Một số vấn đề về tính chất và đồ thị của hàm số trong giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ THU THANH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHẤT VÀ ĐỒ THỊ
CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ THU THANH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHẤT VÀ ĐỒ THỊ
CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 8460113

Người hướng dẫn : TS. Nguyễn Hữu Trọn


Mục lục
Danh mục chữ viết tắt và ký hiệu

iii

MỞ ĐẦU

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số khái niệm cơ bản của hàm số. . . . . . . . . . . .
1.2 Một số tính chất đặc biệt của hàm số. . . . . . . . . . .
1.2.1 Hàm số chẵn và hàm số lẻ. . . . . . . . . . . . .

3
3
4
4

1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5

Hàm đồng biến và nghịch biến. . .
Hàm số tuần hoàn. . . . . . . . . .
Hàm lồi và hàm lõm. . . . . . . . .
Cực đại, cực tiểu của một hàm số. .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

4
4
5
5

1.2.6
1.2.7

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. . . . . .
Các phép biến đổi đồ thị. . . . . . . . . . . . . .

6
7

2 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI
TỐN SƠ CẤP
9
2.1 Hàm số và tính tuần hồn. . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
2.3
2.4
2.5

Hàm

Hàm
Hàm
Hàm

số và tính chẵn lẻ.
số, tiếp tuyến và đồ
số và tính liên tục .
số và tính đơn điệu

. .
thị
. .
. .

.
.
.
.

13
19
22
28

2.6

Hàm số và tính lồi lõm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

i

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.


3 BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ
THỊ CỦA HÀM SỐ
41
3.1 Các bài toán nhận dạng đồ thị hàm số. . . . . . . . . . . 41
3.2
3.3
3.4

Các bài tốn liên quan đến tính đơn điệu của hàm số. . .
Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số. . . . . .
Các bài toán liên quan đến tương giao của đồ thị hàm số.

52
62
76

KẾT LUẬN

82

Tài liệu tham khảo

83

ii


Danh mục chữ viết tắt và ký hiệu
N
Z

: tập hợp các số tự nhiên,
: tập hợp các số nguyên,

Q
R
HSG
T HP T

:
:
:

:

tập hợp các số hữu tỉ,
tập hợp các số thực,
Học sinh giỏi,
Trung học phổ thông,

T HP T QG : Trung học phổ thông quốc gia,
V MS
: Vietnam Mathematical Society ,
IM O
: International Mathematical Olympiad .

iii


LỜI MỞ ĐẦU

Hàm số là một nội dung quan trọng trong chương trình tốn ở THPT,
là đề tài hay, lơi cuốn phần lớn giáo viên và học sinh, đặc biệt là học
sinh khá giỏi. Trong những năm gần đây, với việc đổi mới hình thức thi
từ tự luận sang trắc nghiệm, các đề thi toán THPT quốc gia càng chú
trọng đến việc khai thác các tính chất và đồ thị của hàm số trong việc
thiết kế các đề thi trắc nghiệm, trong việc giải các bài toán trắc nghiệm
THPT. Hơn nữa, trong các kỳ thi HSG các cấp như cấp tỉnh, cấp quốc
gia, quốc tế và các kỳ thi Olympic Tốn sinh viên trong nước và quốc
tế thì các bài tốn liên quan đến tính chất và đồ thị của hàm số cũng
thường xuyên xuất hiện. Những bài toán rất thú vị và đơi khi rất khó,
tuy nhiên trong các tài liệu dành cho học sinh THPT và một số nghiên
cứu trước đây thì ứng dụng tính chất và đồ thị của hàm số chưa được

trình bày một cách hệ thống và đầy đủ.
Vì vậy với suy nghĩ và theo ý tưởng đó chúng tơi khai thác các tính
chất và đồ thị của hàm số góp phần nâng cao hiệu quả việc giảng dạy
của giáo viên và học tập của học sinh ở trường THPT hiện nay. Đó là lý
do tôi chọn đề tài " MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHẤT VÀ ĐỒ THỊ
CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TỐN SƠ CẤP” để làm đề tài luận văn
thạc sĩ.
Ngoài Mục lục, Danh mục các ký hiệu, Mở đầu và Kết luận, nội dung
của luận văn được chúng tơi trình bày trong 3 chương:
• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1


