Tài liệu Signals and Systems Collection Editor: Richard Baraniuk Signals and Systems Collection Editor: docx

Signals and Systems
Collection Editor:
Richard Baraniuk

Signals and Systems
Collection Editor:
Richard Baraniuk
Authors:
Thanos Antoulas
Richard Baraniuk
Steven Cox
Benjamin Fite
Roy Ha
Michael Haag
Matthew Hutchinson
Don Johnson
Ricardo Radaelli-Sanchez
Justin Romberg
Phil Schniter
Melissa Selik
JP Slavinsky
Online:
< >
C O N N E X I O N S
Rice University, Houston, Texas
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❛♥❞ ♣r♦♣❡rt✐❡s t❤❛t ❛r❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t♦ t❤❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❛❧s ❛♥❞ s②st❡♠s✳ ■t s❤♦✉❧❞ ❜❡ ♥♦t❡❞ t❤❛t s♦♠❡
❞✐s❝✉ss✐♦♥s ❧✐❦❡ ❡♥❡r❣② s✐❣♥❛❧s ✈s✳ ♣♦✇❡r s✐❣♥❛❧s
✷
❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❞❡s✐❣♥❛t❡❞ t❤❡✐r ♦✇♥ ♠♦❞✉❧❡ ❢♦r ❛ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧❡t❡
❞✐s❝✉ss✐♦♥✱ ❛♥❞ ✇✐❧❧ ♥♦t ❜❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ❤❡r❡✳
✶✳✶✳✷ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❙✐❣♥❛❧s
❆❧♦♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ s✐❣♥❛❧s ❜❡❧♦✇✱ ✐t ✐s ❛❧s♦ ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❙②st❡♠s
✭❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✶✮✳
✶✳✶✳✷✳✶ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s✲❚✐♠❡ ✈s✳ ❉✐s❝r❡t❡✲❚✐♠❡
❆s t❤❡ ♥❛♠❡s s✉❣❣❡st✱ t❤✐s ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ✇❤❡t❤❡r ♦r ♥♦t t❤❡ t✐♠❡ ❛①✐s ✭①✲❛①✐s✮ ✐s ❞✐s❝r❡t❡
✭❝♦✉♥t❛❜❧❡✮ ♦r ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✭❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✮✳ ❆ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✲t✐♠❡ s✐❣♥❛❧ ✇✐❧❧ ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ✈❛❧✉❡ ❢♦r ❛❧❧ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡rs
❛❧♦♥❣ t❤❡ t✐♠❡ ❛①✐s✳ ■♥ ❝♦♥tr❛st t♦ t❤✐s✱ ❛ ❞✐s❝r❡t❡✲t✐♠❡ s✐❣♥❛❧ ✭❙❡❝t✐♦♥ ✶✳✼✮ ✐s ♦❢t❡♥ ❝r❡❛t❡❞ ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡
s❛♠♣❧✐♥❣ t❤❡♦r❡♠
✸

