Chuyên đề 11 thể tích khối lăng trụ có lời giải chi tiết

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG
Chun đề 11

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 6-8 ĐIỂM
DẠNG. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG
Thể tích khi lng tr
g Th

Vlăng trụ = S áy. chiều cao

3
tớch khối lập phương V = a

g Thể

tích khối hộp chữ nhật V = abc

c

a

b

a

Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều:
g Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy. Do đó các
mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt
phẳng đáy.

g Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Câu 1.

(Mã 101 - 2019) Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và có chiều cao h là
4
1
Bh
Bh
A. Bh .
B. 3
.
C. 3
.
D. 3Bh .
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và có chiều cao h là: V = B.h .

Câu 2.

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho khối lập phương có cạnh bằng 6 . Thể tích của khối lập phương
đã cho bằng
A. 216 .
B. 18 .
C. 36 .
D. 72 .
Lời giải
Chọn A
3
Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 6 là V = 6 = 216 .

Câu 3.

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Thể tích khối lập phương cạnh 2 bằng
A. 6 .
B. 8 .
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn B
3
Thể tích khối lập phương cạnh a là V = a .
3
Vậy thể tích khối lập phương cạnh 2 là: V = 2 = 8 .

Câu 4.

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước 3; 4;5 . Thể tích của khối hộp đã
cho bằng?
A. 10 .
B. 20 .
C. 12 .
D. 60 .
Lời giải
Chọn

D.

Thể tích của khối hộp đã cho bằng V = 3.4.5 = 60

Câu 5.

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước
hộp đã cho bằng
A. .
16

B.

12

.

Chọn C
Thể tích của khối hộp đã cho bằng

C.

48
Lời giải

.

2; 4; 6
D.

8

. Thể tích của khối

.

2.4.6 = 48.

Câu 6.

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 3 và chiều cao h = 2 . Thể tích
của khối lăng trụ đã cho bằng
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn D
 Thể tích khối lăng trụ là V = B.h = 3.2 = 6 .

Câu 7.

(Mã 103 2018) Cho khối lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao bằng 4a . Thể tích
của khối lăng trụ đã cho bằng
16 3
4 3
a
a
3
3
A. 16a
B. 4a
C. 3

D. 3
Lời giải
Chọn B
V = Sday .h = a 2 .4a = 4a 3
.

Câu 8.

(Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao bằng 2a . Thể tích
của khối lăng trụ đã cho bằng
2 3
4 3
a
a
3
3
A. 3
B. 3
C. 2a
D. 4a
Lời giải
Chọn C
V
= S day .h = a 2 .2a = 2a 3
Ta có: langtru
.

Câu 9.

2

(THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng a 3 , khoảng

cách giữa hai đáy của lăng trụ bằng a 6 . Tính thể tích V của khối lăng trụ
3
A. V = 3a 2

3
B. V = a 2

V=

C.
Lời giải

a3 2
3

D.

V=

3a 3 2
4

Chọn A
2
3
Thể tích khối lăng trụ là V = B.h = a 3.a 6 = 3a 2

Câu 10.

(Mã 102 -2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC. A¢B¢C ¢ có đáy là tam giác đều cạnh a và AA′ = 2a
(minh họa như hình vẽ bên).

Trang 2


TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.

3a 3
2 .

B.

3a 3
6 .

3
C. 3a .
Lời giải

D.

3a 3
3 .

Chọn A

SD ABC =

a2 3
4

Tam giác ABC đều cạnh a nên
Do khối lăng trụ ABC. A¢B ¢C ¢ là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là AA′ = 2a
Thể tích khối lăng trụ là
Câu 11.

V = AA¢.SDABC = 2a.

a2 3
3a 3
=
.
4
2

(Đề Minh Họa 2017) Tính thể tích V của khối lập phương ABCD. A′B′C ′D′ , biết AC ′ = a 3 .
A. V = a

3

B.

V=

3 6a 3

4

C. V = 3 3a
Lời giải

3

1
V = a3
3
D.

Chọn A

x; ( x > 0 )
Giả sử khối lập phương có cạnh bằng
Xét tam giác A ' B ' C ' vng cân tại B ' ta có:
Trang 3


A ' C '2 = A ' B '2 + B ' C '2 = x 2 + x 2 = 2 x 2 ⇒ A ' C ' = x 2
Xét tam giác A ' AC ' vuông tại A ' ta có
AC '2 = A ' A2 + A ' C '2 ⇔ 3a 2 = x 2 + 2 x 2 ⇔ x = a
3
Thể tích của khối lập phương ABCD. A′B ′C ′D′ là V = a .
Câu 12.

