Một số vấn đề về cực trị của hàm số và ứng dụng trong bài toán thực tế ở bậc phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN HỮU NGUYÊN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ
ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ Ở
BẬC PHỔ THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN HỮU NGUYÊN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ
ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ Ở
BẬC PHỔ THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
CHUN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP
Mã số: 8 46 01 13

Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN HỮU TRỌN


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này là cơng trình nghiên cứu của bản thân.
Các kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và chính xác. Các
thơng tin tham khảo trong luận văn đều được trích dẫn một cách đầy đủ
và cẩn thận.
Bình Định, ngày 30 tháng 07 năm 2020
Tác giả

Nguyễn Hữu Nguyên


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên tôi xin gửi đến TS. Nguyễn Hữu Trọn lời cảm ơn sâu sắc
về sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tơi trong suốt khóa học, đặc biệt
trong q trình làm luận văn.
Tơi xin được cảm ơn tất cả các thầy cô trong Khoa Toán và Thống
kê, Trường Đại Học Quy Nhơn đã nhiệt tình giảng dạy tơi trong suốt khóa
học.
Xin được bày tỏ sự cảm ơn đến các vị lãnh đạo và chuyên viên Phòng
Sau Đại Học Trường Đại Học Quy Nhơn đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tơi trong suốt q trình học.
Tôi cũng xin được cảm ơn các giáo viên trường THPT Võ Lai, các
bạn học viên Cao học khóa 21 đã hỗ trợ, động viên tôi trong suốt thời
gian học.
Cuối cùng, vì kiến thức cịn hạn chế nên dù rất cố gắng nhưng chắc
chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót. Kính mong các thầy cơ và các bạn đồng
nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh hơn.
Quy Nhơn, ngày 30 tháng 07 năm 2020
Tác giả

Nguyễn Hữu Nguyên

4

Mục lục
Lời nói đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số khái niệm về hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bất đẳng thức AM-GM và Bất đẳng thức Bunhiacopski . .
1.3 Các cơng thức thể tích, diện tích của các khối đa diện . . .

3
3
4
5

2 Cực trị của hàm số
2.1 Điều kiện cần cực trị .
2.2 Điều kiện đủ cực trị . .
2.2.1 Điều kiện đủ cực
2.2.2 Điều kiện đủ cực
2.2.3 Một số ví dụ . .
2.3 Cực trị của hàm lồi . .

. .
. .
trị

trị
. .
. .

. . . . .
. . . . .
cấp một
cấp cao
. . . . .
. . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

3 Mô hình hóa tốn học và các bài tốn tối ưu thực tế trong
chương trình tốn phổ thơng
3.1 Mơ hình hóa toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Một số bài toán tối ưu thực tế trong chương trình tốn phổ
thơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Các bài toán liên quan đến việc cắt - ghép các hình,
khối hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Các bài toán về lãi suất ngân hàng, giá cả, lợi nhuận
3.2.3 Các bài toán tối ưu chi phí sản xuất . . . . . . . . .
3.2.4 Các bài toán di chuyển - quãng đường đi . . . . . .

7
7
10
11
12
13
16

18
19
26
26
46
50
59


3.2.5

Các bài toán tăng trưởng . . . . . . . . . . . . . . . 70

Kết luận

74

Tài liệu tham khảo

74


Một số kí hiệu viết tắt
N, Z, Q, R, C Các tập hợp số tự nhiên,
số nguyên, số hữu tỷ,
số thực, số phức (tương ứng).
BĐT
Bất đẳng thức.
V

Thể tích.
S
Diện tích.
BBT
Bảng biến thiên.


