Chuyên đề hình học góc trong không gian có lời giải chi tiết

HHKG - GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Chun đề 3

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI
Dạng 1. Góc của đường thẳng với đường thẳng
Để tính góc giữa hai đường thẳng d1 , d 2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách
Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1 , d 2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp ( O thường nằm trên
một trong hai đường thẳng).

'

'

d ,d
Từ O dựng các đường thẳng 1 2 lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường
d ', d '
thẳng) với d1 và d 2 . Góc giữa hai đường thẳng 1 2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1 , d 2 .
Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cơsin trong tam giác
cos A 

b2  c 2  a 2
2bc
.

ur uu
r
u1 , u2

của hai đường thẳng d1 , d 2
ur uu

r
u1.u2
cos  d1 , d 2   ur uu
r
u1 u2
d
,
d
Khi đó góc giữa hai đường thẳng 1 2 xác định bởi
.
uruu
r ur uu
r
r r r
uu ,u ,u
Lưu ý 2: Để tính 1 2 1 2 ta chọn ba vec tơ a, b, c khơng đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc
ur uu
r
r r r
u1 , u2
a
giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ
qua các vec tơ , b, c rồi thực hiện các tính tốn.
Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương

Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau và
OA  OB  OC . Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai
đường thẳng OM và AB bằng

0
A. 45

Chọn D

0
B. 90

C. 30
Lời giải

0

0
D. 60


Đặt OA  a suy ra OB  OC  a và AB  BC  AC  a 2
MN 

Gọi N là trung điểm AC ta có MN / / AB và
�
�
OM , AB   �
OM , MN 

Suy ra góc
. Xét OMN
Trong tam giác OMN có

ON  OM  MN 

a 2
2

a 2
2 nên OMN là tam giác đều

0
�
OM , AB   �
OM , MN   600
�
Suy ra OMN  60 . Vậy

Câu 2.

(THPT

Lê

Quy

Đôn

Điện

Biên

2019)

Cho

tứ

ABCD

diện

với

3
�  DAB
�  600 , CD  AD
AD, CAB
2
. Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và CD . Chọn
khẳng định đúng về góc  .
AC 

A.

cos  

3
4

B. 30

0

C. 60
Lời giải

0

D.

cos  

1
4

Chọn D

Ta có

uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuuruuur
AB. CD  AB. AD  AC  AB. AD  AB. AC  AB. AD. cos 600  AB. AC.cos 600





3
1

 AB. AD. cos 600  AB. AD.cos 600 
AB. AD
2
4
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB.CD 1
1
cos AB, CD 

� cos 
AB.CD 4
4






Câu 3.

B C D , biết đáy
(THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A����
ABCD là hình vng. Tính góc giữa A�
C và BD .

A. 90�.

B. 30�.

C. 60�.
Lời giải

D. 45�.

Vì ABCD là hình vng nên BD  AC .
AA�
  ABCD  � BD  AA�
Mặt khác
.
�BD  AC
� BD   AA�
C  � BD  A�
C
�
Ta có �BD  AA '
.

C và BD bằng 90�.
Do đó góc giữa A�
Câu 4.

(Chuyên KHTN 2019) Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
AD và BC . Biết MN  a 3 , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng.
0
0
0
0

A. 45 .
B. 90 .
C. 60 .
D. 30 .
Lời giải

Gọi P là trung điểm AC , ta có PM //CD và PN //AB , suy ra

� , PN
AB, CD    PM
�
.

Dễ thấy PM  PN  a .
PM 2  PN 2  MN 2 a 2  a 2  3a 2
1
�
cos MPN 


2 PM .PN
2.a.a
2
Xét PMN ta có





�  1200 � �

� MPN
AB, CD  1800  1200  600

.
3


Câu 5.

