40 câu ôn tập CHƯƠNG hàm số mức độ VD

40 CÂU ÔN TẬP CHƯƠNG HÀM SỐ MỨC ĐỘ VD – VDC
f ( f ( x ) + 1) + 1 = f ( x ) + 2

f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 6 x + 1
Câu 1. Cho
A.

4

. Phương trình

.

B.

6

.

C.

m

16

8

.

2

(x

2

− 2x )
với

để hàm số

m < 10

B.

9

5

có

18

C.

15

∀x ∈ ¡

.

. Có bao nhiêu giá trị

điểm cực trị?

.

để hàm số

17

D.

y = ln ( x 2 + mx + 1)

.

9

D.

f ( x2 − 8 x + m )

B.

Câu 3. Số giá trị nguyên của
A.

.

có đạo hàm

nguyên dương của tham số
A.

7

f ′ ( x ) = ( x − 1)

y = f ( x)
Câu 2. Cho hàm số

có số nghiệm thực là

.

( 0; +∞ )
đồng biến trên

C.

10

.

là
11

D.

.

y = f ( x)

Câu 4. Cho hàm số

y=

có đồ thị như hình vẽ bên.

f ( x ) . x2 + x

 f ( x ) − 2  ( x 2 − 1) ( x 2 − 4 ) ( 2 x + 1)

Đồ thị hàm số
đường tiệm cận đứng?
A. 5

B. 3

C. 6

D. 4

có bao nhiêu

y=

d : y = x+m
Câu 5. Đường thẳng

cắt đồ thị hàm số

x −1
x +1

tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho

OA2 + OB 2 = 2, O
là gốc tọa độ. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?

A.

( −∞; 2 − 2 2 )

B.

( 0; 2 + 2 2 )

C.

( 2−

2; 2 + 2 2

)

D.

(2+2

2; +∞

y = f ( x)

Câu 6. Cho hàm số

có đúng ba điểm cực trị là 0, 1, 2 và có đạo hàm liên tục trên

y = f ( 4x − 4x 2 )
số
A. 5

có bao nhiêu điểm cực trị?
B. 2

C. 3

D. 4

¡.

)
Khi đó hàm


Câu

7.

Có

bao

nhiêu

giá

trị

nguyên

 2 x 2 + mx + 1 
log 2 
÷+ 2 x 2 + mx + 1 = x + 2

÷
x+2


A. 2

dương

của

C. 4

Câu 8. Có bao nhiêu số ngun
phân biệt?

có hai nghiệm

C. 2014

D. 2015

x
−m
x +1
B. 3

C. 5

f ( x)

D. 4

y = f '( x )

mà đồ thị hàm số

f ( x ) > sin

πx
+m
2

m < f ( 0)

trình

1
1
+ x
= x+a
ln ( x + 5 ) 3 − 1

(với m là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

A.

phương

2

Câu 9. Hàm số

Bất phương trình

để

để phương trình

B. 2022

Câu 10. Cho

m

D. 5

a ∈ ( −2019; 2019 )

f ( x) =

số

có hai nghiệm thực phân biệt?

B. 3

A. 0

tham

như hình vẽ bên

x ∈ [ −1;3]

nghiệm đúng với mọi

m < f ( 1) − 1

khi và chỉ khi:

m < f ( −1) + 1

B.

C.

y = f ( x)

A, B, C

Câu 11. Cho hàm số
, biết tại các điểm
đồ thị
hàm số có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ bên. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
f ′ ( xC ) < f ′ ( x A ) < f ′ ( xB )
A.
.
f ′ ( x A ) < f ′ ( xB ) < f ′ ( xC )
B.
.
f ′ ( x A ) < f ′ ( xC ) < f ′ ( xB )
C.
.

m < f ( 2)

D.


D.

f ′ ( xB ) < f ′ ( xA ) < f ′ ( xC )

.

y = f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e

Câu 12. Cho hàm số bậc bốn
f ′( x)

có

đồ

thị

như

hình

vẽ.

Phương

trình

f ( x ) = 2a + b + c + d + e

có số nghiệm là

A.
B.
C.

D.

3.
4.
2.
1.
f ( x ) = 2019 x − 2019 − x

m

Câu 13. Cho hàm số
A. – 673.

. Tìm số nguyên
lớn nhất để
B. – 674.
C. 673.
f ( x)
f ′( x)
Câu 14. Cho hàm số
, đồ thị hàm số
như hình vẽ.

x6
g ( x ) = f ( x ) − + x4 − x2
3

f ( m ) + f ( 2m + 2019 ) < 0

.

D. 674.

2

Hàm số
A. 3.

B. 2.

đạt cực tiểu tại bao nhiêu điểm?
C. 0.

f ( x ) = ax + bx + cx + d
3

Câu 15. Cho hàm số bậc ba
hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
5
A. .
1
3
B. B. .

2

có đồ thị như

P = a2 + c2 + b + 2

.

D. 1.


5
8

C.

D.

.

13
8

.

y=
Câu 16. Cho hàm số
nguyên của tham số

x 4 mx3 x 2
−
+ − mx + 2019
m
S
4
3

2
( là tham số). Gọi là tập hợp tất cả các giá trị

( 6; +∞ )

m

để hàm đã cho đồng biến trên khoảng

. Tính số phần tử của

S

biết rằng

m ≤ 2020

.
A. 4041.

