chủ đề lượng giác toán học lớp 10 bài tập và lời giải

CHƯƠNG VI
CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Đơn vị đo góc và cung trịn, độ dài cung trịn
a) Đơn vị rađian: Cung trịn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian.
Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian
1 rađian cịn viết tắt là 1 rad.
Vì tính thơng dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.
b) Độ dài cung trịn. Quan hệ giữa độ và rađian:
0
Cung trịn bán kính R có số đo a ( 0 � a � 2p ) , có số đo a ( 0 �a � 360) và có độ dài là l thì:
l = Ra =

pa
a
a
.R do đó =
180
p 180

0

�
180�
p
�
Đặc biệt: 1rad = �
, 10 =
rad .
�

�
�
�
180
�p �
2. Góc và cung lượng giác.
a) Đường trịn định hướng: Đường trịn định hướng là một đường trịn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển
động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim
đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.
Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou,Ov lần lượt cắt đường
tròn tại U và V . Tia Om cắt đường tròn tại M , tia Om chuyển động
theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng
chuyển động theo một chiều trên đường tròn.
 Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia
Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu
là Ou , tia cuối là Ov . Kí hiệu ( Ou,Ov )


Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm
V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểm
đầu U , điểm cuối V . Kí hiệu là





�

UV

Tia Om quay đúng một vịng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2p ), quay hai
vịng thì ta nói nó quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo chiều âm một phần tư vịng ta nói nó
p
25
quay góc - 900 (hay - ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy(
vịng) thì nói nó quay góc
2
7
25
50p
)…
.3600 (hay 7
7
Ta coi số đo của góc lượng giác ( Ou,Ov ) là số đo của cung lượng giác

c) Hệ thức Sa-lơ.
 Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý ta có:
Sđ ( Ou,Ov) + Sđ ( Ov,Ow) = Sđ ( Ou,Ow) + k2p ( k �Z )
Sđ ( Ou,Ov ) - Sđ ( Ou,Ow) = Sđ ( Ow,Ov ) + k2p ( k �Z )
 Với ba điểm tùy ý U ,V ,W trên đường trịn định hướng ta có :
�

�

�

�

�

Sđ
Sđ
Sđ
UV + VW = UW + k2p ( k �Z )
�

Sđ
Sđ
Sđ
UV UW = WV + k2p ( k �Z )
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
110

�

UV


 DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải.
Ngồi việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, cơng thức tính độ dài cung trịn khi biết số đo,
mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chúng ta cần lưu ý đến kết quả sau:
Nếu một góc(cung) lượng giác có số đo a0 (hay a rad ) thì mọi góc(cung) lượng giác cùng tia đầu(điểm
đầu), tia cuối(điểm cuối) với nó có số đo dạng dạng a0 + k3600 (hay a + k2p rad , k �Z ), mỗi góc(cung)
ứng với mỗi giá trị của k . Từ đó hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau một bội của
2p
2. Các ví dụ minh họa.
0
0
0

Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 72 ,600 , - 37 45'30'' .
b) Đổi số đo của các góc sau ra độ:

5p 3p
, ,- 4.
18 5

Lời giải
p
p
2p
p
10p
rad nên 720 = 72.
=
,6000 = 600.
=
,
180
180
5
180
3
0
0
0
�45�
� � 30 �
� �4531�
� 4531 p

�
�
- 37045'30'' = - 370 - �
=
.
� 0,6587
� �
� �
�=
�
�
�
�120 �
60.60�
�60�
� �
� �
� 120 180

a) Vì 10 =

0

0

0

�
�
180�

5p �
5p 180�
3p �
3p 180�
�
�
b) Vì 1rad = �
nên
=�
.
= 50o,
=�
.
= 108o,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
18 �18 p �
5
�p �
�5 p �

0

� 180�
�
- 4=- �
4.
=�
�
�
� p �
�

0

�720�
�
�
�- 2260048' .
�
�
�
�p �
�

Ví dụ 2: Một đường trịn có bán kính 36m . Tìm độ dài của cung trên đường trịn đó có số đo là
3p
1
a)
b) 510
c)

4
3
Lời giải
pa
Theo cơng thức tính độ dài cung trịn ta có l = R a =
.R nên
180
3p
a) Ta có l = R a = 36.
= 27p � 84,8m
4
pa
p51
51p
b) Ta có l =
.R =
.36 =
� 32,04m
180
180
5
1
c) Ta có l = R a = 36. = 12m
3
Ví dụ 3: Cho hình vng A0A1A2A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp theo chiều ngược chiều
�

�

quay của kim đồng hồ). Tính số đo của các cung lượng giác A A , A A ( i, j = 0,1,2,3,4, i � j ).

i j
0 i
Lời giải
�
�
Ta có A OA = 0 nên sđ A A = k2p , k �Z
0
0
0 0
�
�
p
p
A0OA1 = nên sđ A0A1 = + k2p , k �Z
2
2
�
�
A0OA2 = p nên sđ A0A1 = p + k2p , k �Z
�
�
p
p
3p
A0OA3 = nên sđ A0A3 = 2p + k2p =
+ k2p , k �Z
2
2
2

111


�

Như vậy sđ A0Ai = i p + k2p , i = 0,1,2,3 , k �Z
2
�
�
�
p
Theo hệ thức salơ ta có sđ A A =sđ A A - sđ A A + k2p = ( j - i ) . + k2p , k �Z .
i j
0 j
0 i
2

Ví dụ 4: Tìm số đo a của góc lượng giác ( Ou,Ov ) với 0 � a � 2p , biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia
cuối với góc đó có số đo là:
33p
291983p
a)
b) c) 30
4
3
Lời giải
33p
+ k2p, k �Z
4
33

2p, k Z
0
4

a) Mọi góc lượng giác ( Ou,Ov ) có số đo là
33p
Vì 0 � a � 2p nên 0 �+���
+��
k2p
4
33
25
��k �, k �Z � k = - 4
8
8
33p
p
Suy ra a =
+ ( - 4) .2p =
4
4

k2

2, k

291983p
+ k2p, k �Z
3
291983p

291983
Vì 0 � a � 2p nên 0 �-+���
-+�� k2p 2p, k Z
0
3
3
291983
291989
�ۣ���= k
,k Z
k
6
6
291983p
p
Suy ra a = + 48664.2p =
3
3
Ou
,
Ov
) có số đo là 30 + k2p, k �Z
c) Mọi góc lượng giác (

Z

b) Mọi góc lượng giác ( Ou,Ov ) có số đo là -

Vì 0 � a � 2p nên 0 �+�+��
30 �

k2p 2p, k

Z

0

15
p

k

1, k

k2

2, k

Z

Z

15
p - 15
�k �
, k �Z � k = - 4
p
p
Suy ra a = 30 + ( - 4) .2p = 30 - 8p � 4,867 .
�-

p
29p
22 6p 41p
. Trong các số , những số nào là
; ;
;
7
7
7 7
7
số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho?
Lời giải
Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p do đó
29p �
p�
22 �
p�
6p �
p�
41p �
p�
�
�
�
�
�
�
- �
- �
=

2
.2
p
=
3
p
=
p
�
�
�
�
(
)
Vì ,
,
và
�
�
�
�
�
�
�
�= 3.2p nên các
�
�
�
�
7

7 � 7�
7 � 7�
7
� 7�
� 7�
Vi dụ 5: Cho góc lượng giác ( Ou,Ov ) có số đo -

29p 41p
là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho.
;
7
7
Ví dụ 6: Cho sđ ( Ou, Ov) = a và sđ ( Ou ', Ov ') = b . Chứng minh rằng hai góc hình học uOv, u 'Ov ' bằng
số -

nhau khi và chỉ khi hoặc b - a = k2p hoặc b + a = k2p với k �Z .
Lời giải
Ta có sđ ( Ou, Ov ) = a và sđ ( Ou ', Ov ') = b suy ra tồn tại a0, p < a0 � p , f 0, p < b0 � p và số nguyên
112


k0,l0 sao cho a = a0 + k02p, b = b0 + l02p .
� và b là số đo của �
Khi đó a0 là số đo của uOv
0
u 'Ov ' .

