Slide phương pháp số trong công nghệ hóa học chương 5

Tuần 5

PHƢƠNG PHÁP SỐ
TRONG CƠNG NGHỆ HĨA HỌC
Mã học phần: CH3454
TS. Nguyễn Đặng Bình Thành
BM:Máy & TBCN Hóa chất

Numerical Methods in Chemical Engineering
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Nghiệm thực của phương trình – Ý nghĩa hình học.
f(x) = 0;

(1)

y

f(x)

f – hàm cho trước của đối số x
α - nghiệm thực của ( 1 )
f(α) = 0;
- Vẽ đồ thị y = f(x)

O

α

(2)
y

CuuDuongThanCong.com

nghiệm α.

x

g(x)

- hoặc
(1) ~ g(x) = h(x)
đồ thị y1 = g(x) và y2 = h(x)
Hoành độ điểm M

M

M
O

α

/>
h(x)
x

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Sự tồn tại của nghiệm thực
Định lý. Nếu có hai số thực a, b
(a < b) sao cho f(a) và f(b) trái
dấu, tức là
f(a).f(b) < 0
(3)
đồng thời f(x) liên tục trên [a, b]
thì trong khoảng [a, b] ít nhất có
một nghiệm thực của phương
trình f(x) = 0.
CuuDuongThanCong.com

y

B
O

a
b
A

/>
x

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Khoảng phân ly nghiệm (tách nghiệm)
Định nghĩa: Khoảng [a, b] nào
y
đó gọi là khoảng phân ly nghiệm
của phương trình f(x) = 0 nếu nó
chứa một và chỉ một nghiệm
O
của phương trình đó.
- hàm f(x) đơn điệu
trong [a, b] :
f’(x) khơng đổi dấu

B

a
b

x

A

Định lý: Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng [a, b],
đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a, b] là khoảng phân ly nghiệm
của phương trình f(x) = 0.
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Các phương pháp xác định gần đúng nghiệm thực của
phương trình phi tuyến
1. Phương pháp đồ thị.
2. Phương pháp thử.
3. Phương pháp chia đôi.
4. Phương pháp lặp.
5. Phương pháp tiếp tuyến
(phương pháp Newton-Raphson).
6. Phương pháp dây cung.
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)

Cơ sở : khai triển Taylor:
- Hàm F(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n+1 tại xo và lân
cận xo.
- Khai triển Taylor bậc n của F(x) tại xo:

F ( x)

F ( xo )
(x

xo )

(x
n

F

n!

c

xo
CuuDuongThanCong.com

xo ) F ' ( xo )

(x

(n)

( xo )

xo );

(x

(n

0

(x

xo )
2!

xo )

2

F " ( xo )

n 1

F

( n 1)

(c );

1)!

1;
/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình

1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)

- Giả sử f(x) =0 : - Có nghiệm thực α phân ly trong [a, b];
- Có đạo hàm f’(x) ≠ 0 tại x [a, b];
- Có đạo hàm cấp hai f’’(x) tại x [a, b];
- Chọn xo [a,b]
khai triển Taylo bậc nhất của f(x) tại xo:
f ( x)

f ( xo ) ( x

xo ) f ' ( xo )

1

x1

xo

; x2

x1

f ' ( xo )

lim
CuuDuongThanCong.com

n

xn

f ( x1 )
f ' ( x1 )

;

...

2

xo ) f " (c);

2
f ( xo )

Bỏ qua số hạng cuối
f ( xo )

(x

(x
xn

1

xo ) f ' ( xo )
xn

;
/>
0;

f ( xn )
f ' ( xn )

;


Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)

Ý nghĩa hình học: thay đường cong y = f(x) bằng tiếp tuyến
kẻ từ A(a,f(a)) hay B(b,f(b)),  hoành độ giao điểm của tiếp
tuyến với trục hồnh là nghiệm gần đúng của phương trình.
Đặt:
- xo = a, nếu tiếp tuyến kẻ từ A;
- xo = b, nếu tiếp tuyến kẻ từ B;
Phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại [xo, f(xo)] :
y

f ( xo )

f ' ( xo )( x

xo );

(a)

Giao điểm với trục hoành (x1, y1 = 0)
CuuDuongThanCong.com

f ( xo )

f ' ( xo )( x

xo );

/>
(b)


Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)

x1

xo

f ( xo )

;

y

f ' ( xo )

Tiếp tục vẽ tiếp tuyến với điểm [ (x1, f(x1) ]
x2

xn

1

CuuDuongThanCong.com

x1

xn

f ( x1 )

...

;

f ' ( x1 )
f ( xn )

A

;

O
xo=a x1 x2

α

b
x
B

f ' ( xn )
/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)

x1

xo

f ( xo )

y

;

f ' ( xo )

Tiếp tục vẽ tiếp tuyến với điểm [ (x1, f(x1) ]
x2

xn

1

x1

xn

f ( x1 )

...