t♦ s❛♠♣❧❡ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s s✐❣♥❛❧✱ s♦ ✐t ✇✐❧❧ ♦♥❧② ❤❛✈❡ ✈❛❧✉❡s ❛t ❡q✉❛❧❧② s♣❛❝❡❞ ✐♥t❡r✈❛❧s ❛❧♦♥❣
t❤❡ t✐♠❡ ❛①✐s✳
✶
❚❤✐s ❝♦♥t❡♥t ✐s ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ♦♥❧✐♥❡ ❛t ❁❤tt♣✿✴✴❝♥①✳♦r❣✴❝♦♥t❡♥t✴♠✶✵✵✺✼✴✷✳✶✼✴❃✳
✷
✧❙✐❣♥❛❧ ❊♥❡r❣② ✈s✳ ❙✐❣♥❛❧ P♦✇❡r✧ ❁❤tt♣✿✴✴❝♥①✳♦r❣✴❝♦♥t❡♥t✴♠✶✵✵✺✺✴❧❛t❡st✴❃
✸
✧❚❤❡ ❙❛♠♣❧✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠✧ ❁❤tt♣✿✴✴❝♥①✳♦r❣✴❝♦♥t❡♥t✴♠✵✵✺✵✴❧❛t❡st✴❃
✶
✷
❈❍❆P❚❊❘ ✶✳ ❙■●◆❆▲❙
❋✐❣✉r❡ ✶✳✶
✶✳✶✳✷✳✷ ❆♥❛❧♦❣ ✈s✳ ❉✐❣✐t❛❧
❚❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❛♥❛❧♦❣ ❛♥❞ ❞✐❣✐t❛❧ ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✲t✐♠❡ ❛♥❞ ❞✐s❝r❡t❡✲
t✐♠❡✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✐s ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭②✲❛①✐s✮ ✭❋✐❣✉r❡ ✶✳✷✮✳
❆♥❛❧♦❣ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ②✲❛①✐s✱ ✇❤✐❧❡ ❞✐❣✐t❛❧ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ❞✐s❝r❡t❡ ②✲❛①✐s✳ ❆♥ ❡❛s② ❡①❛♠♣❧❡
♦❢ ❛ ❞✐❣✐t❛❧ s✐❣♥❛❧ ✐s ❛ ❜✐♥❛r② s❡q✉❡♥❝❡✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ♦♥❡ ♦r ③❡r♦✳
❋✐❣✉r❡ ✶✳✷
✶✳✶✳✷✳✸ P❡r✐♦❞✐❝ ✈s✳ ❆♣❡r✐♦❞✐❝
P❡r✐♦❞✐❝ s✐❣♥❛❧s ✭❙❡❝t✐♦♥ ✻✳✶✮ r❡♣❡❛t ✇✐t❤ s♦♠❡ ♣❡r✐♦❞ T✱ ✇❤✐❧❡ ❛♣❡r✐♦❞✐❝✱ ♦r ♥♦♥♣❡r✐♦❞✐❝✱ s✐❣♥❛❧s ❞♦ ♥♦t
✭❋✐❣✉r❡ ✶✳✸✮✳ ❲❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ ❛ ♣❡r✐♦❞✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ ✇❤❡r❡ t ❝❛♥
❜❡ ❛♥② ♥✉♠❜❡r ❛♥❞ T ✐s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝♦♥st❛♥t✿
f (t) = f (T + t) ✭✶✳✶✮
❚❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣❡r✐♦❞ ♦❢ ♦✉r ❢✉♥❝t✐♦♥✱ f (t)✱ ✐s t❤❡ s♠❛❧❧❡st ✈❛❧✉❡ ♦❢ T t❤❛t t❤❡ st✐❧❧ ❛❧❧♦✇s ✭✶✳✶✮ t♦ ❜❡
tr✉❡✳
✸
✭❛✮
✭❜✮
❋✐❣✉r❡ ✶✳✸✿ ✭❛✮ ❆ ♣❡r✐♦❞✐❝ s✐❣♥❛❧ ✇✐t❤ ♣❡r✐♦❞ T
0

