Một số đề ôn tập môn kỹ sư tài năng đại học bách khoa hà nội

Một số ñề luyện tập
ðề số 1
Câu I.

2)

1
ln (1 + x 2 ) − 2011 .
2
1
Chứng minh rằng f ′( x) ≤ và phương trình f ( x) = x có nghiệm thực duy nhất.
2
Cho dãy số thực {un } ñược xác ñịnh như sau:

Cho hàm số f ( x) =

1
ln (1 + un 2 ) − 2011 , với n ≥ 1 .
2
hội tụ.

.c
om

1)

u1 = a ∈ ℝ , un +1 =
Chứng minh rằng dãy {un }

ng

Câu II.
Cho các số thực dương a, b, c . Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực x > 0 :

co

1
1
1
2
+
+
= .
a+ x b+ x c+ x x

an

Câu III.
1) Cho hàm số f : [ 0;1] → [ 0;1] thỏa mãn:

th

f ( x) − f ( y ) < sin x − sin y , ∀x, y ∈ [ 0;1] , x ≠ y .

Giả sử hàm f ( x) khả vi trên ñoạn [ 0;1] và f ′(0) f ′(1) < 0 .

du
on

2)

g

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất x0 ∈ [ 0;1] ñể f ( x0 ) = x0 .

Chứng minh rằng tồn tại c ∈ ( 0;1) sao cho f ′ ( c ) = 0 .
Câu IV.

Chứng minh rằng

cu

2)

u

2π

1)

∫

sin x 2dx > 0 .

0

Hàm f ( x) khả tích trên đoạn [ 0;1] và

[ a, b] ⊂ [ 0;1]

1

∫ f ( x)dx > 0 . Chứng minh rằng tồn tại đoạn
0

mà trên đó f ( x) > 0 .

Câu V.

Cho 2 nửa ñưởng thẳng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là đoạn vng góc chung.
Góc giữa Ax, By bằng 30o. Hai điểm C, D lần lượt chạy trên Ax và By sao cho tổng
AC + BD = d (d > 0) khơng đổi. Xác định vị trí của các điểm C, D sao cho thể tích tứ
diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.
***

1

CuuDuongThanCong.com

/>

ðề số 2
Câu I.
Cho dãy số {un } ñược xác ñịnh bởi u1 = 1 , un+1 = 2011un2 + un .
Tìm giới hạn:

u u
u 
lim  1 + 2 + … + n  .
n →∞ u
un +1 

 2 u3

.c
om

Câu II.
1) Giả sử hàm f ( x) xác ñịnh và liên tục trên ℝ và f ( f ( x) ) = x , ∀x ∈ ℝ .

Chứng minh rằng tồn tại x0 ∈ ℝ sao cho f ( x0 ) = x0 .

ng

Tìm tất cả các hàm liên tục thỏa mãn f ( x ) = f ( sin x ) , ∀x ∈ ℝ .

Câu III.
2012

2011

1)

So sánh hai số 20122011

2)

Giả sử hàm f : ( a, b ) → ℝ là hàm khả vi liên tục, và với mọi x, y ∈ ( a, b ) , tồn tại

.

th

an

và 20112012

co

2)

f ( y ) − f ( x)
= f ′( z ) . Chứng minh rằng hoặc f lồi nghiêm ngặt
y−x
hoặc f lõm nghiêm ngặt trong ( a, b ) .

Câu IV.

du
on

g

duy nhất z mà

u

Trong phịng có 6 người, cứ 3 người thì có ít nhất 2 người quen nhau. Chứng minh rằng

cu

có 3 người đơi một quen nhau.

Câu V.
Cho số nguyên dương n . Chứng minh bất ñẳng thức:
1  
1 
 1 
1 +  1 + 2 … 1 + n  < 3 .
 2  2   2 
***

2

CuuDuongThanCong.com

/>

ðề số 3
Câu I.
Cho phương trình x + 1 − m − x = 1
(1).
1) Giải phương trình (1) khi m = 4 .
2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

.c
om

Câu II.
1) Cho hàm f khả vi liên tục hai lần trên ñoạn [ a, b ] , ∃ c ∈ ( a, b ) , f (a ) = f (b) = f (c) .

Chứng minh rằng tồn tại x0 ∈ ( a, b ) sao cho f ( x0 ) + f ′′ ( x0 ) = 2 f ′ ( x0 ) .

2) Tìm tất cả các hàm f ( x) khả vi hai lần trên ℝ sao cho f ′ ( x ) f ′′ ( x ) = 0 , ∀x ∈ ℝ .

x≠0
x=0

co

1
 2
 x sin
Cho hàm số ϕ ( x ) = 
x
0

ng

Câu III.

an

1) Chứng minh rằng hàm ϕ ( x) khả vi tại ñiểm x = 0 .

g

th

2) Giả sử f ( x) khả vi tại ñiểm x = 0 . Tính đạo hàm của f (ϕ ( x ) ) tại ñiểm x = 0 .

du

on

Câu IV.


1 
Giả sử hàm f : ( −a, a ) \ {0} → ( 0, +∞ ) thỏa mãn lim  f ( x) +
= 2.
x→0
f ( x) 

Chứng minh rằng lim f ( x) = 1 .

1)

x →0

u

Chứng minh rằng với mỗi t ≥ 0 , phương trình x 3 + tx − 8 = 0 ln có nghiệm

cu

2)

7

dương duy nhất, ký hiệu là x (t ) . Tính tích phân I = ∫ ( x(t ) ) dt .
2

0

Câu V.
Trong phịng có 9 người, bất kì 3 người nào cũng có 2 người quen nhau. Chứng minh
rằng có 4 người đơi một quen nhau.
***

3

CuuDuongThanCong.com

/>

ðề số 4
Câu I.
π
2

1) Tính I = ∫
0

dx
1 + ( tan x )

2

.

2) Tìm tất cả các hàm liên tục f : ℝ → ℝ thỏa mãn:

.c
om

f ( x) f ( x + 1) + f ( x + 1) + 1 = 0 .
Câu II.
Giả sử x1 , x2 ,… , xn là các nghiệm phức của phương trình x n + x n −1 + … + x + 1 = 0 .
n

1

∑ 1− x
k =1

.

k

ng

Tính

co

Câu III.
1) Tìm tất cả các hàm số dương f ( x) khả vi liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn ñiều kiện:
2

Câu IV.

du

on

g

th

an

 f ′( x) 
f (1) = ef (0) và ∫ 
 dx ≤ 1 .
f ( x ) 
0
2) Tìm tất cả các hàm khả vi f : ℝ → ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ′( x) = f ( f ( x) ) , ∀x ∈ ℝ .
1

Trên mặt phẳng Oxy cho 3 điểm khơng thẳng hàng A, B, C. Biết OA=1, OB=2, OC=3.

cu

u

Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC khơng lớn hơn 5.
Câu V.