Trong chương này chúng tôi hệ thống lại các kiến thức cơ bản về
tính chất và đồ thị của hàm số. Đây là phần lý thuyết cơ sở để xây
dựng phương pháp và vận dụng cho các bài toán ứng dụng ở các
chương sau.
• Chương 2. Sử dụng tính chất của hàm số trong giải toán sơ cấp.
Chương này, chúng tơi trình bày một số các bài tốn (tự luận)
sử dụng các tính chất cơ bản của hàm số trong chương trình tốn
sơ cấp ở bậc phổ thơng. Có thể chia theo các chủ đề sau: Hàm số
và tính tuần hồn, Hàm số và tính chẵn lẻ, Hàm số, tiếp tuyến và
đồ thị, Hàm số và tính liên tục, Hàm số và tính đơn điệu, Hàm số
và tính lồi lõm,.. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán chúng liên quan
đến nhiều tính chất khác nhau của hàm số.
• Chương 3: Bài toán trắc nghiệm liên quan đến đồ thị của hàm số.
Chương này, nội dung chính là chúng tơi trình bày các bài toán
trắc nghiệm liên quan đến đồ thị hàm số cụ thể là: Các bài toán
nhận dạng đồ thị, Các bài tốn liên quan đến tính đơn điệu của
hàm số, Các bài tốn liên quan đến tính chất hàm lồi, hàm lõm,...

Luận văn được hoàn thành dưới sự giúp đỡ tận tình của thầy TS.
Nguyễn Hữu Trọn; Trường Đại học Quy Nhơn. Chúng tơi xin bày tỏ sự
kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã tận tình giúp đỡ chúng
tơi, đã truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình học tập
và thực hiện luận văn. Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban
lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa
Tốn cùng q thầy cơ giáo giảng dạy lớp cao học Phương Pháp Toán
Sơ Cấp khóa 20 đã dày cơng giảng dạy trong suốt khóa học, tạo điều
kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.
Nhân đây chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh
thần của gia đình, bạn bè đã ln tạo mọi điều kiện giúp đỡ để chúng
tơi hồn thành tốt khóa học và luận văn này.
1


Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của
bản thân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và
kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những góp ý của q thầy cơ
giáo để luận văn được hoàn thiện hơn.
Quy Nhơn, tháng 7 năm 2019
Học viên

Nguyễn Thị Thu Thanh

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tơi trình bày một cách cơ bản các định nghĩa,
tính chất của hàm số như hàm số chẵn, hàm số lẻ, tuần hoàn đơn điệu,
lồi lõm và giới thiệu một số định lý quan trọng liên quan đến tính đơn
điệu của hàm số, cực trị, phép biến đổi đồ thị của hàm số nhằm phục
vụ cho việc giải các bài toán sơ cấp liên quan đến hàm số và đồ thị ở
trường phổ thông. Nội dung đặc biệt được lấy ra chủ yếu trong tài liệu
tham khảo [8].

1.1

Một số khái niệm cơ bản của hàm số.

Định nghĩa 1.1 Cho một tập hợp D ⊂ R và D khác rỗng.
Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc
D với một và chỉ một số, kí hiệu là f (x); số f (x) đó là giá trị của hàm
số f tại x.
i) Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay
đối số của hàm số f.
ii) Tập hợp tất cả các giá trị của hàm số được gọi là miền giá trị của
hàm số.
iii) Đồ thị của hàm số y = f (x) là tập hợp các điểm có tọa độ (x; f (x))
trên mặt phẳng tọa độ.
3


1.2

Một số tính chất đặc biệt của hàm số.

1.2.1

Hàm số chẵn và hàm số lẻ.

Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f (x) với tập xác định D ⊂ R.
i) Hàm số f với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi
x ∈ D thì −x ∈ D và f (−x) = −f (x).
ii) Hàm số f với tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi
x ∈ D thì −x ∈ D và f (−x) = f (x).
1.2.2

Hàm đồng biến và nghịch biến.

