BỘ đề KIỂM TRA CHÍNH THỨC các TRƯỜNG GIỮA kì 1 môn TOÁN 8 năm học 2020 2021 có HƯỚNG dẫn GIẢ

BỘ 15 ĐỀ
Kiểm tra giữa kì 1 toán 8
ĐỀ 19
TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ I LỚP 8
NĂM HỌC 2020-2021
MƠN TỐN

A: Trắc nghiệm ( 1 điểm). Hãy viết lại các chữ cái trước đáp án mà em chọn vào bài làm.
Câu 1. Kết quả thu gọn đa thức x 4 − ( x + 2 )( x − 2 ) ( x 2 + 4 )
A. 2 x 4 − 16

B. 2 x 4 + 16

C. −16

D. 16

Câu 2. Giá trị biểu thức: x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 tại x = 101 bằng
A. 1000000

B. 1001

C. 10000

D. 300

Câu 3. Trong các câu sau, câu nào đúng
A. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
B. Hình thang có một góc vng là hình chữ nhật

C. Hình bình hành có một góc vng là hình chữ nhật
D. Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
Câu 4. Trục đối xứng của hình thang cân là:
A. Đường chéo của hình thang cân
B. Đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy của hình thang cân
C. Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh bên của hình thang cân
D. Đường thẳng vng góc với hai đáy của hình thang cân
B: Tự luận
Bài 1.

Bài 2.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) y 3 − 9 y

b) x 2 − 6 xy + 9 y 2 − 1

c) 5 x − 5 y + x 2 − y 2

d) ( x + 2 )( x + 3)( x + 4 )( x + 5 ) − 120

Tìm x biết:
a) 4 x ( x − 3) − x ( 4 x + 5) = 34

Bài 3.

b) 25 ( 3 − 2x ) + x2 ( 2 x − 3) = 0

Cho tam giác ABC đường cao AH . Gọi M , D , E lần lượt là điểm của các cạnh BC , CA và
AB .

a) Tứ giác ADME là hình gì?
b) Chứng minh tứ giác EDMH là hình thang cân.
c) Trên tia đối của tia DM lấy điểm G sao cho DG = DM . Chứng minh rằng: Ba đường thẳng
AM , ED , BG đồng quy.


d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCG là hình chữ nhật.
Bài 4.

1
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 x 2 + x + 2020 .
8
b) Cho ba số nguyên a , b , c có tổng chia hết cho 6 . Chứng minh rằng biểu thức:
M = ( a + b )( b + c )( c + a ) − 2abc chia hết cho 6 .


HƯỚNG DẪN GIẢI
A: Trắc nghiệm Hãy viết lại các chữ cái trước đáp án mà em chọn vào bài làm.
Câu 1. Kết quả thu gọn đa thức x 4 − ( x + 2 )( x − 2 ) ( x 2 + 4 )
A. 2 x 4 − 16

B. 2 x 4 + 16

C. −16

D. 16

Lời giải
x 4 − ( x + 2 )( x − 2 ) ( x 2 + 4 ) = x 4 − ( x 2 − 4 )( x 2 + 4 ) = x 4 − ( x 4 − 16 ) = 16

Chọn D
Câu 2. Giá trị biểu thức: x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 tại x = 101 bằng
A. 1000000

B. 1001

C. 10000

D. 300

Lời giải
x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 = ( x − 1)

3

3

Thay x = 101 vào biểu thức ta có: (101 − 1) = 1000000

Chọn A
Câu 3. Trong các câu sau, câu nào đúng
A. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
B. Hình thang có một góc vng là hình chữ nhật
C. Hình bình hành có một góc vng là hình chữ nhật
D. Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
Lời giải
Chọn C
Câu 4. Trục đối xứng của hình thang cân là:
A. Đường chéo của hình thang cân
B. Đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy của hình thang cân

C. Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh bên của hình thang cân
D. Đường thẳng vng góc với hai đáy của hình thang cân
Lời giải
Chọn B
B: Tự luận
Bài 1.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) y 3 − 9 y

b) x 2 − 6 xy + 9 y 2 − 1

c) 5 x − 5 y + x 2 − y 2

d) ( x + 2 )( x + 3)( x + 4 )( x + 5 ) − 120

Lời giải


a) y 3 − 9 y
= y ( y 2 − 32 )

