Các tập w mở và ws mở trong các không gian tôpô tổng quát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TẠ LÊ LAN HƯƠNG

CÁC TẬP ω -MỞ VÀ ωs-MỞ TRONG
CÁC KHÔNG GIAN TƠPƠ TỔNG QT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TẠ LÊ LAN HƯƠNG

CÁC TẬP ω -MỞ VÀ ωs-MỞ TRONG
CÁC KHÔNG GIAN TƠPƠ TỔNG QT

Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN VĂN ĐẠI

Bình Định - 2020

i

Mục lục
Danh mục các ký hiệu

ii

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức cơ sở
1.1 Đại cương về không gian tôpô . . . . .
1.2 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . .
1.3 Khơng gian tích - Khơng gian thương
1.4 Các tiên đề tách . . . . . . . . . . . . .
1.5 Không gian compact - Không gian liên

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
thông

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2 Các
2.1
2.2
2.3

tập ω -mở và các hàm ω -liên tục

Một số khái niệm trong không gian tôpô tổng quát . .
Các tập ω -mở trong các không gian tơpơ tổng qt .
Tính liên tục trên các tập ω -mở trong các không gian
quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Các
3.1
3.2
3.3

tập ωs -mở và các hàm ωs -liên tục
Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . .
Các tập ωs -mở trong các khơng gian tơpơ tổng qt .
Tính liên tục trên các tập ωs -mở trong các không gian
quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

4
4

10
11
14
16

. . .
. . .
tôpô
. . .

21
. . . . 21
. . . . 22
tổng
. . . . 26

. . .
. . .
tôpô
. . .

32
. . . . 33
. . . . 33
tổng
. . . . 38

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45


ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

R

: Tập số thực

N

: Tập số tự nhiên

Q

: Tập số hữu tỉ

Qc

: Tập số vô tỉ

K

: Trường số thực R hoặc số phức C

τω

: Họ tất cả các tập con ω -mở của X

Mµ

: Hợp tất cả các phần tử của µ

Cond♣B q

: Tập tất cả các điểm tụ của B

µω

: Họ tất cả các tập ω -µ-mở của ♣X, µq

U

: Bao đóng của U

SO♣X, τ q

: Họ tất cả các tập nửa mở trong không gian ♣X, τ q

SωO♣X, τ q

: Họ tất cả các tập nửa ω -mở của không gian tôpô ♣X, τ q

˚ hay intA
A

: Phần trong của tập A

τα

: Tôpô trong Xα

♣τcocqX

: Tơpơ đối đếm được trên X

µprod
ω

A

intω ♣Aq

Extω ♣Aq

ωs ♣X, τ q
ωs

A

intωs ♣Aq

: Tích của ♣X, µ1 q và ♣Y, µ2 q

: ω -bao đóng của A trong ♣X, τ q

: ω -phần trong của A trong ♣X, τ q

: ω -phần ngoài của A trong ♣X, τ q
: Họ mọi tập ωs -mở của ♣X, τ q

: ωs -bao đóng của A trong ♣X, τ q

: ωs -phần trong của A trong ♣X, τ q


1

MỞ ĐẦU

Các không gian tôpô là những cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa các
khái niệm như là hội tụ, tính liên thơng và tính liên tục... Chúng xuất hiện hầu
như trong tất cả mọi ngành của toán học hiện đại và là một khái niệm thống
nhất có tính trọng tâm.
Cho ♣X, τ q là một khơng gian tôpô và A ⑨ X. Engelking, trong [21], đã định
nghĩa một điểm x € X được gọi là một điểm tụ của A nếu với mọi U € τ sao cho
x € U, tập U ❳ A là không đếm được. Năm 1982, Hdeib [22] đã định nghĩa các tập
ω -đóng và ω -mở như sau: A được gọi là tập ω -đóng nếu nó chứa tất cả các điểm
tụ của nó. Phần bù của tập ω -đóng được gọi là tập ω -mở. Họ tất cả các tập con
ω -mở của X là một tôpô trên X, và ký hiệu là τω . Có rất nhiều khái niệm và kết
quả liên quan đến các tập ω -đóng và ω -mở được nghiên cứu trong thời gian gần
đây. Năm 2002, Csaszar [11] định nghĩa không gian tôpô tổng quát như sau: cặp
♣X, µq là một khơng gian tơpơ tổng qt nếu X là tập khác rỗng và µ là tập các
tập con của X sao cho ❍ € µ và hợp bất kỳ các tập con của µ thuộc µ, các phần
tử của µ được gọi là các tập µ-mở, phần bù các tập µ-mở được gọi là các tập

µ-đóng, hợp tất cả các phần tử của µ được ký hiệu là Mµ và khơng gian tơpơ
♣X, µq được gọi là mạnh nếu Mµ ✏ X. Gần đây, năm 2016, Samer và Wafa [34]
đã đưa ra khái niệm các tập ω -mở trong không gian tôpô tổng quát như sau:
Cho ♣X, µq là một khơng gian tơpơ tổng qt và B ⑨ X. Một điểm x € X được
gọi là điểm tụ của B nếu với mọi A € µ sao cho x € A, tập A ❳ B là không đếm
được. Tập tất cả các điểm tụ của B ký hiệu là Cond (B ). Tập B là ω -µ-đóng nếu
Cond ♣B q ❸ B. Tập B là ω -µ-mở nếu X ③B là tập ω -µ-đóng. Họ tất cả các tập
ω -µ-mở của ♣X, µq ký hiệu là µω . Họ đã sử dụng khái niệm này để đưa ra các
lớp mới các ánh xạ trong các không gian tơpơ tổng qt, đồng thời cũng trình
bày nhiều đặc trưng, tính chất và các ví dụ liên quan đến khái niệm mới.
Một khái niệm khác có liên quan chặt chẽ với các tập mở đó là các tập nửa
mở. Khái niệm này đã được Levine [28] đưa ra lần đầu tiên vào năm 1963 như