✭❜✮ ❆♥ ❛♣❡r✐♦❞✐❝ s✐❣♥❛❧
✶✳✶✳✷✳✹ ❈❛✉s❛❧ ✈s✳ ❆♥t✐❝❛✉s❛❧ ✈s✳ ◆♦♥❝❛✉s❛❧
❈❛✉s❛❧ s✐❣♥❛❧s ❛r❡ s✐❣♥❛❧s t❤❛t ❛r❡ ③❡r♦ ❢♦r ❛❧❧ ♥❡❣❛t✐✈❡ t✐♠❡✱ ✇❤✐❧❡ ❛♥t✐❝❛✉s❛❧ ❛r❡ s✐❣♥❛❧s t❤❛t ❛r❡ ③❡r♦ ❢♦r
❛❧❧ ♣♦s✐t✐✈❡ t✐♠❡✳ ◆♦♥❝❛✉s❛❧ s✐❣♥❛❧s ❛r❡ s✐❣♥❛❧s t❤❛t ❤❛✈❡ ♥♦♥③❡r♦ ✈❛❧✉❡s ✐♥ ❜♦t❤ ♣♦s✐t✐✈❡ ❛♥❞ ♥❡❣❛t✐✈❡ t✐♠❡
✭❋✐❣✉r❡ ✶✳✹✮✳
✹
❈❍❆P❚❊❘ ✶✳ ❙■●◆❆▲❙
✭❛✮
✭❜✮
✭❝✮
❋✐❣✉r❡ ✶✳✹✿ ✭❛✮ ❆ ❝❛✉s❛❧ s✐❣♥❛❧ ✭❜✮ ❆♥ ❛♥t✐❝❛✉s❛❧ s✐❣♥❛❧ ✭❝✮ ❆ ♥♦♥❝❛✉s❛❧ s✐❣♥❛❧
✶✳✶✳✷✳✺ ❊✈❡♥ ✈s✳ ❖❞❞
❆♥ ❡✈❡♥ s✐❣♥❛❧ ✐s ❛♥② s✐❣♥❛❧ f s✉❝❤ t❤❛t f (t) = f (−t)✳ ❊✈❡♥ s✐❣♥❛❧s ❝❛♥ ❜❡ ❡❛s✐❧② s♣♦tt❡❞ ❛s t❤❡②
❛r❡ s②♠♠❡tr✐❝ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ✈❡rt✐❝❛❧ ❛①✐s✳ ❆♥ ♦❞❞ s✐❣♥❛❧✱ ♦♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ✐s ❛ s✐❣♥❛❧ f s✉❝❤ t❤❛t
f (t) = − (f (−t)) ✭❋✐❣✉r❡ ✶✳✺✮✳
✺
✭❛✮
✭❜✮
❋✐❣✉r❡ ✶✳✺✿ ✭❛✮ ❆♥ ❡✈❡♥ s✐❣♥❛❧ ✭❜✮ ❆♥ ♦❞❞ s✐❣♥❛❧
❯s✐♥❣ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❡✈❡♥ ❛♥❞ ♦❞❞ s✐❣♥❛❧s✱ ✇❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t ❛♥② s✐❣♥❛❧ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥
♦❢ ❛♥ ❡✈❡♥ ❛♥❞ ♦❞❞ s✐❣♥❛❧✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❡✈❡r② s✐❣♥❛❧ ❤❛s ❛♥ ♦❞❞✲❡✈❡♥ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ❚♦ ❞❡♠♦♥str❛t❡ t❤✐s✱ ✇❡
❤❛✈❡ t♦ ❧♦♦❦ ♥♦ ❢✉rt❤❡r t❤❛♥ ❛ s✐♥❣❧❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳
f (t) =
1
2
(f (t) + f (−t)) +
1
2
(f (t) − f (−t)) ✭✶✳✷✮
❇② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ ❛♥❞ ❛❞❞✐♥❣ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦✉t✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t♦ ❜❡ tr✉❡✳ ❆❧s♦✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t

f (t) + f (−t) ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t ♦❢ ❛♥ ❡✈❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✇❤✐❧❡ f (t) − f (−t) ❢✉❧✜❧❧s t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t ♦❢ ❛♥
♦❞❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❋✐❣✉r❡ ✶✳✻✮✳
❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✶
✻
❈❍❆P❚❊❘ ✶✳ ❙■●◆❆▲❙
✭❛✮
✭❜✮
✭❝✮
✭❞✮
❋✐❣✉r❡ ✶✳✻✿ ✭❛✮ ❚❤❡ s✐❣♥❛❧ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞❡❝♦♠♣♦s❡ ✉s✐♥❣ ♦❞❞✲❡✈❡♥ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✭❜✮ ❊✈❡♥ ♣❛rt✿ e (t) =
1
2
(f (t) + f (−t)) ✭❝✮ ❖❞❞ ♣❛rt✿ o (t) =
1
2
(f (t) − f (−t)) ✭❞✮ ❈❤❡❝❦✿ e (t) + o (t) = f (t)
✼
✶✳✶✳✷✳✻ ❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ✈s✳ ❘❛♥❞♦♠
❆ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ s✐❣♥❛❧ ✐s ❛ s✐❣♥❛❧ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❡❛❝❤ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ✐s ✜①❡❞ ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❛
♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ r✉❧❡✱ ♦r t❛❜❧❡✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤✐s t❤❡ ❢✉t✉r❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ❝❛♥ ❜❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞
❢r♦♠ ♣❛st ✈❛❧✉❡s ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥✜❞❡♥❝❡✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❛ r❛♥❞♦♠ s✐❣♥❛❧
✹
❤❛s ❛ ❧♦t ♦❢ ✉♥❝❡rt❛✐♥t②
❛❜♦✉t ✐ts ❜❡❤❛✈✐♦r✳ ❚❤❡ ❢✉t✉r❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❛ r❛♥❞♦♠ s✐❣♥❛❧ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❛❝❝✉r❛t❡❧② ♣r❡❞✐❝t❡❞ ❛♥❞ ❝❛♥ ✉s✉❛❧❧②
♦♥❧② ❜❡ ❣✉❡ss❡❞ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡s
✺
♦❢ s❡ts ♦❢ s✐❣♥❛❧s ✭❋✐❣✉r❡ ✶✳✼✮✳
✭❛✮
✭❜✮
❋✐❣✉r❡ ✶✳✼✿ ✭❛✮ ❉❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❙✐❣♥❛❧ ✭❜✮ ❘❛♥❞♦♠ ❙✐❣♥❛❧

