Một số lớp hệ động lức giãn nở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ LỆ CHI

MỘT SỐ LỚP HỆ ĐỘNG LỰC GIÃN NỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - Năm 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ LỆ CHI

MỘT SỐ LỚP HỆ ĐỘNG LỰC GIÃN NỞ

Chuyên ngành : Tốn giải tích
Mã số :

8 46 01 02

Người hướng dẫn: TS. HUỲNH MINH HIỀN


i

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1

Không gian mêtric compact . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Không gian thương Γ\PSL(2, R) . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 DỊNG GIÃN NỞ

9

2.1

Dịng giãn nở kiểu Bowen-Walters. . . . . . . . . . . . .

9

2.2

Dòng tách và dòng giãn nở động học . . . . . . . . . . .

18

2.3

Dòng giãn nở theo kiểu Komuro . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4

Dòng giãn nở kiểu Katok-Hasselblatt . . . . . . . . . . .

27

3 TÍNH BW-GIÃN NỞ CỦA SUSPENSION

32

3.1

Suspension của một phép đồng phôi . . . . . . . . . . . .

32

3.2

Mêtric Bowen-Walters . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.3

Tính BW-giãn nở của suspension . . . . . . . . . . . . .

35

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39


1

Mở đầu
Hệ động lực là một chuyên ngành quan trọng, là giao thoa giữa toán
học, vật lý, kỹ thuật. Một trong những nội dung chính của lý thuyết
hệ động lực là nghiên cứu định tính các quỹ đạo cho các hệ động lực.

Một khái niệm có quan hệ chặt chẽ đến tính ổn định là ‘tính giãn nở’
(expansiveness).
Khái niệm giãn nở của hệ động lực được Bowen, Walters [6] đưa ra
vào năm 1972, sau này được gọi là giãn nở kiểu Bowen-Walters (viết tắt
là BW-giãn nở). Từ đó có rất nhiều các khái niệm khác nhau về tính
giãn nở được giới thiệu. Năm 1984, Gura [7] đưa ra khái niệm hệ động
lực tách, yếu hơn tính giãn nở của Bowen-Walter. Cũng trong năm 1984,
Komuro [10] đưa ra các khái niệm ‘C-giãn nở’, ‘K-giãn nở’, ‘K*-giãn nở’.
Nếu dịng được xét khơng có điểm bất động thì các khái niệm này tương
đương nhau. Năm 1995, Katok và Hasselbatt [8] đưa ra một khái niệm
mới về tính giãn nở (sau này được gọi là KH-giãn nở) yếu hơn BW-giãn
nở nhưng mạnh hơn tính tách của Gura. Đến năm 2014, Artigue đưa ra
các khái niệm mới: ‘giãn nở động học’ (kinematic expansive) - mạnh hơn
tính tách của Gura nhưng yếu hơn tính BW-giãn nở, cùng một số khái
niệm khác như giãn nở hình học, tách hình học. Vì tính giãn nở động
học và tách khơng bảo tồn qua phép tương đương topo nên các khái


2

niệm ‘ giãn nở động học mạnh’ và ‘tách mạnh’ ra đời.
Trong luận văn này chúng tơi tìm hiểu các tính chất giãn nở của dịng
trên khơng gian mêtric compact. Ngồi giới thiệu định nghĩa và tính
chất của các dịng giãn nở, chúng tơi cịn cung cấp các ví dụ minh họa
cho từng tính giãn nở.
Ngồi phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung chính
của luận văn được chia làm ba chương. Chương 1 liệt kê một số kiến thức
về không gian mêtric compact, Không gian thương X = Γ\PSL(2, R),
các tính chất của các dịng trên X tương đương với các dòng trắc địa
và dòng horocycle trên không gian thương của mặt phẳng hy berbolic.

Chương 2 giới thiệu định nghĩa, các tính chất đặc trưng và ví dụ cho
các tính BW-giãn nở, .... Chương cuối cùng nghiên cứu tính giãn nở của
suspension của một đồng phôi.
Qua đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Phịng Đào tạo Sau đại học,
Khoa Tốn cùng q Thầy, Cơ giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn Giải
tích khóa 20 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt q
trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng của bản thân,
nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm
nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót.
Chúng tơi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô và bạn đọc
để luận văn được hoàn thiện hơn.


3

Quy Nhơn, tháng 7 năm 2019
Học viên
Nguyễn Thị Lệ Chi


4

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Không gian mêtric compact

Định nghĩa 1.1. Cho tập X khác rỗng ánh xạ d : X × X −→ R được
gọi là một mêtric nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X.
Tập X cùng với mêtric d như trên được gọi là một không gian mêtric,
ký hiệu là (X, d).
Định nghĩa 1.2. Cho (X, d) là một khơng gian mêtric. Khi đó A ⊂
(X, d) được gọi là tập compact nếu mọi dãy bất kì {xn }∞
n=1 ⊂ A đều
có một dãy con {xnk }∞
k=1 ⊂ A hội tụ đến một phần tử nào đó trong A.
Nếu bản thân X là một tập compact thì ta nói (X, d) là một không gian
mêtric compact.


