Gỉai tích 3 phương trình vi phân đại học bách khoa hà nội

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email:

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 1. CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT CHUỖI
§ 1. Đại cương về chuỗi số
• Các tính chất cơ bản
• Định nghĩa
• Điều kiện cần để chuỗi hội tụ
1 1 1
1
Đặt vấn đề: 1 + + + + + n + = 2
2 4 8
2
• Có phải là cứ cộng mãi các số hạng của vế trái thì thành vế phải?
• 1 + (– 1)+1 + (– 1) + .... = ?
1. Chuỗi số:
Định nghĩa: Với mỗi số tự nhiên n, cho tương ứng với một số thực an, ta có dãy số kí
hiệu là {an } .
Định nghĩa:
∞

Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1 + a2 + a3 +

là chuỗi số, ký hiệu là

∑ an ,
n =1

an là số hạng tổng quát.

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an là tổng riêng thứ n. Nếu lim Sn = S thì ta bảo chuỗi hội tụ,
n →∞

∞

có tổng S và viết:

∑ an = S .
n =1
∞

Khi dãy {Sn} phân kỳ thì ta bảo chuỗi

∑ an phân kỳ.
n =1

∞

Ví dụ 1. Xét sự hội tụ và tính
Sn = 1 + q + q 2 +

+ qn =

∑ qn
n =0
n +1

1− q
,
1− q

q <1

1
, q <1
n →∞
1− q
Phân kỳ khi q ≥ 1
lim Sn =

∞

∑

qn =

n =0

1
,
1− q

q < 1.
∞

Ví dụ 2. Xét sự hội tụ và tính
Sn =

1
1

+
+
1.2 2.3

+

1
n n + 1)
n =1 (

∑

1
1 1  1 1
= − + − +
n ( n + 1)  1 2   2 3 

CuuDuongThanCong.com

1 
1
1
+ −
=
1
−

n +1
 n n + 1
/>

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email:

1 

lim Sn = lim  1 −
=1
n →∞
n →∞ 
n + 1 
∞

1

∑ n ( n + 1) = 1
n =1

∞

Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ

1
1 1
(Chuỗi điều hoà) Sn = 1 + + +
n
2 3
n =1

∑

Lấy n > 2m +1 có
1 1
1
1  1 1  1
1

Sn > 1 + + + + m +1 =  1 +  +  +  +  + +  +
2 3
2 3 4 5
8
2

1
1
1
1
1
> + 2. + 4. + + 2m. m +1 = ( m + 1)
2
4
8
2
2
Do đó Sn có thể lớn bao nhiêu tuỳ ý, nên có lim Sn = ∞

+

 1

+ m
+
2 +1

1
n

+

1 

2 m +1 

n →∞

Chuỗi đã cho phân kỳ
∞

Ví dụ 4. Chuỗi nghịch đảo bình phương:

1

∑ n2
n =1

Sn = 1 +

1
22

1

+

32

+

+

1
n2

= 1+

1
1
+
+
2.2 3.3

1 1  1 1   1 1 
= 1+  −  +  −  +  −  +
1 2   2 3   3 4 
Sn tăng và dương
∃ lim Sn = S

+

1

1
1
< 1+
+
+
n.n
1.2 2.3

+

1
( n − 1) n

1
1
 1
+
−  =2− <2
n
 n −1 n 

n →∞

∞

1

∑ n2 = S
n =1

Nhận xét:
∞

•

an = 0 (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
∑ an hội tụ thì nlim
→∞
n =1

Chứng minh:

Có an = Sn − Sn −1 ;

lim an = lim ( Sn − Sn −1 ) = 0

n →∞

• Nếu lim an ≠ 0 hoặc khơng tồn tại thì chuỗi
n →∞

n →∞
∞

∑ an phân kỳ.
n =1

• Thay đổi một số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi.
∞

Ví dụ 5.

n

∑ n +1
n =1

n
= 1≠ 0
n →∞ n + 1
lim

CuuDuongThanCong.com

/>

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email:

∞

n
phân kỳ
n
+
1
n =1

∑

∞

Ví dụ 6.

∑ ( −1)

n

= 1 + ( −1) + 1 + ( −1) +

n =1

1
n
Có lim ( −1) = 
n →∞
 −1

n chẵn
n lẻ.

Khụng tn ti lim ( 1)

n

n

( 1)

n

phõn k.

n =1

Ví dụ 7. Tìm tổng (nếu có) của chuỗi số sau
∞

 n − 1
Ví dụ 8.



n
+
1

n =1

∑

3 5
+
+
4 36

2n + 1

+
n

2(

2
n + 1)

+

(ĐS: 1)

n

(PK)

Tính chất. Giả sử lim an = a, lim bn = b
n →∞

n →∞

• lim (α an + β bn ) = α a + β b
n →∞

• lim ( an bn ) = a.b
n →∞

an a
= ,

n bn
b

ã lim

b 0.

Đ2. Chui s dng
ã nh nghĩa

• Các tiêu chuẩn hội tụ

• Các định lí so sánh
∞

1. Định nghĩa:

∑ an ,

an > 0

n =1
∞

Nhận xét.

∑ an hội tụ khi và chỉ khi S

n

bị chặn.

n =1

Trong bài này ta gi thi t ch xét các chu i s d

ng
2. Các định lí so sánh.
Định lí 1. Cho hai chuỗi số dương, an ≤ bn , n tuỳ ý hoặc từ một lúc nào đó trở đi
∞

∞

∑ bn
n =1
∞

h ội t ụ ⇒

∑ an

h ội t ụ

n =1
∞

∑ an phân kỳ ⇒ ∑ bn phân kỳ
n =1

n =1
CuuDuongThanCong.com

/>

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Ch ng minh.
a1 + a2 + + an < b1 + b2 +

Email:

+ bn

0 < Sn ≤ Tn
Rút ra các khẳng định.
∞

Ví dụ 1.

∞

1

∑ 3n + 1

n =2

n =1

Chuỗi dương
ln n < n
1

1
0< <
n ln n
∞
1
phân kỳ
n
n =2

Chuỗi dương
3 n + 1 > 3n
1
3n + 1
∞
1

<

∑ 3n =

1
3n
1

∑

h ội t ụ

1
3

⇒ Chuỗi đã cho hội tụ
n =1

1−

∞

Ví dụ 3. a)

1

∑ ln n

Ví dụ 2.

