GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ỨNG DỤNG (Hệ Cao đẳng nghề, Trung cấp chuyên nghiệp)

TẬP ĐOÀN DỆT MAY VIỆT NAM
TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ KỸ THUẬT VINATEX

GIÁO TRÌNH

CƠ HỌC ỨNG DỤNG
(Hệ Cao đẳng nghề, Trung cấp chuyên nghiệp)

Tài liệu lưu hành nội bộ
Nam Định, năm 2010


TẬP ĐOÀN DỆT MAY VIỆT NAM
TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ KỸ THUẬT VINATEX

GIÁO TRÌNH

CƠ HỌC ỨNG DỤNG
(Hệ Cao đẳng nghề, Trung cấp chuyên nghiệp)

Tài liệu lưu hành nội bộ
Nam Định, tháng 10 năm 2009


MỤC LỤC
PHẦN 1 – CƠ HỌC VẬT RẮN .............................................................................. 3
CHƯƠNG 1- CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT TĨNH
HỌC ....................................................................................................................... 3
1.1 Các khái niệm cơ bản ................................................................................... 3
1.2 Các tiên đề tĩnh học. ..................................................................................... 5
1.3 Liên kết và phản lực liên kết ........................................................................ 7

CHƯƠNG 2 – HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY .............................................. 12
2.1 Định nghĩa .................................................................................................. 12
2.2 Thu gọn hệ lực phẳng đồng quy. ................................................................ 12
2.4 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy ........................................ 14
CHƯƠNG 3 : NGẪU LỰC................................................................................ 17
3.1 Mô men của lực đối với một điểm. ............................................................ 17
3.2 Ngẫu lực ..................................................................................................... 18
CHƯƠNG 4- HỆ LỰC PHẲNG BẤT KỲ ....................................................... 21
4.1 Khái niêm: .................................................................................................. 21
4.2 Thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm. ......................................................... 21
4.3 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ.............................................. 23
CHƯƠNG 5 - HỆ LỰC SONG SONG - TRỌNG TÂM VẬT RẮN ............. 25
5.1 Hệ lực song song ........................................................................................ 25
5.2 Trọng tâm vật rắn ....................................................................................... 26
CHƯƠNG 6 - MA SÁT ...................................................................................... 30
6.1 Ma sát trượt ................................................................................................ 30
6.2 Ma sát lăn ................................................................................................... 32
CHƯƠNG 7 - ĐỘNG HỌC ............................................................................... 34
7.1 Chuyển động cơ bản của vật rắn ................................................................ 34
7.2 Chuyển động của điểm thuộc vật rắn quay quanh trục cố định. ................ 38
7.3 Chuyển động tổng hợp của điểm ............................................................... 39
CHƯƠNG 8 - ĐỘNG LỰC HỌC ..................................................................... 42
8.1 Các định luật cơ bản của động lực học ...................................................... 42
8.2 Công và năng lượng ................................................................................... 43
8.3 Công suất .................................................................................................... 44
8.4 Các định lý tổng quát của động lực học ..................................................... 45
PHẦN 2 – CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG..................................................... 51
CHƯƠNG 9 – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .................................................... 51
9.1 Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu. ........................................................... 51
9.2 Ngoại lực - Nội lực – ứng suất. .................................................................. 52

9.3 Các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang. ............................................... 55
9.4 Biến dạng.................................................................................................... 56
9.5 Bài toán phẳng – Biểu đồ nội lực ............................................................... 57
9.6 Các giả thuyết cơ bản của sức bền vật liệu ................................................ 58
CHƯƠNG 10 : KÉO – NÉN ĐÚNG TÂM....................................................... 59
10.1 Khái niệm ................................................................................................. 59
-1-


10.2 Biểu đồ nội lực ......................................................................................... 59
10.3 Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh .................................................... 60
10.4 Biến dạng, độ giãn dài của thanh ............................................................. 62
10.5 Điều kiện bền ........................................................................................... 63
CHƯƠNG 11 - XOẮN THUẦN TUÝ .............................................................. 66
11.1 Khái niệm ................................................................................................. 66
11.2 Nội lực – Biểu đồ nội lực ........................................................................ 66
11.3 Điều kiện bền , ba bài toán cơ bản. .......................................................... 69
CHƯƠNG 12 - UỐN PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG .......................... 70
12.1 Khái niệm ................................................................................................. 70
12.2 Dầm chịu uốn thuần túy phẳng ................................................................ 71
12.3. Uốn ngang phẳng .................................................................................... 77
PHẦN 3: NGUYÊN LÝ – CHI TIẾT MÁY ........................................................ 81
CHƯƠNG 13: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA VỀ MÁY ......... 81
13.1 Máy........................................................................................................... 81
13.2 Chi tiết máy .............................................................................................. 81
13.3 Cơ cấu....................................................................................................... 82
13.4 Khâu và khớp động .................................................................................. 82
13.5 Tỉ số truyền............................................................................................... 85
CHƯƠNG 14: TRUYỀN ĐỘNG MA SÁT ...................................................... 86
14.1 Truyền động bánh ma sát. ........................................................................ 86

14.2 Truyền động đai ....................................................................................... 87
CHƯƠNG 15 – TRUYỀN ĐỘNG ĂN KHỚP ................................................. 93
15.1 Truyền động bánh răng ............................................................................ 93
15.2 Truyền động trục vít - bánh vít .............................................................. 100
15.3 Truyền động xích ................................................................................... 102
15.4 Truyền động cơ cấu cóc ......................................................................... 105
CHƯƠNG 16: CƠ CẤU 4 KHÂU – 4 KHỚP BẢN LỀ, CƠ CẤU CAM VÀ
MỘT SỐ LOẠI TRUYỀN ĐỘNG CƠ KHÍ KHÁC ..................................... 106
16.1 Cơ cấu 4 khâu bản lề .............................................................................. 106
16.2 Cơ cấu cam ............................................................................................. 107
16.3 Một số loại truyền động cơ khí khác ...................................................... 109
16.3.1 Cơ cấu Manter ..................................................................................... 109
16.3.2 Cơ cấu bánh răng - thanh răng ............................................................ 110
16.3.3 Cơ cấu vít me - đai ốc. ....................................................................... 110
16.3.4 Khớp ly hợp ......................................................................................... 111