(SGD Nam Định) Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có B′C = 3a , đáy ABC là tam giác vuông
cân tại B và AC = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ .
3

A. V = 2a .

V=
C.
Lời giải

3
B. V = 2a .

a3
V=
6 2.
D.

2a 3
3 .

Chọn C

Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
∆BB′C vuông tại B ⇒ BB′ =

( B′C )

2

AC = a 2 ⇒ BC = AC =

− BC 2 = 9a 2 − a 2 = 2a 2

AC a 2
=
=a
2
2
.

.

1
1
1
2a 3
V = ×BB′ ×S∆ABC = 2a 2 × ×a 2 =
3
3
2
3 .

Vậy thể tích của khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ là

2a 3
3 .

V=

Câu 13. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A¢B¢C ¢ có đáy ABC là tam giác vng tại A , biết AB = a ,
AC = 2a và A¢B = 3a . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. A¢B ¢C ¢.

2 2a 3

3 .
A.

B.

5a 3
3 .

3

C. 5a .
Lời giải

3
D. 2 2a .

Chọn D

Trang 4


TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG

+ Diện tích đáy là

S ABC =

1
1
AB. AC = .a.2a

= a2 .
2
2
2

2
2
2 = ( 3a ) - a
¢
¢
AA
=
A
B
AB
¢
= 2a 2 .
A
ABA
+ Tam giác
vng tại
nên có

+ Thể tích cần tính là:
Câu 14.

V = S ABC . AA¢= a 2 .2a 2 = 2 2a 3
.

(Gia Lai 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A¢B ¢C ¢D ¢ có đáy ABCD là hình chữ nhật,

AB = a , AD = a 2 , AB ¢= a 5 (tham khảo hình vẽ). Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ
đã cho.

3
A. V = a 2 .

3
B. V = 2a 2 .

3
C. V = a 10 .
Lời giải

D.

V=

2a 3 2
3 .

Chọn B
S ABCD = AB. AD = a.a 2 = a 2 2

.

BB ¢= AB ¢2 - AB 2 =

Trong tam giác ABB ¢,
2
3

¢
Vậy V = BB .S ABCD = 2a.a 2 = 2a 2 .

( a 5)

2

- a 2 = 2a

.

Câu 15. Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

27 3
.
A. 4

9 3
.
B. 2

9 3
.
C. 4

27 3
.
D. 2 .
Trang 5

Lời giải
Chọn A
Đáy hình lăng trụ là tam giác đều cạnh bằng 3 nên
Chiều cao của hình lăng trụ bằng h = 3
Thể tích
Câu 16.

V = S .h =

S=

32 3 9 3
=
.
4
4

9 3
27 3
.3 =
4
4 .

(Đề Tham Khảo 2019) Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng
3
A. 8a

3
B. 2a

C. a
Lời giải

3

3
D. 6a

Chọn A

V = ( 2a ) = 8a 3
Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng:
3

Câu 17.

(Mã 104 2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a và
AA ' = 2a (minh họa như hình vẽ bên dưới).

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.

6a 3
2 .

B.

6a 3
4 .

C.
Lời giải

6a 3
6 .

6a 3
D. 12 .

Chọn B

S∆ABC =

a2 3
4 .

Ta có:
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là

VABC . A′B′C ′
Câu 18.

= S ∆ABC . AA′ =

a2 3
a3 6
.a 2 =
4
4 .

(Đề Tham Khảo 2017) Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a .
A.

V=

a3 3
12

B.

V=

a3 3
2

V=

C.
Lời giải

a3 3
4

D.

V=

a3 3
6

Chọn C

Trang 6


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG

h = a


a2 3
S =

4
Câu 19.

⇒ V = h.S =

a3 3
4
.

(Mã 110 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có BB′ = a , đáy ABC là tam giác vuông
cân tại B và AC = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
a3
a3
V=
V=
3

3
2
A.
B.
C. V = a
Lời giải
Chọn B

Tam giác ABC vng cân tại B
Khi đó:
Câu 20.