1

Lời nói đầu
Trong thực tế ln đặt ra cho chúng ta giải quyết các vấn đề nhằm
đáp ứng nhu cầu cuộc sống của con người. Mỗi vấn đề đó ln liên quan
và gắn chặt với một hoặc nhiều bài toán của các ngành khoa học, đặc biệt
là các bài toán tối ưu.
Các bài tốn tối ưu có nguồn gốc từ rất xa xưa trong lịch sử toán học
và bắt nguồn từ hoạt động thực tiễn của con người, ngày nay các bài toán
tối ưu đã được phát triển, nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực của tốn học
và có ứng dụng rộng rãi trong đời sống và kỹ thuật.
Trong chương trình tốn ở bậc phổ thơng hiện nay, các bài tốn tối
ưu (thực tế) xuất hiện với tần suất ngày càng cao trong các đề thi THPT
QG và đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó. Học sinh phải đối
mặt với rất nhiều dạng toán thực tế mà phương pháp giải chúng lại chưa
được hệ thống đầy đủ trong Sách giáo khoa. Vì vậy, để giải được dạng tốn
này, chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như khai thác phương pháp tư
duy giải toán đặc trưng cho loại toán. Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và
giảng dạy của học sinh, giáo viên ở bậc phổ thông, tơi chọn đề tài này để
tìm hiểu nghiên cứu trong luận văn thạc sĩ của mình nhằm phân loại, tổng
họp cũng như phân tích và đưa ra các lời giải hợp lý, phù hợp với trình độ
của học sinh cũng như góp phần vào việc giảng dạy của giáo viên và học
sinh ở bậc phổ thông.

Như chúng tôi quan sát và kinh nghiệm giảng dạy ở trường phổ thông,
các bài tốn tối ưu thực tế ở trong chương trình tốn ở bậc phổ thông chủ
yếu xoay quanh một số vấn đề như việc cắt ghép các khối hình, các bài
tốn liên quan đến sự chuyển động, sự tăng trưởng các loài, các vấn đề
trong kinh tế như lãi suất, bài tốn tối ưu chi phí sản xuất, chi phí vận


2

chuyển,...
Nội dung luận văn bao gồm 03 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày các kiến thức cần thiết phục
vụ cho các phần sau.
Chương 2: Cực trị của hàm số: Chương này trình bày các nguyên lý cực
trị: các điều kiện cần và đủ cấp một cũng như cấp cao cho hàm số
một biến số làm cơ sở lý thuyết cho chương sau.
Chương 3: Mơ hình hóa tốn học và các bài tốn tối ưu thực tế trong
chương trình tốn ở bậc phổ thơng: Trình bày khái niệm cũng như
q trình mơ hình hóa tốn học từ một bài toán thực tế, làm cầu
nối để giải quyết các bài tốn thực tế từ cơng cụ của tốn học. Đồng
thời, tổng hợp phân loại các bài toán thực tế thường gặp trong chương
trình tốn ở bậc phổ thơng với mục đích giúp ích cho học sinh và giáo
viên ở bậc phổ thơng trong q trình học tập và giảng dạy.


3

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số khái niệm về hàm số, các bất đẳng thức
cơ bản như bất đẳng thức AM-GM và Bất đẳng thức Bunhiacopski, các
cơng thức liên quan đến thể tích, diện tích của khối đa diện hay các công
thức về lãi đơn, lãi kép được sử dụng trong các chương sau. Nội dung này
chủ yếu biên soạn từ sách giáo khoa Giải tích 12, [6], [8] và trong [7].

1.1

Một số khái niệm về hàm số

Định nghĩa 1.1. (a) Hàm số f : D → R được gọi là đồng biến (tăng)
trên D, nếu với mọi x, y ∈ D sao cho x < y thì ta có f (x) < f (y).
(b) Tương tự, một hàm số được gọi là nghịch biến (giảm) trên D, nếu
với bất kỳ x < y thì f (x) < f (y).
(c) Hàm số f được gọi là đơn điệu trên D nếu nó tăng hoặc giảm trên
D.
Định nghĩa 1.2. (a) Hàm số f : D → R được gọi là bị chặn trên tồn
tại một số thực M sao cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ D.
(b) Hàm số f : D → R được gọi là bị chặn dưới tồn tại một số thực m
sao cho f (x) ≥ m, ∀x ∈ D.


