Ảnh hưởng của hấp thụ và phi tuyến bậc cao lên xung lan truyền trong sợi quang

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hƣớng dẫn TS. Bùi
Đình Thuận vì những giúp đỡ mà thầy đã giành cho tác giả trong suốt thời gian
vừa qua. Thầy đã định hƣớng nghiên cứu, cung cấp tài liệu quan trọng và nhiều
lần thảo luận, tháo gỡ những khó khăn trong q trình nghiên cứu mà tác giả gặp
phải.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy giáo và các bạn học
viên ngành Quang Học - Cao học 22 – Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy,
giúp đỡ tác giả trong q trình học tập và có những nhận xét đóng góp q báu
cho tác giả trong q trình tác giả thực hiện đề tài này.
Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi,
giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đã qua.
Cuối cùng, xin gửi đến các thầy cô giáo, bạn hữu và ngƣời thân lòng biết
ơn chân thành cùng với lời chúc sức khỏe và thành công trong cuộc sống.
Tác giả

i


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................... i
MỤC LỤC ............................................................................................................... ii
Danh mục hình vẽ ................................................................................................... iv
PHẦN MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu. .......................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................................... 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. ...................................................................... 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu. .................................................................................... 2
6. Những đóng góp mới của đề tài. ......................................................................... 2
PHẦN NỘI DỤNG .................................................................................................. 3

CHƢƠNG I. LAN TRUYỀN XUNG TRONG MÔI TRƢỜNG PHI TUYẾN. ..... 3
1.1

Phƣơng trình lan truyền xung ngắn trong sợi quang. ................................. 3

1.1.1

Sự phân cực phi tuyến. ......................................................................... 3

1.1.2

Phƣơng trình sóng phi tuyến. ................................................................ 4

1.1.3

Sự lan truyền xung ngắn trong sợi quang. ............................................ 7

1.2

Tán sắc vận tốc nhóm và hiện tƣợng tự biến điệu pha. ............................ 13

1.2.1

Các chế độ lan truyền xung. .............................................................. 13

1.2.2

Tán sắc vận tốc nhóm. ....................................................................... 16

1.2.3

Hiệu ứng tự biến điệu pha................................................................... 21

Kết luận chƣơng 1.................................................................................................. 25
CHƢƠNG 2. ẢNH HƢỞNG CỦA HẤP THỤ VÀ PHI TUYẾN BẬC CAO LÊN
XUNG LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG. .................................................. 26
2.1

Phƣơng trình lan truyền xung tính hấp thụ và phi tuyến bậc cao ............. 26

2.1.1

Phƣơng trình lan truyền xung ............................................................. 26

2.1.2

Phƣơng pháp số để giải phƣơng trình lan truyền................................ 27

ii


2.2

Ảnh hƣởng của hấp thụ và phi tuyến bậc cao lên xung lan truyền trong sợi

quang................................................................................................................... 31
2.2.1

Ảnh hƣởng của hấp thụ phi tuyến lên xung lan truyền trong sợi quang.
……………………………………………………………………….31

2.2.2

Ảnh hƣởng của tán sắc bậc ba lên xung lan truyền trong sợi quang. . 36

2.2.3

Ảnh hƣởng của phi tuyến bậc cao lên xung lan truyền trong sợi quang.
……………………………………………………………………….39

Kết luận chƣơng 2.................................................................................................. 44
KẾT LUẬN CHUNG ............................................................................................ 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 46

iii


Danh mục hình vẽ
Hình

Tên hình vẽ

Hình 2.1 Sự thay đổi của cƣờng độ đỉnh xung theo quãng đƣờng lan theo

Trang
33

nghiệm giải tích (màu đỏ) và mơ phỏng số (màu xanh). Các
thông số đƣợc chọn: 1  0.05 2  0.1; 3  0.03 .
Hình 2.2 Sự thay đổi của cƣờng độ đỉnh xung theo quãng đƣờng lan khi

35

sử dụng khuếch đại liên tục và bỏ qua tán sắc bậc ba.
Hình 2.3 Ảnh hƣởng của tán sắc bậc ba lên vị trí của đỉnh xung trong

37

q trình lan truyền trong sợi quang. Hình 2.3 a là kết quả giải
tích cịn các hình 2.3b,c là kết quả mơ phỏng số với 3 = 0.03
và 3 =- 0.03. Các hệ số hấp thụ là 1 = 0.08 và 2 = 0.01
Hình 2.4 Ảnh hƣởng của tán sắc bậc ba lên xung trong quá trình lan

39

truyền trong sợi quang trong trƣờng hợp tán sắc bậc hai bằng
khơng.
Hình 2.5 Ảnh hƣởng của tán xạ Raman lên xung trong quá trình lan

41

truyền, soliton tự dịch chuyển tần số.