✶✳✶✳✷✳✼ ❘✐❣❤t✲❍❛♥❞❡❞ ✈s✳ ▲❡❢t✲❍❛♥❞❡❞
❆ r✐❣❤t✲❤❛♥❞❡❞ s✐❣♥❛❧ ❛♥❞ ❧❡❢t✲❤❛♥❞❡❞ s✐❣♥❛❧ ❛r❡ t❤♦s❡ s✐❣♥❛❧s ✇❤♦s❡ ✈❛❧✉❡ ✐s ③❡r♦ ❜❡t✇❡❡♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ✈❛r✐❛❜❧❡
❛♥❞ ♣♦s✐t✐✈❡ ♦r ♥❡❣❛t✐✈❡ ✐♥✜♥✐t②✳ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧❧② s♣❡❛❦✐♥❣✱ ❛ r✐❣❤t✲❤❛♥❞❡❞ s✐❣♥❛❧ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛♥② s✐❣♥❛❧
✇❤❡r❡ f (t) = 0 ❢♦r t < t
1
< ∞✱ ❛♥❞ ❛ ❧❡❢t✲❤❛♥❞❡❞ s✐❣♥❛❧ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛♥② s✐❣♥❛❧ ✇❤❡r❡ f (t) = 0 ❢♦r
t > t
1
> −∞✳ ❙❡❡ ✭❋✐❣✉r❡ ✶✳✽✮ ❢♦r ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✳ ❇♦t❤ ✜❣✉r❡s ✧❜❡❣✐♥✧ ❛t t
1
❛♥❞ t❤❡♥ ❡①t❡♥❞s t♦ ♣♦s✐t✐✈❡ ♦r
♥❡❣❛t✐✈❡ ✐♥✜♥✐t② ✇✐t❤ ♠❛✐♥❧② ♥♦♥③❡r♦ ✈❛❧✉❡s✳
✹
✧■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❘❛♥❞♦♠ ❙✐❣♥❛❧s ❛♥❞ Pr♦❝❡ss❡s✧ ❁❤tt♣✿✴✴❝♥①✳♦r❣✴❝♦♥t❡♥t✴♠✶✵✻✹✾✴❧❛t❡st✴❃
✺
✧❘❛♥❞♦♠ Pr♦❝❡ss❡s✿ ▼❡❛♥ ❛♥❞ ❱❛r✐❛♥❝❡✧ ❁❤tt♣✿✴✴❝♥①✳♦r❣✴❝♦♥t❡♥t✴♠✶✵✻✺✻✴❧❛t❡st✴❃
✽
❈❍❆P❚❊❘ ✶✳ ❙■●◆❆▲❙
✭❛✮
✭❜✮
❋✐❣✉r❡ ✶✳✽✿ ✭❛✮ ❘✐❣❤t✲❤❛♥❞❡❞ s✐❣♥❛❧ ✭❜✮ ▲❡❢t✲❤❛♥❞❡❞ s✐❣♥❛❧
✶✳✶✳✷✳✽ ❋✐♥✐t❡ ✈s✳ ■♥✜♥✐t❡ ▲❡♥❣t❤
❆s t❤❡ ♥❛♠❡ ❛♣♣❧✐❡s✱ s✐❣♥❛❧s ❝❛♥ ❜❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❛s t♦ ✇❤❡t❤❡r t❤❡② ❤❛✈❡ ❛ ✜♥✐t❡ ♦r ✐♥✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤ s❡t ♦❢
✈❛❧✉❡s✳ ▼♦st ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤ s✐❣♥❛❧s ❛r❡ ✉s❡❞ ✇❤❡♥ ❞❡❛❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❞✐s❝r❡t❡✲t✐♠❡ s✐❣♥❛❧s ♦r ❛ ❣✐✈❡♥ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢
✈❛❧✉❡s✳ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧❧② s♣❡❛❦✐♥❣✱ f (t) ✐s ❛ ✜♥✐t❡✲❧❡♥❣t❤ s✐❣♥❛❧ ✐❢ ✐t ✐s ♥♦♥③❡r♦ ♦✈❡r ❛ ✜♥✐t❡ ✐♥t❡r✈❛❧
t
1
< f (t) < t
2
✇❤❡r❡ t