B C D ; gọi M là
(Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Cho hình lập phương ABCD. A����
C . Góc giữa hai đường thẳng AM và BC �bằng
trung điểm của B��

A. 45�.

B. 90�.

C. 30�.
Lời giải

D. 60�.

Giả sử cạnh của hình lập phương là a  0 .
AM , BC �
   AM , MN  .
Gọi N là trung điểm đoạn thẳng BB�
. Khi đó, MN //BC �nên 

B 2  B�

M2
B M vng tại B�ta có: A�
M  A��
Xét tam giác A��

 a2 

a2 a 5

4
2 .

5a 2 3a
 a 

2
4
 A�
M2
2 .
M vuông tại A�ta có: AM  AA�
Xét tam giác AA�
2

Có

AN  A�
M

a 5

BC � a 2
MN 

2 ;
2
2 .

Trong tam giác AMN ta có:
9a 2 2a 2 5a 2


4
4
4

2
2
2
1
6a 2
4
MA  MN  AN
3a a 2


. 2

2.
.
4 6a 2

2.
cos �
AMN
2.MA.MN
2 2
�
Suy ra AMN  45�.
Vậy
Câu 6.

 AM , BC �
   AM , MN   �
AMN  45�.

(Chun

Hạ

Long

-

2018)

Cho

hình

chóp

S . ABC

có

độ

dài

các

SA  SB  SC  AB  AC  a và BC  a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC là?
A. 45�.
B. 90�.
C. 60�.
D. 30�.

Lời giải

cạnh


Ta có BC  a 2 nên tam giác ABC vng tại A . Vì SA  SB  SC  a nên hình chiếu vng

 ABC  trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
góc của S lên
Tam giác ABC vng tại A nên I là trung điểm của BC .
uuu
r uuu
r
AB.SC

uuu
r uuu
r
cos  AB, SC   cos AB, SC  AB.SC
Ta có
.
r uuur
uuu
r uur uur
1 uuu
1
a2
uuu
r uuu
r AB SI  IC
uuu
r uu
r   BA.BC   BA.BC.cos 45� 
AB.SC 
 AB.SI
2
2
2 .
2
a
1
2
cos  AB, SC   a 2  2 � �
AB, SC   60�
.

uuu
r uuu
r
AB
.
SC
uuu
r uuu
r
cos  AB, SC   cos AB, SC  AB.SC
Cách 2:













uur uur uuu
r
a2
uuu
r uuu
r  SB  SA SC uur uuu

r uur uuu
r

 SB.SC  SA.SC  SB.SC.cos 90� SA.SC.cos 60� 2 .
Ta có AB.SC





a 2
2
1
cos  AB, SC   2 
a
2
Khi đó
Câu 7.

 2a.
B C có AB  a và AA�
(Chuyên Đh Vinh 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A���
Góc giữa hai đường thẳng AB�và BC �
bằng

A. 60�.

B. 45�.

C. 90�.

Lời giải

D. 30�.

5


Ta có

uuur uuuu
r uuu
r uuur uuur uuuu
r
uu
r uuur uuu
r uuuu
r uuur uuur uuur uuuu
r
AB�
.BC �
 AB  BB� BC  CC � u
AB.BC  AB.CC �
 BB�
.BC  BB�
.CC �







a2
3a 2
uuu
r uuur uuu
r uuuu
r uuur uuur uuur uuuu
r    0  0  2a 2 
 AB.BC  AB.CC �
 BB�
.BC  BB�
.CC � 2
2 .
uuur uuuu
r
3a 2
uuur uuuu
r
AB�
.BC �
1
cos AB�
, BC � uuur uuuu
r
�, BC �
2
  60�
AB�
. BC � a 3.a 3  2 �  AB�

Suy ra
.



Câu 8.



�
(Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC  AC  AB  a , ABC  45�.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và DC .
A. 60�.

B. 120�.

C. 90�.
D. 30�.
Lời giải
ABC
Ta có tam giác
vng cân tại A , tam giác BDC vuông cân tại D .
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB.CD  DB  DA CD  DB.CD  DA.CD
Ta có
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
1

 DB CD cos DB, CD  DA CD cos DA, CD   a 2
2 .
uuu
r uuur
uuur uuur uuur uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
AB.CD
1
AB.CD  AB CD cos AB.CD � cos AB , CD  uuur uuur  
2
AB CD
Mặt khác ta lại có
uuu
r uuur
� AB, DC  120��  AB, CD   60�
.

