∞

1

∑ ln n

phân kỳ

n =2

3n 2 + 2n + 1

∑ 2n ( 3 n + 2 )

∞

,

b)

(HT)

n =1

∑

( n + 1) sin ( 2n β )
7

3

n + 2n + 3

n =1

a
Định lí 2. Cho hai chuỗi số dương, lim n = k ≠ 0 ⇒
n →∞ bn

∞

∑ an

∞

và

n =1

hoặc cùng phân kì.

Nhận xét. Đối với các chuỗi số dương
an
= 0 và
n →∞ bn

1°/ Nếu lim

a
2/° Nếu lim n = ∞ và
n →∞ bn
∞

Ví dụ 4.

∞

∑ bn

h ội t ụ ⇒

n =1
∞

∑ bn

∞

∞

n =1
∞

n =1

∑ an và ∑ bn :
∑ an hội tụ
n =1
∞

phân kì ⇒

n =1

∑ an phân kì
n =1

n+2

∑ 2n3 − 3
n =1

Chuỗi dương
2
2

1+
n+2
n
n = 1 .
n
=
.
3
3
2
2n − 3 2n 1 − 3
2n 1 − 3
3
2n
2n 3
n +2 1 
lim 
: 2  =1
n →∞  2n 3
2n 
1+

CuuDuongThanCong.com

, β ∈ » ; (HTTĐ)

/>
∑ bn cùng hội tụ
n =1

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
∞

1

∑ 2n2
n =1
∞

Email:

h ội t ụ

n+2

∑ 2n3 − 3 hội tụ
n =1

∞

Ví dụ 5.

1

∑ np ,

p>0

n =1

1

1
Khi 0 < p ≤ 1 có 0 < n ≤ n ⇒ p ≥ , do
n
n
p

∞

1
phân kỳ nên
n
n =1

∑

∞

1

∑ np

phân kỳ.

n =1

Khi p > 1, n tuỳ ý, chọn m sao cho n < 2m , có
Sn ≤ S

2

≤ 1+

2
2

p

m

1
 1
= 1+  p + p
−1
3
2

+

4
4

p

+

+

  1
+ p +
 4

2 m −1

(

2m − 1

)

p

= 1+

+

1
2

p −1

+

1 
+
p 
7 

1

+
m −1
 2


(

1

(

2 p −1

)

2

+

+

)

p

+

1

(

2 p −1

)

m −1

1 − am
1
1
=
<
, 0 < a = p −1 < 1
1− a
1− a
2
∞

Dãy Sn bị chặn trên ⇒

1

∑ np

h ội t ụ.

n =1

KL: Chuỗi hội tụ với p > 1 và phân kì với 0 < p ≤ 1.
∞

Ví dụ 6.

∑
n =1

1
n3 + 3

Chuỗi dương
1
1
1
an =
=
; bn = 3 / 2
n
n3 + 3 n3 / 2 1 + 3
3
n
a
lim n = 1
n →∞ bn
∞

∑ bn
n =1
∞

∑

n =1

h ội t ụ
1
3

h ội t ụ

n +3

CuuDuongThanCong.com

+

/>

p
2m − 1 

1

(

)


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email:

Ví dụ 7
∞

a1)

∑ ln (1 +

n + 2 − n − 1)

∞

(PK)

a2)

n =2

∑ n sin2 2
n =1
∞

c1)

∑

(PK);

n

(HT)

∑

c2)

n +1

∑(
n =2
∞

∑
n =1

n + 2 − n − 1)

d3)

1
n

)

−1

n + sin n

(PK)

(HT)
(PK)

3

n +1

∑ n (e
∞

(PK)

(

1
b2)
2
n
n =1
∞

5

∞

d3)

∞

π

n + cos n

n =1

d1)

n + 1 − n − 1)

n =2

∞

b1)

∑ sin (

1
n

)

−1

(PK)

n =2

n +1

∑ sin 3 n7 + 2n3 + 3

(HT)

n =1

e) Xét sự hội tụ
∞

1)

ln n

∑ 4 n5

(HT)

n =1
∞



n3 

n =1
3) Các tiêu chuẩn hội tụ
a) Tiêu chuẩn D’Alembert
a

lim n +1 = l
n →∞ an

3)



∑ n ln 1 + arctan2 2

π

2)

∑

1
1
arcsin + ln n
n

(PK)

(HT)

∞

Khi l < 1 ⇒

∑ an

hội tụ

n =1
∞

Khi l > 1 ⇒

∑ an

phân kỳ.

n =1

Chứng minh
an +1
a
= l , chọn ε > 0 đủ bé để l + ε < 1 ⇒ n +1 < l + ε, ∀ n ≥ n0.
n →∞ an
an
an0 +1
a a
n −n
• Mặt khác có an = n . n −1
.an0 ≤ ( l + ε ) 0 an0 → 0, n → ∞
an −1 an − 2
an0

• l < 1: Từ lim

Do đó lim an = l

n →∞

CuuDuongThanCong.com

/>

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Email:

a
an +1
= l , chọn ε đủ bé để l − ε > 1 ⇒ n +1 > l − ε > 1 ⇒ an + 1 > an
n →∞ an
an

• l > 1: Từ lim

⇒ phân kì
Nhận xét. Khi l = 1 khơng có kết luận gì
∞

Ví dụ 1.

1

∑ n!
n =1

1

>0
n!
a
1
1
n!
1
lim n +1 = lim
: = lim
= lim
= 0 <1
n →∞ an
n →∞ ( n + 1) ! n !
n →∞ ( n + 1) !
n →∞ n + 1

an =

∞

1

∑ n ! h ội t ụ
n =1

∞

3n
Ví dụ 2.
n!

n =1

∑

3n
an =
>0
n!
an +1
3n + 1 3 n
3
=
:
=
an
( n + 1) ! n ! n + 1
a
lim n +1 = 0 < 1
n →∞ an
Chuỗi đã cho hội tụ

Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi

1 1.3 1.3.5
+
+
+
2 2.5 2.5.8

+

1.3.5
2.5.8

( 2n − 1)
( 3n − 1)

( 2n − 1) > 0
( 3n − 1)
an +1 1.3.5 ( 2n − 1)( 2n + 1) 1.3.5 ( 2n − 1) 2n + 1
=
:
=
an
2.5.8 ( 3n − 1)( 3n + 2 ) 2.5.8 ( 3n − 1) 3n + 2

an =

1.3.5
2.5.8

an +1 2
= <1
n →∞ an
3
Chuỗi đã cho hội tụ
Ví dụ 4
lim

∞

a1)

∑
n =1

∞

n !3n
n

(PK)

n

a2)

∑
n =1

CuuDuongThanCong.com

n !2n
n

n

/>
(HT)

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
∞

a3)

∑

7n ( n !)