B. 2027.
C. 2026.
D. 2015.
2x − 3
y=
( C)
( C)
x−2
I
Câu 17. Cho hàm số

có đồ thị
. Gọi là giao điểm của các đường tiệm cận của
. Biết
rằng tồn tại hai điểm

( C)

M

M

thuộc đồ thị

sao cho tiếp tuyến tại
M
một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Tổng hoành độ của hai điểm
là
A. 4.
B. 0.
C. 3.

( C)
của

tạo với các đường tiệm cận

D. 1.

y = f ( x)

Câu 18. Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ. Trong đoạn

[ −20; 20]
,

có

bao

y = 10 f ( x − m ) −

nhiêu

số

nguyên

m

để

hàm

số

11 2 37
m + m
3

3
có 3 điểm cực trị?

A.
B.
C.
D.

36.
32.
40.
34.

Câu 19. Cho các số thực dương

P = x − 12 x y + 4
3

thức

A.

2

là
5
2

.

thỏa mãn

a+b 6
( a, b, c ∈ ¢ )
c

B.

4
3

.

)

(

3x 2 y 1 + 9 y 2 + 1 = 2 x + 2 x 2 + 4

x, y

. Tính

a+b
c

. Giá trị nhỏ nhất của biểu

.

C.

7
4

.

D.

4
9

.


y = f ( x)
Câu 20. Cho hàm số

f
để phương trình

(

liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

)

4x − x2 + 1 = m

A. 2.

có 4 nghiệm phân biệt?

B. 3.

C. 5.

D. 1.

Câu 21. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-1;4] như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên âm của tham số m

để bất phương trình

x 
m ≥ f  + 1 ÷+ x 2 − 4 x
2 

A. 4.

B. 5.

có nghiệm trên đoạn [-1;4] là

C. 6.

D. 7.

Câu 22. Cho hàm số f(x) có đồ thị hàm số y = f’(x) được cho như hình vẽ bên. Hàm số
y = f ( x) +

1 2
x − f (0)
2
có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng (-2; 3)?

A. 6.

B. 2.

C. 5.

D. 3.


log 22 x − 2 log 2 x − m + log 2 x = m.
Câu 23. Cho phương trình

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m ∈ [ − 20; 20]

x ∈ (0;1).
để phương trình đã cho có nghiệm

A. 21.

B. 4.

C. 19.

D. 20.

2 x = m.2 x.cos ( π x ) − 4

m0

Câu 24: Cho phương trình
, với m là tham số thực. Gọi
phương trình trên có đúng một nghiệm thực. Khẳng định nào dưới đây đúng?
m0 ∈ [ −5; −1)

m0 ∈ [ −1;0 )

m0 < −5

A.

B.

là giá trị của m sao cho

m0 > 0

C.

D.

y = f ( x)

Câu 25: Cho hàm số

Hỏi hàm số

liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

y = f ( f ( x ) + 2)

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 10

B. 11

C. 12

D. 9

y = f ( x)

Câu 26: Cho hàm số bậc bốn

có đồ thị như hình vẽ.

f ( x+m) =m
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình
A.2

B. Vơ số

C. 1

y = f ( x)

Câu 27: Cho hàm số

liên tục trên

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1)
hình vẽ. Đặt
trên đoạn

¡

D. 0
y = f '( x)

có đồ thị

như

2

. Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số

[ −3;3]

y = g ( x)

có 4 nghiệm phân biệt là:

bằng:

g ( 0)

A.

g ( 1)

B.
g ( −3)

C.

g ( 3)

D.

y = e− x

2

Câu 28. Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ, ABCD là hình chữ nhật thay đổi sao cho B,C luôn thuộc
đồ thị hàm số đã cho và A,D nằm trên trục hồnh. Giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật ABCD thuộc
khoảng nào dưới đây?

A.

3 
 ;1÷.

4 

B.

 1
 0; ÷.
 2

C.

( x − 1)

2

.e

 3
1; ÷.
 2
x −1

Câu 29. Tìm số nghiệm thực của phương trình
A. 2.

B. 4.

D.

− log 2 = 0
.

C. 0.

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d

Câu 30. Cho hàm số bậc ba

3 
 ; 2 ÷.
2 

có đồ thị như hình sau:

D. 3.


(x
g ( x) =

2

− 3x + 2 ) x − 1

x  f 2 ( x ) − f ( x ) 

Đồ thị hàm số
A. 5.

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

B. 3.

C. 6.

u1 = 2
un +1 + 4un = 4 − 5n

( un ) : 
Câu 31. Cho dãy số
A.

2015 − 3.42017.

B.

2016 − 3.42018.

y = f ( x)

Câu 32. Cho hàm số

với

n ≥ 1.

C.

D. 4.

u2018 − 2u2017

Giá trị của

bằng

2016 + 3.42018.

D.

2015 + 3.42017.

y = f ′( x)

. Đồ thị

như hình bên.