Cho các số thực phân biệt k1 , k2 ,… , kn . Chứng minh rằng:
a1 sin ( k1 x ) + a2 sin ( k2 x ) + … + an sin ( kn x ) = 0 , ∀x ∈ ℝ khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an .

***

4

CuuDuongThanCong.com

/>

ðề số 5
Câu I.
 π4

n


1) Tính lim  n ∫ ( tan x ) dx 
n →∞
 0




.c
om

2) Tìm hàm f : [ 0;1] → [ 0;1] thỏa mãn f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ [ 0;1] .
Câu II.
1) Cho hàm f ( x) khả vi trên ñoạn [ a, b ] và thỏa mãn ñiều kiện f (a ) = f (b) = 0 ,

f ( x) ≠ 0 , ∀x ∈ ( a, b ) . Chứng minh rằng tồn tại dãy { xn } , xn ∈ ( a, b ) sao cho:

(

)

e − 1 f ( xn )
un

1+ 1+ u

an

2) Cho dãy {un } : u0 = 3 , un+1 =

n

th

Câu III.

25

g

1) Số nào lớn hơn trong hai số sau:

= 2011 .

ng

n →∞

f ′ ( xn )

co

lim



2
n

. Tìm lim ( 2n un ) .

n 

n →∞

∏ 1 − 365  và
n =1

1
.
2

cu

Câu IV.

f ′′ ( x ) = e x f ( x ) , ∀x ∈ ℝ .

u

du
on

2) Tìm tất cả các hàm f ( x) khả vi cấp hai trên [ a, b ] thỏa mãn f (a ) = f (b) = 0 và:

Trong phịng có 100 người, mỗi người quen với ít nhất 67 người khác. Chứng minh rằng,
trong phịng phải có 4 người từng đơi một quen nhau.
Câu V.
Giải hệ phương trình:

 x1 + 2 x2 + 3x3 + … + nxn = a1
 x + 2 x + 3 x + … + nx = a
 2
3
4
1
2

…
 xn + 2 x1 + 3 x2 + … + nxn −1 = an
***

5

CuuDuongThanCong.com

/>

ðề số 6
Câu I.

u0 = u1 = 1
Cho dãy {un } ñược xác ñịnh như sau: 
un + 2 = un +1 + un
1. Chứng minh rằng {un } là dãy tăng.

(n ∈ ℕ)

2. Chứng minh rằng {un } có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ . Tìm lim un .
n →∞

du
on

g

th

an

co

ng

.c
om

Câu II.

1) Có tồn tại hay khơng một ña thức P ( x) thỏa mãn P ( x) > P′′( x ) và P′( x) > P′′( x ) ,
với mọi x ∈ ℝ .
2) Biết rằng đa thức Q( x) có tính chất Q( x) > Q′( x) , với mọi x ∈ ℝ . Chứng minh
rằng Q ( x ) > 0 , với mọi x ∈ ℝ .
Câu III.
f ( x) + f ( y )
Cho phương trình hàm: f ( x + y ) =
(1)
1 − f ( x) f ( y )
1) Chứng minh rằng hàm f ( x) = tan(cx ) , c là hằng số, thỏa mãn phương trình (1),
 1 1
∀x, y ∈  − ,  .
 2 2
 1 1
2) Tìm tất cả các f ( x) hàm khả vi trên  − ,  thỏa mãn phương trình (1).
 2 2
Câu IV.
1) Với mỗi n ∈ ℕ , đặt S n là diện tích tam giác cong tạo bởi các ñường:
x = 0 , y = 1, y = x n .

Tính lim Sn .
n →∞

cu

u

2) Cho các số thực p, q > 1 thỏa mãn

1 1

+ = 1 . Chứng minh rằng:
p q

ab ≤

a p bq
+ .
p q

Câu V.
Giải hệ phương trình:

a

 x1 + x2 + … + xn −1 + xn = 2004

a + x1

x2 + … + xn −1 + xn =

20052 − 1


………… ……

a + x1 + … + xn −1

xn =

2005n − 1

***

6

CuuDuongThanCong.com

/>

ðề số 7
Câu I.
1) Cho hàm số f ( x) xác ñịnh và liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn:

xf ( y ) + yf ( x) ≤ 1 , ∀x, y ∈ [ 0;1]

π

1

Chứng minh rằng:

∫ f ( x)dx ≤ 4 .
0

2) Cho các số thực dương p, q thỏa mãn p + q < 1 và dãy số {un }n∈ℕ khơng âm thỏa

.c
om

mãn điều kiện un + 2 ≤ pun +1 + qun , với mọi n ∈ ℕ . Chứng minh rằng dãy {un }n∈ℕ
hội tụ và tìm giới hạn của dãy đó.

Câu II.
Cho f ( x) = a1 sin ( b1 x ) + a2 sin ( b2 x ) + … + an sin ( bn x )

ng

1) Chứng minh phương trình f ( x) = 0 có nghiệm trong khoảng ( 0; 2π ) .

co

2) Giả sử f ( x) ≤ sin x , ∀x ∈ ( −1;1) . Chứng minh rằng: a1b1 + a2b2 + … + an bn ≤ 1 .

an

Câu III.

1) Tìm x > 0 sao cho lim x + x + x + … + x = x
n →∞

( n dấu căn).

th

n roots

g

2) Tìm tất cả các hàm liên tục f : ℝ → ℝ thỏa mãn f ( x ) = f ( 2 x + 2 ) , ∀x ∈ ℝ .

du

on

Câu IV.
Trong mặt phẳng cho 2011 ñiểm sao cho cứ 3 điểm bất kì có ít nhất 2 điểm cách

nhau một khoảng khơng vượt q 1. Chứng minh rằng : tồn tại một hình trịn bán

cu

u

kính bằng 1 chứa ít nhất 1006 điểm.
Câu V.