2

(HT)

n 2n

n =1
∞

∞

32n +1
b1)
n (
)
n =1 4 ln n + 1

∑
∞

b3)

∑

c1)

∑

b4)

(HT)

n

∑

( 2n ) !!
n

n =1

3n 2 + 2n + 1

n

(HT)
(HT)

(HT)
∞

n !3n

d2)

(PK)

nn

n =1

∑
∞

∑ 2n ( 3 n + 2 )
n =1
∞

d1)

n

22n +1
b2)
n (
)
n =1 5 ln n + 1

(PK)

( 2n + 1) !!

n =1
∞

Email:

∑
n =1

n !π n
nn

(PK)

b) Tiêu chuẩn Cauchy
Giả sử lim n an = l
n →∞

∞

∑ an

Nếu l < 1 ⇒

h ội t ụ

n =1
∞

Nếu l > 1

∑ an

phân kỳ

n =1

Nhận xét. Nếu l = 1, khơng có kết luận gì
∞

 2n − 1 
Ví dụ 5.
 3n + 2 

n =1 

∑

n

 2n − 1 
an = 
>0
3
n
+
2



2n − 1
na =
n
3n + 2
2
lim n an = < 1
n →∞
3
Chuỗi đã cho hội tụ
∞

 n + 1
Ví dụ 6. Xét sự hội tụ, phân kì


 n 
n =1

∑

n2

(PK)

Ví dụ 7.
 3n 2 + n + 1 
a1)


2

4
n
+
cos
n


n =1
∞

∑

2n −ln n

CuuDuongThanCong.com

 2n 2 + n + 1 
a2)


2
3
n
+
sin
n


n =1
∞

(HT)

∑

/>
3n −ln n

(HT)


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
2

∞

n n 5n

∑

a3)

n =1 2
∞

n(

n + 1)

n +2

b1)


n
+
3


n =1

∑

(HT)

n2

n ( n + 4)

∞

(HT)

n +3
b2)


n
+
2



n =1

∑

n( n + 4)

2

∞

c)

Email:

n n 5n

∑
n =1 3

n(

n + 1)

(HT)

n2

c) Tiêu chuẩn tích phân
Có mối liên hệ hay khơng giữa:

∞

b

a

∞

a
k

n =1

n =1

f ( x ) dx
∫ f ( x ) dx = blim
→+∞ ∫

và

∑ an = klim
∑ an
→∞

n

∫ f ( x ) dx ≤ a1 + a2 +

Hình 14.4

n

∫

+ an ≤ a1 + f ( x ) dx , lim f ( x ) = 0

1

1

x →+∞

Nếu f(x) là hàm dương giảm với mọi x ≥ 1, f(n) = an, khi đó
∞

∞

n =1

1
∞

∑ an và ∫ f ( x ) dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Ví dụ 8.

1

∑ n ln n

n =2

f (x) =

1
dương, giảm với x ≥ 2 và có lim f ( x ) = 0
x →+∞
x ln x
b

∞

∫

f ( x ) dx = lim

b →∞

2
+∞

∫
2

d ( ln x )
b
= lim ln ( ln x ) = lim ( ln ( ln b ) − ln ( ln 2 ) ) = ∞
2
b →∞
n →∞

ln x

∫ f ( x ) dx phân kỳ
1
∞

1

∑ n ln n

phân kỳ

n =2

∞

Tổng quát có thể xét

1

∑ n (ln n )p

hội tụ chỉ khi p > 1.

n =2

CuuDuongThanCong.com

/>
(PK)

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Ví dụ 9. Chứng minh rằng: 1 −

Email:

1 1 1
+ − +
2 3 4

= ln 2

1
1 
1
1  1 1
1 
−
= 1 + + +
− + + +

2n − 1 2n 
3
2n − 1   2 4
2n 
1 1
1 
1  

1 1
1  
1 1

1 1
= 1 + + + +
− 2 + + +
= 1 + + + +
− 1 + + +



2 3
2n 
2n  
2 3
2n  
2 3

2 4
1
1


= [ln2n + γ + o(1)] − [ln n + γ + o(1)], víi γ = lim  1 + + + − ln n 
n →∞ 
n
2

= ln2 + o(1) → ln 2 khi n → ∞

Mặt khác ta có
1
S2n +1 = S2n +
2n + 1
lim S2n +1 = lim S2n = ln2
S2n = 1 −

1 1 1
+ − +
2 3 4

+

n →∞
∞

∑

( −1)n +1 = ln2

n =1

n

1 1 1 1 1
− + + − +
3 2 5 7 4
Ví dụ 11. Xét sự hội tụ phân kì của chuỗi số sau
1
∞

∞
ln
ln (1 + n )
n
a)
(HT);
b)
(HT)
2
2
(
)
(
)
n =1 n + 2
n =1 n + 3

Ví dụ 10. Tương tự nhận được 1 +

∑

∑

=

3
ln 2.
2
∞

c)

ln n

∑ 3n 2

n =2

Happy new year 2011 !

CuuDuongThanCong.com

/>
(HT)

+

1
n 


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



HAPPY NEW YEAR 2011
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 2
§ 3. Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
• Chuỗi với số hạng có dấu bất kì

• Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối

• Chuỗi đan dấu
1. Đặt vấn đề.
2. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì
∞

∞

∑ an

Định nghĩa:

được gọi là hội tụ tuyệt đối ⇔

n =1

∑ an

∑ an

được gọi

n =1

∞

phân kì và

n =1

∑ an hội tụ.
n =1

∞

Định lý.

hội tụ. Chuỗi

n =1
∞

là bán hội tụ ⇔

∑ an

∞

∞

∑ an

hội tụ ⇒

n =1

∑ an hội tụ.
n =1

Ví dụ 1. Xét sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số sau
n2 + n
( −1) 2

∞

a)

∑
n =1
∞

c)

n
n

2

∞

;

∑ (
n =1

sin π ( 2 + 3 )

b)

n

)

∑ sin n2
n =1
∞

(HTTĐ)

d)

∑

n =1

sin n
n

(HTTĐ)

3

H
ng d n.
∞

a)

∑

n2 + n
( −1) 2

n =1
∞

+) Xét

∞

n

b)

n

2

n =1

+) sinn 2 ∈ »
+) Khơng có lim sin n 2 = 0

n

∑ 2n
n =1

n →∞

an +1 1
= <1
n →∞ an
2

+) lim
∞

+)

n

∑ 2n

Thật vậy, phản chứng có lim sin n 2 = 0
n →∞

⇒ lim sin(2n + 1) = 0 ⇒ lim sin(2n + 3) = 0
n →∞

h ội t ụ

+)