2

sau: Tập hợp A là nửa mở nếu tồn tại tập mở U sao cho U ❸ A ❸ U , hoặc
nói một cách tương đương là A ❸ int♣Aq. Ta ký hiệu SO♣X, τ q là họ tất cả
các tập nửa mở trong không gian tôpô ♣X, τ q. Bằng cách sử dụng các tập nửa
mở, ông cũng đã tổng quát tính liên tục bởi tính nửa liên tục như sau: Hàm
f : ♣X, τ1 q Ñ ♣Y, τ2 q giữa hai không gian tôpô được gọi là nửa liên tục nếu với
mọi V € τ2 , f ✁1 ♣V q € SO♣X, τ1 q. Năm 2002, Al-Zoubi và Al-Nashef [4], đã sử
dụng các tập ω -mở để định nghĩa các tập nửa ω -mở như sau: Tập A là nửa ω -mở
nếu tồn tại tập ω -mở U sao cho U ❸ A ❸ U . Họ tất cả các tập nửa ω -mở của
không gian tôpô ♣X, τ q được ký hiệu là SωO♣X, τ q. Al-Zoubi, trong [5], đã sử
dụng khái niệm tập nửa ω -mở để giới thiệu hàm nửa ω -liên tục như sau: Hàm
f : ♣X, τ1 q Ñ ♣Y, τ2 q giữa hai không gian tôpô gọi là nửa ω -liên tục nếu với mọi
V € τ2 , f ✁1 ♣V q € SωO♣X, τ1 q. Mới đây, một khái niệm yếu hơn “tập mở” và mạnh
hơn “tập nửa mở” được Samer và Kafa [33] đề xuất nghiên cứu như sau: Tập A
ω

là ωs -mở nếu tồn tại một tập mở U sao cho U ❸ A ❸ U . Các tác giả đã xem xét
lớp các tập này và sử dụng nó để nghiên cứu mối liên hệ chặt chẽ giữa tính liên
tục và nửa liên tục của một lớp mới các hàm.
Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu các đặc trưng của các tập ω -mở
và ωs -mở trong các không gian tôpô tổng quát.
Luận văn sẽ tập trung giải quyết các bài toán sau:
1. Nghiên cứu các đặc trưng của các tập ω -mở trong không gian tơpơ tổng
qt, từ đó nghiên cứu các đặc trưng của cỏc khỏi nim Lindelăof, compact,
compact m c, liờn tc, ... trong không gian tôpô tổng quát.
2. Nghiên cứu vấn đề tương tự như trên đối với các tập ω s -mở.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia thành
3 chương.
❼ Trong chương 1 chúng tơi tóm tắt sơ lược một số kiến thức cơ bản về không

gian tôpô tổng quát.
❼ Ở chương 2 chúng tơi trình bày khái niệm các tập ω -mở trong các không

gian tôpô tổng quát và sử dụng chúng để tỡm hiu cỏc c trng Lindelăof,
compact, liờn tc trong cỏc không gian tôpô tổng quát.
❼ Chương 3 dành cho việc trình bày khái niệm các tập ωs -mở trong các không

gian tôpô tổng quát và sử dụng các khái niệm đó để tìm hiểu lớp các tập,


3

cũng như mối liên hệ chặt chẽ giữa tính liên tục và nửa liên tục của các
lớp hàm mới.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy TS. Nguyễn
Văn Đại, Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn. Nhân dịp này tôi

xin bày tỏ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ tơi trong
suốt q trình học tập và thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn,
Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán, cùng quý thầy cơ giáo giảng dạy lớp
cao học Tốn giải tích khóa 21 đã dày cơng giảng dạy trong suốt khóa học, tạo
điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và thực hiện đề tài.
Nhân đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần của
gia đình, bạn bè đã ln tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa
học và luận văn này.
Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản thân,
nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên
cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong
nhận được những góp ý của q thầy cơ giáo để luận văn được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn.


4

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1

Đại cương về không gian tôpô

1.1.1

Định nghĩa

Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một họ τ các tập con của X được gọi là
một tôpô trên X nếu τ thỏa mãn 3 tiên đề sau đây:

1)

❍ € τ, X € τ ;

2) Nếu ♣Gα qα€I là một họ các phần tử của τ thì

↕
α €I

Gα

€ τ;

3) Nếu G1 , G2 € τ thì G1 ❳ G2 € τ.
Bằng quy nạp, từ 3) ta thấy rằng nếu G1 , G2 , ..., Gn € τ thì

n
↔
i ✏1

Gi

€ τ.

Giả sử trên X đã cho một tơpơ τ. Khi đó cặp ♣X, τ q được gọi là một không
gian tôpô xác định trên tập nền X. Các phần tử của τ được gọi là tập mở và
các phần tử x € X được gọi là các điểm của không gian tôpô ♣X, τ q. Nếu không
sợ nhầm lẫn, ta thường ký hiệu vắn tắt không gian tôpô ♣X, τ q là X. Tôpô này
được gọi là tơpơ thơ.

1.1.2

Ví dụ

1) Cho X là một tập hợp khác rỗng tùy ý. Lấy τ ✏ tX, ❍✉. Khi đó 3 tiên đề
của tôpô được thỏa mãn một cách hiển nhiên. Tôpô này được gọi là tôpô
thô.
3) Cho X là một tập tùy ý. τ ✏ P ♣X q là tập hợp tất cả các tập con của X.
Lúc đó τ cũng là một tôpô trên X. Tôpô này được gọi là tôpô rời rạc.


5

1) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric. Gọi τ là họ tất cả các tập mở trên
X. Lúc đó (X, τ ) là một khơng gian tơpơ. Đặc biệt trên R, tôpô xác định
bởi mêtric d♣x, y q ✏ ⑤x ✁ y ⑤ gọi là tôpô thông thường.
Để ý rằng trên cùng một tập hợp X cho trước, ta có thể cho nhiều tơpơ
khác nhau. Khi đó ta nhận được các khơng gian tơpơ khác nhau (có chung
một tập nền X ). Nếu τ1 và τ2 là hai tơpơ như vậy, khi đó ta có hai khơng
gian tôpô ♣X, τ1 q và ♣X, τ2 q.

Bây giờ τ1 và τ2 là hai tôpô trên X thỏa mãn điều kiện τ1 ⑨ τ2 , thì ta gọi
τ1 yếu hơn τ2 hay τ2 mạnh hơn τ1 và ký hiệu τ1 ↕ τ2 . Hiển nhiên tôpô thô
là tôpô yếu nhất và tôpô rời rạc là tôpô mạnh nhất trong tất cả các tơpơ
cùng xác định trên tập X.
Cũng có thể xảy ra trường hợp hai tôpô τ1 và τ2 không so sánh được với
nhau, chẳng hạn τ1 không chứa trong τ2 hoặc ngược lại, τ2 không chứa
trong τ1 .

1.1.3

Lân cận

Định nghĩa 1.1.1. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô và x0 € X. Tập A ⑨ X
được gọi là một lân cận của x0 nếu tồn tại tập mở U € τ sao cho x0 € U ⑨ A.
Hiển nhiên nếu U € τ thì U là lân cận của mọi điểm của nó. Tuy nhiên một lân
cận của x0 chưa chắc là một tập mở.
Nếu A là một lân cận của x0 thì x0 được gọi là một điểm trong của A. Nói
cách khác, x0 là điểm trong của A ⑨ X khi và chỉ khi tồn tại U € τ sao cho
x0

€ U ⑨ A.