[ −1; 3]

f ( −1) + f ( 0 ) − 2 f ( 1) = f ( 3 ) − f ( 2 )

Biết

. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
f ( −1)

A.

f ( 0)

f ( 3)

B.

C.

là
f ( 2)

D.

y = ( m + 1) x 4 − 2 x 2 + 1

Câu 33. Cho hàm số
đã cho có ba điểm cực trị đều nhỏ hơn 1.
A.

−1 < m < 0

B.

( với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số

m > −1

C.

0 < m <1

D.

m>0

y = f ( x)

Câu 34. Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

( −2020; 2020 )
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng

[ 0; + ∞ )

y = f ( cos x + 2 x + m )

đồng biến trên nửa khoảng

.

để hàm số


A. 2019

B. 2020

C. 4038

D. 4040

[ −2018; 2018]
Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

( x+2−

)

2

x +1 +
2

18 ( x 2 + 1) x 2 + 1
x + 2 + x +1
2

A. 25

để phương trình

= m ( x 2 + 1)
có nghiệm thực?

B. 2019

C. 2018

D. 2012

y = f ( x)

Câu 36. Cho hàm số

có đồ

thị như hình vẽ dưới đây

[ −20; 20]
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m thuộc đoạn

để

y = f ( x2 − 2 x + m ) − m
đồ thị hàm số

có 5 đường tiệm cận?

A. 40

B. 20

C. 21

D. 41

f ' ( x ) = ( x − 1)

y = f ( x)

Câu 37. Cho hàm số

3

( x + ( 4m − 5 ) x + m
2

2

− 7m + 6 ) ; ∀x ∈ ¡

có đạo hàm

. Có bao

g ( x) = f ( x )
nhiêu số nguyên m để hàm số
A. 2.

có 5 điểm cực trị?

B. 3.

C. 4.

D. 5.

f ( x)

Câu 38. Cho hàm số

có bảng biến thiên như hình vẽ:

g ( x ) = f ( x 2 )  − 3f ( x 2 ) + 1
2

Số điểm cực trị của hàm số
A. 4.

B. 5.

là:

C. 6.

D. 3.


y=
Câu 39. Cho hai hàm số

( C1 )
thị lần lượt là
điểm phân biệt là:

1
x
x +1
x

+
+
−
e −1 x − 2 x − 4 x +1

y = x − x2 +1 + m

x

và
m ∈ [ −10;10]

( C2 )
và

(m là tham số thực), có đồ

. Số giá trị nguyên của tham số

A. 9.

B. 11.

( C1 )
để

C. 10.

)

(

( C2 )
và

cắt nhau tại 4

D. 8.

f ( x ) = ( a 2 + 1) ln 2017 x + 1 + x 2 + bx sin 2018 x + 2
Câu 40. Cho hàm số
f ( 7 log 5 ) = 6

f ( −5log 7 )
. Tính

.

f ( −5log 7 ) = 2
A.

với a, b là các số thực và

f ( −5log 7 ) = 4
B.

f ( −5log 7 ) = −2
C.

f ( −5log 7 ) = 6

D.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1
Lời giải

Đặt

t = f ( x ) + 1 ⇒ t = x 3 − 3x 2 − 6 x + 2

.

f ( f ( x ) + 1) + 1 = f ( x ) + 2
Khi đó

trở thành:


t ≥ −1
t ≥ −1
⇔
⇔ 3
2
2
f ( t ) + 1 = t + 1  f ( t ) + 1 = t + 2t + 1
t − 4t − 8t + 1 = 0
t ≥ −1

 t = t1 ∈ ( −2; −1)
⇔ 

t = t2 ∈ ( −1;1)
 t = t2 ∈ ( −1;1)
⇔


 t = t ∈ ( 1;6 )
3
t = t3 ∈ ( 5; 6 )


.

g ( t ) = t 3 − 4t 2 − 8t + 1 g ( −2 ) = −7 g ( −1) = 4 g ( 1) = −10 g ( 5 ) = −14 g ( 6 ) = 25
Vì
;
;
;
;
;
.
Xét

t = x3 − 3 x 2 − 6 x + 2

Ta có

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

t = t2 ∈ ( −1;1)
+ Với

, ta có d cắt tại 3 điểm phân biệt, nên phương trình có 3 nghiệm.

t = t3 ∈ ( 5;6 )
+ Với

, ta có d cắt tại 1 điểm, nên phương trình có 1 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Câu 2
Lời giải
g ( x ) = f ( x2 − 8x + m )
Đặt

f ′ ( x ) = ( x − 1)

2

(x

2

− 2 x ) ⇒ g ′ ( x ) = ( 2 x − 8 ) ( x 2 − 8 x + m − 1)

x = 4
 2
 x − 8 x + m − 1 = 0 ( 1)
⇔ 2
x − 8x + m = 0
( 2)


 x 2 − 8 x + m − 2 = 0 ( 3)
g′( x) = 0


2

(x

2

− 8x + m ) ( x2 − 8x + m − 2)


(x

( 1) ( 2 ) ( 3)
Các phương trình

,

g ( x)
Suy ra

5

có

,

( 2)
điểm cực trị khi và chỉ khi

Vì

m < 16

nguyên dương và

− 8 x + m − 1) ≥ 0
2

khơng có nghiệm chung từng đơi một và

∆ 2 = 16 − m > 0
 m < 16
∆ = 16 − m + 2 > 0
 m < 18


⇔ 3
⇔
16 − 32 + m ≠ 0
 m ≠ 16
16 − 32 + m − 2 ≠ 0
 m ≠ 18 ⇔ m < 16

m

2

nên có

15

với

∀x ∈ ¡

( 3)
và

có hai nghiệm phân biệt khác

4

.

giá trị

m

cần tìm.

