DẠY THÊM TOÁN LỚP 11 CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ (BÀI TẬP + ĐÁP ÁN)

TOÁN 11

GIỚI HẠN DÃY SỐ

u 
C. Nếu lim un = a > 0 và limv n = 0 thì lim  n  = +∞ .
 vn 

1D4-1

u 
D. Nếu lim un = a < 0 và limv n = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim  n  = −∞ .
 vn 

Contents
PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.................................................................................................................................. 1

Câu 2.

DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC ...................................................................................................................... 2

Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vơ hạn tuần hồn P = 2,13131313... ,
A. P =

Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ................................................................................................................. 2
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu .................................................................................................................... 4

Câu 3.

Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu ................................................................................................................ 8

212
99

B. P =

213
.
100

C. P =

211
.
100

D. P =

211
.
99

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Ta nói dãy số ( u n ) có giới hạn là số a (hay u n dần tới a ) khi n → +∞ , nếu lim ( un − a ) = 0 .
n →+∞

Dạng 1.4 Phân thức chứa căn ....................................................................................................................................... 9

B. Ta nói dãy số ( u n ) có giới hạn là 0 khi n dần tới vơ cực, nếu un có thể lớn hơn một số

DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC......................................................................................................................... 9

dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
C. Ta nói dãy số ( u n ) có giới hạn +∞ khi n → +∞ nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bất kì,

DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA....................................................................................................................... 11
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ........................................................................................................................ 14

kể từ một số hạng nào đó trở đi.
D. Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn −∞ khi n → +∞ nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất kì,

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 17

kể từ một số hạng nào đó trở đi.

DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG ...................................................................................................... 13

DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT................................................................................................................................ 17

Câu 4.

DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC .................................................................................................................... 17

A. 1.

Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ............................................................................................................... 17
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu .................................................................................................................. 20

Cho các dãy số ( un ) , ( vn ) và lim un = a, lim vn = +∞ thì lim

Câu 5.

B. 0 .

un
bằng
vn

C. −∞ .

D. +∞ .

Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?

Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu .............................................................................................................. 25

(I) lim nk = +∞ với k nguyên dương.

Dạng 1.4 Phân thức chứa căn ..................................................................................................................................... 26

(II) lim q n = +∞ nếu q < 1 .

DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC....................................................................................................................... 27
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA....................................................................................................................... 31

(III) lim q n = +∞ nếu q > 1

DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG ...................................................................................................... 33

A. 0 .

DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ........................................................................................................................ 34

Câu 6.

Câu 7.

PHẦN A. CÂU HỎI

1
với mọi n ∈ ℕ * . Khi đó
n3
A. lim un không tồn tại. B. lim un = 1 .
C. lim un = 0 .

D. 2 .

Cho dãy số ( un ) thỏa un − 2 <

D. lim un = 2 .

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là sai?

C. lim

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.
A. Nếu lim un = +∞ và limv n = a > 0 thì lim ( u n vn ) = +∞ .
u
B. Nếu lim un = a ≠ 0 và limv n = ±∞ thì lim  n
 vn

C. 3 .

A. lim un = c ( un = c là hằng số ).

DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.

B. 1 .

1
= 0.
n

D. lim

B. lim q n = 0 ( q > 1) .

1
= 0 ( k > 1) .
nk

DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu


 = 0.

1

2


Câu 8.

A. L = 1.
Câu 9.

7

7
.
3

Câu 16.

D.

Câu 20.

1
.
5

Câu 21.

D. 0 .

1
bằng

2n + 5

C. +∞ .
1
bằng
5n + 2
1
C. .
2

1
D. .
5

C. 0 .

2n 2 − 3
bằng:
n6 + 5n5
−3
C.
.
5

3
.
4

D.

4
.
3

 1
1
1
1 
+
+ ... +
(THPT XN HỊA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim  +
.
1.2
2.3
3.4
n
n
+ 1) 
(

3
A. 0 .
B. 2 .
C. 1 .
D. .
2
(THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN
1
1
1


L = lim  +
+ ... +

1 + 2 + ... + n 
 1 1+ 2
5
A. L = .
B. L = +∞ .
2

Câu 22. Với n là số nguyên dương, đặt Sn =

CHÁNH

-

PHÚ

C. L = 2 .

YÊN

-

D. L =

3
.
2

2018
n bằng
A. −∞ .

B. 0 .

D. +∞ .

1
2 +1

A.

7n 2 − 2n3 + 1
.
3n3 + 2n 2 + 1

Câu 23.

B.

C. 1 .

C. 1 .

1
.
2 +2

D.

(THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của lim
B. 0.
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu

Câu 24.
D. − 3 .

C. +∞.

cos n + sin n
.
n2 + 1

D. −∞.

C. L = 1 .

(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HỊA BÌNH - 2018) Giá trị của lim
A. 1 .

D. +∞ .
2n + 1
?
2 + n − n2
D. L = 0 .

Câu 26.

1
.
3

Câu 27.

2n − 3
Câu 18. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính I = lim 2
2n + 3n + 1
A. I = −∞ .
B. I = 0 .
C. I = +∞ .
D. I = 1 .

1
B. − .
3

B. I = 1 .

D. 0 .

C. −2 .

C. I = 3 .

2−n
bằng
n +1

n−2
bằng:
3n + 1
D. 1 .

3n − 2
.
n+3
D. k ∈ ℤ .

(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn lim

bằng?
2
A. .
3
3

C. −1 .

(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn I = lim

2
A. I = − .
3

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
1 − 2n
n2 − 2
n 2 − 2n

1 − 2n 2
A. un =
.
B. un =
.
C. un =
.
D. un =
.
5n + 3n 2
5n + 3n 2
5n + 3n 2
5n + 3n 2

B. 2 .

(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của lim
A.

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn L = lim
B. L = −2 .

Tìm

1
1
1
+
+ ... +
. Khi đó

1 2 +2 1 2 3+3 2
n n + 1 + ( n + 1) n

1
.
2 −1

A. 1.

D. 1 .

Câu 25.
B. 0 .

2018)

lim Sn bằng

lim

A. L = −∞ .
Câu 17.

2
B. − .
3

A.

1

1
1
+
+ ... + 2 .
22 − 1 32 − 1
n −1
3
2
B. .
C.
5
3

(HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim
A. 2 .

Câu 15.

1
bằng
2n + 7
C. 1 .
2

B. 0 .

B. 0 .

D. L = 2.

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm I = lim
A.

Câu 14.

+∞ .

C. +∞ .

(THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) lim
1
A. .
5

Câu 13.

B.

Câu 19. Tìm lim un biết un =

1
bằng
5n + 3

1
.
3

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) lim
1

A. .
2

Câu 12.

B.

(Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) lim
A. 1 .

Câu 11.

B. L = 0.

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) lim
A. 0 .

Câu 10.

n −1
.
n3 + 3
C. L = 3.

(THPT Chun Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính L = lim

B.

1
.

3

C. 1 .

1 − 2n
3n + 1

2
D. − .
3
4


Câu 28.

A. I =

Câu 29.

2n + 2017
.
3n + 2018
2017
C. I =
.
2018

A. 1.

(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn I = lim

2
.
3

B. I =

3
.
2

(THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019)
19
1
A.
.
B.
.
18
18

lim

D. I = 1 .
Câu 39.

1 + 19n
18n + 19 bằng

C. +∞ .

1
.
19

Câu 30.

(THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?
1
n +1
1
sin n
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
n
n
n
n

Câu 31.

(CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim
A. 0 .

B.

1
.
2

A. 2 .
Câu 35.

B. 0 .

(THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) lim

2
A. .
11
Câu 36.

1
B. .
2

C.

A. I = −

2n 4 − 2n + 2
bằng
4n 4 + 2n + 5

(Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của lim

A. − 3 .

B. 2 .

C. −1 .

Câu 38. Tính

lim

C.

1
.
6

1
.
2

D.

1
.
2

B.

10
.

3

2n − 1
, n ∈ ℕ* là:
3− n

2
.
3

C. 1 .

10n + 3
ta được kết quả:
3n − 15
10
3
B. I = .
C. I = .
3
10

2n + 1
n + 1 bằng
A. 1 .

1
D. − .
3

2
D. I = − .
5

lim

Câu 45. Tính

lim

B. 2 .

C. −2 .

B. 0 .

C.

1
.
2

1
D. - .
2

1
B. − .
2

C. 4 .

1
D. − .
4

D. +∞ .

8n 2 + 3n − 1
4 + 5n + 2 n 2 .

A. 2 .

D. 0 .
2n 2 − 3
bằng
1 − 2n 2

Câu 46. Cho hai dãy số ( un ) và ( vn ) có un =
D. 0 .

D.

D.

3
C. − .
2

A. 0 .

B. 3 .

2

n +n
A = lim
12n2 + 1 bằng
Câu 37. Giá trị
1
A.
.
B. 0 .
12

1
.
4

C.

B. 0 .

A. 3 .

D. 1.

C. +∞ .

5

.
2

3n 2 + 1
lim 2
n − 2 bằng:
Câu 44.

2n + 1
được kết quả là
1+ n

1
.
2

1
.
5

Câu 42. Tính giới hạn I = lim

Câu 43.

D.

n2 − 3n3
.
2n3 + 5n − 2

A. −2 .

1
D. − .
2

8n5 − 2n3 + 1
Câu 33. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm lim 5
.
4n + 2n 2 + 1
A. 2 .
B. 8 .
C. 1 .
D. 4 .
(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính lim

1
.
3

Câu 41. Giới hạn của dãy số ( u n ) với un =

4n + 2018
Câu 32. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim
.
2n + 1
1
A. .
B. 4 .
C. 2 .

D. 2018 .
2

Câu 34.

B.

Câu 40. Tính giới hạn lim
A.

C. 2 .

n 3 + 4n − 5
3n3 + n 2 + 7 bằng

A. 1 .
D.

1 − n2
bằng
2n 2 + 1
1
C. .
3

lim

B. +∞ .

Câu 47. Giới hạn

A. −2 .

1
.
24

lim

8n 5 − 2 n 3 + 1
2n 2 − 4n5 + 2019 bằng
B. 4 .

u
1
3
; vn =
. Tính lim n .
vn
n +1
n+3
C.

1
.
3

C. +∞ .

D. +∞ .

D. 0 .

5n + 3
2n + 1 .
5

6


Câu 48. Giá trị của B = lim
A.

4n 2 + 3n + 1

( 3n − 1)

4
.
9

B.

2

A.

bằng:

4
.

3

C. 0 .

D. 4
Câu 57.

n3 + n2 + 1
Câu 49. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính L = lim
⋅
2018 − 3n3
1
1
A.
.
B. −3 .
C. +∞ .
D. − .
3
2018

Câu 50.

Câu 51.

.Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
1
A. 0 < a < 2 .
B. 0 < a < .
2

Câu 52. Dãy số ( u n ) với un =
A. 192

( 3n − 1)( 3 − n )
3
( 4n − 5 )

2

có giới hạn bằng phân số tối giản

B. 68
3

C. −1 < a < 0 .

C. 32

2

= a2 − a +1

Câu 60.

D. 1 < a < 3 .

a
. Tính a.b
b

Câu 61.

Câu 54. Cho dãy số ( un )

D. 128

D. −6 .

C.

1
.
3

D.

B. +∞ .

1
.
2

1
3
2n − 1
+ +…+ 2 với n ∈ ℕ * Giá trị của lim un bằng:
n2 n 2
n
C. −∞ .

D. 1

(THPT
Yên
Lạc-Vĩnh
Phúc-lần

1 
1 
1 
lim 1 − 2 1 − 2  ... 1 − 2   .
 2  3   n  
1
A. 1 .
B. .
2

1-năm

C.

1
.
4

2017-2018)

D.

Tính

giới

hạn:

3
.
2

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số

1
.
2

B. 0.

2019
2018
Câu 62. Tính lim(−2n + 3n + 4) ?
A. −∞ .
B. +∞ .

1 + 2 + 3 + ... + n
với un =
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
n2 + 1

(u )
n

với

1
.
4

C. 1.

D.