-2-


PHẦN 1 – CƠ HỌC VẬT RẮN
Mục tiêu:
 Trình bày một số kiến thức cơ bản về cơ học;
 Giải được một số bài toán tĩnh học, hợp chuyển động đơn giản.
CHƯƠNG 1- CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ
CÁC ĐỊNH LUẬT TĨNH HỌC
1.1 Các khái niệm cơ bản
1.1.1 Vật rắn tuyệt đối
Vật rắn tuyệt đối là vật thể mà trong suốt q trình chịu lực nó khơng bị
thay đổi về hình dạng kích thước (biến dạng) hay nói một cách khác là khoảng
cách giữa 2 điểm bất kỳ thuộc vật luôn luôn không đổi. Vật rắn tuyệt đối chỉ là mơ

hình của các vật thể khi các biến dạng của nó bỏ qua được do q bé hoặc khơng
đóng vai trị quan trọng trong q trình khảo sát. Để đơn giản, sau đây vật rắn tuyệt
đối sẽ được gọi vắn tắt là vật rắn hoặc đơn giản hơn - vật
Trong thực tế khơng có vật rắn tuyệt đối vì khi chịu lực các vật rắn ít nhiều
đều bị biến dạng. Nhưng đối với các chi tiết máy hay các kết cấu cơng trình người
ta phải tính tốn và thiết kế sao cho sự biến dạng đó khơng ảnh hưởng tới chức
năng của máy hay cơng trình, có nghĩa là sự biến dạng đó phải coi như khơng đáng
kể. Trong trường hợp này chúng coi như khơng biến dạng hay nói cách khác chúng
là vật rắn tuyệt đối.
1.1.2 Chất điểm
Chất điểm là điểm hình học có khối lượng bằng khối lượng của vật thể hoặc
một phần của vật thể. Trong nhiều trường hợp có thể coi vật thể như chất điểm khi
kích thước của nó có thể bỏ qua trong q trình khảo sát, ví dụ, khi ta nghiên cứu
chuyển động của các hành tinh trong hệ mặt trời.
1.1.3 Lực và hệ lực
a/ Lực
Tác dụng tương hỗ cơ học giữa các vật thể, gây ra sự biến đổi của trạng thái
chuyển động cơ học (bao gồm cả biến dạng) của các vật thể được gọi là lực.
Trong tĩnh học các lực được hiểu như một đại lượng đặc trưng cho sự tác
động tương hỗ giữa các vật thể mà kết quả là gây nên sự thay đổi trạng thái hay vị
trí của các vật thể đó.
Vậy: Lực là một đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hỗ giữa các vật thể
mà kết quả là làm thay đổi trạng thái hay vị trí của các vật thể đó.
Các yếu tố của lực.
- Điểm đặt: Là điểm trên vật mà tại đó vật nhận lực tác dụng vào.
- Phương chiều: là phương và chiều chuyển động của chất điểm (vật thể có
kích thước vô cùng bé) từ trạng thái yên nghỉ dưới tác dụng cơ học.
Bất kỳ lực nào khi tác dụng lên vật cũng có phương và chiều nhất định.
Ví dụ: Lực ma sát luôn ngược chiều với chiều chuyển động, trọng lực hướng về
tâm trái đất...

-3-


Đường thẳng mà theo đó lực tác dụng lên vật gọi là đường tác dụng của lực
(Hình 1-1).
- Trị số của lực: Cường độ tác dụng của lực biểu thị độ mạnh yếu của lực.
Lực phụ thuộc vào cả 3 yếu tố trên, thay đổi 1 trong 3 yếu tố đó tác dụng của
lực sẽ thay đổi.
Biểu diễn lực.
Đường tác dụng
Đối chiếu với các khái niệm toán học
của lực
đã biết ta thấy về mặt hình học có thể biểu
F
diễn lực dưới dạng một véc tơ (Hình 1-1).
- Gốc véc tơ biểu diễn điểm đặt lực.
AF B
- Phương và chiều véc tơ biểu diễn phương
và chiều của lực.
- Chiều dài của véc tơ theo 1 tỷ lệ xích nào
Hình 1-1
đó biểu diễn trị số của lực.
- Ký hiệu lực bằng 1 hoặc 2 chữ cái in hoa
có mũi tên ở trên F hoặc AB
Đơn vị tính lực:
Đơn vị chính để đo độ lớn của lực là: Niu tơn, ký hiệu là : N. Bội số của N
là KilôNiutơn, ký hiệu là KN (1KN = 103 N); MêgaNiutơn, ký hiệu MN (1MN =
106 N).
Lực còn được ký hiệu là kG lực: 1kG = 9.81 N  10 N.
b/ Hệ lực

- Hai lực trực đối: Là hai lực có cùng trị số, cùng đường tác dụng nhưng
ngược chiều nhau (hình 1- 2a,b).
F1

F2

Q1

Q2

F1
F2

F4



F1   F2



Q1  Q2

F3

Hình1-2a

Hình1-3
Hình 1-2b
- Hệ lực: Là tất cả các lực cùng tác dụng lên một vật rắn (hình 1-3). Hệ lực

ký hiệu như sau: ( F1 ; F2 ; F3 ; F4 ). Hệ lực có nhiều dạng, ta sẽ lần lượt nghiên cứu ở
các phần sau.
- Hệ lực tương đương: Hai hệ lực được gọi là tương đương nhau nếu chúng
cùng gây cho vật tác dụng cơ học như nhau. Vậy hai lực tương đương có thể thay
thế tác dụng cho nhau. Ký hiệu dấu tương đương:  Ví dụ hệ lực ( F1 , F2 ...Fn ; )
tương đương với hệ lực (Q1 , Q2 ,..Qn ) được viết như sau: ( F1 , F2 ...Fn )  (Q1 , Q2 ,..Qn ) .
- Hợp lực: Hợp lực của một hệ lực là một lực có tác dụng tương đương với
cả hệ lực.
-4-