Chứng minh rằng bất ñẳng thức sau ñúng với mọi n ∈ ℕ* :
2
4n + 3
n n < 1 + 2 +… + n <
n.
3
6
***

7

CuuDuongThanCong.com

/>

ðề số 8

Câu I.
1 + 22 + 33 + … + n n
.
n →∞
nn
1
dx
2) Tính tích phân: I = ∫ x
.
2
e
+
1
x
+
1
−1

1) Tìm giới hạn: lim

(

)(

)

Câu II.
a
1
503

+
+
= 0.
n + 2 n +1 n

.c
om

1) Cho số nguyên dương n và số thực a thỏa mãn

1
.
2012
2) Cho hàm số f ( x) xác ñịnh và khả vi cấp hai trên ℝ , thỏa mãn ñiều kiện
f ( x ) + f ′′( x ) ≥ 0 , với mọi x ∈ ℝ .
Chứng minh rằng:
f ( x) + f ( x + π ) ≥ 0 , với mọi x ∈ ℝ .

co

ng

Chứng minh rằng: a ≤

Câu III.

∀x ∈ ℝ
∀x, y ∈ ℝ

th

an

 f ( x) ≥ e2011x
Tìm tất cả các hàm f ( x) thỏa mãn: 
 f ( x + y ) ≥ f ( x) f ( y )

g

Câu IV.

du
on

Cho hàm liên tục f : [ 0;1] → [ 0;1] . ðặt

1

∫ f ( x)dx = a . Chứng minh rằng:
0

x

1

∫ F ( x)dx ≤ a −

cu

2)

u

1) F ( x ) ≤ x và F ( x ) ≤ a , với F ( x) = ∫ f ( x)dx .

0

0

2

a
.
2

1

a2
≤ xf ( x)dx .
2 ∫0

3)

1

∫ xf ( x)dx ≤ a −

4)

0

a2
. ðẳng thức xảy ra khi nào?
2

Câu V.
Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng sao cho mỗi đường thẳng chia ABCD
thành hai hình thang có tỉ số diện tích bằng 1/3 . Chứng minh rằng, trong 17 ñường thẳng

ñó có 5 ñường thẳng ñồng quy.
***

8

CuuDuongThanCong.com

/>

ðề số 9
Câu I.
n

1) Tính: lim ∫
n→∞

e− x
−

x
n

dx .

1+ e
2) ℚ là tập hợp số hữu tỉ. Tìm tất cả các hàm liên tục f : [ a, b ] → [ a, b ] , thỏa mãn:
0

f ( x) = 0 , với mọi x ∈ ℚ ∩ [ a, b ] .

Chứng minh rằng ∃c ∈ ( 0;1) sao cho f ′(c) = c .

.c
om

Câu II.
1) Cho hàm f ( x) khả vi trên [ 0;1] , f ′(0) = 1 , f ′(1) = 0 .

du
on

g

th

an

co

ng

2) Hàm ϕ ( x) khả vi cấp hai trên [ 0; +∞ ) . Biết rằng ϕ ( x ) > 0 , ϕ ′( x) > 0 và
ϕ ( x)ϕ ′′( x)
ϕ ′( x)
≤ 2 , ∀x ∈ [ 0; +∞ ) . Chứng minh rằng lim
=0.
2
2
x →+∞
(ϕ ′( x) )
(ϕ ( x ) )
Câu III.
1) Giải hệ phương trình:
 xyz = x + y + z
 yzt = y + z + t


 ztx = z + t + x
txy = t + x + y
1
3
2) Cho hàm liên tục f : [ 0;1] → [1; 2] thỏa mãn ∫ f ( x)dx = .
2
0
1

Chứng minh rằng:

dx

3

∫ f ( x) < 4 .

cu

Câu IV.

u

0

Cho một bàn cờ quốc tế 8 x 8 . Hỏi rằng quân mã có thể ñi nước ñầu tiên từ ô

dưới cùng bên trái và kết thúc ở ô trên cùng bên phải hay không ? (Với điều kiện nó phải
đi qua tất cả các ô trên bàn cờ và mỗi ô chỉ ñi qua ñúng một lần)
Câu V.

Chứng minh rằng mọi ña giác bất kì đều có 2 cạnh mà tỉ số độ dài giữa chúng
1 
nằm trong khoảng  ; 2  .
2 
***

9

CuuDuongThanCong.com

/>

ðề số 10

Câu I.

Cho dãy { xn }n∈ℕ* ñược xác ñịnh bởi công thức truy hồi xn +1 = xn2 − 2 , với x1 = 5 .

1) Tìm giới hạn lim

n →∞

xn +1
.
x1 x2 … xn

1

1
1
2) Tìm giới hạn lim  +
+… +
.
n →∞ x
x1 x2 … xn 
 1 x1 x2

π

.c
om

Câu II.

(n ∈ ℕ ) .

sin nx
sin x
0

1) Tính tích phân I n = ∫

*

2) Cho hàm f ( x) khả vi trên ñoạn [ 0;1] thỏa mãn f (0) = 0 , f (1) = 1 .

ng

Chứng minh rằng với mọi k1 > 0 , k2 > 0 , tồn tại x1 , x2 ∈ [ 0;1] sao cho:

co

k1
k2
+
= k1 + k 2 .
f '( x1 ) f '( x2 )

an

Câu III.
Tìm số α lớn nhất và số β nhỏ nhất ñể:

n +α

 1
≤ e ≤ 1 + 
 n

th

 1
1 + 
 n

.

g

Câu IV.

n+ β

du
on

Một nền nhà hình chữ nhật được lát kín bởi 2 loại gạch có kích thớc 1 x 4 và 2 x 2. Người
ta dỡ gạch lên và không may làm vỡ mất 1 viên 2 x 2. Họ thay viên bị vỡ bởi viên 1 x 4

u

rồi tiến hành lát lại sàn nhà. Hỏi bây giờ có thể lát kín nền nhà được hay khơng?

cu

Câu V.
Cho n số thực a1 , a2 ,… , an thỏa mãn 0 ≤ ak ≤ 1 , với mọi k = 1, 2,… , n .
Chứng minh rằng:
2
(1 + a1 + a2 + … + an ) ≥ 4 a12 + a22 + … + an2 .

(

)

***

10

CuuDuongThanCong.com

/>

ðề số 11
Câu I.
Cho hệ phương trình:

 x2 + y2 + z = a
 2
2
x + y + z = a
x + y2 + z2 = a


.c
om

1) Giải hệ khi a = 1 .
2) Tìm a để hệ đã cho có đúng 1 nghiệm.
Câu II.
1) Giả sử f ( x) khả vi liên tục trên khoảng ( a, b ) . Liệu có thể chắc chắn rằng với
mọi x ∈ ( a, b ) , tồn tại x1 , x2 ∈ ( a, b ) , x1 ≠ x2 sao cho: f ′(c) =

f ( x2 ) − f ( x1 )
x2 − x1

co

ng

hay không?
2) Cho f ( x) là một ña thức bậc n thỏa mãn f ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ . Chứng minh rằng:
f ( x) + f ′( x) + f ′′( x) + … + f ( n ) ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ .

du
on

g

th

an

Câu III.

1) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn các tính chất:
i.
0 < f ( x ) < 1 , ∀x > 0 ;
1
ii.
f ( x + h) (1 − f ( x) ) ≥ , ∀h > 0 .
4
Tính lim f ( x) .
x →+∞

π

1 π 
2) Chứng minh rằng ∫ x ( tan x ) dx >
 
n+2 4 
0
n

n+ 2

(n ∈ ℕ ) .
*

cu

u

4

Câu IV.
Trong quốc hội một nước, mỗi nghị sĩ đều có khơng q 3 kẻ thù.
Chứng minh rằng có thể chia quốc hội thành 2 viện sao cho trong mỗi viện, mỗi nghị sĩ
đều có khơng q 1 kẻ thù.
Câu V.
Chứng minh rằng:

1
1
1
+
+… +
> 1 , ∀n ∈ ℕ .
n +1 n + 2
3n + 1
***

11

CuuDuongThanCong.com

/>

ðề số 12
Câu I.
π

(

2

)

1) Tính tích phân: I = ∫ cos 2 (cos x) + sin 2 (sin x) dx .
0

2) Tìm tất cả các hàm số f : ℝ → ℝ thỏa mãn:

f ( x) = max { xy − f ( y )} , ∀x ∈ ℝ .
y∈ℝ

.c
om

Câu II.
1) Cho f là một hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn ñiều kiện f (0) = f (1) .

ng

1 

Chứng minh rằng tồn tại một số c ∈ [ 0;1] sao cho f (c) = f  c +
.
2011 

2) Cho H là tập hợp các hàm số f ( x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên ñoạn [0,1]
thỏa mãn ñiều kiện f (0) = f (1) = 0 , f ′(0) = 1 .
1

∫ ( f ′′( x) )

2

dx , với f ( x) ∈ H .

an

0

co

Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu III.
Cho dãy số { xn } thỏa mãn 0 < x0 < x1 và:

)

th

(

(

)

1 + xn 1 + xn −1 xn +1 = 1 + xn −1 1 + xn xn +1 , ∀n ∈ ℕ* .

du
on

g

CMR: { xn } hội tụ khi n → +∞ . Tìm lim xn .
n →+∞

cu

u

Câu IV.
Giải hệ phương trình:


log 3 x +

log y +
3


( log3 x − 1)

y
+1
3
2
( log3 y − 1) + 1 = 3x + 1
2

+1 =

Câu V.
Cho một ña giác lồi P có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình trịn
1
bán kính
mà đa giác P nằm trọn trong ñó.
4

***

12

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

Hướng dẫn giải – ðáp số
ðề số 1
Câu I.

x
1
≤ .
2
1+ x
2
g ( x) = f ( x) − x , g ′( x) = f ′( x) − 1 < 0 .

1) f ′( x) =

lim g ( x ) = +∞ , g (0) < 0

x →−∞

.c
om

Suy ra phương trình g ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất.

2) Gọi α là nghiệm duy nhất của phương trình f ( x) = x .

Áp dụng Lagrange, ∃c : un +1 − α = f ( un ) − f (α ) = f ′ ( c ) un − α ≤

1
1
1
un − α ≤ 2 un −1 − α ≤ … ≤ n u1 − α .
2
2
2

ng

Khi đó, un +1 − α ≤

1
un − α .

2

1
u1 − α = 0 , theo nguyên lí kẹp, lim un +1 − α = 0 . Vậy {un } hội tụ, lim un = α .
n →∞ 2 n
n →∞
n →∞

an

co

Mà lim

du
on

g

th

Câu II.
1
1
1
2
x
x
x
a

b
c
+
+
= ⇔
+
+
=2⇔
+
+
=1.
a+ x b+ x c+ x x
a+ x b+ x c+ x
a+ x b+ x c+ x
a
b
c
Xét hàm f ( x) =
+
+
−1
( x ≥ 0) .
a+ x b+ x c+ x
f ′( x) < 0 , f (0) = 2 > 0 , lim f ( x) = −1 < 0 .
x →+∞

cu

u

Suy ra phương trình f ( x) = 0 có nghiệm dương duy nhất.
Phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm dương.
Câu III.
1) Dễ chứng minh sin x − sin y < x − y .

Khi đó, f ( x) − f ( y ) < x − y , suy ra f liên tục trên [ a, b ] .
Giải tiếp như bài toán 22 - Hàm liên tục.

2) Giả sử f ′(0) > 0 (nếu f ′(0) < 0 , thay f ( x) bởi f (− x ) ).
Khi đó, f ′(1) < 0 . Vì f liên tục trên [ 0;1] nên ∃x0 ∈ [ 0;1] : f ( x0 ) = max f ( x) .
[ 0;1]

Vì f ′(0) = lim+
x →0

f ( x) − f (0)
> 0 nên f ( x ) > f (0) với x > 0 đủ nhỏ, do đó x0 ≠ 0 .
x

1

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
f (1) − f ( x)
< 0 nên f (1) < f ( x ) với t = 1 − x > 0 ñủ nhỏ, do đó x0 ≠ 1 .
1− x

Vậy x0 ∈ ( 0;1) là điểm cực đại, khi đó f ′ ( x0 ) = 0 .

Vì f ′(1) = lim−
x →1

Chú ý: vì f ′( x ) có thể khơng liên tục trên [ 0;1] nên không thể sử dụng ngay ñịnh lý
Bolzano-Cauchy ñể kết luận tồn tại c ∈ ( 0;1) sao cho f ′ ( c ) = 0 .

Câu IV.
2π

∫

sin x 2 dx =

0

1
2

2π

π
2π
sin y
1  sin y
sin y 
dy =  ∫
dy + ∫
dy 


2  0 y
y
y
π


∫
0

ðổi biến z = y − π trong tích phân thứ hai:

2π

∫

π

∫
0

π
π
 1π
 1
1  sin y
sin y
sin x dx =  ∫
dy − ∫
dy  = ∫ sin y 

−


2  0 y
y +π
0
 20
 y
2

 1
Rõ ràng sin y 
−
 y


1
y +π

ng

Suy ra

π

sin y
sin z
dy = − ∫
dz ,
y

z +π
0

1
y +π

i −1
i
≤ ξi ≤ ,
n
n

g

th

1

1 n
f ( ξi ) = ∫ f ( x)dx .
∑
n →∞ n
i =1
0

an

2) Vì f ( x) khả tích trên [ 0;1] nên với cách chọn tùy ý các điểm ξi mà

thì lim


 dy .