4

(c) f được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới trên
D, tức là tồn tại các số thực m, M sao cho

M ≥ f (x) ≥ m, ∀x ∈ D.
Điều này tương đương với việc tồn tại K > 0 sao cho |f (x)| ≤
K, ∀x ∈ D.

Định lý 1.3 (Điều kiện cần để hàm số đơn điệu). Giả sử hàm số f có đạo
hàm trên khoảng I ⊂ R. Khi đó,
(i) Nếu f đồng biến trên I thì f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ I .
(ii) Nếu f nghịch biến trên I thì f (x) ≤ 0, ∀ x ∈ I .
Định lý 1.4 (Điều kiện đủ thứ nhất để hàm số đơn điệu ). Giả sử hàm
số f có đạo hàm trên khoảng I ⊂ R. Khi đó,
(i) Nếu f (x) > 0, ∀ x ∈ I thì f đồng biến trên I .
(ii) Nếu f (x) < 0, ∀ x ∈ I thì f nghịch biến trên I .
Định lý 1.5 (Điều kiện đủ thứ hai để hàm số đơn điệu ). Giả sử hàm số
f có đạo hàm trên khoảng I ⊂ R. Khi đó,
(i) Nếu f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ I và f (x) = 0 chỉ có hữu hạn nghiệm trên I
thì f đồng biến trên I .
(ii) Nếu f (x) ≤ 0, ∀ x ∈ I và f (x) = 0 chỉ có hữu hạn nghiệm trên I
thì f nghịch biến trên I .

1.2

Bất đẳng thức AM-GM và Bất đẳng
thức Bunhiacopski

Sau đây chúng tôi giới thiệu một số bất đẳng thức thường được sử
dụng trong việc giải toán ở bậc THPT.


5

Định lý 1.6 (Bất đẳng thức AM-GM). Trung bình cộng của n số thực
không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung
bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

• Với 2 số thực dương a và b, ta có
a+b √
≥ ab.
2
Dấu ”=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.

• Với n số dương x1 , x2 , ..., xn , ta có
√
x1 + x2 + · · · + xn
≥ n x1 · x2 · · · · · xn .
n
Dấu ”=" xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn .
Định lý 1.7 (Bất đẳng thức Bunhiacopski). Cho hai bộ số thực a1 , a2 , . . . , an
và b1 , b2 , . . . , bn gồm n số. Khi đó,

(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ (a21 + a22 + · · · a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a2
an
a1
=
= ··· = .
b1
b2
bn
Quy ước: Mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0.

1.3

Các cơng thức thể tích, diện tích của
các khối đa diện

Tiếp theo chúng tối nhắc lại một số công thức liên quan đến việc tính
thể tích khối trụ, khối cầu, diện tích xung quanh, . . . mà sẽ được dùng
trong các bài toán ở các phần sau.

1
(i) Cơng thức tính thể tích khối chóp V = Bh,
3
trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp.


6

(ii) Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ V = Bh,
trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp.
(iii) Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc, với a, b, c là ba kích thước của
nó.
(iv) Thể tích khối lập phương V = a3 , với a là độ dài cạnh của khối lập
phương.

4
(v) Khối cầu V = πR3 .
3
(vi) Diện tích mặt cầu S = 4πR2 .
(vii) Cơng thức tính thể tích khối trụ (hình trụ) V = B.h = πr2 h.
Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2π.rh.
Diện tích tồn phần của hình trụ Stp = 2π.rh + 2π.r2 .
(viii) Cơng thức tính thể tích khối nón (hình nón) V = 31 Bh = 13 πr2 h.

Diện tích xung quanh hình nón Sxq = π.rl.
Diện tích tồn phần của hình trụ Stp = π.rl + π.r2 .


7

Chương 2

Cực trị của hàm số
Trong chương này chúng tôi sẽ xét bài toán cực trị sau

min f (x), hoặc max f (x),

x∈I⊂R

x∈I⊂R

trong đó f : I → R là một hàm số xác định trên một khoảng I của R.
Khi bàn về bài toán này các câu hỏi sau được yêu cầu:
a. Điều kiện tồn tại nghiệm của bài tốn là gì?
b. Làm sao ta có thể mơ tả nghiệm khi bài tốn bị nhiễu?
c. Bài tốn có tồn tại duy nhất khơng?
d. Phương pháp tìm nghiệm của bài tốn (nghiệm xấp xỉ) là gì?
Các nội dung sẽ trình bày bên dưới về cực trị của hàm số được tham khảo
từ các tài liệu [6], [8], [10], và [13].