∑
n =1

n →∞

⇒ lim cos(2n + 1) = 0

n →∞

n =1
∞

∑ sin n2

⇒ lim ( sin2 (2n + 1) + cos2 (2n + 1) ) = 0 (vơ lí)

2

n +n
( −1) 2

n
2

n

n →∞
∞

h ội t ụ
+)

∑ sin n2 phân kì.
n =1

CuuDuongThanCong.com

/>

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



Nhận xét.
∞

1 ° / Nế u

∞

∑ an

phân kì theo tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy ⇒

n =1

n =1

∞

2° /

∑ an phân kì

∞

∑ an

phân kì ⇒

n =1

∑ an phân kì (đúng hay sai?)
n =1

3. Chuỗi đan dấu
∞

∑ ( −1)

Định nghĩa.

n −1

an , an > 0 được gọi là chuỗi đan dấu

n =1
∞

Chú ý.

∑ ( −1)

n

an , an > 0 cũng được gọi là chuỗi đan dấu.

n =1

Định lí Leibnitz
∞

Dãy {an } giảm, an > 0 , lim an = 0 ⇒
n →∞

∑

( −1)n −1 an hội tụ và có

n =1

∞

∑ ( −1)

n −1

an ≤ a1

n =1

Chứng minh:
+) n = 2m :
• Có S2m = ( a1 − a2 ) + ( a3 − a4 ) +

+ ( a2m −1 − a2m ) ⇒ {S2m } tăng

• S2m = a1 − ( a2 − a3 ) − ( a4 − a5 ) −

− ( a2m − 2 − a2m −1 ) − a2m < a1

• Từ đó ∃ lim S2m = S và có S ≤ a1
m →∞

+) n = 2m + 1:

• S2m +1 = S2m + a2m +1
• Do lim a2m +1 = 0 ⇒ lim S2m +1 = S .
m →∞

m →∞

Định lí được chứng minh.
Ví dụ 2.
Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số sau
∞
∞
( −1)n −1
(
)
( −1)n −1 3.5.7… 2n + 1 (HTTĐ)
a)
(Bán HT)
e)
2n − 1
2.5.8… ( 3n − 1)

∑

n =1
∞

b)

∑

n =1
∞

c)

∑

( −1)

n =1
∞

n −1

(Bán HT)

n

( −1)n +1

∑ ( 2n − 1)3

n =1
∞

(
)
( −1)n −1 1.4.7… 3n − 2 (PK)
7.9.11… ( 2n + 5 )
n =1

∑
∞

(HTTĐ)

g)

CuuDuongThanCong.com

∑ ( −1)
n =1
∞

n −1

( −1) n
d)
(PK)
6
n
−

5
n =1

∑

f)

h)

∑ ( −1)
n =1

n −1

tan

n +1 2

1
(HTTĐ)
n n

n2

n!

(PK)

/>

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
∞

∑

i)

∞

n

( −1)n



(PK)

2

m)

2n + 1

n =1
∞

n

o)

∑

n

(Bán HT)

( n + 1) sin ( 2n β )
3

7

3

, β ∈ » (HTTĐ)

n + 2n + 3
( −1)n
p)
(Bán HT)
n
−
ln
n
n =1
n =1
∞

∞

( −1)n −1 ln2 n + 1 (HTTĐ)

n
n =1

∑

l)

n −1 ln n

n =1
∞

( −1)n  n + 1  (PK)
k)
n + 2
n =1

∑

∑ ( −1)

∑

H
ng d n.
∞

b) +)

∑

( −1)n −1
n

n =1

( −1)n −1 n
d) +)
là chuỗi đan dấu
−
6
n
5
n =1
∞

∑

là chuỗi đan dấu

1
 1 
+) 
=0
 giảm và có lim
n →∞ n
 n
+) Hội tụ theo Leibnitz
∞

+)

n
1
+) lim
= ⇒
n →∞ 6n − 5
6
n −1
+) ∃ lim ( −1)

1
phân kì ⇒ bán hội tụ
n

∑
n =1

n →∞

∞

+)

∑ ( −1)
n =1

n

∞

n

∑ 6n − 5 phân kì
n =1

n
6n − 5

n
phân kì.
6n − 5

4. Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối
∞

a)

∑ an

= S ⇒ chuỗi số nhận được từ chuỗi này bằng cách đổi thứ tự các số hạng

n =1

và nhóm tuỳ ý các số hạng cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng S
∞

b) Cho

∞

∑ an = S , ∑ an
n =1

phân kì ⇒ có thể thay đổi thứ tự các số hạng của nó để

n =1

chuỗi thu được hội tụ và có tổng là một số bất kì cho trước hoặc trở nên phân kì.

Định nghĩa. Cho

∞

∞

n =1

n =1

∑ an , ∑ bn , khi đó ta định nghĩa phép nhân chuỗi:

n
 ∞
 ∞
 ∞
 an  bn  =
c n , ở đó c n =
ak bn +1− k




 n =1  n =1  n =1
k =1

∑

∑

∑

c)

∑
n =1

 ∞
 ∞

bn = S2 ⇒  an   bn  = S1 S2



n =1
 n =1   n =1 
∞

∞

an = S1,

∑

∑

∑

∑

∞

1
Ví dụ 3.a) Xét sự hội tụ của tích các chuỗi số sau:
và
n
n
n =1

∑

CuuDuongThanCong.com

∞

1

∑ 2n −1 .
n =1

/>

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



 n
1
n+2−k 
k −1
b) Xét sự hội tụ của chuỗi số
.ln2
 ( −1) tan



n
+
1
−
k
k
k

n =1  k =1
H
ng d n.
∞

∑∑

∞

a) +)

∑n
n =1

∞

+)

1
hội tụ tuyệt đối
n

1

∑ 2n −1 hội tụ tuyệt đối
n =1

 ∞ 1  ∞ 1 
+) 
.
 h ội t ụ
n −1 


n
n
2
 n =1
  n =1



∑

∑

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

CuuDuongThanCong.com

/>

PGS. TS. Nguyễn Xn Thảo



PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYT CHUI
BI 3
Đ 4. Chui hm s
ã t vn .
1. Chuỗi hàm số hội tụ
Định nghĩa: Cho dãy hàm số {un ( x )} xác định trên X , ta định nghĩa chuỗi hàm số
∞

u1 ( x ) + u2 ( x ) +

≡

∑ un ( x )

