Vận dụng tư tưởng sư phạm của G.Polya trong dạy học phương pháp tọa độ trong không gian

1

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1.

Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã

quy định: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê
học tập và ý chí vươn lên" (chương I, điều 4). "Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học
sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi dưỡng phương pháp tự học,
rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh" (chương I, điều 24).
Đổi mới phương pháp dạy học là một yêu cầu tất yếu trong sự nghiệp
đổi mới giáo dục và đào tạo ở nước ta. Xu hướng dạy học theo hướng tích cực
hóa hoạt động học tập của học sinh đang trở thành phương châm hành động
của hầu hết giáo viên. Phương pháp là khâu có ý nghĩa quan trọng đối với
chất lượng đào tạo. Vì vậy đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực
hóa hoạt động của người học được quan tâm hơn bao giờ hết.
1.2.

Trong quá trình đổi mới phương pháp dạy học, các nhà lý luận trên thế

giới đã khẳng định vai trò to lớn và ý nghĩa quan trọng của xu hướng dạy học
theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của người học, đối với quá trình
nhận thức và giáo dục nhân cách cho thế hệ trẻ.
Trong dạy học Toán, tư tưởng G.Polya đã được quan tâm ở nhiều nước
trên thế giới. Cuốn “Giải một bài toán như thế nào” nguyên bản tiếng Anh,
đã được dịch ra nhiều thứ tiếng và được độc giả các nước hết sức hoan

nghênh. Tư tưởng G.Polya trong bài tập tốn có ý nghĩa triết học, ý nghĩa
giáo dục cao trong giáo dục toán học cho học sinh. Các dạng hoạt động nhận
thức chủ yếu trong dạy học Toán bao gồm: hoạt động biến đổi đối tượng; hoạt
động đồng hóa; hoạt động điều ứng; hoạt động phát hiện; hoạt dộng mơ hình


2

hóa.
Theo G.Polya, cần hình thành cho học sinh thói quen trước lời giải của
một bài toán, tự đặt những câu hỏi dạng: “Cách giải này thật đúng, nhưng làm
thế nào để nghĩ ra một cách giải khác?”, sự kiện này đã được kiểm nghiệm,
nhưng làm thế nào để phát hiện ra các sự kiện như vậy? Và làm thế nào để tự
mình phát hiện ra được?...”. Theo ơng, cần giúp học sinh biết tiến hành các
hoạt động của mình thơng qua các thao tác trí tuệ, đặc biệt là “những suy luận
có lý” để nhận dạng bài tốn, trình bày và kiểm tra lời giải. Trong phần hình
giải tích, hệ thống bài tập rất đa dạng, tính trừu tượng cao, địi hỏi các em
phải biết cách nắm quy trình giải, cách tiếp cận bài tốn,...Vì vậy giáo viên
cần xác định đúng đắn các dạng hoạt động và giúp học sinh học tốt thơng qua
việc luyện tập các hoạt động đó.
1.3.

Đã có một số cơng trình nghiên cứu về vận dụng tư tưởng sư phạm của

G.Polya vào dạy học giải bài tập bậc trung học phổ thông như đề tài “Vận
dụng qui trình giải tốn của G.Polya vào dạy học giải bài tập toán cho học
sinh chuyên toán” của tác giả Phí Thị Thùy Vân, đã đăng trên tạp chí khoa
học giáo dục số 4-tháng 1 năm 2006. Việc vận dụng tư tưởng của G.Polya vào
việc xác định và luyện tập các dạng hoạt động trong lĩnh vực giải bài tập hình
học giải tích thì chưa thấy tác giả nào nghiên cứu.

Vì những lý do nêu trên,chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu là:
“Vận dụng tư tưởng sư phạm của G.Polya vào xác định và luyện tập các
hoạt động dạy học bài tập phương pháp tọa độ trong không gian”

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu con đường nâng cao hiệu quả dạy học bài tập toán, dựa vào
việc khai thác tư tưởng G.Polya để xác định đúng đắn các dạng hoạt động
đặc thù trong dạy học giải bài tập hình học giải tích 12.


3

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-

Nghiên cứu tư tưởng chủ đạo của G.Polya trong dạy học bài tập toán

theo phương pháp dạy học tích cực.
-

Xác định các dạng hoạt động của học sinh trong dạy học bài tập hình

học giải tích dựa trên tư tưởng G.Polya.
-

Đề xuất các phương thức sư phạm nhằm tích cực hóa hoạt động nhận

thức cũng như năng lực huy động kiến thức khi giải các bài toán theo định
hướng tư tưởng sư phạm của G.Polya.
-

Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng những đề xuất trên

4. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu khai thác được các tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học
giải bài tập toán, nhìn nhận các tư tưởng đó theo các phương pháp dạy học
tích cực để đề xuất và luyện tập các hoạt động dạy học giải bài tập hình
học giải tích lớp 12 thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn
của học sinh ở trường phổ thơng.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
-

Đối tượng nghiên cứu: nghiên cứu tư tưởng của G.Polya trong dạy học

bài tập tốn, các hoạt động dạy học giải bài tập hình học giải tích 12 và các
giải pháp để luyện tập các hoạt động dạy học đó.
-

Phạm vi nghiên cứu: Bài tập trong nội dung được quy định trong khung

chương trình do Bộ Giáo dục và Đào tạo qui định, nội dụng phương pháp
tọa độ 12. Lớp dạy thử nghiệm, dự giờ chọn trong địa bàn Thành Phố Cần
Thơ, đảm bảo tính khách quan của vấn đề nghiên cứu.
6. Phương pháp nghiên cứu
-

Nghiên cứu cơ sở lý luận của đề tài – lý luận dạy học tích cực, tâm lý

học, giáo dục học, lý luận dạy học mơn tốn, điều khiển học, thông tin học, ý

4

nghĩa triết học của tư tưởng G.Polya và làm sáng tỏ tư tưởng G.Polya thông
qua việc nghiên cứu các luận điểm của Ơng trong dạy học bài tập tốn.
-