Câu 9.









B C D . Gọi M , N lần
(Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - 2018) Cho hình lập phương ABCD. A����
. Cosin của góc hợp bởi MN và AC ' bằng
lượt là trung điểm của AD , BB�
3
A. 3 .

2
B. 3 .

5
C. 3 .
Lời giải

2

D. 4 .


B C D cạnh a .
* Xét hình lập phương ABCD. A����
r uuu
r r uuur r uuur
r r r
rr rr rr
a  AB, b  AD, c  AA�
� a  b  c  a, a.b  b.c  a.c  0
* Đặt
.
* Ta có:
uuuu
r uuur uuuu
r uuu
r uuur uuuu
r r 1r 1r
uuuu
r
1
1
a 3
MN  AN  AM  AB  BN  AM  a  b  c � MN  a 2  a 2  a 2 
2
2
4
4
2

uuuu
r uuu
r uuur uuur r r r
uuuu
r
AC �
 AB  AD  AA�
 a  b  c � AC � a 2  a 2  a 2  a 3
uuuu
r uuuu
r
1
1
AC �
.MN  a 2  a 2  a 2  a 2
2
2
uuuu
r uuuu
r
MN . AC � 2
uuuu
r uuuu
r
cos  MN ; AC �
  cos MN ; AC � uuuur uuuur 
MN . AC � 3



Câu 10.



.

(Cụm 5 Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật,
AB  2a , BC  a . Hình chiếu vng góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của
0
cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính cosin góc giữa hai đường
thẳng SB và AC

2
A. 7 .

B.

2
35 .

2
C. 5 .
Lời giải

D.

2
7.

�  600

 SC ,  ABCD     SC , CH   SCH
.
7


cos  SB, AC  

uur uuur
SB. AC

SB. AC
uur uuur uuur uuur uuur uuur
uur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur
SB. AC  SH  HB AB  BC  u
SH . AB  SH .BC  HB. AB  HB.BC
1
uuur uuu
r uuur uuur  AB 2  2a 2
 HB. AB  HB.BC 2
� a 6
AC  a 5 , CH  a 2  a 2  a 2 , SH  CH .tan SCH
.











2

2
SB  SH  HB  a 6  a  a 7 .
uur uuur
2
2
SB. AC  2a

cos  SB, AC  
35 .
SB. AC a 7.a 5
2

Câu 11.

2

(Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vng,
E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và
BC . Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng
A. 90�.

B. 60�.

C. 45�.
Lời giải

D. 75�.

Gọi I là trung điểm SA thì IMNC là hình bình hành nên MN // IC .
BD   SAC  � BD  IC
Ta có
mà MN // IC � BD  MN nên góc giữa hai đường thẳng MN
và BD bằng 90�.
uuur uuuu
r
Cách khác: có thể dùng hệ trục tọa độ của lớp 12, tính tích vơ hướng BD.MN  0 .

Câu 12.

(Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp đều S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M
, N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc giữa hai đường thẳng MN và SC là
A. 45�.

B. 60�.

C. 30�.
Lời giải

D. 90�.


Gọi P là trung điểm của CD .
�  MN , SC    MN , NP 

Ta có: NP // SC
.

Xét tam giác MNP ta có:

MN 

a
a
a 2
NP 
MP 
2,
2,
2

a2 a2 a2
� MN  NP 


4 4
2  MP 2 � MNP vuông tại N
2

2

�  90��  MN , SC    MN , NP   90�
� MNP
.
Câu 13.

B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,
(Sở Quảng Nam - 2018) Cho hình lăng trụ ABC. A���
AB  a , AC  a 3 . Hình chiếu vng góc của A�lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của

H  a 3 . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng A�
BC , A�
C . Tính cos  .
B và B�
A.

cos  

1
2.

B.

cos  

6
8 .

cos  

C.
Lời giải

6
4 .