�a0 = b0
Hai góc hình học uOv, u 'Ov ' bằng nhau khi và chỉ khi a0 = b0 � �
�

a0 = - b0
�
� b - a = k2p hoặc b + a = k2p với k �Z .
3. Bài tập luyện tập.
0
0
0
Bài 6.0: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 20 , 40 25', - 27 .( chính xác đến 0,001)
p
2p
,,- 5.
17
7
39p
mp
Bài 6.1: Hai góc lượng giác có số đo
và
( m là số nguyên ) có thể cùng tia đầu, tia cuối được không?
7
9
Bài 6.2: Một đường trịn có bán kính 25m. Tìm độ dài của cung trên đường trịn đó có số đo là
3p
4
a)
b) 490
c)
7
3
Bài 6.3: Tìm số đo a0 của góc lượng giác ( Ou,Ov ) với 0 �a � 360 , biết một góc lượng giác cùng tia đầu,
tia cuối với góc đó có số đo là:

b) Đổi số đo của các góc sau ra độ:

a) 3950

b) - 10520

c) ( 20p )

0

Bài 6.4: Cho lục giác đều A0A1A2A4A5A6 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp theo chiều ngược
�

�

chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo của các cung lượng giác A A , A A ( i, j = 0,1,2,3,4,5, i � j ).
i j
0 i
�

�

Bài 6.5: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Cho điểm M , N sao cho sđ AM = p , sđ AN = - p . Các điểm
5
5
�

�

M ', N ' lần lượt là các điểm đối xứng của M , N qua tâm đường trịn. Tìm số đo của cung

AM ', AN ' và
�

M 'N '

.

§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác.
a) Đường trịn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng và trên đó chọn điểm A
làm gốc.
b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác.
Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho ( OA,OM ) = a gọi là
điểm xác định bởi số a (hay bởi cung a , hay bởi góc a ). Điểm M
còn được gọi là điểm trên đường trịn lượng giác biểu diễn cung(góc)
lượng giác có số đo a .
Nhận xét: Ứng với mỗi số thực a có một điểm nằm trên đường tròn
lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên,
mỗi điểm trên đường trịn lượng giác ứng với vơ số thực. Các số thực
có dạng là a + k2p, k �Z .
d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ
gắn với đường tròn lượng giác. Với mỗi góc lượng giác ( Ou,Ov ) có
số đo a , xác định điểm M ( x;y ) trên đường trịn lượng giác sao cho sđ... Khi đó ta định nghĩa
113


cosa = x, sin a = y
tan a =

�
sin a �
p
�
a � + kp �
�
�
�
cosa �
2
�
�

cosa
( a � kp )
sin a
Ý nghĩa hình học: Gọi K , H lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox,Oy . Vẽ trục số At gốc A cùng hướng
với trục Oy và vẽ trục số Bs gốc B cùng hướng với trục Ox , gọi T , S lần lượt là giao điểm của đường thẳng
cot a =

OM cắt với các trục sơ At, Bs . Khi đó ta có:
sin a = OH , cosa = OK , tan a = AT ,cot a = BS
e) Tính chất:
 sin a,cosa xác định với mọi giá trị của a và - 1 � sin a �1, - 1 � cosa �1.



p
+ kp , cot a xác định khi a � kp
2

sin a = sin( a + k2p ) ,cosa = cos( a + k2p )
tana được xác định khi a �

tan a = tan( a + kp ) ,cot a = cot ( a + kp )
f) Dấu của các giá trị lượng giác:
Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường trịn lượng giác.
Bảng xét dấu
Phần tư
I
II
III
IV
Giá trị lượng giác
+
–
–
+
cos
+
+
–
–
sin
+
–
+
–
tan
+
–

+
–
cot
g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

Góc a
sina

0

p
6

p
4

p
3

p
2

2p
3

3p
4

p

3p
2

2p

00

300

450

600

900

1200

1350

1800

2700

3600

0

1
2

2
2

3
2

1

3
2

2
2

0

–1

0

1

3
2

2
2

1
2

0

-

1
2

–1

0

1

0

3
3

1

3

||

-

3

–1

0

||

0

||

3

1

3
3

0

-

3
3

–1

||

0

||

cosa
tana
cot a

2. Các hệ thức lượng giác cơ bản

114

-

2
2


1) sin2 a + cos2 a = 1
1
p
2) 1 + tan2 a =
(a � + kp)
2
2
cos a
1
2
3) 1 + cot a =
(a � kp)
sin2 a
kp
4) tan a.cot a = 1 (a � )

2
3. Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt.
Góc đối nhau ( a và - a )

Góc bù nhau( a và p - a )

cos(- a) = cosa

sin(p - a) = sin a

sin(- a) = - sin a

cos(p - a ) = - cosa

tan(- a ) = - tan a

tan(p - a ) = - tan a

cot(- a) = - cot a

cot(p - a ) = - cot a

Góc hơn kém p ( a và p + a )

Góc hơn kém

Góc phụ nhau( a và

p
- a)

2

�p
�
sin�
- a�
= cosa
�
�
�
�
�2
�
�p
�
cos�
- a�
= sin a
�
�
�
�
�2
�
�p
�
tan�
- a�
�
�

�= cot a
�
�2
�
�p
�
cot �
- a�
�= tan a
�
�
�
�2
�
p
p
( a và + a )
2
2

sin(p + a) = - sin a

�p
�
sin�
+a�
�
�
�= cosa
�

�2
�

cos(p + a) = - cosa

�p
�
cos�
+a�
�
�
�= - sin a
�
�2
�

tan(p + a) = tan a

�p
�
tan�
+a�
= - cot a
�
�
�
�
�2
�

cot(p + a) = cot a

�p
�
cot �
+a�
= - tan a
�
�
�
�
�2
�

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém p tang côtang, hơn
p
kém
chéo sin". Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng cịn khơng nhắc thì đối.
2
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.

1. Phương pháp giải.
Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường trịn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau
 Góc a và góc a + k2p, k �Z có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.


k2p
( với k là số nguyên và m
m

là số nguyên dương) là m. Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần lượt cho k từ 0 tới
Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng a +

( m - 1)
115

rồi biểu diễn các góc đó.