Hình 2.6 Ảnh hƣởng của tán xạ Ramman tán sắc bậc ba và hấp thụ phi
tuyến lên xung trong quá trình lan truyền trong sợi quang.

iv

43

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Laser ra đời đã tạo điều kiện cho ngành Quang học phi tuyến hình thành và
phát triển. Việc nghiên cứu lan truyền các xung ánh sáng trong môi trƣờng tán sắc
phi tuyến, do đó lại trở nên đặc biệt quan trọng bởi vì Quang học phi tuyến đang
càng ngày càng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Các xung laser ngắn (với thời
gian cỡ picơ giây hoặc lớn hơn) tn theo phƣơng trình schrodinger phi tuyến cịn
các xung cực ngắn (cỡ femitơ giây) thì ngƣời ta quan sát đƣợc sự sai lệch. Chẳng
hạn, các kết quả thực nghiệm cho thấy với các xung cực ngắn, dù đã thỏa mãn các
điều kiện hình thành soliton của phƣơng trình Schrodinger phi tuyến, nhƣng trong
quá trình lan truyền khơng có soliton mà các xung bị tách ra thành nhiều phần và
biến đổi phức tạp.
Trong thực tế, sự mất mát và tán sắc đã làm giảm độ dài lan truyền của
xung và tính ổn định của nó. Trong hầu hết các trƣờng hợp, hấp thụ đƣợc giả sử là
tuyến tính, đây là một gần đúng hợp lệ. Tuy nhiên, hấp thụ phi tuyến dƣờng nhƣ
trở nên quan trọng đối với các sợi quang, đặc biệt nhƣ sợi quang pha tạp bán dẫn
và sợi quang chì-silic. Trong một số ứng dụng nó đƣợc kì vọng làm giảm cơng
suất cần thiết để tạo thành soliton cơ bản. Điều này đặc biệt quan trọng đối với
các ứng dụng chuyển mạch, trong đó năng lƣợng cần đƣợc giữ ở mức thấp. Một
cách đơn giản để đạt đƣợc điều này, đó là sử dụng vật liệu có hệ số chiết suất phi
tuyến cao hơn so với silic. Trong nhiều trƣờng hợp tăng hệ số phi tuyến Kerr kèm
theo sự tăng cƣờng hệ số hấp thụ phi tuyến của vật liệu. Do đó, việc xác định ảnh
hƣởng của hấp thụ phi tuyến lên sự lan truyền của soliton là cần thiết. Với lý do
nói trên chúng tơi lựa chọn vấn đề “ẢNH HƢỞNG CỦA HẤP THỤ VÀ PHI
TUYẾN BẬC CAO LÊN XUNG LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG” làm
vấn đề nghiên cứu cho luận văn của mình.

1

2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của luận văn là:
Trình bày một cách có hệ thống về hai hiệu ứng cơ bản là tán sắc và tự biến điệu
pha. Đồng thời khảo sát ảnh hƣởng của hấp thụ phi tuyến tán sắc bậc và sự tự dịch
chuyển tần số gây bởi tán xạ Raman lên xung lan truyền trong sợi quang.
Từ mục đích trên, luận văn sẽ góp phần hỗ trợ sinh viên cũng nhƣ học viên
chuyên ngành quang học khi học phần quang học phi tuyến hay khi tìm hiểu về
các hiệu ứng phi tuyến.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Tìm tài liệu có liên quan đến q trình lan truyền xung trong mơi trƣờng tán
sắc phi tuyến.
- Nghiên cứu ảnh hƣởng của hấp thụ và phi tuyến bậc cao lên xung trong sợi
quang.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.
- Đối tƣợng nghiên cứu: Xung lan truyền trong môi trƣờng phi tuyến.
- Phạm vi nghiên cứu: Các xung ngắn hoặc cực ngắn.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Để thực hiện đề tài này, chúng tôi sử dụng các phƣơng pháp nghiên cứu
chính sau:
- Phƣơng pháp nhiễu loạn
- Sử dụng phƣơng pháp mơ phỏng số.
6. Những đóng góp mới của đề tài.
Luận văn đã làm rõ đƣợc ảnh hƣởng của hấp thụ và phi tuyến bậc cao lên xung
lan truyền trong sợi quang. Ngồi ra, luận văn cịn có giá trị là một tài liệu nghiên
cứu khoa học phục vụ công tác giảng dạy, nghiên cứu của cán bộ, sinh viên, học
viên cao học ngành quang học.
2

PHẦN NỘI DỤNG
CHƢƠNG I. LAN TRUYỀN XUNG TRONG MÔI TRƢỜNG PHI TUYẾN.
1.1

Phƣơng trình lan truyền xung ngắn trong sợi quang.

1.1.1 Sự phân cực phi tuyến.
Khi trƣờng quang học lan truyền trong mơi trƣờng điện mơi nào đó thì
trong chất điện môi xuất hiện sự phân cực. Sự đáp ứng của bất kỳ chất điện mơi
nào với trƣờng quang học có cƣờng độ lớn đều trở nên phi tuyến. Các sợi quang
điều đƣợc chế tạo từ hỗn hợp ơxít-silic là một chất điện mơi, vì vậy khi xung
quang học có cơng suất lớn lan truyền trong sợi quang véctơ phân cực toàn phần
P sẽ trở nên phi tuyến và liên hệ với véctơ cƣờng độ điện trƣờng E theo công

thức [2]:
2
3
(1)
(2)
(3)
P(t)  0 (1) E(t)  (2) E (t)  (3) E (t)  ...  P (t)  P (t)  P (t)  ... (1.1)