Định lí 1.1.1. Tập A ⑨ X là mở (tức là A € τ ) khi và chỉ khi nó là lân cận của
mọi điểm của nó.

1.1.4

Tập đóng

Định nghĩa 1.1.2. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô. Tập F ⑨ X được gọi là
tập đóng nếu và chỉ nếu F c :✏ X ③F là tập mở (tức là X ③F € τ ).
Nhận xét 1.1.1. Ta có ♣Gc qc ✏ X ③♣X ③Gq ✏ G. Như thế tập G mở tương đương
với Gc là tập đóng.


6

Định lí 1.1.2. Cho X là một khơng gian tơpơ. Khi đó
1)

❍, X

là các tập đóng;

2) Giao một họ tùy ý các tập đóng là một tập đóng;
3) Hợp một số hữu hạn các tập đóng là tập đóng.

1.1.5

Phần trong và bao đóng của một tập hợp

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là một không gian tôpô và A ⑨ X. Lúc đó có ít
nhất một tập mở chứa trong A chẳng hạn tập rỗng. Hợp tất cả các tập mở chứa
˚ hay intA. Ta có
trong A được gọi là phần trong của tập A, ký hiệu là A
˚ là tập mở (vì nó bằng hợp của các tập mở).
1) A
˚ là tập mở lớn nhất chứa trong A (vì trong A có chứa tập mở nào khác
2) A
thì nó phải chứa trong hợp tất cả các tập mở chứa trong A).
˚
3) A là tập mở khi và chỉ khi A ✏ A.

Định lí 1.1.3. Cho A, B

⑨ X. Khi đó

˚ của tập A là tập hợp tất cả các điểm trong của tập A;
1) Phần trong A

˚ ⑨ B;
˚
2) A ⑨ B thì A
˚ ❳ B.
˚
3) int♣A ❳ B q ✏ A

Định nghĩa 1.1.4. Cho A ⑨ X. Luôn ln có ít nhất một tập đóng chứa A,
chẳng hạn X. Giao tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của A, ký
hiệu A. Hiển nhiên A là tập đóng bé nhất chứa A.
Từ định nghĩa ta có ngay kết quả: A là tập đóng khi và chỉ khi A ✏ A.
Định lí 1.1.4. Cho A, B

⑨ X, ta có

1) A ✏ A;
2) Nếu A ⑨ B thì A ⑨ B;
3) A ❨ B

✏ A ❨ B.


7

1.1.6

Điểm dính - Điểm tụ

Định nghĩa 1.1.5. Cho A là một tập con của không gian tôpô X. Một điểm
x € X được gọi là điểm dính của tập A nếu với mọi lân cận V của x ta đều có

V

❳ A ✘ ❍.

Nếu với mọi lân cận V của x ta đều có V ❳ ♣A③tx✉q ✘ ❍ thì x được gọi là
một điểm tụ của tập A. Hiển nhiên mọi điểm tụ của A đều là điểm dính của A
nhưng điều ngược lại khơng đúng.
Định lí 1.1.5. Bao đóng của tập hợp A là tập hợp tất cả các điểm dính của A.

1.1.7

Tập hợp trù mật - Khơng gian khả li

Định nghĩa 1.1.6. Giả sử A, B là hai tập con trong không gian tôpô X. Nếu
B ⑨ A thì ta nói tập A trù mật trong tập B. Nếu A ⑨ X và A ✏ X thì A được
gọi là trù mật trong X hay A là một tập hợp trù mật khắp nơi.
Ta có các tính chất sau
1) Nếu A trù mật trong B, B trù mật trong C thì A trù mật trong C;
2) Tập A trù mật trong B khi và chỉ khi với mọi x € B và mọi lân cận V của
x ta có V ❳ A ✘ ❍.
Định nghĩa 1.1.7. Khơng gian tôpô X được gọi là khả li (hay tách được) nếu
trong X tồn tại một tập con A hữu hạn hay đếm được và A trù mật khắp nơi.

1.1.8

Cơ sở của tôpô

Thông thường để cho một tôpô trên X ta phải chỉ rõ tất cả các tập mở (tức
là các tập hợp thuộc τ ). Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta chỉ cần tìm một
tập con của τ là đủ xác định tôpô τ.

Định nghĩa 1.1.8. Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô và ❍ ✘ B ⑨ τ. Họ B
được gọi là một cơ sở của tôpô τ nếu với mọi G € τ tồn tại một họ con B✶ ⑨ B
↕
sao cho G ✏
B.
B €B ✶

Ví dụ 1.1.1. 1) Theo định nghĩa thì τ chính là một cơ sở của khơng gian
tơpơ ♣X, τ q.


8

2) Tôpô thông thường trên R nhận họ các khoảng mở ♣a, bq làm một cơ sở
của nó.
Định lí 1.1.6. Họ B ⑨ τ là một cơ sở của không gian tôpô ♣X, τ q khi và chỉ khi
với mọi x € X và với mọi lân cận V của x đều tồn tại B € B sao cho x € B ⑨ V.
Định lí 1.1.7. Cho B ✏ tUα : α € I ✉ ⑨ P ♣X q thỏa mãn hai điều kiện:
a) Với mọi U, V

€ B và với mọi x ⑨ U ❳V, tồn tại W € B sao cho x € W ⑨ U ❳V ;

b) Với mọi x € X tồn tại U

€ B sao cho x € U.

Khi đó tồn tại một tơpơ trên X sao cho B là một cơ sở của τ.

1.1.9

Cơ sở lân cận

Định nghĩa 1.1.9. Một họ V những lân cận của điểm x € X được gọi là một
cơ sở lân cận của x € X nếu với mọi lân cận U của x đều tồn tại một lân cận
V € V sao cho x € V ⑨ U.
Theo định nghĩa, với mỗi x € X luôn luôn tồn tại cơ sở lân cận của nó (chẳng
hạn tập tất cả các lân cận của x). Trong thực tế ta thường quan tâm đến cơ sở
lân cận bé nhất (theo quan hệ bao hàm) của điểm x.
Định lí 1.1.8. Cho X là không gian tôpô. Giả sử Vx là một cơ sở lân cận của
mỗi điểm x € X. Khi đó ta có
1) Với mọi x € X, với mọi Vx € Vx , ta có x € Vx ;
2) Nếu Vx1 , Vx2 € Vx thì tồn tại Vx € V sao cho Vx ⑨ Vx1 ❳ Vx2 ;
3) Với mọi Vx € Vx đều tồn tại một Wx
Vx € Vy sao cho Vy ⑨ Vx .