= y ( y − 3)( y + 3)
b) x 2 − 6 xy + 9 y 2 − 1
2

= ( x − 3 y ) − 12

= ( x − 3 y − 1)( x − 3 y + 1)
c) 5 x − 5 y + x 2 − y 2

= 5 ( x − y ) + ( x − y )( x + y )
= ( x − y )( 5 + x + y )
d) ( x + 2 )( x + 3)( x + 4 )( x + 5 ) − 120
= ( x 2 + 7 x + 10 )( x 2 + 7 x + 12 ) − 120 = ( x 2 + 7 x + 11 − 1)( x 2 + 7 x + 11 + 1) − 120
2

= ( x 2 + 7 x + 11) − 12 − 120
2

= ( x 2 + 7 x + 11) − 121
2

= ( x 2 + 7 x + 11) − 112
= ( x 2 + 7 x + 11 − 11)( x 2 + 7 x + 11 + 11)
= ( x 2 + 7 x )( x 2 + 7 x + 22 )

Bài 2.

Tìm x biết:
a) 4 x ( x − 3) − x ( 4 x + 5) = 34

2
b) 25 ( 3 − 2 x ) + x ( 2 x − 3) = 0

Lời giải
a) 4 x ( x − 3) − x ( 4 x + 5) = 34

4 x 2 − 12 x − 4 x 2 − 5 x = 34
−17 x = 34

x = −2
2
b) 25 ( 3 − 2 x ) + x ( 2 x − 3) = 0

25 ( 3 − 2x ) + x2 ( 2 x − 3) = 0

( 3 − 2x ) ( 25 − x2 ) = 0
( 3 − 2 x )( 5 − x )( 5 + x ) = 0
x=

3
hoặc x = 5 hoặc x = −5 .
2


Bài 3.

Cho tam giác ABC đường cao AH . Gọi M , D , E lần lượt là điểm của các cạnh BC , CA và
AB .
a) Tứ giác ADME là hình gì?
Xét tam giác ABC có ME và DM là đường trung bình của tam giác
b) Chứng minh tứ giác EDMH là hình thang cân.
c) Trên tia đối của tia DM lấy điểm G sao cho DG = DM . Chứng minh rằng: Ba đường thẳng
AM , ED , BG đồng quy.
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCG là hình chữ nhật.

Lời giải

A
G

E

B

D

H

M

C

a) Tứ giác ADME là hình gì?
Có ME và DM là các đường trung bình của ∆ABC

1

 ME // AC; ME = 2 AC

 MD // AB; MD = 1 AB

2
 ADME là hình bình hành.
b) Chứng minh tứ giác EDMH là hình thang cân.
Có ED là đường trung bình của ∆ABC

 ED // BC hay  ED // HM
 EDMH là hình thang

 1


Lại có hai đường chéo  EM = HD  = AC 
 2

 EDMH là hình thang cân.
c) Trên tia đối của tia DM lấy điểm G sao cho DG = DM . Chứng minh rằng: Ba đường thẳng
AM , ED , BG đồng quy.
Có ADME là hình bình hành (cmt)

 AM ; DE cắt nhau tại trung điểm của AM và DE. (1)
Có AGMB là hình bình hành (vì có AB // MG và AB = MG = 2MD )


 AM ; GB cắt nhau tại trung điểm của AM và GB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba đường thẳng AM , ED , BG đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCG là hình chữ nhật.
Có tứ giác AMCG là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Để tứ giác AMCG là hình chữ nhật thì AMC = 90°

 AM ⊥ BC
Mà M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

 ∆ABC cân tại A .
Vậy khi tam giác ABC cân tại A thì tứ giác AMCG là hình chữ nhật.

Bài 4.

1
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 x 2 + x + 2020 .

8
b) Cho ba số nguyên a , b , c có tổng chia hết cho 6 . Chứng minh rằng biểu thức :

M = ( a + b )( b + c )( c + a ) − 2abc chia hết cho 6 .
Lời giải

1
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 x 2 + x + 2020 .
8
A = 2 x 2 + x + 2020 +

1
8

1
1

A = 2  x2 + x +  + 2020
2
16 

2

1

A = 2  x +  + 2020 ≥ 2020
4

Dấu bằng xảy ra khi x =
Vậy Amin = 2020 khi x =

−1
4
−1
4

b)Có M = abc + a 2b + a 2 c + b2 a + b2 c + c 2 a + c 2b + abc − 2abc

M = ab ( b + a ) + bc ( b + c ) + ac ( a + c )
M = ab ( b + a + c ) + bc ( b + a + c ) + ac ( b + a + c ) − 3abc
M = ( b + a + c )( ab + bc + ac ) − 3abc
Có a + b + c cũng chia hết cho 6.
Vì a, b, c là các số nguyên có tổng chia hết cho 6 nên chắc chắn trong ba số đó phải có ít một số
chẵn  3abc chia hết cho 6.