Trong đó  0 là hệ số điện môi trong chân không, ( j) là độ cảm điện môi bậc j. Độ
cảm điện môi tuyến tính (1) là phần đóng góp lớn nhất của phân cực tồn phần
P , và hiệu ứng của nó thể hiện qua chiết suất phụ thuộc vào tần số n() . (2) mô

tả hiệu ứng phi tuyến bậc hai, tuy nhiên do sợi quang chế tạo ơxít-silic có cấu trúc
đối xứng tâm nên thành phần này bằng không. (3) dẫn đến các hiệu ứng hiệu

ứng trộn bốn sóng, hiệu ứng biến điệu pha (SPM). Tính chất phi tuyến bậc 3 là kết
quả của sự phụ thuộc vào cƣờng độ của chiết suất [1]:

n(, E )  n()  n 2 E
2

2

(1.2)

Trong đó chiết suất tuyến tính (chiết suất thƣờng):

n 2 ()  1  (1)
và n2 là chiết suất phi tuyến cho bởi

3

(1.3)


n2 

3
Re((3) )
8n

(1.4)

trong đa số trƣờng hợp n2 là đại lƣợng dƣơng.
Chiết suất phi tuyến phụ thuộc vào cƣờng độ trƣờng, dẫn đến một số hiệu

ứng phi tuyến đáng chú ý. Khi đó pha của một xung quang học biến đổi theo biểu
thức:

  nk 0L  (n  n 2 E )k 0L
2

(1.5)

Trong đó k 0  2 /  và L tƣơng ứng với số sóng và chiều dài sợi quang. Sự biến
đổi pha phi tuyến phụ thuộc vào cƣờng độ trƣờng sẽ gây ra hiệu ứng.
1.1.2 Phƣơng trình sóng phi tuyến.
Giống nhƣ tất cả các hiện tƣợng điện từ, sự lan truyền của các trƣờng quang
học trong sợi quang đƣợc chi phối bởi các phƣơng trình Maxwell [3].

E  

B
t

H  J 

(1.6)

D
t

(1.7)

  D  f

(1.8)

B  0

(1.9)

Ở đây E và H tƣơng ứng là vectơ cƣờng độ điện trƣờng và cƣờng độ từ trƣờng.
Trong trƣờng hợp khơng có các điện tích tự do trong một mơi trƣờng nhƣ sợi
quang thì J  0 và f  0 . Các vectơ D , B , E và H liên hệ với nhau thơng qua
hệ phƣơng trình.
D  0 E  P

(1.10)

B  0 H  M

(1.11)

4


ở đây P và M là vectơ phân cực điện và vectơ phân cực từ. Đối với một môi
trƣờng không chứa điện tích tự do nhƣ sợi quang học, M = 0. Phƣơng trình
Maxwell có thể sử dụng để thu đƣợc phƣơng trình lan truyền sóng ánh sáng trong
sợi quang.
Bằng cách lấy rơta của phƣơng trình (1.6) và sử dụng các phƣơng trình (1.7),
(1.10) và (1.11), ta có đƣợc

E  

1 2 E
2 P


0
c2 t 2
t 2

(1.12)

Trong đó c là vận tốc ánh sáng trong chân không và 00  1/ c2 đƣợc sử dụng để
mô tả quan hệ giữa phân cực cảm ứng P và điện trƣờng E . Nói chung, để khảo
sát P địi hỏi phải tiếp cận phƣơng pháp cơ học lƣợng tử. Nếu chúng ta chỉ xét
các hiệu ứng phi tuyến bậc ba chi phối bởi (3) , sự phân cực gây ra bao gồm hai
phần sao cho

 

 

 

P r, t  P L r, t  P NL r, t

(1.13)

Một phần tuyến tính P và một phần phi tuyến P NL có liên quan đến điện trƣờng
L

thơng qua các phƣơng trình sau [3], [5]

 



 

P L r, t  0  (1)  t  t ' .E r, t ' dt '

 





(1.1.14)

     

P NL r, t    (3)  t  t1, t  t 2 , t  t 3 .E r, t1 E r, t 2 E r, t 3 dt 1dt 2dt 3 (1.1.15)


Phƣơng trình (1.12) đến (1.15) cung cấp một hình thức chung để nghiên cứu các
hiện tƣợng phi tuyến bậc ba trong sợi quang học. Mặt khác, phân cực phi tuyến
P NL trong (1.13) đƣợc coi là một nhiễu loạn nhỏ, do đó P NL

P L . Điều này là hợp

lý bởi vì những tác động phi tuyến tƣơng đối yếu trong sợi silica. Do đó, bƣớc đầu

5


tiên là giải phƣơng trình (1.12) với P NL  0 . Bởi vì phƣơng trình (1.7) là tuyến
tính trong E nên viết trong miền tần số có dạng :

2
    E r,      2 E r,   0
c

 

 

 

(1.16)

 

Trong đó E r, là biến đổi Fourier của E r, t đƣợc định nghĩa là


   E  r, t  exp(it)dt

E r,  

(1.17)



Điện môi phụ thuộc liên tục vào tần số xuất hiện trong (1.16) đƣợc xác định bởi
(1)

()  1   ()

(1.18)

(1)