2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường trịn lượng giác có số đo sau:
p
4
Lời giải

b) -

a)

11p
2

c) 1200

d) - 7650

p
1 . Ta chia đường trịn thành tám phần bằng nhau.
a) Ta có 4
=

2p
8
Khi đó điểm M 1 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo
b) Ta có -

p
.
4

13p
p
= - + ( - 3) .2p do đó điểm biểu diễn bởi góc
2
2

11p
p
trùng với góc và là điểm B ' .
2
2

c) Ta có

120 1
= . Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau.
360 3

Khi đó điểm M 2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 1200 .
d) Ta có - 7650 = - 450 + ( - 2) .3600 do đó điểm biểu diễn bởi góc - 7650 trùng với góc - 450 .
45

1
= . Ta chia đường trịn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm )
360 8
� ' ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo - 7650 .
Khi đó điểm M 3 (điểm chính giữa cung nhỏ AB
Ví dụ 2 : Trên đường trịn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là số nguyên
tùy ý).
p
+ kp ;
3
Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
Lời giải
x1 = kp ;



Ta có x1 =

x2 =

x3 = -

k2p
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x1 = kp
2

Với k = 0 � x1 = 0 được biểu diễn bởi điêm A
k = 1 � x1 = p được biểu diễn bởi A '


x2 =

p 2kp
p
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x2 = + kp
+
3
2
3

k = 0 � x2 =
k = 1� x =

116

p
được biểu diễn bởi M 1
3

4p
được biểu diễn bởi M 2
3

p
+ kp
3




p k2p
p
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x3 = - + kp
+
3
2
3

x3 = -

k = 0 � x3 = k = 1 � x6 =


p
được biểu diễn bởi M 3
3

2p
được biểu diễn bởi M 4 .
3

Do các góc lượng giác x1, x2, x3 được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều AM 1M 4A 'M 2M 3 nên các góc
lượng giác đó có thể viết dưới dạng một cơng thức duy nhất là x =

kp
.
3

3. Bài tập luyện tập.
Bài 6.6: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường trịn lượng giác có số đo sau:

a)

p
3

b) -

17p
4

c) - 450

d) 7650

Bài 6.7: Trên đường trịn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo là x =

p
p
+ k (k là số
4
2

nguyên tùy ý).
Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là số nguyên tùy
p
+ kp
2
Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng cơng thức duy nhất nào?
ý).

x1 = kp ;

x2 =

 DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN
QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải.
 Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác
 Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt
 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt
 Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuối
của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
1
2sin2550�cos(- 188�
)
7p
5p
7p
+
a) A = sin
b) B =
+ cos9p + tan() + cot
tan368� 2cos638�+ cos98�
6
4
2
p
3p

5p
c) C = sin2 25�+ sin2 45�+ sin2 60�+ sin2 65�
d) D = tan2 .tan .tan
8
8
8
Lời giải
� p�
� p�
�
�p
�
p+ �
+ cos( p + 4.2p ) - tan �
p+ �
+ cot �
+ 3p �
�
�
a) Ta có A = sin�
�
�
�
�
�
�
�
� 4�
�2
� 6�

�
�
�
p
p
p
1
5
+ cosp - tan + cot = - - 1- 1 + 0 = 6
4
2
2
2
0
0
2sin
30
+
7.360
�
cos(8
+ 180�
)
(
)
1
+
b) Ta có B =
tan( 80 + 360�
) 2cos( - 900 + 80 + 2.360�+

) cos( 900 + 8�)
� A = - sin

117


1
2. ( - cos80 )
2sin300 ( - cos80 )
1
1
2
B =
+
=
+
=
tan80 2cos( 80 - 900 ) - sin80
tan80 2cos( 900 - 80 ) - sin80
1
cos80
1
cos80
=
=
=0
tan80 2sin80 - sin80
tan80 sin80
c) Vì 250 + 650 = 900 � sin650 = cos250 do đó
2

2
� 2�
� �
0
1�
�
2
2
2
2
�
�
�
C = ( sin 25�+ cos 25) + sin 45�+ sin 60�= 1 + �
+��
�
�
�
�2 �
2�
�
�
� �
7
.
4
� p
3p �� �
p � 5p �
tan .tan �

.�
tan�
- �
tan �
�
�
d) D = - �
�
�
�
�
8 ��
� 8
� 8�
� 8�
� �
�
Suy ra C =

� p�
p 3p
p p 5p
p
3p
p
5p
+
= ,+
= � tan
= cot , tan

= cot �
- �
�
�
�
�
8
8
2 8
8
2
8
8
8
� 8�
� p
�
p �� �
p� �
p�
�= - 1.
tan .cot �
.�
tan �
- �
cot �
- �
�
�
�

Nên D = - �
�
�
�
�
�
�
�
� 8� �
� 8�
�
8 ��
� 8
� �
�
p
Ví dụ 2: Cho < a < p . Xác định dấu của các biểu thức sau:
2
�p
�
�3p
�
�
�
+a�
tan
a
�
�
a) sin�

b)
�
�
�
�
�
�
�2
�
�2
�
�p
�
14p
- +a�
.tan( p - a )
�
c) cos�
d) sin
.cot ( p + a )
�
�
�
�2
�
9
Mà

Lời giải
�p

�
p
p
3p
+a�
<0
�
suy ra sin�
< a < p � p < +a <
�
�
�2
�
�
2
2
2
�3p
�
p
3p
p
- a�
�
b) Ta có suy ra tan�
> - a > - p � 0>
- a >�
�< 0
�
�2

�
2
2
2
�p
�
p
p
p
- +a�
�
c) Ta có < a < p � 0 < - + a < suy ra cos�
�
�> 0
�2
�
�
2
2
2
a) Ta có

p
suy ra tan ( p + a ) > 0
2
�
p
+a�
.tan( p + a ) > 0.
�

�
2
�

Và 0 < p - a <
�
Vậy cos�
�
�
�

3p 14p
14p
<
< 2p � sin
< 0.
2
9
9
p
3p
< p + a < 2p suy ra cot ( p + a ) < 0 .
2
2
14p
Vậy sin
.cot ( p + a ) > 0 .
9
3. Bài tập luyện tập:

Các bài tập sau đây đều không sử dụng máy tính bỏ túi
Bài 6.9: Tính giá trị các biểu thức sau:
sin405�+ sin495�
a) A =
cos1830�+ cos3660�
d) Ta có

118


b) B =

1 + cos1800�tan(- 390�
)
tan(- 420�
)

c) D = cos00 + cos200 + cos400 + ... + cos1600 + cos1800
d) E = tan50 tan100 tan150...tan800 tan850
e) F = cos2 15�+ cos2 35�+ cos2 55�+ cos2 75�
Bài 6.10: Tính giá trị các biểu thức sau:
151p
85p
193p
37p
a) A = 5sin2
.
+ 3cos2
- 4tan2
+ 7cot2

6
3
6
3
p
2p
p
3p
b) B = cos2 + cos2
.
+ cos2 + cos2
5
5
10
10
p
2p
5p
7p
c) C = tan tan tan tan
9
9
18
18
Bài 6.11: Xác định dấu của các biểu thức sau:
� 2p �
�
22p
3p
a) A = sin500.cos(- 3000)

b) B = sin2150.tan
c) C = cot .sin�
�
�
� 3�
�
7
5
Bài 6.12: Cho 00 < a < 900 . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) sin(a + 900)
b) cot(a - 900)
c) tan(2700 - a)

d) cos(2a + 900)

p
. Xét dấu của các biểu thức sau:
2
a) cos(a + p)
b) tan(a - p)
� 2p �
�
� 3p �
�
c) sin�
d) cos�
a+ �
a�
�
�

�
�
�
�
5�
8�
Bài 6.14: Cho tam giác ABC có góc A tù. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) M = sin A + sin B + sinC
b) N = cosA.cosB.cosC
A
B
C
c) P = cos .sin .cot
d) Q = cot A tan B cotC
2
2
2
Bài 6.13: Cho 0 < a <

 DẠNG TOÁN 3 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC
KHƠNG PHỤ THUỘC GĨC x , ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng tính chất của giá trị lượng giác
để biến đổi
+ Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế
cùng bằng một đại lượng khác.
+ Chứng minh biểu thức khơng phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất hiện nhân tử
chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) cos4 x + 2sin2 x = 1 + sin4 x
sin x + cosx
b)
= cot3 x + cot2 x + cot x + 1
3
sin x
2
cot x - cot2 y
cos2 x - cos2 y
=
c)
cot2 x.cot2 y
cos2 x.cos2 y
� p�
� �p
�
4
2
4
2
x+ �
tan �
- x�
�
d) sin x + 4cos x + cos x + 4sin x = 3tan �
�
�
�
�
�6