Do đó M chia hết cho 6.


TRƯỜNG THCS LÊ NGỌC HÂN

Bài 1.

ĐỀ 20
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ I LỚP 8
NĂM HỌC 2020-2021
MƠN TỐN

Cho biểu thức
A = ( 8 x 3 − 1) − ( 2 x + 1) ( 4 x 2 − 2 x + 1) + 3 x

a) Thu gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của biểu thức A với x = −1 .
c) Tìm x để A = 0 .

Bài 2.

Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 3x 2 − 9xy − 6x + 18y
b) 9x 2 − 16 + (3x − 2)(3x + 4)
c) x 2 − 4x + 3

Bài 3.

Tìm x biết:
a) 2x 2 − 8 = 0
b) 4x (x − 2) − x + 2 = 0
c) (x 3 + 27) + (x + 3)(x − 9) = 0

Bài 4.

Cho ∆ABC cân tại A , vẽ đường cao AH , trung tuyến BD ( H ∈ BC , D ∈ AC ) .
a) Chứng minh tứ giác ABHD là hình thang.
b) Lấy điểm E đối xứng với B qua D . Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.
c) Từ điểm D kẻ đường thẳng song song với AH cắt đường thẳng AB tại F .
Chứng minh AF = DH .
d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để ABHD là hình thang cân.

Bài 5.

Cho x + 2y = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x 2 + y 2


HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.

Cho biểu thức
A = ( 8 x 3 − 1) − ( 2 x + 1) ( 4 x 2 − 2 x + 1) + 3 x

a) Thu gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của biểu thức A với x = −1 .
c) Tìm x để A = 0 .

Lời giải
a) Thu gọn biểu thức A .
A = ( 8 x 3 − 1) − ( 2 x + 1) ( 4 x 2 − 2 x + 1) + 3 x
A = ( 8 x 3 − 1) − ( 8 x 3 + 1) + 3 x
A = 8 x3 − 1 − 8 x 3 − 1 + 3x

A = 3x − 2
b) Tính giá trị của biểu thức A với x = −1 .
Thay x = −1 vào biểu thức A , ta có:

A = 3. ( −1) − 2 = −3 − 2 = −5 .
Vậy với x = −1 thì A = −5 .
c) Tìm x để A = 0 .

A=0
⇔ 3x − 2 = 0
⇔ 3x = 2

⇔x=

2
.
3

Vậy để A = 0 thì x =

Bài 2.

2
.
3

Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 3x 2 − 9xy − 6x + 18y
b) 9x 2 − 16 + (3x − 2)(3x + 4)
c) x 2 − 4x + 3

Lời giải
a)
3 x 2 − 9 xy − 6 x + 18 y


(

)

= 3x 2 − 6 x + ( −9 xy + 18 y )
= 3x ( x − 2 ) − 9 y ( x − 2 )

= ( x − 2 )( 3x − 9 y ) = 3 ( x − 2 )( x − 3 y )
b)

9 x 2 − 16 + ( 3x − 2 )( 3x + 4 )

= ( 3x − 4 )( 3x + 4 ) + ( 3x − 2 )( 3x + 4 )
= ( 6 x − 6 )( 3x + 4 ) = 6 ( x − 1)( 3x + 4 )
c) x 2 − 4x + 3 = x 2 − x − 3x + 3 = x (x − 1)− 3 (x − 1) = (x − 1)(x − 3)

Bài 3.

Tìm x biết:
a) 2x 2 − 8 = 0
b) 4x (x − 2) − x + 2 = 0
c) (x 3 + 27) + (x + 3)(x − 9) = 0

Lời giải
a)

2 x2 − 8 = 0
2 x2 = 8
x2 = 4
 x = 2 hoặc x = −2
Vậy x ∈ {2; −2}
b)

4x ( x − 2) − x + 2 = 0
4x ( x − 2) − ( x − 2) = 0

( x − 2 )( 4 x − 1) = 0

x − 2 = 0
⇒
 4x − 1 = 0

x = 2

⇒
1
x =

4

 1 
Vậy x ∈  ; 2
 4 


c)

(x 3 + 27) + (x + 3)(x − 9) = 0
(x + 3)(x 2 − 3x + 9) + (x + 3)(x − 9) = 0
(x + 3)(x 2 − 3x + 9 + x − 9) = 0
(x + 3)(x 2 − 2x ) = 0
x (x + 3)(x − 2) = 0
x = 0
x = 0


⇒ x + 3 = 0 ⇒ x = − 3



x − 2 = 0 x = 2


Vậy x ∈ {−3; 0; 2}

Bài 4.