Câu 3. Đáp án C.
Lời giải
2x + m
y′ = 2
≥0
x ∈ ( 0; +∞ ) .

x + mx + 1
Ta có
với mọi

g ( x ) = x 2 + mx + 1
Xét

có

∆ < 0 ⇔ −2 < m < 2
TH1:
Suy ra

TH2:

Nếu

Nếu

0≤m<2

∆ = m 2 − 4.

g ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡
khi đó

2 x + m ≥ 0 ∀x ∈ ( 0; +∞ )
nên ta có
,

.

 m ≤ −2
∆≥0⇔
.
m
≥
2


m ≤ −2
m≥2

Suy ra

x →0

thì

nên khơng thỏa

2x + m > 0

thì
2 ≤ m < 10

Vậy ta có:

y′ =

lim y ′ = m ≤ −2

với mọi

g ( x)
và

.

0 ≤ m < 10

Câu 4: Đáp án B

x ∈ ( 0; +∞ )

2x + m
≥0
x + mx + 1

nên có 10 giá trị nguyên của

m

x ∈ ( 0; +∞ ) .

2

.

với mọi

g ( x ) > 0 ∀x ∈ ( 0; +∞ )
có 2 nghiệm âm . Do đó
,
.


f ( x ) . x2 + x

 f ( x ) − 2  ( x 2 − 1) ( x 2 − 4 ) ( 2 x + 1)

,

Trước tiên ta rút gọn phần thức
khi phân thức này đã tối giản thì về cơ
bản, ứng với mỗi một nghiệm của mẫu ta sẽ được một đường tiệm cận đứng, tuy nhiên phải lưu ý các trường
hợp đặc biệt.

y = f ( x)

+) Ta thấy đồ thị

tiếp xúc với trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 0 và cắt trục hồnh tại hai
f ( x) = 0

điểm có hồnh độ lần lượt là 1,2 nên phương trình
x = 1, x = 2

có nghiệm kép

⇒ f ( x ) = ( x − 0)

g ( x)

2

( x − 1) ( x − 2 ) g ( x ) = x 2 ( x − 1) ( x − 2 ) g ( x )
với

Đường

thẳng

cắt

đồ

thị

hàm

số

vô nghiệm.

tại

x = a, x = b ( −1 < a < 0, 2 < b < 3 ) ,

hai

điểm

phương

trình

có

x = a, x = b ( −1 < a < 0, 2 < b < 3)
⇒ f ( x) − 2 = ( x − a) ( x − b) h ( x)

h( x)

với

vô nghiệm.

Vậy ta có

f ( x ) . x2 + x

 f ( x ) − 2  ( x 2 − 1) ( x 2 − 4 ) ( 2 x + 1)

có

hồnh

độ

f ( x) = 2

nên

y=

và hai nghiệm đơn

y = f ( x)

y=2
+)

x=0

=

g ( x)
x 2 ( x − 1) ( x − 2 ) . x 2 + x
.
h ( x ) ( x − a ) ( x − b ) ( x 2 − 1) ( x 2 − 4 ) ( 2 x + 1)

hai

nghiệm

đơn


=

g ( x)

x2. x2 + x
h ( x ) ( x − a ) ( x − b ) ( x + 1) ( x + 2 ) ( 2 x + 1)
.

x=−

x = a ( −1 < a < 0 )

Ta thấy với

và

1
2

thì

x2 + x < 0

nên

x2 + x

khơng tồn tại.

x = b, x = −1, x = −2.
Do đó đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là

Câu 5: Đáp án A
y=

d : y = x+m
Để
cắt đồ thị hàm số
2 nghiệm phân biệt.
⇔ x 2 + mx + m + 1 = 0

x −1
x +1

x+m=
tại 2 đỉểm phần biệt A, B thì phương trình

x1 , x2 ≠ −1
có 2 nghiệm phân biệt

 ∆ = m 2 − 4m − 4 > 0
m > 2 + 2 2
 m < 2 − 2 2, m > 2 + 2 2
⇔
⇔
⇔
( *)


2
 m < 2 − 2 2
( −1) + m ( −1) + m + 1 ≠ 0

 2 ≠ 0
A ( x1 ; x1 + m ) , B ( x2 ; x2 + m ) ,

Gọi

ta có

2
OA2 + OB 2 = 2 ⇔ ( x1 ) + ( x1 + m ) + x2 + ( x2 + m ) = 2
2

2

2

⇔ x12 + x22 + m ( x1 + x2 ) + m 2 = 1
⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + m ( x1 + x2 ) + m 2 = 1
2

⇔ ( − m ) − 2 ( m + 1) + m ( − m ) + m 2 = 1
2

 m = −1
⇔ m 2 − 2m − 3 = 0 ⇔ 
m = 3

Kết hợp với điều kiện (*) ta chọn

m = −1.