Khảo sát thực tiễn: Khảo sát chuyên gia (nhà giáo dục, giáo viên giỏi,

nhiều kinh nghiệm), phỏng vấn, điều tra bằng bảng hỏi (phỏng vấn giáo viên
Toán, học sinh THPT), dự giờ (một số lớp 12 THPT ở vài trường tiêu biểu
trong Thành Phố Cần Thơ): Học tập các kinh nghiệm, để xem tư tưởng
G.Polya có đang được ưa chuộng và sử dụng rộng rãi khơng, cũng như tìm
ra những ưu khuyết điểm khi dạy học giải bài tập hình giải tích bằng cách
vận dụng tư tưởng này khi đưa ra các dạng hoạt động dạy học.
-

Thực nghiệm sư phạm

7. Những đóng góp của đề tài
Các phương thức sư phạm tích cực dựa trên nền tảng tư tưởng sư phạm
G.Polya, góp phần nâng cao chất lượng dạy học giải bài tập hình học giải
tích lớp 12.
8. Cấu trúc của luận văn
Mở đầu
Chương 1.Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1.

Lý luận về dạy học giải bài tập

1.1.1. Vị trí của bài tốn
1.1.2. Chức năng của bài tập Toán
1.1.3. Yêu cầu lời giải một bài toán
1.2.

Tư tưởng sư phạm của G.Polya trong dạy học giải bài tập toán

1.2.1. Hoạt động xem xét mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận một
cách biện chứng
1.2.2. Hoạt động xem xét mối liên hệ giữa các điều kiện đã cho, điều
kiện cần tìm với các bài tốn, mệnh đề đã biết


5

1.2.3. Hoạt động biến đổi bài toán về dạng quen thuộc
1.2.4. Hoạt động liên tưởng
1.2.5. Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ
1.2.6. Hoạt động huy động kiến thức
1.2.7. Hoạt động qua dạy cách thiết lập qui trình giải một bài tốn
1.2.8. Hoạt động phát hiện, mở rộng bài toán
1.3.

Tư tưởng sư phạm G.Polya nhìn nhận theo một số quan điểm dạy
học hiện đại

1.3.1. Nhìn nhận tư tưởng sư phạm G.Polya theo quan điểm của lý
thuyết hoạt động
1.3.2. Nhìn nhận tư tưởng sư phạm G.Polya theo quan điểm dạy học
phát hiện và giải quyết vấn đề

1.3.3. Nhìn nhận tư tưởng sư phạm G.Polya theo quan điểm về dạy học
kiến tạo
1.4.

Thực trạng vận dụng tư tưởng sư phạm G.Polya trong dạy học toán
ở một số trường THPT Đồng Bằng sông Cửu Long

1.5.

Kết luận chương I

Chương 2.Một số phương thức vận dụng tư tưởng sư phạm G.Polya trong
dạy học phương pháp tọa độ trong khơng gian.
2.1.

Nội dung cơ bản của chương trình hình học giải tích 12

2.2.

Đặc điểm và yêu cầu dạy học của chương phương pháp tọa độ
trong không gian

2.3.

Một số phương thức vận dụng tư tưởng sư phạm G.Polya trong dạy
học phương pháp tọa độ trong không gian.


6

2.3.1. Phương thức 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, tổng
hợp, khái qt hóa, đặc biệt hóa để dự đốn và tìm hướng giải
bài tập tốn
2.3.2. Phương thức 2: Luyện tập cho HS hoạt động liên tưởng nhằm
huy động đúng đắn kiến thức đã học để tìm tịi lời giải bài tốn.
2.3.3. Phương thức 3: Luyện tập cho học sinh năng lực biến đổi đối
tượng để chủ thể xâm nhập vấn đề cần giải quyết.
2.3.4. Phương thức 4: Luyện tập cho học sinh hoạt động cân đối giữa hai
mặt cú pháp và ngữ nghĩa.
2.3.5. Phương thức 5: Luyện tập cho học sinh xem xét lời giải các bài
tốn một cách tồn diện.
2.3.6. Phương thức 6: Trang bị cho học sinh tri thức phương pháp để
giải toán.
2.4.

Vận dụng tư tưởng sư phạm G.Polya vào thiết kế một số bài soạn
bài tập phương pháp tọa độ không gian.

2.4.1. Một số yêu cầu khi xây dựng bài soạn về bài tập phương pháp
tọa độ trong không gian.
2.4.2. Các dạng bài tập phương pháp tọa độ trong không gian được quy
định trong chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
2.4.3. Một số ví dụ điển hình về vận dụng quy trình giải tốn của
G.Polya vào dạy học bài tâp phương pháp tọa độ trong không
gian.
2.5.

Kết luận chương 2.

Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

3.1.

Mục đích thực nghiệm

3.2.

Nội dung thực nghiệm


7

3.3.

Tổ chức thực nghiệm
3.2.1 Chọn lớp thực nghiệm
3.2.2 Hình thức tổ chức thực nghiệm

3.4.

Phân tích kết quả thực nghiệm
3.4.1 Phân tích tiết dạy sau khi thực nghiệm
3.4.2 Phân tích kết quả bài kiểm tra

3.5.

Kết luận chương 3

Kết luận chung

8

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập
1.1.1. Vị trí của bài tập tốn học
Theo [13, tr206], ở trường phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt
động tốn học. Đối với học sinh, có thể xem việc giải tốn là hình
thức chủ yếu của hoạt động tốn học. Các bài tốn ở trường phổ
thơng là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế
được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát huy tư duy,
hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt
động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục
đích dạy học tốn ở trường phổ thơng. Vì vậy tổ chức có hiệu quả
việc dạy giải bài tập tốn có vai trị quyết định đối với chất lượng
dạy học toán.
1.1.2. Chức năng của bài tập tốn trong trường phổ thơng
Giải các bài tốn đóng vai trị trung tâm trong hoạt động dạy học, chức
năng của bài tốn khơng bó hẹp trong bài tập áp dụng, mà chức năng quan
trọng được thể hiện theo quy trình sau: Bài tốn→Kiến thức lý thuyết→Bài
tập áp dụng + bài tốn mới [37]. Quy trình này được sử dụng với những dụng
ý, chức năng khác nhau, nhưng không bộc lộ một cách riêng rẽ, tách rời nhau
mà trong mối quan hệ mật thiết với nhau. Chức năng đó có thể dùng để tạo
tiền đề xuất phát, gợi động cơ, làm việc với kiến thức mới, củng cố, kiểm
tra... Nhìn chung, bài tập Tốn thể hiện các chức năng cụ thể sau:
1.1.2.1. Tạo động cơ
Động cơ cho việc tiến hành nghiên cứu đối tượng mới, thông qua giải
bài tập toán để dẫn tới kiến thức như khái niệm mới, định lý mới hoặc bài