(1)

n =1
∞

∑

∞

un ( x ) hội tụ tại x0 ⇔ chuỗi số

n =1
∞

∑ un ( x0 ) hội tụ
n =1
∞

∑ un ( x ) phân kì tại x0 ⇔ chuỗi số ∑ un ( x0 ) phân kì
n =1

n =1

Tập các điểm hội tụ của (1) gọi là tập hội tụ của nó. Tổng của chuỗi hàm số là hàm
số xác định trong tập hội tụ của nó.
Ví dụ 1. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau
∞

a)

∑x
n =1
∞

e)

∑

n =1
∞

g)

∞

n −1

b)

∞

cos nx

∑ n2 + x 2

c)

(»)

f)

n =1

sin ( 2n 2 + 4 ) x

( 3n + 1)2
( −1)

1

∑ nx

∞

∑

( x > 1)

n =1
∞

∑

xn
d)
n!
n =1

( −1)n −1 e − n cos x

(−

n =1

n +1

∑ n 5 n ( x − 3 )n

( x −3 >

n =1

π
2

(»)

+ k 2π < x <

π
2

+ k 2π )

1
)
5

Hướng dẫn.
∞

a)

∑ x n −1
n =1
∞

+) Xét chuỗi số

∑ x0n −1

(2)

n =1

+) (2) hội tụ với x0 < 1
∞

b)

+) Tại x0 = 1, (2) phân kì

+) Tập hội tụ: x < 1

cos nx

∑ n2 + x 2
n =1

∞

+) Xét chuỗi số

cos nx0

∑ n2 + x02
n =1

(2)

+)

cos nx0
n 2 + x02

≤

1
n2

⇒ (2) hội tụ với mọi x0

+) Tập hội tụ »
CuuDuongThanCong.com

/>

PGS. TS. Nguyễn Xn Thảo

Ví dụ 2. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau
n
∞
∞
( −1)n −1 x 2n + 3
n3
 4x − 3 
a) 1)
( −3 ≤ x < 3 )
b) 1)

2
2n (
)
 x 
2
3
2
3
n
+
n =1
n =1 ( n + 1)
∞
∞
1
( −1)n  1 − x n
2)
( x > 0 ∨ x ≤ −2 )

2)


n
2
(
)
1

+
x

n
+
1
x
+
1
n =1
1
n
−
n =2

∑

∑

∑

∞

3)

3 
(  ; 1 )
5 

∑

1

∑ 3 n + 1 ( x + 2 )n

( x 2 − x + 1)n

∞

( x > 1 ∨ x ≤ −3 )

∑ ( n + 1)

c)

n =1

( [0 ; + ∞ ) )

n =0

(0 ≤ x ≤ 1)

n+2

2. Chuỗi hàm số hội tụ đều
∞

∑ un ( x )

Định nghĩa.

hội tụ đều đến S ( x ) trên tập X ⇔ ∀ ε > 0 bé tuỳ ý

n =1

∃ n0 ( ε ) ∈ » : ∀ n > n0 ( ε ) , ta có Sn ( x ) − S ( x ) < ε , ∀ x ∈ X .

Ý nghĩa hình học. Với n đủ lớn, Sn ( x ) thuộc dải ( S ( x ) − ε ; S ( x ) + ε ) .
∞

Tiêu chuẩn Cauchy.

∑ un ( x )

hội tụ đều trên tập X ⊂ » ⇔ ∀ ε > 0 bé tuỳ ý

n =1

∃ n0 ( ε ) ∈ » : ∀ p > q > n0 ( ε ) , ta có Sp ( x ) − Sq ( x ) < ε , ∀ x ∈ X .
∞

Tiêu chuẩn Weierstrass. Nếu có un ( x ) ≤ an , ∀n ∈ », ∀ x ∈ X và

∑ an

h ội t ụ

n =1
∞

⇒

∑ un ( x ) hội tụ tuyệt đối và đều trên X .
n =1

( −1)n −1

∞

Ví dụ 3. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm

∑ x 2 + n2
n =1

+)

( −1)

n −1

∞

1

∞

a)
c)

∑

n =1
∞

e)

cos nx
3n
nx

+)

∑

∞

sin nx

∑ n2 + x
n =1

∞

,∀x
2

1

h ội t ụ
2
x 2 + n2 n
n
n =1
+) Chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên »
Ví dụ 4. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm
≤

, x∈»
2

(HTĐ)

b)

xn

∑ 2n n 3 n ,
n =1
∞

, x∈»

∑ 1 + n5 x 2 ,

(HTĐ)

d)

∑ ( −1)
n =1
∞
n

x ∈ » (HTĐ)

n =1

f)

x

∑ n! ,

n −1

x ∈ [ −2 ; 2]

x 2n
, x ∈ ( −1; 1)
n

x >0

n =1

Hướng dẫn.
CuuDuongThanCong.com

/>
(HTĐ)
(HTĐ)
(HTKĐ)


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

x

b) +)

n

≤

2n n 3 n


∞

1

n

, x ≤2
4/3

+)

1

∑ n4 / 3

h ội t ụ

n =1

+) Chuỗi đã cho hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối trên [ −2 ; 2] .

Ví dụ 5. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm
1

∞ n

xdx

 sin nx, x ∈ » (HTĐ)
a) 1)
2 

n =1 0 1 + x 

1
∞ n
xdx

2)
2

n =1 0 1 + x

∑∫

∑∫



 cos nx, x ∈ » (HTĐ)



n

∞

n + 1 2x + 1
b) 1)
 , x ∈ [ −1; 1] (HTĐ)
n 

x
+


2
n =1 3

∑

∞

 n +1
2)


n + 2
n =1

∑

n2

n

 2x + 1

 , x ∈ [ −1; 1] (HTĐ)
 x+2 
∞

c) Chứng minh rằng chuỗi hàm

∑ x2e−nx

hội tụ đều với x ≥ 0

n =1

( −1)n

∞

d) 1) Chứng minh rằng chuỗi

∑ x 2 + n + 1 hội tụ đều trên »

n =0

( −1)n

∞

2) Chứng minh rằng chuỗi

∑ x 2 + n + 2 hội tụ đều trên »

n =0

3. Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều
∞

Định lí 1. Chuỗi

∑ un ( x )

hội tụ đều về S ( x ) trên X , un ( x ) liên tục trên X , với

n =1

∀n ∈ » ⇒ S ( x ) liên tục trên X .
∞

Định lí 2.