 () là biến đổi Fourier (1) (t) . Nhƣ vậy () liên quan đến chỉ số khúc xạ
n() và hệ số hấp thụ () thông qua biểu thức

i c 

  n 

2 


2

(1.19)

Từ phƣơng trình (1.18) và (1.19), n và  có liên quan đến (1) thơng qua các
phƣơng trình sau:
(1)
1
n()  1  Re  () 


2 

() 

  (1) 
Im  () 

nc 

(1.20)
(1.21)

Trong đó Re và Im tƣơng ứng với các phần thực và ảo. Do phần ảo của () là
nhỏ so với phần thực nên chúng ta có thể thay thế () bởi n 2 () .
    E  (.E)  2 E  2 E

Mặt khác D  E  0 nên phƣơng trình (1.16) đƣợc viết lại

6

(1.22)


2
 E(r, )  n () 2 E(r, )  0
c
2

2

(1.23)

Phƣơng trình này đƣợc giải trong phần tiếp theo về các mode sợi quang.
1.1.3 Sự lan truyền xung ngắn trong sợi quang.
Trong phần này chúng tôi xem xét sự lan truyền của các xung ngắn có độ
rộng cỡ picơ-giây (từ

10ns đến 10fs). Khi các xung lan truyền bên trong sợi

quang, cả hai hiệu ứng tán sắc và phi tuyến đều ảnh hƣởng đến hình dạng và phổ
của chúng. Từ phƣơng trình sóng (1.12), bằng cách sử dụng phƣơng trình (1.13)
và (1.22) phƣơng trình truyền sóng có thể đƣợc viết dƣới dạng

1 E
PL
 2PNL
 E  2 2  0 2  0
c t
t
t 2
2

(1.24)

Đối với các xung quang học đã nói ở trên, điều kiện chuẩn đơn sắc đƣợc
thỏa mãn nghĩa là tập hợp các sóng phẳng đơn sắc với tần số trung tâm là 0 và
độ rộng phổ  thỏa mãn  /  0

1 , phản ứng phi tuyến của mơi trƣờng với

sóng là tức thời. Điều này cho phép ta áp dụng phép gần đúng hàm bao biến đổi
chậm. Ta có thể biểu diễn xung ánh sáng dƣới dạng trƣờng có đƣờng bao biến đổi
chậm nhƣ sau:

1
E(r, t)  x  E(r, t)exp( i0t)  cc 
2

(1.25)

x là vectơ đơn vị theo trục x.
E(r, t) là hàm bao biến thiên chậm theo thời gian

Thành phần phân cực phi tuyến PL và PNL có thể biểu diễn tƣơng tự dƣới
dạng
1
PL (r, t)  x PL (r, t)exp( i0t)  cc
2

7

(1.26)


1
PNL (r, t)  x PNL (r, t)exp( i0t)  cc
2

(1.27)

Thành phần phân cực tuyến tính có thể đƣợc viết lại


PL (r, t)  0  (1) (t  )E(r, )exp i(t  ) d




(1.28)

 0   ()E(r,   0 )exp  i(  0 )t d
(1)



Trong đó E(r, ) là biến đổi Fourier của E(t,r) đƣợc xác định bởi:


E(r, ) 

 E(r, t)exp it dt

(1.29)



Ở đây, chúng ta chỉ xét đến hiệu ứng phi tuyến bậc ba [3]

P NL (r, t)  0(3) E(r, t)E(r, t)E(r, t)

(1.30)

Thay phƣơng trình (1.25) vào phƣơng trình (1.29), ta tìm đƣợc PNL (r, t) dao động
với tần số 0 (thành phần dao động với tần số 30 có thể bỏ qua từ điều kiện hợp
pha). Biến đổi phƣơng trình (1.27), PNL (r, t) đƣợc xác định :
PNL (r, t)  0 NLE(r, t)

(1.31)

Trong đó sự đóng góp phi tuyến của hằng số điện môi đƣợc xác định:
3
2
 NL  (3) E(r, t)
4

(1.32)

Trong phép tính gần đúng,  NL đƣợc xem nhƣ một hằng số trong suốt quá
trình lấy đạo hàm của phƣơng trình truyền xung [12],[13].
Thay phƣơng trình (1.25), (1.27) vào (1.24), biến đổi Fourier E(r,   0 )
đƣợc xác định bởi:


E(r,   0 ) 

 E(r, t)exp i(   )t dt
0



8

(1.33)


Từ đó ta thu đƣợc phƣơng trình Helmholtz:

2 E  ()k 02 E  0

(1.34)

trong đó

k0 


c

(1.55)

và

()  1  (1) ()   NL

(1.36)

là hằng số điện môi phụ thuộc tần số, với  NL đƣợc xác định bởi phần thực và
phần ảo trong biểu thức của chiết suất n() và hệ số hấp thụ () đƣợc xác
định:
i c 


  n 
 .
2 

2

(1.37)

Từ (1.37) hằng số điện mơi có thể đƣợc dùng để xác định chiết suất n và
hệ số hấp thụ  . Tuy nhiên, cả n và  đều phụ thuộc vào  NL . Thơng thƣờng thì

n  n  n2 E

2

    2 E





(1.38)

2

(1.39)