9

tốn mới nhờ khái qt hóa. Bản chất của việc tạo động cơ là gợi nhu cầu bên
trong cho hoạt động của chủ thể hướng vào đối tượng của hoạt động. Trong
dạy học bài tập toán, đối tượng của hoạt động là những mối liên hệ, quan hệ
cần khám phá.
1.1.2.2. Hoạt hóa kiến thức cũ
Trong dạy học bài tập tốn, hoạt hóa kiến thức cũ là hoạt động của giáo
viên nhằm làm cho học sinh định hướng đúng việc huy động kiến thức đã có
cho việc giải quyết bài tốn đặt ra. Q trình hình thành kiến thức mới ln
địi hỏi vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức cũ. Hoạt động giải các bài
toán là một trong những cách tốt nhất để học sinh có thể phát huy vai trị chủ
động tích cực của mình nhằm huy động đúng đắn kiến thức.
1.1.2.3. Phương tiện đưa vào kiến thức mới
Các bài tốn có thể được sử dụng như phương tiện đưa vào kiến thức
mới. Kiến thức mới này nảy sinh không phải như là công cụ mà như là kết
quả của hoạt động giải quyết vấn đề.
1.1.2.4. Củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng và hình thành kĩ xảo tốn học
-

Sau khi trình bày một định nghĩa, định lý hay một tri thức phương

pháp, ta thường cho những ví dụ áp dụng. Đó chính là các bài tập có chức
năng củng cố kiến thức vừa xây dựng, đồng thời hình thành kĩ năng vận
dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài toán.
-

Một trong những chức năng chủ yếu của phần bài tập trong mỗi bài,

mỗi chương là củng cố kiến thức, rèn luyện các kĩ năng đã được đưa vào lí

thuyết hay hình thành kĩ năng mới, kĩ xảo có liên quan. Nó cịn cho phép
củng cố kiến thức và kĩ năng đã có trước đó.
1.1.2.5. Phát triển năng lực và phẩm chất tư duy


10

Giải bài toán là cơ hội tốt nhất rèn luyện các thao tác tư duy như: phân
tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa...và rèn luyện các phẩm
chất tư duy như: tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê bình,...
1.1.2.6. Cơng cụ nhận biết các sai lầm của học sinh về một đối tượng
Trước khi học một khái niệm, tính chất,...đơi khi người học đã có
những biểu tượng ban đầu về đối tượng, nhưng được hiện diện một cách
ngầm ẩn. Các biểu tượng này có thể chưa đầy đủ, thậm chí sai lệch. Do đó
việc dự đốn các sai lầm của người học trước khi dạy một nội dung mới trở
nên rất quan trọng. Vì nó cho phép chúng ta lựa chọn và tổ chức một cách
thích hợp qui trình dạy học, cho phép ta biết được cái mà ta cần điều chỉnh,
cái cần củng cố hay bổ sung. Chẳng hạn trước khi dạy các tính chất liên quan
đến quan hệ song song, quan hệ vng góc trong khơng gian, dự đốn những
sai lầm mà học sinh có thể gặp phải bằng cách yêu cầu các em trả lời câu hỏi
dạng đúng sai như:
a. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc đường thẳng thứ ba thì
song song nhau.
b. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc mặt phẳng thứ ba thì song
song nhau.
c. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì
song song nhau.
d. Cho hai đường thẳng song song, nếu một đường thẳng thứ ba cắt
một trong hai đường thẳng đó thì sẽ cắt đường thẳng cịn lại.
...

1.1.2.7. Cho phép làm rõ vai trò và ý nghĩa thực tiễn của tri thức toán học
-

Làm cho học sinh ý thức được nguồn gốc tiễn của toán học. Dù toán

học là môn học suy diễn, nhưng hầu hết các tri thức tốn đều nảy sinh từ
thực tiễn, là cơng cụ hay phương tiện giải quyết các vấn đề thực tiễn. Chẳng


11

hạn dạy học khái niệm tích phân, xuất phát từ một trong các nhu cầu của con
người là tính diện tích hình phẳng có hình dạng bất kì, khái niệm giới hạn để
giải thích các hiện tượng dạng “Asin đuổi rùa”,...
-

Nhấn mạnh đặc trưng của khoa học toán cũng như mục tiêu của dạy

học tốn. Dạy học tốn khơng chỉ đơn thuần là dạy các tri thức tốn mà cịn
dạy cách vận dụng tri thức này vào việc giải quyết các vấn đề thực tiễn. Từ
đó hình thành và phát triển ở học sinh thói quen vận dụng tốn học vào thực
tế.
1.1.2.8. Tiếp cận dạy học mơ hình hóa và dạy học bằng mơ hình hóa
Quy trình giải quyết các bài toán thực tiễn thường trãi qua các bước:
Chuyển bài toán thực tiễn sang bài toán toán học→Giải bài toán toán
học→Chuyển câu trả lời của bài toán toán học về câu trả lời của bài toán toán
học ban đầu. Việc xây dựng mơ hình tốn học của thực tiễn là phương tiện
trung gian cho phép giải các bài toán thực tiễn và ngược lại. Giải các bài toán
thực tiễn lại là động cơ tiếp cận vấn đề mơ hình hóa. Ví dụ, dạy học khái niệm
thể tích khối trụ, có thể bắt đầu từ bài toán thực tiễn: cho học sinh quan sát

một vật thể (hình trụ) đựng đầy nước, hỏi các em có biết thể tích khối nước
trong bình hay khơng ? Chuyển bài tốn thực tiễn này sang bài tốn tốn học
bằng cách cùng các em đi tìm cơng thức tính thể tích khối trụ, sau khi có cơng
thức, vận dụng nó vào giải bài tốn ban đầu là tính thể tích khối nước có trong
bình.
Ngồi các chức năng trên, giải bài tốn cịn là cơ hội hình thành cho
học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, các phẩm chất đạo đức, thẩm mĩ,
là công cụ để kiểm tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh.
1.1.3. Yêu cầu lời giải một bài toán
Theo [13, tr389], lời giải một bài toán cần phải đáp ứng những
yêu cầu:
- Nội dung chính xác.