Định nghĩa 1.3
i) Hàm số y = f (x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b), nếu với
mọi x1 , x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 thì f (x1 ) < f (x2 ) .
ii) Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b), nếu với
mọi x1 , x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 thì f (x1 ) > f (x2 ) .
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a, b) còn được gọi là
hàm số đơn điệu trên khoảng đó.
Định lí 1.1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).
i) Nếu f (x) > 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến
trên khoảng đó.
ii) Nếu f (x) < 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) nghịch biến
trên khoảng đó.
1.2.3

Hàm số tuần hoàn.

Định nghĩa 1.4 Hàm số y = f (x) xác định trên D ⊂ R được gọi là
hàm số tuần hồn nếu có một số T = 0 sao cho với mọi x ∈ D ta luôn

4


có : x + T ∈ D; x − T ∈ D và f (x + T ) = f (x − T ) = f (x).
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số
được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ T.
1.2.4

Hàm lồi và hàm lõm.

Định nghĩa 1.5
i) Hàm số f (x) được gọi là hàm lồi trên (a, b) nếu với mọi x1 , x2 ∈
(a, b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1 ta đều có
f (αx1 + βx2 ) ≤ αf (x1 ) + βf (x2 )

(∗)

Nếu dấu đẳng thức (∗) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói f (x)
là hàm lồi thực sự (chặt) trên (a, b) .
ii) Hàm số f (x) được gọi là hàm lõm trên (a, b) nếu với mọi x1 , x2 ∈
(a, b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1 ta đều có
f (αx1 + βx2 ) ≥ αf (x1 ) + βf (x2 )

(∗ )

Nếu dấu đẳng thức (∗ ) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói f (x)
là hàm lõm thực sự (chặt) trên (a, b) .
1.2.5

Cực đại, cực tiểu của một hàm số.

Định nghĩa 1.6 Giả sử y = f (x) là hàm số xác định trên khoảng (a; b)
và điểm x0 ∈ (a; b) .
a) Nếu có một số h > 0, sao cho với mọi x thuộc (x0 − h, x0 + h) và
x = x0 mà ta có f (x) < f (x0 ), thì ta nói rằng hàm số f(x) đạt cực
đại ( hay cực đại địa phương ) tại điểm x0 .
b) Nếu có một số h > 0, sao cho với mọi x thuộc (x0 − h, x0 + h) và
x = x0 mà ta có f (x) > f (x0 ), thì ta nói rằng hàm số f(x) đạt cực
tiểu ( hay cực tiểu địa phương ) tại điểm x0 Các điểm cực đại, cực
tiểu của hàm số thường được gọi chung là các điểm cực trị.
5


Định lí 1.2 Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng K = (x0 − h; x0 + h)
và có đạo hàm trên K hoặc trên K\ {x0 } (h > 0).
i) Nếu
f (x) > 0, ∀x ∈ (x0 − h, x0 )
f (x) < 0, ∀x ∈ (x0 , x0 + h)
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số
ii) Nếu
f (x) < 0, ∀x ∈ (x0 − h, x0 )
f (x) > 0, ∀x ∈ (x0 , x0 + h)
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số.
Định lí 1.3 Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trong (x0 − h; x0 + h)
(h > 0) và f (x0 ) = 0.
i) Nếu f (x0 ) < 0, thì hàm số đạt cực đại tại x0 .
ii) Nếu f (x0 ) > 0, thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 .
1.2.6

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Định nghĩa 1.7 Cho hàm số y = f (x) xác định trên miền D ⊂ R.
i) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu
f (x) ≤ M, ∀x ∈ D
∃x0 ∈ D, f (x0 ) = M,
ta kí hiệu M = max f (x) hoặc M = max f
x∈D

D

ii) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu
f (x) ≥ m, ∀x ∈ D
∃x0 ∈ D, f (x0 ) = m,
ta kí hiệu m = min f (x) hoặc m = min f
x∈D

D

6


1.2.7

Các phép biến đổi đồ thị.

