiểu theo nghĩa hình học: "Nếu thể tích của một hình hộp chữ nhật n
chiều (khối hộp chữ nhật) là 1, thì tổng chiều dài các cạnh đạt giá trị nhỏ
nhất khi nó là khối n chiều".
Chứng minh.
Ta có ai
0, ∀i = 1, 2, · · · , n và a1 · a2 · · · an = 1. Ta cần chứng minh
n

ai ≥ n.
i=1

Dấu = xảy ra khi ai = 1, ∀i = 1, 2, · · · , n.
Ta chia mỗi số cho tổng của chúng, khi đó ta được n số mới có tổng bằng 1
và áp dụng Định lý 1.1.2.
Đặt
n

s=

ai , bi =
i=1

Ta có

1
n

n

i=1

1
bi =
n

n

i=1

ai
,
s

ai
1 s
1
= · = .
s
n s n

Áp dụng Định lý 1.1.2 ta có

b1 · b2 · · · bn ≤

1
n

n

.

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b1 = b2 = · · · = bn =
Tức là

a1 · a2 · a3 · · · an
≤
s · s · s···s

1
n

1
.
n

n

.

Vậy

n ≤ s.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ai = 1, ∀i = 1, 2, · · · , n.


9

Định nghĩa 1.1.4. Trung bình hình học G của n số dương a1 , a2 , · · · , an là

căn bậc n của tích của chúng. Tức là

G=

√
n

a1 · a2 · · · an .

Các Định lý 1.1.2 và Định lý 1.1.3 tương đương với định lý nổi tiếng về
trung bình số học và trung bình hình học.
Định lý 1.1.5. (Bất đẳng thức AM - GM) Trung bình hình học của n
số dương khơng vượt q trung bình số học của chúng. Dấu ” = ” xảy ra khi
và chỉ khi tất cả các số dương bằng nhau.
Chứng minh.
Ta cần chứng minh

G ≤ A.
Áp dụng Định lý 1.1.2 suy ra điều phải chứng minh.

1.2

Tỉ số lượng giác của một góc

Cho α và β là những góc lượng giác sao cho các cơng thức có nghĩa. Khi
đó ta có các công thức dưới đây

Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản

sin2 α + cos2 α = 1,

tan α =

sin α
,
cos α

tan α · cot α = 1,

1
1
2
=
1
+
tan
α,
= 1 + cot2 α.
2
2
cos α
sin α
Quan hệ lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt
a. Hai góc đối nhau (α và −α)

sin(−α) = − sin α,


10

cos(−α) = cos α,
tan(−α) = − tan α,
cot(−α) = − cot α.
b. Hai góc bù nhau (α và π − α)

sin(π − α)
cos(π − α)
tan(π − α)
cot(π − α)
c. Hai góc phụ nhau (α và

=
=
=
=

sin α,
− cos α,
− tan α,
− cot α.

π
− α)
2

π
sin( − α)
2
π
cos( − α)

2
π
tan( − α)
2
π
cot( − α)
2

= cos α,
= sin α,
= cot α,
= tan α.

d. Hai góc hơn kém nhau π (α và π + α)

sin(π + α)
cos(π + α)
tan(π + α)
cot(π + α)

=
=
=
=

− sin α,
− cos α,
tan α,
cot α.

Cơng thức cộng góc
a. sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β,
b. cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β,
c. tan(α ± β) =

tan α ± tan β
.
1 ∓ tan α tan β


11

Cơng thức góc nhân đơi
a. sin 2α = 2 sin α cos α,
b. cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α,
c. tan 2α =

2 tan α
.
1 − tan2 α

Công thức hạ bậc

sin2 α =

1 + cos 2α
1 − cos 2α
1 − cos 2α
, cos2 α =
, tan2 α =

.
2
2
1 + cos 2α

Cơng thức góc nhân ba
a. sin 3α = −4 sin3 α = 3 sin α,
b. cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α.