2.1

Điều kiện cần cực trị

Định nghĩa 2.1 (Cực trị địa phương). Cho hàm số f : I ⊂ R → R được
gọi là đạt cực đại địa phương tại x0 ∈ I nếu tồn tại δ > 0 sao cho

f (x) ≤ f (x0 ),

∀x ∈ I ∩ (x0 − δ, x0 + δ).


8

f được gọi là đạt cực tiểu địa phương tại x0 ∈ I nếu tồn tại δ > 0 sao cho
f (x) ≥ f (x0 ),

∀x ∈ I ∩ (x0 − δ, x0 + δ).

f được gọi là đạt cực trị địa phương tại x0 nếu f đạt cực đại địa phương
tại x0 hoặc đạt cực tiểu địa phương tại x0 .
Định nghĩa 2.2 (Cực trị địa phương ngặt). Cho hàm số f : I ⊂ R → R
được gọi là đạt cực đại địa phương ngặt tại x0 ∈ I nếu tồn tại δ > 0 sao
cho
f (x) < f (x0 ), ∀x ∈ I ∩ (x0 − δ, x0 + δ)\{x0 }.

f được gọi là đạt cực tiểu địa phương ngặt tại x0 ∈ I nếu tồn tại δ > 0
sao cho
f (x) > f (x0 ), ∀x ∈ I ∩ (x0 − δ, x0 + δ)\{x0 }.
f được gọi là đạt cực trị địa phương ngặt tại x0 nếu f đạt cực đại địa
phương ngặt tại x0 hoặc đạt cực tiểu địa phương ngặt tại x0 .

Hình 2.1: Minh họa cực tiểu địa phương

Định nghĩa 2.3 (Cực trị toàn cục). Cho hàm số f : I ⊂ R → R được gọi
là đạt cực đại toàn cục (tuyệt đối, giá trị lớn nhất) tại x0 ∈ I nếu

f (x) ≤ f (x0 ),

∀x ∈ I.


9

f được gọi là đạt cực tiểu toàn cục tại x0 nếu
f (x) ≥ f (x0 ),

∀x ∈ I.

f được gọi là đạt cực trị toàn cục tại x0 nếu f đạt cực đại toàn cục tại x0
hoặc cực tiểu toàn cục tại x0 .
Định lý 2.4 (Định lý Fermat (1636)). Cho hàm f : (a, b) → R khả vi tại
x0 ∈ (a, b). Nếu f đạt cực trị địa phương tại x0 thì f (x0 ) = 0.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp f đạt cực tiểu địa
phương tại x0 . Khi đó, một mặt ta có

f (x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= lim−
≤ 0,
x→x0
x − x0
x − x0
x→x0

f (x0 ) = lim
mặt khác, ta cũng có

f (x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= lim+
≥ 0,
x→x0
x − x0
x − x0
x→x0

f (x0 ) = lim

từ đó suy ra f (x0 ) = 0. Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 2.5. Nghiệm của phương trình f (x) = 0 được gọi là điểm
dừng của hàm f trên (a, b).
Định nghĩa 2.6. Điểm c được gọi là một điểm tới hạn của f nếu f (c) = 0
hoặc f (c) khơng tồn tại.
Nhận xét 2.7. Nói chung, một điểm dừng không phải là một điểm cực trị
địa phương của hàm f .
Mệnh đề 2.8. Cho hàm số f : R → R và A là tập hợp các số thực sao
cho tại đó f đạt cực đại địa phương. Khi đó f (A) khơng q đếm được.