VABC . A′B′C ′ = S ABC .BB′ =

⇒ AB = BC =

D.

V=

a3
6

AC
1
=a
S ABC = a 2
2
2 .
. Suy ra:

1 2
a3
a .a =
2
2

(Mã 103 2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh 2a và
AA ' = 3a (minh họa như hình vẽ bên).

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
3
A. 6 3a .

3
B. 3 3a .

3
C. 2 3a .
Lời giải

D.

3a 3 .

Chọn B

(2a ) 2 3
4
Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều có diện tích là

và chiều cao là AA ' = 3a (do
(2a )2 3
.3a = 3 3a 3
4
là lăng trụ đứng) nên có thể tích là
Câu 21. (Mã 101 -2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều
cạnh a và AA ' = 3a (minh họa hình vẽ bên). Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng.
Trang 7


a3
B. 2 .

a3
A. 4 .

3a 3
C. 4 .
Lời giải

3a 3
D. 2 .

Chọn C
Ta có

S ABC =

Từ đó suy ra
Câu 22.

a2 3
4 ; AA ' = a 3 .
V = a 3.a 2

3 3a 3
=
4
4 .

(THPT Việt Đức Hà Nội Năm 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A¢B ¢C ¢ có đáy là tam giác
vng cân tại B , AB = a và A¢B = a 3 . Thể tích khối lăng trụ ABC. A¢B ¢C ¢ là

a3 3
A. 2

a3
B. 6

a3
C. 2

a3 2
D. 2

Lời giải
Chọn D

2
2

Ta có AA¢= A¢B - AB = a 2 ,

Thể tích khối lăng trụ là

S ABC =

V = AA¢.S ABC =

1
a2
AB 2 =
2
2 .

a3 2
2 .

Câu 23. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , A ' B tạo với mặt phẳng đáy
o
một góc 60 . Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng
3a 3
A. 2 .

a3
B. 4 .

3a 3
C. 4 .
Lời giải

3a 3
D. 8 .

Chọn C
Trang 8


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
C'
A'

B'

C

A
600
B

a2 3
=
4 .

SDABC
Đáy là tam giác đều cạnh a , có diện tích:
o
AA ' ^ ( ABC ) Þ ·A ' BA = ( A ' B, ( ABC ) ) = 60o
Vì
, suy ra: AA ' = AB tan 60 = a 3
Vậy thể tích khối lăng trụ:

VABC . A ' B 'C ' = SDABC . AA ' =

a2 3
3a 3
.a 3 =
.
4
4

Câu 24. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' , đáy là hình thang vng tại A và D , có
AB = 2CD, AD = CD = a 2, AA ' = 2 a . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
3

A. 12a .

3
B. 6a .

3

C. 2a .
Lời giải

3
D. 4a .

Chọn B

Diện tích hình thang ABCD là:
( AB + CD ) .AD = ( 2CD + CD ) . AD = 3CD. AD = 3.a 2.a 2

S ABCD =
= 3a 2 .
2
2
2
2
2
3
′
Thể tích khối lăng trụ đã cho: V = S ABCD . AA = 3a .2a = 6a .

Câu 25.

(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tính thể tích khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ biết
AA′ = 2a; AB = 3a; AC = 4a và AB ⊥ AC .
3
3
3
3
A. 12a .
B. 4a .
C. 24a .
D. 8a .
Lời giải
Chọn A

Trang 9


A'

C'

B'

A
C

B

S ABC =

1
1
AB. AC = 3a.4a = 6a 2
2
2
.

Ta có:
V
= AA′.S ABC = 12a 3
Vậy ABC . A′B′C ′
.
Câu 26.

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình
thoi, biết AA′ = 4a, AC = 2a, BD = a . Thể tích V của khối lăng trụ là
A. V = 8a .
3

8
V = a3
3 .
C.

B. V = 2a .
3

3
D. V = 4a .

Lời giải
Chọn D

1
1
V = S ABCD . AA′ = . AC.BD. AA′ = .2a.a.4a = 4a 3
2
2
Thể tích V của khối lăng trụ là:
.
Câu 27.

(THPT Phan Bội Châu - Nghệ An 2019) Cho hình hộp đứng có một mặt là hình vng cạnh a
2
và một mặt có diện tích là 3a . Thể tích khối hộp là
3
A. a .