Câu 6: Đáp án C
y = f ( x)

Theo đề bài thì

y = f '( x)

có đúng ba điểm cực trị là 0,1, 2 và

liên tục trên

¡

x −1
x +1

phải có


x = 0
x = 1
⇒ f '( x) = 0 ⇔ 
;
x = 2

u ( x ) = 0

với ba nghiệm 0; 1; 2 là nghiệm đơn hoặc bội lẻ,

[ 0;1; 2]

u ( x) = 0

cịn

chỉ có nghiệm bội chẵn không thuộc tập
g ( x ) = f ( 4x − 4x2 ) ,

Đặt

ta có:

g ' ( x ) = ( 4 − 8x ) f ' ( 4x − 4x2 ) .

4 − 8 x = 0
g '( x) = 0 ⇔ 
2
 f ' ( 4 x − 4 x ) = 0
4 − 8x = 0
x = 0
2x − 1 = 0

2
x = 1

4x − 4x = 0
x
x
−
1

=
0
(
)



1
g ' ( x ) = 0 ⇔ 4x − 4x2 = 1
⇔
⇔
2
x=
2
x
−
1
=
0
(
)


4x − 4x2 = 2
2

u 4 x − 4 x 2 = 0

)
u ( 4 x − 4 x 2 ) = 0

 (
u ( 4 x − 4 x 2 ) = 0



u ( 4 x − 4 x 2 ) = 0.
+) Xét phương trình
u ( x) = 0

Giả sử a là một nghiệm của phương trình

khơng có nghiệm nào thuộc tập

 1 
0; ;1 .
 2 

a ∉ { 0;1; 2}

thì từ

ta thấy phương trình

4 x − 4 x2 = a
x=

x = 0; x = 1
Suy ra các nghiệm

là nghiệm đơn còn

1
2

là

f ' ( 4x − 4x2 ) = 0
nghiệm bội 3 của phương trình
u ( 4 x − 4x2 ) = 0
+) Nếu phương trình
f '( 4x − 4x2 ) = 0
trình

có nghiệm thì các nghiệm đó cũng là các nghiệm bội chẵn của phương


 1 
0; ;1 .
 2 

g ( x) = 0

Vậy tập nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của phương trình

là

g ( x ) = f ( 4 x − 4 x2 )
có 3 điểm cực trị.
Câu 7: Đáp án C
Điều kiện

x + 2 > 0
 2
 2 x + mx + 1 > 0
Phương trình ban đầu tương đương

 2 x 2 + mx + 1 
log 2 
÷+ 2 x 2 + mx + 1 = x + 2

÷
x+2


⇔ log 2 2 x 2 + mx + 1 + 2 x 2 + mx + 1 = log 2 ( x + 2 ) + x + 2
⇔ f

)

(

2 x 2 + mx + 1 = f ( x + 2 ) ( 1)

Xét hàm số

với

⇒ f ( t)

Từ đó

có

( 0; +∞ )
đồng biến trên

f '( t ) =

t ∈ ( 0; +∞ )

f ( t ) = log 2 t + t

nên (1)

1
+ 1 > 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ )
t ln 2

⇔ 2 x 2 + mx + 1 = x + 2

 x > −2
 x > −2
 2
2 ⇔  2
 x + ( m − 4 ) x − 3 = 0 ( 2 )
2 x + mx + 1 = ( x + 2 )

x1 , x2
Để có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiêm phân biệt

lớn hơn

−2

∆ = ( m − 4 ) 2 + 12 > 0
m ∈ ¡
m ∈ ¡



⇔ ( x1 + 2 ) + ( x2 + 2 ) > 0 ⇔  x1 + x2 + 4 > 0
⇔ 4 − m + 4 > 0


 −3 + 2 4 − m + 4 > 0
(
)
x + 2 . x + 2) > 0

 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 4 > 0
( 1 ) ( 2
m < 8
9

⇔
9 ⇔m<
2
 m < 2
Câu 8 (VD):

m ∈ ¥ * ⇒ m ∈ { 1; 2;3; 4}

mà

Do đó, hàm số


Phương pháp:
a = f ( x)

+) Cô lập m, đưa phương trình về dạng
a = f ( x)

+) Số nghiệm của phương trình

là số giao điểm của đồ thị hàm số

và

y = f ( x)

+) Lập BBT hàm số

và kết luận.

Cách giải:
1
1
1
1

+ x
= x + a ⇔ f ( x) =
+ x
− x = a ( *)
ln ( x + 5 ) 3 − 1
ln ( x + 5 ) 3 − 1

f ( x) =

1
1
+ x
−x
ln ( x + 5 ) 3 − 1

Xét hàm số

ĐKXĐ:

x + 5 > 0
 x > −5
 x > −5



ln ( x + 5) ≠ 0 ⇔  x + 5 ≠ 1 ⇔  x ≠ −4
 x
 x
x ≠ 0


3 ≠ 1
3 − 1 ≠ 0

⇒ D = ( −5; −4 ) ∪ ( −4;0 ) ∪ ( 0; +∞ )

f '( x ) =
Ta có

−1
3x
−
− 1 < 0∀x ∈ D
ln 2 ( x + 5 ) ( 3x − 1) 2

BBT:

−5

x
f '( x )

−

f ( x)

≈ 3,9

−4

0

−

+∞
−∞

Từ BBT suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm

Câu 9 (VD):
Phương pháp:

+∞

−

+∞
−∞

⇔a≥4

⇒ a ∈ { 4;...;2018}

Kết hợp ĐK

y = f ( x)

y=a

. Vậy có 2015 giá trị của a thỏa mãn.