C. −2 .

D. 2019 .

C. 81

D. 2

1
C. L = .
3

D. L = −∞ .

C. 1 .

D. +∞ .

Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu

1
.
2
C. Dãy số ( u n ) khơng có giới hạn khi n → +∞ .
B. lim un =

4

Câu 63.

lim ( 2 − 3n ) ( n + 1)

3

là:

A. −∞

D. lim un = 1 .

B. +∞
3

12 + 22 + 32 + 42 + ... + n 2
Câu 55. (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn lim
có giá
n 3 + 2n + 7
trị bằng?
2

1
1
A. .
B. .
C. 0 .
D. .
3
6
3

lim

D. +∞ .

n
 1 2
(THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm lim  2 + 2 + ... + 2  .
n 
n n
1
1
A. +∞ .
B. .
C. .
D. 0 .
2
n

A.

A. lim un = 0 .

Câu 56.

1
.
3

1
1
1
un =
+
+ ... +
. Tính lim un .
1.3 3.5
(2n −1).(2n +1)

2

2n + n − 4 1
= với a là tham số. Khi đó a − a 2 bằng
an 3 + 2
2
A. −12 .
B. −2 .
C. 0 .

Câu 53. Biết lim

B. 0 .

A. 0`.
Câu 59.

C.

n
 1 2 3
Lim  2 + 2 + 2 + ... + 2 
n  bằng
n n n

Câu 58. Cho dãy số ( un ) xác định bởi: un =

an2 + a 2 n + 1

( n + 1)

B. 0 .

A. 1.

(Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa
 3n + 2

+ a 2 − 4a  = 0 . Tổng các phần tử của S bằng
mãn lim 
 n+2


A. 4 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 2 .
(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho a ∈ ℝ sao cho giới hạn lim

2
.
3

1 + 3 + 5 + ... + 2n + 1
3n 2 + 4
bằng

Câu 64. Tính giới hạn
A. L = +∞ .

n − 2n
3n 2 + n − 2

B. L = 0 .

Câu 65. Tính giới hạn của dãy số un =
A.

7

L = lim

−2

.
3

−2 + 3n − 2n3
3n − 2

B. −∞ .

8


Câu 66. Giới hạn

lim

1 + 5 + ... + ( 4n − 3)

C. lim

2n − 1

A. 1.

bằng

B. +∞ .

C.

2

.
2

D. 0 .

Câu 74. Giới hạn

Câu 68.

(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) lim

4n 2 + 1 − n + 2
bằng
2n − 3

3
A. .
2

C. 1.

B. 2.

Câu 69.

(CỤM

5
B. I = .
3

5

TRƯỜNG

lim n

(

CHUYÊN

4n 2 + 5 + n
4n − n 2 + 1

n+4 − n+3

-

-

ĐBSH

LẦN

1

-

C.

7

.
2

B. 1 .

Câu 76. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để lim
A. 3 .

. Khi đó giá trị của I là:

2018)

C. 2 .

Câu 77.

Tính

giới

hạn

lim

(

Câu 70. Tìm lim un biết un =

1
A. .

2
Câu 71.

1
.
3

C. 2.

(LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính lim n

L = lim

(

D. −∞ .

B.

1
2 6

.

1
C. .
2

Câu 80. Tính giới hạn

L = lim

(

A. +∞ .

(

n 2 − 3n + 1 − n

A. −3 .

Câu 81. Tính giới hạn L = lim

) bằng
B. +∞ .

C. 0 .

4n 2 + n + 1 − 9n

(

(

n + 2 − n2 − 1  .


)

2

D. I = 0 .

)

4n2 + 3 − 3 8n3 + n .
2
D. .
3

).

C. −∞ .

D.

9
.
4

C. −∞ .

D.

9
.
4

C. −∞ .

D.

1
.
4

53
.
2

D.

9
.
4

).

D. +∞ .

(

A. +∞ .
lim

9n 2 + 2n − 1 − 4n 2 + 1

B. −7 .

DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC

Câu 72.

C. −∞ .

B. 1 .

A. +∞ .

12 + 22 + 33 + ... + n 2
(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính lim
2n ( n + 7 )( 6n + 5 )
1
A. .
6

B. 1 .

2

C. 1.

D. 0 .

(LÊ Q ĐƠN - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Tính I = lim  n

3
A. I = +∞ .
B. I = .

C. I = 1, 499 .
2

Câu 79. Tính giới hạn

2n + 1

D. 4 .

)

B. 1.

A. +∞ .

2
D. − .
3

n 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1)

B. +∞ .

1
.
2

n 2 − 4n + 7 + a − n = 0 ?

x →−∞

C.

D.

)

(

Câu 78.

4x2 + x + 1 − x2 − x + 3
3x + 2
1
2
A. − .
B. .
3
3

2n 3 + 3
.
1 + 2n 2

) bằng

B. +∞ .

A. 3 .

3
D. I = .
4

C. I = −1 .

D. lim

Câu 75. Tính giới hạn lim n − n2 − 4n .

D. +∞ .

(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho I = lim
A. I = 1 .

)

n 2 + 2n − n 2 + 1 .

A. 0 .

Dạng 1.4 Phân thức chứa căn

Câu 67.

(

Câu 82. Tính giới hạn

3

D. − .
2

B. −7 .

L = lim

A. +∞ .

Câu 73. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1?
3n +1 + 2 n
3n 2 + n
A. lim
.
B. lim 2
.
n
5+3
4n − 5

9

(

n 2 + 3n + 5 − n + 25
B. −7 .

L = lim
Câu 83. Tính giới hạn

)

4n 2 + n − 4n 2 + 2 . ĐS:

2n + 1 − n + 3
4n − 5

1
.
4

).
C.

.

10


A. +∞ .

B. −7 .

Câu 84. Tính giới hạn sau L = lim
A. +∞ .
Câu 85. Tính giới hạn L = lim

(

3

Câu 86. Tính giới hạn L = lim

(

Câu 87. Tính giới hạn L = lim

(

3

Câu 88. Tính giới hạn L = lim

(

3

(

3

A. +∞ .
Câu 90. Tính giới hạn L = lim

(

A. +∞ .
Câu 91. Tính giới hạn L = lim

D.

2
.
3

A. 0 .

)

n

Câu 97.

53
C.
.
2

1
D. .
2
Câu 98.

C. 1 .

D.

lim

lim ( 3n − 4n )

1
.
2

Câu 99. Tính giới hạn lim

)

53
.
2

5
D. − .
3

A.

1
.
2

5
D. − .
3

C. lim

)

53
C.
.
2

n

n

B. ( −1) .

C. ( −1,0001) .

D. (1, 2345) .

B. 100 .

C.

1
.
100

D. 0 .

B. −∞ .

C.

4
.
3

D. 1 .

C.

6
.
5

D. − 6 .

3.2n +1 − 2.3n +1
.
4 + 3n

3
.
2

n 2 + n + 1 − 3 n3 + n 2 .
5
B. .
4

D. 2 .

B. 0 .

Câu 100. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ?
1 + 2.2017 n
1 + 2.2018n
A. lim
. B. lim
.
n
n
2016 + 2018
2016n + 2017 n +1

)

n 4 + n 2 − 3 n6 + 1 .
C.

1
.
2

là

A. +∞ .

n3 − 2n2 − n − 1 .

5
.
4

C.

n

D. lim ( 2 ) .

100n +1 + 3.99n
10 2 n − 2.98n +1 là

A. +∞ .

)

C.

B. +∞ .

n

A. ( 0,999 ) .

1
D. .
2

)

5
.

4

4
C. lim   .
 3

Câu 96. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?

53
C.
.
2

n − n3 + n + 2 .

B.

(

53
.
2

2n − n + n − 1 .

B.

n

5

B. lim   .
 3

n

8n + 3n + 4 − 2n + 6 .

B. 2 .

A. +∞ .
Câu 89. Tính giới hạn L = lim

C.

B. −1 .

A. +∞ .

D. 0 .

 2018 
lim 

 2019  bằng.
Câu 95.

)

3

C. −∞ .
n

2
A. lim   .
 3

D. 0 .

8n3 + 3n2 − 2 + 3 5n2 − 8n3 .

2

n→+∞

B. +∞ .
n

53
.
2

C.

3

(THPT THÁI PHIÊN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) lim 2n bằng.
A. 2 .

)

25
B.
.
4

A. +∞ .

Câu 93.

2 −1
.
2

Câu 94. Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0

B. −7 .
3

D.

n + 4 − 3 n +1 .

B. −7 .

A. +∞ .

A. +∞ .

(

3

53
.
2

C.

1
D. .
6

Câu 101. Tính

1 + 2.2018n
2.2018n +1 − 2018
. D. lim
.
n
n
2017 + 2018
2016n + 2018n

lim

2n + 1
2.2n + 3 .

A. 2.

B. 0.

C. 1.

DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA

D.

1
.
2

Câu 102. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc
Câu 92.

(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
n

4
A.   .
e

n

1
B.   .
3

n

5
C.   .
3

khoảng ( 0; 2019 ) để lim

n

 −5 
D.   .
 3 

A. 2018 .

11

9n + 3n +1
1
≤
?
5n + 9n + a 2187
B. 2012 .

C. 2019 .

D. 2011 .

12

Câu 103. (THPT

T = lim

(

Chun

Hùng

Vương-Gia

Lai-lần

1

năm

2017-2018)

Tính

giới

hạn

)

DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC

16n+1 + 4n − 16n+1 + 3n .

A. T = 0 .

1
B. T = .
4

1
C. T = .
8

D. T =

Câu 111. (THTT

1
.
16

5-488

B.

142
.
45

C.

1
.
18

A. lim un = 1 .

1
C. 0 < un <
, ∀n ∈ ℕ* .
2 2018

D. lim

số

(un )

thỏa

mãn

n →+∞

n →+∞

un +1
=1.
un
2

Câu 112. (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Đặt f ( n ) = ( n 2 + n + 1) + 1 , xét dãy số ( u n ) sao
cho un =

f (1) . f ( 3) . f ( 5) ... f ( 2n − 1)
. Tìm lim n un .
f ( 2 ) . f ( 4 ) .f ( 6 ) ... f ( 2n )
1
.
3

B. lim n un = 3 .

C. lim n un =

1
.
2

D. lim n un = 2 .

∀ n ≥ 1 . Biết

D.

lim

7
.
2

A. S = −1 .
C. 1.

u n + u4 n + u42 n + ... + u42018 n
u n + u2 n + u22 n + ... + u22018 n

=

a 2019 + b
c

B. S = 0 .

C. S = 2017 .

D. S = 2018 .

Câu 114. (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Dãy số ( un ) nào sau đây có giới hạn khác số 1

D. +∞ .

khi n dần đến vô cùng?

3
B. .
5

C. 0 .

u1 = 1

thoả mãn 
. Tìm lim un .
2
*
un +1 = 3 un + 4, ∀n ∈ N
B. lim un = 4 .
C. lim un = 12 .

B. L =

dãy

Câu 113. (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho dãy số ( u n ) xác định bởi u1 = 0 và un +1 = un + 4n + 3 ,

D. 2 .

5
D. .
2

1
.
2

C. L = 3 .

2018

A. un =

( 2017 − n ) . B. u = n
n
(
2017
n ( 2018 − n )

)

n 2 + 2018 − n 2 + 2016 .

u1 = 2017

C. 
.
1
un +1 = 2 ( un + 1) , n = 1, 2,3...

D. un =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
.
1.2 2.3 3.4

n ( n + 1)

Câu 115. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Cho dãy số ( un ) được xác định như sau

u1 = 2016; un −1 = n 2 ( un −1 − un ) , với mọi n ∈ ℕ* , n ≥ 2 , tìm giới hạn của dãy số ( un ) .
A. 1011 .
D. lim un = 3 .

B. 1010 .

Câu 116. Cho dãy số ( u n ) như sau: un =

n
Câu 110. Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 3 . Tìm lim .
un
1
A. L = .
3

Cho

B. lim un = 0 .

A. lim n un =

 u1 = 3

Câu 108. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho dãy số (un ), n ∈ ℕ* , thỏa mãn điều kiện 
un .
un +1 = − 5

Gọi S = u1 + u2 + u3 + ... + un là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó lim Sn bằng

Câu 109. Cho dãy số ( un )

2018)

với a , b , c là các số nguyên dương và b < 2019 . Tính giá trị S = a + b − c .