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C). Khi đó, với số a > 0 ta có:
i) Hàm số y = f (−x) có đồ thị được suy ra từ (C) bằng cách, lấy đối
xứng đồ thị (C) qua trục Oy.
ii) Hàm số y = −f (x) có đồ thị được suy ra từ (C) bằng cách, lấy đối
xứng đồ thị (C) qua trục Ox.

Nhận xét 1.2.1 Từ đồ thị hàm số (C) : y = f (x) biến đổi để có
đồ thị hàm số (C ) : y = −f (−x) ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Từ đồ thị (C) : y = f (x) suy ra (C1 ) : y = f (−x)
Bước 2: Từ (C1 ) : y = f (−x) suy ra (C ) : y = −f (−x).
iii) Hàm số y = f (|x|) được suy ra từ (C) bằng hai bước:
Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy.
Bước 2: Bỏ phần nằm bên trái Oy của đồ thị (C) . Lấy đối xứng
phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy.
iv) Hàm số y = |f (x)| được suy ra từ (C) bằng hai bước:
Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox.
Bước 2: Bỏ phần (C) nằm phía dưới Ox. Lấy đối xứng phần đồ thị
bị bỏ qua Ox.
Nhận xét 1.2.2 Từ đồ thị hàm số (C) : y = f (x) biến đổi để có
đồ thị hàm số (C ) : y = |f (|x|)| ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Từ đồ thị(C) : y = f (x) suy ra (C1 ) : y = f (|x|)
Bước 2: Từ (C1 ) : y = f (|x|) suy ra (C ) : y = |f (|x|)|
Hệ quả 1.1 Từ đồ thị (C) : y = u(x).v (x) suy ra đồ thị (C ) : y =
|u(x)|.v (x) bằng hai bước:
7


Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u(x) ≥ 0 của đồ thị
(C) : y = u(x).v (x) .
Bước 2: Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0 của đồ thị (C) . Lấy
đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
v) Hàm số y = f (x) + a; (a ∈ R) được suy ra từ (C) bằng cách, tịnh
tiến đồ thị (C) lên phía trên (theo phương của Oy) a đơn vị nếu
a > 0, tịnh tiến xuống dưới |a| đơn vị nếu a < 0.
vi) Hàm số y = f (x + a); (a ∈ R) được suy ra từ (C) bằng cách, tịnh
tiến đồ thị (C) sang phải (theo phương của Ox) |a| đơn vị nếu a < 0,

tịnh tiến sang trái a đơn vị nếu a > 0 .
Định lí 1.4 (Định lí Rolle) Giả sử f là hàm liên tục trên đoạn [a; b] và
có đạo hàm tại mọi x ∈ (a, b). Nếu f (a) = f (b) thì tồn tại ít nhất một
điểm c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0.
Định lí 1.5 (Định lí Lagrange) Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b] và có
đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a, b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm
f (b) − f (a)
c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f (a) = f (c) (b − a) hay f (c) =
.
b−a

8


Chương 2
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA
HÀM SỐ TRONG GIẢI TỐN SƠ
CẤP
Trong chương này tơi trình bày một số các bài tốn (tự luận) sử dụng
các tính chất cơ bản của hàm số trong chương trình tốn ở bậc phổ
thơng. Các bài toán ở đây được sưu tầm từ các tài liệu tham khảo thu
thập được trong luận văn, đặc biệt được lấy ra chủ yếu trong tài liệu
tham khảo [4], đây là các bài toán được tuyển tập từ các cuộc thi vơ
định tốn trong nước và quốc tế. Có thể chia theo các chủ đề sau: Hàm
số và tính tuần hồn; Hàm số và tính chẵn lẻ; Hàm số, tiếp tuyến và đồ
thị; Hàm số và tính liên tục; Hàm số và tính đơn điệu; Hàm số và tính lồi
lõm,.. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán chúng liên quan đến nhiều tính
chất khác nhau của hàm số.

2.1

Hàm số và tính tuần hồn.