⑨ Vx sao cho mọi y € Wx thì tồn tại

Ngược lại, giả sử X là một tập tùy ý và với mọi x € X tồn tại một họ Vx gồm
các tập Vx ⑨ X sao cho các tính chất trên được thỏa mãn. Lúc đó tồn tại một
tơpơ τ duy nhất trên X sao cho Vx là một cơ sở lân cận của mỗi điểm x € X.
Định lí 1.1.9. Cho B là một cơ sở của không gian tôpô X. Giả sử họ B đếm
được. Khi đó X khả li và tại mỗi điểm x € X đều tồn tại một cơ sở lân cận hữu
hạn hoặc đếm được.


9

Định nghĩa 1.1.10. Khơng gian tơpơ X có cơ sở đếm được gọi là không gian
thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. Nếu X thỏa mãn tính chất là với mọi x € X
đều tồn tại cơ sở lân cận đếm được thì X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được

thứ nhất.
Họ U ⑨ P ♣X q được gọi là một phủ của tập A trong không gian X khi và chỉ
↕
khi A là một tập con của
B. Phủ U được gọi là phủ mở của A nếu mọi phần
B €U

tử của nó là tập mở. Phủ con của phủ U là một họ con của U mà bản thân họ
này cũng là một phủ của A.
Định lớ 1.1.10 (Lindelăof). Gi s X, q l mt khơng gian tơpơ có cơ sở đếm
được. Khi đó mọi phủ mở tùy ý U của một tập A ⑨ X đều tồn tại một phủ con
đếm được.
Không gian tôpô c gi l khụng gian Lindelă
of nu vi mi ph mở bất
kỳ của nó đều tồn tại phủ con đếm được. Như vậy, không gian thỏa mãn tiên
đề đếm thứ hai l mt khụng gian Lindelăof.

1.1.10

Khụng gian con

Cho X, q là một không gian tôpô và Y ⑨ X. Ta đặt τY ✏ tG ❳ Y : G € τ ✉. Lúc
ấy τY là một tôpô trên tập Y. Thật vậy, ❍ ✏ ❍ ❳ Y, Y ✏ X ❳ Y nên ❍, Y € τY .
↕
↕
Nếu ♣Gα ❳ Y qα€I là một họ các tập thuộc τY thì
♣Gα ❳ Y q ✏ ♣ Gαq ❳ Y cũng
thuộc τY vì

↕

α €I

α€I

Gα

€ τ. Tương tự, giao của hai tập thuộc τY

α€I

cũng là một tập

thuộc τY .
Định nghĩa 1.1.11. Tôpô τY được gọi là tôpô cảm sinh lên tập Y bởi tôpô τ
trong X. Không gian tôpô ♣Y, τY q được gọi là không gian con của không gian

♣X, τ q.

Giả sử X là một không gian tôpô, Y là không gian con của X và A là một
tập con của Y. Để ý rằng, nếu A là một tập mở (hay đóng) trong Y thì chưa
chắc A là mở (hay đóng) trong X. Tuy nhiên ta có
Định lí 1.1.11. Cho ♣X, τ q là không gian tôpô và ♣Y, τY q là khơng gian con của
♣X, τ q. Khi đó
a) A ⑨ Y là một tập mở trong không gian con Y khi và chỉ khi A ✏ Y
G là một tập mở trong không gian X.

❳ G với

10

b) B ⑨ Y là một tập đóng trong khơng gian con Y khi và chỉ khi B
với F là một tập đóng trong khơng gian X.

✏ Y ❳F

Hệ quả 1.1.1. Cho Y là một không gian con của không gian tơpơ X và y € Y.
Khi đó nếu Vy là một lân cận của y trong Y thì tồn tại một lân cận V của y
trong X sao cho Vy ✏ V ❳ Y.
Hệ quả 1.1.2. Cho X là một không gian tôpô và Y là một không gian con của
X. Khi đó
a) Để mọi tập mở trong Y cũng là tập mở trong X, điều kiện cần và đủ là Y
mở trong X.
b) Để mọi tập đóng trong Y cũng là tập đóng trong X, điều kiện cần và đủ là
Y đóng trong X.
Nếu trường hợp a) (tương ứng b)) thỏa mãn, ta gọi Y là không gian con mở
(tương ứng khơng gian con đóng) của khơng giạn X.
Định lí 1.1.12. Cho Y là khơng gian con của không gian tôpô X và A là một
tập con của Y. Ký hiệu A˜ là bao đóng của A trong khơng gian con Y. Khi đó
ta có
A˜ ✏ A ❳ Y,

trong đó A là bao đóng của A trong khơng gian X.

1.2
1.2.1

Ánh xạ liên tục
Định nghĩa

Cho X và Y là các khơng gian tơpơ.
Ánh xạ f : X Đ Y được gọi là liên tục tại điểm x0 € X nếu với mọi lân cận
V của f ♣x0 q tồn tại lân cận U của x0 sao cho f ♣U q ⑨ V.
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu như f liên tục tại mọi điểm x € X.

1.2.2

Định lí

Cho X, Y là hai khơng gian tôpô và f : X
sau đây là tương đương:
a) f liên tục trên X;

ÑY

là một ánh xạ. Các mệnh đề


11

b) Với mọi tập đóng F

⑨Y

thì f ✁1 ♣F q là tập đóng trong X;

c) Với mọi tập mở G ⑨ Y thì tập f ✁1 ♣Gq mở trong X;
d) f ♣Aq ⑨ f ♣Aq với mọi tập A ⑨ X.

1.2.3

Định lí

Giả sử X, Y, Z là ba khơng gian tơpơ, f : X Đ Y là ánh xạ liên tục tại x0 € X
và g : Y Ñ Z là ánh xạ liên tục tại y0 ✏ f ♣x0 q. Khi đó ánh xạ hợp h ✏ g ✆ f : X Ñ Z
liên tục tại x0 € X.

1.2.4

Phép đồng phôi

Cho X, Y là hai không gian tôpô. Giả sử f : X Ñ Y là một song ánh sao cho
f và ánh xạ ngược f ✁1 của nó cùng liên tục thì f được gọi là một phép đồng
phôi (hay phép biến đổi tôpô ) từ X lên Y. Hai không gian tôpô được gọi là đồng
phôi với nhau nếu có một phép đồng phơi từ khơng gian này lên khơng gian kia.
Ta cịn gọi hai khơng gian này là tương đương tơpơ. Nếu một tính chất nào có
đối với khơng gian tơpơ X thì nó cũng có đối với khơng gian tơpơ Y đồng phơi
với nó thì tính chất ấy được gọi là một bất biến tơpơ.