5

1.2

Khơng gian thương Γ\PSL(2, R)

Ký hiệu SL(2, R) là nhóm tất cả các ma trận thực cấp 2 có định thức
bằng 1. PSL(2, R) = SL(2, R)/{E2 , −E2 } trong đó E2 là ma trận đơn vị
cấp 2. Mỗi phần tử trong PSL(2, R) là một lớp tương đương gồm 2 ma
trận đối nhau trong SL(2, R):
PSL(2, R) = {[A] = {A, −A}, A ∈ SL(2, R)}.
Bổ đề 1.3 ([11]). Tồn tại một mêtric dG trên G = PSL(2, R) bất biến
trái qua G, tức là
dG (hg1 , hg2 ) = dG (g1 , g2 ) với mọi h, g1 , g2 ∈ G,

và
1
dG (at , e) = √ |t|, dG (bt , e) ≤ |t|, dG (ct , e) < |t| ∀t ∈ R;
2
trong đó at = [At ], bt = [Bt ] với




t/2
1 t
e
0
 ∈ SL(2, R).
 , Bt = 
At = 
−t/2
0 1
0 e
Định nghĩa 1.4. Cho Γ là một nhóm con rời rạc của PSL(2,R), ta ký
hiệu Γ\PSL(2, R) = {Γg : g ∈ PSL(2, R)} là tập các lớp kề phải của Γ
trong PSL(2,R).
Định nghĩa 1.5. Ký hiệu X = Γ\PSL(2, R), mêtric trên X được định
nghĩa như sau:
dX (Γg1 , Γg2 ) = inf dG (γ1 g1 , γ2 g2 ) = inf dG (γg1 , g2 ).
γ1 ,γ2 ∈Γ

γ∈Γ

Nếu X compact thì ∀Γg1 , Γg2 ∈ X, ∃γ ∈ Γ\{e} sao cho:

dX (Γg1 , Γg2 ) = dG (γg1 , g2 ).


6

Sau đây là một số bổ đề bổ trợ, được sử dụng trong các chương sau.
Bổ đề 1.6 ([11]). (a) Với mọi ε > 0, tồn tại ρ > 0 với tính chất sau.
Nếu

G=

g11 g12
g21 g22


 ∈ SL(2, R)

thỏa mãn
|g11 − 1| + |g12 | + |g21 | + |g22 − 1| < ρ
thì dG (g, e) < δ, g = π(G) trong đó π : SL(2, R) → PSL(2, R) là phép
chiếu tự nhiên và e = π(E2 ).
(b) Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 với tính chất sau. Nếu dG (g, e) < δ
thì tồn tại

G=

g11 g12
g21 g22





sao cho g = π(G) và
|g11 − 1| + |g12 | + |g21 | + |g22 − 1| < ε.
Bổ đề 1.7 ([11]). Giả sử X = Γ\PSL(2, R) compact. Khi đó tồn tại
σ0 > 0 có tính chất sau:
dG (g, γg) ≥ σ0

với mọi

γ ∈ Γ\{e}.

Định nghĩa 1.8. Với g = π(G) ∈ PSL(2, R)


a b
,
G=
c d
vết của g được định nghĩa
tr(g) = |a + d|.


7

Lưu ý rằng định nghĩa trên không phụ thuộc vào phần tử đại diện.
Bổ đề 1.9 ([11]). Nếu X = Γ\PSL(2, R) là compact thì tồn tại ε∗ > 0
sao cho
tr(g) ≥ 2 + ε∗ , ∀g ∈ Γ\{e}.

1.3

Hệ động lực

Hệ động lực gồm hai loại: hệ động lực rời rạc là các đồng phôi và hệ
động lực liên tục là các dịng.
Định nghĩa 1.10 (Đồng phơi). Cho X và Y là hai không gian mêtric.
Một song ánh liên tục f : X → Y được gọi là đồng phôi nếu ánh xạ
ngược của f , f −1 : Y → X liên tục.
Định nghĩa 1.11 (Dòng). Cho X là khơng gian mêtric. Ánh xạ liên tục
φ:R×X →X
được gọi là một dòng nếu với mọi x ∈ X và mọi số thực s và t ta có
φ(0, x) = x
φ(s, φ(t, x)) = φ(s + t, x).
Thông thường ta viết φt (x) thay cho φ(x, t) và dòng (φt )t∈R trên X
thường được viết gọn φt : X → X.
Ví dụ 1.12. (a) Ký hiệu X = Γ\PSL(2, R). Ta định nghĩa
ϕX
t :X →X
bởi
ϕX
t (Γg) = Γ(gat ), t ∈ R.


8

Ta kiểm tra ϕX
t là một dòng trên X.
Trước hết ta chứng minh ϕX
t không phụ thuộc vào cách chọn phần

tử đại diện. Giả sử g1 , g2 ∈ PSL(2, R) sao cho Γg1 = Γg2 , tức là tồn
tại γ ∈ Γ : γg1 = g2 . Suy ra γg1 at = g2 at nên Γg1 at = Γg2 at và do
X
đó ϕX
t (Γg1 ) = ϕt (Γg2 ). Tiếp theo ta kiểm tra các điều kiện trong định

nghĩa. Lưu ý rằng

A0 = E2 , At As = At+s

với mọi t, s ∈ R.