Ví dụ: Nếu lực R có tác dụng tương đương với hệ lực ( F1 , F2 ...Fn ) thì R là hợp lực
của hệ ( F1 , F2 ...Fn ).
- Hệ lực cân bằng: Là hệ lực tác động vào vật rắn không làm thay đổi trạng
thái động học của vật. Nói cách khác hệ lực cân bằng tương đương 0.
Kí hiệu hệ lực cân bằng: ( F1 , F2 ...Fn )  0.
Vật chịu tác dụng của hệ lực cân bằng được gọi là vật cân bằng (vật ở trạng
thái cân bằng). Trong phần này ta chỉ nghiên cứu vật ở trạng thái cân bằng là vật
đứng yên so với mặt đất.
1.1.4 Trạng thái cân bằng
Vật rắn được nghiên cứu trong tĩnh học là vật rắn cân bằng. Vật rắn cân
bằng là vật luôn nằm yên hay chuyển động thẳng đều so hệ trục toạ độ đã được
chọn làm chuẩn.
Nếu hệ trục toạ độ được gắn với hệ quy chiếu cố định trái đất thì cân bằng
đó là cân bằng tuyệt đối.
Sự cân bằng của vật rắn. Nếu dưới tác dụng của một hệ lực, vật rắn đang
đứng yên hoặc đạng chuyển động so với một hệ toạ độ đã chọn nào đó thì vẫn tiếp
tục chuyển động thẳng đều, ta nói rằng vật rắn đó ở trạng thái cân bằng. Khi đó,
các lực tác dụng lên vật rắn một hệ lực cân bằng. Bất kỳ một lực nào của hệ lực
cân bằng cũng cân bằng với các lực còn lại.

1.2 Các tiên đề tĩnh học.
1.2.1. Tiên đề 1 (hai lực cân bằng ).
Điều kiện cần và đủ để vật rắn chịu tác dụng của 2 lực cân bằng là 2 lực đó
phải có cùng trị số, cùng đường tác dụng là đường nối 2 điểm đặt và có chiều
ngược
 nhau
 (hình 1.5).
F1  F2 Hay (F1 ,F2 )  0
Với hai hệ lực cân bằng:
(F1 ,F2 ,....,Fn )  (F'1 ,F'2 ,....,F'n )  0

Q1

Q2

F1

F2

F1 = - F

Q1 = - Q2
Hình 1-5b

2

Hình 1-5a

1.2.2. Tiên đề 2 (thêm bớt hai lực cân bằng).
Tác dụng của hệ lực lên một vật rắn sẽ không thay đổi nếu thêm vào hay bớt

đi hai lực cân bằng nhau (Hình 1.6a)
-5-


* Hệ quả (trượt lực) : Tác dụng của 1 lực lên một vật rắn sẽ không thay đổi
khi trượt lực trên đường tác dụng của nó (Hình 1.6b).
Chứng minh: Giả sử có một vật rắn chịu sự tác động của lực F đặt tại điểm A.
Trên đường tác dụng của lực F ta thêm vào hai lực F1 , F2 đặt tại điểm B biết
rằng (F1, F2 )  0 có trị số F1  F2  F và có cùng đường tác dụng với lực F .
Theo định luật 1 ta có  F, F1   0
Theo định luật 2 ta có thể bỏ hệ  F, F1  như vậy chỉ cịn có lực F2 tác dụng lên hệ.
Kết quả là lực F đã được rời từ vị trí A đến vị trí B của F2 .
Định lý đã được chứng minh.

Hình 1-6 a)
Hình 1-6 b)
1.2.3. Tiên đề 3 ( Quy tắc hình bình hành lực).
Hai lực tác dụng lên vật rắn tại điểm tương đương với một lực tác dụng tại
cùng điểm đó và có véc tơ lực bằng véc tơ chéo của hình bình hành có hai cạnh là
hai véc tơ lực của các lực đã cho.
Nhờ định luật này cho phép sử dụng phép tính cộng véc tơ để cộng lực. Do hệ
quả trượt lực, điều kiện hai lực đặt tại một điểm có thể mở rộng thành điều kiện hai
đường tác dụng của hai lực gặp nhau.
1.2.4. Tiên đề 4 (tác dụng tương hỗ).
Lực mà hai vật tác dụng lẫn nhau bằng nhau về trị số cùng phương và
ngược chiều.
Về bản chất hai lực này không phải là hai lực cân bằng vì chúng có điểm đặt tại hai
vật thể khác nhau.
Đây là tiên đề cơ bản của tĩnh học nó chỉ rõ lực bao giờ cũng xuất hiện 2
chiều. Nếu B tác dụng lên A một lực F thì nó cũng chịu của A một lực phản tác

dụng F ' (Hình 1.8).
Về véc tơ F = - F'

-6-


Hình 1-7
Hình 1-8
1.2.5. Tiên đề hố rắn.
Nếu dưới tác dụng của hệ lực nào đó mà vật biến dạng ở trạng thái cân bằng
thì khi rắn lại vật đó vẫn cân bằng.
Ý nghĩa: Dưới tác dụng của lực vật có thể bị biến dạng nhưng sau khi biến
dạng rồi nó ở trạng thái cân bằng thì ta có thể xem nó như vật rắn đang ở trạng thái
cân bằng và tiến hành khảo sát lực mà khơng ảnh hưởng gì đến kết quả. Tiên đề
này cho phép ứng dụng các phương trình tĩnh học để giải các bài tốn tìm phản lực
trong phần cơ học biến dạng.
1.2.6. Tiên đề giải phóng liên kết.
Vật khơng tự do (tức là vật chịu liên kết) cân bằng có thể được xem là vật tự
do cân bằng nếu giải phóng các liên kết thay thế tác dụng của các liên kết được
giải phóng bằng các phản lực liên kết tương ứng.
1.3 Liên kết và phản lực liên kết
1.3.1 Vật tự do và vật bị liên kết
Vật rắn có thể thực hiện mọi di chuyển vơ cùng bé từ vị trí đang xét sang vị
trí lân cận, gọi là vật rắn tự do. Nếu một số di chuyển của vật rắn bị cản trở bởi
những vật khác, thì vật rắn là khơng tự do.
Những điều kiện cản trở di chuyển của vật rắn gọi là những liên kết đặt lên
vật rắn. Trong tĩnh học chỉ khảo sát các liên kết hình học là loại liên kết được tạo
thành bởi sự tiếp xúc hình học giữa các vật rắn. Vật không tự do gọi là vật chịu
liên kết, vật gây cản trở cản trở di chuyển của vật khác được gọi là vật gây liên
kết.