∑ un ( x ) hội tụ đều đến S ( x ) trên [a ; b] , un ( x ) liên tục trên [a ; b] , ∀n
n =1

b

b

 ∞

⇒ S ( x ) dx =  un ( x )  dx =



a
a  n =1

∫∑

∫

∞ b

∑ ∫ un ( x ) dx
n =1 a

∞

Định lí 3.

∑ un ( x ) = S ( x ) trên ( a ; b ) , các hàm un ( x ) khả vi liên tục trên ( a ; b ) ,
n =1

∞

∑ un′ ( x ) hội tụ đều trên ( a ; b ) ⇒ S ( x ) khả vi trên ( a ; b ) và có
n =1

 ∞
′ ∞
S ′ ( x ) =  un ( x )  =
un′ ( x )


 n =1
 n =1

∑

CuuDuongThanCong.com

∑

/>

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



Ví dụ 6. Xét tính khả vi của các hàm sau
∞
∞
( −1)n x
x
a) f ( x ) =
;
b) f ( x ) =
arctan 2
n+x
n
n =1
n =1

∑

∞

∑

(f ′(x) =

n2

∑ n4 + x2 ,

x ∈»)

n =1

Hướng dẫn.
a) +) x ≠ −n là chuỗi đan dấu hội tụ theo Leibnitz

+) un′ ( x ) =

( n + x )2
∞

+) f ′ ( x ) =

∞

n

∑
n =1

( −1)n

liên tục ∀ x ≠ −n,

∑ un′ hội tụ đều theo Dirichlet
n =1

n

( n + x )2

, x ≠ −n

Ví dụ 7
a) Tìm miền hội tụ và tính tổng
3n + 2
∞
x
n ( x − 1)
1
( −1)
1)
((0 ; 2], S = ( x − 1)  ln
+
2
3
1
n
+
3
x − 3x + 3

n =0
3n + 2

∞
x+2
n ( x + 1)
1
( −1)
(( −2 ; 0) , S = ( x + 1)  ln
2)
+
2
3
n
+
1
3
x + x +1

n =0

∑

1
2x − 3
π 
)
arctan
+
3
3
6 3 

∑

1
2x + 1
π 
)
arctan
+
3
3
6 3 

b) Tìm miền hội tụ và tính tổng
∞
( −1)n −1
( x + 1)n ;
1)
2)
n
n =1

∑

∞

∑ ( −1)

n −1

n

( n + 1)( x − 1) ((0 ; 2) , S =

n =1

Hướng dẫn.
b1) Hội tụ với x + 1 < 1 và tại x + 1 = 1 ⇒ miền hội tụ [ −2 ; 0]
∞

∞

tn
1
+) Đặt t = −( x + 1) ⇒ s = −
⇒ s′ ( t ) = − t n −1 = −
n
1− t
n =1
n =1

∑

t

+)

∫

∑

t

s′ ( u ) du = ln u − 1 0 ⇒ s ( t ) − s ( 0 ) = ln t − 1

0

+) s ( 0 ) = 0 ⇒ s ( x ) = ln ( x + 2 )

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
CuuDuongThanCong.com

/>
x2 − 1
x2

)


PGS. TS. Nguyễn Xn Thảo



PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYT CHUI
BI 4
Đ 5 Chui lu tha
ã nh ngha
ã t vấn đề

• Các tính chất

1. Định nghĩa. a0 + a1x + a2 x 2 +

• Khai triển thành chuỗi luỹ thừa

+ an x n +

(1)

∞

Ký hiệu là

∑ an x n , ở đó an là các số thực, x là biến số.
n =0
∞

Ta bảo chuỗi luỹ thừa hội tụ (phân kỳ) tại x0 ⇔ chuỗi số

∑ an x0n

hội tụ (phân kỳ),

n =0

∞

chuỗi

∑ an x n

∞

hội tụ trên khoảng ( a ; b ) ⇔ chuỗi số

n =0

∑ an x0n

hội tụ, x0 tuỳ ý ∈ (a; b ) .

n =0

∞

Ví dụ 1.

∑ xn = 1+ x + x2 +
n =0

∞

Đã biết hội tụ khi x < 1, có

1

∑ xn = 1− x

n =0

Phân kỳ khi x ≥ 1

∞

∑ an x n

Định lí 1 (Abel).

hội tụ tại x0 ≠ 0 ⇒ hội tụ tuyệt đối tại x : x < x0

n =0
∞

Chứng minh. +)

an x0n = 0 ⇒ an x0n
∑ an x0n hội tụ ⇒ nlim
→∞

≤ M, ∀ n ≥ N0

n =1

n

+)

an x0n

=

an x0n

x
<1 ⇒
+)
x0

x
 x 
≤
M
x 
x0
 0

∞

x
M
x0
n =1

∑

n

n

∞

hội tụ (Định lí so sánh 1) ⇒

∑ an x n

hội tụ tuyệt đối

n =0

∞

Nhận xét. Từ định lí Abel suy ra: Nếu

∑ an x n phân kỳ tại x0 ⇒ phân kỳ tại x :

x > x0

n =0

Định lý 2. Nếu lim

n →∞

∞

thừa

∑ an x n
n =1

an +1
an

= ρ (hoặc lim

n →∞

1
ρ ,

được xác định bởi R = 
0,
∞,
CuuDuongThanCong.com

n

an = ρ) thì bán kính hội tụ R của chuỗi luỹ

0<ρ<∞
ρ = +∞
ρ=0
/>

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



Nhận xét. • Quy ước viết R = 0 ở khẳng định 2), R = +∞ ở khẳng định 3), từ đó có thể
∞

∑ an x n

phát biểu gọn định lý này như sau: Mọi chuỗi luỹ thừa

đều có một bán kính hội

n =0

tụ R với 0 ≤ R ≤ +∞ , khi đó chuỗi hội tụ tuyệt đối với x < R và phân kỳ với x > R .
• Cách tìm bán kính hội tụ R :

R = lim

n →∞

∞

Ví dụ 1. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi

an
1
hoặc R = lim
n →∞ n a
an +1
n

xn

∑ n2
n =1

an
1
1
 n + 1
= 2:
=

2
an +1 n ( n + 1)
 n 
an
lim
=1
n →∞ an +1

2

R = 1, chuỗi hội tụ với x < 1, phân kỳ với x > 1.
x2

Tại x = 1 có

n

2

=

1

n

2

∞

, mặt khác

1

∑ n2

hội tụ, do đó chuỗi luỹ thừa hội tụ tại x = 1.

n =1

Khoảng hội tụ là [ −1; 1] .
∞

Ví dụ 2. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa

∑
n =0

n+2
3n

xn

an

n+2 n+3
n+2
=
:
=3
an +1
n+3
3n
3n +1
an
lim
=3
n →∞ an +1
R = 3 , chuỗi hội tụ khi x < 3 , phân kỳ khi x > 3 .
∞

Tại x = 3 có

∑ an x
n =0
∞

Tại x = −3 có

n

∞

∑ ( n + 2) phân kỳ.

