Về các họ nhận giá trị trong không gian p định chuẩn

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▼➣ sè✿ ✻✵✳ ✹✻✳ ✵✶✳


ữớ ữợ ồ P●❙✳❚❙✳ ❑■➋❯ P❍×❒◆● ❈❍■
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▼Ư❈ ▲Ư❈
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▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
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❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

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▼Ð ✣❺❯

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P ✲✣➚◆❍ ❈❍❯❽◆

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ♥❤➡♠ ♠ư❝ ✤➼❝❤ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ p✲✤à♥❤ ❝❤✉➞♥❀ ❦❤→✐
♥✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❝→❝ ❤å sè ♥❤÷ ❤å sè ❜à ❝❤➦♥✱ ❤å sè
tờ ồ ở tử tợ ổ ồ tữỡ ự ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
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ổ ❝➛♥ ❞ò♥❣ ✈➲ s❛✉✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❝â t❤➸ t➻♠
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✶✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❚➟♣ I = ∅ ✤÷đ❝ ồ ữợ ữủ tr õ
♠ët q✉❛♥ ❤➺ “ > ” t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✿
✶✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ m, n, p ∈ I s❛♦ ❝❤♦ m > n ✈➔ n > p t❤➻ m > p❀
✷✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ m ∈ I t❤➻ m > m❀
✸✮ ợ ồ m, n I t tỗ t p ∈ I s❛♦ ❝❤♦ p > m, p > n✳

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ữợ q > ỵ (I, >)

t t➢t ❧➔ I ✳
❚❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ❝â ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉✳


✺

✶✳✶✳✷ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ❈❤♦ I ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝❤➾ sè tý ỵ ỵ
F(I) = J I : /J/

ỳ ❤↕♥

.

❚r➯♥ F(I) t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠ët q✉❛♥ ❤➺ ❜❛♦ ❤➔♠ > ữ s
ợ ộ

J, K F(I) : J > K

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

K ⊂ J.

❑❤✐ ✤â✱ F(I) ợ q ữ tr ởt t ữợ ữủ

sỷ I ởt t ữợ q >
õ S tr I ữủ ồ ởt

ữợ s rở

ữủ ỵ (S, I, >) ❤♦➦❝ ✈✐➳t t➢t ❧➔ S ✳
◆➳✉ ♠✐➲♥ ❣✐→ trà ❝õ❛ S ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tỉ♣ỉ t❤➻ ♥â ✤÷đ❝ ❣å✐

ổ tổổ

ữợ tr

sỷ I ởt t ữợ q >
(X, ) ởt ổ tổổ õ ữợ (Sn , I, >) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tư
tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tỉ♣ỉ ✤➳♥ ✤✐➸♠ S ∈ X ✤è✐ ✈ỵ✐ tỉ♣ỉ , ợ ồ

U ừ S tỗ t↕✐ n0 ∈ I s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ n ∈ I ♠➔ n > no t❤➻ Sn ∈ U.
❑❤✐ ✤â✱ ỵ lim Sn = S Sn S ✳

✶✳✶✳✺ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr➯♥ tr÷í♥❣ K✳ ❍➔♠
. : E → R ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❝❤✉➞♥ tr➯♥ E ♥➳✉ t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
✶✮ x

0✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ E ✈➔ x = 0 ⇔ x = 0❀

✷✮ λx = |λ| x ✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ λ ∈ K ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ E ❀
✸✮ x + y

x + y , ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ E ✳

❑❤✐ ✤â✱ (E, . ) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔

♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳

❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝ ✈ỵ✐ ♠➯tr✐❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝❤✉➞♥

d(x, y) = x − y , ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ E ✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ E ✤÷đ❝ ❣å✐
❧➔

❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♥➳✉ E ✤➛② ✤õ ✈ỵ✐ ♠❡tr✐❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝❤✉➞♥✳ ❱ỵ✐ ♠➯tr✐❝


✻

s✐♥❤ ❜ð✐ ❝❤✉➞♥ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣ ✈➔ ♥❤➙♥ ✈æ ữợ tr E tử
E, F ổ ỵ L(E, F ) t➟♣ ❤đ♣ ❝→❝

→♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ tø E ✈➔♦ F ✳ ❚❛ ✤➣ ❜✐➳t L(E, F ) ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥

f = sup

f (x) , ✈ỵ✐ ♠å✐ f ∈ L(E, F ).

x =1

◆➳✉ F ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤➻ L(E, F ) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱

L(E, K) := E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ ❤đ♣ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ E ❝ơ♥❣ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤✳
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ❧ỵ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ q✉❡♥ t❤✉ë❝✳

✶✳✶✳✻ ❱➼ ❞ư✳ ●✐↔ sû K ❧➔ tr÷í♥❣ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❤♦➦❝ ❝→❝ sè ự ỵ
l = x = {xn } K : {xn } ❧➔ ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ ;
C = x = {xn } ⊂ K : {xn } ❧➔ ❞➣② ❤ë✐ tö ;
C0 = x = {xn } ⊂ K : lim xn = 0 ;
n→∞