−∞

y = f ( x) =
Số điểm cực trị của hàm số

y = f ( x)

số cực trị của hàm số

y = f ( x)

với trục hoành. (Hàm đa thức hoặc hàm số xác định

+ số giao điểm của đồ thị hàm số

∀x ∈ ¡

)

Cách giải:
f ( x) =

x
−m
x +1
2

Hàm số

có TXĐ

g ( x) =
Xét hàm số
g '( x ) =

⇒

x
−m
x +1

x 2 + 1 − x.2 x

( x2 + 1)

2

D=¡

2

=

ta có:

− x2 + 1

( x2 + 1)

2

= 0 ⇔ x = ±1

y = g ( x)

Hàm số

có 2 điểm cực trị.

Xét phương trình hồnh độ giao điểm
có

∆ = 1 − 4m 2

x − m ( x 2 + 1)
x
−m =0 ⇔
= 0 ⇔ − mx 2 + x − m = 0
x2 + 1
x2 + 1

chưa xác định dấu nên có tối đa 2 nghiệm.

f ( x) =

x
−m
x +1
2

Vậy hàm số

có tối đa 2 + 2 = 4 cực trị.

Chọn D.
Câu 10 (VDC):
Cách giải:
πx
πx
f ( x ) > sin
+ m∀x ∈ [ −1;3] ⇔ g ( x ) = f ( x ) − sin
> m∀x ∈ [ −1;3]
2
2
⇒ m < min g ( x )
[ −1;3]

y = f '( x )

y = f ( x)

Từ đồ thị hàm số

ta suy ra BBT đồ thị hàm số
x
f '( x )
f ( x)

như sau:

−1

1

3

−

0

+

, phương trình


f ( x ) ≥ f ( 1) ∀x ∈ [ −1;3]

Dựa vào BBT ta thấy

π x  π 3π 
πx
∈  − ;  ⇒ −1 ≤ sin
≤1
2  2 2 
2
πx
⇔ −1 ≤ − sin
≤1
2
πx

⇒ f ( 1) − 1 ≤ f ( x ) − sin
⇔ g ( x ) ≥ f ( 1) − 1 ⇒ min g ( x ) = f ( 1) − 1
[ −1;3]
2
x ∈ [ −1;3] ⇒

m < f ( 1) − 1

Vậy
Chọn B.

f ′ ( xA ) = 0, f ′ ( xB ) < 0, f ′ ( xC ) > 0

Câu 11. Dựa vào hình vẽ ta có:

.

f ′ ( xB ) < f ′ ( xA ) < f ′ ( xC )

Vậy

. Chọn D.
f ′ ( x ) = 4ax. ( x − 1) ( x − 2 ) = 4ax3 − 12ax 2 + 8ax

Câu 12. Ta có
Suy ra

f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ax 4 − 4ax 3 + 4ax 2 + e ⇒ b = −4a; c = 4a; d = 0

f ( x ) = 2a + b + c + d + e = 2a + e ⇔ ax 4 − 4ax 3 + 4ax 2 + e = 2a + e

Vậy

⇔ x 4 − 4 x3 + 4 x 2 − 2 = 0 ⇔ ( x 2 − 2 x ) −
2

( )
2

2

 x2 − 2 x = 2
=0⇔ 
2
 x − 2 x = − 2

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. Chọn C.
f ( x ) = 2019 x − 2019− x

Câu 13. Hàm số

xác định với mọi

x∈¡

.

f ( − x ) = 2019− x − 2019 x = − ( 2019 x − 2019− x ) = − f ( x ) ⇒ f ( x )
Ta có:

là hàm số lẻ
f ′ ( x ) = 2019 x ln 2019 + 2019− x ln 2019 > 0∀x ∈ ¡ ⇒ f ( x )

Mặt khác

đồng biến trên

¡

.

f ( m ) + f ( 2m + 2019 ) < 0 ⇔ f ( 2m + 2019 ) < − f ( m ) ⇔ f ( 2m + 2019 ) < f ( −m )

Do đó BPT :


⇔ 2m + 2019 < −m ⇔ m < −673

. Chọn A.

Câu 14.

HD: Ta có
Đặt

2 x = 0
g ′ ( x ) = 2 x. f ′ ( x 2 ) − 2 x 5 + 4 x3 − 2 x; g ′ ( x ) = 0 ⇔ 
2
4
2

 f ′ ( x ) = x − 2 x + 1

t = x2 ≥ 0

.

f ′ ( t ) = t 2 − 2t + 1

nên phương trình trở thành:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy (*) có hai nghiệm phân biệt
Lập bảng biến thiên


→

 x = ±1
t = 1; t = 2 ⇒ 
x = ± 2

.

y = g ( x)

Hàm số

có một điểm cực tiểu. Chọn D.