1
> −∞ ❛♥❞ t
2
< ∞✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✶✳✾✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡✲❧❡♥❣t❤ s✐❣♥❛❧✱
f (t)✱ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ♥♦♥③❡r♦ ♦✈❡r ❛❧❧ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡rs✿
∞ ≤ f (t) ≤ −∞
✾
❋✐❣✉r❡ ✶✳✾✿ ❋✐♥✐t❡✲▲❡♥❣t❤ ❙✐❣♥❛❧✳ ◆♦t❡ t❤❛t ✐t ♦♥❧② ❤❛s ♥♦♥③❡r♦ ✈❛❧✉❡s ♦♥ ❛ s❡t✱ ✜♥✐t❡ ✐♥t❡r✈❛❧✳
✶✳✷ ❙✐③❡ ♦❢ ❆ ❙✐❣♥❛❧✿ ◆♦r♠s
✻
✧❙✐③❡✧ ✐♥❞✐❝❛t❡s ❧❛r❣❡♥❡ss ♦r str❡♥❣t❤✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ t❤❡ ♥♦r♠ t♦ q✉❛♥t✐❢②
t❤✐s ♥♦t✐♦♥ ❢♦r ❜♦t❤ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✲t✐♠❡ ❛♥❞ ❞✐s❝r❡t❡✲t✐♠❡ s✐❣♥❛❧s✳ ❋✐rst ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ✇❛② t♦ q✉❛♥t✐❢② t❤❡ s✐③❡
♦❢ ❛ s✐❣♥❛❧ ✇❤✐❝❤ ♠❛② ❛❧r❡❛❞② ❜❡ ❢❛♠✐❧✐❛r✳
✶✳✷✳✶ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s✲❚✐♠❡ ❊♥❡r❣②
❖✉r ✉s✉❛❧ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡♥❡r❣② ♦❢ ❛ s✐❣♥❛❧ ✐s t❤❡ ❛r❡❛ ✉♥❞❡r t❤❡ ❝✉r✈❡ (|f (t)|)
2
❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✵
E
f
=

∞
−∞
(|f (t)|)
2
dt ✭✶✳✸✮
✻
❚❤✐s ❝♦♥t❡♥t ✐s ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ♦♥❧✐♥❡ ❛t ❁❤tt♣✿✴✴❝♥①✳♦r❣✴❝♦♥t❡♥t✴♠✶✷✸✻✸✴✶✳✷✴❃✳
✶✵
❈❍❆P❚❊❘ ✶✳ ❙■●◆❆▲❙

❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✷
❈❛❧❝✉❧❛t❡ E
f
❢♦r
❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✶
✶✳✷✳✷ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❊♥❡r❣②✿ ◆♦r♠s
❚❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ✧❡♥❡r❣②✧ ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ L
p
♥♦r♠✿
 f 
p
=


(|f (t)|)
p
dt

1
p
✭✶✳✹✮
✇❤❡r❡ 1 ≤ p < ∞✳
❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✸
E
f
= ( f 
2
)
2
❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✹