10

Hình 2.2: Minh họa định nghĩa điểm dừng

2.2

Điều kiện đủ cực trị

Định lý sau cho ta điều kiện đủ để một hàm số liên tục đạt cực tiểu
và cực đại tồn cục trên một khoảng đóng.
Định lý 2.9 (Định lý Weierstass (1836)). Nếu f : [a, b] → R liên tục thì
f đạt cực tiểu và cực đại tồn cục (tuyệt đối) trên [a, b].
Chứng minh. Chứng minh của định lý này có thể tham khảo trong các
tài liệu tham khảo [10], [13].
Hệ quả 2.10 (Điều kiện cưỡng bức). Nếu hàm f : R → R liên tục và
cưỡng bức, tức là lim f (x) = +∞ thì f đạt cực tiểu tồn cục trên R.
|x|→+∞

Chứng minh. Vì lim f (x) = +∞ nên tồn tại N > 0 sao cho với mọi
x→+∞

x > N ta có f (x) > f (0). Mặt khác, ta cũng có lim f (x) = +∞ nên
x→−∞

tồn tại N > 0 sao cho với mọi x < −N1 ta có f (x) > f (0). Hơn nữa, theo
Định lý Wererstrass 2.9, f đạt giá trị nhỏ nhất trên [−N1 , N ] tại x0 , tức
là f (x) ≥ f (x0 ), ∀x ∈ [−N1 , N ]. Vì 0 ∈ [−N1 , N ] nên f (0) ≥ f (x0 ). Từ
đó, ta suy ra f (x) ≥ f (x0 ), ∀x ∈ R. Điều đó có nghĩa là f đạt cực tiểu
tồn cục trên R.


11

2.2.1

Điều kiện đủ cực trị cấp một

Định lý sau đây cho ta biết khi nào tại điểm dừng hàm số đạt cực trị
cấp một.
Định lý 2.11 (Điều kiện đủ cực trị cấp 1). Giả sử hàm số y = f (x) liên
tục trong một lân cận nào đó của điểm x0 , có đạo hàm trong lân cận đó
(có thể trừ điểm x = x0 ) và x0 là một điểm tới hạn của hàm số
(i) Nếu f (x0 ) đổi dấu khi qua điểm x0 thì hàm số có cực trị địa phương
tại điểm đó.
Hơn nữa, nếu f (x) > 0 với x < x0 và f (x0 ) < 0 với x > x0 thì
y = f (x) có cực đại địa phương tại x = x0 . Nếu f (x) < 0 với x < x0
và f (x) > 0 với x > x0 thì y = f (x) có cực tiểu địa phương tại x0 .
(ii) Nếu f (x) > 0 (hoặc f (x) < 0) khi x > x0 và x < x0 thì hàm số
y = f (x) khơng có cực trị địa phương.
Chứng minh.

(i) Giả sử trong lân cận nào đó (x0 − δ, x0 + δ) của điểm tới hạn x0 , hàm
số có đạo hàm f (x) và f (x) > 0 khi x0 − δ < x < x0 , f (x) < 0 khi
x0 < x < x0 + δ . Khi đó hàm số f (x) tăng trong (x0 − δ, x0 ] và giảm
trọng [x0 , x0 + δ). Cho nên f (x0 ) là giá trị lớn nhất của f (x) trong
(x0 − δ, x0 + δ), nghĩa là f (x) đạt cực đại địa phương tại x0 .
Tương tự, nếu f (x) < 0 khi x0 − δ < x < x0 và f (x) > 0 khi
x0 < x < x0 + δ thì f (x) đạt cực tiểu địa phương tại x0 .

(ii) Giả sử f (x) > 0 trong (x0 − δ, x0 ) và (x0 , x0 + δ). Vì vậy hàm số
tăng trong các khoảng đó, cho nên nó khơng có cực trị địa phương
tại điểm này.
Lập luận tương tự như định lý trên ta có thể thiết lập điều kiện đủ
cho cực trị toàn cục của hàm số trên một khoảng (a, b) bất kì.