2

Sử dụng   n  i / 2k 0 , phƣơng trình (1.32) và phƣơng trình (1.35), chiết suất
phi tuyến n 2 và hệ số hấp thụ hai photôn  2 đƣợc xác định bởi [2]:

3
Re((3) )
8n

(1.40)

30
Im((3) )
4nc

(1.41)

n2 

2 

9


Chiếc suất n và hệ số hấp thụ  liên quan đến phần thực và phần ảo của (1) nhƣ
trong hai biểu thức (1.20) và (1.21). Với  2 là tƣơng đối nhỏ đối với sợi Silic nên
thƣờng đƣợc bỏ qua. Ở đây ta chỉ nghiên cứu n 2 trong giới hạn của sợi phi tuyến.
Có thể giải phƣơng trình (1.34) bằng cách dùng phƣơng pháp tách và thay
thế, ta thu đƣợc [3]:

E(r,   0 )  F(x, y)A(z,   0 )exp(i0z)

(1.42)

Trong đó A(z, ) là hàm biến thiên chậm của z, và 0 là số sóng. Phƣơng
trình (1.49) có thể dẫn ra hai phƣơng trình sau đây cho F(x, y) và A(z, ) :
2
 2F  2F 
 2  ()k 02    F  0
2

x
y 

2i0

2
A
 (  02 )A  0
z

(1.43)

(1.44)

Trong phƣơng trình (1.44), đạo hàm bậc hai của hàm bao biến thiên chậm

 2A
A(z, ) sẽ bị triệt tiêu, tức là 2  0 . Số sóng  sẽ đƣợc xác định từ giá trị riêng
z
của phƣơng trình (1.43) cho sợi đa mode.
Hằng số điện mơi trong phƣơng trình (1.43) có thể viết gần đúng:

  (n  n)2  n 2  2nn

(1.45)

Trong đó n là sự nhiễu loạn nhỏ đƣợc xác định:
n  n 2 E 
2

i
2k 0

(1.46)

Phƣơng trình (1.43) có thể đƣợc giải bằng cách sử dụng lý thuyết nhiễu
loạn bậc nhất. Đầu tiên chúng ta thay  bằng n 2 và có đƣợc cách thức phân bố
F(x,y) với số sóng () tƣơng ứng.

10


Trong nguyên lý nhiễu loạn bậc nhất n không ảnh hƣởng tới cách thức
phân bố F(x,y) [14]. Khi đó  trở thành

()  ()  

(1.47)

trong đó


k 0   n F(x, y) dxdy
2

 




  F(x, y)

(1.48)
2

dxdy



Dùng phƣơng trình (1.39), trƣờng điện E(r,t) có thể viết nhƣ sau:
1
E(r, t)  x F(x, y)A(z, t)exp i(0z  0t)   c.c
2

(1.49)

Trong đó A(z, t) là hàm bao xung biến thiên chậm, A(z,   0 ) là biến đổi
Fourier của A(z, t) thỏa mãn (1.44) có thể viết nhƣ sau

A
 i ()    0  A

z

(1.50)

ở đây ta sử dụng gần đúng (1.47) và xem gần đúng:
2

  02  20 (  0 )

(1.51)

Ý nghĩa vật lý của phƣơng trình (1.50): sự thay đổi pha của mỗi thành phần
phổ trong vùng hàm bao xung thu đƣợc truyền vào sợi quang phụ thuộc vào cả
cƣờng độ và tần số.
Dùng khai triển () theo chuỗi Taylor với tần số mang 0 :

1
1
()    (  0 )1  (  0 )2 2  (  0 )33  ...
2
6
Trong đó

11

(1.52)


 d m 
m   m 

 d 0

(m = 1,2,3…)

(1.53)

Hệ số tán sắc bậc ba và bậc cao hơn trong khai triển này nói chung khơng
đáng kể nếu độ rộng quang phổ 

0 . Bỏ qua những thành phần này phù hợp

với giả thuyết trƣờng quang học là chuẩn đơn sắc. Nếu 2  0 thì khơng cần kể
đến số hạng bậc ba.
Thay phƣơng trình (1.52) vào phƣơng trình (1.50) và sử dụng biến đổi
Fourier:


1
A(z, t) 
 A(z,   0 )exp i(  0 )t d
2 

(1.54)

Trong quá trình biến đổi Fourier (  0 ) đƣợc thay thế bởi toán tử vi phân

i

A
. Kết quả phƣơng trình A(z, t) trở thành:

t

A
A i2  2A
 1

 iA
z
t
2 t 2

(1.55)

Dùng phƣơng trình (1.46), (1.48) có thể xác định đƣợc  và thay vào
phƣơng trình (1.55) thu đƣợc kết quả:

A
A i2  2A 
2
 1

 A  i A A
2
t
t
2 t
2

(1.56)

Trong đó  là tham số phi tuyến, đƣợc xác định:



n 20
cA eff

(1.57)

Trong phƣơng trình (1.56), biên độ xung A là ảo để đơn giản hóa coi rằng

A

2

mơ tả năng lƣợng quang học. Hàm A eff đƣợc hiểu tƣơng tự nhƣ hiệu ứng

vùng lõi và đƣợc xác định :

12


A eff

 

2
F(x,
y)
dxdy

 






2



  F(x, y)