1.2.5

Nhận xét

1) Theo quan điểm tơpơ thì hai khơng gian tơpơ đồng phôi với nhau được
đồng nhất với nhau.
2) Cho τ và τ ✶ là hai tôpô trên cùng tập X. Ta có τ ✏ τ ✶ khi và chỉ khi ánh
xạ đồng nhất id : ♣X, τ q Ñ ♣X, τ ✶ q là phép đồng phơi.

1.3

1.3.1

Khơng gian tích - Không gian thương
Xác định tôpô bởi một họ các ánh xạ

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử X là một tập tùy ý, ♣Xα qα€I là một họ các không
gian tôpô và mỗi α € I ta có một ánh xạ fα : X Ñ Xα từ tập X vào tập Xα . Nếu
trên X ta xét tôpô mạnh nhất (tức là tơpơ rời rạc) thì hiển nhiên tất cả các ánh
xạ fα đều liên tục. Trường hợp này là tầm thường. Ta sẽ chứng tỏ rằng trên X
sẽ tồn tại một tôpô yếu nhất τ sao cho tất cả các ánh xạ fα đề liên tục.


12

Ký hiệu τα là tôpô trong Xα . Đặt G

✏

n
↕
fα✁i1 ♣Gαi q ⑨ X, trong đó Gαi
i✏1

€ τα ,
i

và n là một số nguyên dương nào đó. Ký hiệu B là họ tất cả các tập G có dạng
như trên. Khi đó tồn tại một tơpơ τ trên X nhận B làm cơ sở: Tập A ⑨ X là
τ -mở khi và chỉ khi A là hợp của một họ các tập thuộc B.
Giả sử Σ là một tôpô trên X sao cho tất cả các fα đều liên tục. Khi đó nếu

Gα € τα thì fα✁1 ♣Gα q là một tập mở trong X, nghĩa là fα✁1 ♣Gα q € Σ. Do đó nếu các
Gαi là các tập mở trong các tập Xαi , ♣i ✏ 1, ..., nq thì fα✁i1 ♣Gαi q là tập mở trong Σ
nên G € Σ nghĩa là τ ⑨ Σ.
Như vậy Σ ⑩ τ hay τ là tôpô yếu nhất làm cho tất cả các fα liên tục. τ được
gọi là tôpô đầu trên X xác định nhờ họ ánh xạ ♣fα qα€I .
Định lí 1.3.1. Giả sử τ là tơpơ đầu trên X xác định bởi họ ánh xạ ♣fα qα€I , fα :
X Đ Xα , Y là một khơng gian tơpơ và f : Y Đ X là một ánh xạ. Khi đó f liên
tục khi và chỉ khi với mọi α € I, các ánh xạ fα ✆ f liên tục.
Bây giờ cho X là một tập và ♣Xα qα€I là một họ các không gian tôpô. Với mỗi
α € I, ta có ánh xạ gα : Xα Đ X. Nếu trang bị cho X tôpô yếu nhất (tức là tơpơ
thơ) thì tất cả các ánh xạ gα đều liên tục. Vấn đề là hãy tìm trên X một tôpô
mạnh nhất làm cho tất cả các ánh xạ gα đều liên tục. Đặt ξ là họ tất cả các tập
con G ⑨ X sao cho gα✁1 ♣Gq là tập mở trong Xα với mọi α € I. Khi đó ta kiểm
tra được ξ là một tôpô trên X. Nếu η là một tôpô trên X sao cho gα liên tục và
G là một η -mở thì gα✁1 ♣Gq mở trong Xα với mọi α € I nên G € ξ và do đó η ↕ ξ.
Vậy ξ là tơpơ mạnh nhất trên X làm cho tất cả các ♣gα q liên tục.
Định nghĩa 1.3.2. Tôpô ξ mô tả ở trên được gọi là tôpô cuối trên X xác định
bởi họ các ánh xạ ♣gα qα€I .

1.3.2

Khơng gian tích

Định nghĩa 1.3.3. Cho ♣Xα qα€I là một họ những không gian tơpơ. Đặt X là
tích Descartes của họ các tập hợp ♣Xα q :
X :✏

➵

α€I

Xα

✏ t♣xαqα€I : xα € Xα✉
✏ tx : I Ñ

↕
α€I

Xα ④x♣αq ✏ xα

€ X α ✉.

Các xα , α € I là các thành phần (tọa độ) của phần tử ♣xα qα€I . Với mỗi α0
ta xét phép chiếu pα0 : X Ñ Xα0 , cho bởi

€ I,


13

➵
α €I

Xα

◗ ♣xαqα€I Đ xα € Xα .
0

0

Tơpơ yếu nhất trên X làm cho tất cả các phép chiếu này liên tục (tôpô đầu
trên X xác định bởi họ ♣pα qα€I ), được gọi là tôpô Tikhonov trên X và X cùng
với tôpô này trở thành một không gian tôpô gọi là khơng gian tích (hay tích
Tikhonov ) của các không gian tôpô Xα .
Ta hãy xác định rõ hơn tôpô Tikhonov trên X như sau. Nếu Gα0 là một tập
mở trong Xα0 thì tập hợp
1
p✁
α0 ♣Gα0 q ✏ Gα0

✂

➵

α✘α0

Xα

là tập mở trong X.
Một tập thuộc cơ sở của tôpô tích sẽ có dạng
n
↔
1
V ✏
p✁
αi ♣Gαi q,
i✏1

trong đó Gαi là tập mở trong Xαi . Ta có thể viết lại như sau

V

✏

n
↔

♣Gα ✂
i

i ✏1

➵
α✘αi

Xα q ✏

n
➵
i✏1

Gαi

✂♣

➵
α✘α1 ,...,αn

Từ Định lí 1.3.1 ta có
Hệ quả 1.3.1. Giả sử Y là một khơng gian tơpơ, X

✏

➵
α€I

Xα q.

Xα là tích Tikhonov

của các khơng gian tôpô Xα , α € I. Điều kiện cần và đủ để ánh xạ f : Y
liên tục là với mọi α € I, các ánh xạ pα ✆ f : Y Đ Xα liên tục.