12

Định lý 2.12 (Điều kiện đủ cho cực trị toàn cục trên một khoảng). Cho f
là hàm liên tục trên khoảng (a, b), khả vi trên khoảng (a, b) với f (x0 ) = 0
hoặc khả vi trên khoảng (a, b) có thể trừ ra điểm x0 . Khi đó,
(i) nếu f (x) > 0, ∀x ∈ (a, x0 ) và f (x) < 0, ∀x ∈ (x0 , b) thì f đạt giá
trị nhỏ nhất tại x0 .
(ii) nếu f (x) < 0, ∀x ∈ (a, x0 ) và f (x) > 0, ∀x ∈ (x0 , b) thì f đạt giá
trị lớn nhất tại x0 .

2.2.2

Điều kiện đủ cực trị cấp cao

Khi điều kiện cấp một không đủ để cho ta thông tin về cực trị của
hàm số, thì các thơng tin về đạo hàm cấp cao sẽ giúp ích cho ta biết được
đâu là điểm cực trị của hàm số.
Định lý 2.13 (Địều kiện cực trị cấp cao). Cho f : (a, b) → R là hàm số
khả vi (liên tục) n lần trong lân cận cảu x0 ∈ (a, b) và thỏa mãn điều kiện

f (x0 ) = f (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0, f (n) (x0 ) = 0.

(2.1)

Khi đó
(i) Nếu n chẵn thì f đạt cực trị tại x0 . Cụ thể, nếu f (n) (x0 ) < 0 thì f
đạt cực đại tại x0 và nếu f (n) (x0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0 .
(ii) Nếu n lẻ thì f không đạt cực trị tại x0 .

Chứng minh. Để biết hàm số có đạt cực trị tại x0 hay khơng, ta xét dấu
hiệu f (x) − f (x0 ) với x thuộc một lân cận đủ nhỏ của điểm x0 . Vì:
f (x0 ) = f (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0; f (n) (x0 ) = 0, cho nên khai
triển Taylor của hàm này ở lân cận điểm x0 sẽ là:

f (n) (x0 )
(x − x0 )n + o[(x − x0 )n ]
f (x) − f (x0 ) =
n!

(2.2)


13

Khi x → x0 , số hạng thứ hai là vô cùng bé so với số hạng thứ nhất, cho
nên với x đủ gần x0 , dấu của vế thứ hai trong (2.2) sẽ trùng với dấu của
số hạng thứ nhất:

f (n) (x0 )
(x − x0 )n
n!

(2.3)

Ta xét từng trường hợp:

(i) Khi n lẻ thì vì (x − x0 )n sẽ đổi dấu khi x − x0 đổi dấu, cho nên
f (x) − f (x0 ) đổi dấu khi x − x0 đổi dấu. Điều đó có nghĩa là y = f (x)
khơng có cực trị địa phương tại điểm x0 .

(ii) Khi n chẵn thì (x−x0 )n > 0 cho nên f (x)−f (x0 ) > 0 nếu f (n) (x0 ) >
0 và f (x) − f (x0 ) < 0 nếu f (n) (x0 ) < 0.
Vậy nếu f (n) (x0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 , và nếu f (n) (x0 ) <
0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 .
Ở đây, ta dễ dàng thấy rằng hàm số y = f (x) tăng nếu f (n) (x0 ) > 0,
và giảm nếu f (n) (x0 ) < 0.
Lấy n = 2 trong định lý trên ta được hệ quả sau:
Hệ quả 2.14 (Điều kiện cấp hai). Cho f : (a, b) → R là hàm số khả
vi (liên tục) 2 lần trong lân cận của x0 ∈ (a, b) và thỏa mãn điều kiện
f (x0 ) = 0, f (x0 ) = 0. Khi đó,
(i) Nếu f (x0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x0 .
(ii) Nếu f (x0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0 .

2.2.3

Một số ví dụ

Sử dụng các tiêu chí cực trị ở trên, ta có thể tìm cực trị địa phương
và toàn cục của các hàm số đơn giản sau.
Ví dụ 2.2.1. Tìm cực trị của hàm số y = x4 − 8x3 + 432.