4

(1.58)

dxdy



Rõ ràng A eff phụ thuộc vào bán kính lõi của sợi và sự chênh lệch chiếc suất
giữa lớp lõi và lớp vỏ. Nếu F(x,y) là gần đúng bởi hàm Gauss suy rộng thì

Aeff  w 2 . Giới hạn độ rộng w phụ thuộc vào giới hạn sợi. A eff có thể biến thiên
trong phạm vi 20  100m2 trong vùng 1,5m , phụ thuộc vào dạng sợi.
Phƣơng trình (1.56) là phƣơng trình mô tả lan truyền của xung ps trong sợi
quang đơn mode. Nó đƣợc gọi là phƣơng trình Schrodinger phi tuyến (NLS), nó
bao gồm ảnh hƣởng của sự hao sợi quang thông qua  , sự tán sắc thông qua hệ
số 1 , 2 và phi tuyến sợi quang thông qua  .

Trong một thời gian ngắn hình bao xung dịch chuyển với vận tốc nhóm

vg 

1
, trong khi ảnh hƣởng của vận tốc nhóm đến sự tán sắc đƣợc điều chỉnh
1

bởi 2 . Thơng số tán sắc vận tốc nhóm có thể dƣơng hoặc âm, phụ thuộc vào
chiều dài bƣớc sóng  so với bƣớc sóng khơng tán sắc  ZD của sợi quang. Tán
sắc dị thƣờng (   ZD ) thì 2  0 , và sợi có thể mang soliton quang học.
1.2 Tán sắc vận tốc nhóm và hiện tƣợng tự biến điệu pha.
1.2.1 Các chế độ lan truyền xung.
Trong mục trƣớc ta đã biết phƣơng trình Schrodinger phi tuyến. Phƣơng
trình đó mơ tả sự lan truyền của xung quang học (có độ rộng lớn hơn 5ps) trong
sợi quang đơn mode.

A 2  2 A
2
i



A
A
z 2 T 2

13

(1.59)

Hai thành phần ở vế phải tƣơng ứng với các hiệu ứng tán sắc và hiệu ứng
phi tuyến. Phụ thuộc vào độ rộng ban đầu của xung T0 và đỉnh công suất P0 của
xung tới mà mỗi hiệu ứng tán sắc hay phi tuyến có thể ảnh hƣởng nhiều hay ít đến
quá trình lan truyền xung. Để thuận tiện ngƣời ta đƣa vào hai chiều dài là chiều
dài tán sắc LD và chiều dài phi tuyến LNL. Sự lan truyền của xung có thể rất khác
nhau phụ thuộc vào độ lớn tỉ đối giữa chiều dài tán sắc LD.
Ta đƣa vào biến thời gian không thứ nguyên



T

T0

t

z
vg

(1.60)

T0

T0 là nữa độ rộng của xung tại giá trị của xung bằng 1/e lần giá trị của đỉnh xung,
và biên độ chuẩn hóa U, thỏa mãn U(0,0) =1. Khi đó:

A(z, )  P0 U(z, )

(1.61)

Với P0 là đỉnh công suất của xung tới. Thay (1.61) vào (1.59) ta đƣợc phƣơng
trình sau:
U 2  2 U
2
i

 P0 U U
2
2
z 2T0 

Đặt:

(1.62)

T02
1
LD 
;L NL 
2
P0

(1.63)
Phƣơng trình (1.62) đƣợc viết lại:
i

U sgn(2 )  2 U
1

2


U U
2
z
2LD 
L NL

(1.64)

Trong đó sgn(2 )  1 phụ thuộc vào thơng số tán sắc vận tốc nhóm sgn(2 )  1
Khi 2  0 và sgn(2 )  1 khi 2  0 và sgn(2 )  1 khi 2  0

14


Phụ thuộc vào độ lớn tỉ đối giữa chiều dài tán sắc, chiều dài phi tuyến và
chiều dài sợi quang mà các chế độ lan truyền của xung có thể chia làm bốn loại
sau:
Khi chiều dài sợi quang thỏa mãn L << LNL và L << LD thì cả hai hiệu ứng
tán sắc lẫn phi tuyến đều khơng có vai trị quan trọng trong suốt q trình xung
lan truyền. Điều đó có thể thấy rõ khi để ý rằng cả hai số hạng ở vế phải của
phƣơng trình (1.64) có thể đƣợc bỏ qua trong trƣờng hợp này (với giả thuyết rằng

2U
1 ). Bởi vậy kết quả là U(z,t) =
dạng hàm bao của xung là đủ trơn để cho
2
U(0,t) nghĩa là xung giữ nguyên dạng ban đầu của nó qua quá trình lan truyền.