Liên hệ giữa sin 2α, cos 2α và tan α
a. sin 2α =

2 tan α
,
1 + tan2 α

1 − tan2 α
b. cos 2α =
.
1 + tan2 α
Cơng thức biến đổi tích thành tổng
1
2
1
b. sin α sin β = [cos(α − β) − cos(α + β)].
2

a. cos α cos β = [cos(α − β) + cos(α + β)],

12

Cơng thức biến đổi tổng thành tích
α±β
α±β
cos
,
2
2
α+β
α−β
b. cos α + cos β = 2 cos
cos
,
2
2
α+β
α−β
c. cos α − cos β = −2 sin
sin
.
2
2
a. sin α ± sin β = 2 sin

1.3

Một số đẳng thức, bất đẳng thức cơ bản trong
hình học

Cho ∆ABC . Kí hiệu độ dài các cạnh BC = a, CA = b, AB = c, độ dài
đường cao tương ứng kẻ từ đỉnh A, B, C lần lượt là ha , hb , hc , độ dài đường
trung tuyến tương ứng là ma , mb , mc , bán kính đường trịn ngoại tiếp tam
giác là R, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác là r, nửa chu vi tam giác

p=

a+b+c
. Khi đó, ta có các kết quả sau.
2

Định lý 1.3.1. (Bất đẳng thức tam giác)

|a − b| < c < a + b,
|b − c| < a < b + c,
|c − a| < b < c + a.
Mở rộng bất đẳng thức tam giác ta được bất đẳng thức ba điểm cho ta
đánh giá chặt chẽ hơn.
Định lý 1.3.2. (Bất đẳng thức ba điểm) Trong mặt phẳng cho ba điểm
A, B, C . Khi đó, ta có

AB + BC ≥ BC.
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng.
Định lý 1.3.3. (Cơng thức tính diện tích tam giác)

SABC =

1
1
1

aha = bhb = bhb
2
2
2


13

1
1
1
ab sin C = bc sin A = ca sin B
2
2
2
abc
= pr =
4R
=

=

p(p − a)(p − b)(p − c).

(Công thức Heron)

Định lý 1.3.4. (Công thức Heron) Cho giác ABC bất kỳ, ta có:
2

16T 2 = (a + b) − c2

2

c2 − (a − b) ,

(1.2)

16T 2 = P (P − 2a) (P − 2b) (P − 2c) .

(1.3)

và
trong đó T = SABC , P = 2p.
Chứng minh.

Hình 1.1

Gọi ha là độ dài của đường cao AH , xem hình (1.1). Đặt e = HC , khi đó
2

c2 − (a − e) = h2a = b2 − e2 .
Vì vậy, c2 − a2 + 2ae = b2 hay e =

1 2
a + b2 − c2 , do a = 0).
2a


14

1
2

Ta có T = SABC = aha , thay h2a = b2 − e2 ta được,

2T
⇒ 4T 2

= aha ,
= a2 h2a = a2 (b2 − e2 ) = a2 b2 −
2

1 2
(a + b2 − c2 ) ,
2
4a

⇒ 16T 2 = 4a2 b2 − (a2 + b2 − c2 )
= [2ab + (a2 + b2 − c2 )] [2ab − (a2 + b2 − c2 )]
2
2
= (a + b) − c2 c2 − (a − b)
= (a + b + c) (a + b − c) (c + a − b) (c − a + b)
= P (P − 2a)(P − 2b)(P − 2c).
Công thức (1.2) và (1.3) đã được chứng minh.
Chúng ta thường quen thuộc với công thức Heron ở dạng sau

SABC =

p(p − a)(p − b)(p − c).