12

- Lập luận chặt chẽ.
- Lời giải đầy đủ.
- Ngôn ngữ chính xác.
- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.
- Tìm ra nhiều cách giải, phân tích, so sánh những cách giải
khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
- Nghiên cứu giải những bài tốn tương tự, mở rộng hay lật
ngược vấn đề.
1.1.3.1. Nội dung chính xác
Lời giải khơng thể chứa những sai lầm về tính tốn, vẽ hình, các bước
biến đổi...Kết quả sau cùng hay các bước trung gian cần yêu cầu phải đúng,
nghĩa là lời giải khơng có sai sót về mặt kiến thức.
Học sinh thường phạm sai lầm loại này do một số yếu tố:
-

Chưa nắm vững kiến thức, còn mơ hồ về khái niệm, định lý, cơng

thức...có liên quan hoặc khơng chú ý đến bản chất mà sử dụng chúng một
cách máy móc.
-

Hấp tấp, chủ quan.

-

Khơng nắm vững suy luận logic, trình tự các bước lập luận.

1.1.3.2. Lập luận chặt chẽ
Lời giải phải tuân thủ các yêu cầu: Luận đề phải nhất quán, luận cứ
phải đúng, luận chứng hợp logic. Từng bước, từng chi tiết trong lời giải phải
có căn cứ, tránh suy luận trực giác, bài giải phải nhất quán – các yếu tố trong
bài phải mang tên gọi, bản chất như nhau trong cả lời giải, trường hợp có sự
chuyển hóa phải giải thích, thơng báo. Ví dụ, bài tốn “Tìm m để phương
trình (m – 1)x2 – 2mx + m = 0 có hai nghiệm phân biệt”, lời giải sau đây của
học sinh sai về mặt luận cứ:


13

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

1.1.3.3. Lời giải đầy đủ
Lời giải khơng được bỏ sót bất kì trường hợp hay một chi tiết nào. Nó
cũng có nghĩa khơng thừa, khơng thiếu, khơng được dài dịng q cũng khơng

tắt q.
1.1.3.4. Ngơn ngữ chính xác
Lời giải khơng có sai sót về mặt văn phạm, các qui tắc ngữ pháp, cách
ghi kí hiệu tốn học.
Ngồi ra, một lời giải được gọi là “đẹp”, cần phải đáp ứng thêm các
yếu tố:
1.1.3.5. Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.
Trình bày rõ ràng, hợp lý không chỉ đơn thuần về lý thuyết mà cả về
mặt nội dung
1.1.3.6. Tìm ra nhiều cách giải, phân tích, so sánh những cách giải khác nhau
để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
Lời giải đơn giản nhất, hay nhất, nói chung là lời giải ngắn gọn, giải
quyết bằng những phương tiện đơn giản, những kiến thức dễ hiểu, quen thuộc
nhất mà vẫn đạt tới đích. Lời giải hay cịn phụ thuộc vào mục đích luyện tập
cho học sinh, tìm được lời giải hay tức là đã khai thác được sâu đặc điểm
riêng của bài tập, giúp học sinh thích thú khi làm tốn, động viên các em tích
cực suy nghĩ để tìm ra phương án hợp lí nhất.
1.1.3.7. Nghiên cứu giải những bài tốn tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn
đề.


14

Xem xét kĩ các phương pháp đã thực hiện cũng như nhìn bao qt tồn
bộ bài tốn bài tốn, thấy được phần cốt yếu của nó, làm cho cách giải sáng
sủa một cách trực giác để có thể đem áp dụng vào những bài toán khác.
1.2. Tư tưởng sư phạm G.Polya trong dạy học giải bài tập toán
Qua xem xét nghiên cứu những lời khuyên của G.Polya trong dạy học
bài tập tốn, có thể chỉ ra tư tưởng sư phạm G.Polya được thể hiện qua các
hoạt động chủ yếu sau:

1.2.1. Hoạt động xem xét mối liên hệ nhân quả giữa giả thiết và kết luận
của một bài toán
Điều đầu tiên là bài toán đọc lên phải dễ hiểu, bằng cách để học sinh
nhắc lại đầu bài một cách lưu loát. Phải hiểu bài toán một cách tổng thể để
thấy được chi tiết nào là căn bản, chi tiết nào cần được khảo sát chặt chẽ, thấy
rõ cái gì phải tìm, nắm được mối quan hệ giữa các yếu tố khác nhau của bài
tốn, biết chính xác các yếu tố chính, giữa cái chưa biết và cái đã biết, các
điều kiện của bài tốn, từ đó mới có thể vạch ra một chương trình giải. Đối
với bài tốn chứng minh, yếu tố chính của nó sẽ là giả thiết và kết luận mà ta
cần khẳng định hay bác bỏ.
“Đâu là ẩn? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? có thể thỏa mãn điều
kiện bài tốn hay khơng? điều kiện có đủ để xác định ẩn? Hay là thừa, hay
còn thiếu? Hay có mâu thuẫn? Định lý có vẻ đúng hay khơng ? Hay định lý
xem ra có vẻ là vơ lí ?”. Đó là những câu hỏi được nhắc thường xun khi
khởi đầu tìm hiểu một bài tốn, nhưng chưa cần một câu trả lời quyết định.
Dự đốn trước, nhìn thấy trước kết quả phải tìm tất nhiên rất có lợi vì ta có
thể định hướng được cách giải, đồng thời sự hứng thú của học sinh đối với bài
toán sẽ tăng lên, kết quả làm việc cũng tốt hơn.
Ví dụ 1.1 Cho mặt cầu (S) có phương trình
x2  y 2  z 2  2x  4 y  4z  0


15

Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm (khác gốc tọa độ) của mặt cầu với các
trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Cuộc đối thoại giữa giáo viên và học sinh có thể bắt đầu như sau:
GV: Cái gì là chưa biết ?
HS: Phương trình mặt phẳng (ABC)
GV: Những cái gì đã cho biết ?