❈❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ L
p
♥♦r♠ ♦❢
❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✷
✶✶
❊①❡r❝✐s❡ ✶✳✶
❲❤❛t ❤❛♣♣❡♥s t♦
 f 
p
=


(|f (t)|)
p
dt

1
p
❛s p → ∞❄
L
∞
♥♦r♠
 f 
∞
= ❡ss s✉♣|f (t)|
❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✸
✶✳✷✳✸ ❉✐s❝r❡t❡✲❚✐♠❡ ❊♥❡r❣②
❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✹
E
f

=
∞

n=−∞

(|f [n]|)
2

✶✷
❈❍❆P❚❊❘ ✶✳ ❙■●◆❆▲❙
 f 
p
=


(|f (t)|)
p
dt

1
p
✇❤❡r❡ 1 ≤ p < ∞
 f 
∞
= max
n
{|f [n]|}

 f 
p


p
=
N−1

n=0
((|f [n]|)
p
)
✇❤❡r❡ 1 ≤ p < ∞
 f 
∞
= max
n=✵✱ ✶✱ ✳✳✳✱ ◆✲✶
{|f [n]|}
✶✳✷✳✹ ❋✐♥✐t❡ ◆♦r♠ ❙✐❣♥❛❧s
❲❤❛t ❛r❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥ ❛ s✐❣♥❛❧ ❢♦r  f 
p
< ∞❄ ▲♦♦❦ ❛t ❛❧❧ ✹ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s✐❣♥❛❧ ❝❧❛ss❡s
✶✳✷✳✹✳✶ ❉✐s❝r❡t❡✲❚✐♠❡ ❛♥❞ ❋✐♥✐t❡ ▲❡♥❣t❤
❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✺
❚❤✐s ✐s ❛ ❧❡♥❣t❤ N ✈❡❝t♦r✳
f =











f [0]
f [1]
f [2]
f [...]
f [N − 1]










=










f

0
f
1
f
2
✳✳✳
f
N1










✇❤❡r❡ f ∈ C
N
✱ ♦r f ∈
N
N✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡① ♦r r❡❛❧ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡✳
❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✺
N = 3✱ f ✐s ❛ r❡❛❧ s✐❣♥❛❧✳
✶✸
❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✻
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✶✿
l
p

[0, N − 1] =

f ∈ C
N
, f 
p
< ∞

❜✉t ❢r♦♠ ♣r❡✈✐♦✉s ❞✐s❝✉ss✐♦♥ l
p
[0, N − 1] = C
N
✶✳✷✳✹✳✷ ❉✐s❝r❡t❡✲❚✐♠❡ ❛♥❞ ■♥✜♥✐t❡ ▲❡♥❣t❤
❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✼
❝❛♥ st✐❧❧ ✐♥t❡r♣r❡t f ❛s ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡✲❧❡♥❣t❤ ✈❡❝t♦r
f =












f [...]
f [−1]

f [0]
f [1]
f [2]
f [...]












✶✹
❈❍❆P❚❊❘ ✶✳ ❙■●◆❆▲❙
❜✉t C
∞
✱ R
∞
❞♦♥✬t ♠❛❦❡ s❡♥s❡✳
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✷✿
l
p
(z) =

f, f 
p

< ∞


 f 
p

p
=
∞

n=−∞
((|f [n]|)
p
)
✇❤❡r❡ 1 ≤ p < ∞
 f 
∞
= max
n∈z
{|f [n]|}
❲❤❛t ❞♦❡s ✐t t❛❦❡ ❢♦r ❛♥ f t♦ ❜❡ ✐♥ l
p
(z)❄
❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✻
❙❦❡t❝❤ ❛♥ f ∈ l
p
(z) ❛♥❞ f /∈ l
p
(z)✳
❊①❡r❝✐s❡ ✶✳✷

❲❤❛t ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s ❞♦❡s f ∈ l
p
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L
p
[T
1
, T
2
] =