Ví dụ: quyển sách đặt trên mặt bàn thì quyển sách là vật khảo sát và bàn là
vật gây liên kết.
Các lực đặc trưng cho tác dụng tương hỗ giữa các vật có liên kết hình học
với nhau qua vị trí tiếp xúc được gọi là lực liên kết. Các lực liên kết sẽ biến mất
khi các liên kết mất đi. Các lực không phải là lực liên kết gọi là các lực hoạt động,
các lực này không biến mất đi khi các liên kết mất đi.
1.3.2 Phản lực liên kết
Do tác dụng tương hỗ, vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết một lực, gọi
là lực tác dụng. Theo tiên đề 4, vật gây liên kết phải tác dụng lên vật khảo sát một
lực, lực đó gọi là phản lực liên kết ( gọi tắt là phản lực).
Tất cả những đối tượng có tác dụng khống chế dịch chuyển của vật đang
khảo sát được gọi là các liên kết.
-7-


Những lực mà các vật khác tác dụng lên vật đang khảo sát làm hạn chế hay
cản trở chuyển động của nó gọi là các phản lực liên kết ( lực phản tác dụng do các
liên kết gây ra)
Phản lực liên kết đựơc xác định theo các nguyên tắc sau:
- Phản lực liên kết bao giờ cũng đặt vào vật thể khảo sát tại điểm tiếp xúc
giữa nó và vật gây liên kết.
- Phản lực liên kết cùng phương và ngược chiều với chuyển động bị cản trở.
Nói cách khác nó vng góc với phương của chuyển động
1.3.3 Một số liên kết thường gặp.
Độ lớn của phản lực liên kết phụ thuộc vào các lực hoạt động tác dụng lên
vật được khảo sát, tuy nhiên tuỳ theo tính chất của liên kết, ta có thể xác định các
đặc trưng về phương chiều của chúng. Để xác định phương chiều của phản lực liên
kết ta giả sử bỏ qua lực ma sát tại chỗ tiếp xúc của vật khảo sát và vật liên kết, khi
đó tương ứng với hướng di chuyển thẳng bị ngăn trở có phản lực ngược chiều
tương ứng với hướng di chuyển quay bị ngăn trở có mơmen phản lực ngược chiều.

Dưới đây là một số liên kết thường gặp.
Tiên đề: Vật rắn khơng tự do có thể xem như vật rắn tự do khi giải phóng
các liên kết và thay vào đó bằng các phản lực liên kết tương ứng.
1/ Liên kết tựa (vật khảo sát tựa lên vật liên kết):
Hai vật trực tiếp tựa lên nhau theo một bề mặt, hoặc đường, hoặc điểm; loại
liên kết này cho phép vật khảo sát có thể di chuyển dọc theo một phương nào đó
đối với vật gây liên kết, phản lực liên kết có phương theo pháp tuyến chung giữa
hai mặt tiếp xúc. Trường hợp đặc biệt nếu tiếp xúc là một điểm nhọn tựa lên mặt
hay ngược lại thì phản lực liên kết sẽ có phương pháp tuyến với mặt tại điểm tiếp
xúc. ( Hình vẽ 1-9, 1-10, 1-11)

Hình 1-9
Hình 1-10
Hình 1-11
2/ Liên kết dây mềm, ví dụ các liên kết bằng tời, cáp, đai truyền... Các liên
kết dạng này chỉ hạn chế chuyển động của vật thể theo chiều dây hoặc thanh, phản
lực liên kết luôn có phương dọc theo dây.

-8-


Hình 1-12
3/ Liên kết thanh
Được thực hiện nhờ các thanh không trọng lượng (trọng lượng thanh không
đáng kể) và nối khớp bản lề ở hai đầu
Phản lực liên kết nằm dọc theo trục của thanh (đối với thanh thẳng), và
theo đường nối giữa tâm của hai đầu bản lề của thanh (đối với thanh cong) có
chiều hướng vào thanh hoặc ra khỏi thanh tuỳ theo thanh chịu kéo hay thanh
chịu nén, số phản lực bằng số thanh liên kết.

Hình 1-13
4/ Liên kết khớp bản lề:
Liên kết bản lề di động (hình 1-14) chỉ hạn chế chuyển động của vật khảo
sát theo chiều vng góc với mặt phẳng trượt do đó phản lực liên kết có phương
vng góc với mặt trượt.
Liên kết bản lề cố định (hình 1-15): vật khảo sát khơng thể có các di chuyển
thẳng mà chỉ có thể quay tương đối với vật gây liên kết một góc nào đó trong mặt
phẳng vng góc với trục bản lề. Phản lực liên kết sẽ vng góc với trục bản lề
nhưng chưa biết phương chiều, vì vậy thường được phân thành hai thành phần
vng góc với nhau nằm trong mặt phẳng vng góc với trục bản lề.