Câu 15.
f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c

HD: Ta có:

∆′f ( x ) = b 2 − 3ac ≤ 0 ⇔ ac ≥
Hàm số đã cho không có cực trị nên
2b 2
P ≥ 2ac + b + 2 ≥
+b+2 =
3

Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có:

Dấu bằng xảy ra

3

b = − 4
⇔
a = c = 3

4

b2
3

.
2

2
3  13 13

b + ÷ + ≥
3
4
8
8

. Chọn D.

y′ = x3 − mx 2 + x − m = x ( x 2 + 1) − m ( x 2 + 1) = ( x − m ) ( x 2 + 1) ≥ 0 ⇔ x − m ≥ 0 ⇔ x ≥ m
Câu 16.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

( 6; +∞ ) ⇔ x ≥ m ( ∀x ∈ ( 6; +∞ ) ) ⇔ m ≤ 6

.


Kết hợp

 m ∈ ¢
m ∈ ¢
⇔
⇒

 m ≤ 2020
m ∈ [ −2020;6]

có 2027 giá trị của

m

. Chọn B.

Câu 17.

1
 2a − 3 
M  a;
÷∈ ( C ) ⇒ y ′ ( a ) = −
2
 a−2 
( a − 2)
HD: Gọi

; tâm
y=−

Phương trình tiếp tuyến tại

• Tiếp tuyến
• Tiếp tuyến
Do đó

I ( 2; 2 )

IA.IB = 4

d
d

cắt

M

( a − 2)

2

.( x − a ) +

2a − 3
a−2

là:

x=2

2 
2

A  2; 2 +
÷⇒ IA =
a−2
a−2

tại
B ( 2a − 2; 2 ) ⇒ IB = 2 a − 2

y=2
cắt

1

.

tại

.

C∆IAB = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB 2
mà

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

Dấu bằng xảy ra khi

 IA + IB ≥ 2 IA.IB = 4
⇒ C∆IAB ≥ 4 + 2 2
 2
2
 IA + IB ≥ 2 IA.IB = 8

a = 1
IA = IB = 2 ⇔ a − 2 = 1 ⇔ 
a = 3

. Vậy

∑a = 4

. Chọn A.

Câu 18.
HD: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là số điểm cực trị của hàm
y = 10 f ( x ) −

số

11 2 37
m + m
3
3
.

g ( x ) = 10 f ( x ) −
Xét hàm số
2 nghiệm phân biệt.

11 2 37
m + m
3
3

g ′ ( x ) = 10 f ′ ( x ) = 0

thì

có

g ( x) = 0 ⇔ f ( x) =
Lại có

11 2 37
m − m ( *)
30
30


m ≥ 5
 11 2 37
m
−
m
≥
3

 30
18
30
⇔
⇔ m ≤ −
11
 11 m 2 − 37 m ≤ −1 

 30
15
30
 ≤m≤2
 11

Kết hợp

 m ∈ ¢
⇒

 m ∈ [ −20; 20 ]

, để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì (*) có một nghiệm đơn

.

m

có 36 giá trị của

. Chọn A.

Câu 19.
HD: Cho hai vế của giả thiết cho

x3

ta được
2

2 2 x2 + 4
2 2
2
2

2
3 y. 1 + 1 + ( 3 y )  = +
⇔ 3 y + 3 y. 1 + ( 3 y ) = + . 1 +  ÷
2

 x
x
x x
x

f ( t ) = t + t 1+ t 2
Xét hàm số

( 0; +∞ )
trên

f ( t)

Suy ra

là hàm đồng biến trên

mà

( 0;+∞ )

Do đó

a+b 4
=

c
9

>0
.

2
2
f ( 3 y ) = f  ÷ ⇒ 3 y = ⇔ 3 xy = 2
x
x

P = x3 − 4 x.3xy + 4 = x 3 − 8 x + 4 
→ min P =

Vậy

1+ t2

, có

( 0; +∞ )

a = 36; b = −32; c = 9 
→

t2

f ′( t ) = 1+ 1+ t2 +

36 − 32 6
9

x=
khi

2 6
3

. Chọn D.

Câu 20. Đáp án D
t = 4x − x + 1

Đặt

t'=

x ∈ [0; 4].

2

với

Ta có

4 − 2x
2 4x − x2

=0⇔ x=2

Ta có bảng biến thiên sau:
x
t’

0

2
+

0

4
-

.