Ta có thể chứng minh cơng thức trên bằng cách chia cả hai vế của (1.3) cho
16 sau đó lấy căn bậc hai của hai vế và lưu ý P = 2p.
Định lý 1.3.5. (Định lý hàm số cos trong tam giác)

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A,
b2 = c2 + a2 − 2ca cos B,
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.
Định lý 1.3.6. (Định lý hàm số sin trong tam giác)

a
b
c
=
=
= 2R.
sin A sin B
sin C
Định lý 1.3.7. (Công thức đường trung tuyến)

b2 + c2 a2
=
− ,
2
4
2
2
c +a
b2
m2b =

− ,
2
4
2
2
2
a
+
b
c
2
mc =
− .
2
4
m2a


15

Định lý 1.3.8. (Công thức Brahmagupta)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (C) với AB = a, BC = b, CD =
c, DA = d. Khi đó, diện tích tứ giác ABCD được cho bởi

SABCD =
trong đó p =

p(p − a)(p − b)(p − c)(p − d),

a+b+c+d

là nửa chu vi.
2

Chứng minh.

Ta có

1
1
SABCD = SADB + SBDC = ab sin A + cd sin C,
2
2
Do ABCD nội tiếp nên A + C = π . Suy ra sin A = sin C .
Vì vậy

1
(ab + cd) sin A
2
1
1
2
2
=
(ab + cd) sin2 A = (ab + cd) 1 − cos2 A .
4
4

SABCD =
2
⇒ SABCD

Do đó
2

2

2
4SABCD
= (ab + cd) − (ab + cd) cos2 A.

(1.4)


16

Sử dụng định lý hàm số cos cho hai tam giác ADB và BDC với cạnh
DB chung, ta có:

a2 + b2 − 2ab cos A = c2 + d2 − 2cd cos C.
Do A + C = π nên cos C = − cos A, từ trên suy ra

2(ab + cd) cos A = a2 + b2 − c2 − d2 .
Thay vào (1.4) ta được
2
16SABCD
= 4(ab + cd)2 − (a2 + b2 − c2 − d2 )2
= 2(ab + cd) + a2 + b2 − c2 − d2 2(ab + cd) − a2 − b2 + c2 + d2
= 2(ab + cd) + a2 + b2 − c2 − d2 2(ab + cd) − a2 − b2 + c2 + d2
= (a + b)2 − (c − d)2 (c + d)2 − (a − b)2
= (a + b)2 − (c − d)2 (c + d)2 − (a − b)2

= (a + b + c − d)(a + b − c + d)(a − b + c + d)(−a + b + c + d),

hay
2
16SABCD
= (2p − 2a)(2p − 2b)(2p − 2c)(2p − 2d).

Vì vậy

SABCD =

(p − a)(p − b)(p − c)(p − d).

Chú ý.
(a) Cơng thức Heron tính diện tích tam giác có thể được suy ra từ cơng thức
Brahmagupta nếu xem một cạnh của tứ giác, chẳng hạn, d bằng 0 (tam
giác được xem là một trường hợp đặc biệt của tứ giác nội tiếp khi một
cạnh của tứ giác nội tiếp bằng không).
(b) Công thức Brahmagupta mở rộng (hay được gọi là cơng thức Bretschneider) tính diện tích một tứ giác bất kì (khơng nhất thiết nội tiếp).

SABCD =
trong đó p =

(p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos2 θ,

a+b+c+d
, θ là nửa tổng hai góc đối của tứ giác.
2

17

Định lý 1.3.9. (Công thức Bretschneider)
Cho tứ giác ABCD với AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Khi đó, diện
tích tứ giác ABCD được cho bởi

SABCD =
trong đó p =

(p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos2 θ,

a+b+c+d
, θ là nửa tổng hai góc đối của tứ giác.
2


Chương 2
Các định lý đẳng chu
Trong chương này, chúng tôi trình bày lý thuyết về cực đại và cực tiểu,
trình bày và chứng minh các định lý đẳng chu trong tam giác và đa giác và
mở rộng sang một số lớp hình trong khơng gian như tứ diện, lăng trụ tứ giác.
Các kết quả chương này được trình bày dựa vào [6], [7], [9], [2], [3].