✈➔

∞

|xn |p < ∞ , p

lp = x = {xn } ⊂ K :

1.

n=1

❱ỵ✐ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣ ❝→❝ ❞➣② ✈➔ ♥❤➙♥ ♠ët sè ✈ỵ✐ ♠ët ❞➣② t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣
t❛ ❝â l∞ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ C ✱ C0 ✈➔ lp ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝õ❛

l∞ ✳ ❍ì♥ ♥ú❛
lp ⊂ C0 ⊂ C ⊂ l∞ .
❚❛ ✤➣ ❜✐➳t l∞ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

x = sup |xn |, ∀x ∈ l∞ .
n 1

✭✶✳✶✮


✼

✣➦❝ ❜✐➺t C0 , C ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ l∞ ✳ ❱➻ t❤➳ ❝❤ó♥❣ ❝ơ♥❣ ❧➔
❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ tr➯♥✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ lp ❦❤ỉ♥❣ ✤â♥❣ tr l
ố ợ lp ữớ t t ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝
∞

x

p

|xn |p

=

1/p

✭✶✳✷✮

, ∀x ∈ lp .

n=1

❑❤✐ ✤â✱ lp ❝ơ♥❣ ❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳
❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ r➡♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❦❤↔

❧② ♥➳✉

tr♦♥❣ X ❝â t➟♣ ❝♦♥ ✤➳♠ ✤÷đ❝ trị ♠➟t tr♦♥❣ X ✳

✶✳✶✳✼ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tỉ♣ỉ ❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì ❝ị♥❣
✈ỵ✐ ♠ët tỉ♣ỉ tr➯♥ ✤â s❛♦ t ở ổ ữợ ❧✐➯♥
tư❝✳
❚➟♣ ❝♦♥ U tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔
♠å✐ α ∈ K ✈➔ |α| < 1❀ t➟♣ U ữủ ồ

U U

út ợ ồ x X

ợ

tỗ t

> 0 s x U ✈ỵ✐ ♠å✐ |α| < δ.
❚r♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tỉ♣ỉ ổ tỗ t ỡ s U ừ 0 ỗ
t út ợ ồ U U tỗ t V U s V + V ⊂ U ✳

✶✳✶✳✽ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❚➟♣ ❝♦♥ U ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ tỡ X ữủ ồ ỗ
ợ ồ x, y ∈ U ✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ 0

λ

1✱ t❤➻ λx + (1 − λ)y ∈ U ✳

❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tỉ♣ỉ ✤÷đ❝ ồ

ỗ ữỡ õ õ ỡ s

U ừ 0 ỗ t ỗ

❝♦♥ U ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tỉ♣ỉ E ✤÷đ❝ ❣å✐
ợ ồ V

ừ 0 tỗ t↕✐ s > 0 s❛♦ ❝❤♦ U ⊂ tV ✈ỵ✐ ♠å✐

t > s✳
❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tỉ♣ỉ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔
❧➟♥ ❝➟♥ ❝õ❛ 0 ❧➔ t➟♣ ❜à ❝❤➦♥✳

❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ♥➳✉ õ tỗ t


✽

▼é✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❧✉ỉ♥ ❝â ❝ì sð ✤➳♠ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥
❝õ❛ 0✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ♥➳✉ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tỉ♣ỉ ❝â ❝ì sð ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ 0 ❧➔ ✤➳♠
✤÷đ❝ t❤➻ ♥â ❦❤↔ ♠➯tr✐❝✳ ❱➻ ✈➟②✱ ♠é✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❧➔ ❦❤↔
♠➯tr✐❝✳

✶✳✶✳✶✵ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tỉ♣ỉ E ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ F ✲❦❤ỉ♥❣
tỗ t tr d t tr E tự ❧➔ d(x, y) = d(x + z, y + z) ✈ỵ✐
♠å✐ x, y, z ∈ E ✮ s❛♦ ❝❤♦ (E, d) ✤➛② ✤õ ✈➔ ♠➯tr✐❝ d s✐♥❤ r❛ tæ♣æ ❝õ❛ E ✳
◆❤÷ ✈➟②✱ ♠é✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❧➔ F −❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✳

✶✳✶✳✶✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ▼é✐ F −❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ỗ ữỡ ữủ ồ
ổ rt

ó r➔♥❣ ♠é✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ỗ ữỡ
1
ữỡ Bn = {x ∈ E : x < }, n = 1, 2, ... ỡ
n
s ỗ t ỗ ừ E ỡ ỳ ữớ t ự
ữủ t q q trồ s

ỵ ổ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tỉ♣ỉ ❧➔ ❦❤↔ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾

õ ỗ ữỡ ữỡ

ử s❛✉ ❝❤♦ t❤➜② ♠é✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ õ t ổ ỗ
ữỡ