� 3�
� �
�
Lời giải
a) Đẳng thức tương đương với cos4 x = 1 - 2sin2 x + ( sin2 x )
119

2


2

� cos4 x = ( 1 - sin2 x ) (*)
Mà sin2 x + cos2 x = 1 � cos2 x = 1 - sin2 x
2

Do đó (*) � cos4 x = ( cos2 x ) (đúng) ĐPCM.
sin x + cosx
1
cosx
=
+
3
2
sin x
sin x sin3 x
1
sin x
Mà cot2 x + 1 =
và tan x =

nên
2
cosx
sin x
VT = cot2 x + 1 + cot x ( cot2 x + 1) = cot3 x + cot2 x + cot x + 1 = VP ĐPCM.
b) Ta có VT =

cot2 x - cot2 y
1
1
=
= tan2 y - tan2 x
2
2
2
cot x.cot y
cot y cot2 x
� 1
� � 1
�
1
1
cos2 x - cos2 y
�
�
�
=�
1
1
=

=
= VP ĐPCM.
� � 2
�
�
�
� cos2 y cos2 x
�
�cos x
�cos2 y
� �
�
cos2 x.cos2 y

c) Ta có VT =

d) VT =
=

sin4 x + 4( 1- sin2 x ) + cos4 x + 4( 1- cos2 x )

( sin2 x )

2

= ( 2 - sin2 x ) + ( 2 -

2

( cos2 x ) - 4cos2 x + 4 = ( sin2 x - 2)

cos2 x ) = 4 - ( sin2 x + cos2 x ) = 3

- 4sin2 x + 4 +

2

+

( cos2 x - 2)

� p�
� �p
� p
�p
�
� p�
x + �+ �
- x�
- x�
x+ �
�= � tan�
�= cot �
�nên
Mặt khác vì �
�
�
�
�
�
�

�
�
�
�
�
�
� 3 � �6
� 2
�6
�
� 3�
� p�
� p�
VP = 3tan�
x+ �
cot �
x+ �
�
�= 3 � VT = VP ĐPCM.
�
�
�
�
�
�
� 3� � 3�
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
B
B
sin3

cos3
2
2
= tan A.cot(B + C )
�
�
�
�
A
+
2
B
+
C
A
+
2
B
+
C
�
�
cos�
sin�
�
�
�
�
�
�

�
�
�
2
�
�
2
�
Lời giải
Vì A + B + C = p nên
B
B
B
B
sin3
cos3
sin3
cos3
B
B�
2
2
2 2 =- �
�
VT =
=
sin2 + cos2 �
�
�
�= - 1

� 2
�p B �
�
�p B �
�
B
B
�
2
�
cos�
+ � sin�
+ � - sin
cos
�
�
�2 2 �
�2 2 �
�
�
2
2
VP = tan A.cot ( p - A ) = tan A.( - cot A ) = - 1
Suy ra VT = VP . ĐPCM
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
�3p
�
�3p
�
a) A = cos(5p - x) - sin�

+ x�
+ tan�
- x�
�
�
�
�+ cot(3p - x)
�
�
�2
�
�2
�
b) B =
c) C =

sin(900�+ x) - cos(450�- x) + cot(1080�- x) + tan(630�- x)
cos(450�- x) + sin(x - 630�) tan(810�+ x) - tan(810�- x)
2-

1
1
1
.
+
với p < x < 2p
sin( x + 2013p ) 1 + cosx 1- cosx

Lời giải
a) Ta có cos(5p - x) = cos( p - x + 2.2p ) = cos( p - x ) = - cosx

�3p
�
� p
�
�p
�
sin�
+ x�
= sin�
p + + x�
= - sin�
+ x�
�
�
�
�
�
�
�
�
�= - cosx
�2
�
� 2
�
�2
�
120

2

�3p
�
� p
�
�p
�
tan�
- x�
p + - x�
- x�
�= tan�
�= tan�
�= cot x
�
�
�
�
�
�
�2
�
� 2
�
�2
�
cot(3p - x) = cot ( - x ) = - cot x
Suy ra A = - cosx -

(-

cosx ) + cot x + ( - cot x ) = 0

0
0
0
b) Ta có sin(900�+ x) = sin( 180 + 2.360 + x ) = sin( 180 + x ) = - sin x

cos( 4500 - x ) = cos( 900 + 3600 - x ) = cos( 900 - x ) = sin x
cot(1080�- x) = cot(3.360�- x) = cot ( - x ) = - cot x
tan(630�- x) = tan(3.180�+ 900 - x) = tan(900 - x) = cot x
sin(x - 630�=
) sin( x - 2.3600 + 900 ) = sin( x + 900 ) = cosx
tan(810�+ x) = tan(4.180�+ 900 + x) = tan(900 + x) = - cot x
tan(810�- x) = tan(4.180�+ 900 - x) = tan(90�- x) = cot x
Vậy B =

- sin x - sin x - cot x + cot x
- 2sin x
=
sin x + cosx - ( - cot x ) - cot x
sin x + cosx

c) Ta có sin( x + 2013p ) = sin( x + p + 1006.2p ) = sin( x + p ) = - sin x nên
C =

2+

1

1 - cosx + 1 + cosx
.
sin x ( 1 - cosx ) ( 1 + cosx )

�
1
2
1
2
1
�
�
.
=
2
+
.
=
2
1+
2
2
�
�
sin x 1 - cos x
sin x sin x
� sin x sin x
Vì p < x < 2p � sin x < 0 nên
�
1 �

�
C = 2�
1�= - 2cot2 x
�
2 �
�
� sin x �
Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc vào x .
sin6 x + cos6 x + 2
a) A =
sin4 x + cos4 x + 1
1 + cot x
2 + 2cot2 x
B
=
b)
1- cot x ( tan x - 1) ( tan2 x + 1)
=

c) C =

2+

�
�
�
�
�
�

sin4 x + 6cos2 x + 3cos4 x + cos4 x + 6sin2 x + 3sin4 x

Lời giải
2

a) Ta có Ta có sin4 a + cos4 a = ( sin2 a + cos2 a ) - 2sin2 a cos2 a = 1- 2sin2 a cos2 a
3

3

sin6 a + cos6 a = ( sin2 a ) + ( cos2 a ) = ( sin2 a + cos2 a ) ( sin4 a + cos4 a - sin2 a cos2 a )
= sin4 a + cos4 a - sin2 a cos2 a = 1 - 2sin2 a cos2 a - sin2 a cos2 a = 1 - 3sin2 a cos2 a
2
2
1- 3sin2 a cos2 a + 2 3( 1- sin a cos a )
3
=
=
Do đó A =
2
2
2
2
2
1 - 2sin a cos a + 1 2( 1- sin a cos a )
Vậy A không phụ thuộc vào x .
2cos2 x
1
2+
1+

tan x sin2 x
b) Ta có B =
1
1
1( tan x - 1) 2
tan x
sin x
2
2
tan x + 1 2( sin x + cos x )
tan x + 1 - 2
=
=
=1
tan x - 1
tan x - 1
tan x - 1
121


Vậy B không phụ thuộc vào x .
c) C =

( 1-

2

cos2 x ) + 6cos2 x + 3cos4 x +

( 1-

=

4cos4 x + 4cos2 x + 1 + 4sin4 x + 4sin2 x + 1

=

( 2cos2 x + 1)

2

+

( 2sin2 x + 1)

2

sin2 x ) + 6sin2 x + 3sin4 x

2

= 2cos2 x + 1 + 2sin2 x + 1
=3
Vậy C không phụ thuộc vào x .
3. Bài tập luyên tập.
Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa.
Bài 6.15: Rút gọn các biểu thức sau:
�p
�
a) A = cos�

+ x�
�
�
�+ cos(2p - x) + cos(3p + x)
�2
�
�
�
�3p
�
7p
b) B = 2cosx - 3cos(p - x) + 5sin�
- x�
+ cot �
- x�
�
�
�
�
�
�
�2
�
�2
�
c) C = 2sin( 900 + x ) + sin(9000 - x) + sin( 2700 + x ) - cos( 900 - x )
d) D =

sin(5p + x)cos(x -

9p
) tan(10p + x)
2
.