Hình 1-14

Hình 1-15

-9-


5/ Liên kết ngàm.
Là loại liên kết cản trở mọi chuyển động của vật khảo sát. Vật khảo sát bị
hạn chế khơng những di chuyển theo các phương mà cịn hạn chế cả chuyển động
quay.
Liên kết ngàm phẳng (hình 1.16a), so với liên kết bản lề cố định cịn có thêm
hạn chế sự quay của vật đối với liên kết, do đó ngồi các thành phần phản lực theo
phương thẳng đứng và nằm ngang cịn có mơmen phản lực m.
Lực được xác định như liên kết bản lề cố định ( X và Y ) ,cịn mơmen m
chưa biết chiều quay và trị số. Khi tính tốn phải giả thiết chiều quay.
Liên kết ngàm không gian, vật khảo sát bị hạn chế 6 bậc tự do( Hình1-16b)

Hình 1-16 a

Hình 1-16b
1.3.4 Lực tập trung và lực phân bố
Lực tập trung là lực đặt tại một điểm trên vật khảo sát.
Lực phân bố đặt trên một độ dài nào đó của vật và được đặc trưng bởi cường
độ phân bố q (N/m hay kN/m) trên một đơn vị chiều dài.
Để có thể đơn giản khi tính tốn các phản lưc, có thể thay lực phân bố bằng
lực tập trung. Trên hình 1.17 trình bày hai trường hợp thường gặp: Lực phân bố
theo quy luật hình chữ nhật (hình 1.17a) có thể thay bằng lực tập trung Q = ql đặt
tại điểm giữa của chiều dài phân bố lực; lực phân bố theo quy tắc tam giác lực
(hình 1.17b) có thể thay bằng lực tập trung Q = ql/2 đặt tại l/3 chiều dài đoạn phân
bố lực về phía đáy lớn của tam giác

- 10 -


Hình 1-17a

Hình 1-17b

- 11 -


CHƯƠNG 2 – HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY
2.1 Định nghĩa
F2
Hệ lực phẳng đồng quy là hệ
F
2
lực mà đường tác dụng của các lực
F1

thuộc hệ gặp nhau tại 1 điểm (Hình
F1
2-1).
0
0
Theo tiên đề 1 và 2 và hệ quả
trượt lực ta có thể trượt các lực về
F3
Fn
F3
điểm đồng quy (điểm 0) để có hệ lực
Hình 2-1
Hình 2-2
đồng quy cùng điểm đặt (Hình 2-2)
2.2 Thu gọn hệ lực phẳng đồng quy.
* Định lý: Thu hệ lực phẳng đồng quy ta được 1 hợp lực R đặt tại điểm đồng
quy 0 (Hình 2-3).
Chứng minh:
C
D
R
Giả sử ta có hệ lực (F1 , F2 ,...., Fn ) đồng quy tại
R2
điểm O.
B
áp dụng tiên đề 3 thu lần lượt từng 2 lực một
F2
bằng quy tắc hình bình hành: Hợp 2 lực
F3
R1

(F1 , F2 ) ta được R 1 đặt tại 0, rồi lại hợp R 1 với
F 3 ta được R 2 đặt tại 0, cứ làm như vậy cuối Fn
A
F1
0
cùng ta được 1 hợp lực R đặt tại 0.
Như vậy, hệ lực đồng quy có thể thay thế bằng
Hình 2-3
hợp lực R
R  (F1 , F2 ,...., Fn )

2.3 Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy.
2.3.1 Phương pháp hình học:

F'2
F1

F'3

F2

O

R
F3

Hình 2-4
Cho hệ lực ( F1 , F2 , F3 ) đồng quy tại O (hình 2- 4). Cách tìm hợp lực như sau:
Lấy F1 làm chuẩn, đặt lên mút F1 véc tơ F2'  F2 , tiếp tục đặt lên mút F2' véc tơ
F3'  F3 . Véc tơ có gốc O (gốc của F1 ) và trùng với mút của F3' là véc tơ hợp lực

R.
- 12 -


Thật vậy, theo cách làm trên chính là ta đã vận dụng quy tắc tam giác hợp
lực cho hai lực một, cho đến hết hệ lực đã cho:
R  F1  F2'  F3'  F1  F2  F3 .
Theo phương pháp trên ta đã lập được một đa giác mà các cạnh là các lực
thành phần và hợp lực R là véc tơ khép kín đa giác lực.
Trường hợp tổng quát đối với hệ có n lực, theo cách làm trên ta có:
F1  F2  ...  Fn   F .
2.3.2 Phương pháp giải tích:
Phương pháp giải tích là phương pháp tính tốn hợp lực dựa trên việc tính
tốn các hình chiếu của các lực trong hệ lực, trên hệ trục toạ độ vng góc.

y

y
± FY

O

F

F'y
Fy

F
α

α

(+)
FX

(-)
FX

Hình 2-5

x

O

F'
F

F'X

FX

x

Hình.2-6

1. Chiếu một lực lên hệ trục toạ độ vng góc:
- Cho lực F ( hai trường hợp đối nhau) và hệ toạ độ Oxy (hình 2- 5). Hình
chiếu của lực F trên trục Ox và Oy lần lượt là:
Fx=  F cos
Fy =  F sin

- Trong hai công thức trên  là góc hợp bởi phương của lực F với trục Ox.
Dấu (+) khi chiếu từ điểm chiếu của gốc đến điểm chiếu của mút trùng với chiều
dương của trục toạ độ. Dấu (-) ứng với trường hợp ngược lại.
Trường hợp đặc biệt: nếu lực có phương song song với trục chiếu hình (2- 6)
ta có:
Fx=  F Fy = 0 (do phương F Oy)
Hoặc Fx'  0 (do phương F ' Ox) Fy'   F.
2. Xác định hợp lực theo phương pháp giải tích:
Cho hệ lực ( F1 , F2 , F3 ) đồng quy tại O’ (hình 2-7), có hình chiếu trên các trục toạ
độ là:
Trên Ox: F1X, F2X, F3X
Trên Oy: F1y,F2y, F3y.
Hợp lực R của hệ có hình chiếu là Rx và Ry. Trong đó:
Rx= F1x+ F2x+ F3x.
Ry= F1y+ F2y+ F3y.
- 13 -


y
Hợp lực R của hệ có hình chiếu là Rx; Ry
F'2
Rx= F1x+F2x+..+ Fnx hay Rx =  Fx
F'
2y
F'3
F'3y
Ry= F1y+F2y+..+F3y hay Ry= Fy (2.1)
F2 R
Ry F1
α

Đặt  Fx =  X
O'
 Fy =  Y
F3
Cơng thức (2- 1) có thể viết như sau:
Rx =  X
F1x F2x F3x
Ry =  Y
O
Rx
Trong tam giác vng trên hình 2- 7 ta có:
2
2
R  R X2  RY2 hay R  (X )  (Y ) (2.2)
Hình 2-7
Trong đó:
X : là tổng đại số hình chiếu các lực trong hệ trên trục Ox.
X : là tổng đại số hình chiếu các lực trong hệ trên trục Oy.
Phương chiều của R xác định bởi góc định vị  .
Trong đó: tg 