3
B. 3a .

3

3
D. 4a .

C. 2a .
Lời giải

Chọn B
B'

A'

C'

D'

B

A

C

D

Trang 10

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
2
Giả sử mặt ABB' A' là hình vng cạnh bằng a , mặt ABCD có diện tích bằng 3a .
2
Do đó chiều cao h = AA' = a , diện tích đáy là B = S ABCD = 3a .

2
3
Suy ra thể tích của khối hộp đó là V = 3a a = 3a .

Câu 28.

(Chuyên

Bắc

Giang

2019)

Cho

khối

hộp

chữ

AB = a ; BC = 2a ; AC ′ = a 21 . Tính thể tích V của khối hộp đó?

8 3
a
3
3
A. 4a .
B. 16a .
C. 3 .

nhật

ABCD . A′B′C ′D′ ,

biết

3
D. 8a .

Lời giải
Chọn D

2
2
Xét tam giác vuông ABC , ta có: AC = AB + BC = a 5 .
2
2
Xét tam giác vng ACC ′ , ta có: CC ′ = AC ′ − AC = 4a .
3
Vậy thể tích của khối hộp hộp chữ nhật ABCD . A′B′C ′D′ là: V = a .2a .4a = 8a .

Câu 29.

(THPT Thăng Long 2019) Hình lập phương có độ dài đường chéo bằng 6 thì có thể tích là
A. 2 2 .

C. 24 3 .
Lời giải

B. 54 2 .

D. 8 .

Chọn C
Gọi cạnh của hình lập phương là

a ( a > 0)

.

Þ đường chéo của hình lập phương là a 3 .
Theo bài ra ta có: a 3 = 6 Þ a = 2 3 .
Vậy thể tích của khối lập phương là:

(

)

3

V = 2 3 = 24 3

.

Câu 30. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có AA′ = a, AB = 3a, AC = 5a . Thể tích của khối hộp đã
cho là
3
A. 5a .

3
B. 4a .

3

C. 12a .
Lời giải

3

D. 15a .

Chọn C

Trang 11


( 5a )

BC = AC 2 − AB 2 =
Xét ∆ABC vng tại B , ta có:

2

− ( 3a ) = 4 a
2

.

S ABCD = AB . BC = 3a .4a = 12a 2
VABCD. A′B′C ′D′ = S ABCD . AA′ = 12a 2 . a = 12a 3

Câu 31.

.

(HKI-NK HCM-2019) Cho hình hộp đứng có cạnh bên độ dài 3a , đáy là hình thoi cạnh a và có
một góc 60° . Khi đó thể tích khối hộp là
3a3 3
A. 4 .

a3 3
B. 3 .

a3 3
C. 2 .
Lời giải

3a3 3
D. 2 .

Chọn D
Ta có chiều cao h = 3a .

Hình thoi cạnh a và có một góc 60° có diện tích

Thể tích khối hộp là
Câu 32.

V = S .h =

S = 2.

a2 3 a2 3
=
4
2

3a 3 3
2 .

(Chuyên Lam Sơn 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có BB′ = a , đáy ABC là tam
giác vng cân tại B, AC = a 2 . Tính thể tích lăng trụ

a3
A. 3 .

a3
B. 6 .

3

C. a .

Lời giải

a3
D. 2 .

Chọn D
Trong

(

∆ABC : AC 2 = AB 2 + BC 2 ⇔ 2 AB 2 = a 2

)

2

⇔ AB = BC = a.
Trang 12


TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG

Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là:
Câu 33.

VABC . A′B′C ′ = S∆ABC .BB′ =

1
a3
AB.BC.BB′ = .

2
2

(THPT Trần Phú 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A¢B ¢C ¢D ¢, có ABCD là hình vng
cạnh 2a , cạnh AC ¢= 2a 3 .Thể tích khối lăng trụ ABC. A¢B ¢C ¢ bằng
3
3
3
3
A. 4a .
B. 3a .
C. 2a .
D. a .
Lời giải
Chọn A

2
2
2
2
2
2
Ta có: AC ¢ = AB + AD + AA¢ Þ AA¢ = 4a ị AAÂ= 2a .

Th tớch khi lng tr ABC. A¢B ¢C ¢là
1
1
VABC . A¢B¢C ¢ = . AB. AD. AA¢= .2a.2a.2a = 4a 3
2
2

.