D.

cos  

3
2 .

uuur uuur uuuur
B .
Gọi E là trung điểm của AC ; D và K là các điểm thỏa BD  HK  A��
��
B�
K   ABC 
B, B �
C    B�
D, B�
C   DB
D / / A�
B �  A�
C.
Ta có
và B�
Ta tính được BC  2a � BH  a ;

B�
D  A�
B

 a 3

2

 a 2  2a.

9


CD 

AC 2  AD 2  3a 2  4a 2  a 7 ;

3a 2 9a 2

 a 3.
4
4

CK  CE 2  EK 2 

B�
C  B�
K 2  CK 2  3a 2  3a 2  a 6.
2
2
2
B�
D 2  B�
C 2  CD 2  4a  6a  7a  6 .
�

�
cos CB D 
8
2.2a.a 6
2.B�
D.B�
C

Câu 14.

(Sở Yên Bái - 2018) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Tính giá trị của

cos  AB, DM 

.

3
A. 2 .

1
C. 2 .

3
B. 6 .

2
D. 2 .

Lời giải

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a.
Gọi N là trung điểm của AC .
�, DM = MN
�, DM
AB
Khi đó:

(

) (

)

a
a 3
MN = , DM = DN =
.
2
2
Ta có:
a2
2
2
2
3
� D = MN + M D - ND =
4
cosNM
=
.

2.MN .MD
6
a a 3
2. .
2 2
Vậy
Câu 15.

cos( AB, DM ) =

3
.
6

B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam
(Sở Nam Định - 2018) Cho hình lăng trụ ABC. A���
BC đều nằm trong mặt phẳng vng góc với
giác A�
cosin góc  giữa hai đường thẳng AA�và BM .
A.

cos 

2 22
11 .

B.

cos 

33
11 .

 ABC  .

cos 

C.
Lời giải

M là trung điểm cạnh CC �
. Tính

11
11 .

D.

cos 

22
11 .


a 3
H  � BC  AA�
H  BC � BC   AA�
2 và AH  BC , A�
Ta có:
hay

BC  BB�
B�là hình chữ nhật.
. Do đó: BCC �
AH  A�
H

a 2 .6
22
a 3
a 6
� BM  a 2 
a
. 2
16
4 .
2
2
Khi đó:
uuur uuuu
r uuur uuur uuuu
r
3a 2

AA�
.BM  AA�
. BC  CM
 0  AA�
.CM
4 .
Xét:

CC �
 AA�




cos  AA�
, BM  
Suy ra
Câu 16.



3a 2
4
33
a 6 a 22

.
11 .
2
4

(Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.MNP có tất cả các cạnh bằng nhau.
Gọi I là trung điểm cạnh AC . Côsin của góc giữa hai đường thẳng NC và BI bằng
6
A. 4 .

B.

15
5 .

6
C. 2 .
Lời giải

D.

10
4 .

Giả sử các cạnh của lăng trụ bằng a .
�  NC , BI    NC , NK 
Gọi K là trung điểm của MP � BI / / NK
.
ABC.MNP là lăng trụ tam giác đều � CP   MNP 
CK  CP 2  PK 2



a 5
2

CN  CP 2  NP 2  a 2
NK  NP  KP
2

2



a 3
2

NC 2  NK 2  CK 2
6
�
cos CNK 

4 .
2 NC.NK

11


Câu 17.

(Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC .
Khi đó

cos  AB, DM 

2
A. 2 .

bằng
3
B. 6 .

1
C. 2 .
Lời giải

3
D. 2 .

Chọn B

Gọi N là trung điểm của AC. Suy ra MN // AB
cos  AB, DM   cos  MN , DM 
Do đó:
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD , suy ra
Trong tam giác MND ta có:

�
cos NMD


MN 

a 3
a
ND  MD 
2;
2

MN 2  MD 2  ND 2
3


2.MN .MD
6

3
�
cos  AB, DM   cos NMD

6 .

Câu 18.

(ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S . ABCD có đáy hình vng. Cho tam giác SAB vng
0
 SAB  vng góc mặt phẳng đáy. Gọi M , N là trung
tại S và góc SBA bằng 30 . Mặt phẳng

 SM , DN  .
điểm AB, BC . Tìm cosin góc tạo bởi hai đường thẳng


2
A. 5 .

1
B. 5 .

1
C. 3 .

D.

2
3.

Lời giải
Chọn B

�
 SAB    ABCD 
�
 SAB  � ABCD   AB � SH   ABCD 
�
�
 SAB  , kẻ SH  AB tại H . Ta có: �SH � SAB  , SH  AB
Trong
.
Axyz
Kẻ tia Az // SH và chọn hệ trục tọa độ
như hình vẽ sau đây.

�  a.cos 300  a 3
SB  AB.cos SBA
2 .
Trong tam giác SAB vuông tại S ,
�  3a
� a 3
BH  SB.cos SBH
SH  BH .sin SBA
4 và
4 .

Trong tam giác SBH vuông tại H ,
a � � a a 3�
3a a � H �
0; ;0 �� S �
0; ;
�
�
AH  AB  BH  a 

�
�
4
�
�
� 4 4 �.
4 4
� a �
�a
�
M�
0; ;0 �
N � ; a; 0 �
� 2 �, D  a; 0; 0  , �2
�.
uuur uuur
a2
SM .DN
1
4
cos  SM , DN  



uuur � a a 3 � uuur
�a
�
SN .DN
a a 5
5
SM  �
0; ; 
�
 ; a;0 �
.
�
� DN  �
4
4
�
�,
�2
��
2 2
Ta có:
.

Dạng 2. Góc của đường thẳng với mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và
hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P)
Gọi  là góc giữa d và mặt phẳng (P) thì 0�� �90�
Đầu tiên tìm giao điểm của d và (P) gọi là điểm A.

13


Trên d chọn điểm B khác A, dựng BH vuông góc với (P) tại H. Suy ra AH là hình chiếu vng góc của d
trên mặt phẳng (P).
�
Vậy góc giữa d và (P) là góc BAH .
Nếu khi xác định góc giữa d và (P) khó q ( khơng chọn được điểm B để dựng BH vng góc với (P)), thì
ta sử dụng cơng thức sau đây. Gọi  là góc giữa d và (P) suy ra:
sin  

d  M , P 

AM
.
Ta phải chọn điểm M trên d, mà có thể tính khoảng cách được đến mặt phẳng (P). Còn A là giao điểm của d
và mặt phẳng (P).

Câu 1.

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh

3a , SA

vng góc với mặt phẳng đáy và SA  2a . Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng

0
A. 45 .

0

B. 60 .

0
C. 30 .

0
D. 90 .

Lời giải
Chọn C

�
�
Ta có SA  (ABCD) nên ta có (SC ,(ABCD ))  SCA
� 
tan SCA

Câu 2.

SA

AC

2a
3a. 2



1
3

�  300
� SCA

 ABC  ,
(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng
SA  a 2, tam giác ABC vuông cân tại B và AC  2a (minh họa nhứ hình bên). Góc giữa đường

 ABC  bằng
thẳng SB và mặt phẳng


.
A. 30�

.
B. 45�

.
C. 60�
Lời giải

.
D. 90�

Chọn B
SB � ABC   B �
�
�� AB
SA   ABC 

�

Ta có
�
� �
SB,  ABC    SBA

 ABC 
là hình chiếu của SB trên mặt phẳng

B � AB 2  BC 2  AC 2 � 2 AB 2   2a  � 2 AB 2  4a 2 � AB  a 2.
ABC
Do tam giác
vuông cân tại
�
.
Xét tam giác vng SAB vng tại A, có SA  AB  a 2 � SAB vuông cân tại A � SBA  45�
2

Câu 3.

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a ,
BC  2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA  15a (tham khảo hình bên).

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng
A. 45�
.
B. 30�.
C. 60�.
D. 90�.