1 1 1
1 + + + n + ...
2 4 2
Câu 107. Tổng
bằng
1
A. .
B. 2.
2

1
A. .
2

năm

A. Dãy số ( u n ) là dãy tăng.

Câu 106. Số thập phân vơ hạn tuần hồn 3,15555... = 3,1( 5 ) viết dưới dạng hữu tỉ là

63
.

20

2

un = n + 2018 − n + 2017, ∀n ∈ ℕ . Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 104. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tính tổng S của cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu
1
u1 = 1 và cơng bội q = − .
2
3
2
A. S = 2 .
B. S = .
C. S = 1 .
D. S = .
2
3

A.

tháng

*

DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG

2 2
2
Câu 105. Tổng vô hạn sau đây S = 2 + + 2 + ... + n + ... có giá trị bằng

3 3
3
8
A. .
B. 3 .
C. 4 .
3

số

1
A. .
4

B. 1 .

C. 1008 .

n

1 + n2 + n4

D. 1009 .

, ∀n = 1 , 2 , ... Tính giới hạn lim ( u1 + u2 + ... + un ) .
x→+∞

1
C. .
2

D.

1
.
3

D. L = 2

13

14


Câu 117. (THPT

NGUYỄN

HUỆ

-

TT

HUẾ

-

2018)

Cho

u1 = 2
. Tính lim un .

*
3 4un +1 + 1 = 4un + 1 + 4, ( n ∈ ℕ )
1
3
1
A. .
B. .
C. .
3
4
2

dãy

số

( un )

thỏa

mãn

9n + 3n +1
1
nguyên của tham số a thuộc khoảng ( 0; 2018 ) để có lim n n + a ≤

?
5 +9
2187
A. 2011 .
B. 2016 .
C. 2019 .
D. 2009 .

2
.
3

D.

Câu 123. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Có bao nhiêu giá trị

u = − 2
Câu 118. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho dãy số ( un ) biết  1
, khi đó
un = 3un −1 − 1, ∀n ≥ 2
u
L = lim nn
3
5
A. Không xác định.
B. L = +∞ .
C. L = − .
D. L = 0 .
6

Câu 124. Từ độ cao 55, 8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm
1
xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng
độ cao mà quả bóng đạt
10
trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên
trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Câu 119. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của
tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC .
Ta xây dựng dãy các tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,... sao cho A1B1C1 là một tam giác đều
cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n ≥ 2 , tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam
giác An−1Bn−1Cn−1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình trịn ngoại
tiếp tam giác An BnCn . Tính tổng S = S1 + S2 + ... + Sn + ... ?

A. S =

15π
.
4

B. S = 4π .

C. S =

C. un =

n ( n − 2018 )

( n − 2017 )

2017

2018

. B. un = n

(

9π
.
2

u1 = 2018

D. 
.
1
un +1 = 2 ( un + 1) , n ≥ 1

C. 1 .

B.

3
.
2

C. 3 .

2 2
un + a , ∀n ∈ ℕ* . Biết
3

D. 2 .

D.

3
.
2

C. −1 .

C. Chiều cao mơ hình dưới 2 mét.

Câu 122. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với n là số tự nhiên lớn hơn 2 , đặt
1
1
1
1
Sn = 3 + 3 + 4 + ... + 3 . Tính lim Sn
C3 C4 C5
Cn
A. 1.

B.

D.

1
.
2

Câu 126. Một mơ hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi
khối cầu có bán kính gấp đơi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là 50
cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Chiều cao mơ hình khơng q 1, 5 mét
B. Chiều cao mơ hình tối đa là 2 mét

)

B. −1.

Câu 125. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hai dãy số ( un ) , ( vn ) đều tồn tại giới hạn hữu hạn. Biết rằng

A. 0.

2
2
2
rằng lim u1 + u2 + ... + un − 2n = b . Giá trị của biểu thức T = ab là

(

D. ( 69 m ; 72 m ) .

n→+∞

)

Câu 121. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Cho dãy số (un ) thỏa mãn: u1 = 1 ; un +1 =

A. −2 .

C. ( 64 m ; 66 m ) .

của giới hạn lim ( un + 2vn ) bằng

D. S = 5π .

n2 + 2020 − 4n2 + 2017 .

2
2
2
.
+
+… +
1.3 3.5
( 2n + 1)( 2n + 3)

B. ( 60 m ; 63m ) .

hai dãy số đồng thời thỏa mãn các hệ thức un +1 = 4vn − 2, vn +1 = un + 1 với mọi ∀n ∈ ℤ + . Giá trị

Câu 120. (CTN - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số ( u n ) cho dưới đây, dãy số nào có giới hạn khác 1 ?
A. un =

A. ( 67 m ; 69 m ) .

1
.
3

Câu 127. Trong một lần Đoàn trường Lê Văn Hưu tổ chức chơi bóng chuyền hơi, bạn Nam thả một quả
bóng chuyền hơi từ tầng ba, độ cao 8m so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng
lại nả y lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng chuyển động vng
góc với mặt đất. Khi đó tổng quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng đến khi quả bóng
khơng máy nữa gần bằng số nào dưới đây nhất?
A. 57m .
B. 54m .
C. 56m .
D. 58m .
Câu 128. Với mỗi số nguyên dương n , gọi sn là số cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ n 2 . (nếu
a ≠ b thì hai cặp số ( a; b ) và ( b; a ) khác nhau). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. lim

n →+∞

15

D. Mơ hình có thể đạt được chiều cao tùy ý.

sn
n

= 2π .

B. lim

n →+∞

sn
n

= 2.

C. lim

n →+∞

sn
n

= π .

D. lim

n →+∞

sn
n

= 4.

16

Câu 10.

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1.

DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Chọn C
u
Nếu lim un = a > 0 và limv n = 0 thì lim  n
 vn
dương hay âm.

Câu 2.

Ta có: lim

 = +∞ là mệnh đề sai vì chưa rõ dấu của vn là


Câu 3.

Chọn D
Lấy máy tính bấm từng phương án thì phần D ra kết quả đề bài
Chọn A

Câu 4.

Chọn B

Câu 11.

Câu 12.

Câu 5.

un
=0.
vn

1
= lim
2n + 7

7
n

= 0.

1
1 1
= lim .
=0.
2n + 5
n 2+ 5
n



1

1 1 
1
= lim 
 = 0. = 0 .
5n + 2
n  5+ 2 
5
n


Câu 13.
Hướng dẫn giải

Chọn D
Chọn B

(II) lim q n = +∞ nếu q < 1 ⇒ ( II ) là khẳng định sai vì lim q n = 0 nếu q < 1 .

Ta có I = lim

(III) lim q n = +∞ nếu q > 1 ⇒ ( III ) là khẳng định đúng.

Chọn D
Ta có: un − 2 <

1
1
⇒ lim ( un − 2 ) = lim 3 = 0 ⇒ lim un − 2 = 0 ⇒ lim un = 2 .
n3
n

Câu 7.

Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì lim q n = 0 ( q < 1) .

Câu 8.

DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu
Chọn B

7
1
−2+ 3
7 n 2 − 2 n3 + 1
n
n = − 2.
=
lim
2 1
3n3 + 2n 2 + 1
3
3+ + 3
n n

Câu 14.

2 3
− 6
4

2n 2 − 3
n
n = 0.
Ta có lim 6
= lim
5
5
n + 5n
1+
n

Câu 15.
Câu 16.

Chọn B
Chọn D

Vậy số khẳng định đúng là 2 .

Ta có: L = lim

1 1
− 3
2
n −1
n
n = 0 = 0.
Ta có lim 3
= lim
3

n +3
1
1+ 3
n

Câu 9.

2+

Chọn B

lim

(I) lim nk = +∞ với k nguyên dương ⇒ ( I ) là khẳng định đúng.

Câu 6.

1
n

Chọn B
Ta có: lim

Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số ( un ) , ( vn ) và lim un = a, lim vn = +∞ trong đó a hữu hạn thì
lim

Chọn D

Câu 17.

Chọn C

Xét đáp án

Chọn A
1
1
Ta có lim
= lim n = 0 .
3
5n + 3
5+
n

Xét đáp án

17

2 1
+
2n + 1
n n2 = 0 .
=
lim
2
2
1
2+n−n
+ −1
n2 n

2
1− 2
n2 − 2
n =1.
=
lim
5
5n + 3n2
+3 3
n
2
1−
n 2 − 2n
n =1
B. lim
=
lim
5
5n + 3n 2
+3 3
n

A. lim

18


Xét đáp án

Xét đáp án

Câu 18.

Câu 19.

2n − 3
= lim
I = lim 2
2 n + 3n + 1

1 2
−
1 − 2n
n2 n = 0 .
=
lim
2
5
5n + 3n
+3
n
1
−2
1 − 2n2
2
n2
D. lim
=
lim

=− .
2
5
5n + 3n
3
+3
n

Sn =

C. lim

1 1
1
1
1
1
1
.
= −
+
−
+ ....
−
= 1−
1
2
2
3
n

n +1
n +1
Suy ra lim Sn = 1

2 3 
2 3
n2  − 2 
− 2
n n 
n
n
=0.
= lim
3 1
3 1 

2+ + 2
n2  2 + + 2 
n n
n n 


Câu 23.

cos n + sin n
= 0.
n2 + 1
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu
2
−1

2−n
0 −1
=
Câu 24. Ta có: lim
= lim n
= −1 .
1 1+ 0
n +1
1+
n

1
1
1
1
1
1
1
+
+ ... + 2
=
+
+
+ ... +
2 2 − 1 32 − 1
n − 1 1.3 2.4 3.5
( n − 1)( n + 1)

1 1 1 1 1 1 1
1

1  1 1 1
1  3
1
=  − + − + − + ... +
−
.
=  + −
= −
2 1 3 2 4 3 5
n − 1 n + 1  2  1 2 n + 1  4 2 ( n + 1)
3
1  3
Suy ra: lim un = lim  −
= .
 4 2 ( n + 1)  4
Câu 20.

Ta có:

Ta có 1 + 2 + 3 + ... + k là tổng của cấp số cộng có u1 = 1 , d = 1 nên 1 + 2 + 3 + ... + k =
⇒

Câu 25.

 2
2
n 1 − 
1−
n−2
n

n = 1.
Ta có lim
= lim 
= lim
1 3
1
3n + 1

3+
n3+ 
n
n


Câu 26.

2
3−
3n − 2
n
Ta có I = lim
= lim
= 3.
3
n+3
1+
n

Câu 27.

Ta có lim

Câu 28.

Ta có I = lim

Câu 29.

Chọn A

1 1 1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
= − + − +⋯+
− + −
= 1−
.
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n ( n + 1) 1 2 2 3
n −1 n n n + 1
n +1

 1
1
1
1 
1 

+
+
+ ... +
Vậy lim 
 = lim 1 −
 =1.
1.2
2.3
3.4
n
n
+
1
n
+1 
(
)



Câu 21.

(1 + k ) k

2

2
2
1
2
= −
, ∀k ∈ℕ* .
=
1 + 2 + ... + k k ( k + 1) k k + 1

2
2 
2 
2 2 2 2 2 2
2
L = lim  − + − + − + ... + −
 = lim  −
 = 2.
n n +1 
1 2 2 3 3 4
 1 n +1 

Câu 22.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có

Ta có lim

1
1
=
n n + 1 + ( n + 1) n
n n +1 n +1 + n

(

)

=

cos n + sin n
2
cos n + sin n
2
=0.
và lim 2
≤
< 2
n2 + 1
n2 + 1
n +1
n +1

Ta có 0 <
Suy ra lim

Chọn A
Ta có: un =

1
1
1
.
+
+ ... +
1 2 +2 1 2 3+3 2
n n + 1 + ( n + 1) n

n +1 − n
1
1
.
=
−
n n +1
n
n +1

Câu 30.