HS: Phương trình mặt cầu.
GV: Các điểm A, B, C ở vị trí nào trong khơng gian ?
HS: Giao điểm của mặt cầu với các trục tọa độ.
GV: Bài tốn có nghĩa khơng? Tức điều kiện có đủ để xác định cái
chưa biết không ?
HS: Điều kiện là đủ, nếu tọa độ A, B, C được xác định thì phương trình
mặt phẳng (ABC) cũng được xác định.
...
1.2.2. Hoạt động xem xét mối liên hệ giữa các điều kiện đã cho, điều kiện
cần tìm với các bài tốn, mệnh đề đã biết
Để tìm được lời giải và đạt kết quả tốt đòi hỏi phải huy động nhiều
năng lực cũng như kiến thức: thói quen suy nghĩ, sự tập trung, tính kiên nhẫn
và cả sự may mắn. Có lẽ điều quan trọng nhất ở đây là lượng kiến thức và
kinh nghiệm sẵn có của mỗi học sinh. Làm thế nào để có thể khai thác được
các kiến thức đã học, những bài toán đã tiếp xúc và vận dụng nó một cách
linh hoạt trong tình huống mới ?
Bài tốn nào cũng cần phải nhờ đến những kinh nghiệm, kiến thức có
từ trước. Khi giải một bài tốn, ta ln xem xét bài tốn mới có tương tự hay
gần giống với bài tốn nào đó đã giải trước đó (cả về kết quả, phương pháp
hay kinh nghiệm) bằng nhiều hình thức như sự khái quát hóa, đặc biệt hóa, và


16

cả sự tương tự. Cách làm này nhằm giúp học sinh huy động kiến thức có từ
trước, xây dựng mối quan hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới. Từ nội
dung, phương pháp đã biết, có thể tìm được con đường giải quyết vấn đề một
cách nhanh chóng và hiệu quả.
Mỗi khi gặp chướng ngại khiến ta phải dừng lại, ln nhắc lại các câu
hỏi: “Em có biết bài tốn nào gần giống bài tốn này khơng ? Em có biết bài

tốn nào tương tự khơng ? Hãy xét kỹ kết luận và thử nghĩ tới một định lý
quen thuộc có cùng một kết luận như vậy, hay một kết luận tương tự, đây là
một bài toán liên quan với bài toán đã cho mà ta đã biết cách giải. Có thể sử
dụng nó khơng ? Có thể sử dụng được kết quả của nó khơng ?” ...” [26].
“Lời khuyên đó khuyên anh làm cái việc mà lúc anh đói bụng thì anh muốn
kiếm một thứ gì để ăn và anh nghĩ tới những cách quen thuộc để kiếm ra nó.
Khi anh gặp một bài tốn bất kì nào đó anh muốn tìm một cái chưa biết và
nghĩ tới những cách quen thuộc để tìm một cái chưa biết thuộc loại này hay
một cái chưa biết tương tự. Anh đã đi đúng đường: lời khuyên là đúng, nó
vạch ra cho anh một con đường để dẫn tới thành công.”[26, tr 9] .
Ví dụ 1.2 Bài tốn “Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng

lên mặt phẳng

”

Với bài tốn trên, giáo viên có thể đặt câu hỏi để dẫn dắt các em nhớ
lại, liên hệ với dạng toán đã biết cách giải là “tìm tọa độ hình chiếu của một
điểm lên một mặt phẳng cho trước”: Em hãy nhớ lại một dạng tốn tương tự
đã giải trước đó – một dạng tốn có cùng cái chưa biết hay cái chưa biết
tương tự ? Có thể vận dụng được gì từ bài tốn đó trong trường hợp này ?...
1.2.3. Hoạt động biến đổi bài toán về dạng quen thuộc
“Một con bướm cố bay qua cửa kính, cố gắng để thốt ra ngồi nhiều
lần nhưng vơ ích, mà khơng chịu sang cửa sổ bên cạnh đang mở, nơi nó đã
bay vào trong phịng. Có lẽ, con chuột hành động khơn ngoan hơn, bị nhốt


17

trong bẫy, nó tìm cách chui thốt ra giữa hai thanh chắn này, rồi giữa hai

thanh chắn khác, và cứ thế thử mọi cách có thể. Con người, trong mọi trường
hợp giải toán phải biết thay đổi dự định của mình, biết xem xét mọi khả năng
có thể một cách có ý thức hơn...Con người đạt được thành cơng hơn, chính vì
đã biết biến đổi bài tốn một cách thơng minh hơn.”[26, tr 44].
Sử dụng các phương pháp để biến đổi bài tốn như quay về định nghĩa,
phân tích và lập tổ hợp mới, đưa vào những phần tử phụ, sự tổng quát hóa, cá
biệt hóa và tương tự... Các câu hỏi gợi ý trong bảng câu hỏi của G.Polya trước
khi tiến hành hoạt động biến đổi bài toán: “Bạn đã gặp bài tốn đó lần nào
chưa ? Hay đã gặp nó dưới một dạng hỏi khác ? Bạn có biết một bài tốn nào
có liên quan ? Một định lý có thể sử dụng được ? Xét kĩ cái chưa biết. Thử
nhớ lại một bài toán nào quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự.” Khi nhớ
lại một bài tốn có cùng ẩn hay có ẩn tương tự, ta có nhiều hy vọng đi đúng
hướng và hình dung được cách tiến hành để giải bài toán. Việc nhớ lại những
bài toán như vậy là một phương pháp rất tự nhiên và dễ hiểu. Chẳng hạn,
muốn sử dụng kết quả quen thuộc về tam giác, ta phải dùng đến một tam giác
trong hình vẽ. “Trong hình vẽ có tam giác nào khơng ? Nếu khơng, ta có thể
làm xuất hiện ra một tam giác để có thể lợi dụng được kết quả đã biết. Có nên
đưa thêm vào một yếu tố phụ hay khơng ?...”. “Nếu có kinh nghiệm, ta sẽ nhớ
lại dễ dàng một vài bài toán đơn giản có cùng ẩn. Nếu bài tốn đã cho khơng
thuộc vào loại trên thì tự nhiên ta sẽ cố tìm cách lợi dụng kết quả của các bài
tốn đơn giản đó, cố gắng thử đưa thêm vào một yếu tố có ích, và như vậy là
ta đã có được một xuất phát tốt.” [26, tr 81].
Ví dụ 1.3