2.1

Cực đại và cực tiểu

Bài tốn xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong số những hình
chữ nhật có cùng diện tích như được đề cập trong mục 1.1 là một trong số
những bài toán về cực đại và cực tiểu trong hình học. Từ trước cơng ngun,

các nhà hình học người Hy Lạp đã nghiên cứu các bài toán dạng này. Tất
nhiên, người ta không chắc chắc rằng ai là người đầu tiên đã nêu ra các bài
toán liên quan đến cực đại và cực tiểu, nhưng nhiều bài toán đã xuất hiện
một cách tự nhiên trong xã hội nguyên thủy.
Ví dụ, điều gì làm cho khối trụ trở thành hình dạng của cuống hoa, thân
cây và nhiều vật thể tự nhiên khác? Vì sao những giọt nước nhỏ và bong bóng
nổi trong khơng khí đều (xấp xỉ) có hình cầu và vì sao một đàn tuần lộc lại
xếp thành hình trịn khi lồi sói tấn cơng chúng. Phải thừa nhận rằng những
vấn đề này chỉ liên quan đến toán học một cách gián tiếp, nhưng chúng vẫn
có khả năng khơi dậy tư duy tốn học. Cũng có những vấn đề liên quan đến
tốn học một cách trực tiếp hơn. Ví dụ như, hình dạng nào của một thửa
đất làm cho một hàng rào có độ dài cho trước rào quanh diện tích lớn nhất

18


19

và đâu là kích thước của vật chứa hình trụ để có thể chứa được dung tích
lớn nhất với một diện tích bề mặt cho trước. Bạn có thể nghĩ ra các vấn đề
khác không? Người Hy Lạp chủ yếu đã quan tâm về những hiện tượng tự
nhiên như sự sắp xếp các lục giác trong các ô của một tổ ong. Quá trình này
thường đưa ra những kết luận sai lầm, vì vậy cần phải tìm kiếm một lời giải
tốt hơn và mang tính tốn học nhiều hơn.
Bài tốn nền tảng của các vấn đề trên được chia làm hai loại:
1. Trong số các hình (khối) có một tính chất nhất định, đâu là hình (khối)
có diện tích (thể tích) lớn nhất?
2. Trong số tất cả các hình (khối) có cùng một tính chất nhất định, đâu
là hình (khối) có chu vi (diện tích bề mặt) nhỏ nhất?
Nói theo cách khơng chặt chẽ, những bài tốn này được gọi là những bài

tốn đẳng chu, có nghĩa là “có cùng chu vi”. Định lý đẳng chu nổi tiếng,
điều khiến cho nhân loại tốn mất hơn 2000 năm để chứng minh sau khi nó
được phát hiện, đưa ra lời giải cho nhiều câu hỏi trên đây.
Định lý 2.1.1. (Định lý đẳng chu trong mặt phẳng)
a. Trong số các hình có chu vi cho trước, hình trịn có diện tích lớn nhất.
b. Trong số các hình có diện tích cho trước, hình trịn có chu vi nhỏ nhất
Phát biểu trong khơng gian như sau.
Định lý 2.1.2. (Định lý đẳng chu trong không gian)
a. Trong số các khối có diện tích xung quanh cho trước, khối cầu có thể tích
lớn nhất.
b. Trong số các khối có thể tích cho trước, khối cầu có diện tích xung quanh
nhỏ nhất.
Trước khi tìm hiểu chi tiết hai kết quả trên, chúng ta cũng tìm hiểu sơ
qua về lịch sử của định lý nổi danh này. Euclid, người sống vào khoảng năm
300 TCN, được biết đến như là người đưa ra lời giải cho bài toán đẳng chu