Cho ∆ABC cân tại A , vẽ đường cao AH , trung tuyến BD ( H ∈ BC , D ∈ AC ) .
a) Chứng minh tứ giác ABHD là hình thang.
b) Lấy điểm E đối xứng với B qua D . Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.
c) Từ điểm D kẻ đường thẳng song song với AH cắt đường thẳng AB tại F .
Chứng minh AF = DH .
d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để ABHD là hình thang cân.

Lời giải

F

A

E
D

B

H

C

a) Chứng minh tứ giác ABHD là hình thang.
+) Vì ∆ABC cân tại A (giả thiết) nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến (t/c)

 H là trung điểm của BC .
+) Vì BD là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)  D là trung điểm của AC .
+) Xét ∆ABC có: H là trung điểm của BC ; D là trung điểm của AC (chứng minh trên)


Nên HD là đường trung bình của ∆ABC  HD

AB (tính chất đương trung bình)

 Tứ giác ABHD là hình thang (tứ giác có hai cạnh đối song song).
b) Lấy điểm E đối xứng với B qua D . Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.
Nối E với A , E với C .
+) Vì điểm E đối xứng với B qua D (giả thuyết)  D là trung điểm của AC .
+) Xét tứ giác ABCE có:
D là trung điểm của AC (chứng minh trên)

D là trung điểm của AC (chứng minh trên)

Mà AC ∩ BE = { D}
Nên tứ giác ABCE là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường).
c) Từ điểm D kẻ đường thẳng song song với AH cắt đường thẳng AB tại F .
Chứng minh AF = DH .
AB (chứng minh trên)  HD

+) Vì HD

+) Xét tứ giác AFDH có: HD

AF .

AF (chứng minh trên); DF

AH (giả thiết)

Nên tứ giác AFDH là hình bình hành (tứ giác hai hai cặp cạnh đối song song)

 AF = DH (tính chất hình bình hành).
d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để ABHD là hình thang cân.
Tứ giác ABHD là hình thang cân ⇔ ABH = BAD
Mà ∆ABC cân tại A (giả thiết) nên khi đó ∆ABC trở thành tam giác đều.

Bài 5.

Cho x + 2y = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x 2 + y 2

Lời giải
Ta có x + 2y = 3 ⇒ x = 3 − 2y
S = x2 + y 2
2

= ( 3 − 2y ) + y 2
= 9 − 12 y + 5 y 2
2

 5S = 25 y 2 − 60 y + 45 = 25 y 2 − 60 y + 36 + 9 = ( 5 y − 6 ) + 9
Vì

(5 y − 6)

2

≥ 0 ∀y
2

 ( 5 y − 6 ) + 9 ≥ 9 ∀y


 5S ≥ 9 ∀y
S≥

9
∀y
5

Giá trị nhỏ nhất của S là

9
6
3
khi y = ; x = .
5
5
5


ĐỀ 21

TRƯỜNG THCS LÝ NAM ĐẾ

Bài 1.

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ I LỚP 8
NĂM HỌC 2020-2021
MƠN TỐN

Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 5 x 2 − 10 xy
b) x 2 + xy − 3 x − 3 y
c) x 2 + 2 x + 1 − y 2
d) x 2 − 7 x + 6

Bài 2.

Tìm x biết:.
a) 2 x. ( x − 1) − 2 x 2 = 7
b) x ( x − 2 ) + 3x − 6 = 0
c) x 2 − 9 + ( x + 5)( x − 3) = 0

Bài 3.
a) Làm tính nhân: 3 x. ( 2 xy − 7 x 2 y + 1)
2

b) Rút gọn biểu thức: A = ( 2 x − 3) + ( x − 1)( x + 1) .
Tính giá trị biểu thức A khi x = 2 .

Bài 4.