Bài 10, trang 111, SGK hình học 12, nâng cao: “Cho hình

lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên các tia AA’, AB, AD (có
chung gốc A), lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM = m, AN =
n, AP = p.
a. Tìm sự liên hệ giữa m, n, p sao cho mp(MNP) đi qua đỉnh C’ của

hình lập phương.


18

b. Trong trường hợp mp(MNP) luôn đi qua C’, hãy tìm thể tích bé nhất
của tứ diện AMNP. Khi đó tứ diện AMNP có tính chất gì ?”
Hoạt động biến đổi bài tốn về dạng quen thuộc có thể được giáo viên
dẫn dắt qua các câu hỏi như sau:
GV: Em đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Hay đã gặp nó ở một dạng
hỏi khác ? Bài tốn tương tự rất quen thuộc được phát biểu bằng một hình
thức khác ?
HS: .........
GV: Hãy khai thác hết giả thiết đang có, ABCD.A’B’C’D’ là hình gì ?
HS: Hình lập phương.
GV: Thế thì giả thiết “các tia AA’, AB, AD có chung gốc A” cho em
liên tưởng đến hình ảnh nào rất quen thuộc ?
HS: Hệ trục tọa độ trong không gian.
GV: Đúng rồi, giờ em có thể phát biểu lại bài tốn theo góc nhìn
phương pháp tọa độ ?
...
Từ các câu hỏi dẫn dắt, giáo viên có thể giúp học sinh biến đổi bài toán
về dạng tọa độ rất quen thuộc, giúp các em dễ dàng liên hệ kiến thức cần tìm
với các kiến thức đã có (chứng minh sự đồng phẳng của các điểm, tính thể
tích tứ diện bằng phương pháp tọa độ), từ đó tìm được hướng giải quyết vấn
đề một cách thuận lợi.
1.2.4. Hoạt động liên tưởng
Liên tưởng là một hoạt động của tư duy, đòi hỏi người học khi đứng
trước một vấn đề cần liên tưởng đến tri thức gốc có liên quan. Trong giai
đoạn tìm tịi lời giải bài tốn, hoạt động liên tưởng được tiến hành một cách

thường xuyên “Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Hay đã gặp bài toán


19

tương tự ? Bạn có biết bài tốn nào có liên quan khơng ? Một định lý có thể
vận dụng để giải ? Thử nhớ lại bài toán tương tự có cùng cái chưa biết hay
cái chưa biết tương tự. Có thể sử dụng một bài tốn liên quan mà bạn đã giải
và xem xét có thể sử dụng nó không ?...” Nhờ hoạt động liên tưởng, giúp
chúng ta nhớ lại những yếu tố cần thiết, huy động tất cả những kiến thức có
quan hệ tới vấn đề đạng xét và lựa chọn trong số đó kiến thức cần thiết hơn cả
trước khi tiến hành thực hiện chương trình giải.
Theo [27, tr 22], xét một ví dụ đơn giản. Có bài tốn chỉ với một định
lý D có thể giải được nhanh chóng vì định lý này có tầm quyết định quan
trọng đối với bài tốn, nếu khơng sử dụng sẽ gặp khó khăn. Nhưng tại sao
người giải có thể đốn được định lý D có vai trị quyết định ? Có thể lý giải
như sau:
Trường hợp đơn giản nhất: bài tốn và định lý D có cùng bộ phận hợp
thành, sau khi lần lượt thử các bộ phận, người giải sẽ phát hiện ra bộ phận
này, cách li và tập trung mọi chú ý vào đấy. Nhờ đó người giải sẽ có triển
vọng qua bộ phận này hồi tưởng hay “phục hồi” được toàn bộ định lý D.
Nếu trong khái niệm đầu tiên, bài toán và định lý D khơng có bộ phận
hợp thành chung nào. Trường hợp này có thể có một định lý C đã biết có cùng
với bài toán một bộ phận hợp thành và một bộ phận khác với định lý D.
Người giải có thể đi đến định lý D bằng cách ban đầu tác động vào C, rồi
chuyển từ C sang D.
Có khả năng chuỗi các liên tưởng cịn dài hơn nữa: bài tốn có thể tiếp
xúc về liên tưởng như thế với A, A với B, B với C và cuối cùng C với D (xem
hình 1.1).

Quan niệm của chúng ta về bài tốn

20

I

.

D

C
Thời gian

Hình 1.1. Chúng ta suy nghĩ như thế đấy
Ví dụ 1.4

Bài tốn 22 trang 90 SGK hình học 12 (ban nâng cao):

“Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác
vng đỉnh O. Gọi

lần lượt là góc giữa các mặt phẳng (ABC) và các

mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp tọa độ, hãy chứng
minh:
a. Tam giác ABC có ba góc nhọn.
b.

”

Đọc đề bài tốn này, nếu có kinh nghiệm, người ta liên tưởng đến một
hệ trục tọa độ Oxyz với (OAB) chính là mặt phẳng Oxy, (OBC) là mặt phẳng
Oyz, (OAC) là mặt phẳng Oxz... Sự liên tưởng này giúp học sinh hiểu sâu sắc
bài toán, định hướng đúng quá trình đi tìm con đường giải quyết vấn đề, góp
phần làm tăng sự hứng thú khi giải tốn. Chẳng hạn giáo viên có thể hỏi:
GV: Ba đường thẳng Ox, Oy, Oz có quan hệ gì với nhau ?
HS: Chúng đơi một vng góc và đồng qui tại O.