 > 0 , với mọi y ∈ ( 0; π ) , suy ra ñpcm.


co

2π

.c
om

1) ðổi biến y = x 2 , ta có

điểm ξi ,

du
on

Nếu trên mọi ñoạn [ a, b ] ⊂ [ 0;1] ñều tồn tại x để f ( x) ≤ 0 , thì ta có thể tìm được các
i −1
i
≤ ξi ≤ để f (ξ i ) ≤ 0 , khi đó
n
n

1

∫

f ( x)dx =

0

cu

u

thiết. Vậy tồn tại ñoạn [ a, b ] ⊂ [ 0;1] mà trên đó f ( x) > 0 .

1 n
∑ f (ξi ) ≤ 0 , mâu thuẫn giả
n i =1

Câu V.
Qua A kẻ nửa ñường thẳng Az || By. Kẻ CH vng góc với Az (H ∈ Az).
AB ⊥ AC, AB ⊥ AH ⇒ AB ⊥ CH
CH ⊥ AB, CH ⊥ AH ⇒ CH ⊥ mp(ABH) ⇒ CH ⊥ mp(ABD)
Thể tích tứ diện ABCD: V = 1/3 CH . S(ABD),
Mà CH = AC sin30o = 1/2 AC,
S(ABD) = 1/2 AB.BD
Suy ra V = 1/12 AB.AC.BD ≤ 1/12 a.
Vmax khi AC = BD =

d2
ad 2

=
.
4
48

d
.
2
***

2

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 2
Câu I.
2
n

un
u
=
un +1 unun+1

u

1 1
1 
u1 u2
+ +… n =
 −
.
u2 u3
un +1 2011  u1 un+1 

{un } là dãy tăng, không bị chặn trên,

lim un = +∞ .
n →∞

.c
om

⇒

un +1 − un
1 1
1 
= 2011 =
 −

unun +1
2011  un un+1 

ng

u u
u 
1
1
=
.
Vậy lim  1 + 2 + … + n  =
n →∞ u
un+1  2011u1 2011
 2 u3
Câu II.
1) Giả sử f ( x) ≠ x , ∀x ∈ ℝ .

Do f liên tục trên ℝ nên hoặc f ( x) > x , ∀x ∈ ℝ , hoặc f ( x) < x , ∀x ∈ ℝ .
Nếu f ( x) > x , ∀x ∈ ℝ thì f ( f ( x) ) > f ( x) > x , mâu thuẫn giả thiết.

-

Nếu f ( x) < x , ∀x ∈ ℝ thì f ( f ( x) ) < f ( x) < x , mâu thuẫn giả thiết.

co

-

an

Vậy tồn tại x0 ∈ ℝ sao cho f ( x0 ) = x0 .

2) Xét dãy { xn }n= 0 ñược xác ñịnh bởi xn+1 = sin xn với x0 là số thực tùy ý.

th

∞

g

Khi đó, f ( xn ) = f ( x0 ) , với mọi n ∈ ℕ .

du
on

- Nếu 0 ≤ x1 ≤ 1 , thì { xn } là dãy khơng tăng, bị chặn dưới bởi 0, do đó hội tụ.
ðặt lim xn = L ∈ [ 0;1] , thì L = sin L ⇒ L = 0 . Vậy f ( x0 ) = lim f ( xn ) = f (0) .
n →∞

n →∞

- Nếu 0 > x1 ≥ −1 , thì { xn } là dãy tăng, bị chặn trên bởi 0, và cũng hội tụ về 0,

u

suy ra f ( x0 ) = lim f ( xn ) = f (0) .

cu

n →∞

Vậy f là hàm hằng.
Câu III.
1) Ta sẽ chứng minh: 20122011 > 20112012 .

Lơgarit hóa 2 lần cả 2 vế, bđt cần chứng minh tương ñương với:
2012

2011

ln ( ln 2012 ) + 2012 ln 2011 > ln ( ln 2011) + 2011ln 2012 .
Do y = ln x là hàm tăng trên ( 0; +∞ ) nên ln ( ln 2012 ) > ln ( ln 2011) .
ln x
1 − ln x
, f ′( x) =
< 0 , với mọi x > e ,
x
x2
suy ra f là hàm giảm trên ( e; +∞ ) ,

Xét hàm f ( x) =

3

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
ln 2011 ln 2012
>
⇒ 2012 ln 2011 > 2011ln 2012 .
2011
2012

Từ đó suy ra đpcm.

do ñó

2) Phản chứng. Giả sử ngược lại, khi ñó tồn tại một ñường thẳng cắt ñồ thị của hàm
f ( x) tại 3 ñiểm phân biệt A = (α , f (α ) ) , B = ( β , f ( β ) ) , C = ( γ , f (γ ) ) với
a <α <γ < β < b.

Áp dụng ñịnh lý Lagrange trên các ñoạn [α , γ ] và [γ , β ] ta có mâu thuẫn.
f (γ ) − f (α ) f ( β ) − f (γ )
)
=
γ −α
β −γ

.c
om

(Lưu ý rằng

Câu V.

du
on

g

th

an

co

ng

Câu IV.
Biểu thị 6 người bằng 6 ñiểm trên mặt phẳng và quan hệ giữa họ bằng các ñoạn
thẳng. Nếu 2 người quen nhau đoạn nối màu đỏ, khơng quen ñoạn nối màu xanh. Bất cứ
tam giác nào cũng có cạnh màu ñỏ (*). Ta cần chứng minh tồn tại một tam giác có 3 cạnh
cùng màu đỏ.
Mỗi điểm là ñầu mút của 5 ñoạn, mỗi ñoạn màu xanh hoặc ñỏ, theo nguyên lí
Dirichlet, mỗi ñiểm là mút của ít nhất 3 đoạn cùng màu. Khơng mất tổng qt, giả sử A là
ñầu mút của 3 ñoạn cùng màu AB,AC,AD.
- Nếu cả 3 ñoạn AB,AC,AD cùng màu ñỏ. Theo (*) thì tam giác BCD có cạnh đỏ,
giả sử là BC, khi đó tam giác ABC có 3 cạnh cùng màu ñỏ.
- Nếu cả 3 ñoạn AB,AC,AD cùng màu xanh thì từ (*) suy ra tam giác BCD có 3
cạnh cùng đỏ.
Tóm lại, ln có một tam giác có 3 cạnh cùng màu ñỏ (ñpcm).

cu

u

1 
1 
1 

BðT cần chứng minh tương ñương với: 1 + 2 1 + 3 … 1 + n  < 2 .
 2  2   2 
1

Áp dụng bñt 1 − x <
với x > 0 , ta có :
1+ x
1 
1 
1 
1

1 + 2 1 + 3 … 1 + n  <
 2   2   2   1 − 1   1 − 1 …  1 − 1 


2 
3 
n 
 2  2   2 

(1)

Áp dụng bñt (1 − x )(1 − y ) > 1 − x − y ta có:
1 
1 
1 
1 1
1

1 1
1 − 2 1 − 3 … 1 − n  > 1 − 2 − 3 − … − n = 1 −  − n
2 2
2

 2  2   2 
2 2

 1 1 1
= + n > .
2
 2 2

Kết hợp (1) và (2) ñược ñpcm.
***

4

CuuDuongThanCong.com

/>
(2)


Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 3
Câu I.
1) Khi m = 4 , (1) có nghiệm duy nhất x = 3 .
2) Nếu m < 0 , (1) vô nghiệm.
Nếu m ≥ 0 , (1) có nghiệm duy nhất x =

m − 1 + 2m + 1
.