14

Ta có y = 4x3 − 24x2 ; y = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 6.
• Dùng điều kiện cấp 1, lập bảng biến thiên ta được f đạt cực tiểu tại
x0 = 6 và không đạt cực trị tai x0 = 0.
• Dùng điều kiện cấp cao. Tại x0 = 6 ta thấy f (6) = 12·6−48·6 = 144 > 0
nên f đạt cực tiểu tại x0 = 6. Tại x0 = 0, ta thấy f (0) = 0 và f (0) = 0,
nên f không đạt cực trị tai x0 = 0.

Ví dụ 2.2.2.[Đề thi THPTQG 2018] Có bao nhiêu giá trị của tham số m
để hàm số y = x8 + (m − 4)x5 − (m2 − 16)x4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0.
Lời giải.

y = 8x7 + 5(m − 4)x4 − 4(m2 − 16)x3
y = 56x6 + 20(m − 4)x3 − 12(m2 − 16)x2
y (3) = 168x5 + 60(m − 4)x2 − 24(m2 − 16)x
y (4) = 840x4 + 120(m − 4)x − 24(m2 − 16)
Ta có: y (0) = y (0) = y (3) (0) = 0
• Trường hợp 1: Nếu y (4) (0) = 0 ⇔ m = ±4
Với m = 4 ⇒ y = 8x7 . Suy ra x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.
Với m = −4 ⇒ y = 8x4 (x3 − 5). Suy ra x = 0 không là điểm cực trị
của hàm số.
• Trường hợp 2: Nếu y (4) (0) = 0 ⇔ m = ±4, khi đó áp dụng Định lí
2.13 để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì

y (4) (0) > 0 ⇔ −24(m2 − 16) > 0 ⇔ −4 < m < 4
. Kết hợp hai trường hợp ta được −4 < m ≤ 4.
Do m ∈ Z ⇒ m ∈ {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}.
Vậy có 8 giá trị nguyên của thham số m thỏa mãn.
Ví dụ 2.2.3.[Sách Bài tập Giải tích 12 cơ bản] Chứng minh rằng hàm số
y = x3 + mx2 − (n2 + 1)x − 5(m + n) ln ln có cực trị với mọi giá trị
của m và n.
Ta có y = 3x2 − 2mx − (n2 + 1). Xét phương trình y = 0. Ta có
∆ = m2 + 3(1 + n2 ) > 0, do đó phương trình này có hai nghiệm phân
biệt x1 < x2 . y đổi dấu khi đi qua hai nghiệm này. Ta có bảng biến thiên


15

x

x1

−∞
+

y

0

x2
−

0

+∞
+

yCD

+∞

y
yCT

−∞

Vậy hàm số đã cho ln có một cực đại và một cực tiểu.
√

Ví dụ 2.2.4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 25 − x2
trên [−5, 5].
−x
, với x ∈ (−5, 5); y = 0, x ∈ (−5, 5) khi và chỉ
Ta có y = √
25 − x2
khi x = 0.
Các giá trị f (−5) = f (5) = 0 và f (0) = 5. Từ đó ta có

min f (x) = f (−5) = f (5) = 0, max f (x) = f (0) = 5.
x∈[−5,5]

x∈[−5,5]

Ví dụ 2.2.5. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) =

x
x2 + 1

trên R.
−x2 +1
Ta có f (x) = (x
2 +1)2 ; f (x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −1.
Bảng biến thiên

x

−∞

−1

−

f

0

0
f
−

1
2

+∞

1
+

0

−

1
2

Từ BBT ta có

1
1
max f = f (1) = , min f = f (−1) = − .