Suy ra
a0 = e, at as = at+s

với mọi t, s ∈ R.

X
X
Do đó, với mọi x = Γg ∈ X, ta có ϕX
0 (Γg) = Γg và ϕt (ϕs (Γg)) =
X
ϕX
s+t (Γg) với mọi t, s ∈ R nên ϕ là một dòng trên X.

(b) Định nghĩa θtX : X → X, θtX (Γg) = Γgbt với mọi Γg ∈ X và mọi
t ∈ R. Sử dụng b0 = e, bs bt = bs+t ta cũng kiểm tra được θX là một dòng
trên X.

9

Chương 2

DỊNG GIÃN NỞ
Trong chương này chúng tơi trình bày các khái niệm, tính chất và ví
dụ về tính BW-giãn nở, tính tách, KH-giãn nở, giãn nở động học.
Trong tồn bộ chương này, ta luôn xét (X, d) là không gian mêtric
compact và φt : X → X là một dòng liên tục. Ký hiệu H0+ (R) là tập các
đồng phôi tăng h : R → R sao cho h(0) = 0.

2.1

Dòng giãn nở kiểu Bowen-Walters.

Năm 1973, Bowen và Walters đưa ra khái niệm giãn nở sau, sau này
được gọi là giãn nở kiểu Bowen-Walters và viết gọn là BW-giãn nở.
Định nghĩa 2.1 (BW-giãn nở). Dòng (φt )t∈R được gọi là BW-giãn nở
nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 thỏa mãn tính chất sau. Nếu
d(φt (x), φs(t) (y)) < δ, ∀t ∈ R
với cặp điểm x, y ∈ X và hàm liên tục s : R → R với s(0) = 0 thì tồn
tại r ∈ (−ε, ε) sao cho y = φr (x).
Ví dụ 2.2 ([9]). Dịng (ϕX
t )t∈R được định nghĩa trong Ví dụ 1.12 (a) là
BW-giãn nở. Thật vậy, cho ε > 0, ε0 = eε/2 − e−ε/2 , lấy δ = δ(ε) < σ0 /4


10

như trong Bổ đề 1.6 (b); σ0 từ trong Bổ đề 1.7. Ký hiệu x = Γg, y = Γh

với g, h ∈ PSL(2, R) và s : R → R liên tục với s(0) = 0. Với mỗi t ∈ R
tồn tại γ(t) ∈ Γ sao cho
dX (ϕs(t) (y), ϕt (x)) = dX (Γhas(t) , Γgat ) = dG (has(t) , γ(t)gat ) ≤ δ.
(2.1.1)
Ta sẽ chứng minh rằng γ(t) = γ(0) =: γ, ∀t ∈ R. Cố định L > 0, chúng
ta kiểm tra γ(t) = γ(0), ∀t ∈ [−L, L]. Thật vậy, vì s : [−L, L] → R là
liên tục đều, tồn tại 0 < ρ = ρ(L, δ) < δ sao cho nếu t1 , t2 ∈ [−L, L] và
|t1 − t2 | < ρ khi đó |s(t1 ) − s(t2 )| < δ. Bất kỳ t1 , t2 ∈ R, ta có
dG (γ(t2 )−1 γ(t1 )gat1 , gat1 )
= dG (γ(t1 )gat1 , γ(t2 )gat1 )
≤ dG (γ(t1 )gat1 , has(t1 ) ) + dG (has(t1 ) , has(t2 ) )
+ dG (has(t2 ) , γ(t2 )gat2 ) + dG (γ(t2 )gat2 , γ(t2 )gat1 )
= dG (γ(t1 )gat1 , has(t1 ) ) + dG (has(t2 ) , γ(t2 )gat2 )
+ dG (as(t1 ) , as(t2 ) ) + dG (at1 , at2 )
1
1
≤ 2δ + √ |s(t1 ) − s(t2 )| + √ |t1 − t2 |,
2
2
do Bổ đề 1.3. Lấy t1 = 0 và t2 ∈ [0, ρ/2], ta có |t1 − t2 | < ρ kéo theo
|s(t1 ) − s(t2 )| < δ. Khi đó
dG (γ(t2 )−1 γ(t1 )c1 (t1 ), c1 (t1 )) < 4δ < σ0 .
Từ tính chất của σ0 , theo đó γ(t2 ) = γ(0), ∀t2 ∈ [0, ρ/2]. Sau đó chúng ta
lặp lại lập luận t1 = ρ và t2 ∈ [ρ/2, ρ], ta suy luận rằng γ(t) = γ(0), ∀t ∈
[0, ρ], lặp lại quá trình trên dẫn đến γ(t) = γ(0), ∀t ∈ [0, L] và tương tự
γ(t) = γ(0), ∀t ∈ [−L, 0].