Bài tốn 2.1 Cho cặp hàm f (x), g(x) tuần hồn trên M có các chu kỳ
a
lần lượt là a, b với ∈ Q. Chứng minh rằng F (x) := f (x) + g (x) và
b
G (x) := f (x) g (x) cũng là những hàm tuần hoàn trên M.
Lời giải.
a m
Theo giả thiết ∃m, n ∈ N+ , (m, n) = 1 sao cho = .
b
n
9


Đặt T = na = mb. Khi đó
F (x + T ) = f (x + na) + g (x + mb) = f (x) + g (x) = F (x) , ∀x ∈ M
G (x + T ) = f (x + na) g (x + mb) = f (x) g (x) = G (x) , ∀x ∈ M
Hơn nữa ∀x ∈ M thì x ± T ∈ M .
Vậy F (x) , G (x) là những hàm tuần hồn trên M.
Bài tốn 2.2 Có tồn tại hay khơng các hàm số f : R → R và g : R → R
trong đó g là hàm số tuần hoàn và thỏa mãn:
x3 = f ([x]) + g ([x]) , x ∈ R,
với [x] là số nguyên lớn nhất bé hơn hoặc bằng x ?
Lời giải.
Giả sử có các hàm số f và g thỏa mãn đề bài.
Gọi T là chu kì của g thì T > 0.
Vì
x3 = f ([x]) + g ([x]) , ∀x ∈ R

nên
(x + T )3 = f (x + T ) + g (x) ,
suy ra
f ([x + T ]) − f ([x]) ≡ T 3 + 3T 2 + 3T x2 .(∗)
Cho x ∈ [0, [T ] + 1 − T ] thì vế trái (*) là hằng số nên (*) cho ta một đa
thức bậc hai có vố số nghiệm, do đó T = 0, điều này vơ lý.
Vậy khơng tồn tại hai hàm số f, g thỏa mãn đề bài.
Bài toán 2.3 Cho a > 0 và hàm số f : R → R thỏa điều kiện
f (x + a) =

1
+
2

f (x) − f 2 (x), ∀x > 0.

Chứng minh rằng f (x) là hàm số tuần hoàn.
Lời giải.

10


1
1
+ f (x) − f 2 (x), ∀x > 0 nên f (x + a) ≥ .
2
2
1
Do đó f (x) ≥ , suy ra
2

1
f (x + 2a) = + f (x + a) − f 2 (x + a)
2
1
= + f (x + a) [1 − f (x + a)]
2
1
1
1
= +
+ f (x) − f 2 (x)
− f (x) − f 2 (x)
2
2
2
Vì f (x + a) =

1
1
+
− f (x) + f 2 (x)
2
4
1
1
1
1
= + f (x) − = + f (x) − = f (x).
2
2

2
2

=

Vậy tồn tại T = 2a > 0 sao cho
f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ R
nên f (x) là hàm số tuần hồn.
Bài tốn 2.4 Cho hàm số f (x) xác định trên D và
f (x) − 1
, a = 0.
f (x) + 1

f (x + a) =

Chứng minh rằng f (x) là hàm số tuần hoàn.
Lời giải.
Với mọi x ∈ D, a = 0 ta có
f (x + a) − 1
f (x + a) + 1
(f (x) − 1) / (f (x) + 1) − 1
−1
=
=
,
(f (x) − 1) / (f (x) + 1) + 1 f (x)

f (x + 2a) = f [(x + a) + a] =

suy ra

f (x + 4a) =

−1
= f (x).
f (x + 2a)

