GIÁO TRÌNH TOÁN HỌC: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

GIÁO TRÌNH TOÁN HỌC

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM




Trang 1

Chủ đề: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Bài 1
: Cho hàm số
32
33(21)1y xmx mx=− + − +
.
a) Khảo sát hàm số khi m=1.
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).
Bài 2
: Cho hàm số
2
2y xx=−

a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 3:
Cho hàm số
1
2
mx
y
x m
−
=
+

a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.
c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của
nó.
ℑ2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
Bài 1
: Cho hàm số
42
221yx mx m=− + − +
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1).
Bài 2
: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32

23
−++−=

a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến
của (C).
b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình
đường thẳng qua điểm cực trị đó.
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞).
Bài 3
: Định m để hàm số
322
1
(1)1
3
y xmx mm x=−+−++
đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 4:
Cho hàm số
32
() 3x 3 x+3m-4yfx x m==−+−

a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp
tuyến của đồ thị hàm số
ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài 1
:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)
32
231yx x=+−

trên [-2;-1/2] ; [1,3).
b)
2
4y xx=+ −
.
Trang 2

c)
3
4
2sinx- sin
3
y x=
trên đoạn [0,π]
d)
2 os2x+4sinxyc=
x∈[0,π/2]
e)
2
32yx x=−+
trên đoạn [-10,10].
Chủ đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ

Các bước khảo sát hàm số :

Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
" Tập xác định
" Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị
" Tìm y’’ & tính lồi lõm, điểm uốn,
bảng xét dấu y’’.

" Giới hạn
" Bảng biến thiên
" Giá trị đặt biệt
" Đồ thị
" Tập xác định
" Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị
" Giới hạn & tiệm cận
" Bảng biến thiên
" Giá trị đặt biệt
" Đồ th
ị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
 Các dạng đồ thị hàm số:

) Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)










) Hàm số trùng phương: y = ax

4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)









x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ?
x
y
O
•

I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ?
Trang 3

) Hàm số nhất biến :

)bcad(
dcx
bax
y
0≠−
+
+
=









Chủ đề: CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN

Dạng 1:
Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn
cùng phương với trục Ox.
Các bước giải

Bước c: Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau:
Bước d: Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận:
m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1)

........ ........ ........
........ ....... .......



g(m) m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1)
...... ....... ........ .........
....... ....... ......... .........



f(m) m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1)
...... ....... ........ .........
....... ....... ......... .........


Ví dụ 1:
Bảng 1
Bảng 2
Bảng 3
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biến
Dạng 1: hsố đồng biến
x O
I
Trang 4

1. Biện luận phương trình
32
1
3
x x−
= m ( dùng bảng 1)
2. Biện luận phương trình
32
1
3
x x−
= 3m -2 ( dùng bảng 2)
3. Biện luận phương trình
32
1
3
x x−
=
32
1
3
mm−
( dùng bảng 3)
Dạng 2:
Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.
Nhấn mạnh cho học sinh nhớ và vận dụng thành thạo các công thức:
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
→ Ta sử dụng công thức

()
b
a
Sfxdx=
∫
(I)
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
→ Ta sử dụng công thức
() ()
b
a
Sfxgxdx=−
∫
(II)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.

→ Ta dùng công thức
[]
2
=
∫
b
a
Vfxdx()
π
(III)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y),
trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy.

→ Ta dùng công thức
[]
2
=
∫
b
a
Vgydy()
π
(IV)

Ví dụ 4:
(trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 )
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = e
x
, y = 2 và đường thẳng x = 1.
Giải: (0,75 đ)
Ta có: e
x
= 2 ⇔ x = ln2
Diện tích hình phẳng cần tìm S =
()
11
ln 2 ln 2
22
xx
edx e dx−= −
∫∫
(0,25 đ)
=

()
1
ln 2
2(2)(22ln2)2ln24
x
ex e e− =−−− =+ −
(đvdt) (0,25đ + 0,25đ)

Trang 5

Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x
3
– 3x
2
và
trục Ox.