Câu 34. Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = a và mặt
bên AA ' B ' B là hình vng. Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng

2 3
a
A. 8
.
Chọn

2 3
a
B. 4
.

1 3
a.
C. 4
Lời giải

1 3
a
D. 12 .

A.

1
a2
BC 2 a 2

2
⇒ S ABC = AB =
.
A ⇒ AB =
=
2
2
2
4
Tam giác ABC vuông cân tại
Mặt bên AA ' B ' B là hình vng

⇒ AA ' = AB =

a 2
.
2
Trang 13


Vậy
Câu 35.

VABC . A ' B ' C " = AA '.S ABC

a 2 a2 a3 2
=
. =
.
2 4

8

(Thăng Long-Hà Nội 2019) Cho khối đa diện (kích thước như hình vẽ bên) được tạo bởi ba hình
chữ nhật và hai tam giác bằng nhau.

Tính thể tích khối đa diện đã cho.
3
A. 48cm .

3

B. 192cm .

3

C. 32cm .
Lời giải

3
D. 96cm .

Chọn D
Từ giả thiết, suy ra khối đa diện là một khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác và các mặt bên là
hình chữ nhật.
1
V = .6.4.8 = 96 ( cm3 )
2
Thể tích khối đa diện là
.
Câu 36.

(Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể
tích khối lăng trụ đó bằng

a3 6
.
A. 4

a3 2
.
B. 4

a3 3
.
C. 4
Lời giải

a3 3
.
D. 12

Chọn C
Diện tích đáy
Câu 37.

S=

a2 3
a2 3
a3 3

V=
a=
4 , chiều cao h = a . Khi đó
4
4 .

(SP Đồng Nai - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có AB = 2a, AA′ = a 3 . Tính
thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ .
3
A. 3a .

a3
B. 4 .

3a 3
C. 4 .
Lời giải

3
D. a .

Chọn A

Trang 14


TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG

Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ :

V = AA′.S ABC = a

( 2a )
3.

2

4

3

= 3a 3

.

Câu 38. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có AB = 2a, AA ' = a 3 . Tính thể tích khối lăng trụ
ABC. A’B’C’.
3
A. 3a .

3
B. a .

3a 3
C. 4 .
Lời giải

a3
D. 4 .

Chọn A

AA ' ⊥ ( ABC )
Lăng trụ ABC. A’B’C’ là lăng trụ đều nên ∆ABC là tam giác đều và
.
AA ' ⊥ ( ABC ) ⇒

chiều cao của lăng trụ là: h = AA ' = a 3 .
• ∆ABC là tam giác đều có AB = 2a ⇒ ∆ABC diện tích là:
•

S∆ABC

( AB )
=

2

4

3

( 2a )
=

2

4

3

= a2 3

.

2
3
⇒ Thể tích khối lăng trụ là: VS . ABC = h.S ∆ABC = a 3.a 3 = 3a .

Câu 39.

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho khối lăng trụ đứng ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình thoi cạnh a
, BD = a 3 và AA′ = 4a (minh họa như hình bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Trang 15


3
A. 2 3a .

3
B. 4 3a .

2 3a 3
3 .
C.
Lời giải

4 3a 3
3 .
D.

Chọn A

Gọi I = AC ∩ BD . Ta có:

AC ⊥ BD, BI =

BD a 3
=
2
2 . Xét tam giác vuông BAI vuông tại I :

2

a 3
3a 2 a 2
a
2
AI = BA − BI = a − 
=
a
−
=
⇒ AI = ⇒ AC = a.
÷
÷
4
4
2
 2 

2

2

2

2

1
1a 3
a2 3
S ABCD = 2S∆ABC = 2. BI . AC = 2.
.a =
2
2 2
2 .
Diện tích hình bình hành ABCD :

Vậy:

Chun đề 11

VABCD. A′B′C ′D′ = S ABCD . AA′ =

a2 3
.4a = 2 3a 3 .
2

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
Trang 16


TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG

Dạng 1. Thể tích khối lăng trụ đứng
Câu 1.

Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC = a 2,
0
A ' B tạo với đáy một góc bằng 60 . Thể tích của khối lăng trụ bằng
A.

3a 3
2 .

B.

3a 3
4 .

3a 3
C. 2 .
Lời giải

a3
D. 2 .