2
2

0


16

2.3

Cực trị của hàm lồi

Phần này sẽ dành cho việc trình bày về cực trị của hàm lồi cũng như
đưa ra điều kiện tồn tại duy nhất điểm cực trị của các các hàm. Điểm đặc
biệt của hàm lồi là cực tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục, và hàm
lồi ngặt chỉ có duy nhất một điểm cực tiểu toàn cục. Nội dung ở đây được
tham khảo từ tài liệu [10].
Định nghĩa 2.15. Cho f : I → R, I là một khoảng của R. f được gọi là
lồi nếu với mọi x, y ∈ I, λ ∈ [0, 1] ta có

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
f được gọi là hàm lõm nếu −f là hàm lồi.
Định nghĩa 2.16. Cho f : I → R, I là một khoảng của R. f được gọi là
lồi ngặt nếu với mọi x, y ∈ I, x = y, λ ∈ [0, 1] ta có

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y).
f được gọi là hàm lõm ngặt nếu −f là hàm lồi ngặt.
Ví dụ 2.3.1.
(a) Các hàm affine là các hàm vừa lồi vừa lõm.
(b) Hàm f : R → R, f (x) = x2 là lồi.

Định lý 2.17 (Đặc trưng của hàm lồi). Cho f : (a, b) → R khả vi cấp
hai. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương
(i) f lồi.
(ii) f (x) ≥ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ), ∀x, x0 ∈ (a, b).
(iii) f (x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b).
(iv) f tăng trên (a, b).


17

Định lý 2.18 (Cực tiểu địa phương là cực tiểu toàn cục). Cho f : (a, b) →
R lồi. Khi đó nếu x0 là điểm cực tiểu địa phương của f thì nó cũng là điểm
cực tiểu tồn cục của hàm f .
Định lý 2.19 (Cực đại của hàm lồi). Cho f : [a, b] → R lồi. Khi đó

f (x) ≤ max{f (a), f (b)}, ∀x ∈ [a, b].
Trường hợp đặc biệt khi f là hàm affine thì

max f (x) = max{f (a), f (b)}, min f (x) = min{f (a), f (b)}.
x∈[a,b]

x∈[a,b]

Trong các kết quả trên, điểm cực trị nếu tồn tại có thể nhiều. Một
câu hỏi nảy sinh tự nhiên là khi nào hàm f có duy nhất một điểm cực trị?
Định lý 2.20 (Điều kiện tồn tại duy nhất điểm cực tiểu toàn cục). Cho
f : [a, b] → R khả vi cấp hai trên [a, b]. Nếu

f (a) < 0, f (b) > 0, và f (x) > 0, a < x < b,
thì bài tốn

f (x) → min, a < x < b,
có duy nhất một điểm cực tiểu toàn cục.
Định lý 2.21 (Điều kiện tồn tại duy nhất điểm cực tiểu toàn cục). Cho
f : (a, b) → R là một hàm lồi ngặt. Nếu f có cực tiểu thì đó là cực tiểu
duy nhất.
Chứng minh các kết quả trong phần này, người đọc quan tâm có thể
tham khảo trong cuốn sách [10].


18

Chương 3

Mơ hình hóa tốn học và
các bài tốn tối ưu thực
tế trong chương trình
tốn phổ thơng
Trong chương trình tốn ở bậc THPT hiện nay các bài toán thực tế
xuất hiện ngày càng nhiều bàn về các vấn đề của cuộc sống cũng như các
lĩnh vực khoa học khác nhau. Học sinh gặp hai loại bài toán, thứ nhất là
đã có mơ hình sẵn, bằng kiến thức đã học học sinh có thể vận dụng và
giải quyết bài tốn mà khơng có khó khăn gì; loại thứ hai là các bài tốn
chưa có mơ hình sẵn, để giải quyết bài tốn học sinh phải dùng kiến thức
đã học để mơ hình hóa bài tốn thực tế thành bài tốn tốn học. Đây
thực sự là cơng việc khó khăn đối với học sinh, kể cả giáo viên. Có những
khả năng bị hạn chế khi học sinh tham gia vào các mô hình tốn học. Học
sinh có thể có những khó khăn để hiểu được vấn đề, xây dựng giả thiết và
xác định các biến số quan trọng cần thiết để xây dựng các mơ hình tốn
học. Họ cũng bị hạn chế bởi kiến thức toán học và khả năng lựa chọn một

phương pháp thích hợp để giải quyết các vấn đề và giải thích các giải pháp
của họ.