Giải:
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.
Từ đồ thị ta có:
33
32 32
00
3(3)Sxxdxxxdx=−+ = −+
∫∫

3
4
3

0
4
x
x
⎛⎞
=− +
⎜⎟
⎝⎠
= 27/4 ( đvdt)


Bài tập :
(cho dạng 1 và dạng 2)
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– mx + m + 2. có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát hàm số khi m = 3.
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x
3
– 3x – k +1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
– (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng

giới hạn bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)
2
(x –1)
2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình :
(x
2
– 1)
2
– 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4: Cho hàm số
mx
mxm
y
−
+−
=
)1(
(m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), tiệm cận ngang của nó và các
đường thẳng x = 3, x = 4.

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong :
y =
2
4
1
x
; y =
xx 3
2
1
2
+−
.
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x
2
+ y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể
tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox.
Bài 7: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y
= x
2
và y =
x
quay quanh Ox.
Trang 6

Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao diểm của hai đường cong (C
1
) y= f(x) và (C
2

) y=g(x) là số nghiệm của phương
trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Ví dụ
Cho hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y
và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai
đường cong.
Giải
: Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình
1
1
1
−=
−
+
mx
x
x

(điều kiện x khác 1)
0)2(
2
=+−⇔ xmmx

0))2(( =+−⇔ mmxx

+Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt
đường cong tại một điểm
+Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và
x =
2m
m
+
. Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt
(chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)
Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm.
+ m
≠
0 và m
≠
- 2 có hai giao điểm.
Bài tập:

Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C):
32
2
32
xx
yx= +−
và đường thẳng (T):
13 1
()
12 2
ymx−= +

.
KQ: 1 giao điểm ( m ≤
27
12
−
), 3 giao điểm ( m >
27
12
−
)
Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số
34
1
x
y
x
+
=
−
.
KQ: -28 < a ≤ 0
Dạng 4:
Cực trị của hàm số
Yêu cầu đối với học sinh:

) Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:
" Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2

+ cx + d (a ≠ 0) → không có cực trị hoặc có 2 cực trị.
" Hàm số bậc 4 dạng : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.
" Hàm số nhất biến dạng:
ax+b
cx+d
=y
→ chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.

Bài tập:
Định tham số m để:
1).
Hàm số y =
32
1
(6)1
3
x mx m x+++−
có cực đại và cực tiểu.
Trang 7

Kết quả: m < - 2 hay m > 3
2).
Hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2

+ 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x
1
, x
2
và
khi đó x
2
– x
1
không phụ thuộc tham số m.
Kết quả : ∀m và x
2
– x
1
= 1
3).
Hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M
1
(x
1
;y
1
),
M
2
(x

2
;y
2
) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng :
12
1212
()(1)
yy
xxxx
−
− −
= 2. Kết
quả : m < 1
Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số?

Bài tập về pttt của đồ thị:
Bài 1: Cho hàm số y = x
2
– 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0
a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B
b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau.
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
– m – 1, có đồ thị (C).
a) Tìm các điểm cố định của (Cm).
b) Lập pttt tại các điểm cố định đó.
Bài 3: Cho hàm số y = -x
4

+ 2mx
2
– 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau
Bài 4: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với
trục tung và trục hoành
Bài 5: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5)
Bài 6) Cho hàm số y = x
3
– 3x. Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
Bài 7) Cho hàm số y = 2x
3
– 3x
2
+ 5. Lập pttt kẻ từ A(
19

12
;4)
Bài 8) Cho hàm số y = 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao

cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O.

Trang 8

Chủ đề HÀM SỐ.

1.
Cho hàm số :
Gọi là đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc là . Tìm để đường thẳng cắt đồ
thị
tại 3 điểm phân biệt.
Phương trình đường thẳng
Phương trình hoành độ giao điểm của và là :

Đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi
có 2 nghiệm phân biệt khác 3

2. Cho hàm số (1
), có đồ thị (C) và đường thẳng (d) có phương trình
.
Tìm k để
đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành

độ dương.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):

Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hoành độ dương thì (*) phải có 2
nghiệm phân biệt dương.
Đặt

Ta có :

3. Cho hàm số (C)
Chứng minh đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B.
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên
đường thẳng : y = 2x + 3.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) :
(1)
Phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (C) ở 2 điểm phân biệt A, B.
Hoành độ A, B chính là 2 nghiệm của
phương trình (1) , nên do định lí Viet :
và
Vậy