Sợi quang trong chế độ này giữ vai trò thụ động và chỉ làm nhiệm vụ truyền các
xung quang học (ngoại trừ làm biến đổi nhỏ các xung do hao phí trên sợi quang).
Chế độ này là hữu ích cho hệ thống thơng tin quang. Đối với L 50km , LD và LNL
cần phải lớn hơn 500km để bỏ qua sự méo tín hiệu trong q trình truyền.
Khi chiều dài sợi quang thỏa mãn L<< LNL nhƣng L ~ LD thì số hạng cuối
cùng của phƣơng trình (1.64) có thể đƣợc bỏ qua so với hai số hạng còn lại. Sự
lan truyền của xung bị chi phối bởi hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng phi
tuyến trong trƣờng hợp này khơng có vai trị quan trọng. Chế độ này xảy ra khi
các thông số của xung thỏa mãn điều kiện:
LD P0T02

L NL
2

1

(1.65)

Đối với xung 1ps, nếu ta sử dụng các giá trị điển hình của các thông số gᵧ
và β2 của sợi quang tại bƣớc sóng =1,55mm ta có thể đánh giá đƣợc P0<<1W.
Khi chiều dài sợi quang thỏa mãn L<< LD nhƣng L ~ LNL số hạng biểu diễn
hiệu ứng tán sắc trong (1.64) có thể đƣợc bỏ qua khi so sánh với số hạng phi

2U
1 ). Trong trƣờng
tuyến ( miễn là dạng hàm bao của xung là đủ trơn để cho
2
hợp này sự lan truyền của xung bị chi phối bởi hiệu ứng tự biến điệu pha, nó đƣa
15

tới sự mở rộng phổ tần số của xung. Hiệu ứng phi tuyến ảnh hƣởng đến quá trình
lan truyền xung là chủ yếu khi:
LD P0T 2

L NL
2

1

(1.66)

Điều kiện này thỏa mãn cho các xung tƣơng đối rộng T0 > 100ps với đỉnh
công suất P0=1W.
Khi chiều dài sợi quang là dài hơn hoặc so sánh đƣợc với hai chiều dài phi
tuyến LNL và chiều dài tán sắc LD thì cả hai hiệu ứng trên đồng thời ảnh hƣởng lên
quá trình lan truyền xung. Sự ảnh hƣởng đồng thời của cả hai hiệu ứng tán sắc
vận tốc nhóm và tự biến điệu pha sẽ đƣa lại các dạng khác so với dạng chỉ có một
hiệu ứng tự biến điệu pha hoặc tán sắc vận tốc nhóm. Trong chế độ tán sắc dị
thƣờng (β2<0) sợi quang có khả năng cung cấp soliton. Trong chế độ tán sắc
thƣờng (β2>0) hiệu ứng tự biến điệu pha và tán sắc vận tốc nhóm có thể sử dụng
để nén xung.
1.2.2 Tán sắc vận tốc nhóm.
Sự tán sắc vận tốc nhóm sẽ đƣa tới sự mở rộng xung khi xung lan truyền
qua sợi quang. Chế độ lan truyền xung mà trong đó chỉ có hiệu ứng tán sắc vận
tốc nhóm là ảnh hƣởng chủ yếu đến q trình lan truyền xung và hiệu ứng phi
tuyến có thể bỏ qua khi;

LD
 P0T02

L NL

1

Sử dụng biên độ chuẩn hóa U(0,0) = 1, khi đó phƣơng trình lan truyền xung trong
chế độ chỉ có hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm thỏa mãn

U 2  2 U
i

z 2 T 2

(1.67)

16


Ta sẽ giải phƣơng trình này bằng cách sử dụng biến đổi Fourier. Gọi
U(z, ) là ảnh Fourier của hàm U(z,T) theo biến đổi


1
U(z,T) 
 U(z, )exp(iT)d
2 

(1.68)

Và U thỏa mãn phƣơng trình vi phân

i

U
1
  22 U
z
2

(1.69)

Nghiệm của phƣơng trình (1.68) có dạng

i

U(z, )  U(0, )exp  22z 
2


(1.70)

Biểu thức (1.70) chỉ ra biên độ của xung thay đổi phụ thuộc vào hệ số tán
sắc vận tốc nhóm cùng với tần số và khoảng cách truyền. Tán sắc vận tốc nhóm
làm thay đổi pha của xung bởi nó phụ thuộc vào tần số và khoảng cách. Mặc dù
sự thay đổi pha không ảnh hƣởng tới phổ nhƣng chúng có thể thay đổi hình dạng
xung.
Thay thế (1.70) vào (1.68) nghiệm của (1.67) đƣợc viết


1
i

U(z,T) 
U(0, )exp( 22z  iT)d

2 
2

(1.71)

Trong đó U(0, ) là biến đổi Fourier của trƣờng tới khi z = 0, và biểu thức là


U(0, ) 

 U(0,T)exp(iT)dT

(1.72)



Biểu thức (1.71) và (1.72) có thể dùng đƣợc cho các xung vào có dạng bất
kỳ. Bây giờ ta sẽ xét một dạng xung vào dựa trên cơ sở lý thuyết trình bày trên
đây.