2

.c
om

Câu II.
1) Xét hàm g ( x ) = e− x f ( x ) .

g ′′( x) = e − x ( f ′′ ( x ) − 2 f ′ ( x ) + f ( x ) ) , áp dụng ñịnh lý Rolle.

2) Xét hàm g ( x) = ( f ′ ( x ) ) . Khi đó, g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) f ′′ ( x ) = 0 .
2

co

ng

ðáp số: f ( x) = ax + b .

an

Câu III.
ϕ ( x) − ϕ (0)
1
1
1) lim
= lim x sin = 0 (vì sin ≤ 1 ).
x→0
x
→

0
x−0
x
x

g

th

1
1


f  x 2 sin  − f (0)
f  x 2 sin  − f (0)
1
x
x
= 
= 
x sin
1
x
x
x 2 sin
x

du
on

x

Suy ra lim

f (ϕ ( x ) ) − f (ϕ ( 0 ) )

ðáp số: 0.

u

2)

f (ϕ ( x ) ) − f (ϕ ( 0 ) )

x→0

x→0

1
= 0.
x

cu

x

= f ′(0) lim xsin

Câu IV.

1) ðặt h( x) = f ( x ) − 1 , g ( x) =

1
−1.
f ( x)

Ta có lim ( h( x) + g ( x) ) = 0 , lim h( x) g ( x) = 0 , suy ra lim ( h( x) 2 + g ( x )2 ) = 0 .
x→0

x→0

x→0

Do đó, lim h( x) = lim g ( x ) = 0 . Vậy lim f ( x) = 1 .
x→0

x →0

2) t = 0 ⇒ x = 2 ,

x→0

t = 7 ⇒ x =1

1
 8 − x3  2
31
2
3
ðổi biến, I = ∫ ( x(t ) ) dt = ∫ x 2 d 

 = ∫ ( 2 x + 8 )dx = .
2
 x  1
0
2
7

5

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
Câu V.

cu

u

du
on

g

th

an

co

ng

.c
om

Biểu thị 9 người bằng 9 ñiểm trên mặt phẳng và quan hệ giữa họ bằng các ñoạn
thẳng. Nếu 2 người quen nhau ñoạn nối màu đỏ, khơng quen đoạn nối màu xanh. Bất cứ
tam giác nào cũng có cạnh màu đỏ (*). Ta cần chứng minh có 1 tứ giác mà các cạnh và
các đường chéo của nó đều màu đỏ.
Xét 2 khả năng:
- Có 1 đỉnh A là đầu mút của ít nhất 4 ñoạn màu xanh, giả sử là AB,AC,AD,AE.
Theo (*), tứ giác BCDE là tứ giác phải tìm.
- Mọi đỉnh ñều là mút của nhiều nhất 3 cạnh màu xanh. Nhưng khơng thể cả 9 đỉnh
9⋅3
đều là mút của đúng 3 cạnh xanh, vì nếu vậy thì số đoạn đếm được là
khơng phải là
2
số ngun, vơ lí. Do đó, phải có 1 đỉnh M là mút của nhiều nhất 2 cạnh xanh, suy ra M là
mút của ít nhất 6 ñoạn ñỏ, gọi ñầu mút còn lại của 6 ñoạn đó là A,B,C,D,E,F.
Mặt khác, ln có 1 tam giác cùng màu có 3 đỉnh là 3 trong 6 điểm A,B,C,D,E,F
(chứng minh tương tự câu IV đề 2), chẳng hạn đó là tam giác ABC.
Khi đó, 4 đỉnh M,A,B,C lập nên tứ giác cần tìm.
Tóm lại, ln có 1 tứ giác mà các cạnh và các đường chéo của nó đều màu ñỏ (ñpcm).

6

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 4
Câu I.

π
2

− x , ta có:

π

π

2

2

I=∫
0

dx
1 + ( tan x )

2

=∫

0

π
2

dx

π

1 +  tan  − x  
2



π

1 2
1
= ∫
2 0  1 + ( tan x )


2

=∫
0

dx
1 + ( cot x )

2

π

2

+

1
1 + ( cot x )

2


π
12
dx = ∫ dx =

20
4


.c
om

1) ðổi biến t =

co

ng

2) Xem lời giải bài toán 10 – Hàm liên tục , áp dụng với a = b = c = 1 .

an

Câu II.
Gọi α ≠ 1 là 1 nghiệm phức của x n +1 = 1 , khi đó α cũng là nghiệm phức của phương
trình x n + x n −1 + … + x + 1 = 0 , và { x1 , x2 ,… , xn } = {α , α 2 ,… , α n } .
n
1
1
1 n  1
1

=∑
=
+
.
∑

k
k
n +1− k 
2 k =1  1 − α 1 − α

k =1 1 − xk
k =1 1 − α

th

n

Vậy, S =

n
.
2

cu

Câu III.

du
on

1
1
2 − α k − α n +1− k
+
=
=1
1 − α k 1 − α n+1− k (1 − α k )(1 − α n+1− k )

( k = 1, n )

(vì α n +1 = 1 ).

u

Mà

g

Do đó, S = ∑

2

2

1
1
1
1
 f ′( x) 
 f ′( x) 
f ′( x)
f ′( x)
1) ∫ 
− 1 dx ≥ 0 ⇒ 2 ≥ ∫ 
dx
+
dx
≥
2
dx
⇒
1
≥
dx


∫
∫
∫
f ( x) 
f ( x) 
f ( x)
f ( x)
0
0
0
0
0
1

1

Mà

∫
0

f ′( x)
f (1)
1
dx = ln f ( x) 0 = ln
= ln e = 1 .
f ( x)
f (0)

ðẳng thức xảy ra ở (1) ⇔

f ′( x)
= 1 , ∀x ∈ [ 0;1] .
f ( x)

Từ đó tìm được hàm f ( x) = e x + c .