Cho ∆ABC ( AB < AC ) . Gọi D , E thứ tự là trung điểm của các cạnh AB , AC.
a) Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang.
b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC . Gọi K là điểm đối xứng với H qua E . Tứ giác AHCK
là hình gì? Vì sao?
c) Gọi F là trung điểm của BC , I là trung điểm của DE . Chứng minh ba điểm A , I , F thẳng
hàng.

Bài 5.

Cho a , b , c .là các số thực khác 0 thỏa mãn: a 3 + b3 + c 3 = 3abc .
Tìm giá trị của biểu thức: M =

a+b b+c c+a
+
+
c
a
b


HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.

Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 5 x 2 − 10 xy
b) x 2 + xy − 3 x − 3 y
c) x 2 + 2 x + 1 − y 2
d) x 2 − 7 x + 6

Lời giải

5 x 2 − 10 xy = 5 x ( x − 2 y )
b) x 2 + xy − 3x − 3 y = x ( x + y ) − 3 ( x + y ) = ( x − 3)( x + y )
2

c) x 2 + 2 x + 1 − y 2 = ( x + 1) − y 2 = ( x + 1 − y )( x + 1 + y )
d) x 2 − 7 x + 6 = x 2 − x − 6 x + 6 = x ( x − 1) − 6 ( x − 1) = ( x − 6 )( x − 1)

Bài 2.

Tìm x biết:.
a) 2 x. ( x − 1) − 2 x 2 = 7
b) x ( x − 2 ) + 3x − 6 = 0
c) x 2 − 9 + ( x + 5)( x − 3) = 0

Lời giải

a) 2 x. ( x − 1) − 2 x 2 = 7
2 x2 − 2 x − 2 x2 = 7

−2 x = 7
x=−

7
2

Vậy: x = −

7
2

b) x ( x − 2 ) + 3x − 6 = 0

x ( x − 2) + 3( x − 2)

( x − 2 )( x + 3) = 0
 x − 2 = 0 hoặc x + 3 = 0
 x = 2 hoặc x = −3


Vậy: x ∈ {−3; 2}
c) x 2 − 9 + ( x + 5)( x − 3) = 0

( x + 3)( x − 3) + ( x + 5)( x − 3) = 0
( x − 3)( x + 3 + x + 5) = 0
( x − 3)( 2 x + 8) = 0
 x − 3 = 0 hoặc 2 x + 8 = 0

x = 3 hoặc 2 x = −8
x = 3 hoặc x = −4
Vậy: x ∈ {−4;3}

Bài 3.
a) Làm tính nhân: 3 x. ( 2 xy − 7 x 2 y + 1)
2

b) Rút gọn biểu thức: A = ( 2 x − 3) + ( x − 1)( x + 1) .
Tính giá trị biểu thức A khi x = 2 .

Lời giải

a) 3 x. ( 2 xy − 7 x 2 y + 1) = 3 x.2 xy − 3 x.7 x 2 y + 3 x.1
= 6 x 2 y − 21x3 y + 3 x
2

b) A = ( 2 x − 3) + ( x − 1)( x + 1) = 4 x 2 − 12 x + 9 + x 2 − 1
= 5 x 2 − 12 x + 8

Khi x = 2 , A = 5.22 − 12.2 + 8 = 4

Bài 4.

Cho ∆ABC ( AB < AC ) . Gọi D , E thứ tự là trung điểm của các cạnh AB , AC.
a) Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang.
b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC . Gọi K là điểm đối xứng với H qua E . Tứ giác AHCK
là hình gì? Vì sao?
c) Gọi F là trung điểm của BC , I là trung điểm của DE . Chứng minh ba điểm A , I , F thẳng
hàng.

Lời giải


A

E

D

B

K

I

H

F

a) D , E thứ tự là trung điểm của các cạnh AB , AC.

 DE là đường trung bình của ∆ABC .
 DE // BC (TC)
 BDEC là hình thang.
b) E là trung điểm của các cạnh HK , AC.

 AHCK là hình bình hành (DHNB) mà AHC = 90°
 AHCK là hình chữ nhật (DHNB)
c) F , E thứ tự là trung điểm của các cạnh BC , AC.

 FE là đường trung bình của ∆ABC

 FE // AB , FE =
Mà AD =

1
AB
2

1
AB
2

Nên FE = AD , FE // AD

 AEFD là hình bình hành mà I là trung điểm của DE
 I là trung điểm của AF
Vậy ba điểm A , I , F thẳng hàng.

Bài 5.