=

n =0
∞

∑ an x n = ∑ ( −1)

n =0

n

( n + 2)

phân kỳ

n =0

Khoảng hội tụ: ( −3 ; 3 ) .
∞

xn
Ví dụ 3. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa
n +1
n =0

∑

 an 
1
1

n+2
:
=

=
 an +1  n + 1 n + 2 n + 1
 a 
lim  n  = 1
n →∞  an +1 
CuuDuongThanCong.com

/>

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



R = 1, chuỗi hội tụ với x < 1, phân kỳ với x > 1
∞

1
phân kỳ
n
+
1
n =1

∑

Khi x = 1 có

∞

Khi x = −1 có

( −1)n

∑ n +1

là chuỗi đan dấu hội tụ

n =1

Khoảng hội tụ là [ −1; 1) .
∞

Ví dụ 4. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa:

∑

( −1)

n =0

n

x 2n
.
( 2n ) !

Khơng thể dùng ngay cơng thức vì một nửa các hệ số của chuỗi bằng 0 : a2n+1 = 0
n
−1) n
(
Đặt y = x có chuỗi luỹ thừa: ∑
y
2
n
!
(
)
n =0
n
n +1
( 2 ( n + 1) ) ! = 2n + 1 2n + 2
( −1) : ( −1)
an
Có
=
=
(
)(
)
an +1
( 2n ) ! ( 2 ( n + 1) ) !
( 2n ) !
∞

2

lim

n →∞

an
=∞
an +1

Khoảng hội tụ: ( −∞, ∞ )
Ví dụ 5. Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa

( n + 1)5 2n
a)
x ( −1 < x < 1 )
2
n
+
1
n =1
∞

∑
∞

d)

( n !)

∞

b)

n =1
∞

2

∑ ( 2n ) ! x n

( −4 < x < 4 )

e)

n =1
∞

1

f)
1 + 

n
n =1

∑
∞

g)

∑

n =1
∞

i)

n! x

∑ ( −1)
n =0
∞

n!

n

∑ xn!

(x ∈»)

c)

∑

( x + 2 )n

n =1

( x − 3)

nn

2n

n =1

2

( x − 1)n (1 − 1 < x < 1 + 1 )
e
e

( −1 < x < 1 )

h)

∑
n =0

2n + 3
2

3n + 4n + 5

∑

( x − 1)2n
l)
( n + 1) ln ( n + 1)
n =1

( −1)n +1

2n + 3
2

3n + 4n + 1

x 2n −1 ( x ≤ 1)

x 2n ( x ≤ 1 )

n
n +1 3
(
)
( x + 1)2n
k)
−1
2
n +1
n =1

1
1 

(  −1 −
)
; − 1+
3
3 



∞

∑

2

∑ ( n + 1) ln ( n + 1) ( 2 < x < 4 )
∞

n +1

∞

(0 < x < 2 )

CuuDuongThanCong.com

/>
( −3 ≤ x ≤ −1 )


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
∞

1

m)
1 + 

n

n =1

∑
∞

n)

∑
n =1
∞

n2



( x + 2 ) n ( −2 − 1 < x < −2 + 1 )
e
e

( x − 3 )4n
(2 < x < 4)
( n + 2 ) ln ( n + 1)

( x − 4 )2 n
(3 < x < 5 )
o)
( n + 1) ln ( n + 2 )
n =1

Nhận xét

∑

∞

∑ an ( x − a )

n

(1) được gọi là chuỗi luỹ thừa tại x = a ,

n =0
∞

Đặt z = x – a có

∑ an zn

(2), tìm bán kính hội tụ R c ủa chuỗi (2), thì có tập hội tụ

n =0

của chuỗi (1), c ụ thể hội tụ với: –R < x – a < R hay a – R < x < a + R và phân k ỳ với
x < a – R, hoặc x > a + R; để nhận được khoảng hội tụ ta c ần xét tại x = a – R và x
= a + R.
2. Các tính chất của chuỗi luỹ thừa
∞

a) Chuỗi luỹ thừa

∑ an x n hội tụ đều trên mọi đoạn [a ; b] nằm trong khoảng hội tụ của nó.
n =0

∞

b)

∑ an x n = S ( x ) ,

x < R ≠ 0 ⇒ S ( x ) liên tục trên khoảng ( −R ; R ) .

n =0
∞

c)

∑ an x n = S ( x ) ,

x < R ≠ 0 ⇒ S ( x ) khả tích trên mọi đoạn [a ; b ] ⊂ ( −R ; R ) và có

n =0
∞ b

 ∞

n
 an x n dx 
an x  dx =






n =0  a

a  n =0


b

∫ ∑

∑ ∫

∞

d)

∑ an x n = S ( x ) ,

x < R ≠ 0 ⇒ S ( x ) khả vi trên khoảng ( −R ; R ) và có:

n =0
∞
∞

d 
d
n

an x  =
an x n



dx  n = 0
 n = 0 dx

∑

∑ (

)

 ∞
 ∞
n
Nhận xét. Thực chất từ a) ta có: lim 
an x  =
lim an x n

x → x0 
 n =0
 n = 0 x → x0
Ví dụ 1. Tìm biểu thức chuỗi luỹ thừa của ln (1 + x )

∑

∑

(

)

Miền xác định: x < 1.
1
f ′( x ) =
, ở đó đặt f(x) = ln(1 + x)
1+ x
CuuDuongThanCong.com

/>

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



∞

∞

1
1
=
=
f ′( x )
( − x )n = ( −1)n x n
x + 1 1 − (− x ) n =0
n =0

∑

x

∑

x

 ∞

n
−1) t n  dt
f ′ ( t ) dt = 
(



0
0  n =0

∫∑

∫

∞ x

∑∫

f ( x ) − f (0) =

n =0 0

∞

x n +1
( −1)
n +1
n =0

∑

( −1)n t n  dt =



∞

Do f ( 0 ) = 0 nên có ln (1 + x ) =

n

∑ ( −1)
n =1

n +1

xn
x2 x3 x 4
=x−
+

−
+
n
2
3
4

,

x <1

Ví dụ 2. Tìm biểu diễn chuỗi luỹ thừa của hàm tan−1 x
π
π
Đặt f ( x ) = tan−1 x, − < f ( x ) <
2
2
1
f ′( x ) =
1+ x2
1
1+ x2