19

2017
2+
2n + 2017
n =2.
= lim
2018

3n + 2018
3
3+
n

1
+ 19
1 + 19n
19
= lim n
= .
19 18
18n + 19
18 +
n

Chọn C
Có lim

Suy ra

1
−2
1 − 2n
2
= lim n
=− .
1
3n + 1
3

3+
n

n +1
1
= lim1 + lim = 1 .
n
n
20


1
−1
1 − n2
1
n2
=
lim
=− .
2
1
2n + 1
2
2+ 2
n

Câu 31.

Ta có lim

Câu 32.

2018
4+
4n + 2018
n =2.
Ta có lim
= lim
1
2n + 1
2+
n

Câu 33.

Chọn A

Ta có: lim

Câu 40.

Câu 34.

Câu 41.

Ta có lim un = lim

Câu 42.

1


1
n2 + 
2+
2n + 1
n

n = 2+0 = 2.
Ta có lim
= lim
= lim
1
1+ n
1 
+1 0 +1
n  + 1
n
n 

Câu 44.

Chọn B

Chọn A

1
3+ 2
3n 2 + 1
n
lim 2

= lim
=3
2
n −2
1− 2
n
Câu 45. Chọn C

Chọn A
1
1+
n2 + n
n = 1 .
=
lim
1
12n 2 + 1
12 + 2 12
n
1
Vậ y A = .
12

Ta có lim

Câu 46.

Chọn D

3 1

8+ − 2
8n 2 + 3n − 1
n
n = 4.
= lim
4 5
4 + 5n + 2n 2
+
+
2
n2 n

Chọn C
1
3
1+
un
1
n+3
n
+
1
n
= .
Ta có I = lim
= lim
= lim
= lim
3
vn

3 ( n + 1)
 1 3
3 1 + 
n+3
 n

3
5n + 3
5
n
= lim
= .
Ta có lim
1 2
2n + 1
2+
n
5+

Câu 39.

3
10 +
10n + 3
n = 10 .
= lim
15 3
3n − 15
3−
n

1
2+
2n + 1
n = 2.
= lim
Ta có lim
1
n +1
1+
n

A = lim

Câu 38.

1
2−
2n − 1
n = −1.
= lim
3
3− n
3
−1
n

Chọn B

Ta có I = lim

Câu 43.

1 
1
n3  − 3 
−3
3
n 
n
= lim
=− .
5 2
5 2
2
3
2+ 2 − 3
n 2+ 2 − 3 
n n
n n 


Chọn D

3

2 2
2− 3 + 4
2 n 4 − 2n + 2
n

n =1.
Câu 35. Ta có lim 4
= lim
2 5
4n + 2n + 5
4+ 3 + 4 2
n n
Câu 36. Chọn C
3
2− 2
2n 2 − 3
n = −1 .
lim
=
lim
1
1 − 2n 2
−2
n2

Câu 37.

Chọn C

n 2 − 3n3
Ta có: lim 3
= lim
2n + 5n − 2

2 1


2 1
n5  8 − 2 + 5 
8− 2 + 5
8n − 2n + 1
n n 

n n = 8 = 2.
Ta có lim 5
=
=
lim
lim
2 1
2 1
4n + 2n 2 + 1

4+ 3 + 5 4
n5  4 + 3 + 5 
n n
n n 

5

4 5
1+ 2 − 3
n 3 + 4n − 5
n n =1.
=
lim

1 7
3n3 + n 2 + 7
3+ + 3 3
n n

Câu 47.

Chọn B
21

Chọn A
22


Câu 48.

2 1 

 8 − n 2 + n5 
8n 5 − 2 n 3 + 1
Ta có: lim 2
= lim 
= −2 .
2
2019 
2n − 4n5 + 2019
 3 −4+ 5 
n
n




Suy ra a = 4 . Khi đó a − a 2 = 4 − 4 2 = −12 .
Câu 54. Chọn B
n ( n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n
1
= .
Ta có: lim un = lim
= lim
n2 + 1
2
2 ( n 2 + 1)

Chọn

Câu 55.

A.

Ta có: B = lim

4n 2 + 3n + 1

( 3n − 1)

2

3 1 
3 1 



n2  4 + + 2 
4+ + 2  4+0+0 4
n n 
n n 

= lim 
=
lim
=
=
2
2
2
1
1


( 3 − 0) 9
n2  3 − 
3
−


n
n



Ta có kết quả quen thuộc 12 + 22 + 32 + ... + n2 =

Câu 56.

lim

Câu 57.

Câu 58.

Chọn A

( n + 1)

2

a
1
a+ + 2
an 2 + a 2 n + 1
n n =a.
=
lim
2 1
n 2 + 2n + 1
1+ + 2
n n

2

Ta có: lim

Câu 53.

( 3n − 1)( 3 − n )
3
( 4n − 5 )

2

.

2 1
+ 2
n
n =1.
= lim
2
4
3n + 4
3
3+ 2
n

( n + 1)
= lim

2

1+

Chọn D

Chọn D
1
3
2n − 1 1 + 3 + ... + ( 2n − 1) n 2
+ + ... + 2 =
= 2 =1
n2 n2
n
n2
n

 1
1+ n  1
 n ( n + 1) 
n
 1 2
 1 + 2 + ... + n 
lim  2 + 2 + ... + 2  = lim 
=
lim
=
lim

= .




2
2
n
n
n
n
2
n






 2  2



1  3 

 3 −  − 1
3 a
n  n 

= lim
=
= . Do đó: a.b = 192
3
64 b
5


4
−


n


Câu 60.

Chọn B

1 
1 
1 

Xét dãy số ( un ) , với un = 1 − 2  1 − 2  ... 1 − 2  , n ≥ 2, n ∈ ℕ .
 2  3   n 
Ta có:

Chọn A
u2 = 1 −

1 4 

n3  2 + − 3 
2n + n − 4
n n = 2=1.

Ta có lim

=
lim
2 
an 3 + 2
a 2

n3  a + 3 
n 

3

( n + 1)

Câu 59.

Chọn A
2

3n 2 + 4

2

Suy ra lim un = 1.

a 2 − a + 1 = a ⇒ a 2 − 2a + 1 = 0 ⇒ a = 1 .

Câu 52.

1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1)

(1 + 2n + 1)( n + 1) =

Ta có 1 + 3 + ... + ( 2n − 1) = n 2 
→

2

= lim

C.

n
 1 2 3
 1 + 2 + 3 + ... + n 
 n( n + 1) 
1 1  1
Lim  2 + 2 + 2 + ... + 2  = lim 
 = lim 
 = lim  +  =
2
n 
n2
n n n


 2n 
 2 2n  2

Vậy S = {1;3} ⇒ 1 + 3 = 4 .

an 2 + a 2 n + 1

Chọn

Ta có 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1) =

 2
2 + 2a 2 − 8a 
 ( a 2 − 4a + 3) n + 2 + 2a 2 − 8a 
 a − 4a + 3 +

n
 = lim 
= lim 
 = a 2 − 4a + 3 .
2


n+2


1+




n


 3n + 2


+ a 2 − 4a  = 0 ⇔ a 2 − 4a + 3 = 0 ⇔ a = 3 ∨ a = 1 .
Theo giả thiết: lim 
 n+2


Ta có lim

n ( n + 1)( 2n + 1)
.
6

1
 1 
 1 +  2 +  1.2 1
n ( n + 1)( 2n + 1)
12 + 22 + 32 + 42 + ... + n 2
n 
n

Do đó lim
= lim
= lim
=
= .
2 7 
n 3 + 2n + 7
6 3

6 ( n 3 + 2n + 7 )

6 1 + 2 + 3 
n 
 n

1 1
1+ + 3
n3 + n 2 + 1
1
= lim n n = − ⋅
Câu 49. L = lim
2018
2018 − 3n3
3
−3
n3
Câu 50. Chọn A
 3n + 2

+ a 2 − 4a 
Ta có: lim 
 n+2


Câu 51.

Chọn D

2

1 3 2 +1

= =
;
2 2 4 2.2

1 
1  3 8 4 3 +1

u3 = 1 − 2  . 1 − 2  = . = =
;
 2   3  4 9 6 2.3
23

24


−2
+ n − 2n 2
−2 + 3n − 2n3
 
1 2 
 −2

= lim n
= −∞ do lim  + n − 2n 2  = lim  n 2  −2 + − 3   = −∞
2
3n − 2
n
n n 





3−
n
2

và lim  3 −  = 3 > 0 .
 n

1
1 
1  3 8 15 5 4 + 1

u4 = 1 − 2  . 1 − 2 1 − 2  = . . = =
 2   3  4  4 9 16 8 2.4

lim

⋯⋯

un =

n +1
.
2n

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định un =

Câu 66.

n +1
, ∀n ≥ 2
2n

Lời giải
Chọn B


1 
1 
1 
n +1 1
= .
Khi đó lim 1 − 2 1 − 2  ... 1 − 2   = lim
2n 2
 2  3   n  
Câu 61.

Ta có: lim

1
1
1
1 1 1 1 1
1
1 
Ta có : un =
+
+ ... +
=  − + − + ... +

−

1.3 3.5
2n −1 2n +1
(2n −1).(2n + 1) 2 1 3 3 5

Câu 62.

n
1
= .
2n + 1 2


3
4 

Ta có lim −2n 2019 + 3n 2018 + 4 = lim  n2019 .  −2 + + 2019   = −∞ .
n n 


Câu 63. Chọn B
4
3
 2
4
3
  1 
lim ( 2 − 3n ) ( n + 1) = lim  n 7  − 3  1 +  
  n  

  n
Ta có lim n 7 = +∞

Câu 68.

5
+1
2
n
Ta có I = lim
= lim
=1
2
1
4n − n + 1
4 − 1+ 2
n
4n 2 + 5 + n

Câu 69.

4
2

lim  − 3  = ( −3) = 34
n


lim

x →−∞

4x2 + x + 1 − x2 − x + 3
= lim
x →−∞
3x + 2

− 4+
= lim

x →−∞

3

 1
lim  1 +  = 1
 n

Câu 70.

3

⇒ lim ( 2 − 3n ) ( n + 1) = +∞

Câu 65.

2
1− 2
n3 − 2n
n

=
lim
= +∞ .
3 1 2
3n 2 + n − 2
+ 2− 3
n n n

Câu 71.

−x 4 +

1 1
1 3
+
+ x 1− + 2
x x2
x x
3x + 2

1 1
1 3
+
+ 1− + 2
x x2
x x = −1.
2
3
3+
x

Chọn A
n 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1)

n n2
n2
1
1
= lim 2
= lim
= .
1 2
2n 2 + 1
2n + 1
2+ 2
n
n ( n + 1)( 2n + 1)
2
2
2
2
Ta có: 1 + 2 + 3 + ... + n =
.
6

lim un = lim

Chọn A
Ta có: L = lim

4+

.

4

Câu 64.

1
1 2
−
+
n2
n n2 = 2 − 0 = 1 .
3
2
2−
n

Ta có: lim

)

4

4+

4n 2 + 1 − n + 2
= lim
2n − 3

Câu 67.

Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu
Chọn A

(

2n − 1

1 − 4n
4n − 1
1 − 4 = lim
= +∞ .
= lim
2n − 1
3 ( 2n − 1)
1.

Dạng 1.4 Phân thức chứa căn

1 1
1 
n
=  −
=
2 1 2n +1 2n + 1
Suy ra : lim un = lim

1 + 5 + ... + ( 4n − 3)

2n2 + 1

= lim

Chọn B
n ( n + 1)( 2n + 1)
12 + 2 2 + 33 + ... + n 2
= lim
Khi đó: lim
= lim
2n ( n + 7 )( 6n + 5 )
12n ( n + 7 )( 6n + 5 )

25

1
 1 
 1 +  2 + 
1
n
 n 
= .
5
 7 
6
12 1 +  6 + 
n
 n 
26

Câu 72.

DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC
Chọn D

Ta có: lim n

1
2
n
=
Ta có n − 3n + 1 − n =
3 1
n2 − 3n + 1 + n
1− + 2 +1
n n
3
2
Nên lim n − 3n + 1 − n = −
2

Ta có: lim n 2n − 3 8n3 + n = lim

Chọn C

= lim

(

(

)

n 2 + 2 n − n 2 + 1 = lim

(

)(

n 2 + 2n − n 2 + 1
2

)

n 2 + 2n + n2 + 1
2

n + 2n + n + 1

1
1
2−
2−
2n −1
n
n
= lim
= lim

= = lim
= 1.
2
1
n2 + 2n + n2 +1
n 2 + 2n
n2 +1
1
+
+
1
+
+
n
n
n2
n2
Câu 74. Chọn D
1
1
1
lim n n + 4 − n + 3 = lim n
= lim
= .
n+4 + n+3
4
3 2
1+ + 1+
n
n

(

)

(

Câu 76.

4n
n + n 2 − 4n

1+ 1−

)( n +

n 2 − 4n

)

4
n

(

= 2.

L = lim

2

)

Ta có: lim n
= lim  n


(

(

(

3n
3
3
n 2 + 2 − n 2 − 1  = lim
= lim
=

2
2
1
n2 + 2 + n2 −1
1+ 2 + 1− 2
n
n

)

4n 2 + 3 − 3 8n 3 + n = lim n 


)

(

−n 2
2 
 2
3
3
3
3
 4n + 2n 8n + n + (8n + n ) 



(

(

)

4n 2 + 3 − 3 8n3 + n =

3 1 2
−
= .
4 12 3

)

9 n 2 + 2 n − 1 − 4 n 2 + 1 = lim

( 9n

2

+ 2n − 1) − ( 4n 2 + 1)

9n 2 + 2n − 1 + 4n 2 + 1
2 2


2 2
n2  5 + − 2 
5+ − 2

5n2 + 2n − 2
n n 

n n
= lim
= lim
= lim n ⋅ 


2 1
1

2 1
1 
9n2 + 2n − 1 + 4n2 + 1
n 9 + − 2 + 4 + 2 
 9+ − 2 + 4+ 2
n n
n
n n
n 


= +∞ .








(

1 1 

n2  −77 + + 2 
n n 

= lim
4 n + n + 1 − 9 n = lim
= lim



1 1
4n 2 + n + 1 + 9n
4n2 + n + 1 + 9n
n  4 + + 2 + 9
n n


2

)

4n2 + n + 1 − 81n2

−77n2 + n + 1


1 1 
 −77 + + 2 
n n  = −7 < 0 .
Vì : lim n = +∞ và lim 


1 1
4
+
+
+9


n n2



n 2 − 4n + 7 + a − n = 0 thì a − 2 = 0 ⇔ a = 2 .

Ta có: I = lim  n


)

3
3
= .

 4
3
 4 + 2 + 2
n




1 1 
 −77 + + 2 
n n  = −∞
= lim n ⋅ 


1 1

 4+ + 2 +9
n n



2a − 4 +

)

(

(

= lim

Câu 80.

n + n 2 − 4n

4

= lim

n 2 − 4n

7 − a2
−4n + 7 + 2an − a
2
n
n − 4n + 7 + a − n = lim

= lim
= a−2
4 7 a
n 2 − 4n + 7 − ( a − n )
1− + 2 − +1
n n
n

Để lim

Câu 78.

(n −

Chọn C

lim

Câu 77.

L = lim

Câu 79.

)

Ta có lim n − n 2 − 4 n = lim

3n
4n 2 + 3 + 2 n

−1
1
=− .
2 
12

 4 + 2 3 8 + 12 + 3  8 + 12  

n
n  




Vậy lim n

Chọn C

= lim

)

(

)

Ta có: lim

Câu 75.

)

4n2 + 3 − 2n = lim

−3 +

−3n + 1

Câu 73.

(

Câu 81.

4 n 2 + 3 − 2 n + 2 n − 3 8n 3 + n 


) (

)

4n 2 + 3 − 2 n + n 2 n − 3 8n3 + n  .


) (

)

27

28


 2
n 1 − 
 n
= lim
= lim

1
2 
4n 2 + n + 4n 2 + 2
4n 2 + n + 4 n 2 + 2
n 4+ + 4+ 2 
n
n


2
1−
1− 0
1
n
= lim
=
= .
1
2
4+0 + 4+0 4

4+ + 4+ 2
n
n

( 4n
L = lim

2

+ n ) − ( 4n 2 + 2 )

L = lim

n−2

(

8n3 + 3n2 − 2 + 3 5n2 − 8n3

)
8n 2 − 2

= lim
3

(8n

3

2

+ 3n 2 − 2 ) − 3 (8n3 + 3n 2 − 2 ) . ( 5n 2 − 8n3 ) + 3 ( 5n 2 − 8n3 )
8−

= lim

2
8n 2

2

3 2
3 25 


5 
3 8+
−  − 3  8 + − 3  . − 8  + 3  − 8 

n n3 

 n n n 
n 

Câu 82.

=

2

2

2
.
3

Câu 86.

L = lim 25 + lim

(

2

n + 3n + 5 − n

)

(n
= 25 + lim

2

+ 3n + 5 ) − n 2

= 25 + lim

2

n + 3n + 5 + n

3n + 5

L = lim

2

n + 3n + 5 + n

(

5

5
n3 + 
3+
3+0
53
n

n
= 25 + lim
= 25 + lim
= 25 +
= .


3 5
1+ 0 + 0 +1 2
3 5

1+ + 2 +1
n  1 + + 2 + 1
n n
n n


Câu 83.

( 2 n + 1) − ( n + 3 )

L = lim

4n − 5

(

2n + 1 + n + 3

)

= lim

(

(

= 6+

2n + 1 + n + 3

3

L = lim

)

(

( n + 4)

2

3

2

)
3+

= 6 + lim

2

+ 3n 2 + 4 ) + 2n. 3 8n3 + 3n 2 + 4 + 4n 2

3

2n − n3 + n − 1 = −1 + lim

)

(

3

4
n2

2

3

3 4 
3 4

 8 + + 3  + 2. 3 8 + + 3 + 4
n n 
n n


)

2n

2n − n3 + n = −1 + lim

2
n

3

( 2n − n )
3

2

− n 3 2 n − 2n 3 + n 2

= −1 + 0 = − 1 .

2

2
 2

 2 −1  − 3 2 −1 + 1
n
 n


Câu 88.

(

3

)

n − n3 + n + 2 = 2 + lim

(

3

)

3

( n−n )

1
n

= 2 + lim

2

 4
 4  1
 1
n 2 . 1 +  + 3 n 2 .  1 +  .  1 +  − 3 n 2 .  1 + 
 n
 n  n
 n
3
= lim
=0.
2
2 


 4
 4  1 3  1 
3 2
3
3

n
 1 +  +  1 +  .  1 +  + 1 + 
n

 n  n
 n  
 
3

n

n − n3 + n = 2 + lim

2

3

= lim

8n3 + 3n2 + 4 − 2n

1 25
=
.

4
4

L = lim

+ 3 ( n + 4 ) . ( n +1) + 3 ( n + 1)

( 8n

3

3
3

3

3n 2 + 4

= − 1 + lim

)

n + 4 − 3 n + 1 = lim

(

Câu 87.

)

Câu 84.

(

8n3 + 3n2 + 4 − 2n + 6 = 6 + lim

3

n−2
4n − 5

)

3

= 6 + lim

 2
2
n 1 − 
1−
n

n
= lim
= lim
5
1
3
5

1
3
n 4 −  2 + + 1+ 
4 −  2 + + 1+ 
n
n
n
n
n
n
1− 0
2 −1
=
=
.
2
4 − 0 2 + 0 + 1+ 0

L = lim

3

2

− n. 3 n − n 3 + n 2

= 2+0 = 2.

2

3

3

1
 1

 2 − 1  − 3 2 −1 + 1
n
 n


Câu 89.

L = lim

(

3

)

n3 − 2n2 − n − 1 = −1 + lim

Câu 85.

= − 1 + lim

(

3

−2
2

)

−2 n 2

n3 − 2n2 − n = − 1 + lim

2
 2 3
3 1−

 + 1− +1
n
 n

= −1 −

3

(n

3

− 2n

2

)

2

+ n. 3 2n3 − 2n 2 + n 2

2
5
=− .
3
3

Câu 90.
29

30


L = lim

(

n4 + n2 − 3 n6 + 1 = lim 


)

= lim

= lim

(

)

n4 + n2 − n2 − lim
n2
4

n + n2 + n2

) (

(

n4 + n2 − n2 −

(

3

)

3

n6 + 1 − n 2 


n6 + 1 − n2 = lim

(n

4

3

(n

6

2

+ 1) + n

Do 0,999 < 1 nên lim ( 0,999 ) = 0 .

+ n2 − n4 )
4

2

n +n +n

1

− lim

n

)

2

6

n +1 + n

3

6

2

Câu 97.

6

( n + 1) − n
( n + 1) + n n + 1 + n
23

6

4

n

n +1

Câu 98.

Câu 91.
L = lim

(

2

3

3

n + n +1 − n + n

2

) = lim (

) (

3

3

2

)

(

)

Chọn B

(

)

Câu 99.



n3 − ( n3 + n 2 )
 n2 + n + 1 − n2

= lim 
+
2
2
 n + n + 1 + n n 2 + n 3 n3 + n 2 + 3 n3 + n 2 






n +1
n2
= lim 

−
2
2
2
3
3
2
3
3
2
 n + n +1 + n n + n n + n + n + n 






 1
n
1
+




n2
n




= lim 
−
2





1 1
1 
1 
 n  1 + n + n 2 + 1  n 2 1 + 3 1 + +  3 1 +   

n 
n  

 




1


1+

 1 1 1
1
n
= lim 

−
= − =
2
1
1


1
1
 1+ +
 2 3 6
+
1
3
3
1
+
1
+
+
1
+



n n2
n 
n  


(

n

  3 n 
Ta có: lim 3n − 4n = lim 4n    − 1 = −∞ .
 4 




n + n +1 − n + n − n + n 

2

Chọn B
 99 
100 + 3. 

100 + 3.99
 100  = 100
lim 2 n
= lim
n
10 − 2.98n +1
 98 
1 − 2. 

 100 

4

1
1
+0 =
2
1
1+ 2 +1
n

= lim

23

6

− lim

)

Chọn D
n

2
6.   − 6
3.2n +1 − 2.3n +1
3
= lim   n
= −6 .
Ta có lim

4 + 3n
1
4.   + 1
 3
Câu 100. Chọn A
n

n

 1 
 2017 

 + 2. 

1 + 2.2017
 2018 
 2018  = 0 .
=
lim
Ta có lim
n
n
n
2016 + 2018
 2016 

 +1
 2018 
n

Câu 101. Chọn D
n

1
1+  
2 +1
 2  = 1+ 0 = 1
= lim
Ta có: lim
n
2.2n + 3
2+0 2
1
2 + 3.  
2
n

Câu 102. Chọn B

DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA
Câu 92. Ta có lim q n = 0 nếu q < 1 .

n

Ta có lim

n

4
5 −5

1
1
> 1;
=
> 1 ; < 1 . Vậy lim   = 0 .
Mặt khác
e
3
3
3
3
Câu 93. ChỌn
B.
Câu 94.

Chọn A
lim q n = 0 ( q < 1) .

Câu 95.

Chọn A

Áp dụng lim q n = 0 ,
Câu 96.

n +1

9 +3
5n + 9n + a
n

1
1 + 3 
 3  = 1 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 1 ⇔ a ≥ 7.
= lim
n
3a 2187
3a 37
5
a
  +9
9

Do a nguyên thuộc khoảng ( 0; 2019 ) nên a ∈ {7;8;...; 2018} .
Câu 103. Chọn C

Ta có T = lim

(

)

16n+1 + 4n − 16n+1 + 3 = lim

4n − 3n
16

n +1

+ 4n + 16n +1 + 3n

q <1

Chọn A
31

32


 3
1−  
 4

Vậy lim un = 12 .

n

1
1
=
= .
= lim
= lim
n
n
4+4 8
16.16n + 4n + 16.16n + 3n
1
3
16 +   + 16 +  

4
4
4 −3
n

n

DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC
Câu 110. Chọn A
Ta có un = u1 + ( n − 1) d = 2 + ( n − 1) 3 = 3n − 1 .
n
n
1
1
= lim
= lim
= .
1 3
un
3n − 1
3−
n
Câu 111. Chọn A
lim

DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG
u
1
2
= .