17


Giả sử xung vào có cƣờng độ phân bố theo thời gian có dạng Gauss, Nghĩa
là biên độ chuẩn hóa của xung vào tại điểm z = 0 có dạng
2


 1 T  

U(0,T)  exp    
 2  T0  



Trong đó T0 là một nữa độ rộng tại điểm cƣờng độ bằng

(1.73)

1
.
e

Trong thực tiễn, nó đƣợc dùng độ rộng tồn phần tại nữa nhóm lớn nhất tại
T0. Với xung Gauss, nó có hai mối liên hệ với độ rộng toàn phần tại nữa lớn nhất
của xung bởi biểu thức

TFWHM  2 ln 2T0  1.665T0

(1.74)

Thế (1.73) vào (1.72) ta có biến đổi Fourier của xung tại điểm vào sợi quang
U(0, )


 T2

 T022 

U(0, )   exp   2  iT dT  2T0 exp  

2 

 2T0



(1.75)

Sử dụng (1.71) ta đƣợc xung tại khoảng cách lan truyền z ở thời điểm t bất kỳ
U(z,T)

 T02 
 i22z

T0 2
U(z,T) 
exp

exp

t

T



 d
  2   2

2 




T2

exp 

2
T02  i2 z
 2(T0  i2z 
T0

Vậy U(z,T) 



T2
exp 

2
T02  i2z
 2(T0  i2z 
T0

(1.76)

Có thể viết lại U(z,T) dạng

U(z,T)  U(z,T) expi(z,T)

18

(1.77)


Theo đó, bao hàm xung là U(z,T) , cịn pha xung là (z,T) .
Độ lớn bao xung là
U(z,T)  UU
1



 2
T0
T2
T2

exp





2
2
4 (T 2  i z)(T 2  i z)
 2(T0  i2z) 2(T0  i2z)  


0
2
0
2





T 2T02
exp 
4
2 2 
4 T 4  i 2 z 2
2(T


z )
0
2

0
2
T0





1

T2



exp 

22 z 2  
22 z 2
2

2T0 1  4 
4 1

T0  
T04






2


1
T

exp 
2 
2




z 

 z 
2
4 1
 2T0 1   L   


L
 D

  D   

Vậy




2


1
T

U(z,T) 
exp 
2 

2




z

 z 
2

4 1
 2T0 1   L   


 LD 
  D   


(1.78)
Từ (1.78) ta thấy
- Dạng của xung Gauss khơng đổi trong q trình lan truyền.

19


- Cƣờng độ xung sẽ giảm đi khi khoảng cách lan truyền tăng. Độ giảm cƣờng
độ theo quy luật.
I0

I(z) 

4

 z 
1 

 LD 

(1.79)

2

Biểu thức trên cho thấy sự phụ thuộc của cƣờng độ xung vào khoảng cách
lan truyền. Cƣờng độ xung giảm dần khi khoảng cách lan truyền tăng.
Độ rộng của xung tăng theo khoảng cách lan truyền (xung mở rộng). Độ
mở rộng tuân theo quy luật

 x 
T1 (z)  T0 1  

 LD 

2

(1.80)

Trong đó độ dài đặc trƣng cho hiện tƣợng tán sắc LD đƣợc xác định
T2
LD 
2

(1.81)

Khi đó hệ số giãn xung là
T1 (z)   z 
 1  

T0
  LD 

2





1
2

(1.82)

Biểu thức (1.82) chỉ ra cho thấy rằng tán sắc vận tốc nhóm đã tác động làm
cho xung Gauss đƣợc mở rộng khi lan truyền. Chiều dài đặc trƣng cho hiện tƣợng
tán sắc LD ảnh hƣởng tới mở rộng xung. Xung ngắn sẽ mở rộng nhiều hơn bởi vì
chiều dài tán sắc nhỏ. Khi z = LD thì

T1 (z)
 2 , nghĩa là khi xung lan truyền
T0

đƣợc quãng đƣờng bằng LD thì độ rộng xung sẽ tăng lên

2 lần và LD gọi là

quãng đƣờng tán sắc.
Đƣờng cong nét đứt biểu diễn xung tới khi z = 0 có thể viết U(z,T) dƣới dạng
20


U(z,T)  U(z,T) expi(z,T)

(1.83)

Trong đó (z,T) là pha của xung.
 T 2 T02  i2z 
U(z,T) 
exp  
4
2 2 
2
T




0
2z 


z
4

2 2
2
(T0  2 z )exp i.arctan 2 
T0 

T0





2
i
 i2zT 2 
T0
2 z 
T



exp  .arctan 2  exp 
exp  4
2 2
2 2 

4 T 4  2 z 2
2
T
T






z
2
0 
2z 

 0
0
2
 2T0 1  2 4  
T0  





z


z iT 2
LD
i

 U(z,T) exp  .arctan
 2 sgn(2 )
2
L D T0

 z  
2
1


 

 LD  

z
 z 
LD T 2 1
 (z,T)  
 arctan 

2
2
 z  T0 2
 LD 
1 

 LD 
sgn(2 )

1.2.3

(1.84)

Hiệu ứng tự biến điệu pha.

Vì hiện tƣợng tự biến điệu pha, tự dựng xung và tự dịch chuyển tần số liên
quan đến những thay đổi về mặt thời gian của xung và cả thay đổi phổ của nó,
chúng xuất hiện ngay cả khi trong trƣờng hợp khơng có các hiệu ứng xen kẻ. Ta
nghiên cứu mơ hình lan truyền sóng điện từ một chiều trong mơi trƣờng kiểu
Kerr. Ta sẽ dùng khái niệm đƣờng bao biến đổi chậm:
E  z, t   A  z, t  ei(k0z0t)  c.c.

Trong đó:

A(z,t) - đƣờng bao biến đổi chậm (SVE- Viết tắt từ tiếng Anh),
21

(1.85)