Cho a , b , c .là các số thực khác 0 thỏa mãn: a 3 + b3 + c 3 = 3abc .
Tìm giá trị của biểu thức: M =

a+b b+c c+a
+
+
c
a
b

Lời giải
Ta có: a 3 + b3 + c 3 = 3abc
a 3 + b3 + c 3 − 3abc = 0

(a + b)

3

− 3ab ( a + b ) + c 3 − 3abc = 0

( a + b )3 + c3  − 3ab ( a + b + c ) = 0




C


( a + b + c ) ( a + b ) − ( a + b ) c + c 2  − 3ab ( a + b + c ) = 0
2

( a + b + c ) ( a 2 + 2ab + b2 − ac − bc + c 2 − 3ab ) = 0
( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc ) = 0
 a + b + c = 0 hoặc a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc = 0
Xét: a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc = 0
2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2ac − 2bc = 0
2

2

( a − b ) + (b − c ) + ( c − a )

2

=0

a − b = 0

Dấu “ = ” khi b − c = 0  a = b = c
c − a = 0

+ Xét a + b + c = 0

M=

a+b b+c c+a
a+b
b+c
c+a
+
+
 M +3=
+1+
+1+
+1
c
a
b
c
a
b

M +3=

a+b+c a+b+c a+b+c
+
+
c
a
b

1 1 1
M + 3 = (a + b + c) + +  = 0

a b c

 M = −3
+ Xét a = b = c
M=

a+b b+c c+a a+a a+a a+a
+
+
=
+
+
= 2+2+2 = 6
c
a
b
a
a
a


ĐỀ 22
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
HÀ NỘI – AMSTERDAM
TỔ TOÁN – TIN

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG
GIỮA HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2016 – 2017
Mơn: Tốn lớp 8

Thời gian làm bài: 60 phút

Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2 x 2 − x − 6
b) x 4 + 64

(

)(

)

c) x 2 − 5 x + 8 x 2 − 3x + 8 − 3x 2

Bài 2: (2 điểm)
Tìm a, b sao cho đa thức x 4 + x3 + x 2 + ax + b chia hết cho đa thức x 2 − x − 2 .

Bài 3: (4 điểm)
Cho ∆ABC vuông tại A . Gọi I là trung điểm của BC . Lấy D, E lần lượt đối xứng với I qua
các cạnh AB, AC .
a) Chứng minh rằng A là trung điểm của DE .
b) Tứ giác DECB là hình gì?
c) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC . Kẻ AH vng góc với BC . Tính số đo góc
MHN .

Bài 4: (0,5 điểm – dành riêng cho lớp 8A)
Cho A =

2.6.10... ( 4n − 2 )

( n + 5 )( n + 6 ) ... ( 2n )

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 5 thì A + 1 là một số chính phương.
---------- Hết ----------


ĐÁP ÁN.
Câu
1a

Hướng dẫn giải
( x − 2)(2 x + 3)

1b

(4 x 4 + 16 x 2 + 64) − 16 x 2 = ( x 2 + 8) 2 − (4 x) 2 = ( x 2 − 4 x + 8)( x 2 + 4 x + 8)

1c

Đặt x 2 − 4 x + 8 = t ta có:

(t − x)(t + x) − 3x 2 = t 2 − (2 x)2 = (t − 2 x)(t + 2 x)
= ( x 2 − 6 x + 8)( x 2 − 2 x + 8) = ( x − 2)( x − 4)( x 2 − 2 x + 8)
2

Thực hiện phép chia đa thức được thương là x 2 + 2 x + 5 , dư là (a + 9) x + b + 10
Nên để phép chia hết thì a = −9; b = 10

3

3a

Chứng minh: AD = AE = AI
Chứng minh: DAI + EAI = 2.BAC = 1800  A; D; E thẳng hàng
Chứng minh: AD = BI ; AD / / BI
Tương tự suy ra DE = / / BC
Kết luận tứ giác DECB là hình bình hành
Chứng minh AMIN là hình chữ nhật nên OM = ON = OI = OA
Chứng minh OA = OH = OI nên OH = OM = ON

4

Từ đó suy ra MHN = 900
2.6.10...(4n − 2)
(n + 4)!.2n.[1.3.5...(2n − 1)]
A=
=
(n + 5)(n + 6)...(2n)
(2n)!