Chọn A

A

C

a

2

B

C'
A'

B'

1
1
BC = a 2 Þ AB = AC = a Þ SD ABC = a.a = a 2
ABC là tam giác vuông cân tại A ,
2
2 .
0
· ' B ' = 600
A ' B tạo với đáy một góc bằng 60 Þ BA
.
BB
'
· 'B'=
D v BA ' B ' : tan BA
= 3 Þ BB ' = 3 A ' B ' = a 3.

A' B '

1
3a 3
VABC . A ' B 'C ' = BB '.SDABC = a 3. a 2 =
.
2
2
Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là:

Câu 2.

(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy là một

( ABC ) bằng 30° . Tính
tam giác vng tại A . Cho AC = AB = 2a , góc giữa AC ′ và mặt phẳng
thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ .
2a 3 3
3 .
A.

a3 3
B. 3 .

5a 3 3
C. 3 .
Lời giải

4a 3 3
3 .

D.

Chọn D

Diện tích tam giác ABC :

S ABC =

1
AB. AC = 2a 2
2
.

( ABC ) là AC .
Hình chiếu vng góc của AC ′ lên
Trang 17


· ′AC
⇒ Góc giữa AC ′ và mặt phẳng ( ABC ) là góc tạo bởi giữa đường thẳng AC ′ và AC hay C
·
Theo bài ra có C ′AC = 30° .
Xét tam giác C ′CA vuông tại C có

CC ′ = AC.tan 30° =

Thể tích của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là
Câu 3.

2a 3

3 .

VABC . A′B′C ′ = CC ′.S ABC =

2a 3
4a 3 3
.2a 2 =
3
3 .

Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a , biết A ' B tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 600 . Thể tích khối lăng trụ đã cho
bằng

a3 3
B. 6 .

3
A. 2a .

a3 3
C. 2 .
Lời giải

a3
D. 2 .

Chọn C

( ABC ) là ·A ' BA = 600 ⇒ A ' A = AB.tan 600 = a 3 .

Góc giữa đường thẳng A ' B và mặt phẳng
Có
Câu 4.

S ABC

1
a2
a3 3
= BA.BC = ⇒ VABC . A ' B ' C ' = S ABC . A ' A =
2
2
2 .

(SGD Nam Định) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,
·ACB = 30°
( ACC ' A ') bằng α thỏa mãn
, biết góc giữa B ' C và mặt phẳng

sin α =

1
2 5 . Cho

khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' B và CC ' bằng a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ
ABC. A ' B ' C ' .
3
A. V = a 6 .

B.

V=

3a 3 6
2 .

3
C. V = a 3 .
Lời giải

3
D. V = 2a 3 .

Chọn D

Trang 18


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG

CC ′//AA′ ⇒ CC ′// ( AA′B′B )
* Ta có:
A ' B ⊂ ( AA ' B ' B ) ,
Mà
nên

d ( CC '; A ' B ) = d ( CC '; ( AA ' B ' B ) ) = C ' A ' = a 3
AC = A ' C ' = a 3 ; AB = A ' B ' = a ;

* Ta có:

Diện tích đáy là

B = dt ( ABC ) =

a2 3
2

( ACC ' A ')
* Dễ thấy A ' B ' 
( ACC ' A ') là B· ' CA ' = α
Góc giữa B ' C và mặt phẳng
A' B '
1
sin α =
=
⇔ B ' C = 2a 5
B 'C 2 5
CC ' = B ' C 2 − B ' C '2 = 20a 2 − 4a 2 = 4a

* Thể tích lăng trụ là V = B.h với h = CC '
Câu 5.

V=

a2 3
.4a = 2a 3 3.
2

(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB = a , góc

( ABC ) bằng 45°. Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng
giữa đường thẳng A ' C và mặt phẳng
a3 3
A. 4 .

a3 3
B. 2 .

a3 3
C. 12 .
Lời giải

a3 3
D. 6 .

Chọn A

Trang 19


·
· 'CA = 45°
A 'C ,( ABC ) ) = A
(
Có:
.

Xét tam giác

A 'AC

vng tại

A,

ta có:

Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là:
Câu 6.

· 'CA =
tan A

AA '
Þ AA ' = a.
AC

V = AA '.S∆ABC = a.

a 2 3 a3 3
=
.
4
4

(Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có AB = 4a , góc

( ABC ) bằng 45o . Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng
giữa đường thẳng A′C và mặt phẳng
a3 3

A. 4 .

a3 3
B. 2 .

