Slide phương pháp số trong công nghệ hóa học chương 6

Tuần 6

PHƢƠNG PHÁP SỐ
TRONG CƠNG NGHỆ HĨA HỌC
Mã học phần: CH3454
TS. Nguyễn Đặng Bình Thành
BM:Máy & TBCN Hóa chất

Numerical Methods in Chemical Engineering
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Phƣơng pháp Newton có thể tổng quát hóa để giải hệ phƣơng trình phi
tuyến có dạng:

Trong đó:

Dạng ma trận:
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình

phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Cơng thức Newton với phƣơng trình 1 biến:

Hay:

Với:

CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Đối với hệ phƣơng trình phi tuyến, cơng thức Newton tổng qt:

Trong đó J(Xi) là ma trận
(tốn tử) Jacobi. Nó là ma
trận cấp n có dạng:
Và:

CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình

1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Phƣơng pháp Newton giải hệ phƣơng trình phi tuyến là phƣơng pháp
tuyến tính hóa hệ phƣơng trình đã cho thành một hệ phƣơng trình
tuyến tính mà biến số của hệ là X.

Nhƣ vậy ở mỗi bƣớc lặp (bƣớc thứ i), cần phải giải một hệ phƣơng trình
tuyến tính với biến số là Xi cho đến khi đƣợc nghiệm gần đúng.

Vì vậy: việc giải hệ phương trình phi tuyến bằng
phương pháp Newton là lặp lại việc giải hệ phương
trình tuyến tính:
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
- Do đó việc giải một hệ phi tuyến bằng phƣơng pháp Newton, chính là
việc giải hệ phƣơng trình tuyến tình với:

J ( xi )

f1

f1

x1

x2

xn

f2

f2

f2

x1

x2

...

...

...

...

f1

xn
...

...

F ( xi )

f1 ( x i )

x1

f2 ( xi )

x2
X

...

...

...

...

...

fn

fn

x1

x2

CuuDuongThanCong.com

...
...

...

...
fn
xn

fn (xn )
/>
xn


Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Thuật toán:
1 Chọn giá trị đầu X0:

0

0

x1

x2

0

f2

f2

x2

0

0

0

f1

0

x1

X

f1

...

J (x )

i

...

x2

...

...

...

0

0

x1
CuuDuongThanCong.com

...

0

x2

0

...

f1 ( x i )

f2

0

f2 ( xi )

0

xn

...

fn

0

xn

...

...

fn

xn

0

x1

...

f1

...

0

F ( xi )

...
...

...

0

fn
0

xn

/>
fn ( xi )


Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình

phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Thuật tốn:
2 Giải hệ phƣơng trình tuyến tính (Gauss hoặc Gauss-Jordan):
0

x1

0

x2
X

X1

...

0

...
0

xn

3 Kiểm tra sai số:

max

CuuDuongThanCong.com

xi

?
/>
X

0

X

0


Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Thuật toán:
Procedure HAM(X:mX; nF:integer; Var F:mX);
Begin
F[1]:=…;
F[2]:=…;
…
F[nF]:=…;
End;

CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Thuật toán:
Procedure DHAM(X:mX; Var A:mA);
Begin
A[1,1]:=…; A[1,2]:=…; … A[1,nF]:=…;
…
A[nF,1]:=…; A[nF,2]:=…; … A[nF,nF]:=…;
End;

CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Giải hệ phƣơng trình phi tuyến

f1 ( x1 , x 2 )
f 2 ( x1 , x 2 )

CuuDuongThanCong.com

2 x1
e

x1

/>
e

x2

5 x2

0
0


Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Program HFT1;
uses crt;
Type
mX = …; mA = …;
Var
X0,X,dX,B,F:mX;
A:mA;

nF,i,j,k:integer;
dXmax,eps:real;
…
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Program HFT1;
…
Procedure HAM(X:mX; nF:integer; Var F:mX);
Begin
F[1]:=-2*x[1]+exp(x[2]);
F[2]:=-exp(-x[1])-5*x[2];
End;
…

CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến

Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Program HFT1;
…
Procedure DHAM(X:mX; Var A:mA);
Begin
A[1,1]:=2; A[1,2]:=-exp(x[2]);
A[2,1]:=-exp(-x[1]); A[2,2]:=5;
End;
Procedure GAUSS(A:mA;B:mX; Var X:mX;nF:integer);
{Chương trình chính}
…
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Program HFT1;
…
BEGIN
clrscr;
writeln (‘Nhập các giá trị đầu X0:’);
For i:=1 to nF do
readln(x0[i]);
For j:=1 to nF do

x[j]:=x0[j];
…
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Program HFT1;
…
k:=0;
Repeat
HAM(X,nF,F);
For j:=1 to nF do
B[j]:=F[j];
DHAM(X,A);
GAUSS(A,B,dX,nF);
…
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến

Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Program HFT1;
…
k:=0;
Repeat
…
For j:=1 to nF do
X[j]:=X[j]+dX[j];
For j:=1 to nF do
if dX[j]>=dXmax then
dXmax:=dX[j]; …
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.2 Phƣơng pháp giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton
Ví dụ:
Program HFT1;
…
Repeat
…
k:=k+1;
Until dXmax<=eps;
{In kết quả}
For i:=1 to nF do writeln (‘X[’,i,‘] = ’,X[i]);

readln;
END.
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính tốn thiết bị trao đổi nhiệt

CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính tốn thiết bị trao đổi nhiệt

CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng

Dung
dịch

sau gia
nhiệt

Tính tốn thiết bị trao đổi nhiệt
Hơi nƣớc
bão hòa

Nƣớc
ngƣng
Dung
dịch
cần gia
nhiệt
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính tốn thiết bị trao đổi nhiệt

Cơ chế trao đổi nhiệt
CuuDuongThanCong.com

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng

Tính tốn thiết bị trao đổi nhiệt
Phƣơng trình trao đổi nhiệt cơ
bản:
Q

K . F . t tb
t1

t tb

ln

t2
t1
t2

K

1
1

i
1

i

CuuDuongThanCong.com

Biến thiên nhiệt độ trong
thiết bị TĐN

1
2

/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính tốn thiết bị trao đổi nhiệt
Xác định diện tích bề mặt trao đổi
nhiệt và số ống của chùm ống:
Q

K . F . t tb

Q

G .C p ( t c

tđ )

G .C p ( t c

tđ )

F

K . t tb

CuuDuongThanCong.com

Biến thiên nhiệt độ trong
thiết bị TĐN
/>

Chƣơng 1. Các phƣơng pháp giải phƣơng
trình và hệ phƣơng trình
1.3 Ứng dụng
Tính tốn thiết bị trao đổi nhiệt
Để thuận tiện trong tính tốn thiết
bị trao đổi nhiệt, sử dụng đại
lƣợng mật độ dòng nhiệt:

q

Q
F

K . t tb

Giả thiết trao đổi nhiệt ổn định:

q

q1

qd

q2

Cơ chế trao đổi nhiệt

CuuDuongThanCong.com

/>