20

trong hình chữ nhật và có lẽ rằng nó được được biết đến rất lâu trước đó.
Bởi nhiều trong số những định lý trong cuốn sách Cơ Sở của Euclid hóa ra
lại khơng phải là cơng trình của chính ơng. Archimedes (287-212 TCN), một
trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, đã biết phát biểu định
lý đẳng chu. Vào những năm đầu công nguyên, việc nghiên cứu cực đại và
cực tiểu trong hình học đã phát triển đáng kể. Trên thực tế, chúng ta biết
rằng Zenodorus (khoảng 200 TCN – 90 SCN) đã viết một cuốn sách tựa đề
Các Hình Khối Đẳng Chu. Khơng may thay, khơng cịn sót lại bất kỳ một
bản nào của cuốn sách này, nhưng những kết quả của ông đã được mô tả và
chứng minh lần nữa bởi Pappus vùng Alexandria (300 SCN). Chúng ta vẫn
còn giữ lại được các tác phẩm của ơng, [Pappus d’Alexandrie. La Collection

Mathématique (cuốn 5), hiệu đính bởi P. VerEcke, Brower, Paris (1933)]. Tất
nhiên Pappus biết định lý đẳng chu và thú vị hơn là ông ấy nghĩ rằng ơng ấy
có được cách chứng minh của định lý rằng: "Hình trịn có chu vi lớn hơn bất
kỳ đa giác nào có cùng chu vi".
Sau các cơng trình của các nhà hình học Hy Lạp, rất ít sự phát triển trong
vấn đề này, mãi cho đến cơng trình của Simon Lhuilier, một người Thụy Sĩ
sống vào cuối thế kỷ 18, và sau đó là người đồng hương Jacob Steiner (1796
- 1863). Phương pháp được Lhuilier và Steiner phát triển trong nghiên cứu
của mình có tầm ảnh hưởng lớn trong toán học và hiện tại vẫn đang được
sử dụng. Các phương pháp của Steiner về căn bản mang tính hình học hơn
là tính số học và phân tích, được gọi là các phương pháp tổng hợp. Nói cách
khác, ơng đã luận ra từ các tính chất hình học của các hình khối mà khơng
cần viện đến các định lý số học, giải tích và phương pháp hình học giải tích.
Thơng qua các phương pháp của mình, Steiner đã giải quyết được nhiều bài
tốn mà ngay cả giải tích, bộ môn được “phát minh” bởi Newton và Leibniz
vào thế kỷ 17, không đưa ra được lời giải. Mặt khác, công trình của Steiner
đã kích thích sự phát triển của tốn giải tích tốn học, đặc biệt là giải tích
biến phân. Điều này xuất phát từ một sai sót trong việc chứng minh định
lý đẳng chu, được phát hiện bởi nhà toán học người Đức Karl Weierstrass –
người sáng lập nên tính chặt chẽ của tốn học hiện đại. Để lấp đầy lỗ hổng
trong các phép chứng minh của Steiner, Weierstrass phải phát triển các phép
tính hơn nữa, đặt tồn bộ bộ môn dựa trên một cơ sở logic chặt chẽ. Cơng
trình của Steiner sở hữu nhiều sự hấp dẫn.


21

2.2

Các định lý đẳng chu trong tam giác

Trong mục này, chúng ta xem xét một số định lý đẳng chu trong tam giác.
Ta bắt đầu với kết quả sau.
Định lý 2.2.1. Trong tất cả các tam giác có cùng chu vi và độ dài một cạnh
cho trước thì tam giác cân có diện tích lớn nhất.
Chứng minh thứ nhất. Xét tam giác ABC cân với đáy AB . Dựng một
tam giác ABD có cùng chu vi với tam giác ABC . Điều này tương đương với

AC + BC = AD + BD.
Ta cần chứng minh rằng SABC ≥ SABD .
Vì tam giác ABD có cùng chu vi với tam giác ABC nhưng khơng phải là
tam giác cân nên nó phải có một cạnh, giả sử là AD, sao cho AD > AC và
cạnh BD sao cho BD < AC . Rõ ràng, AD phải cắt BC tại E với E = D.
Lấy F trên AE sao cho EF = EB . Sự tồn tại của F là đúng vì BE < AE