;

f ' ( x1 )
f ( xn )

O A
a

x2 x1 xo=b
x
α

;

f ' ( xn )

B
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)

* Định lý về sự hội tụ. Giả sử:
- [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của f(x) = 0;
- f có đạo hàm f’, f” với f’ và f” : + liên tục trên [a, b];
+ không đổi dấu trên [a, b];
- xấp xỉ xo chọn
f(xo).f”(xo) > 0;
- xn
α khi n
* Sai số. Lấy xn
nghiệm gần đúng
sai số:
xn

f ( xn )

;

với

0

m

f ' ( x) ;

a

x

m

b;

Trong thực tế, thường dừng q trình tính khi:
xn – xn-1 < ε
(sai số cho phép)
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)

Sơ đồ tóm tắt các bước giải:

1/ Cho phương trình f(x) = 0;
2/ Ấn định sai số cho phép ε;
3/ Tìm khoảng phân ly nghiệm;
4/ Chọn giá trị đầu xo:
f(xo).f”(xo) > 0;

x1

f ( xo )

xo

e

;

f ' ( xo )

x1

xo ;

5/ Tính tốn sai số

e<ε

CuuDuongThanCong.com

x=α

xo = x1

/>

Ví dụ. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
f(x) = x3 – x – 1 = 0;
Với sai số cho phép ε =10-3
1. Điều kiện phương trình có nghiệm thực và tìm khoảng
phân ly nghiệm.
1
1
-Hàm số xác định và liên tục
x
3
3
tại mọi x
f’(x)
+ 0 _ 0
+
2
- f’(x) = 3x – 1 = 0 tại
M
f(x)
m
x
1/ 3
- Bảng biến thiên hàm số:
M

f(

1
3

)

1
3 3

1

1

0;

3

đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại một điểm, phương trình
có một nghiệm thực trong khoảng 1 / 3 ,
- Chọn khoảng chứa nghiệm [1, 2]
f(1) = 1 – 1 – 1 = - 1 <0
f(1).f(2) < 0
khoảng [1, 2]
f(2) = 8 – 2 – 1 = 5 >0
chứa nghiệm.
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng

trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)

Phương trình:

x

x

f ( x)
f ( x)

f’(x) = 3x2 – 1 > 0 trong khoảng [1, 2]
f”(x) = 6x > 6 trong khoảng [1, 2]

f(1) = -1; f(2) = 5;
f(2).f”(2) > 0
CuuDuongThanCong.com

Chọn đầu tính x = 2.
/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)

Lập bảng tính:
f(x)=x3-x-1

x

f

(x)=3x2-1

x

f (x)
f (x)

2,0
1,5454545
1,3596148
1,3258015
1,3247190
1,3247182

5,0
1,145755
0,153704
0,004625
0,0000034
0,0000010

CuuDuongThanCong.com

11,0
6,165288
4,545657
4,273245
4,264641
/>
1,5454545
1,3596148
1,3258015
1,3247190
1,3247182


Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Chƣơng trình:
Function F(x:real):real;
Begin
F:=x*sqr(x)-x-1;
End;
Function dF(x:real):real;
Begin
dF:=3*sqr(x)-1;
End;

CuuDuongThanCong.com

f(x) = x3 – x – 1 = 0

f’(x) = 3x2 – 1 = 0
x

x

f ( x)
f ( x)

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Ví dụ:
Program PT1;
Uses crt;
Var
n,i,j,k:integer;
x,x0,eps,ss:real;
Function F(x:real):real;
Begin
F:=x*sqr(x)-x-1;
End;
…
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Ví dụ:
Program PT1;
…
Function dF(x:real):real;
Begin
dF:=3*sqr(x)-1;
End;
{Chương trình chính}
BEGIN
clrscr;
…
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Ví dụ:
Program PT1;
…

{Chương trình chính}
BEGIN
clrscr;
write (‘Nhập x0 = ’);readln(x0);
write (‘Nhập eps = ’);readln(eps);
x:=x0;k:=0;
Repeat
…
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Ví dụ:
Program PT1;
…
BEGIN
…
x:=x0;k:=0;
Repeat
x:=x-F(x)/dF(x);
ss:=abs(x-x0);
x0:=x;k:=k+1;
Until ss<=eps;
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến)
Ví dụ:
Program PT1;
…
BEGIN
Repeat
…
Until ss<=eps;
{In kết quả}
write (‘Nghiệm x = ’,x:8:4);
readln;
END.
CuuDuongThanCong.com

/>

CuuDuongThanCong.com

/>

CuuDuongThanCong.com

/>

CuuDuongThanCong.com

/>

CuuDuongThanCong.com

/>