21

GV: Vậy ba đường thẳng này gợi cho em liên tưởng đến hình ảnh nào
trong khơng gian ?
HS: Hệ trục tọa độ Oxyz.
...
1.2.5. Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ
Do cùng một nội dung tốn học có thể mơ tả bằng nhiều ngơn ngữ khác
nhau, chẳng hạn trong chương trình hình học phổ thông hiện nay, người ta sử
dụng ngôn ngữ tổng hợp, ngôn ngữ vectơ, ngôn ngữ của phương pháp tọa độ.
Cách chúng ta đề cập tới bất kì bài toán nào cũng phụ thuộc vào vốn kiến
thức của chúng ta. Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ cho phép xem xét nhiều
bài tốn theo các cách khác nhau (xem ví dụ 1.3).
Mặt khác, đối với những bài tốn có sử dụng các danh từ chuyên môn
như “parabol”, “elip”..., mà kiến thức của chúng ta về nó bị hạn chế thì các
danh từ trên có thể làm chúng ta khó chịu, và lẽ tất nhiên chúng ta muốn thoát
khỏi các danh từ đó. Chẳng hạn ta xét ví dụ 1.5 sau:
Ví dụ 1.5

“Dựng các giao điểm của một đường thẳng đã cho với một

parabol cho bởi tiêu điểm và đường chuẩn của nó”. Các danh từ chun mơn
ở đây như “parabol’, “tiêu điểm”. Muốn khử một danh từ chuyên môn, trước
hết phải hiểu định nghĩa của nó, cịn phải biết sử dụng định nghĩa đó. Làm
được điều này, bài tốn của chúng ta sẽ trở nên nhẹ nhàng hơn rất nhiều, từ đó
con đường tìm đến cách giải cũng được thuận lợi, nhanh chóng. Với ví dụ
trên, có thế biến đổi hình thức lại như sau: “Dựng một điểm P trên đường
thẳng đã cho c, cách đều điểm F và đường thẳng đã cho d”
“Có thể phát biểu bài tốn một cách khác không ? Một cách khác nữa?
Quay về các định nghĩa.” Tìm những cách phát biểu khác nhau của bài tốn,
biến đổi nó cho tới khi tìm được những yếu tố có lợi. Để đi từ quan niệm ban
đầu về bài tốn tới một quan niệm chính xác hơn, đầy đủ hơn, chúng ta
nghiên cứu bài toán theo nhiều quan điểm khác nhau, khảo sát nó dưới nhiều


22

khía cạnh khác nhau. Hành động này giúp chúng ta nhớ lại và vận dụng hàng
loạt những yếu tố cần thiết cho việc giải toán, mang lại những chi tiết mới,
khả năng mới, huy động được những kiến thức có liên quan thuận lợi cho việc
tìm ra cách giải, ta cũng có thể rút ra bài học từ một trường hợp khơng thành
cơng. Ngồi ra, việc khơng ngừng thay đổi đối tượng nghiên cứu giúp duy trì
sự tập trung chú ý và lịng phấn khởi, giúp ta khơng nản lịng trong trường
hợp cơng việc tiến hành gặp nhiều khó khăn.
1.2.6. Hoạt động huy động kiến thức
Theo tác giả Đào Tam [36], khi đứng trước một vấn đề nói chung, một
bài tốn hình học nói riêng, học sinh cần phải biết cách trả lời các câu hỏi sau:
Dựa trên cơ sở nào để lựa chọn đúng các tiền đề “tri thức đã biết” nhằm giải
quyết vấn đề đặt ra; huy động kiến thức nào để vấn đề được giải quyết hợp lí,
đơn giản nhất; cách biến đổi vấn đề như thế nào để có thể dễ dàng huy động

các kiến thức đã biết trong quá trình giải quyết vấn đề đặt ra.
Theo tư tưởng sư phạm G.Polya, để giải một bài tốn, cần có một số
hoạt động cốt yếu để huy động kiến thức như:
- Phải có một số hiểu biết tối thiểu về chủ đề và chọn trong số kiến thức của
mình, cái nào là cần thiết. Muốn có được lời giải, phải nhớ lại các sự kiện
cốt yếu, nhớ lại các bài toán đã giải trước, những định lý, định nghĩa đã
biết...
- Tổ hợp lại các kiến thức lại với nhau cho thích nghi với bài tốn cần giải
sau khi đã huy động được các kiến thức có liên quan. Không thể tách rời
giữa huy động và tổ chức lại kiến thức, vì đây là hai mặt của cùng một quá
trình phức tạp.
- Do những kiến thức mà ta đã nhớ lại và được tổ chức một cách có hệ
thống, làm cho quan niệm của chúng ta về bài toán cũng thay đổi. Muốn
chuyển từ quan niệm ban đầu sang quan niệm mới đầy đủ hơn, thích hợp


23

hơn, phải xét mọi khía cạnh khác nhau của bài tốn, khơng thể nào có được
sự tiến bộ mà khơng biến đổi bài toán.
- Khi giải một bài toán thuần túy tốn học, nhiều khi phải đốn trước là có
thể dùng một định lý hay bài toán đã giải nào đó. Nếu khơng nhờ đến những
điều nhận xét tạm thời thì khơng bao giờ có thể đi đến lời giải chắc chắn
được.
Năng lực huy động kiến thức gồm một số đặc điểm sau:
- Là q trình nhớ lại có chọn lọc những kiến thức đã có để thích ứng với
vấn đề mới đặt ra. Năng lực huy động kiến thức không phải là bất biến.
- Là tổ hợp các năng lực được biểu hiện dưới dạng như: năng lực biến đổi
bài toán về dạng thuận lợi; năng lực chuyển đổi ngơn ngữ; năng lực nhìn
nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau, từ đó phân tích và tìm cách giải

hay nhất; năng lực phát hiện hướng giải quyết vấn đề thơng qua tìm mối liên
hệ giữa các yếu tố của giả thiết, kết luận, liên tưởng tới các yếu tố đã biết để
tìm cách giải.
Các nhóm năng lực trên đã được trình bày trong các hoạt động phần
trước. Ở đây trình bày thêm về một số hoạt động trí tuệ thể hiện quan điểm sư
phạm G.Polya: hoạt động khái quát hóa, tương tự hóa, hoạt động xét trường
hợp đặc biệt và hoạt động dự đoán vấn đề.