11

Vì L tùy ý nên
dX (ϕs(t) (y), ϕt (x)) = dG (a−t g −1 γhas(t) , e) < δ với mọi t ∈ R.
Ký hiệu g −1 γh = π(K) với

K=

a b



 ∈ SL(2, R).
c d

Khi đó

A−t KAs(t) = 

ae

(s(t)−t)/2

be

−(s(t)+t)/2

ce(s(t)+t)/2 e−(t−s(t))/2




và
dX (ϕs(t) (y), ϕt (x)) < δ, ∀t ∈ R,
kéo theo
||a|e

s(t)−t
2

− 1| + |b|e−

s(t)+t
2

+ |c|e

s(t)+t
2

+ ||d|e

t−s(t)
2

− 1| < ε0 , ∀t ∈ R (2.1.2)

tại ε0 = ε0 (δ) từ Bổ đề 1.6 (b). Kéo theo ta có M > 0 sao cho |s(t) − t| ≤
M, ∀t ∈ R, vì thế s(t)+t → +∞ khi t → +∞ và s(t)+t → −∞, t → −∞.
Đồng thời từ (2.1.2) ta được b = c = 0. Vì ad = 1, chúng ta có thể giả
sử a > 0, d > 0 và a = eτ /2 , d = e−τ /2 với τ ∈ R nào đó. Khi đó
g −1 γh = aτ hay y = ϕτ (x). Hơn nữa, ||a| − 1| + ||d| − 1| < ε0 , ta có

eτ /2 − e−τ /2 < ε0 = eε/2 − e−ε/2 . Do đó |τ | < ε và (ϕX
t )t∈R là BW-giãn
nở.
Ví dụ 2.3 ([9]). Dịng (θtX )t∈R được định nghĩa trong Ví dụ 1.12 (b)
khơng BW-giãn nở. Thật vậy, bất kì δ > 0 ta cần tìm x, y và s : R → R
X
liên tục với s(0) = 0 sao cho dX (θtX (x), θs(t)
(y)) < δ với mọi t ∈ R nhưng

quỹ đạo của x, y không trùng nhau. Lấy ρ = ρ(δ) như trong Bổ đề 1.6


12

(a). Bất kì x = Γg và y = Γh với h, g ∈ PSL(2, R), h = g, h−1 g = π(K)
và

K=

a 0




0 d

sao cho ad = 1, |a − 1| < ρ, |d − 1| < ρ và tr(h−1 g) = |a + d| < 2 + ε∗ (ε∗
thỏa Bổ đề 1.9), ta có dG (h−1 g, e) < δ từ Bổ đề 1.6 (a). Chọn s(t) = ad t,
ta có
X

dX (θs(t)
(x), θtX (y)) = dX (Γgbs(t) , Γhbt ) ≤ dG (gbs(t) , hbt )

= dG (b−t h−1 gbs(t) , e)
= dG (h−1 g, e) < δ, ∀t ∈ R;
sử dụng b−t h−1 gbs(t) = h−1 g. Ta kiểm tra x, y không cùng nằm trong một
quỹ đạo. Phản chứng, giả sử y = θrX (x) với r ∈ R nào đó. Lấy γ ∈ sao
cho h = γgbr . Khi đó tr(γ) = tr(gbr h−1 ) = tr(br h−1 g) = |a + d| < 2 + ε∗ .
Từ đó suy ra γ = e theo Bổ đề 1.9. Ta được b−1 = h−1 g = π(K) và do
đó r = 0, h = g ta được điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.4. (Điểm bất động) Cho φ : R × X → X là một dịng khi
đó điểm x ∈ X là điểm bất động của (φt )t∈R nếu φt (x) = x, ∀t ∈ R. Một
điểm không phải là điểm bất động được gọi là điểm chính quy.
Tập các điểm bất động của φ được ký hiệu Fix(φ).
Bổ đề 2.5 ([5]). Nếu (φt )t∈R là một dịng BW-giãn nở trên X thì mỗi
điểm bất động của (φt )t∈R là một điểm cô lập của X.
Chứng minh. Giả sử φt (x) = x, ∀t ∈ R. Lấy ε > 0 tùy ý và δ = δ(ε) > 0
thỏa mãn điều kiện của Định nghĩa 2.1. Nếu y ∈ X sao cho d(x, y) <


13

δ, ta đặt s(t) = 0, ∀t ∈ R. Ta có d(φt (x), φs(t) (y)) < δ, ∀t ∈ R hay
d(x, φs(t) (y)) < δ, ∀t ∈ R. Ta kiểm tra B(x, δ) ∩ X = {x}. Vì φ là BWgiãn nở nên y = φr (x) với |r| < ε. Vì x là điểm bất động của X nên
y = φt (x) với mọi t ∈ R và ta có y = x, tức là B(x, δ) ∩ X = {x} nên x
là điểm cô lập của X.
Mệnh đề 2.6. Tập hợp các điểm bất động của một dòng BW-giãn nở
là hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử ngược lại tập các điểm cơ lập Fix(φ) của dịng
BW-giãn nở φ trên không gian mêtric compact X là vô hạn. Tồn tại

dãy {xn } ⊂ Fix(φ). Vì X compact nên tồn tại một dãy con của (xn ) (ta
không đánh số lại) sao cho xn → x. Từ φt (xn ) = xn với mọi t ∈ R, n ∈ N
và từ tính liên tục của φ ta suy ra
φt (x) = x với mọi t ∈ R.
Suy ra x cũng là một điểm bất động nhưng không là điểm cô lập, mâu
thuẫn với Bổ đề 2.5. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Vì số điểm bất động của một dịng BW-giãn nở là hữu hạn nên ta có
thể giả thiết một dịng BW-giãn nở khơng có điểm bất động.
Bổ đề 2.7 ([5]). Nếu (φt )t∈R là BW-giãn nở và không có điểm bất động
thì tồn tại T0 > 0 sao cho với mọi T thỏa mãn 0 < T < T0 , tồn tại γ > 0
để d(φT x, (x))

γ, ∀x ∈ X.