Do đó f (x) là hàm số tuần hoàn.
11


Bài toán 2.5 Cho hàm số y = f (x) được xác định trên R và thỏa mãn
f (x + 3) ≤ f (x) + 3
f (x + 2) ≥ f (x) + 2, ∀x ∈ R.
Chứng minh rằng g(x) = f (x) − x là hàm tuần hoàn.
Lời giải.Từ điều kiện đầu bài ta có:
g(x + 6) = f (x + 6) − x − 6
≤ f (x + 3) + 3 − x − 6
≤ f (x) + 3 + 3 − x − 6 = g(x).
f (x + 6) − x − 6 ≥ f (x + 4) + 2 − x − 6
≥ f (x + 2) + 2 + 2 − x − 6
≥ f (x) + 2 + 2 + 2 − x − 6 = g(x).
Suy ra g(x + 6) = g(x), ∀x ∈ R.
Vậy g(x) là hàm tuần hồn.
Bài tốn 2.6 Tìm tất cả các đa thức f (x) với hệ số thực sao cho
cos f (x), x ∈ R là hàm tuần hoàn.
Lời giải.
Rõ ràng nếu f (x) là đa thức bậc nhất hoặc là hằng số thì cos f (x) là
hàm tuần hồn.
Xét trường hợp đa thức f (x) có bậc ≥ 2.
Giả sử hàm cos f (x) tuần hoàn. Khi đó hàm

g(x) = (cos f (x)) = −f (x). sin f (x),
cũng là hàm liên tục và tuần hoàn trên R.
Do
lim |f (x)| = +∞
x→∞

và f (x) là đa thức nên tồn tại dãy tăng {xn } , xn → ∞ sao cho
|f (xn )| =

π
+ 2kn π, kn ∈ Z.
2
12


Khi đó
lim |g(xn )| = lim |f (xn )| = +∞.

x→∞

x→∞

Kết quả này trái với giả thiết g(x) là hàm số liên tục và tuần hoàn.
Vậy cosf (x) là một hàm tuần hoàn khi và chỉ khi f (x) là một đa thức
bậc nhất hoặc là hằng số.

2.2

Hàm số và tính chẵn lẻ.

Bài tốn 2.7 Cho hàm số y = f (x); y = g(x) có cùng tập xác định D.
Chứng minh rằng:
a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số y = f (x) + g(x) là hàm số lẻ.
b) Nếu hai hàm số trên một chẵn một lẻ thì hàm số y = f (x).g(x) là
hàm số lẻ.
Lời giải.
a) Ta có hàm số y = f (x) + g(x) có tập xác định D.
Do hàm số y = f (x); y = g(x) lẻ nên ∀x, x ∈ D ⇒ −x ∈ D và
f (−x) = −f (x); g(−x) = −g(x),
mà
f (−x) = f (−x) + g(−x) = −f (x) − g(x) = − [f (x) + g(x)] = −f (x),
suy ra hàm số y = f (x) + g(x) là hàm số lẻ.
b) Giả sử hàm số y = f (x) chẵn và y = g(x) lẻ.
Khi đó hàm số y = f (x).g(x) có tập xác định là D nên
∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
Ta có
y(−x) = f (−x).g(−x) = f (x) (−g(x)) = −f (x).g(x) = −y(x).
Do đó hàm số y = f (x).g(x) lẻ.
13


Bài tốn 2.8 Tìm m để đồ thị hàm số
y = x3 − (m2 − 9)x2 + (m + 3)x + m − 3,
nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Lời giải.
Tập xác định của hàm số D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng khi và chỉ
khi nó là hàm số lẻ hay f (−x) = −f (x), tức là
(−x)3 − (m2 − 9)(−x)2 + (m + 3)(−x) + m − 3 = − x3 − (m2 − 9)x2
+(m + 3)x + m − 3].

Khi đó
2(m2 − 9)x2 − 2(m − 3) = 0, ∀x ∈ R
⇔

m2 − 9 = 0
⇔ m = 3.
m−3=0

Vậy m = 3 thỏa mãn bài toán.
Bài tốn 2.9 Tìm m để đồ thị hàm số
y = x4 − (m2 − 3m + 2)x3 + m2 − 1,
nhận trục tung làm trục đối xứng.
Lời giải.
Tập xác định của hàm số D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
Đồ thị của hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ
khi nó là hàm số chẵn hay f (−x) = f (x), tức là
(−x)4 − (m2 − 3m + 2)(−x)3 + m2 − 1 = x4 − (m2 − 3m + 2)x3 + m2 − 1.
Khi đó
2(m2 − 3m + 2)x3 = 0, ∀x ∈ R
⇔ m2 − 3m + 2 = 0 ⇔
Vậy m = 1, m = 2 thỏa mãn bài toán.
14

m=1
m = 2.