7

CuuDuongThanCong.com

/>
(1).


Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
2) f ′( x) = f ( f ( x) ) > 0 , nên f là hàm tăng trên ℝ .

f ( x) > 0 ⇒ f ′( x) = f ( f ( x) ) > f (0) , ∀x ∈ ℝ .
f ( x) − f (0)
= f ′(c) > f (0) .
x
Khi đó, f ( x) < xf (0) + f (0) = ( x + 1) f (0) < 0 vì x < −1 , vơ lí.

Với x < −1 , tồn tại c ∈ ( x ;0 ) sao cho

Vậy khơng tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài.

2 , BH = 5 , CH = 10 .

ng

Khi đó, áp dụng định lý Pythagore tính được: AH =
1
1
5
HS(ABC) = V ( HABC ) ≤ HA×HB×HC= ,
3
6
3
mà HO = 1 . Do đó S(ABC) ≤ 5 .

.c
om

Câu IV.
Dựng điểm H trong không gian sao cho OH ⊥ mp(ABC) và OH = 1.

cu

u

du
on

g

th

an

co

Câu V.
Giải tương tự Bài toán 7 – Hàm khả vi

8

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 5
Câu I.
π

n +1
1
tn
n d (t )
1) I n = n ∫ ( tan x ) dx = n ∫ 2 dt =
.
t +1
n + 1 ∫0 t 2 + 1
0
0

1

4

0
1

∫
0

1

1 n +1
1
t ( 2t )
t n +1
1
t n+ 2
2
=
+
dt
=
+
∫0 t 2 + 1 2 dt
t 2 + 1 t 2 + 1 0 ∫0 ( t 2 + 1) 2
2
( )

(t

t n+2
2

1

⇒ lim ∫

2

d ( t n +1 )
t +1
2

0

1

dt ≤ ∫

=

1

1
1
. Vậy lim I n = .
→∞
n
2

2

co

n →∞

t n+2
1 n
1
t n+ 2
dt
=
t
dt
=
⇒
lim
dt = 0
2
n →∞ ∫
2
(2t )2
4 ∫0
4 ( n + 1)
0
0 ( t + 1)

1

+ 1)

.c
om

∫

d ( t n+1 )

ng

1

n

an

2) Xem lời giải bài tốn 4, đề thi KSTN 1999.

1
n

e −1
= 1 ⇒ lim
n →∞
1
n
n

(

1
n

)

e −1

= 1 , ta chứng minh tồn tại dãy { xn } , xn ∈ ( a, b ) sao cho

du
on

n →∞

g

1) lim

th

Câu II.

f ′ ( xn ) 2011
2011
=
⇔ f ′ ( xn ) −
f ( xn ) = 0
f ( xn )
n
n

cu

u

(Bài liên quan ñến hàm dạng f ′ ( x ) + P ( x) f ( x) = 0 )
Xét hàm g n ( x) = e

−

2011
x
n

f ( x) , khi đó g n ( a ) = g n ( b ) = 0 . Áp dụng ñịnh lý Rolle với mỗi

hàm g n ( x ) , thu ñược dãy { xn } thỏa mãn đề bài.
2) Sử dụng biến đổi

cơng thức un = tan

tan x
1 + 1 + ( tan x )

π
3⋅ 2

n

2

=

sin x
x
= tan và phép quy nạp ñể chứng minh
1 + cos x
2

. Khi đó, lim ( 2n un ) =
n →∞

π
3

.

9

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
Câu III.
1) Áp dụng bñt Cô-si (AM-GM):
25

 25 

n 
25 ⋅ 26 

1−
25
∑


25


n

  n =1  365  
2  = 1 − 13 
1
−
≤
=
1
−

 
∏



365  
25


n =1 
 25 ⋅ 365   365 






Theo nhị thức Newton:

13 
13
132 25 ⋅ 24 1

⋅ 25 +
⋅
< .
1 −
 ≤ 1−
365
3652
2
2
 365 
25
n  1

Suy ra ∏ 1 −
< .
365  2

n =1 

.c
om

25

2) Do tính liên tục nên ∃x1 , x2 ∈ [ a, b ] sao cho f ( x1 ) = max f ( x) , f ( x2 ) = min f ( x) .

Có f (a ) = f (b) = 0 , nên f ( x1 ) ≥ 0 và f ( x2 ) ≤ 0 .

[ a ,b ]

ng

[ a ,b ]

Nếu f ( x1 ) > 0 thì x1 ∈ ( a, b ) , khi ñó x1 là ñiểm cực ñại ⇒ f ′′( x1 ) < 0 < e x1 f ( x1 ) , vơ lí.

an

Do đó, f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 . Vậy f ( x ) ≡ 0 .

co

Nếu f ( x2 ) < 0 thì x2 ∈ ( a, b ) , khi đó x2 là ñiểm cực tiểu ⇒ f ′′( x2 ) > 0 > e x2 f ( x2 ) , vơ lí.

cu

u

du
on

g

th

Câu IV.
Mỗi người trong phịng khơng quen nhiều nhất là 100 – 67 – 1 = 32 người.
Xét 1 người là A, mời tất cả những ai không quen A ra ngồi phịng. Trong phịng cịn ít
nhất 100 – 32 = 68 người, trong đó chọn lấy 1 người gọi là B. Mời tiếp những ai không
quen B ra ngồi, phịng cịn ít nhất 68 – 32 = 36 người, chọn 1 người gọi là C. Mời nốt
những ai khơng quen C ra ngồi, cịn ít nhất 36 – 32 = 4 người trong phịng, tức là ngồi
A,B,C vẫn cịn ít nhất 1 người nữa trong phịng lúc này, gọi là D. Bộ tứ A,B,C,D đơi một
quen nhau.
Câu V.
Cộng theo vế tất cả các phương trình của hệ được:
2 ( a1 + a2 + … + an )
x1 + x2 + … + xn =
n ( n + 1)

Lấy phương trình thứ k trừ đi phương trình thứ k + 1 (khi k = n thì lấy phương trình thứ
n trừ đi phương trình đầu), ta có:
( x1 + x2 + … xn ) − nxk = ak − ak +1
Suy ra xk =

2 ( a1 + a2 + … + an ) ak − ak +1
, k = 1, n , an +1 = a1 .
−

n ( n + 1)
n
***

10

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 6
Câu I.
1. Nếu un +1 < un , ∀n ≤ k thì uk +1 = uk + uk −1 < uk + uk +1 = uk + 2 .
2. un = un −1 + un − 2 < 2 un ⇒ un < 4 , ∀n ≥ 2 .