Ry
RX



x

Y
X

Ví dụ 1:
Cho hệ lực đồng quy tại O (hình 2 - 9a), các lực có trị số tương ứng: F3 = F1
= 8N, F2 = 6N. Phương của F1 hợp với phương nằm ngang một góc 600. Tìm hợp
lực của hệ?
Bài giải:
Lập hệ toạ độ Oxy như hình vẽ:
1
y
R x  X  F1 cos 60 0  F3  8.  8  4( N)
2
3
F1
R y  Y  F1 sin 60 0  F2  8.
 6  0,8( N)
2
α
F2
Trị số: R  RX2  RY2  (4)2  (0,8) 2  4( N )
O
x
Phương chiều của R xác định theo:
Y 0,8
tg 

 0,2   tg110 30'
F3
X  4
 R nằm ở góc phần tư thứ II với  = 168030’.
Hình 2-8

2.4 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy
2.4.1 Phương pháp hình học:
Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là
đa giác lực của hệ phải tự đóng kín.

F1 + F 2 + F3 + . . . . + F n  0
Tức là: đa giác lập nên bởi các lực trong hệ lực phải tự khép kín (mút lực
cuối trùng với gốc lực đầu).

- 14 -


Bài tốn mà có từ bốn lực trở lên khơng nên giải theo phương pháp này. Vậy
tam giác hình học chỉ thuận lợi cho những bài tốn hệ lực có ba lực (khi đó giải
tam giác lực sẽ thuận lợi hơn).
2.4.2 Phương pháp giải tích:
Định lý 2: “Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng quy ở trạng thái
cân bằng là tổng đại số các hình chiếu của các lực lên hai trục tọa độ phải bằng
0”.
X = Xi = 0
Y = Yi = 0
Theo phương pháp giải tích, hệ lực được
thay bởi hợp lực R trị số xác định bởi công thức
R  (X ) 2  (Y ) 2 . Như vậy muốn R = 0 thì đồng
thời X = 0 và Y = 0. Tức là :‫״‬điều kiện cần và
đủ để hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là tổng đại
số hình chiếu của các lực trên hai trục toạ độ
vng góc đều bằng 0”.
Nghĩa là: X = 0
Y = 0.

Ví dụ 2:
Một vật nặng P = 100N được treo vào khớp nối O của hai thanh OA và OB bắt
bản lề vào tường thẳng đứng, thanh OB nằm ngang. Bỏ qua trọng lượng của các
thanh, hãy xác định phản lực của các thanh.
Bài giải:
Khảo sát cân bằng của nút O: Hệ lực tác dụng lên nút bao gồm:Trọng lực P ;
phản lực S và T có chiều giả thiết như hình vẽ. Ta nhận thấy hệ lực này là hệ lực
đồng quy tại O.
Nút O cân bằng  ( P, S , T )  0.
a. Giải theo phương pháp hình học.
Hệ lực cân bằng  tam giác lực tự khép kín. ta dựng
tam giác IKL có các cạnh là các lực P, T , S như hình 211b. Vì tam giác IKL vuông cân lên T = P= 100N.
P
100
S

 141,4( N)
cos 450 0,707
b. Giải theo phương pháp giải tích:
Lập hệ tạo độ vng góc Oxy như hình 2-9a. Ta lập được hệ phương trình cân
bằng:
X  S . cos 450  T  0
(1)
0
Y  S . sin 45  P  0
(2)
Giải hệ phương trình này như sau: Từ (2) có:
S

P

100

 100 2  141,4( N )
0
sin 45
2/2

- 15 -


2
 100( N)
2
Định lý 3: Ba lực đồng quy cân bằng
Định lý: “Nếu ta có ba lực phẳng khơng song song cân bằng thì chúng phải đồng
quy tại một điểm”.
Chứng minh: Giả sử ta có ( F 1, F 2, F 3 )  0
T  S. cos 450  100 2.

Hình 2-10
Thay F1, F2 bằng R1, R2 đặt tại điểm O là giao điểm của hai đường tác dụng
của các lực F1, F2
Theo đầu bài ta có ( F3, R1 )  0
Theo tiên đề 1 R1 và F3 phải có cùng đường tác dụng tức là F3 cũng phải đi qua O.
Định lý đã được chứng minh.

- 16 -


CHƯƠNG 3 : NGẪU LỰC

3.1 Mô men của lực đối với một điểm.
3.1.1 Định nghĩa:
Giả sử vật rắn quay quanh tâm O dưới tác dụng của
lực F (hình 3-1). Đặc trưng cho tác dụng quay của lực là
mômen của lực ( gọi là mô men lực)
Mô men lực phụ thuộc vào trị số lực, khoảng cách
từ tâm quay tới đường tác dụng lực (tay đòn của lực đối
với tâm quay) và chiều của lực. Từ đó ta có định nghĩa: “
Mô men của lực F đối với điểm O là tích số giữa trị số lực
với tay địn của lực đối với điểm O’’.
Biểu thức: mo ( F )   F .h . (3.1)
Trong đó mo (F ) : đọc là mô men của F đối với điểm O.
h : là tay đòn của lực F đối với O.
Dấu (+) ứng với trường hợp vật quay ngược chiều kim đồng hồ quanh O.
Dấu (-) ứng với trường hợp vật quay cùng chiều kim đồng hồ quanh O.
Nếu khơng nói đến chiều quay, biểu thức (3.1) được viết như sau:
mo ( F )  F .h( N .m)
(3.1)’
3.1.2 Tính chất
Tính chất được suy ra từ định nghĩa và biểu thức (3.1) :
- Mô men của lực đối với một điểm không phụ thuộc vào điểm đặt của lực
trên đường tác dụng của nó.
- Mơ men của lực đối với điểm nằm trên đường tác dụng của nó có trị số
bằng 0.
Trị số mô men lực đối với một điểm bằng hai lần số đo diện tích tam giác do
lực và điểm đó tạo thành.
Trên hình 3-1: m0 ( F )  2S OAB
Nếu trị số lực là N, tay đòn m, thì trị số mơ men lực là: N.m.
3.1.3 Định lý Varinhông :
Mômen của hợp lực của môt hệ lưc phẳng đối với một điểm bất kỳ nằm

trong mặt phẳng tác dụng lực, bằng tổng đại số mô men của các lực thành phần
đối với điểm đó.
Biểu thức: m0 ( R)  m0 ( F )
Trong đó: R : là hợp lực.
F : là lực thành phần.