Bài tốn 2.10 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau
√
x + x2 + 1

a) f (x) = √
− 2x2 − 1.
2
x +1−x


 −1 khi x < 0
b) f (x) =
0 khi x = 0


1 khi x > 0.
c) f (x) =

|x − 1| + |x + 1|
.
|2x − 1| + |2x + 1|

d) f (x) =

|x + 2| + |x − 2|
.
|x − 1| − |x + 1|

Lời giải.
a) Ta có
x2 + 1 >

√

x2 = |x| ≥ x ⇒

x2 + 1 − x = 0, ∀x,

suy ra tập xác định của hàm số là D = R.
Mặt khác
x2 + 1 >

√

x2 = |x| ≥ −x ⇒

x2 + 1 + x = 0,

do đó
√

2

x2 + 1
√
f (x) = √
− 2x2 − 1 = 2x
2
2
x +1+x
x +1−x
x+

x2 + 1

Ta có ∀x∈ R ⇒ −x ∈ R và
f (−x) = 2(−x) (−x)2 + 1 = −2x x2 + 1 = −f (x).
√
x + x2 + 1
Do đó f (x) = √
− 2x2 − 1 là hàm số lẻ.
2
x +1−x
b) Tập xác định của hàm số D = R. Dễ thấy với mọi x ∈ R ⇒ −x ∈ R.
Với mọi x > 0 ta có −x < 0, suy ra
f (−x) = −1, f (x) = 1 ⇒ f (−x) = −f (x).
15


Với mọi x < 0 ta có −x > 0, suy ra
f (−x) = 1, f (x) = −1 ⇒ f (−x) = −f (x).
Và
f (−0) = −f (0) = 0.
Do đó với mọi x ∈ Rta có f (−x) = −f (x).

 −1 khi x < 0
Vậy hàm số f (x) =
0 khi x = 0 là hàm số lẻ.


1 khi x > 0
c) Tập xác định của hàm số là D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
Ta có
f (−x) =

|−x − 1| + |−x + 1|
= f (x), ∀x ∈ D.
|−2x − 1| + |−2x + 1|

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
d) Điều kiện xác định
|x − 1| = |x + 1| ⇔

x−1=x+1
⇔ x = 0,
x − 1 = −(x + 1)

suy ra tập xác định của hàm số là D = R\ {0}, do đó ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
Ta có
|−x + 2| + |−x − 2|
f (−x) =
= −f (x), ∀x ∈ D.
|−x − 1| − |−x + 1|
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
x2 x2 − 2 + 2m2 − 2 x
√
Bài toán 2.11 Tìm m để hàm số f (x) =
là
x2 + 1 − m
hàm số chẵn.
√
Lời giải. Điều kiện xác định x2 + 1 = m.
Giả sử hàm số f (x) là hàm số chẵn suy ra f (−x) = f (x) với mọi x thỏa
√

mãn điều kiện x2 + 1 = m.
Ta có
x2 x2 − 2 − 2m2 − 2 x
√
.
f (−x) =
x2 + 1 − m
16


Suy ra
f (−x) = f (x)
x2 x2 − 2 − 2m2 − 2 x x2 x2 − 2 + 2m2 − 2 x
√
√
⇔
=
x2 + 1 − m
x2 + 1 − m
⇔ 2 2m2 − 2 x = 0,
với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định . Khi đó
2m2 − 2 = 0 ⇔ m = ±1.
i) Với m = 1 ta có hàm số là
x2 x2 − 2
f (x) = √
.
x2 + 1 − 1
Điều kiện xác định
x2 + 1 = 1 ⇔ x = 0,
Suy ra tập xác định của hàm số là D = R\ {0}