.c
om

Câu II.
1) Dễ thấy không tồn tại ña thức bậc 0,1,2 thỏa mãn ñề bài.
Xét ña thức P ( x ) bậc n ≥ 3 thỏa mãn ñiều kiện P ( x ) > P′′( x ) và P′( x) > P′′( x ) , ∀x ∈ ℝ .
Khi đó, đa thức P( x) − P′′( x) có bậc n chẵn, và đa thức P′( x ) − P′′( x ) có bậc n − 1 chẵn,
mâu thuẫn. Vậy khơng tồn tại đa thức thỏa mãn ñề bài.

2) Phản chứng. Giả sử ∃x0 ñể Q ( x0 ) < 0 . Do Q ( x) − Q′( x) > 0 , ∀x ∈ ℝ , nên bậc n của
nó là số chẵn, suy ra lim f ( x) = +∞ . Khi đó, tồn tại x1 , x2 thỏa mãn x1 < x0 < x2 và

ng

x →±∞

g ( x1 ) = g ( x2 ) = 0 . ðặt f ( x) = e − xQ ( x ) . Ta có f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 , áp dụng định lý Rolle,

an

co

phương trình f ′( x) = 0 ⇔ e − x ( Q′( x) − Q( x) ) = 0 ⇔ Q′( x) − Q ( x) có nghiệm.

th

Câu III.
1) Kiểm tra trực tiếp
f ( x) + f ( y )
2) f ( x + y ) =
1 − f ( x) f ( y )
f ( x) + f (0)
2
⇒ f (0) 1 + ( f ( x) ) = 0 ⇒ f (0) = 0 .
Thay y = 0 ñược f ( x) =
1 − f ( x) f (0)

du
on

g

(

)

(

)

cu

u

f (∆x) 1 + f ( x) 2
f ( x) + f (∆x)
f ( x + ∆x) − f ( x)
Mặt khác, f ( x + ∆x ) =
⇒
=
.
1 − f ( x) f (∆x)
∆x
∆x (1 − f ( x) f (∆x) )
f ′( x)
Cho ∆x → 0 , ta ñược f ′( x) = f ′(0) (1 + f ( x) 2 ) = c1 (1 + f ( x) 2 ) , ⇒
= c1 .
1 + f ( x)2
Lấy nguyên hàm 2 vế, ta có arctan f ( x) = c1 x + c2 ⇒ f ( x) = tan ( c1 x + c2 ) .
Do f (0) = 0 nên c2 = 0 . Vậy f ( x) = tan(c1 x) .
Câu IV.
1

1) S n = ∫ x n dx =
0

1
⇒ lim Sn = 0
n →∞
n +1

2) Do ( p − 1)(q − 1) = 1 nên ñồ thị (C) hàm y = x q −1 cũng chính là đồ thị hàm x = y p −1 .
b

bq
Diện tích giới hạn bởi ñường y = 0 , y = b và (C) là S1 = ∫ x dx = .
q
0
q −1

11

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
a

ap
.

p
0
Diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi ñường x = 0 , x = a , y = 0 , y = b là S = ab .
Dễ thấy S1 + S2 ≥ S , suy ra đpcm.

Diện tích giới hạn bởi đường x = 0 , x = a và (C) là S1 = ∫ y p −1dy =

Câu V.
Cộng thêm x1 + x2 + … + xi −1 vào cả 2 vế phương trình thứ i ≥ 2 , suy ra được:

a  2005i − 2005 

.
2005i 
2004

Khi đó, với 2 ≤ i ≤ n − 1 :
xi = ( x1 + x2 + … + xi ) − ( x1 + x2 + … + xi −1 )

.c
om

x1 + x2 + … + xi −1 =

a  2005i +1 − 2005 
a  2005i − 2005 
a
−



=
i +1
i 
i
2005 
2004
2004
 2005 
 2005
a
Và xn =
.
2004 ⋅ 2005n −1

cu

u

du
on

g

th

an

co

ng

=

12

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 7
Câu I.
1) xf ( y ) + yf ( x) ≤ 1 , ∀x, y ∈ [ 0;1]

 π
Thay x = sin t , y = cos t , t ∈ 0;  , ta có:
 2
sin t ⋅ f (cos t ) + cos t ⋅ f (sin t ) ≤ 1
π
2

⇒ ∫ ( sin t ⋅ f (cos t ) + cos t ⋅ f (sin t ) ) dt ≤ 1
π

π

2

2

0

0

⇒ − ∫ f (cos t )d (cos t ) + ∫ f (sin t )d (sin t ) ≤

π

0

1

2

1

1

0

0

≥ − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx ⇒ ∫ f ( x)dx ≤

4

co

2
1
0
2) Xem giải Bài tốn 5, Dãy số

π

ng

⇒

π

.c
om

0

du
on

g

th

an

Câu II.
1) Khơng mất tổng quát khi giả sử bi ≠ 0 , ∀i = 1, n .
a

a
a
Xét hàm F ( x) = − 1 cos ( b1 x ) − 2 cos ( b2 x ) − … − n cos ( bn x ) .
b1
b2
bn
F (0) = F (2π ) , sau đó áp dụng định lý Rolle.
2) f ′( x) = a1b1 cos ( b1 x ) + a2b2 cos ( b2 x ) + … + anbn cos ( bn x )
a1b1 + a2b2 + … + anbn = f ′(0) = lim

u

x →0

f ( x)
sin x
≤ lim
=1.
x →0
x
x

cu

Câu III.
1) x = 2 . Giải tương tự Bài toán 14, Dãy số
x
2) Xét dãy { xn } : xn +1 = n − 1 , x0 là số thực tùy ý.
2
Khi đó, f ( x0 ) = f ( xn ) , ∀n ∈ ℕ .

Chứng minh lim xn = −2 , từ đó suy ra f ( x0 ) = lim f ( xn ) = f (−2) = c , ∀x0 ∈ ℝ .
n →∞

n →∞

Kết luận: f ( x) là hàm hằng.

Câu IV.
Lấy một ñiểm A bất kì trong 2011 điểm đã cho, vẽ đường trịn C1 tâm A bán kính bằng 1.
+ Nếu tất cả các điểm đều nằm trong hình trịn C1 thì hiển nhiên có đpcm.
+ Nếu tồn tại một điểm B mà khoảng cách giữa A và B lớn hơn 1 thì ta vẽ đường trịn C2
tâm B bán kính bằng 1.

13

CuuDuongThanCong.com

/>