Chứng minh. Trường hợp (φt )t∈R khơng có quỹ đạo tuần hoàn, ta lấy
T0 = 1.
Trường hợp (φt )t∈R có quỹ đạo tuần hồn, ta lấy được T0 là số nguyên
dương nhỏ nhất để φT0 (x) = x, ∀x ∈ X. Số T0 tồn tại vì (φt )t∈R khơng có


14

điểm bất động. Nếu kết luận trên sai thì tồn tại t thỏa mãn 0 < t < T0
sao cho ∀n > 0, ∃xn ∈ X với d(φt (xn ), xn ) < n1 . Vì x là tập compact nên
n→∞

ta có thể giả sử xn −−−→ x ∈ X. Khi đó d(φt (x), x) = 0 mâu thuẫn với
cách chọn T0 .
Kết quả trên được dùng để chứng minh các tiêu chuẩn tương đương
sau đây của một dòng BW-giãn nở.

Định lý 2.8 ([5]). Cho (φt )t∈R là dịng khơng có điểm bất động. Khi đó
các mệnh đề sau tương đương:
(i) (φt )t∈R là BW-giãn nở.
(ii) ∀ε > 0, ∃α > 0 sao cho nếu d(φt (x), φh(t) (y)) < α, ∀t ∈ R, ∀x, y ∈
X và h ∈ H0+ (R) thì tồn tại r, |r| < ε sao cho y = φr (x).
(iii) ∀η > 0, ∃δ > 0 sao cho nếu d(φt (x), φs(t) (y)) < δ, ∀t ∈ R, ∀x, y ∈
X và một ánh xạ liên tục s : R → R với s(0) = 0 thì y nằm trên cùng
một quỹ đạo với x và đoạn quỹ đạo đi từ x đến y nằm trong Bη (x) =
{y ∈ X, d(x, y) < η}.
(iv) Với mọi ε > 0, tồn tại α > 0 có tính chất sau: Nếu t = (ti )∞
i=−∞ và
u = (ui )∞
i=−∞ là hai dãy số kép vô hạn với u0 = t0 = 0 và 0 < ti+1 − ti
α, |ui+1 − ui |

i→∞

i→∞

α, ti −−−→ ∞, t−i −−−→ −∞ và nếu x, y ∈ X thỏa mãn

d(φti (x), φui (y)) < α, ∀i ∈ Z thì tồn tại r : |r| < ε sao cho y = φr (x).
Chứng minh. (ii) ⇒ (i). Lấy T0 từ Bổ đề 2.7. Trước tiên ta kiểm tra
rằng với T ∈ (0, T30 ) cho trước, tồn tại δT và τT sao cho nếu
d(φt (x), φs(t) (y)) < δT

với mọi t ∈ R

với x, y ∈ X và ánh xạ liên tục s : R → R, s(0) = 0 thì
s(t + T ) − s(t)

τT

với mọi t ∈ R.


15

Chọn γT thỏa mãn Bổ đề 2.7. Khi đó, với 2δT < τT ta có
d(φs(t) (y), φs(t+T ) (y))

d(φt (x), φt+T (x)) − d(φt (x), φs(t) (y))
− d(φs(t+T ) (y), φt+T (x))
τT − 2δT > 0,

với mọi t ∈ R.

Từ tính liên tục của (φt )t∈R , tồn tại τT > 0 sao cho
|s(t + T ) − s(t)|

τT , ∀t ∈ R.

Vì s(0) = 0 nên ta chỉ cần kiểm tra s(T ) > 0.
Giả sử ngược lại, tức là tồn tại 0 < T <

T0
3

sao cho với mọi n >

0, ∃xn , yn ∈ X và ánh xạ liên tục sn : R → R với sn (0) = 0 sao cho
d(φt (xn ), φsn (t) (yn )) < n1 , tuy nhiên sn (T ) < 0. Vì X compact nên ta có
thể giả sử xn → x và yn → x. Nếu sn (T ) > −T xảy ra vô hạn n ta
chọn dãy con {ni } sao cho sni (T ) → −L với mọi 0