=

∞

1

( )

1− −x2

x

x

=

∞

n

n
∑ ( − x ) = ∑ ( −1) .x 2n ,
2

n =0

x <1

n =0

x
∞
∞
2n +1
 ∞
n 2n 
n

n x
2n
= 
f ′ ( t ) dt =
( −1) t  dt = ( −1) t dt = ( −1)
2

2n + 1
+
t
1
n =0
n =0

0
0
0  n =0
0

∫

x

dt

∫

∫∑

∞

∑

∑

∫

x 2n +1
x3 x5 x7
tan x − tan 0 =
=x−
+
−
+
( −1)
2
n
+
1
3
5
7
n =0
−1

⇒ tan

∑

−1

−1

n

x3 x5 x7
x =x−
+
−
+
3
5
7

,

,

x <1

x <1

∞

Ví dụ 3. Tính tổng

xn
n
n =1

∑

Có R = 1, chuỗi hội tụ với |x| < 1
∞

xn
Đặt f ( x ) =
có
n
n =1

∑

∞

∞

x n −1
1
f ′( x ) =
n
=
x n −1 =
n
1− x
n =1
n =1

∑

x

∫
0

∑

x

f ′(t )dt =

∫
0

dt
1− t

x <1

f ( x ) − f ( 0 ) = − ln (1 − x ) ,
CuuDuongThanCong.com

x < 1 ⇒ f ( x ) = − ln (1 − x ) ,

x <1
/>

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Ví dụ 4. Biểu diễn chuỗi luỹ thừa của hàm
1

(1 − x )

2

1

(1 − x )2

∞
∞
∞

d  1  d 
n
n −1
=
=
x  =
nx
=
n + 1) x n ,

(


dx  1 − x  dx  n = 0  n =1

n =0

∑

∑

∑

x <1

∞

∑ n2 xn

Ví dụ 5. Tính tổng của chuỗi

n =1

R = 1, chuỗi hội tụ về f(x) với |x| < 1.
∞

f (x) =

∑n

2 n

∞

x =

n =1
∞

∑ x.n2 x n −1 = xg ( x ),
n =1

∞
∞

d n +1 d
d 
n +1
g( x ) =
( n + 1) x = ( n + 1) x =
( n + 1) x =  x ( n + 1) x n 
dx
dx n = 0
dx  n = 0
n =0
n =0


∑

2

n

∞

∑

∑

∞

Theo ví dụ 4 có

∑ ( n + 1) x n
n =0

=

∑

1

(1 − x )2


d 
x
1+ x

=
g( x ) =
dx  (1 − x )2  (1 − x )2



f (x) =

x + x2

(1 − x )3

Ví dụ 6. Tính tổng
∞

a)

∑ ( −1)
n =1
∞

c)

∑

n =1
∞

n −1

2n − 1
2n

x 2 n −1
2n − 1

1 1+ x
( ln
, x < 1)
2 1− x

∞

b)

n

∑ xn
n =1

(

x
( x − 1)2

, x > 1)

(3 )

1
( x − 1)3n + 2
x
1
2x − 3
π 
( −1)

arctan
d)
( ( x − 1)  ln 2
+
+
 , 0 < x ≤ 2)
3
n
+
1
3
3
3
6
3
x − 3x + 3


n =0

∑

n

3n + 2
x+2
1
2x + 1
π 
n ( x + 1)

1
(
)
e)
−1
( ( x + 1)  ln
+
arctan
+
 , −2 < x < 0 )
2
n
+
3
1
3
3
3
6
3
x + x +1


n =0
n
−
1
∞
( −1)
( x + 1)n (ln x + 2 , −2 < x < 0 )

f)
n
n =1
∞

∑

∑
∞

g)

∑ ( −1)

n −1

( n + 1) ( x − 1)

n =1

CuuDuongThanCong.com

n

(

x2 − 1
x2

, 0 < x < 2)

/>

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



( −1)n
1 1
π 
h)
(
+
ln3

)
3n + 2
2
3
(
)
6
3
3
n
+
1
2



n =0
∞

∑

∞

k1)

∑
n =0
∞

∞

n +1

(4)

2n

k2)

∑
n =0
∞

n +1
3n

9
( )
4

( −1)n +1
3
k4)
(
ln
)
n +1
(
)
4
n
+
1
3
n =0

1
k3)
(ln 2 )
n +1
(
)
n
+
1
2

n =0

∑

∑

H
ng d n.
∞

+) S′ ( x ) =

a) +) R = 1

∑ ( −1)
n =0

n

x

2n

=

x

1

+)

1+ x2

∫

x

S′ ( t ) dt =

0

1

∫ 1 + t 2 dt
0

+) S ( x ) − S ( 0 ) = arctan x ⇒ S ( x ) = arctan x
∞

1
( 2n − 1) x 2n − 2 có S  1  = A
c) +) Xét chuỗi S ( x ) =
2 n =1
 2

∑

 ∞ 2n −1  1 d  x  1 1 + x 2
d
 1 
+) S ( x ) =

x
=
.
+)
+) R = 1
S

=



=3
2
 2 dx  1 − x 2  2 (
dx  n =1
2)
2



1− x
3. Khai triển thành chuỗi luỹ thừa
∞ (n)
f ( x0 )
Định nghĩa.
( x − x0 )n được gọi là chuỗi Taylor của hàm số f ( x ) tại lân cận
n!
n =0

∑

∑

đi ểm x 0 .
∞

f ( n ) (0) n
Nếu x0 = 0 ta có
x được gọi là chuỗi MacLaurin của hàm số f ( x ) .
n
!
n =0

∑

∞

f ( n ) (0) n
Định nghĩa. Nếu
x = f ( x ) ta bảo hàm số f ( x ) được khai triển thành chuỗi
n
!
n =0

∑

Taylor

Định lí 3. f ( x ) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận nào đó của x0 , lim Rn ( x ) = 0 ,
n →∞

f
Rn ( x ) =

( n +1)

(ξ )
( x − x0 )n +1 , ξ ở giữa x0 và x
(n + 1)!
∞

⇒ f (x) =

f ( n ) ( x0 )
( x − x0 )n
n!
n =0

∑

Định lí 4. f ( x ) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận nào đó của điểm x0 ;
f ( n ) (ξ) ≤ M , ∀ ξ thuộc lân cận của x0 nói trên
∞

f ( n ) ( x0 )
⇒ f (x) =
( x − x0 )n .
n!
n =0

∑

CuuDuongThanCong.com

/>