1.3.3

ĐX

Khơng gian thương

Định nghĩa 1.3.4. Cho X là một không gian tôpô. Giả sử trên X có một quan
hệ tương đương R. Ký hiệu X ✏ X ④R ✏ tx˜ : x˜ là lớp tương đương✉ và g là ánh
xạ thương, đó là phép chiếu từ X lên X cho bởi cơng thức
X

◗ x Đ g♣xq ✏ x˜ ✏ ty € X ④yRx✉.

Tôpô mạnh nhất trong các tôpô trên X sao cho g liên tục (tôpô cuối xác định
bởi ánh xạ g ) được gọi là tơpơ thương trên X . Khi đó X cùng với tôpô này được
gọi là không gian tôpô thương của X theo quan hệ R.
Định lí 1.3.2. Cho X là không gian tôpô và R là quan hệ tương đương trên X.

Khi đó


14

↕

a) Tập hợp V

⑨X

là tập mở khi và chỉ khi g ✁1 ♣V q ✏

b) Tập hợp F

⑨X

là đóng khi và chỉ khi g ✁1 ♣F q là tập đóng trong X.

x
˜€V

x˜ là tập mở trong X.

Định lí sau là một hệ quả của Định lí 1.3.2.
Định lí 1.3.3. Cho X, Y là hai không gian tôpô, X ④R là không gian thương
theo quan hệ tương đương R và f : X ④R Đ Y. Khi đó f liên tục khi và chỉ khi
f ✆ g : X Ñ Y liên tục.

1.4

Các tiên đề tách

Không gian tôpô theo định nghĩa là một cấu trúc toán học khá đơn giản và
rất tổng qt nên có thể ứng dụng vào nhiều tình huống khác nhau. Tuy nhiên,
nếu không bổ sung các yêu cầu khác thì nó ít có những tính chất thú vị. Chẳng
hạn, trong các khơng gian thơ thì ta khơng thể phân biệt các điểm với nhau,
cịn khơng gian rời rạc thì mỗi điểm lại thu về từng ốc đảo nên chúng khơng có
gì để nghiên cứu thêm. Mục này nhắc lại một số vấn đề về tách các điểm cũng
như các tập đóng trong khơng gian tơpơ.

1.4.1

Các định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.4.1. Khơng gian tơpơ ♣X, τ q được gọi là không gian thỏa mãn
tiên đề tách T1 (hay T1 -không gian) nếu với hai điểm khác nhau trong X thì sẽ
tồn tại một lân cận của điểm này mà khơng chứa điểm kia.
Định lí 1.4.1. Khơng gian tôpô X là một T1 -không gian khi và chỉ khi mỗi phần
tử x € X, tập hợp tx✉ là tập đóng.
Định nghĩa 1.4.2. Khơng gian tơpơ X được gọi là một T2 -không gian hay là
không gian Hausdorff nếu với hai điểm x, y € X, x ✘ y thì sẽ tồn tại các lân cận
U của x, lân cận V của y sao cho U ❳ V ✏ ❍.
Ví dụ 1.4.1.

1) Các khơng gian metric đều là không gian Hausdorff.

2) Mọi T2 -không gian đều là T1 -không gian.
Định nghĩa 1.4.3. Không gian tôpô X được gọi là một T3 -khơng gian hay là
khơng gian chính quy nếu X là T1 - không gian và với mọi x € X và mọi tập đóng

F ⑨ X sao cho x ❘ F thì tồn tại các tập mở U ◗ x và V ⑩ F sao cho U ❳ V ✏ ❍.


15

Định lí 1.4.2. Cho X là một T1 -khơng gian. Lúc đó X là T3 -khơng gian khi và
chỉ khi với mọi x € X, với mọi lân cận V của x, tồn tại một lân cận U của x sao
cho x € U ⑨ U ⑨ V.
Định nghĩa 1.4.4. Không gian tôpô được gọi là một T4 -không gian hay là khơng
gian chuẩn tắc, nếu nó là một T1 -khơng gian và với hai tập đóng A, B khơng
giao nhau, sẽ tồn tại hai tập mở U ⑩ A, V ⑩ B sao cho U ❳ V ✏ ❍.
Định lí 1.4.3. Để khơng gian tơpơ X là khơng gian chuẩn tắc, điều kiện cần và
đủ là với mọi tập đóng A và mọi tập mở G ⑩ A đều tồn tại một tập mở U sao
cho A ⑨ U ⑨ U ⑨ G.
Định lí 1.4.4. Cho X là một khơng gian tơpơ chính quy. Giả sử X thỏa mãn
tiên đề đếm được thứ hai. Lúc đó X là một không gian chuẩn tắc.

1.4.2

Sự tồn tại các hàm liên tục

Định lí 1.4.5 (Bổ đề Uryshon). Giả sử X là một không gian tôpô chuẩn tắc, A
và B là hai tập con đóng của X sao cho A ❳ B ✏ ❍. Khi đó tồn tại một hàm số
liên tục f : X Ñ R sao cho
a) f ♣xq € r0, 1s, với mọi x € X;
b) f ♣xq ✏ 0 khi x € A;
c) f ♣xq ✏ 1 khi x € B.
Hệ quả 1.4.1. Giả sử X là một không gian chuẩn tắc. Khi đó họ C ♣X q các hàm
số liên tục trên X tách các điểm của X, nghĩa là với mọi x1 , x2 € X, x1 ✘ x2 thì
tồn tại một hàm số f € C ♣X q sao cho f ♣x1 q ✘ f ♣x2 q.

Định lí 1.4.6 (Định lí Tietze-Uryshon). Cho X là một khơng gian chuẩn tắc
và M là một tập đóng chứa trong X. Giả sử f : M Ñ R là một hàm số thực liên
tục sao cho sup ⑤f ♣xq⑤ ➔  ✽. Khi đó tồn tại một hàm số thực liên tục F trên X
thỏa mãn F

x€M

⑤M ✏ f

và
sup ⑤F ♣xq⑤ ✏ sup ⑤f ♣xq⑤.

x€X

x€M

Hệ quả 1.4.2. Cho f là một hàm số thực liên tục trên tập đóng M trong khơng
gian chuẩn tắc X. Khi đó tồn tại một hàm số thực liên tục F trên X sao cho
F ⑤M

✏ f.