L

T . Khi đó

d(φT (x), φ−L (x)) = 0 và x = φL+T (x), điều này mâu thuẫn với T0 là
chu kỳ nhỏ nhất của (φt )t∈R . Mặt khác nếu sn (T ) < −T , ta chọn tn với
0

tn

T và sn (tn ) = −T . Chọn một dãy con tni → t và x = φL+T (x)

mâu thuẫn với cách chọn của T0 . Vậy tồn tại δT và τT như trên.
Tiếp theo d(φt (x), φs(t) (y)) < δT , với x, y ∈ X, trong đó s : R → R
liên tục và s(0) = 0. Định nghĩa hàm liên tục hT : R → R bởi hT (nT ) =
s(nT ), n ∈ Z và tuyến tính trên mỗi đoạn [nT, (n + 1)T ]. Khi đó hT là
một đồng phơi tăng trên R. Nếu t ∈ [nT, (n+1)T ] thì ∃t ∈ [nT, (n+1)T ]
với hT (t) = s(t ). Khi đó
d(φt (x), φhT (t) (y)) = d(φt (x), φs(t ) (y))
d(φt (x), φt (x)) + d(φt (x), φs(t ) (y))


16

sup

d(x, φu (x)) + d(φt (x), φs(t ) (y)).

x∈Xu∈[0,T ]

Giả sử ε > 0 tùy ý. Lấy α = α(ε) tương ứng như trong (ii). Chọn T
với 0 < T <
Nếu δ <

T0
3

sup

sao cho

x∈Xu∈[0,T ]

min{δT , α2 }

d(x, φu (x)) < α2 .

thì d(φt (x), φs(t) (y)) < δ, ∀t ∈ R kéo theo

d(φt (x), φhT (t) (y)) < α, ∀t ∈ R
và hơn nữa y = φt (x) với |t| < ε (do (ii)). Vậy (i) được chứng minh.
(i) ⇒ (iv). Cho trước ε > 0 và δ = δ(ε) tương ứng trong Định nghĩa
2.1. Chọn α > 0 sao cho
α+

sup

d(z, φu (z)) < δ.

z∈X|u| α
∞
t = (ti )∞
i=−∞ , u = (ui )i=−∞ và x, y thỏa mãn (iv). Định nghĩa s : R → R

bởi s(ti ) = ui và bởi thác triển tuyến tính trên mỗi khoảng [ti , ti+1 ]. Với
t ∈ [ti , ti+1 ), ta có
d(φt (x), φs(t) (y))

d(φt (x), φti (x)) + d(φti (x), φui (y)) + d(φui (y), φs(t) (y))
α+

sup

d(z, φu (z)) < δ.

z∈X|u| α

Vì (φt )t∈R là BW-giãn nở nên ta có y = φr (x), với r ∈ (−ε, ε).
(iv) ⇒ (i). Lấy ε > 0 tùy ý và α thỏa mãn (iv). Giả sử d(φt (x), φh(t) (y)) <
α, ∀t ∈ R, x, y ∈ và đồng cấu tăng h trên R với h(0) = 0. Lấy t0 = 0 và
chọn ti ∈ R sao cho 0

ti+1 − ti

α và 0 < h(ti+1 ) − h(ti )

α. Đặt

ui = h(ti ) và từ (iv) suy ra y = φr (x) với r ∈ (−ε, ε).
(i) ⇒ (iii). Giả sử η > 0, vì φ liên tục nên tồn tại ε > 0 sao cho
φt (x) ∈ Bη (x), ∀|t|

ε. Từ (i) ta có (iii).

(iii) ⇒ (i). Giả sử (iii) đúng, ta chứng minh (i). Lấy ε > 0 và ε < T0 .


17

Chọn η > 0 sao cho d(x, φε (x)) > η, ∀x ∈ X bởi Bổ đề 2.7. Khi đó nếu
quỹ đạo từ x đến y nằm trong Bη (x) thì ta có y = φr (x) với |r| < ε.
Định nghĩa 2.9 (Tương đương tơpơ). Cho hai dịng liên tục φ : X → X
và ψ : Y → Y được gọi là tương đương topo nếu tồn tại một đồng phôi
h : X → Y sao cho h biến các quỹ đạo của (φt (x))t∈R thành các quỹ đạo
của (ψt (x))t∈R . Khi đó h được gọi là một phép tương đương tơpơ của hai
dịng φ và ψ.
Hệ quả 2.10 ([5]). Tính BW-giãn nở bất biến qua phép tương đương
tôpô.
Chứng minh. Chúng ta sử dụng đặc trưng (ii) của Định lý 2.8 để suy ra
hệ quả trên. Giả sử λ : X → Y là một đồng phôi biến các quỹ đạo của
(φt )t∈R thành các quỹ đạo của (ψt )t∈R . Khi đó {λ−1 ψt λ}t∈R là một dịng
có cùng quỹ đạo với dịng (φ)t∈R .
Cố định x ∈ X. Nếu quỹ đạo của x không tuần hồn dưới (φt )t∈R thì
ánh xạ σx : R → R xác định bởi
λ−1 ψt λ(x) = φσx (t) (x)

là một song ánh, σx (0) = 0 và σx tăng thực sự hoặc giảm thực sự. Do
đó σx là một đồng phơi trên R. Nếu x là điểm tuần hồn của (φt )t∈R ,
lấy v là số dương bé nhất với φv (x) = x và µ là đại lượng bé nhất với
λ−1 ψµ λ(x) = x. Khi đó σx là song ánh trên [o, µ] bởi λ−1 ψt (x) = φσx (t) (x)
và khơng có giá trị trong đoạn [0, v] hoặc [−v, 0]. Hơn nữa, dễ thấy σx
liên tục trên [0, µ]. Tương tự có thể định nghĩa σx trên [nµ, (n + 1)µ] và
vì thế σx trở thành một đồng phôi trên R.
Giả sử (φt )t∈R là BW-giãn nở và η > 0 cho trước. Chọn η > 0 sao cho