C. 16a
Lời giải

3

3.

a3 3
D. 6 .

Chọn C
A'

C'

B'

C

45 0

4a

4a

A

4a
B

ABC. A′B′C ′ là lăng trụ tam giác đều ⇒ ABC. A′B′C′ là lăng trụ đứng và đáy là tam giác đều.
Ta có:

)

(

A′A ⊥ ( ABC ) ⇒ ·
A′C , ( ABC ) = ·A′CA = 45o

S ∆ABC

( AB )
=

2

4

3

( 4a )
=

2

4

3

⇒ ∆A′AC vuông cân tại A ⇒ A′A = AC = 4a .

= 4a 2 3 ⇒ V
2
′
3 = 16a 3 3
ABC . A ' B ' C ' = AA .S∆ABC = 4 a.4 a
.

Trang 20


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG

Câu 7.

(Mã 104 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác cân với
·
AB = AC = a , BAC
= 120° . Mặt phẳng ( AB′C ′) tạo với đáy một góc 60° . Tính thể tích V của
khối lăng trụ đã cho.
3a 3
V=
8
A.

B.

V=

9a 3
8

V=

C.
Lời giải

a3
8

D.

V=

3a 3
4

Chọn A

( AB′C ′) và đáy là góc ·AHA′ = 60° .
Gọi H là trung điểm của B′C ′ , khi đó góc giữa mp
Ta có

S∆ABC

1
a2 3
= AC . AB.sin120° =
2
4 .

B′C ′ = BC = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos120° = a 2 + a 2 − 2.a.a.

⇒ AA′ = A′H .tan 60° =

Vậy
Câu 8.

V = S ∆ACB . AA′ =

−1
2S
a
= a 3 ⇒ A′H = ∆ABC =
2
B′C ′
2

a 3
2 .

3a3
8 .

( A′BC )
(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) cho lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ . Biết rằng góc giữa
và
.

( ABC )

A. 8 3 .

là 30° , tam giác A′BC có diện tích bằng 8 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′
B. 8 .

C. 3 3 .
Lời giải

D. 8 2 .

Chọn A

Trang 21


Đặt

AB = x, ( x > 0 )

, gọi M là trung điểm BC .

( A′BC ) = ( ABC ) = BC


⇒ (·
( A′BC ) , ( ABC ) ) = ·A′MA = 30°
 AM ⊥ BC
 A′M ⊥ BC
Ta có 
.
Xét ∆A′AM , có

S A′BC = 8 ⇔

A′M =

AM
x 3 2
=
.
=x
cos30°
2
3
.

1
A′M .BC = 8 ⇔ x 2 = 16 ⇒ x = 4
2

4. 3 1
.
= 2 S ABC = 16. 3 = 4 3
2

3
4
;
.
= 2.4 3 = 8 3 .

A′A = AM .tan 30° =
Suy ra

′
Vậy VABC . A′B′C′ = A A.S ABC
Câu 9.

(THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có diện tích
a2 3
( A ' BC ) hợp với mặt phẳng đáy một góc 600 . Tính thể tích khối lăng
đáy bằng 4 . Mặt phẳng
trụ ABC. A ' B ' C ' .
3a 3 3
8
A.

5a 3 3
C. 12

a3 3
B. 8

3a3 2
8

D.

Lời giải
Chọn A

a2 3
⇒
Vì đáy ABC là tam giác đều có diện tích bằng 4
cạnh đáy bằng a .
 BC ⊥ AM
⇒ BC ⊥ A ' M

BC
⊥
AA
'
BC

Gọi M trung điểm
, ta có

Từ đó ta có

(·( A ' BC ) , ( ABC ) ) = (·A ' M , AM ) = A· ' MA = 60

Xét ∆A ' AM ta có

AA ' = AM .tan 600 =

0

.

3a
2
Trang 22


TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG

Thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là
Câu 10.

VABC . A ' B 'C ' = AA '.S ABC =

3a

3

3

8

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có cạnh đáy bằng
a và AB′ vng góc với BC ′ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A.

V=

a3 6

4 .

B.

V=

a3 6
8 .

3
C. V = a 6 .

D.

V=

7a3
8 .