Câu 104. S = 1 =
1− q 1+ 1 3
2
Câu 105. Chọn B
2 2
2
1
Ta có 2; ; 2 ;...; n ;... là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = < 1 .
3 3
3
3

Suy ra:

2 2
2
1
S = 2 + + 2 + ... + n + ... = 2.
= 3.
1
3 3
3
1−
3
Câu 106. Chọn B

un +1
n + 2018 + n + 2017
=
< 1 với mọi n ∈ ℕ* .

un
n + 2019 + n + 2018

Do đó, dãy số ( u n ) giảm.
Vậy Chọn A

1
2
1
142
 1

10
3,15555... = 3,1( 5 ) = 3,1 + 5  2 + 3 + ...  = 3,1 + 5.
=
1
10
10
45


1−
10
Câu 107. Chọn B
1 1 1
1
Ta có 1 + + + n + ... là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, q = .
2 4 2
2
u1

1 1 1
Áp dụng công thức được S =
kết quả 1 + + + n + ... = 2 .
1− q
2 4 2
Câu 108. Chọn D
u
− n
u
1
1
Ta có n +1 = 5 = − do đó dãy (un ), n ∈ ℕ * là một cấp số nhân lùi vơ hạn có u1 = 3 , d = − .
un
un
5
5
Suy ra lim Sn =

1
.
n + 2018 + n + 2017

Ta có: un = n + 2018 − n + 2017 =

u1
3
5
=
= .
1− q 1+ 1 2

5

Chú ý:

n →+∞

+ lim

n →+∞

n →+∞

un +1
n + 2018 + n + 2017
= lim
=1.
un n →+∞ n + 2019 + n + 2018

+ 0 < un =

2

2
Ta có f ( n ) = ( n 2 + n + 1) + 1 = ( n 2 + 1) ( n + 1) + 1 .



Do đó un

⇒ un =

2
2
2
Khi đó vn +1 = un +1 − 12 = un + 4 − 12 = (un − 12) = vn , ∀n ∈ ℕ* .
3
3
3
2
Suy ra dãy số ( vn ) là cấp số nhân với công bội q = và số hạng đầu v1 = −11 .
3
2
, ∀n ∈ ℕ* . Từ đó un = −11 
3

2
+ 1)( 22 + 1)( 32 + 1)( 42 + 1) ... ( 2 n − 1) + 1  4n 2 + 1


2
2
+ 1)( 32 + 1)( 42 + 1)( 52 + 1) ...  4n 2 + 1 ( 2n + 1) + 1



2

Đặt vn = un − 12, ∀n ∈ℕ* .

n −1

1
1
1
.
<
≤
n + 2018 + n + 2017 2 n + 2017 2 2018

Câu 112. Chọn C

Câu 109. Chọn C

2
Suy ra vn = −11 
3

1
= 0.
n + 2018 + n + 2017

+ lim un = lim

(1
=
(2

2

( 2n + 1)

2

+1

lim n u ( n ) = lim

n −1

+ 12, ∀n ∈ ℕ* .

⇒ n u ( n) =
2n 2

( 2n + 1)

2

+1

2n 2

( 2n + 1)

= lim

2

+1

.

2
2

1
1

2 +  + 2
n n


=

1
.
2

Câu 113. Chọn B
33

34


Câu 114. Chọn A

Ta có

Ta tính giới hạn của các dãy số trong từng đáp án:

u2 = u1 + 4.1 + 3
u3 = u2 + 4.2 + 3

2018

+) Đáp án A: lim un = lim

...
un = un −1 + 4. ( n − 1) + 3

n ( n − 1)
2

 2017 − n  2017 − n 2017 
= lim 
.
 
n
 2018 − n  


2017

 2017  
−1  
 2017  
n
= lim 
− 1 
  = −1 .

  2018 − 1  
 n

 n
 

Cộng vế theo vế và rút gọn ta được
un = u1 + 4. (1 + 2 + ... + n − 1) + 3 ( n − 1) = 4

( 2017 − n )
2017
n ( 2018 − n )

+ 3 ( n − 1) = 2n2 + n − 3 , với mọi n ≥ 1 .

Suy ra

+) Đáp án B: lim un = lim n

2

u2 n = 2 ( 2n ) + 2n − 3
2

2

2

u2 2 n = 2 ( 2 n ) + 2 n − 3

= lim

...

(

)

n 2 + 2018 − n 2 + 2016 = lim

2n
n 2 + 2018 + n 2 + 2016

= lim

2

u22018 n = 2 ( 22018 n ) + 22018 n − 3

n ( n 2 + 2018 − n 2 − 2016 )
n 2 + 2018 + n 2 + 2016

2
= 1.
2018
2016
1+ 2 + 1+ 2
n
n

+) Đáp án C:

Và

Cách 1: Ta có un +1 − 1 =

2

u4 n = 2 ( 4n ) + 4n − 3

1
1
1
( un − 1) ⇒ un − 1 = ( un −1 − 1) = ... = n −1 ( u1 − 1)
2
2
2

2

u4 2 n = 2 ( 4 2 n ) + 4 2 n − 3

n

⇒ un =

...

2016
1

+ 1 ⇔ un = 4032.   + 1 ⇒ lim un = 1 .
2n −1
 2

2

u42018 n = 2 ( 42018 n ) + 42018 n − 3
Do đó lim

Cách 2:

un + u4 n + u 42 n + ... + u42018 n

Bước 1: Ta chứng minh ( un ) giảm và bị chặn dưới bởi 1.

un + u2 n + u 22 n + ... + u22018 n

Thật vậy bằng quy nạp ta có u1 = 2017 > 1 .

2
1 3
4 3
42018 3
2 + − 2 + 2.42 + − 2 + ... + 2 ( 42018 ) +
− 2
n
n
n
n
n

n
= lim
2018
1 3
2 3
2
3
2
2018 2
2 + − 2 + 2.2 + − 2 + ... + 2 ( 2 ) +
− 2
n n
n n
n
n

=

2 (1 + 4 + 42 + ... + 42018 )
2 (1 + 2 + 22 + ... + 22018 )

Giả sử un > 1 ⇒ un +1 =

1
1
( un + 1) > (1 + 1) = 1
2
2

Vậy un > 1∀n ∈ ℕ * .

Hơn nữa un +1 − un =

1 − 42019
2019
2019
4 = 1 4 −1 = 2 +1 .
= 1 −2019
2019
1− 2
3 2 −1
3
1− 2
1

1
(1 − un ) < 0 nên ( un ) là dãy giảm
2

Suy ra ( un ) có giới hạn lim un = a

a = 2

Vì 22019 > 2019 cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên b = 1
c = 3


Bước 2: Ta có a = lim un = lim un +1 = lim

1
1

1 1
1
( un + 1) = lim un + = a +
2
2
2 2
2

⇒ a = 1.
+) Đáp án D:

Vậ y S = a + b − c = 0 .
35

36


Ta có un =

1
1
1
1
1 1 1
1
1
1
n
+
+

+ ... +
= 1 − + − + ... + −
= 1−
=
1.2 2.3 3.4
n ( n + 1)
2 2 3
n n +1
n +1 n +1

• Tương tự, dùng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được

3
< un ≤ 2 , tức dãy ( un ) bị chặn. Từ đó
4

suy ra dãy số có giới hạn.
⇒ lim u n = lim

n
=1.
n +1

• Đặt x = lim un . Khi n → +∞ thì un +1 → x và

Câu 115. Ta có un −1 = n 2 ( un −1 − un ) ⇔ un −1 ( n 2 − 1) = n 2un ⇔ un =

n −1 n +1
.
.un −1 . Khi đó ta có:

n
n

3 4 x + 1 = 4 x + 1 + 4 ⇔ 36 x + 9 = 4 x + 1 + 16 + 8 4 x + 1 ⇔ 4 x + 1 = 4 x − 1 ⇔ x =

1 3
u2 = . .u1
2 2

Vậy lim un =

2 4
u3 = . .u2
3 3

Đặt un = vn +

n −1 n +1
.
.un −1
n
n

n
2 2

(1 + n )

− n2

=

(n

2

n +1
n +1
.u1 =
.1008 . Vậy lim un = 1008 .
2n
n

Do đó un = vn +

n
1
1
1

=  2
− 2

+ n + 1)( n 2 − n + 1) 2  n − n + 1 n + n + 1 

Vậy L = lim

1
1
5

5
= −2 − = − , công bội q = 3 , suy ra vn = − .3n−1 .
2
2
2
2

1
5
1
= − .3n−1 + ( n ≥ 1) .
2
2
2

un
1 
5
 5
= lim  − + n  = − .
3n
6
 6 2.3 

Câu 119. Vì dãy các tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,... là các tam giác đều nên bán kính đường trịn

1 1 1 1 1 1 1 1
1
1


Ta có u1 + u2 + ... + un =  1 − + − + − + − + ... + 2
−

2  3 3 7 7 13 13 21
n − n + 1 n2 + n + 1 
=

1
1
1

, thay vào biểu thức truy hồi ta có vn + = 3  vn −1 +  − 1 ⇔ vn = 3vn −1 , ∀n ≥ 2 .
2
2
2


Dễ thấy ( vn ) là cấp số nhân với v1 = u1 −

Nhân theo vế các đẳng thức trên ta có un =

Câu 116. Ta có un =

3
.
4

Câu 118. Chọn C

…

un =

3
.
4

ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh ×

2
1
1
 1 n +n
1 − 2
=
2
2  n + n +1 2 n + n +1

3
.
3

Với n = 1 thì tam giác đều A1B1C1 có cạnh bằng 3 nên đường trịn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 có
2

1+

Suy ra lim ( u1 + u2 + ... + un ) =

1
n

bán kính R1 = 3.

1
1
lim
= .
1 1
2
1+ + 2 2
n n

Với n = 2 thì tam giác đều A2 B2C2 có cạnh bằng

Câu 117. • Chứng minh ( u n ) là dãy giảm, tức là chứng minh: un+1 ≤ un , ∀n ∈ℕ* .
- Với n = 1 , ta có: 3 4u2 + 1 = 4u1 + 1 + 4 ⇔ u2 =


3
3
⇒ S1 = π  3.
 .
3
3



3
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2C2
2

2

 1 3
1 3
có bán kính R2 = 3. .
⇒ S 2 = π  3. .
 .
2 3
 2 3 

10
≤ u1 .
9

Với n = 3 thì tam giác đều A3 B3C3 có cạnh bằng

- Giả sử mệnh đề đúng với n = k , tức là: uk +1 ≤ uk , ∀n ∈ℕ* .

3
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2C2
4

2

 1 3
1 3
có bán kính R3 = 3. .
⇒ S3 = π  3. .
 .

4 3
 4 3 

- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 , tức là chứng minh: uk + 2 ≤ uk +1 . Ta có:
3 4uk + 2 + 1 = 4uk +1 + 1 + 4 ≤ 4uk + 1 + 4 = 33 4uk +1 + 1 ⇔ uk + 2 ≤ uk +1 .

.

- Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra un+1 ≤ un , ∀n ∈ℕ* , tức ( u n ) là dãy giảm.
37

38


1
Như vậy tam giác đều An BnCn có cạnh bằng 3.  
2
1
có bán kính Rn = 3.  
2

n −1

n −1

nên đường tròn ngoại tiếp tam giác An BnCn

Khi đó từ un+1 =

Câu 121. Ta có ∀n ∈ ℕ * ,

2

  1 n −1 3 
3
⇒ Sn = π  3.   .  .
.
 2
3
3 


2 2
2
un + a ⇒ un2+1 − 3a = ( u n2 − 3a ) .
3
3

un +1 =

Khi đó ta được dãy S1 , S2 , ...Sn ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = S1 = 3π và
công bội q =

1
1
( un + 1) , n ≥ 1 suy ra a = ( a + 1) ⇔ a = 1 , do đó lim un = 1 .
2
2

1

.
4

Đặt vn = un2 − 3a thì ( vn ) là cấp số nhân với v1 = 1 − 3a và cơng bội q =

Do đó tổng S = S1 + S2 + ... + Sn + ... =

2
Do đó vn =  
 3

u1
= 4π .
1− q

un =

n ( n − 2018 )

( n − 2017 )

2017

2018

→

n.n 2017
→1.
n 2018

(1 − 3a ) + 3a .