16

1.5

Không gian compact - Không gian liên thông

1.5.1

Không gian compact

Định nghĩa 1.5.1. Tập K ⑨ X của không gian tôpô X được gọi là một tập
compact nếu mỗi phủ mở của nó đều có chứa một phủ con hữu hạn. Nói cách
↕
khác, giả sử ♣Gα qα€I là họ các tập mở thỏa mãn K ⑨
Gα thì tồn tại các
Gα1 , Gα2 , ..., Gαn sao cho K

⑨

α€I

n
↕
i✏1

Gαi . Không gian tôpô X được gọi là compact

nếu bản thân tập hợp X là compact.
Ví dụ 1.5.1. Từ định nghĩa ta có ngay là các tập hợp gồm một số hữu hạn điểm
trong không gian tôpô tùy ý là tập compact. Hợp một số hữu hạn tập compact
là tập compact.
Định lí 1.5.1. Giả sử X là khơng gian compact. Khi đó mọi tập con đóng của
X đều là tập compact.
Điều ngược lại của định lí chỉ đúng nếu như X là một T2 -khơng gian.
Định lí 1.5.2. Nếu X là một T2 - khơng gian thì mọi tập con compact của X
đều là tập đóng.
Chứng minh. Cho K là tập compact chứa trong X. Ta chứng minh X ③K là tập

mở. Lấy y € X ③K. Với mọi x € K đều tồn tại các lân cận mở V ♣xq của x và lân
cận Vx ♣y q của y sao cho V ♣xq ❳ Vx ♣y q ✏ ❍. Họ U ✏ tV ♣xq✉x€K là một phủ mở của
K nên tồn tại phủ con hữu hạn:
K

Đặt U

✏

n
↔
i✏1

⑨

n
↕
i✏1

V ♣xi q ✏ V.

Vxi ♣y q thì V là một lân cận mở của điểm y. Hơn nữa

K ❳U

Như thế U

⑨♣

n

↕

i✏1

V ♣xi qq ❳ ♣

n
↔
i ✏1

Vxi ♣y qq ⑨

n
↕
i✏1

♣V ♣xiq ❳ Vx ♣yqq ✏ ❍.
i

⑨ X ③K nên X ③K mở tức là K đóng.

Từ việc chứng minh định lí trên ta suy ra
Hệ quả 1.5.1. Nếu X là một T2 -không gian, K là một tập con compact của X
và x ❘ K thì tồn tại tập mở U ◗ x, tập mở V ⑩ K sao cho U ❳ V ✏ ❍.


17

Định lí 1.5.3. Cho X là một T2 -khơng gian và A, B là hai tập compact của X
và A ❳ B ✏ ❍. Khi đó tồn tại hai tập mở U, V trong X sao cho A ⑨ U, B ⑨ V

và U ❳ V ✏ ❍.
Hệ quả 1.5.2. Giả sử X là một T2 -không gian và đồng thời X cịn là compact.
Khi đó X là một T4 -không gian (tức là không gian chuẩn tắc).
Định nghĩa 1.5.2. Họ F ✏ ♣Fα qα€I ⑨ P ♣X q gọi là một họ có tâm nếu F ✘ ❍
và giao hữu hạn bất kỳ các phần tử của F đều khác rỗng, nghĩa là với bất kỳ
tập hữu hạn tα1 , ..., αn ✉ ⑨ I ta đều có

n
↔

i✏1

Fαi

✘ ❍.

Định lí 1.5.4. Điều kiện cần và đủ để khơng gian tơpơ X compact là mọi họ có
tâm các tập đóng của X đều có giao khác rỗng.
Định lí 1.5.5. Cho ♣X, Y q là hai không gian tôpô và f là một ánh xạ liên tục từ
X vào Y. Nếu K ⑨ X là một tập compact thì f ♣K q ⑨ Y cũng là một tập compact.
Định lí 1.5.6 (Định lí Tikhonov). Để tích X

✏

➵

α€I

Xα của họ các khơng gian

tôpô ♣Xα qα€I là compact, điều kiện cần và đủ là mọi α € I, Xα là các không gian
compact.
Ta nhắc lại rằng trong không gian Euclide Rn (với tôpô thông thường), mỗi
tập A ⑨ Rn là compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn.
Định lí 1.5.7. 1) Để một tập con A trong Rn là compact, điều kiện cần và
đủ là mọi dãy bất kỳ trong A đều tồn tại một dãy con của nó hội tụ về một
điểm trong tập A.
2) Đối với mỗi tập đóng trong Rn , các khái niệm compact, bị chặn và hồn
tồn bị chặn là tương đương.

1.5.2

Khơng gian compact địa phương

Định nghĩa 1.5.3. Không gian tôpô X được gọi là compact địa phương nếu với
mọi x € X đều tồn tại một lân cận đóng và compact.
Định lí 1.5.8. a) Khơng gian con đóng của một khơng gian compact địa
phương là một không gian compact địa phương.
b) Không gian con mở của một không gian Hausdorff compact địa phương là
compact địa phương.


18

1.5.3

Compact hóa

Định nghĩa 1.5.4. Cho X là một khơng gian tơpơ khơng compact và cho cặp
♣Y, ϕq trong đó Y là một khơng gian compact, ϕ : X Đ ϕ♣X q ⑨ Y là một phép

đồng phôi sao cho ϕ♣X q ✏ Y. Khi đó ta gọi cặp ♣Y, ϕq là một compact hóa của
khơng gian tơpơ X.
Bây giờ giả sử ♣X, τ q là một không gian compact địa phương nhưng không
compact. Ký hiệu ✽ là một điểm không thuộc X. Đặt X✽ ✏ X ❨ t✽✉. Ta xác
định τ✽ ⑨ P ♣X✽ q gồm tất cả các phần tử của τ và những tập con G ⑨ X✽ có
chứa ✽ sao cho G ✏ U ❨ t✽✉, U € τ và X ③U là tập compact của X. Ký hiệu
i : X Ñ X✽ là phép nhúng đồng nhất.
Định lí 1.5.9 (Alexandrov). Với các ký hiệu trình bày ở trên ta có ♣X✽ , iq là
một compact hóa của X.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh X✽ là một tập compact. Giả sử ♣Gα qα€I
là một phủ mở của X✽ và ✽ € Gα0 với α0 € I. Theo định nghĩa, X ③Gα0 ✏ X✽ ③Gα0 .
Để ý rằng, họ ♣Gα qα€I cũng phủ X ③Gα0 nên tồn tại α1 , ..., αn € I để Gα1 , ..., Gαn
phủ X ③Gα0 . Vậy Gα0 , ..., Gαn phủ X✽ .
Ta kiểm tra ♣X, τ q là không gian con của X✽ . Điều này hiển nhiên vì với mọi
G € τ ta có G ✏ X✽ ❳ G. Hơn nữa, i : X Ñ X✽ rõ ràng là phép đồng phôi từ X
lên i♣X q ✏ X ⑨ X✽ . Ta còn chứng minh X ✏ X✽ . Thật vậy, một lân cận của ✽
trong X✽ có dạng t✽✉ ❨ U trong đó U ✘ ❍ do X ③U compact.
Ta gọi compact hóa vừa xây dựng ở trên là compact hóa một điểm hay
compact hóa Alexandrov.
Định lí 1.5.10. Cho X là một không gian compact địa phương và đồng thời là
T2 -khơng gian. Khi đó với mọi tập compact K ⑨ X và mọi tập mở U ⑩ K đều
tồn tại hàm f : X Ñ R liên tục, thỏa mãn các điều kiện sau:
a) f ♣xq € r0, 1s với mọi x € X;
b) f ♣xq ✏ 1 khi x € K;
c) f ♣xq ✏ 0 khi x ❘ U.
Hệ quả 1.5.3. Cho X là một T2 -khơng gian và compact địa phương. Với mọi tập
đóng F ⑨ X và mọi x0 ❘ F đều tồn tại hàm liên tục f xác định trên X sao cho
a) f ♣xq € r0, 1s;