Trang 9

4. Cho hàm số

Với những giá trị nào của m thì phương trình có ba nghiệm phân biệt?
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
có 3 nghiệm phân biệt
đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt

(Các bạn tự vẽ hình)
5. Cho hàm số , a là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm .
Hoành độ giao điểm với
trục hoành là nghiệm phương trình .
Đồ thị hàm số y = f(x) cắt Ox tại đúng 1 điểm đường thẳng y = a và đồ thị
có một điểm chung duy nhất.
Ta có :


x
-∞
0 1
+∞
y' + || + 0 -
y


-∞
+∞
||
||
||
||



-∞
-
3

-∞

Trang 10

Từ bảng biến thiên ta thấy các giá trị cần tìm là
6. Cho hàm số
Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
TXĐ: R



Hàm số đạt cực đại tại

Hàm số đạt cực tiểu tại
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi các giá trị cực đại, cực tiểu nằm về hai
phía
trục hoành




Vậy với
thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
7. Cho hàm số ( m là tham số )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 4.
b. Tìm m để
đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

a) Đồ thị hàm số khi m=4.

Trang 11

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành y = 0 là
:


Đặt

Để
đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) phải có 3 nghiệm phân
biệt, tức là
phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác -1



8. Cho hàm số (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) .
b. Dựa vào
đồ thị hàm số (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình :

a.
Khảo sát hàm số
*
Tập xác định : D = R
*
Chiều biến thiên :

Hàm số đồng biến trên và
Hàm số nghịch biến trên ( - 1 ; 0)
+

+

* Tính lồi lõm, điểm uốn :



-
Bảng biến thiên :
x
-∞
-1 0
+∞
y' + - 0 +
y


-∞
0






-
1

+∞
Trang 12


*
Đồ thị : qua các điểm ( - 1; 0 ) ,

b. Biện luận số nghiệm của
phương trình
Phương trình (*) suy ra số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao
điểm của
đồ thị hàm số và .
*
, hoặc thì (*) có 1 nghiệm .
*
hoặc thì (*) có 2 nghiệm ( trong đó có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép )
*
thì (*) có 3 nghiệm phân biệt .
9. Cho hàm số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Viết
phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tity đi qua điểm A (-2 ; 0 ).
c. Biện luận theo m số nghiệm của
phương trình :
với m là tham số dương.
a. Khảo sát

* TXĐ : | R
*

Sự biến thiên :


Dấu y' :
+ /
Hàm số đồng biến : , Hàm số nghịch biến :
Trang 13

+/ Hàm số đạt cực đại tại : ( - 1; 4) , cực tiểu tại (1 ; 0)
+/ Điểm uốn :
Đồ thị có điểm tồn uốn tại (0 ; - 2)
+/
Bảng biến thiên :
x
-∞
-1 1
+∞
y' - + 0 -
y
+∞



4




0

-∞

*
Đồ thị :
+/

+/

b.
Đường thẳng (d) đi qua điểm A ( - 2; 0) với hệ số góc k có phương trình là :
+ (d) là tiếp tuyến của (C)
hệ phương trình sau có nghiệm
Thế (2) vào (1) ta được :

Trang 14


+ Với


Vậy có 2 tiếp tuyến với (C) đi qua A.
c. Biện luận nghiệm
Ta có :
(*)

Nhận xét :
Vế trái là hàm số có đồ thị (C) vừa khảo sát . Vế phải là đường thẳng
song song với trục Ox
số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) với đường thẳng

.
Từ
đồ thị (C) ta thấy :
+ Với

phương trình (*) có 1 nghiệm .
+ Với

phương trình (*) có 2 nghiệm .
+ Với

phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt .
10. Cho hàm số (m là tham số )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 6
b. Với những giá trị nào của m thì
phương trình có 3 nghiệm phân biệt .
a. Khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị

-. TXĐ : R
-.
Sự biến thiên :


Xét dấu y'
hàm số đồng biến
hàm số nghịch biến
Hàm số có cực đại tại x = - 3,
Hàm số có cực tiểu tại x = 1,