.


t

3

1
Với

x=2⇒t =3

1

x ∈ [ 0; 4] \ { 2} ⇒ t ∈ [1;3)

và với

và mỗi giá trị của t có 2 giá trị của x.

f (t ) = m
Khi đó phương trình trở thành:

f (t ) = m
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình

t ∈ [1;3) ⇔ −2 < m ≤ 0
có 2 nghiệm

m ∈ ¢ ⇒ m = { −1; 0}

Kết hợp
Câu 21. Đáp án B

Điều kiện để bất phương trình

Xét hàm số

x 
m ≥ f  + 1 ÷+ x 2 − 4 x
2 

x 

g ( x) = f  + 1÷+ x 2 − 4 x
2 

g '( x) =
Ta có:

1 x 
f '  + 1÷+ 2( x − 2).
2 2 

[ −1;4]

có nghiệm trên đoạn [-1;4] là

x ∈ [ −1; 4]

với

Đặt

x 
t =  + 1÷
2 

x ∈ (2; 4) ⇒ t ∈ ( 2;3) ⇒ f ' ( t ) > 0 ⇒ g ' ( x ) =
Ta thấy

Với

m ≥ Min g ( x)

1 x 
f '  + 1 ÷+ 2 ( x − 2 ) > 0
2 2 

1 
x ∈ ( −1; 2 ) ⇒ t ∈  ; 2 ÷ ⇒ f '(t ) < 0 ⇒ g '(t ) < 0
2 

Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) trên đoạn [-1;4] như sau
x

-1

g’(x)
g(x)

2
-

0

4
+

g(-1)

g(4)
g(2)

g (2) = f (2) + 22 − 4.2 = −5
Mặt khác

Suy ra

m ≥ −5

m ∈ ¢ − ⇒ m = { −5; −4; −3; −2; −1}

là giá trị cần tìm. Kết hợp

0


Câu 22. Đáp án D

h( x) = f ( x) +
Xét hàm số:

1 2
x − f (0)
2

h '( x) = f '( x ) + x; h '( x ) = 0 ⇔ f '( x ) = − x
Ta có

y = f '( x)

y = −x

Nghiệm phương trình trên là hoành độ giao điểm của hai đồ thị

f '( x) = − x
Dựa vào đồ thị suy ra phương trình:

có ba nghiệm

và

 x = −2
x = 0

 x = 2

Trên khoảng (-2;3), hàm số h(x) có một điểm cực trị là x = 2, (do qua nghiệm x = 0, h’(x) khơng đổi dấu).
Do đó đồ thị hàm số y = h(x) cắt trục hoành tại tối đa 2 điểm.
y = h( x )

Suy ra hàm số

có tối đa 2 + 1 = 3 điểm cực trị trong khoảng (-2; 3).

Câu 23. Đáp án D

⇔ log 22 x − log 2 x = m + log 2 x + m + log 2 x (*)
Phương trình

x ∈ (0;1) ⇒ − log 2 x > 0
Với điều kiện

f (t ) = t 2 + t (t > 0)
Xét hàm số

(0; +∞)
là hàm số đồng biến trên khoảng

⇔ f (− log 2 x ) = f
Do đó phương trình (*)

(

)

m + log 2 x ⇔ − log 2 x = m + log 2 x

u = − log 2 x

⇔ m = log 22 x − log 2 x = u 2 + u = f (u )
(với

và u >0)

lim f (u ) = 0, lim f (u ) = +∞
u →0

Mặt khác

u →+∞

nên phương trình có nghiệm khi m > 0

m ∈ ¢ , m ∈ [ −20; 20]

Kết hợp

suy ra có 20 giá trị của tham số m.

Câu 24. (VDC):
Phương pháp:
- Biến đổi phương trình và nhận xét tính đối xứng của nghiệm.
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất suy ra m.
Cách giải:
2 x = m.2 x cos ( π x ) − 4 ⇔ 2 2 x = m.2 x cos ( π x ) − 4 ⇔ m cos ( π x ) = 2 x +
Ta có:
m cos ( π x ) = 2 x + 22− x

Trong phương trình

, nếu ta thay x bởi

2− x

4
⇔ m cos ( π x ) = 2 x + 2 2− x
x
2

thì phương trình trở thành:

m cos ( 2π − π x ) = 22− x + 2 x ⇔ m cos ( π x ) = 2x + 22− x

Suy ra x và

x0

2− x

có vai trị như nhau trong phương trình nên nếu phương trình nhận

2 − x0
cũng nhận

làm nghiệm.

x0 = 2 − x0 ⇔ x0 = 1
Do đó để phương trình có đúng một nghiệm thực thì

x =1

Với
Thử lại,
Với

thì

m = −4

m cos π = 21 + 21 ⇔ m = −4

2 x = −4.2 x.cos ( π x ) − 4 ( *)
ta có:

−4.2 x.cos ( π x ) − 4 ≥ 0 ⇔ 2 x cos ( π x ) + 1 ≤ 0

Điều kiện:

( *) ⇔ 22 x = −4.2 x cos ( π x ) − 4 ⇔ 2 x = −4 cos ( π x ) − 22−x ⇔ 2 x + 22− x = −4cos ( π x )
Khi đó
Ta thấy:

2 x + 22− x ≥ 2 2 x.2 2− x = 4

2 +2
x

2− x

cos ( π x ) ≥ −1 ⇒ −4 cos ( π x ) ≤ 4

và

= 4 = −4cos ( π x ) ⇔ x = 1

Suy ra

m = −4
Vậy với
thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Kiểm tra các đáp án ta thấy A thỏa mãn.

Chọn: A
Câu 25. (VDC):
Ta có:

y ' =  f ( f ( x ) + 2 )  ' = f ' ( x ) . f ' ( f ( x ) + 2 )

làm nghiệm thì nó