11
cos(5p - x)sin( p + x) tan(7p - x)
2
Bài 6.16: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) tan2 x - sin2 x = tan2 x.sin2 x
tan3 x
1
cot3 x
b)
+
= tan3 x + cot3 x
2
2
sin x sin x cosx cos x
c) sin2 x - tan2 x = tan6 x(cos2 x - cot2 x)
tan2 a - tan2 b sin2 a - sin2 b
=
tan2 a.tan2 b
sin2 a.sin2 b
Bài 6.17: Đơn giản các biểu thức sau
1
a)
- tan2 ( 1800 - x ) - cos2 ( 1800 - x )
2
cos x

sin3 x + cos3 x
c)
cos2 x + sin x(sin x - cosx)
d)

cos2 x - sin2 x
- cos2 x
2
2
cot x - tan x
1 + sin x
1- sin x
d)
+
1 - sin x
1 + sin x
b)

1
1
1
1
( 0 < x < p ).
+
.
+
1 + cosx 1- cosx 1 + sin x 1 - sin x
1
1
1

1
1
1
f) ( 2 +
)( 2 ).
2
2
2
sin x cos x tan x cot x sin x cos2 x
Bài 6.18: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a .
a) (tan a + cot a )2 - (tan a - cot a )2
e)

b) 2(sin6 a + cos6 a) - 3(sin4 a + cos4 a)
c) cot2 300(sin8 a - cos8 a) + 4cos600(cos6 a - sin6 a) - sin6(900 - a) ( tan2 a - 1)
d) (sin4 a + cos4 a - 1)(tan2 a + cot2 a + 2)
Bài 6.19: Cho tam giác ABC . Hãy rút gọn
0
� 0 B�
B
A +C
2�
2 1080 + A + C
�
A
=
cos
540
+
+

cos
+ tan tan
�
a)
�
�
�
�
2�
2
2
2
122

3


�
�
�
�
B
B
sin �
+ 7200 �
cos�
- 9000 �
�
�
�

�
�
� cos( A + C )
�
�2
�2
�
�
�
b) B =
+
.tan B
A +C
A +C
sin B
cos
sin
2
2

 DẠNG TOÁN 4 : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ
TRỊ LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải.
 Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta
sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp.
 Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại sơ.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác cịn lại của góc a biết:
1
2

3p
a) sin a = và 900 < a < 1800 .
b) cosa = và p < a <
.
3
3
2
p
3p
c) tan a = - 2 2 và 0 < a < p
d) cot a = - 2 và < a <
2
2
Lời giải
a) Vì 900 < a < 1800 nên cosa < 0 mặt khác sin2 a + cos2 a = 1 suy ra
cosa = -

1 - sin2 a = -

sin a
=
Do đó tan a =
cosa

1-

1
2 2
=9
3

1
3 =- 1
2 2
2 2
3

b) Vì sin2 a + cos2 a = 1 nên sin a = � 1 - cos2 a = � 1 -

4
5
=�
9
3

3p
5
� sin a < 0 suy ra sin a = 2
3
2
5
sin a
3 = 2
3 = 5 và cot a = cosa =
=
Ta có tan a =
sin a
cosa
2
2

5
5
3
3
1
1
=c) Vì tan a = - 2 2 � cot a =
tan a
2 2
1
1
1
1
1
2
2
tan
a
+
1
=
�
cos
a
=
=
=
�
cos
a

=
�
2
2
2
Ta có
3.
cos a
tan a + 1
- 2 2 +1 9
Mà p < a <

(

)

Vì 0 < a < p � sin a > 0 và tan a = - 2 2 < 0 nên cosa < 0
1
Vì vậy cosa = 3
� 1�
� 2 2
sin a
� sin a = tan a.cosa = - 2 2.�
- �
=
Ta có tan a =
.
�
�
cosa

� 3�
� 3
d) Vì cot a = 123

2 nên tan a =

1
1
=.
cot a
2


1
1
2
2
Ta có cot a + 1 = sin2 a � sin a = cot2 a + 1 =
-

(

1

)

2

2 +1

=

1
1
� sin a = �
3
3

p
3p
� cosa < 0 và cot a = - 2 < 0 nên sin a > 0
2
2
3
Do đó sin a =
.
3
cosa
3
6
Ta có cot a =
� cosa = cot a.sin a = - 2.
=sin a
3
3
1
Ví dụ 2: a) Tính giá trị lượng giác cịn lại của góc a biết sin a = và tan a + cot a < 0
5
Do

b) Cho 3sin4 a - cos4 a =

1
. Tính A = 2sin4 a - cos4 a .
2

Lời giải
1
1
=
= 25 � cot2 a = 24
2
2
sin a
�1�
a) Ta có
hay cot a = �2 6
�
�
�
�
�
�
�5�
Vì tana , cot a cùng dấu và tan a + cot a < 0 nên tan a < 0, cot a < 0
cot2 a + 1 =

Do đó cot a = - 2 6 . Ta lại có tan a =

1
1
=.
cot a
2 6

cosa
1 - 2 6
� cosa = cot a sin a = - 2 6. =
sin a
5
5
2
1
1
b) Ta có 3sin4 a - cos4 a = � 3sin4 a - ( 1 - sin2 a ) =
2
2
4
2
4
4
� 6sin a - 2( 1 - 2sin a + sin a ) = 1 � 4sin a + 4sin2 a - 3 = 0
cot a =

� ( 2sin2 a - 1) ( 2sin2 a + 3) = 0 � 2sin2 a - 1 = 0 (Do 2sin2 a + 3 > 0 )
Suy ra sin2 a =

1
.