Lời giải
Chọn C
Do SA vng góc với mặt phẳng đáy nên AC là hình chiếu vng góc của SC lên mặt phẳng

�
�; AC = SCA
�
SC
;( ABC ) ) = ( SC
)
(
đáy. Từ đó suy ra:
.
2
2
2
2
Trong tam giác ABC vng tại B có: AC  AB  BC  a  4a  5a .

Trong tam giác SAC vng tại A có:

� =
tan SCA

SA
15a
=
= 3
� = 60�
AC

5a
� SCA
.
15


�
SC
; ( ABC ) ) = 60�
(
Vậy
.
Câu 4.

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B ,
AB  3a, BC  3a, SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA  2a (tham khảo hình vẽ).

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng
o
0
0
A. 60 .
B. 45 .
C. 30 .
Lời giải
Chọn C
�
( SC;( ABC ) ) = SCA
Ta có:
2a

3
� = SA =
� = 300.
tan SCA
=
� SCA
2
2
AC
3
( 3a ) + 3a

(

Vậy
Câu 5.

0
D. 90 .

)

( SC;( ABC ) ) = 30o .

(Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S . ABC và có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

AB  a, BC  3a; SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA  30a (tham khảo hình bên). Góc
giữa đường thẳng SC và mặt đáy bằng

A. 45�.

B. 90�.

C. 60�.

D. 30�.

Lời giải
Chọn C

�
SC ,  ABC    SCA
 ABC  nên �
Do AC là hình chiếu vng góc của SC trên mặt phẳng
2
2
Ta có: AC  AB  BC  a 10


Khi đó
Câu 6.

tan SCA 

SA a 30
�  600

 3 � SCA
AC a 10
.

(Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a ;

BC  a 2 ; SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Góc giữa đường thẳng SC và đáy bằng
0
0
0
0
A. 90 .
B. 45 .
C. 60 .
D. 30 .
Lời giải
Chọn D

�
Ta có : Góc SC và đáy là góc SCA .
Xét tam giác SCA vng tại A có:
AC  AB 2  BC 2  a 3
�  SA  a � SCA
�  300
tan SCA
AC a 3
.

Câu 7.

 6a
B C D có AB  BC  a, AA�
(Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A����

C và mặt phẳng  ABCD  bằng:
(tham khảo hình dưới). Góc giữa đường thẳng A�

A. 60�.

B. 90�.

C. 30�.
Lời giải

D. 45�.

Chọn A

17


C và mặt phẳng  ABCD  bằng góc giữa A�
C và AC và bằng góc
Ta có góc giữa đường thẳng A�
�
A�
CA .
2
2
Ta có AC  AB  BC  a 2 .

CA có
Xét tam giác A�

tan �
A�
CA 

A�
A
6a

 3��
A�
CA  60�
AC
2a
.

C và mặt phẳng  ABCD  và bằng 60�.
Vậy góc A�

Câu 8.

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  a , AD  2 2a ,
AA '  3a (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng A ' C và mặt phẳng  ABCD  bằng

�
A. 45 .

�
B. 90 .

�

C. 60 .

�
D. 30 .

Lời giải
Chọn D
A ' CA
 ABCD  là AC do đó  A ' C ;  ABCD     A ' C ; AC   �
Ta thấy: hình chiếu của A ' C xuống
.
2
2
Ta có: AC  AB  AD  3a .

Xét tam giác A ' CA vng tại C ta có:
tan  A ' CA  

A' A
3a
3


AC
3a
3

��
A ' CA  30�.

Câu 9.

B C D , có AB  AA�
 a , AD  a 2
(Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A����
C và mặt phẳng  ABCD  bằng
(tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng A�

o
A. 30 .

o
B. 45 .

o

o
D. 60 .

C. 90 .
Lời giải

Chọn A
Vì ABCD là hình chữ nhật, có AB  a , AD  a 2 nên



AC  BD  AB 2  AD 2  a 2  a 2
Ta có

2

a 3

C ;  ABCD     A�
C ; CA  �
A�
CA
 A�

AC vuông tại A nên
Do tam giác A�
Câu 10.