18

λ(Bη (x)) ⊂ Bη (λx), ∀x ∈ X. Lấy δ = δ(η) tương ứng như trong Định lý
2.8 (iii) và chọn δ sao cho nếu dY (y1 , y2 ) < δ thì
dX (λ−1 (y1 ), λ−1 (y2 )) < δ.
Giả sử với mọi ánh xạ liên tục s : R → R, s(0) = 0 thì
dX (φσx (t) (x1 ), φσy s(t) (x2 )) < δ, ∀t ∈ R,
tức là:
dX (φu (x1 ), φσx

2

(x2 ))
sσx−1
1 (u)

< δ, ∀u ∈ R.

Từ Định lý 2.8 (iii) ta suy ra x1 và x2 cùng thuộc một quỹ đạo của (φt )t∈R
đoạn quỹ đạo từ x1 đến x2 thuộc vào Bη (x1 ). Do đó đoạn quỹ đạo của

(ψt )t∈R từ λx1 đến λx2 thuộc vào Bη (λx1 ). Ta có điều phải chứng minh.

2.2

Dòng tách và dòng giãn nở động học

Khái niệm tách của một dòng được Gura [7] đưa ra vào năm 1984 còn
khái niệm giãn nở động học được Artigue [3] đưa ra vào năm 2014. Tính
giãn nở động học còn được gọi là giãn nở kiểu Artigue.
Định nghĩa 2.11 (Giãn nở động học). Cho (X, d) là một không gian
mêtric compact. Dòng liên tục φt : X → X được gọi là giãn nở động học
nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 thỏa mãn tính chất sau. Nếu x, y ∈ X
sao cho
d(φt (x), φt (y)) < δ, ∀t ∈ R
thì tồn tại r ∈ (−ε, ε) sao cho y = φr (x).


19

Nếu x và y chỉ nằm trên cùng một quỹ đạo thì giãn nở động học chính
là giãn nở kiểu Gura hay còn gọi là tách:
Định nghĩa 2.12 (Tách). Dòng (φt )t∈R được gọi là tách nếu với δ > 0
thỏa mãn d(φt (x), φt (y)) < δ, ∀t ∈ R thì y ∈ φR (x).
Định nghĩa 2.13. Dịng liên tục (φt )t∈R trên không gian mêtric compact
(X, d) được gọi là giãn nở động học dương (tương ứng, giãn nở động học
âm) nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 có tính chất sau. Nếu
d(φt (x), φt (y) < δ

với mọi t

0 (tương ứng t ≤ 0)

với x, y ∈ X và ∃r ∈ (−ε, ε) : y = φr (x).
Ví dụ 2.14 ([9]). Dịng (θtX )t∈R được định nghĩa trong Ví dụ 1.12 (a)
là giãn nở động học dương và âm. Thật vậy, với ε > 0 cho trước, lấy
δ = δ(ε) < σ0 /4 như trong Bổ đề 1.6 (b); σ0 cho trong Bổ đề 1.7. Ký
hiệu x = Γg, y = Γh với g, h ∈ PSL(2, R). Với mỗi t ∈ R tồn tại γ(t) ∈ Γ
sao cho
dX (θtX (y), θtX (x)) = dX (Γhbt , Γgbt ) = dG (γ(t)hbt , gbt ) ≤ δ.

(2.2.1)

Ta sẽ chứng minh rằng γ(t) = γ(0) =: γ, ∀t ∈ R. Thật vậy, với t1 , t2 ∈ R,
ta có
dG (γ(t2 )−1 γ(t1 )gbt1 , gbt1 )
= dG (γ(t1 )gbt1 , γ(t2 )gbt1 )
≤ dG (γ(t1 )gbt1 , hbt1 ) + dG (hbt1 , hbt2 )
+ dG (hbt2 , γ(t2 )gbt2 ) + dG (γ(t2 )gbt2 , γ(t2 )gbt1 )
= dG (γ(t1 )gbt1 , hbt1 ) + dG (hbt2 , γ(t2 )gbt2 )


20

+ dG (bt1 , bt2 ) + dG (bt1 , bt2 )
≤ 2δ + |t1 − t2 | + |t1 − t2 |,
do Bổ đề 1.3. Xét t1 = 0 và t2 ∈ [0, δ/2], ta có |t1 − t2 | < δ. Khi đó
dG (γ(t2 )−1 γ(t1 )c1 (t1 ), c1 (t1 )) < 4δ < σ0 .
Từ tính chất của σ0 , theo đó γ(t2 ) = γ(0), ∀t2 ∈ [0, δ/2]. Sau đó chúng ta
lặp lại lập luận t1 = δ và t2 ∈ [δ/2, δ], ta suy luận rằng γ(t) = γ(0), ∀t ∈
[0, δ], lặp lại quá trình trên dẫn đến γ(t) = γ(0) =: γ, ∀t ∈ R.