(vì EAB < CAB = EBA). Dựng đoạn EG trên EC (hoặc EC kéo dài)
sao cho EG = ED. Vì ∆EF G = ∆EBD, để chứng minh diện tích ∆ABC
lớn hơn diện tích ∆ABD. Ta cần chỉ ra rằng G nằm giữa C và E .
Trước hết nhận thấy rằng F G = BD ( vì
BC = AD + BD (theo giả thiết). Khi đó,

EF G =

AC + BC = AF + F D + F G
= AF + BG + F G
= AF + BC ± CG + F G.

EBD) và AC +

22

Do vậy, AC = AF ± CG + F G. Dấu trừ hoặc cộng được dùng tùy theo G
nằm giữa E và C hay nằm bên ngoài CE . Khả năng AC = AF + CG + F G
không thể xảy ra vì đoạn thẳng là khoảng cách ngắn nhất giữa 2 điểm vì vậy
G nằm giữa E và C .
Ta có

SABC =SABE + SEF G + [SAF G + SACG ]
= [SABE + SBDE ] + [SAF G + SACG ]
=SABD + [SAF G + SACG ] .
Vậy SABC > SABD .
Chứng minh thứ hai. Xét tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c
với a, a + b + c cho trước. Vì a và a + b + c không đổi nên b + c khơng đổi.
Theo Cơng thức Heron, ta có

SABC =

p(p − a)(p − b)(p − c).

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương p − b, p − c ta có

SABC ≤

a
p(p − a) · .
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

p−b=b−c⇔b=c⇔

ABC cân tại A.

Với cùng ý tưởng sử dụng cơng thức Heron như trên, ta có thể chứng minh
định lý mạnh hơn Định lý 2.2.1 như sau.
Định lý 2.2.2. Nếu hai tam giác có cùng đáy và chu vi, tam giác nào có
hiệu số độ dài hai cạnh bên nhỏ hơn thì có diện tích lớn hơn.
Chứng minh. Xét tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c với a, a+b+c
cho trước. Vì a và a + b + c khơng đổi nên b + c không đổi. Theo Công thức
Heron, ta có

SABC = p(p − a)(p − b)(p − c)


23

= p(p − a) ·

a2 − (b − c)2
.
2

(2.1)

Vì a, b + c là các đại lượng cố định nên từ (2.1) ta thấy rằng |b − c| càng bé
thì SABC càng lớn. Định lý đã được chứng minh xong.
Định lý 2.2.3. Trong tất cả các tam giác có cùng diện tích và độ dài một
cạnh cho trước thì tam giác cân có chu vi nhỏ nhất.
Chứng minh.

Xét tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là a, b, c trong đó c và SABC
cố định.
Theo cơng thức Heron

SABC = p(p − a)(p − b)(p − c)
=

1
2
2
(a + b) − c2 · c2 − (a − b) .
16

Vì SABC không đổi nên
2

2

X1 = (a + b) − c2 nhỏ nhất khi và chỉ khi X2 = c2 − (a − b) lớn nhất.
Lại có, c khơng đổi nên ta có các khẳng định sau

• p = a + b + c nhỏ nhất khi a + b nhỏ nhất
• X1 nhỏ nhất khi a + b nhỏ nhất;
• X2 lớn nhất khi a = b
Từ đây, suy ra điều cần chứng minh.
Mệnh đề sau đây, cho ta mối liên hệ giữa Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.3.
Mệnh đề 2.2.4. Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.3 tương đương.
Chứng minh. (Chứng minh Định lý 2.2.1 kéo theo Định lý 2.2.3) Giả sử ∆
là tam giác bất kỳ với diện tích T và chu vi P . Giả sử rằng ∆1 là tam giác