a. Hoạt động tương tự
“Tương tự là một loại giống nhau. Những vật giống nhau theo một
quan hệ nào đó trong khi các vật tương tự phù hợp nhau theo những quan hệ
giữa các phần tử tương ứng” [26, tr 141]. Chẳng hạn, đường trịn tương tự
mặt cầu, hình bình hành tương tự hình hộp...Mỗi sự tương tự đều có thể đóng
vai trị nhất định trong việc tìm ra lời giải bài tốn. Theo G.Polya, có rất nhiều
phương thức để thực hiện hoạt động tương tự như: Dùng phương pháp của


24

một bài toán tương tự đơn giản hơn và làm theo phương pháp đó, dùng kết
quả của một bài tốn tương tự đơn giản hơn mà không cần biết tới làm thế
nào để có kết quả đó, đơi khi có thể đồng thời dùng phương pháp và kết quả
của bài toán tương tự đơn giản hơn, đoán nhận trước kết quả trên cơ sở của sự
tương tự, một kết luận rút ra từ sự tương tự giữa một số lớn những sự kiện
song song và được được sắp xếp một cách có hệ thống, suy luận tương tự theo
dấu hiệu các đối tượng đem so sánh có một mối liên hệ chặt chẽ nào
đó,...Hoạt động tương tự được G.Polya sử dụng qua hệ thống các câu hỏi
được đặt cho học sinh như : Em có biết bài tốn nào tương tự khơng ? Đây là
một bài tốn gần giống với bài tốn em đã giải rồi, em có thể dùng nó để làm
gì khơng ? Em đã gặp một bài tốn nào cũng có cái chưa biết tương tự như

vậy khơng ? Em có thể dùng kết quả hay phương pháp giải này cho một bài
tốn khác khơng ?...
Ví dụ 1.6

Bài toán: “Cho tứ diện OABC, G là trọng tâm tam giác

ABC. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh OA, OB, OC, OG tại các điểm A’, B’, C’,
G’. Chứng minh

OA OB OC 3OG



”. Học sinh nghĩ đến bài toán tương
OA ' OB ' OC ' OG '

ứng trong mặt phẳng: “Gọi G là trung điểm cạnh BC của tam giác ABC. Một
đường thẳng d cắt các cạnh AB, AC, AG tại B’, C’, G’. Chứng minh
AB AC 2 AG


” qua chuỗi các câu hỏi theo lời khuyên của G.Polya như:
AB ' AC ' AG '

Em có biết bài tốn nào gần giống với bài tốn này khơng ? Em có biết bài
tốn nào tương tự khơng ? Em thấy rằng bài tốn đặt ra là bài tốn trong
khơng gian, em có thể nghĩ ra một bài tốn hình học tương tự nhưng đơn giản
hơn trong mặt phẳng không ? Bài toán của em liên quan đến tứ diện, đối với
một hình trong mặt phẳng thì bài tốn tương tự sẽ như thế nào ?... Bài toán
tương tự trong mặt phẳng được học sinh nhớ lại đơn giản hơn rất nhiều bài

tốn khơng gian ban đầu, nếu bài tốn phẳng đã biết cách giải (thậm chí chưa
từng giải), việc sử dụng phương pháp chứng minh bài toán phẳng tạo con
đường đi đến cách giải một cách thuận lợi và nhanh chóng.


25

b. Hoạt động dự đoán vấn đề
Theo G.Polya [28], toán học được coi như một môn khoa học chứng
minh. Tuy nhiên, đó mới chỉ là một khía cạnh của nó. Tốn học hồn chỉnh,
được trình bày dưới hình thức hồn chỉnh, được xem như chứng minh thuần
túy, chỉ bao gồm chứng minh. Nhưng Tốn học trong q trình hình thành gợi
lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Bạn phải dự
đốn về một định lý tốn học trước khi bạn chứng minh nó, bạn phải dự đoán
về ý của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết. Bạn phải đối
chiếu các kết quả quan sát được và suy ra những điều tương tự, bạn phải thử
đi thử lại. Người ta tìm ra được cách chứng minh nhờ suy luận có lý, nhờ dự
đốn. Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành tốn học
như thế nào, thì trong việc giảng dạy đó, phải dành chổ cho những dự đốn
suy luận có lý.
Ví dụ 1.7

Bài tốn: “Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A, B cố

định, tìm tập hợp các điểm M sao cho AM : BM  k,

(0  k  1)"

Rèn luyện năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề cho học sinh bằng cách
chọn hai điểm A, B trên các trục tọa độ, cho k bằng một giá trị cụ thể để dự

đốn quỹ tích điểm M. Điều này giúp học sinh thêm hứng thú và niềm tin đạt
được kết quả khi đứng trước một vấn đề khó như dạng tốn quỹ tích. Hơn
nữa, đối với bài tốn này, nếu khơng dự đốn được quỹ tích (là mặt cầu),
nhiều khả năng ta không giải quyết vấn đề đến nơi đến chốn (thu gọn biểu
thức để có được dạng phương trình mặt cầu).
c. Hoạt động đặc biệt hóa
Đặc biệt hóa là đi từ khảo sát một đối tượng sang một tập nhỏ hơn chứa
trong tập ban đầu, hình thức này đặc biệt lợi ích trong việc giải quyết các bài
tốn khó, nhất là các bài tốn về quỹ tích, hoặc để phủ định một mệnh đề mà
giả thiết là tổng quát và liên quan tới một tập hợp đối tượng nào đó, một phản
ví dụ. Để phủ nhận mệnh đề có giả thiết tổng quát, ta đưa về một trường hợp