Từ 2.2.1 ta có
dX (θtX (y), θtX (x)) = dG (b−t g −1 γhbt , e) < δ với mọi t ≥ 0.
Ký hiệu g −1 γh = π(K) với

K=

g11 g12
g21 g22


.

Khi đó

B−t KBt = 

g11 − tg21
g21


g11 t + g12 − t(g21 t + g22 )
.
g21 t + g22

và
dX (θtX (y), θtX (x)) ≤ δ với mọi t ≥ 0
kéo theo t ≥ 0 ta có,
||g11 − tg21 | − 1| + |(g11 − g22 )t + g21 t2 + g12 | + |g21 | + ||g21 t + g22 | − 1| < ε0 ;
(2.2.2)
trong đó ε0 = ε0 (δ) < ε có được từ Bổ đề 2.2 (b). Cho t → +∞ ta được

g21 = 0, g11 = g22 và |g12 | < ε0 . Vì g11 g22 − g12 g21 = 1, ta có g11 = g22 = 1


21

hoặc g11 = g22 = −1 ta được




1 g12
−1 g12
 hoặc K = 

K=
0 1
0 −1
và vì vậy g −1 γh = bg12 với τ = g12 , |τ | < ε.
Chứng minh dòng giãn nở động học âm tương tự như trên.

2.3

Dòng giãn nở theo kiểu Komuro

Năm 1994, Komuro [10] đưa ra các định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.15 (K-giãn nở). Dòng (φt )t∈R được gọi là K-giãn nở nếu
với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho: nếu với x, y ∈ X, h ∈ H0+ (R) mà
d(φt (x), φh(t) (y))

δ, ∀t ∈ R

(2.3.1)

thì y = φr (x) với r ∈ (−ε, ε) nào đó. Số δ được gọi là hằng số giãn nở
ứng với ε.
Định nghĩa 2.16 (K∗ -giãn nở). Dòng (φt )t∈R được gọi là K ∗ -giãn nở
nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho: nếu với x, y ∈ X, h ∈ H0+ (R)
mà
d(φt (x), φh(t) (y))

δ, ∀t ∈ R

(2.3.2)

thì φh(t0 ) (y) ∈ φ[−ε,ε] (φt0 (x)) với t0 ∈ R nào đó.
Nhận xét 2.17. (a) Theo Định lý 2.8, trường hợp dịng khơng có điểm
bất động thì tính K-giãn nở tương đương với tính BW-giãn nở.
(b) Mọi dịng K∗ -giãn nở là tách vì ánh xạ đồng nhất h(t) = t, ∀t ∈ R
thuộc H0+ (R).


22

Bổ đề 2.18 ([4]). Giả sử x ∈
/ Fix(φ), u : R → R là hàm số, h ∈ H0+ (R),
sup diam (φ[t,u(t)] (x)) < diam (φR (x))/2

(2.3.3)

φh(t) (x) ∈ φ[t,u(t)] (x), ∀t ∈ R.

(2.3.4)

t∈R

và

Khi đó ta có g ∈ H0+ (R) sao cho g(t) ∈ [t, u(t)] với mọi t ∈ R và
φg(t) (x) = φh(t) (x) với mọi t ∈ R.
Chứng minh. Nếu x khơng tuần hồn thì kết quả là tầm thường vì ánh
xạ t → φt (x) là tồn ánh và từ (2.3.4) ta có thể lấy g = h.
Giả sử x ∈ γ, một quỹ đạo chu kỳ của chu kỳ τ . Từ (2.3.4) ta có hàm
k : R → Z sao cho g(t) = h(t) + τ k(t) ∈ [t, u(t)] với mọi t ∈ R. Ta sẽ
chứng minh k là hằng số. Lấy L > 0 sao cho
sup diam (φ[t,u(t)] (x)) < L < diam (γ)/2.
t∈R

Cho t ∈ R, định nghĩa
τ1 = inf{s

t : diam (φ[t,s] (x)) = L}

τ2 = sup{s

t : diam (φ[t,s] (x)) = L}.

Từ (2.3.3) ta có τ1 − τ2 < τ và τ2 < u(t) < τ1 . Bởi tính liên tục của
dịng, tồn tại δ > 0 sao cho nếu |τ − t| < δ thì τ2 < u(r) < τ1 . Vì thế
k(r) = k(t) với mỗi |τ − t| < δ. Do đó k là hằng số.
Tiếp theo chúng ta sẽ định nghĩa một khoảng cách khác trong X.

dφ (x, y) = inf{diam (φ[a,b] (z)) : z ∈ X, [a, b] ⊂ R, x, y ∈ φ[a,b] (z)}
nếu y ∈ φR (x) và dφ (x, y) = diam (X) nếu y ∈
/ φR (x). Xét
β0 = inf{diam (φR (x)) : x ∈
/ Fix(φ)}