Trang 15

đồ thị hàm số lõm
đồ thị hàm số lồi
Đồ thị hàm số có 1 điểm uốn U (- 1; 17)

Bảng biến thiên
x
-∞
1 3
+∞
y' + - 0 +
y


-∞
1






33

+∞

Đồ thị

b. Tìm m
Phương trình : có 3 nghiệm phân biệt
có 3 nghiệm phân biệt
Trang 16

Đặt có đồ thị vừa khảo sát (C)
y = 6 - m có
đồ thị là đường thẳng (d) song song với Ox
Để (*) có 3 nghiệm phân biệt
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt


11. Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Viết
phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1)
c. Dựa vào
đồ thị (C) xác định m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :


a. Khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
-. TXĐ :

-.
Chiều biến thiên :

Xét dấu y' :
y' > 0 trong khoảng
hàm số đồng biến trong khoảng đó
y' < 0
hàm số nghịch biến trong khoảng đó.
CĐ (- 2; 6) , CT (0; 2)

y'' đổi dấu qua nghiệm x = - 1 và U(- 1; 4)
Bảng biến thiên :
x
-∞
-2 0
+∞
y' + - 0 +
y


-∞
2






6

+∞

Đồ thị :


Trang 17


b. Viết
phương trình tiếp tuyến
Đường thẳng (d) đi qua A(0; 1) với hệ số góc k có phương trình y = k (x - 0) + 1 = kx + 1
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) nếu hệ phương trình sau có nghiệm :



Với
có phương trình tiếp tuyến
Với
có phương trình tiếp tuyến
c. Tìm m để
phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Phương trình (*)
Đặt
có đồ thị (C)
y = m có
đồ thị là đường thẳng song song với Oy.
Nhìn vào
đồ thị (C) ta có :
Nếu
thì cắt (C) tại 3 điểm phân biệt phương trình (*) có 3 nghiệm phân
biệt .

12. Cho hàm số : (1) (m là tham số ).

a. Khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm k để
phương trình có ba nghiệm phân biệt .
Trang 18

a.
TXĐ :


.

Bảng biến thiên

x
-∞
0 2
+∞
y' - + 0 -
y
+∞



4

0


-∞

Đồ thị

b. Cách 1 : Ta có

Đặt
.
Dựa vào
đồ thị ta thấy phương trình : có 3 nghiệm phân biệt

Trang 19


.
Cách 2 : Ta có

có 3 nghiệm phân biệt
có 2 nghiệm phân biệt khác k

13. Cho hàm số:
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm giá trị của
để phương trình có 6 nghiệm phân
14. Cho hàm số (*)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*).

2. Dựa vào
đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình sau :
15. Cho hàm số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
b. Với giá trị nào của m
phương trình có 3 nghiệm phân biệt .

Trang 20

MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài 1
: Cho hàm số
1
3
+
+
=
x
x
y
gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
a)

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b)

Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên
c)

Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất
d)

Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ
được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
e)

Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng
bé nhất
f)

Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J
chứng minh rằng S là trung điểm của IJ
g)

Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 2:
Cho hàm số
)4()1(
2
xxy −−=

a)

Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b)

Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng
c)

Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)
d)

Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
e)

Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

32
694 0xxx m−+−−=

Bài 3
:
Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=

a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình
đường thẳng qua điểm cực trị đó
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞)
Bài 4
:
Cho hàm số
32
5
-2
3
=+ +

yx x x

a)

Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b)

Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x
3
-6x
2
-5x+m=0.
c)

Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d)

Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
f)

Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.

Trang 21

HÀM SỐ BẬC BA Y=AX
3
+BX

2
+CX+D
Bài 1. Cho hàm số y=f(x)=-x
3
-3x
2
+4.
a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b.

Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
c.

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-1; 2).
d.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.

Trang 22


Bài 2. Cho hàm số y=f(x)=x
3
+3x
2
-4.
a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b.

Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
c.

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-3;-4).
d.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.

Trang 23


Bài 3. Cho hàm số y=f(x)=x
3
-3x
2
+4.
a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b.

Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
c.

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(1; 2).
d.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.

Trang 24


Bài 4. Cho hàm số y=f(x)=x
3
+6x
2
+9x+3
a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b.

Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
c.

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-2; 1).
d.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.