2

Ta lại có cos2 a = 1- sin2 a = 1 2

�
1�
�
Suy ra A = 2�
�
�
��
2�
�

1 1
=
2 2

2

�
1�
1
�
�
=
�
�
�
�

2� 4
�

tan a + 3cot a
2
. Tính A =
.
tan a + cot a
3
sin a - cosa
b) Cho tan a = 3. Tính B =
3
sin a + 3cos3 a + 2sin a
c) Cho cot a = 5 . Tính C = sin2 a - sin a cosa + cos2 a
Lời giải
1
1
+2
tan a + 3
2
tan a + 3 cos2 a
tan
a
=
=
= 1 + 2cos2 a
a) Ta có A =
2
1
1

tan a + 1
tan a +
tan a
cos2 a
4 17
Suy ra A = 1 + 2. =
9
9
Ví dụ 3: a) Cho cosa =

124


sin a
cosa
tan a ( tan2 a + 1) - ( tan2 a + 1)
3
3
cos
a
cos
a
=
b) B =
sin3 a 3cos3 a 2sin a
tan3 a + 3 + 2tan a ( tan2 a + 1)
+
+
cos3 a
cos3 a

cos3 a
3( 9 + 1) - ( 9 + 1)
2
=
Suy ra B =
27 + 3 + 2.3( 9 + 1)
9
� cosa cos2 a �
sin2 a - sin a cosa + cos2 a
2
�
= sin a �
1+
�
c) Ta có C = sin a.
�
�
�
sin2 a
sin2 a �
� sin a
2

=

1
1
( 1 - cot a + cot2 a ) =
2
1 + cot a

1+ 5

( )

2

( 1-

)

5+5 =

6-

5
6

Ví dụ 4: Biết sin x + cosx = m
4
4
a) Tìm sin x cosx và sin x - cos x
b) Chứng minh rằng m � 2
Lời giải
2

a) Ta có ( sin x + cosx ) = sin2 x + 2sin x cosx + cos2 x = 1 + 2sin x cosx (*)
Mặt khác sin x + cosx = m nên m2 = 1 + 2sin a cosa hay sin a cosa =

m2 - 1
2

4
4
Đặt A = sin x - cos x . Ta có

A = ( sin2 x + cos2 x ) ( sin2 x - cos2 x ) = ( sin x + cosx ) ( sin x - cosx )
� A2 = ( sin x + cosx )

2

( sin x -

2

cosx ) = ( 1 + 2sin x cosx ) ( 1 - 2sin x cosx )

� m2 - 1�
� m2 - 1�
� 3 + 2m2 - m4
�
�
� A2 = �
1
+
1
�
�=
�
�
�

�
�
2 �
2 �
4
�
�
�
3 + 2m2 - m4
2
b) Ta có 2sin x cosx � sin2 x + cos2 x = 1 kết hợp với (*) suy ra
Vậy A =

( sin x + cosx )

2

�2 � sin x + cosx � 2

Vậy m � 2
3. Bài tập luyện tập.
Bài 6.20: Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết
a) sin a =

3
với 00 < a < 900
5

b) cosb =

1
với 0 < a < p
5

c) tan a = 2 và p < a < 2p
d) cosa = 0,8 và tan a + cot a > 0
Bài 6.21: a) Cho cosa =
b) Cho sina =
125

cot a + 3tana
2
. Tính A =
2cot a + tana
3

3cot a + 2tana + 1
1
. Tính B =
cot a + tana
3


c) Cho tana = 2. Tính C =

2sina + 3cosa
;
sina + cosa

d) Cho cot a = 5. Tính D = 2cos2 a + 5sina cosa + 1

Bài 6.22: Biết tan x + cot x = m .
tan6 x + cot6 x
a) Tìm tan2 x + cot2 x
b)
c) Chứng minh m � 2
tan4 x + cot4 x
12
Bài 6.23: Cho sin a cosa =
. Tính sin3 a + cos3 a
25
Bài 6.24: Cho tana - cot a = 3 . Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = tan2 a + cot2 a b) B = tana + cot a
c) C = tan4 a - cot4 a
3
Bài 6.25: Cho 3sin4 x + cos4 x = . Tính A = sin4 x + 3cos4 x .
4
§3. MỘT SỐ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Công thức cộng:

sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa
sin(a - b) = sina.cosb - sinb.cosa
cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb
cos(a - b) = cosa.cosb+ sina.sinb
tana + tanb
tan(a + b) =
1 - tana.tanb
tana - tanb
tan(a - b) =
1 + tana.tanb

2. Công thức nhân đôi, hạ bậc:
a) Công thức nhân đôi.
sin2a = 2sin a.cosa
cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1- 2sin2 a
tan2a =

2tan a
1 - tan2 a

b) Công thức hạ bậc.
1 - cos2a
2
1 + cos2a
2
cos a =
2
1
cos2
a
tan2 a =
1 + cos2a
sin2 a =

3. Cơng thức biến đổi tích thành tổng.
1�
cos(a + b) + cos(a - b) �
�
2�
1

sina sinb = - �
cos(a + b) - cos(a - b) �
�
2�
1
sina cosb = �
sin(a + b) + sin(a - b) �
�
2�
4. Công thức biển đổi tổng thành tích.
cosa cosb =

126


a +b
a- b
cosa + cosb = 2cos
.cos
2
2
a +b
a- b
cosa - cosb = - 2sin
.sin
2
2
a +b
a- b
sina + sinb = 2sin

.cos
2
2
a +b
a- b
sina - sinb = 2cos
.sin
2
2

sin(a + b)
cosa.cosb
sin(a - b)
tana - tanb =
cosa.cosb
sin(a + b)
cot a + cot b =
sina.sinb
sin(b - a)
cot a - cot b =
sina.sinb
tana + tanb =

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị
lượng giác của góc khơng đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tính các giá trị lượng giác sau: cos7950, sin180, tan

7p
5p
.
,cot
12
8

Lời giải


Vì 7950 = 750 + 2.3600 = 300 + 450 + 2.3600 nên

cos7950 = cos750 = cos300 cos450 - sin300 sin450 =


3 2 1 2
.
- .
=
2 2
2 2

6- 2
4

Vì 540 + 360 = 900 nên sin540 = cos360

0
0

2
0
Mà cos36 = cos( 2.18 ) = 1 - 2sin 18

sin540 = sin( 180 + 360 ) = sin180 cos360 + sin360 cos180
= sin180.( 1 - 2sin2 180 ) + 2sin180 cos2 180 = sin180.( 1 - 2sin2 180 ) + 2sin180 ( 1- sin2 180 )
= 3sin180 - 4sin3 180
0
3
0
2
0
0
2
0
0
Do đó 3sin18 - 4sin 18 = 1 - 2sin 18 � ( sin18 - 1) ( 4sin 18 + 2sin18 - 1) = 0

� sin180 = 1 hoặc sin180 =

5- 1
hoặc sin180 =
2

Vì 0 < sin180 < 1 nên sin180 =

5+1
2

5- 1

.
2



cot

127



p
p
�p p �
� tan 3 + tan 4
7p
3 +1
tan
= tan �
+ �
=
=
= - 2�
�
�
12
p
p
�3 4 �
1

3
1- tan tan
3
4
�p p �
5p
p
= cot �
+ �
= - tan
�
�
�
�
8
8
�2 8 �

3


� p�
p
2. �
�
Ta lại có 1 = tan = tan�
�
�=
�
4

� 8�

2tan

p
1 - tan2
8

� tan

p
= - 18

Do tan

p
p
> 0 nên tan = - 1 + 2
8
8

Vậy cot

2 hoặc tan

5p
= 18

p
8

suy ra 1- tan2

p
p
p
p
= 2tan � tan2 + 2tan - 1 = 0
8
8
8
8

p
= - 1+ 2
8

2

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
a) A = sin22030'cos202030'

b) B = 4sin4

p
2p
- sin
5
15
c) C =

p
2p
cos - cos
5
15

d) D = sin

sin

p
p
+ 2cos
16
8

p
5p
7p
- sin
+ sin
9
9
9

Lời giải
0
0
0
0

a) Cách 1: Ta có cos202 30' = cos( 180 + 22 30') = - cos22 30'

Do đó A = - sin22030'cos22030' = Cách 2: A =
=

1
2
sin450 = 2
4

1�
1
sin( 22030'+ 202030') + sin( 22030'- 202030') �
= �
sin2250 + sin ( - 1800 ) �
�
�
�
2
2�

1�
1
2
sin( 1800 + 450 ) - sin1800 �
= - sin450 = �
�
2
2
4

2

� 2 p�
�
p
b) B = �
2sin
+ 2cos =
�
�
�
�
16�
8
�

2

�
� p�
�
p
�
�+ 2cos
1- cos�
2. �
�
�
�
� 16�

�
�
8
�
�
�

p
p
p
= 1 - 2cos + cos2 + 2cos = 1 +
8
8
8

p
2
1+
4 = 1+
2 = 6+ 2
2
2
4

1 + cos

1�p 2p �
1�p
p
2p

2cos �
+ �
sin �
�
�
�
- sin
� 2�
�5
2�
�5 15 �
5
15
=
c) C =
p
2p
1�p 2p �
1�p
cos - cos
- 2sin �
sin �
�
� + �
��
5
15
2�5 15 � 2�5
sin

2p �
p
�
�
cos
�
15 �
6 = - cot p = =2p �
p
6
�
sin
�
�
15 �
6

3

� p
7p �
5p
4p
p
5p
4p
5p
sin + sin �
- sin
= 2sin .cos - sin

= sin
- sin
=0
�
d) D = �
�
�
� 9
9�
9
9
3
9
9
9
�
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
a) A =
128

1
1
+
0
cos290
3sin2500

0
0
b) B = ( 1 + tan20 ) ( 1 + tan25 )

d) D = sin2

c) C = tan90 - tan270 - tan630 + tan810

p
2p
p
2p
+ sin2
+ sin sin
9
9
9
9

Lời giải
0
0
0
0
0
0
0
a) Ta có cos290 = cos( 180 + 90 + 20 ) = - cos( 90 + 20 ) = sin20

sin2500 = sin( 1800 + 900 - 200 ) = - sin( 900 - 200 ) = - cos200
1
C =

sin200
=4

1
3cos200

=

3sin200 - sin200
3sin200.cos200

sin600 cos200 - cos600 sin200
0

3sin40

=

3
1
cos200 - sin200
2
=4 2
0
3.2.sin20 .cos200

4sin400
0

3sin40

=

4 3
3

� sin200 �
� sin250 �
sin200 + cos200 sin250 + cos250
�
�
�
�
B
=
1
+
1
+
=
.
�
�
b) Cách 1: Ta có
�
�
�
�
�
� cos250 �

cos200
cos250
� cos200 �
�
sin200 cos450 + cos200 sin450
sin250 cos450 + cos250 sin450
.
2.
cos200
cos250

=

2.

=2

sin650 sin700
=2
cos200 cos250

Cách 2: Ta có tan450 = tan( 200 + 500 ) =
Suy ra 1 =

tan200 + tan250
1 - tan200 tan250

tan200 + tan250
� tan200 + tan250 + tan200 tan250 = 1
1 - tan200 tan250

� ( 1 + tan200 ) ( 1 + tan250 ) = 2 .
Vậy B = 2
0
0
c) C = tan9 + tan81 -

( tan270 + tan630 )

sin90 cos810 + sin810 cos90 sin270 cos630 + sin630 cos270
=
cos90 cos810
cos270 cos630
2( sin540 - sin180 )
1
1
2
2
=
=
=
cos90 sin90 cos270 sin270
sin180 sin540
sin180 sin540
=

4cos360.sin180
=4
sin180.sin540
2

p
2p
p
2p �
p
2p �
p
2p
d) D = sin + sin2
+ sin sin
=�
sin + sin �
- sin sin
�
�
�
�
9
9
9
9
9�
9
9
� 9
2

2

�
p
p � 1�
p
p�
p
1�1
p�
=�
2sin cos �
cos - cos �
- cos �
�+ �
�= cos2 + �
�
�
�
�
� 2�
�
�
�
� 3
�
6
18�
9�
18 2�
2
9�

�
p
1 + cos
1
p� 3
9 + 1�
�
=
- cos �
�
�
�= 4
2
2�
2
9�
�
129


Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên được sử dụng
�
�
1
3
�
�= 2sin(x � p)
sin
x
�

3cos
x
=
2
sin
x
�
cos
x

�
�
2
2
3
�
�
�3
�
1
�
�= 2sin(x � p)
3sin
x
�
cos
x
=
2
sin

x
�
cos
x

�2
�
2
6
�
�
�1
�
1
p
 sin x �cosx = 2 � sin x � cosx �= 2sin(x � ) .
�
�
4
2
�2
�
Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
a) A = sin

p
p
p
p
cos .cos .cos

32
32
16
8

p
3p
c) C = cos + cos
5
5

b) B = sin10o.sin30o.sin50o.sin70o

d) D = cos2

p
2p
3p
+ cos2
+ cos2
7
7
7

Lời giải
1�
p
p� p
p
1

p
p
p
1 p
p
1 p
2
2sin cos �
.cos .cos = sin .cos .cos = sin .cos = sin =
a) A = �
�
�
�
�
2�
32
32� 16
8 2 16
16
8 4
8
8 8
4
16
1
b) Ta có B = cos200 cos400 cos80o do đó
2
16sin200.B = 8sin200 cos200 cos400 cos80o
= 4sin400 cos400 cos80o
= 2sin800 cos800 = sin1600

Suy ra B =

sin1600
1
= .
0
16
16sin20

p
2p
p
c) Ta có C = 2cos cos . Vì sin � 0 nên
5
5
5
p
p
p
2p
2p
2p
4p
2sin .C = 4sin cos cos
= 2sin cos
= sin
5
5
5
5

5
5
5
Suy ra C =

c) D =

1
2
2p
4p
6p
1 + cos
1 + cos
2p
4p
6p �
7 +
7 +
7 = 3 + 1�
�
cos + cos + cos �
�
�
�
2
2
2
2 2�
7

7�
� 7

1 + cos

Xét T = cos

130

2p
4p
6p
p
+ cos
+ cos , vì sin � 0 nên
7
7
7
7


p
p
2p
p
4p
p
6p
2sin T = 2sin cos + 2sin cos
+ 2sin cos

7
7
7
7
7
7
7
� 3p
�
�
�
�
p
5
p
3
p
5p �
=�
sin
- sin �
sin - sin �
sin p - sin �
�+ �
�+ �
�
�
�
�
� �

�
�
� 7
�
� 7
7�
7�
� �
7�
p
= - sin
7
Suy ra T = Vậy D =

1
.
2

3 1�
+ .�
�
2 2�
�

� 5
1�
= .
�
2�
� 4

Ví dụ 5: Cho a, b thoả mãn sin a + sin b =

2
6
và cosa + cosb =
. Tính cos( a - b ) và sin( a + b )
2
2

.
Lời giải


Ta có sin a + sin b =

cosa + cosb =

2
1
� sin2 a + sin2 b + 2sin a sin b = (1)
2
2

6
3
� cos2 a + cos2 b + 2cosa cosb = (2)
2
2

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được
sin2 a + sin2 b + cos2 a + cos2 b + 2sin a sin b + 2cosa cosb = 2
� 2 + 2( sin a sin b + cos a cos b ) = 2 � 2cos( a - b ) = 0
Vậy cos( a - b ) = 0


Từ giả thiết ta có ( sin a + sin b ) ( cosa + cos b ) =

� sin a cosa + sin a cosb + sin b cosa + sin b cos b =
�

1
3
( sin2a + sin2b ) + sin( a + b ) =
2
2

2 6
.
2 2
3
2

Mặt khác sin2a + sin2b = 2sin( a + b ) cos( a - b ) = 0 (Do cos( a - b ) = 0 )
Suy ra sin( a + b ) =

3
2

3. Bài tập rèn luyện.

p
p
11p
Bài 6.26: Tính các giá trị lượng giác sau sin , sin , cot
8
16
12
Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau:
a) A = 4sin450 cos120 cos30 - sin540 - sin360