19

b) f ♣x0 q ✏ 1;
c) f ♣F q ✏ t0✉.

1.5.4

Không gian liên thông

Định nghĩa 1.5.5. Không gian tôpô X được gọi là liên thơng nếu trong X chỉ
có hai tập ❍ và X là đồng thời vừa mở và vừa đóng.
Nói cách khác, X là một khơng gian liên thông nếu không tồn tại hai tập mở
khác rỗng A, B sao cho A ❳ B ✏ ❍ và X ✏ A ❨ B.
Tập Y ⑨ X được gọi là tập liên thông nếu Y, xem như là không gian con của
X, là khơng gian liên thơng.
Định lí 1.5.11. Nếu A là tập liên thông trong không gian tôpô X thì mọi tập
B thỏa mãn A ⑨ B ⑨ A đều liên thơng.
Định lí 1.5.12. Giả sử ♣Aα qα€I là một họ những tập liên thông trong không gian
↔
↕
tôpô X sao cho
Aα ✘ ❍. Khi đó A ✏
Aα là tập liên thơng trong X.
α€I

α €I

Định lí 1.5.13. Cho A1 , ..., An là các tập liên thông trong không gian tôpô X
sao cho Ai ❳ Ai 1

✘ ❍ với i ✏ 1, 2, ..., n ✁ 1. Khi đó

thơng trong X.

n
↕

i✏1

Ai cũng là một tập liên

Định nghĩa 1.5.6. Cho X là không gian tôpô, x € X. Ký hiệu C ♣xq là hợp tất
cả các tập liên thông A sao cho x € A và ta gọi C ♣xq là thành phần liên thông
của x trong X. Nếu C ♣xq ✏ tx✉ với mọi x € X thì X được gọi là khơng gian hồn
tồn bất liên thơng.
Từ định nghĩa ta có
Định lí 1.5.14. Cho X là một khơng gian tơpơ. Khi đó
1) Thành phần liên thơng C ♣xq là tập liên thơng lớn nhất trong X có chứa x.
2) Với x, y € X ta có một trong hai trường hợp C ♣xq ✏ C ♣y q hoặc C ♣xq❳ C ♣y q ✏

❍.

3) Với mọi x € X ta có C ♣xq là một tập đóng.
Định lí 1.5.15. Giả sử f là một ánh xạ liên tục từ X vào Y và A là một tập
liên thông trong X. Khi đó f ♣Aq là tập liên thơng trong Y.


20

Định lí sau đây nêu lên đặc trưng của tập liên thơng trong R.

Định lí 1.5.16. Tập con E ⑨ R là liên thông khi và chỉ khi E thỏa mãn tính
chất: Với mọi x, y € E nếu x ➔ z ➔ y thì z € E.
Hệ quả 1.5.4. Tập E trong R là liên thông khi và chỉ khi E là một khoảng, tức
là một trong các tập có dạng sau: ♣✁✽, bq, ♣✁✽, bs, ♣a,  ✽q, ra,  ✽q, ♣✁✽,  ✽q,
ra, bq, ra, bs, ♣a, bs, ♣a, bq với mọi a, b € R.


21

Chương 2
CÁC TẬP ω-MỞ VÀ
CÁC HÀM ω-LIÊN TỤC
Cho ♣X, τ q là một không gian tôpô và A ⑨ X. Một điểm x € X được gọi là
điểm tụ của A nếu với mỗi U € τ với x € U thì tập U ❳ A là khơng đếm được.
Năm 1982, Hdeib định nghĩa tập ω -đóng và tập ω -mở như sau: A được gọi là
tập ω -đóng nếu nó chứa tất cả các điểm tụ của nó. Phần bù của một tập ω -đóng
được gọi là ω -mở. Họ tất cả các tập con ω -mở của X tạo thành một tôpô trên
X. Ký hiệu là τω . Nhiều khái niệm tôpô và kết quả liên quan đến tập ω -đóng và
tập ω -mở được nhắc đến trong [2], [3], [6], [7], [8], [9], [18], [19], [23], [35], [37]
và trong nhiều tài liệu tham khảo gần đây. Năm 2002, Csaszar [11] định nghĩa
không gian tôpô tổng quát như sau: Cặp ♣X, µq là khơng gian tơpơ tổng qt
nếu X ✘ ❍ và µ là tập các tập con của X sao cho ❍ € µ và µ đóng với các phép
tốn hợp tùy ý. Đối với khơng gian tơpơ tổng qt ♣X, µq, các phần tử của µ
được gọi là tập µ-mở, phần bù của tập µ-mở được gọi là tập µ-đóng, hợp tất cả
các phần tử của µ được ký hiệu là Mµ , và ♣X, µq được gọi là mạnh nếu Mµ ✏ X.
Gần đây, nhiều khái niệm tôpô mới được đưa ra trong cấu trúc của không gian
tôpô tổng quát, xem [1], [10], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [24], [25], [26], [27],
[29], [30], [31], [32], [36]. Ở chương này, ta tìm hiểu khái niệm các tập µ-mở trong
khơng gian tơpơ tổng qt. Sử dụng khái niệm các tập ω -mở để tìm hiểu các
đặc trng Lindelăof, compact, liờn tc trong cỏc khụng gian tụpụ tổng quát.

2.1

Một số khái niệm trong không gian tôpô tổng
quát

Định nghĩa 2.1.1 ([14]). Cho ♣X, µq là một khơng gian tôpô tổng quát và B
là tập các tập con của X sao cho ❍ € B. Khi đó, B được gọi là một cơ sở của µ