- 17 -


Ví dụ 1:
Một vật được giữ bởi bản lề O chịu tác dụng các lực có trị số: F 1 = F2 = 6 N
(hình 3-2). Biết OA = 3m, OB = 8m. Hãy xác định chiều quay của vật. Các thơng
số cho trên hình vẽ.
Bài giải:
Tác dụng của các lực làm cho vật quay được đặc trưng bởi mô men của các
lực đó đối với tâm quay O
mo ( F1 )  F1.OA  6.3  18Nm
m0 ( F2 )   F2 .OH  6.4  24Nm

F1 và F2 cùng nằm trong một mặt phẳng và không song song nên hợp thành

hệ lực đồng quy (có hợp lực). Ta có:
mo ( F )  mo ( F1 )  mo ( F2 )  18  24  6 Nm Vậy vật quay thuận chiều kim

đồng hồ quanh tâm O.
3.2 Ngẫu lực
3.2.1 Định nghĩa:
Hệ lực gồm hai lực song song, ngược chiều cùng trị số gọi là ngẫu lực. Kí
hiệu ngẫu lực: ( F , F ).
Khoảng cách d giữa hai đường tác dụng của hai lực gọi là tay đòn của ngẫu

lực. Quy ước biểu diễn ngẫu lực sao cho đường nối điểm đặt của hai lực đúng bằng
tay địn của ngẫu lực (hình 3- 3).

Ngẫu lực có tác dụng làm cho vật quay. Ví dụ : khi cắt ren ngẫu lực tác dụng
vào tay quay của ta rơ (hình 3- 4a) hoặc khi vặn vít ngẫu lực do đầu tuốc nơ vít
(hình 3- 4b).
- 18 -


3.2.2 Các yếu tố của ngẫu lực.
Mặt phẳng tác dụng: là mặt phẳng chứa các
lực của ngẫu lực.
Chiều quay: là chiều quay của vật do ngẫu
lực gây nên (đi vòng quanh ngẫu lực theo chiều các
lực). Chiều quay (+) khi vật quay ngược chiều kim
đồng hồ; chiều quay (-) khi ngược lại.
Trị số mơmen: là tích giữa trị số lực với tay
đòn của ngẫu lực: m = F.d (3.2)
Nếu lực tính bằng N, tay địn tính bằng m
thì đơn vị ngẫu lực là: Nm.
3.2.3 Tính chất của ngẫu lực.
- Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi
ta di chuyển vị trí trong mặt phẳng của nó (giữ
đúng chiều quay và độ lớn).
- Có thể thay đổi tuỳ ý lực và tay đòn của
ngẫu lực mà tác dụng của ngẫu lực vẫn không đổi
nhưng phải giữ đúng chiều quay và trị số mơmen.
- Từ hai tính chất trên rút ra: tác dụng của
ngẫu lực trong mặt phẳng hoàn toàn được đặc trưng
bởi chiều quay và trị số mô men của nó (Hình 3- 6).

- Đồng thời cũng từ hai tính chất trên người
ta đưa ra khái niệm đại số mô men (gọi tắt là
mơmen). Kí hiệu: m .
Cơng thức: m   F.d
Trong đó tích F.d biểu diễn cường độ (trị số
mơ men), cịn dấu (  ) biểu diễn chiều quay.
3.2.4 Hợp hệ ngẫu lực phẳng:
Giả sử hệ ngẫu lực phẳng có mơ men lần
lượt là: m1, m2, m3 (hình 3- 7a). Ta biểu diễn hệ
này một cách khác như hình (3 - 7b). Hợp lực của
các lực đặt tại A là Ra , tại B là Rb .
Theo định nghĩa ngẫu lực ta có:
- 19 -


Ra = RB = F1 + F2- F3 = R
Ngẫu lực : ( R, R) gọi là ngẫu lực tổng hợp, có mơmen: M  R.d
Với độ lớn: M = R.d = F1. d + F2.d - F3.d = m1+ m2- m3
Tổng quát: M  m
(3.3)
Từ đó ta rút ra: “ Hợp một hệ ngẫu lực phẳng cho ta một ngẫu lực tổng hợp
có mơ men bằng tổng đại số mơmen các ngẫu lực thuộc hệ”.
Ví dụ 2:
Hệ ngẫu lực phẳng gồm các ngẫu lực lần lượt có mơmen: m1  60Nm ;
m2  120Nm ; m3  30Nm . Hãy xác định mô men của ngẫu lực tổng hợp. Nếu ngẫu
lực tổng hợp có tay địn là 0,5 m thì trị số của R là bao nhiêu?
Bài giải:
Theo cơng thức (3.3), ngẫu lực tổng hợp có mơmen:
M  m  m1  m2  m3  60  120  30  150( Nm)

Theo công thức (3.2)
M  R.d  R 

M 150

 300( N ) .
d
0,5

3.2.5 Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng.
Muốn hệ ngẫu lực phẳng cân bằng thì ngẫu lực tổng hợp của hệ phải tương
đương 0 (M  0) . Nhưng M  m do đó điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng
là: m  0
(3- 4).
Vậy “ Điều kiện cần và đủ để hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng đại số mô
men của các ngẫu lực thuộc hệ bằng 0’’

- 20 -


CHƯƠNG 4- HỆ LỰC PHẲNG BẤT KỲ
4.1 Khái niêm:
Hệ lực phẳng bất kỳ là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng nằm bất kỳ
trong cùng một mặt phẳng. (hình 4- 1).
Ví dụ sơ đồ cầu trục cho trên hình 4-2, chịu tác
dụng bởi hệ lực phẳng bất kỳ ( X B ; X A ; P; Q ).
Hệ lực phẳng bất kỳ là trường hợp tổng quát của
hệ lực phẳng vì trong đó có thể có những lực song
song (hệ lực song song), hoặc những lực đồng quy (hệ
lực đồng quy).