Dễ thấy với mọi x ∈ R\ {0} ta có −x ∈ R\ {0} và f (−x) = f (x).
Do đó
x2 x2 − 2
f (x) = √
x2 + 1 − 1
là hàm số chẵn.
ii) Với m = −1 ta có hàm số là
x2 x2 − 2
.
f (x) = √
x2 + 1 + 1
Tập xác định của hàm số là D = R.
Dễ thấy với mọi x ∈ R ta có −x ∈ R và f (−x) = f (x).
Do đó
x2 x2 − 2
f (x) = √
.
x2 + 1 + 1
là hàm số chẵn.
17


Vậy m = ±1 là giá trị cần tìm.
Bài tốn 2.12 Cho hàm số f : R → R xác định bởi
y = f (x) = (1999)x + (1999)2−x .
Với giá trị nào của a thì hàm y = f (x + a) là hàm số chẵn ?
Lời giải. Ta có
f (x) = (1999)x + (1999)2−x , ∀x,
suy ra
f (x + a) = (1999)x+a + (1999)2−x−a , ∀x.

Như vậy, hàm y = f (x + a) là hàm số chẵn trên R, điều này có nghĩa là
f (x + a) = f (−x + a), ∀x
⇔ (1999)x+a + (1999)2−x−a = (1999)−x+a + (1999)2+x−a , ∀x.

⇔ (1999)x .(1999)a + (1999)2−a .(1999)−x = (1999)−x .(1999)a + (1999)2−a .(1999)
⇔

(1999)x − (1999)−x

⇔

(1999)a − (1999)2−a = 0

(1999)a − (1999)2−a = 0, ∀x.

⇔ a = 2 − a ⇔ a = 1.
Vậy nếu a = 1 thì y = f (x + a) là hàm chẵn trên R.
Bài toán 2.13 Giả sử f (x) là hàm lẻ tăng. Chứng minh rằng nếu a, b, c
thỏa mãn a + b + c = 0 thì
f (a)f (b) + f (b)f (c) + f (c)f (a) ≤ 0.
Lời giải. Xét
F = f (a)f (b) + f (b)f (c) + f (c)f (a).
Do hàm f là hàm lẻ nên F không thay đổi khi a, b, c cùng đổi dấu. Do
đó có thể giả thiết
c ≤ 0, a ≥ 0, b ≥ 0.
18


Vì c = −a − b và f lẻ nên điều kiện F ≤ 0 tương đương với
f (a)f (b) ≤ −f (c) (f (a) + f (b)) = f (a + b)f (a) + f (a + b)f (b)(∗).

Do hàm f là hàm tăng và a ≥ 0, b ≥ 0 nên a + b ≥ a, a + b ≥ b, suy ra
(*) đúng. Vậy F ≤ 0.

2.3

Hàm số, tiếp tuyến và đồ thị

Bài toán 2.14 Cho hàm số f xác định trên R thoả
f (x − sin x) = x + sin x, ∀x ∈ R.
Hãy nêu cách xây dựng đồ thị hàm số y = f (x) khi biết đồ thị của hàm
số y = sin x.
Lời giải. Xét
g(x) = x − s in x.
Vì g (x) = 1 − cos x ≥ 0 nên g(x) đồng biến và nhận mọi giá trị t ∈ R.
Đặt t = g(x) ta có
f (t) = g −1 (t) + sin g −1 (t),
trong đó g −1 là kí hiệu hàm ngược của hàm g.
Khi quay góc 450 ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ thì điểm
a−b a+b
√ , √
.
(a, b) biến thành điểm
2
2
x − sin x x + sin x
√
Do đó điểm (x, sin x) biến thành điểm
, √
.
2

2
Như vậy, sau khi thực hiện phép quay trên và phép vị tự có tâm là gốc
√
tọa độ và tỉ số 2, từ đồ thị y = sin x ta nhận được đồ thị của y = f (x).
Bài tốn 2.15 Hãy tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến với đồ
x3 + 1
thị của hàm số f (x) =
, biết rằng mỗi một trong các tiếp tuyến
x
1
đó cùng với các trục tọa độ giới hạn một tam giác có diện tích bằng .
2
19