(Mã

104

-

2020

Lần

tan �
A�
AC 

2)

Cho

AA� a
1


AC a 3
3 � �
A�
AC  30o.

hình

hộp

chữ

nhật

ABCD. A����
BC D
có

AB  a, AD  3a, AA�
 2 3a (tham khảo hình vẽ).

C và mặt phẳng  ABCD  bằng

Góc giữa đường thẳng A�
A. 45�.
B. 30�.
C. 60�.
Lời giải
Chọn C

D. 90�.

C lên mặt phẳng  ABCD 
nên AC là hình chiếu của A�
C và mặt phẳng  ABCD  bằng �
A�
CA .
suy ra góc giữa đường thẳng A�

Do

A�
A   ABCD 

19


A�
A
A�
A
tan �
A�

CA �
2
AC
AB  AD 2

2 3a
a2 

Có
Câu 11.



3a



2

3

�CA 60
A
.

(Mã 103 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại C , AC  a , BC  2a , SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
A. 60�

B. 90�

C. 30�
Lời giải

D. 45�

Chọn C

Có

SA   ABC 



�
� SB
,  ABC 

 ABC  .
nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng
�, AB  SBA
�
 SB
.

 



2

2
Mặt khác có ABC vuông tại C nên AB  AC  BC  a 3 .
�  SA  1
�
tan SBA
SB
,  ABC   30�
AB
3
Khi đó
nên
.



Câu 12.



 ABC  , SA  2a , tam
(Mã 102 - 2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng
giác ABC vuông tại B , AB  a và BC  3a (minh họa như hình vẽ bên).

 ABC  bằng
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
A. 30�.
B. 60�.
C. 45�
.
Lời giải

Chọn C

D. 90�.


 ABC  , suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC 
Vì SA vng góc với mặt phẳng
�
bằng SCA .
� 
tan SCA

Mà

SA

AC

2a
a  3a 2
2

1

.

�
Vậy SCA  45�.
Câu 13.

SA ^ ( ABC )
(Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Cho khối chóp S . ABC có
, tam giác ABC

( SBC ) .
vuông tại B , AC = 2a , BC = a , SB = 2a 3 . Tính góc giữa SA và mặt phẳng
A. 45�
.
B. 30�.
C. 60�.
D. 90�.
Lời giải

Trong

Vì

( SAB) kẻ AH ^ SB ( H �SB ) .

�
SA ^ BC
�
� BC ^ ( SAB ) � BC ^ AH
�
�
�AB ^ BC

.

AH ^ ( SBC )

( SBC ) suy ra
Mà SB ^ AH do cách dựng nên
, hay H là hình chiếu của A lên

( SBC ) là góc �
ASH hay góc �
ASB .
góc giữa SA và
2
2
Tam giác ABC vuông ở B � AB = AC - BC = a 3

AB 1
� sin �
ASB =
= ��
ASB = 30�
SAB
SB
2
A
Tam giác
vuông ở

Câu 14.

(Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vng tại 1 và B .
AB  BC  a , AD  2a . Biết SA vng góc với đáy ( ABCD) và SA  a . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm SB, CD . Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( SAC )
5

A. 5

55
B. 10

3 5
C. 10

2 5
D. 5

Lời giải
Chọn C
21


Ta gọi E , F lần lượt là trung điểm của SC AB .
Ta có ME / / NF ( do cùng song song với BC . Nên tứ giác MENF là hình thang,
�MF / ISA
� MF  ( ABCD )
�
SA

(
ABCD
)
�
và
hay tứ giác MENF là hình thang vng tại M , F
Gọi K  NF �AC , I  EK �M thì I  MN �( SAC )

�NC  AC
� NC  ( SAC )
�
Ta có: �NC  SA
hay E là hình chiếu vng góc của N lên ( SAC )
Từ đó ta có được, góc giữa MN và ( SAC ) là góc giữa MN và CI
sin  

CN
IN

Suy ra, gọi Q là góc giữa MN và ( SAC ) thì
2
1
a 2 IN KN
2
a 10
NC  CD 

 2 � IN  MN 
MF 2  FN 2 
2
2 ; M ME
3
3
3
Vậy
Câu 15.

sin  

CN 3 5

IN
10 .