(n + 4)!.2n [1.3.5...(2n − 1)] (n + 4)!.2n
=
=
= (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
[1.3.5...(2n − 1)].(2.4.6...2n)
2n.n !
 A + 1 = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + 1 = (n 2 + 5n + 4)(n 2 + 5n + 6) + 1
= (n 2 + 5n + 5)2
Vậy A + 1 là số chính phương

ĐỀ 23
TRƯỜNG THCS NAM TỪ LIÊM

ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 1 – TỐN 8

ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC 2018-2019

I. TRẮC NGHIỆM (1,5 điểm) Ghi lại chữ cái đứng trước câu trả lời đúng
2

Câu 1: Đơn thức thích hợp điền vào chỗ trống của 9 x 2 + ... + 25 = ( 3 x + 5 ) là
A. 30 x

B. −20 x

C. 10 x

D. 25 x

Câu 2: Kết quả phân tích đa thức x 2 − 2 x − y 2 + 1 thành nhân tử là:
A. ( x − 1 + y )( x + 1 + y )

B. ( x − 1 − y )( x + 1 + y )

C. ( x − 1 − y )( x − 1 + y )

D. ( x + 1 − y )( x − 1 + y )

Câu 3: Giá trị của x để x 2 = 3x là:
A. {0; ± 3}

B. {0; − 3}

C. {±3} D. {0; 3}

B. 2

C. 3

Câu 4: Số trục đối xứng của tam giác đều là:
A. 1

D. 4

Câu 5: Hình thang ABCD ( AB //CD ) , M là trung điểm AD , N là trung điểm BC . Biết:

CD = 8cm, MN = 6cm . Độ dài đoạn AB là:
A. 2cm

B. 4cm

C. 6 cm

D. 8cm

B. AB //CD

C. AB = CD, BC = AD

Câu 6: Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu có:
A. A = C
D. BC = DA

II. TỰ LUẬN (8,5 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức sau: A = ( x − 1)( x + 1) + ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) − x ( x 2 + x − 2 )
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x =

1
.
2

Bài 2 (1,5 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
b) x3 − 3x 2 − 4x + 12

a) 3x 3 − 6x 2 y + 3xy 2

(

)

2

(

)

c) x 2 + x − 4 x 2 + x − 12

Bài 3(1,5 điểm): Tìm x biết:
a) (3x + 5)(2x − 1) − 6x( x + 2) = x
c) 2( x + 3) − x 2 − 3x = 0

b) x3 − 5x 2 − 14x = 0


1
Bài 4 (3,5 điểm): Cho hình thang vng ABCD ( A = D = 90o ) có AB = CD . Kẻ DH ⊥ AC tại H .
2
Gọi M là trung điểm của đoạn CH , N là trung điểm của đoạn DH .
a)Chứng minh: tứ giác ABMN là hình bình hành.
b)Gọi I là trung điểm của DC . Chứng minh H và C đối xứng nhau qua MI .
c)Chứng minh: N là trực tâm của tam giác ADM .
d)Chứng minh: AB 2 + AD 2 = MB 2 + MD 2

Bài 5. (0,5 điểm).
Cho a , b là các số dương thỏa mãn a 9 + b9 = a10 + b10 = a11 + b11 . Tính giá trị của biểu thức
P = a 2018 + b2018 + 2018 .


Hướng dẫn:
I. TRẮC NGHIỆM:
Câu 1
A

Câu 2
C

Câu 3
D

Câu 4
C

Câu 5
B

Câu 6
C

II. TỰ LUẬN
Bài 1.
a) Ta có: A = ( x − 1)( x + 1) + ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) − x ( x 2 + x − 2 )

= x 2 − 1 + x 3 − 8 − x3 − x 2 + 2 x = 2 x − 9 .
b) Với x =

1
1
thì A = 2. − 9 = −8 .
2
2

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 3x 3 − 6x 2 y + 3xy 2 = 3x( x 2 − 2xy + y 2 ) = 3x( x − y ) 2
b) x3 − 3x 2 − 4x + 12 = x 2 ( x − 3) − 4( x − 3) = ( x − 3)( x 2 − 4)

= ( x − 3)( x − 2)( x + 2)

(
= (x

2

) (
)
(
+ x ) ( x + x ) + 2 − 6 ( x

)

2

(
+ x ) + 2 = ( x

) (
)
+ x + 2 ) .( x + x − 6 )

c) x 2 + x − 4 x 2 + x − 12 = x 2 + x + 2 x 2 + x − 6 x 2 + x − 12
2

2

2

2

2

= ( x 2 + x + 2)( x − 2)( x + 3)