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1
, T
2
] , f 
p
< ∞

 f 
p
=


T
2

T
1
(|f (t)|)
p
dt

1
p
✇❤❡r❡ 1 ≤ p < ∞
 f 
p
= ❡sss✉♣|f (t)|
✇❤❡r❡ T
1
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2
✶✺
❊①❡r❝✐s❡ ✶✳✸
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p
[T
1
, T
2
]❄
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❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✾
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❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✹✿
L

p
(R) =

f, f 
p
< ∞

 f 
p
=


∞
−∞
(|f [n]|)
p
dt

1
p
✇❤❡r❡ 1 ≤ p < ∞
 f 
∞
= ❡sss✉♣|f (t)|
✇❤❡r❡ −∞ < t < ∞
❊①❡r❝✐s❡ ✶✳✹
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p
(R)❄
❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✼

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p
(R) ❛♥❞ f /∈ L
p
(R)✳
✶✳✷✳✺ P♦✇❡r
❲❤❛t ❞♦ ✇❡ ❞♦ ✇❤❡♥  f 
p
= ∞❄
❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✽✿ P❡r✐♦❞✐❝ ❙✐❣♥❛❧
✶✻
❈❍❆P❚❊❘ ✶✳ ❙■●◆❆▲❙
❋✐❣✉r❡ ✶✳✷✵
❙♦❧✉t✐♦♥✿ ▲♦♦❦ ❛t t❤❡ ✧♥♦r♠ ♣❡r ✉♥✐t t✐♠❡✧✳
• ✐❡ ✲ ♥♦r♠ ♦✈❡r ♦♥❡ ♣❡r✐♦❞✳
• ✐❡ ✲ ♥♦r♠ ♦❢ ✐♥✜♥✐t❡✲❧❡♥❣t❤ s✐❣♥❛❧ ❝♦♥✈❡rt❡❞ t♦ ✜♥✐t❡ ❧❡♥❣t❤ s✐❣♥❛❧ ❜② ✇✐♥❞♦✇✐♥❣✳
❋✐❣✉r❡ ✶✳✷✶
f
p
T
✐s t❤❡ ♠❡❛s✉r❡✳
❯♥✐ts ❢♦r p = 2❄
L
2
P♦✇❡r = ✧❡♥❡r❣② ♣❡r ✉♥✐t t✐♠❡✧
• ❯s❡❢✉❧ ✇❤❡♥ E
f
= ∞
• t✐♠❡ ❛✈❡r❛❣❡ ♦❢ ❡♥❡r❣②
P

f
= lim
T→∞

T
2
−
(
T
2
)
(|f (t)|)
2
dt
✶✼
❋✐❣✉r❡ ✶✳✷✷
✶✳ ❝♦♠♣✉t❡
❊♥❡r❣②
T
=
(
f
2
)
2
T
✷✳ ❧♦♦❦ ❛t lim
T→∞
❊♥❡r❣②
T

=
(
f
2
)
2
T
P
f
✐s ♦❢t❡♥ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ♠❡❛♥✲sq✉❛r❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ f✳

P
f
✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ r♦♦t ♠❡❛♥ sq✉❛r❡❞ ✭❘▼❙✮ ✈❛❧✉❡ ♦❢ f✳
❯♥✐ts❄
✧❊♥❡r❣② s✐❣♥❛❧s✧ ❤❛✈❡ ✜♥✐t❡ ♥♦r♠ ✭❡♥❡r❣②✮ E
f
< ∞✳
✧P♦✇❡r s✐❣♥❛❧s✧ ❤❛✈❡ ✜♥✐t❡ ❛♥❞ ♥♦♥③❡r♦ ♣♦✇❡r P
f
< ∞✱ P
f
= 0✱ ❛♥❞ ✭ → E
f
= ∞✮✳
✶✳✷✳✺✳✶ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s
❊♥❡r❣② s✐❣♥❛❧s ❛r❡ ♥♦t ♣♦✇❡r s✐❣♥❛❧s✳
P♦✇❡r s✐❣♥❛❧s ❛r❡ ♥♦t ❡♥❡r❣② s✐❣♥❛❧s✳
❲❤②❄
❊①❡r❝✐s❡ ✶✳✺

❆r❡ ❛❧❧ s✐❣♥❛❧s ❡✐t❤❡r ❡♥❡r❣② ♦r ♣♦✇❡r s✐❣♥❛❧s❄
❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✾
f (t) = t