(Mã 102 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt
phẳng đáy và SA  2 a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng
A. 45�
B. 60�
C. 30�
D. 90�
Lời giải
Chọn A

�
Do SA   ABCD  nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng góc SCA .
�  SA
� tan SCA
�  45�
AC  1 � SCA
Ta có SA  2 a , AC  2a
.
Vậy góc giữa đường thẳng SC và và mặt phẳng đáy bằng bằng 45�
.
Câu 16.

(Mã 101 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt
phẳng đáy và SB  2a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
A. 45�

B. 60�

C. 90�
Lời giải

D. 30�


Chọn B

�
Do SA   ABCD  nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng góc SBA .
�  AB  1
cos SBA
�  60�
SB 2 � SBA
Ta có
.
Vậy góc giữa đường thẳng SB và và mặt phẳng đáy bằng bằng 60�.
Câu 17.

 ABC  , SA  2a , tam
(Mã 101 - 2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng
giác ABC vuông tại B, AB  a 3 và BC  a (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa đường

 ABC  bằng:
thẳng SC và mặt phẳng

0

A. 45 .

0
B. 30 .

0

C. 60 .
Lời giải

0
D. 90 .

Chọn A

 ABC  nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng  ABC  .
Ta có SA 
Do đó

�
 SC ,  ABC     SC , AC   SCA
.

2
2
2
Tam giác ABC vuông tại B, AB  a 3 và BC  a nên AC  AB  BC  4a  2a .
0
�
Do đó tam giác SAC vuông cân tại A nên SCA  45 .

Vậy
Câu 18.

 SC ,  ABC    45

0

.

(Đề Tham Khảo 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M
là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt
phẳng

 ABCD 

bằng
23


2
A. 2

3
B. 3

2
C. 3
Lời giải

1
D. 3

Chọn D

SO  a 2 

a2 a 2

2
2

SO   ABCD 
Gọi O là tâm của hình vng. Ta có
và
Gọi M là trung điểm của OD ta có MH / / SO nên H là hình chiếu của M lên mặt phẳng

 ABCD 

và

MH 

1
a 2
SO 
2
4 .

�

Do đó góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ( ABCD ) là MBH .
a 2
MH
1
�
tan MBH

 4 
BH 3a 2 3
4
Khi đó ta có
.

Vậy tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng
Câu 19.

 ABCD 

1
bằng 3

 ABC  , SA  2a , tam
(Mã 104 - 2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng
giác ABC vng cân tại B và AB  a 2 (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC
và mặt phẳng

 ABC 

bằng

o
A. 30 .

o
B. 90 .

o

C. 60 .
Lời giải

o
D. 45 .

Chọn D
Ta có

SA   ABC 

phẳng

 ABC  .

Do đó,



nên đường thẳng AC là hình chiếu vng góc của đường thẳng SC lên mặt

 



�
�, AC  SCA
�
  SC
,  ABC   SC

(tam giác SAC vuông tại A ).

Tam giác ABC vuông cân tại B nên AC  AB 2  2a .
�  SA  1
tan SCA
o
AC
Suy ra
nên   45 .
Câu 20.

(Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a . Gọi M là

 ABCD  .
trung điểm của SD Tính tan của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng
2
A. 2 .

3
B. 3 .

2
C. 3 .
Lời giải

1
D. 3 .

MH   ABCD 
Trong tam giác SOD dựng MH //SO, H �OD ta có
.
 ABCD  là MBH
�
Vậy góc tạo bởi BM và mặt phẳng
.
Ta có
BH 

MH 

1
1
1
a 2
SO 
SD 2  OD 2 
4a 2  2a 2 
2
2
2

2 .

3
3
3a 2
BD  2a 2 
4
4
2 .

25