Lời giải
Chọn B

r uuu
r u
r uuur
x
=
BA
,
y

= BC ,
Đặt
uuur uuuu
r
r r
AB′.BC ′ = 0 ⇔ z − x

(

r uuur
z = BB′ , theo giả thiết AB′ ⊥ BC ′ nên
u
r r
ru
r r2 ru
r rr
r2 ru
r
y + z = 0 ⇔ z. y + z − x. y − x.z = 0 ⇔ z = x. y

)(

)

r2 r u
r
r a 2
a2
⇔ z = x y cos60 o =
⇒ z =

2
2

Vậy

VABC . A ' B 'C ' =

1
6a 3
AB. AC .sin 60o.BB′ =
2
8

( A ' BC ) hợp
Câu 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và
với mặt đáy ABC một góc 30° . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
A.

V=

a3 3
8 .

B.

V=

a3 3
12 .

V=

C.
Lời giải

a3 3
24 .

D.

V=

3a 3
8 .

Chọn A

Trang 23


Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên BC . Suy ra AH ⊥ BC .
A ' H ⊥ BC .
Mà

( ABC ) ∩ ( A ' BC ) = BC

·
⇒ Góc giữa ( A ' BC ) và ( ABC ) bằng góc ( AH ; A ' H ) = AHA ' = 30° .

Ta có: ABC là tam giác đều cạnh bằng a nên

Thể tích khối lăng trụ ABC . A ' B ' C ' là

AH =

a 3
a
A ' A = AH .tan 30° =
2 ,
2.

V = A ' A. S ∆ABC =

a a2 3 a3 3
×
=
2 4
8 .

Câu 12. Cho lăng trụ đứng ABC . A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = a , AC = a 3 ,
mặt phẳng

( A′BC )

a3 3
A. 12 .

tạo với đáy một góc 30° . Thể tích của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ bằng

a3 3
B. 3 .

3 3 a3
4 .
C.
Lời giải

D.

3 a3
4 .

Chọn D

* Xác định góc giữa mặt phẳng

( A′BC )

và mặt phẳng đáy:

( ABC ) , dựng

AH ⊥ BC với H nằm trên cạnh BC . Theo định lý ba đường
·A′BC ; ABC = ·A′HA = 30°
) (
))
′
(
A
H
⊥

BC
vng góc, ta có:
. Vậy (

Trong mặt phẳng

Trang 24


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG

1
1
1
1
1
a 3
=
+
= 2 + 2 ⇒ AH =
2
2
2
AB
AC
a 3a
2 .
* Xét tam giác ABC có: AH

Diện tích B của tam giác ABC là:

B=

AB. AC a 2 3
=
2
2 .

* Xét tam giác A′HA vuông tại A , ta có:
ABC. A′B′C ′ bằng

V = B. h =

a2 3 a
. =
2 2

A′A = AH .tan 30° =

a
2 . Thể tích khối lăng trụ

3 a3
4 .

Câu 13. Cho hình lăng trụ đứng, có đáy ABC là tam giác vng cân tại A , AB = a 2 , góc giữa mp

( AB ' C ')  và mp ( ABC ) bằng 600. Thể tích khối lăng trụ bằng
3
A. 3a .

3
B. 3 3a .

3

C. a .
Lời giải

D.

3a 3 .

Chọn D

Gọi I là trung điểm của cạnh B ' C ' .
( AB ' C ')   và mp ( ABC ) bằng góc giữa mp ( AB ' C ')   và mp ( A ' B ' C ')
Ta có góc giữa mp
B ' C ' = ( AB ' C ')  Ç( A ' B ' C ')
Ta có
Vì ABC là tam giác vuông cân tại A nên hai mặt bên ABB ' A ' và ACC ' A ' là hai hình chữ nhật
bằng nhau, do đó AC ' = AB ' Þ D AB ' C ' là tam giác cân tại A Þ AI ^ B ' C '

( AB ' C ')   và
Vì D A ' B ' C ' là tam giác vuông cân tại A ' nên A ' I ^ B ' C ' . Như vậy góc giữa mp
mp

( ABC ) bằng ·AIA ' = 600

1

A ' I = BC = a Þ AA ' = A ' I .tan 600 = a 3
2
Ta có
2
1
Þ VABC . A ' B 'C ' = AA '.S ABC = a 3. a 2 = a 3 3
2

(

)

Trang 25