131

0
0
b) B = ( 1 - cot23 ) ( 1 - cot22 )


p
p
+ 2sin
5
20
d) D =
p
p
2cos - 2sin
5
20
2sin

p
5p
7p
c) C = cos + cos + cos
9
9
9
Bài 6.28: Tính:
a) Tính giá trị lượng giác của góc

p
12

c) cos360 - cos720

b) cos4

p
p
- sin4
24
24

d) sin100 sin500 sin700

Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = cos2 730 + cos2 470 + cos730 cos470

b) B = sin60 sin420 sin660 sin780

p
4p
5p
c) C = cos cos cos
7
7
7

d) D =

1
- 4sin700
0
sin10

Bài 6.30: Cho a, b thoả mãn sin a + sin b = m và cosa + cos b = n , mn � 0 .
Tính cos( a - b ) , cos( a + b ) và sin( a + b ) .
Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau:
p
7p
13p
19p
25p
a) A = sin sin sin
sin
sin
30
30
30
30

30
o
o
o
o
b) cos24 + cos48 - cos84 - cos12
p
2p
3p
c) cos - cos + cos
7
7
7
Bài 6.32: Tính giá trị của biểu thức sau:
p
4p
5p
a) A = cos .cos .cos
7
7
7
0
0
b) B = cos10 .cos50 .cos700
o
o
o
o
c) C = sin6 .sin42 .sin66 .sin78
2p

4p
8p
16p
32p
.cos .cos .cos
.cos
31
31
31
31
31
o
o
o
o
o
e) F = sin5 .sin15 .sin25 .... sin75 .sin85
d) E = cos

0
0
0
Bài 6.33: Tính A = ( 1 + tan1 ) ( 1 + tan2 ) ...( 1 + tan45 )

Bài 6.34: Tính A = cosa cos2a cos3a...cos999a với a =

2p
1999

 DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CĨ ĐIỀU KIỆN.

1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho cos2x = -

� p�
�
p�
4
p
p
x+ �
, cos�
2x - �
�
�.
, với < x < . Tính sin x, cosx, sin�
�
�
� �
�
�
4�
� 3�
�
5
4
2

Lời giải
p
p

Vì < x < nên sin x > 0, cosx > 0.
4
2
Áp dụng công thức hạ bậc, ta có :

132


1 - cos2x
9
3
=
� sin x =
2
10
10
1 + cos2x
1
1
cos2 x =
=
� cosx =
2
10
10
Theo cơng thức cộng, ta có
� p�
�
p
p

3 1
1
3 3+ 3
sin�
x+ �
= sin x cos + cosx sin =
. +
.
=
�
�
�
3
3
� 3�
10 2
10 2
2 10
�
p�
p
p
4 2
2
3
1
2
cos�
2x - �
= cos2x sin + cos sin2x = - .

+
.2.
.
=�
�
�
�
�
4�
4
4
5 2
2
10
10 10
sin2 x =

Ví dụ 2: Cho cos4a + 2 = 6sin2 a với

p
< a < p . Tính tan2a .
2

Lời giải
Ta có cos4a + 2 = 6sin2 a � 2cos2 2a - 1 + 2 = 3( 1 - cos2a )
� 2cos2 2a + 3cos2a - 2 = 0 � ( 2cos2a - 1) ( cos2a + 2) = 0 � cos2a =
Ta có 1 + tan2 2a =
Vì

1

(Vì cos2a + 2 > 0 )
2

1
1
� tan2 2a =
- 1= 3
2
cos 2a
cos2 2a

p
< a < p � p < a < 2p nên sin2a < 0 . Mặt khác cos2a > 0 do đó tan2a < 0
2

Vậy tan2a = Ví dụ 3: Cho

3

1
1
1
1
+
+
+
= 7 . Tính cos4a .
tan2 a cot2 a sin2 a cos2 a

Lời giải

1
1
1
1
+
+ 2 +
=7
2
2
tan a cot a sin a cos2 a
sin2 a + 1 cos2 a + 1
�
+
=7
cos2 a
sin2 a
sin2 a ( sin2 a + 1) + cos2 a ( cos2 a + 1)
�
=7
sin2 a cos2 a
� sin4 a + cos4 a + 1 = 7sin2 a cos2 a

Ta có

2

� ( sin2 a + cos2 a ) - 2sin2 a cos2 a + 1 = 7sin2 a cos2 a
� 2 = 9sin2 a cos2 a
� 8 = 9( 2sin a cosa )

2

� 8 = 9sin2 2a
� 16 = 9( 1 - cos4a )
7
� cos4a = 9
7
Vậy cos4a = 9
Ví dụ 4: Cho sin a + cosa = cot
Lời giải
133

�a + 2013p �
a
�
�
với 0 < a < p . Tính tan�
�
�.
�
2
�
�
2


a
a
2a
Ta có sin a = 2sin cos = 2cos .

2
2
2

a
a
2tan
2 =
2
a
a
cos
tan2 + 1
2
2
sin

�
a�
2a
�
sin2 �
1
tan
�
�
a
a
a�
2�

�
2
�
cosa = cos2 - sin2 = cos2 �
1=
�
�
�
2
2
2�
a
a
2
�
cos2 �
�
�
� tan 2 + 1
�
�
2�
a
a
2 = 1
+
Do đó sin a + cosa = cot �
2
a
a

a
tan2 + 1 tan2 + 1 tan
2
2
2
2tan

a
2

1 - tan2

a�
a
a�
a
a
a
a
� tan �
1 + 2tan - tan2 �
= 1 + tan2 � tan3 - tan2 - tan + 1 = 0
�
�
�
�
2�
2
2�
2

2
2
2
2
� a
�� a
�
a
��
tan - 1�
tan + 1�
��
�= 0 � tan = �1
�
�
�
�
�
�
2
� 2
�� 2
�
Vì 0 < a < p � 0 <

a
p
a
a
a

< do đó tan > 0 nên tan = 1 � cot = 1
2
2
2
2
2

�
�
�a
a + 2013p �
p�
a
+ 2006p + �
�= tan�
�= - cot = - 1
Ta có tan�
�
�
�
�
�
�
2
2�
2
�
�
�2
�a + 2013p �

�
�
Vậy tan�
�
�= - 1
�
2
�
�
a
Lưu ý: Ta có thể biểu diễn sin a,cosa,tan a,cot a qua t = tan như sau:
2
sin a =

2t
1- t2
2t
1- t 2
,cos
a
=
,tan
a
=
,cot
a
=
với a làm các biểu thức có nghĩa.
2t
1 + t2

1 + t2
1 - t2

1
Ví dụ 5: Cho sin( a + b ) = , tan a = - 2tan b .
3
� 3p �
� � p�
�
� 5p �
� �
a+ �
cos�
a + �+ sin �
bsin �
b�
Tính A = sin�
�
�
�
�
�
� 8�
� 12 �
�
8�
�
� �
�
�

� �
Lời giải
1
1
Ta có sin( a + b ) = � sin a cosb + cosa sin b = (1)
3
3
tan a = - 2tan b � sin a cosb = - 2sin b cosa (2)
�
� 2
1
�
�
cosa sin b = cos a sin2 b =
�
�
�
�
3��
Từ (1) và (2) ta được �
�
�
2
2
2
�
�
�sin a cos b = �sin a cos b =
�
3

�

134

�
p�
�
.
12�
�

�
1
1
�
( 1 - sin2 a ) sin2 b =
�
�
9��
9
�
4
4
2
2
�
�sin a ( 1 - sin b ) =
9
�
9