4.2 Thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm.
4.2.1 Định lý dời lực song song.
1/ Định lý thuận:
“ Khi dời song song một lực đến điểm khác, để tác
dụng cơ học không thay đổi ta phải thêm vào một ngẫu lực
phụ có mơ men bằng mơ men của lực đối với điểm mới dời
đến”.
Ví dụ: Cho lực F đặt tại điểm A( kí hiệu FA ). Dời
song song FA từ A tới B ta được FB và một ngẫu lực có mơ
men m  FA .HB ( trong đó HB là cánh tay địn của lực FA
đối với điểm B) có chiều quay cùng chiều với mB ( FA ) (hình
4-3). Vậy ta có FA  FB  m .
2/ Định lý đảo:
Phát biểu: “ Một lực và một ngẫu
lực cùng nằm trong một mặt phẳng, tương
đương với một lực song song cùng chiều
cùng trị số với lực đã cho và có mơ men
đối với điểm đặt của lực đã cho bằng mô
men của ngẫu lực”.
4.2.2Thu hệ lực về một tâm cho trước.
Bài toán: Cho hệ lực phẳng bất kỳ ( F1 ; F2 ; F3 ) Thu gọn hệ lực về tâm O (tâm
thu gọn) hình 4- 4a.

- 21 -


1/ Trình tự thu gọn:
- Dời song song các lực về O được một hệ lực phẳng đồng quy tại O và một
hệ ngẫu lực. (hình 4- 4b).
- Thu gọn hệ lực phẳng đồng quy được R ' .

- Thu gọn hệ ngẫu lực được M 0 .
2/ Kết quả thu gọn:
- Thu gọn một hệ lực phẳng bất kỳ ta được một lực và một ngẫu lực. Lực gọi
là véctơ chính R ' , cịn ngẫu lực gọi là mơ men chính M o của hệ lực phẳng bất kỳ
đối với tâm thu gọn (hình 4- 4c).
Trong đó:
-Véc tơ chính R ' có : Trị số : R'  X 2  Y 2 (4- 1).
Phương chiều tg 

Y
X

(4- 2).

- Mơmen chính: M o  mo (F ) .
4.2.3 Các dạng tối giản của hệ lực phẳng bất kì:
Khi ta thu gọn hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cho trước có thể xảy ra bốn
trường hợp sau:
- R’ 0, M  0, Trường hợp này theo định lý đảo dời lực, F ' và M 0 tương
đương với một lực R song song, cùng chiều, cùng
trị số với R’, đặt cách R’ một khoảng d 

M0
. Khi
R'

đó R là hệ lực phẳng bất kỳ ( R ' không phụ thuộc
tâm thu gọn, M 0 phụ thuộc tâm thu gọn).
- R’= 0 , M  0: hệ lực đã cho tương đương
với ngẫu lực có mơmen M 0 ( không phụ thuộc tâm

thu gọn).
- R’ 0 , M = 0: Hệ lực đã cho tương đương
với R ' .
- R’= 0 , M = 0: Hệ lực đã cho cân bằng.
Ví dụ: 4-1
Dầm AB bị ngàm chặt ở A, chịu tác dụng
của các lực : F1= 10 KN; F2= 12 KN; F3= 15 KN (hình 4-5a). Hãy thu gọn các lực
về A và từ đó suy ra PLLK ngàm.
Bài giải:
Lập hệ toạ độ Axy như hình vẽ.
2
 8,64( KN ).
2
2
Y  F2 sin 450  F1  F3  12
 10  15  16,54( KN )
2
X  F2 cos 45o  12

R'  (X ) 2  (Y ) 2  (8,46) 2  (16,54) 2  15,58KN

- 22 -


tg 

Y  16,54

  = 630. Vậy R nằm ở góc phần tư thứ IV ( hình 4- 6b)
X

8,46

M A  m A ( F )   F1  F2 cos 450  3F3  10  12 2  15.3  38,1( KN .m)

M A quay thuận chiều kim đồng hồ (hình 4- 5b)

Vậy theo tiên đề tương tác phản lực tại A là ngẫu lực M o và lực RA .(hình 45b).
4.3 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ
4.3.1Điều kiện cân bằng: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là
vác tơ chính và mơ men chính của hệ đối với một điểm bất kỳ (trong mặt phẳng tác
dụng lực) đều phải bằng 0.
R  0
M0  0

(4-4)

4.3.2Các dạng phương trình cân bằng:
1/Dạng 1: (dạng cơ bản):
X = 0
(1)
Y = 0
(2)
(4- 5)
mo ( F )  0 (3)
- Phương trình (1) và (2) gọi là phương trình hình chiếu, phương trình 3 gọi
là phương trình mơmen
- Vậy “điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng đại số
hình chiếu của các lực lên hai trục toạ độ vng góc và tổng đại số mômen của các
lực đối với một điểm bất kỳ trong mặt phẳng tác dụng đều bằng 0”.
2/Dạng 2:

m A ( F )  0
mB ( F )  0
Fx  0 (x khơng vng góc với AB)

- Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng đại số mô men
của các lực đối với hai điểm bất kỳ A và B trong mặt phẳng tác dụng lực và hình
chiếu của các lực trên trục khơng vng góc với AB, đều bằng 0.
3/Dạng 3: mA ( F )  0
mB ( F )  0 (A, B, C không thẳng hàng)
mC ( F )  0

- Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng đại số mômen
của các lực đối với ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng tác dụng lực đều
bằng khơng.
Ví dụ 4- 2
Cần OA có thể quay quanh trục O. Tác dụng một lực F đặt tại C truyền qua
dây AB. Tác dụng lực F đặt tại C truyền qua dây AB để giữ OA cân bằng ở vị trí
nằm ngang . Khi đó AB tạo với OA một góc 300. Cần OA đồng chất có trọng lượng
P = 200N. Tìm trị số của lực kéo F và phản lực của bản lề O.
- 23 -