2
2
2
Vì lim u1 + u2 + ... + un − 2n = b nên

(

2

2

) (

n + 2020 − 4n + 2017 → n

2

n − 4n

2

) → n.( −n ) → −∞ .

)

2




  2 n 
3a − 2 = 0
a =
lim  3 (1 − 3a ) 1 −    − n ( 3a − 2 )  = b ⇔ 
⇔
3 ,




b = 3 (1 − 3a )
b = −3
 3 



+ Với phương án C:

1 
1
1
 1 1 1
 1
un = 1 −  +  −  + … + 
−
→ .
 = 1−
2n + 3 2

 3 3 5
 2n + 1 2n + 3 

suy ra T = ab = −2 .

Câu 122. Ta có Cn3 =

+ Với phương án D:

un+1 =

1
1
( un + 1) ⇔ un+1 − 1 = ( un − 1) .
2
2

Nhận xét

Suy ra dãy ( vn ) là một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2017 , cơng bội bằng

1
vn = 2017.  
2

6
( n − 3) !( n − 2 )( n − 1) n = n ( n − 1)( n − 2 ) ⇒ 1 =
n!
=
Cn3 n ( n − 1)( n − 2 )

3!( n − 3)!
6
( n − 3) !× 6

Vậy ta có Sn =

v1 = 2017

Đặt vn = un − 1 , ta có 
.
1
vn +1 = 2 .vn , n ≥ 1

1
Suy ra un = 2017.  
2

n −1

2
1−  
n


Suy ra u12 + u22 + ... + un2 − 2n = (1 − 3a )  3  − 2n + 3na = 3 (1 − 3a )  1 −  2   − n ( 3a − 2 ) .
 3 
2


1−

3

+ Với phương án B:

(

2

3

(1 − 3a ) ⇒ un2 = vn + 3a = 

n

Câu 120. + Với phương án A:

un = n

n −1

2
.
3

1
nên
2

6
6

6
6
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n ( n − 1)( n − 2 )

2
1
1
2
1
1
2
1
1
;
;…;
=
−
=
−
=
−
1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4
( n − 2)( n − 1) n ( n − 2 )( n − 1) ( n − 1) n

1
1

1
1
1
1
1
 1
1 1
 n − 2  3n − 6
⇒ Sn = 3 
−
+
−
+ ... +
−
+
−  = 3 −  = 3
=
n − 2 n −1 n −1 n 
2n
 1.2 2.3 2.3 3.4
2 n
 2n 

n −1

6

 3− n  3
 3n − 6 
Vậy lim Sn = lim 

= .
 = lim 
 2n 
 2  2



( n ≥ 1) .

n −1

+ 1 ( n ≥ 1) , do đó lim un = 1 .

n

1
1 + 3.  
9n + 3n +1
9n + 3n +1
9n + 3n +1
3 = 1 = 1 .
Câu 123. Do n
v
ớ
i
nên
>
0
∀
n

lim
=
lim
=
lim
a
n
5 + 9n+ a
5n + 9 n + a
5n + 9 n + a
9a 3
5
a
  +9
9

Chú ý:
Ở phương án D, ta có thể chứng minh un > 1 với mọi n ≥ 1 và ( u n ) là dãy giảm nên ( u n ) sẽ có
giới hạn. Gọi lim un = a .
39

40


Theo đề bài ta có lim

1
1
9n + 3n +1
1

⇔ a ≤
≤
⇔ a ≥ 7 . Do a là số nguyên thuộc
3
2187
5n + 9n + a 2187

khoảng ( 0; 2018 ) nên có a ∈ {7;8;9;...; 2017} ⇒ có 2011 giá trị của a .

Vậy lim ( un + 2vn ) = a + 2b = −
n→+∞

2
1
+ 2. = 0 .
3
3

Câu 126. Chọn C
Gọi bán kính khối cầu dưới cùng là R1 = 50 cm.

Câu 124. Chọn A

1
độ cao mà quả bóng đạt trước đó
10
và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc
ban đầu cho đến:
Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng

 Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là d1 = 55,8 m .

Gọi R2 , R3 ,…, Rn lần lượt là bán kính của các khối cầu R2 , R3 ,..., Rn nằm nằm ngay trên khối cầu
dưới cùng.
R1
R
R
R
R
, R3 = 2 = 1 ,…., Rn = n −1 = n 1−1
2
2
4
2
2
Gọi hn là chiều cao của mơ hình gồm có n khối cầu chồng lên nhau.
Ta có R2 =

Ta có

 Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là d2 = 55,8 + 2.

55,8
.
10

1
1
1
1 



 1 1
hn = 2 R1 + 2 R2 + 2 R3 + ... + 2 Rn = 2  R1 + R1 + R1 + ... + n −1 R1  = 2 R1  1 + + + ... + n −1 
2
4
2
2 


 2 4

 Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là d3 = 55,8 + 2.

55,8
55,8
+ 2. 2 .
10
10

 Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là d4 = 55,8 + 2.

55,8
55,8
55,8
+ 2. 2 + 2. 3 .
10
10
10


1 
 1 1
Suy ra chiều cao mơ hình là h = lim hn = lim  2 R1  1 + + + ... + n −1  
n →+∞
n →+∞
2
4
2



1 1
1 1
1
Xét dãy số 1; ; ;...; n −1 ; n ;... là một cấp số nhân có u1 = 1 và công bội q = nên là dãy cấp
2 4
2
2
2
1 1
1
1
1
số nhân lùi vơ hạn. Do đó 1 + + + ... + n −1 + n + ... =
=2
1
2 4
2
2

1−
2
Suy ra h = 2 R1.2 = 200 cm. Vậy chiều cao mơ hình nhỏ hơn 200 cm.

…………………………………….

 Thời điểm chạm đất lần thứ n, ( n > 1) là dn = 55,8 + 2.

55,8
55,8
55,8
+ 2. 2 + ... + 2. n −1 .
10
10
10

Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt
đất là

d = 55,8 + 2.

55,8
55,8
55,8
+ 2. 2 + ... + 2. n −1 + ... (mét).
10
10
10

55,8

55,8
55,8
55,8
1
, 2. 2 , 2. 3 , …, 2. n −1 ,…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q =
,
10
10
10
10
10
55,8
2.
55,8
55,8
55,8
10 = 12,4 .
+ 2. 2 + ... + 2. n −1 + ... =
nên ta có 2.
1
10
10
10
1−
10
Vì 2.

Vậy d = 55,8 + 2.

55,8

55,8
55,8
+ 2. 2 + ... + 2. n −1 + ... = 55,8 + 12,4 = 68,2 .
10
10
10

Câu 127. Chọn C
Lần đầu rơi xuống, quảng đường quả bóng đã bay đến lúc chạm đất là 8m .
Sau đó quả bóng nảy lên và rơi xuống chạm đất lần thứ 2 thì quảng đường quả bóng đã bay là
3
8 + 2.8. .
4
Tương tự, khi quả bóng nảy lên và rơi xuống chạm đất lần thứ n thì quảng đường quả bóng đã bay
3
1 − ( )n
3
3 n −1
4 = 8 + 48(1 − ( 3 )n −1 ) .
là 8 + 2.8. + ....... + 2.8.( ) = 8 +
3
4
4
4
1−
4
Quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả đến lúc khơng máy nữa bằng:
3
lim[8 + 48(1 − ( ) n−1 )] = 8 + 48 = 56 .
4

Câu 128. Chọn C
Cách 1:

Câu 125. Chọn A
2

a=−
lim un = a
 a = 4b − 2
lim un +1 = lim ( 4vn − 2 )

3
Giả sử 
, ta có 
⇒
⇒
.
b = a + 1
lim vn = b
lim vn +1 = lim ( un + 1)
b = 1

3

41

42


Tiếp theo, ta đánh giá Dn .

Tổng số cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ n 2 với x ≠ y là 4 Nn với N n là số các cặp số tự
nhiên ( x; y ) thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ n 2 và x ≠ y . Giả sử ( x; y ) ∈ ℕ 2 thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ n 2 , khi đó
0 ≤ x ≤ n , 0 ≤ y ≤  n2 − x 2  .







Nên ta có đánh giá với Dn là 4  −n + ∑  n 2 − x 2   ≤ 4 N n ≤ Dn ≤ 4 ∑  n2 − x 2  .


0≤ x ≤ n
0≤ x ≤n



Vì

thế

cho

nên

từ

sn = En + Dn ,

có

−4n + 1 + Tn ≤ sn ≤ 1 + Tn ,

trong

đó

n 2 
2
2
Tn = 2 
 + 4 ∑  n − x  .
 2  1≤ x ≤ n
Xét điểm M ( x; y ) bất kì nằm trong (tính cả biên) của hình tròn ( Cn ) : x 2 + y 2 ≤ n 2 .

Suy ra lim

n →+∞

Mỗi điểm M tương ứng với một và chỉ một hình vng đơn vị S ( M ) nhận M là đỉnh ở góc

n 2 
n 2
2
2
2
2
2
 + 4 ∑ n − x ,

 + 4 ∑  n − x  ≤ 2 
 2  1≤ x ≤n
 2  1≤ x≤ n

trái, phía dưới, có các cạnh lần lượt song song hoặc nằm trên các trục tọa độ.
Ta được sn bằng số các hình vng S ( M ) và bằng tổng diện tích của S ( M ) , với M ∈ ( Cn ) .

(

Nhận xét: các hình vng S ( M ) , S ( M ) đều nằm trong hình trịn Cn +

(

)

2

):

(


sn
1  n 2 
2
2
= lim
2
 + 4 ∑  n − x   . Do đánh giá về phần nguyên
n 2 n →+∞ n 2   2  1≤ x≤ n 



)

2

x2 + y 2 ≤ n + 2 .

2

n 2 
n 2
2
2
2
 + 4 ∑
 + 4 ∑  n − x  ≥ 2 
 2  1≤ x ≤ n
 2  1≤ x≤ n

(

)

n2 − x2 − 1

Do đó sn ≤ π n + 2 . (1)

(

Mặt khác, các hình vng S ( M ) phủ kín hình tròn Cn −

2

): x

2

(

)

sn
4
4
 x
= lim 2 ∑ n 2 − x 2 = lim ∑ 1 −  
n →+∞ n 2
n →+∞ n
n →+∞ n
n
1≤ x≤ n
1≤ x≤ n

2

Nên ta được lim

2

+ y2 ≤ n − 2 .

1

(

)

Về bản chất, kết quả giới hạn này là giá trị của tích phân xác định I = ∫ 4 1 − x 2 dx = π .

2

Vì thế sn ≥ π n − 2 . ( 2 )
Từ (1) và ( 2 ) , suy ra

(

0

)

(

)

*

π n − 2 ≤ sn ≤ π n + 2 , ∀n ∈ ℕ , n ≥ 2 .

Vậy lim

n →+∞



sn
2
2
⇔ π 1 −
≤ π 1 +
≤

n 
n
n 



sn
n

= π .



sn
2
2
Mà lim π 1 −
 = lim π 1 + n  = π , theo nguyên lí kẹp, ta được lim n = π .

n




Cách 2: Gọi Dn là số cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ n 2 với x ≠ y và En là số cặp số
nguyên

k≤

( x; x )

thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ n 2 . Ta có En là số các số nguyên k sao cho 2k 2 ≤ n2 , từ

n 2 
n 2 
n 2 
2
n , ta có n ∈ ℤ và − 
≤k≤
 . Cho nên En = 2 
 + 1.
2
2
2




 2 

43

44


TỐN 11

GIỚI HẠN HÀM SỐ

Câu 4.

1D4-2

(THPT Qng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị của lim ( 3x 2 − 2 x + 1) bằng:
x →1

A. +∞ .
Câu 5.

Contents
DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN .................................................................................................................................... 1

Câu 6.

DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH.................................................................................................................................... 13

Câu 7.

DẠNG 4.1 DẠNG 00 ................................................................................................................................................ 13
Dạng 4.1.1 Không chứa căn ................................................................................................................................... 13

Dạng 4.1.2 Chứa căn .............................................................................................................................................. 15
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 21

Câu 9.

DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN .................................................................................................................................. 21

B. 0 .

Câu 10.

DẠNG 4.1 DẠNG 00 ................................................................................................................................................ 35

Câu 11.

Tính lim
x →1

Câu 13.

x → x0

lim g ( x ) = 3 , hỏi lim 3 f ( x ) − 4 g ( x ) bằng
x → x0

Câu 2.

Câu 14.
C. −6 .

D. 3 .

(THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Giá trị của lim ( 2 x − 3 x + 1) bằng

Câu 15.

x →1

B. 1.

C. +∞ .

D. 0 .
x →3

A. L = −∞ .

B. L = 0 .

2 x +1 − 5 x − 3
2x + 3

1
.
3

C. L = +∞ .

x −3
x+3

1
.
2

C.

2
.
3

D. −∞ .

C. +∞

D. 2019 .

C. 7 .

D. 3 .

bằng.

B.

1
.
7

(THPT Đồn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Tìm giới hạn A = lim

x →−2

B. −∞ .

Giới hạn nào sau đây có kết quả bằng +∞ ?
x −3
x−2
A. lim
B. lim
2
2
x →1
x →1
( x − 1)
( x − 1)

C. +∞ .

C. lim
x →1

x +1
.
x2 + x + 4

D. 1.

−x −1

( x − 1)

2

D. lim
x →1

x +1

( x − 1)

2

Cho lim f ( x ) = −2 . Tính lim  f ( x ) + 4 x − 1 .
x →3

x →3

B. 6 .

Biểu thức lim
π
x→

(THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn L = lim

D. −1 .

x 3 − 2 x 2 + 2020
.

2x −1
B. −∞ .

A. 5 .

2

A. 2 .
Câu 3.

B. 2 .

C. 5 .

B.

1
A. − .
6

(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho các giới hạn: lim f ( x ) = 2 ;

A. 5 .

lim

x →−2

A.

PHẦN A. CÂU HỎI

x → x0

B. 1 .

x +1
lim
bằng
x →1 x + 2

2

Câu 12.

Câu 1.

D. 3 .

lim x − 4 bằng

A. 0 .

DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞ ......................................................................................................................................... 45

DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN

C. 2 .

x→ 3

Dạng 4.1.1 Không chứa căn ................................................................................................................................... 35
Dạng 4.1.2 Chứa căn .............................................................................................................................................. 38

B. 1 .
2

DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC ............................................................................................................................. 26
DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH.................................................................................................................................... 35

C. 3 .

x 2 − 2x + 3
bằng?
x +1
D. 2 .

x+2
Tính giới hạn lim
ta được kết quả
x →2 x − 1

A. +∞ .

DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN .................................................................................................................................. 23

D. 7 .
x →1

A. − 5 .

DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞ ......................................................................................................................................... 19

C. 0 .

(THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Giới hạn lim

A. 4 .
Câu 8.

D. 3 .
x →−1

B. 9 .

A. 1.

DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC ............................................................................................................................... 6

C. 1 .

(THPT Chun Hồng Văn Thụ-Hịa Bình năm 2017-2018) Giới hạn lim ( x 2 − x + 7 ) bằng?
A. 5 .

PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN .................................................................................................................................... 3

B. 2 .

A. 0 .

2

C. 11.

D. 9 .

sin x
bằng
x

B.

2

π

.

C.

π
2

.

D. 1.

D. L = 1 .
1

2


Câu 16.

(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho
J = lim

x →−1

A. 6.
Câu 17.

Câu 18.

x2 − x − 2
. Tính I − J .
x +1
B. 3.

I = lim

2

(

)

3x + 1 − 1

x →0

x

1
A. − .
6

và

Câu 26.
C. −6 .

Tính lim−
x→1

D. −∞ .

C. +∞ .

D. −∞ .

Câu 28.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên
A. lim+ f ( x ) = f ( a ) và lim− f ( x ) = f ( b ) .

B. lim− f ( x ) = f ( a ) và lim+ f ( x ) = f ( b ) .

C. lim+ f ( x ) = f ( a ) và lim+ f ( x ) = f ( b ) .

D. lim− f ( x ) = f ( a ) và lim− f ( x ) = f ( b ) .

x→b

x →a

Giới hạn lim+ ( x − 2 )
x→ 2

x→b

x →a

Câu 29.

Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là +¥ ?
2x -1
x 2 + x +1
A. lim.
B. lim - x3 + 2 x + 3 . C. lim
.
x đ+Ơ
x đ-Ơ
xđ 4 4 - x
x -1

(

)

D. lim+
x® 4

2x - 1
.
4- x

lim +

1
B. − .
2

Tính lim−
x →3

Câu 30.

Cho lim+ ( x − 2)
x →2

x +1
Câu 31.
bằng
lim+
x →1 x − 1
A. +∞ .
1− 2x

Câu 32. Tìm lim+
.
x →1 x − 1
A. −∞ .

Câu 34.

1
.
2

D. Kết quả khác.

B. −∞ .

C.

2
.
3

D.

x
. Tính giới hạn đó.
x2 − 4
B. 1

1
.

3

C. 0.

D. −∞

B. −∞ .

C. 1.

D. 0

B. −2 .

C. 0 .

D. +∞ .

(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên lần 3 - 2019) Tính giới hạn lim−
x→1

Câu 36.

1
.
x −3

x→1

B. 2 .

C. −∞ .

4x − 3
x −1
D. −2 .
3 + 2x
.
x+2
3
D. .
2

(THPT CHUN BIÊN HỊA - HÀ NAM - 2018) Tính giới hạn lim−
x → −2

A. −∞ .
3

)
)

(THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Tìm giới hạn lim+
A. +∞ .

3
D. − .
2

x +1

.
x −1
D. 1 .

A. 0.
B. +∞ .
C. − ∞ .
(LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai
3
3x + 2
A. lim x 2 − x + 1 + x − 2 = − .
B. lim−
= −∞ .
x →−∞
x →−1
2
x +1
3x + 2
= −∞ .
C. lim x2 − x + 1 + x − 2 = +∞ .
D. lim+
x →+∞
x →−1 x + 1

(
(

Câu 35.

3

C.
2

C.

−2 x + 1
bằng
x −1

A. +∞ .

Câu 33.

3x2 + 1 − x
bằng?
x −1

1
A. .
2

x →1

B. 0 .

2

−2 x + 1
Câu 22. (THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm học 2018 - 2019) Giới hạn lim+
bằng

x→1
x −1
2
1
A. +∞.
B. −∞.
C. .
D. .
3
3
x+2
Câu 23. lim−
bằng:
x →1 x − 1
1
1
A. +∞ .
B. .
C. −∞
D. − .
2
2

x →( −1)

Tính lim+

A. +∞ .

x→b

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HỐ - Lần 1.Năm 2018&2019) Trong bốn giới hạn sau
đây, giới hạn nào bằng −∞ ?
−3 x + 4
−3 x + 4
−3 x + 4
−3 x + 4
A. lim
.
B. lim−
.
C. lim+
.
D. lim
.
x →+∞ x − 2
x →−∞ x − 2
x→ 2
x→ 2
x−2
x−2

x
bằng:
x2 − 4

A. +∞ .

x→b

Câu 19. (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề
nào sai?
1
1
1
1
A. lim+ = +∞ .
B. lim+ = −∞ .
C. lim+ 5 = +∞ .
D. lim+
= +∞ .
x →0 x
x →0 x
x →0 x
x →0
x

Câu 25.

C. 1 .

DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN

x →a

Câu 24.

B. +∞ .

(THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Gọi A là giới hạn của hàm số

x + x 2 + x 3 + ... + x 50 − 50
f ( x) =
khi x tiến đến 1. Tính giá trị của A.
x −1
A. A khơng tồn tại.
B. A = 1725 .
C. A = 1527 .
D. A = 1275 .

x →a

Câu 21.

D. +∞ .

1
Câu 27. Giới hạn lim−
bằng:
x→a x − a
1
A. − .
B. 0 .
2a

tục trên khoảng ( a; b ) . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn [ a; b ] là?

Câu 20.

C. 0 .

x +1
.
x −1

A. 0 .

D. 0.

B. −∞ .

B. 2 .

C. +∞ .

4


Câu 37.

(THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ( −∞; −2 ) ,

( −2;1) , (1; +∞ ) , f ( x ) không xác định tại x = −2 và x = 1 , f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Chọn
khẳng định đúng.

1
 1
 x − 2 − x 3 − 8 khi x > 2
Câu 42. Cho hàm số f ( x ) = 
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số có giới
2

 x + m − 2m khi x ≤ 2

2
hạn tại x = 2 .
A. m = 3 hoặc m = −2 . B. m = 1 hoặc m = 3 .
C. m = 0 hoặc m = 1 . D. m = 2 hoặc m = 1 .

Câu 43.

-4 -3 -2 -1 O

1

2

3 4

Câu 44.

A. lim− f ( x ) = −∞ , lim+ f ( x ) = +∞ .

B. lim− f ( x ) = +∞ , lim+ f ( x ) = +∞ .

C. lim− f ( x ) = +∞ , lim+ f ( x ) = −∞ .

D. lim− f ( x ) = −∞ , lim+ f ( x ) = −∞ .

x →1

x →−2

x→1

x →−2

x →1

x→1

x →−2

x2 − 2 x − 3
bằng
x +1
C. −3 .
D. 1.
x →−1

B. −4 .

Câu 39. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Tính giới hạn bên phải của hàm số f ( x ) =
A. −∞ .

B. 3 .

C.

7
.
2

3x − 7
khi x → 2 .
x−2

D. −∞ .

Câu 46.

x →1

Câu 41.

1
.
8

B. +∞ .

C. 0 .

x →−1

A. −∞ .

B. 4 .

C. +∞ .

x→−1

(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Giả sử ta có lim f ( x ) = a và
x →+∞

lim g ( x ) = b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

x →+∞

A. lim  f ( x ) .g ( x )  = a. b .
x →+∞

f ( x) a
= .
C. lim
x →+∞ g ( x )
b

B. lim  f ( x ) − g ( x ) = a − b .
x →+∞

D. lim  f ( x ) + g ( x )  = a + b .
x →+∞

lim ( −4 x5 − 3 x3 + x + 1) .

x →−∞

f ( x)

( x + 1)

,
khi x ≤ 0

Câu 47. (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Chọn kết quả đúng của

1
D. − .
8

(THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Biết lim f ( x) = 4 . Khi đó lim

khi x > 0

DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC

2 − x + 3
khi x ≠ 1

2
Câu 40. (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) =  x − 1
1
khi x = 1
 8
. Tính lim− f ( x ) .

A.

(THPT Đơng Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm học 2018 - 2019) Tìm a để hàm số
 x 2 + ax + 1 khi x > 2

có giới hạn tại x = 2.
f ( x) =  2
 2 x − x + 1 khi x ≤ 2
A. −1.
B. −2 .
C. 2 .
D. 1.

 x+4 −2

x
Câu 45. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) = 
 mx + m + 1

4
m là tham số. Tìm giá trị của m để hàm số có giới hạn tại x = 0 .
1
1
A. m = .
B. m = 1.
C. m = 0 .
D. m = − .
2
2

x →−2

Câu 38. (THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018) lim
A. 0 .

 x 2 + ax + b
, x < −2

Gọi a , b là các giá trị để hàm số f ( x ) =  x 2 − 4
có giới hạn hữu hạn khi x dần tới
 x + 1, x ≥ −2

−2 . Tính 3a − b ?
A. 8.
B. 4.
C. 24.
D. 12.

4

A. 0 .

bằng:

Câu 48.

D. 0 .

B. +∞ .

C.

D. −4 .

−∞ .

(THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn lim 2 x3 − x 2 + 1
x →−∞

A. + ∞ .

B. −∞ .

C. 2 .

(

)

D. 0 .

(

)

Câu 49. (LÊ Q ĐƠN - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Giới hạn lim 3x3 + 5 x 2 − 9 2 x − 2017 bằng
x→−∞

A. −∞ .
5

B. 3 .

C. − 3 .

D. +∞ .
6