Bài 3: Tìm x biết:
a) (3x + 5)(2x − 1) − 6x( x + 2) = x

⇔ 6 x 2 − 3x + 10 x − 5 − 6 x 2 − 12 x = x
⇔ −6 x − 5 = 0 ⇔ x = −

5
6

b) x3 − 5x 2 − 14x = 0
x ( x 2 − 5 x − 14 ) = 0 ⇔ x ( x 2 − 7 x + 2 x − 14 ) = 0

x = 0
⇔ x  x ( x − 7 ) + 2( x − 7)  = 0 ⇔ x ( x − 7 ) . ( x + 2 ) = 0 ⇔  x = 7
 x = −2

c) 2( x + 3) − x 2 − 3x = 0 ⇔ 2( x + 3) − x( x + 3) = 0

x +1
⇔ ( x + 3).(2 − x) = 0 f ( x ) =  2 x
e

khi x ≥ 0

 x = −3
∀∀ ∈∈∈∈∈∈∈ ⇔ 
khi x ≤ 0
x = 2


Bài 4

B

A
H

M
N
D

C

I
Giải

a)Ta có: M là trung điểm của HC (giả thiết)
N là trung điểm của HD (giả thiết)
MN là đường trung bình của ∆HDC

Nên MN // CD ,
Mà DC ⊥ AD => MN ⊥ AD (*)

1

và MN= CD (1)
2

1
Mặt khác: AB // CD và AB = CD (giả thiết) (2)
2
Vậy AB / /MN / /CD và AB = MN =

1
2

CD => ABMN là hình bình hành.

b)Nối IH
Xét ∆CHD có M là trung điểm HC

(3) ;

I là trung điểm CD .
IM là đường trung bình của ∆CHD
IM / / ID . Lại có DH ⊥ CH => IM ⊥ CH

1
Và IM= HD
2
Từ (3) và (4) => IM là trung trực của HC

H và C đối xứng qua IM
c)Xét ∆ADM có MN ⊥ AD (*)

DH ⊥ AM
MN ∩ DH = { N }
N là trực tâm của ∆ADM .

(4)


d)Trong ∆ADM có:
DAN = DMN (cùng phụ ADM )
BMN = BAN (Do ABMN là hình bình hành)
BAN + DAN = BAD = 90
BMN + DMN = BMD = 900

BM ⊥ MD
∆BMD vuông tại M
BM 2 + MD 2 = BD 2

(5)

Xét ∆BAD vuông tại A => AD 2 + AB 2 = BD 2

(6)

Từ (5) và (6) => BM 2 + MD 2 = AD 2 + AB 2

Bài 5.
Cho a , b là các số dương thỏa mãn a 9 + b9 = a10 + b10 = a11 + b11 . Tính giá trị của biểu thức
P = a 2018 + b2018 + 2018 .

Lời giải.

Ta có

 a 9 + b 9 = a10 + b10
 a 9 − a10 = b10 − b9
a 9 + b9 = a10 + b10 = a11 + b11   10 10
⇔
 10 11
11
11
11
10
a + b = a + b
a − a = b − b
9
9
 a (1 − a ) = b ( b − 1)(1)
⇔  10
10
a (1 − a ) = b ( b − 1)( 2 )

Trường hợp 1.
Nếu a = 1  a9 (1 − a ) = 0  b9 ( b − 1) = 0 mà b > 0  b = 1 .

 P = a 2018 + b 2018 + 2018 = 12018 + 12018 + 2018 = 1 + 1 + 2018 = 2020 .
Trường hợp 2.
Nếu b = 1  b9 ( b − 1) = 0  a9 (1 − a ) = 0 mà a > 0  a = 1 .

 P = a 2018 + b 2018 + 2018 = 12018 + 12018 + 2018 = 1 + 1 + 2018 = 2020 .
Trường hợp 3.
Nếu a ≠ 1; b ≠ 1 thì từ (1) và ( 2 ) ta suy ra

a10 (1 − a ) b10 ( b − 1)
=
⇔a=b
a 9 (1 − a ) b9 ( b − 1)
Thay vào giả thiết suy ra 2a9 = 2a10 ⇔ a = 1 (trái với điều kiện a ≠ 1 ).
Vậy với a , b là các số dương thỏa mãn a 9 + b9 = a10 + b10 = a11 + b11 thì
P = a 2018 + b2018 + 2018 = 2020 .