ử t ổ lp = {x = {xn} ⊂ R :

∞
p
n=1 |xn |

< +∞}

✈ỵ✐ 0 < p < 1✳ ❑❤✐ ✤â✱ lp ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì ✈ỵ✐ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣ ✈➔
♥❤➙♥ ✈ỉ ữợ t số tữỡ ự ừ ỡ ỳ lp ❧➔ F −❦❤ỉ♥❣
❣✐❛♥ ✈ỵ✐ ♠➯tr✐❝ ❜➜t ❜✐➳♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
∞

|xn − yn |p

d(x, y) =
n=1

✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ lp ✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ lp ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ỗ ữỡ




ử s ự tọ ộ ỗ ữỡ ❝â t❤➸ ❦❤ỉ♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛
♣❤÷ì♥❣✳

✶✳✶✳✶✹ ❱➼ ❞ư✳ ●✐↔ sû R∞ = {x = {xn} : xn ∈ R} ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì ❝→❝
❞➣② sè t❤ü❝ ✈ỵ✐ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ở ổ ữợ t số tữỡ
ự ừ ❞➣②✳ ❑❤✐ ✤â✱ R∞ ❧➔ F − ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈ỵ✐ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
∞

1 |xn − yn |

2n 1 + |xn − yn |

d(x, y) =
n=1

✈ỵ✐ ♠å✐ x, y R ỡ ỳ R ổ ỗ ữỡ ợ tổổ ỗ
ữỡ ồ ✤➳♠ ✤÷đ❝ ❝→❝ ♥û❛ ❝❤✉➞♥ {pn } tr➯♥ R∞ ♥❤÷
s❛✉

pn (x) = |xn |
✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ R∞ . ◆â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ R∞ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❋r❡❝❤❡t✳

✶✳✷✳ ❈→❝ ❤å sè ❦❤↔ tê♥❣
❙❛✉ ✤➙② t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❝→❝ ❤å sè ❦❤↔ tê♥❣✳

✶✳✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ✭❬✶❪✮ ❈❤♦ {xi}i∈I ❧➔ ♠ët ❤å ❝→❝ sè ✭t❤ü❝ ❤♦➦❝ ♣❤ù❝✮✳
❍å {xi }iI ữủ ồ

tờ ợ ồ > 0, tỗ t J0 F(I) s

ợ ồ J ∈ F(I) ♠➔ J > J0 t❤➻

|

xi − S| < ε.
i∈J

❑❤✐ ✤â t❛ ✈✐➳t

xi = S.

i∈I

✶✳✷✳✷ ◆❤➟♥ ①➨t✳ ❑❤✐ I = N ❧➔ t➟♣
❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ t❤➻ ❞➣② sè {xn }n∈N ❧➔
∞
❦❤↔ tê♥❣ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ❝❤✉é✐ sè

xn ❧➔ ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✱ tù❝ ❧➔ ❤ë✐

n=1


✶✵

tư ✈ỵ✐ ♠å✐ ♣❤➨♣ ✤ê✐ ✈à tr➼ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ừ ộ ữ t t
tữỡ ữỡ ợ sỹ ở tử tt ố ừ ộ



xn ỵ ❘✐❡♠❛♥♥✳

n=1

❚❛ ❝➛♥ ❜ê ✤➲ ✤ì♥ ❣✐↔♥ s❛✉✳

✶✳✷✳✸ ❇ê ✤➲✳ ✭❬✽❪✮ ợ ồ số {xi}iI tý ỵ tỗ t sè C > 0 s❛♦
❝❤♦

|

t❤➻

i∈J

i∈J

|xi | < 4C ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➛✉

xi | < C, ∀J ∈ F(I)

t✐➯♥ t❛ ❣✐↔ sû ❤å {xi }i∈I ❧➔ ❤å ❝→❝ sè t❤ü❝✳ ❱ỵ✐ ♠é✐

J ∈ F(I) ✤➦t
J + = {i ∈ J : xi

0} ✈➔ J − = {i ∈ J : xi < 0}.

❚❛ ❝â

xi −

|xi | =
i∈J +

i∈J

i∈J −

xi < 2C

xi +

xi =
i∈J +

i∈J −

✈ỵ✐ ♠å✐ J ∈ F(I)✳
❚✐➳♣ t❤❡♦ ♥➳✉ {xi }i∈I ❧➔ ❤å ❝→❝ sè ♣❤ù❝ t❤➻ ❤❛✐ ❤å {❘❡xi }i∈I ✈➔ {■♠xi }i∈I
❧➔ ❝→❝ ❤å sè t❤ü❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ❜ê ✤➲✳ ❉♦ ✈➟②

|❘❡xi | +

|xi |
i∈J

i∈J

|■♠xi | < 4C,

∀J ∈ F(I).

i∈J

✶✳✷✳✹ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ✭❬✽❪✮ ❍å ❝→❝ số {xi}iI tờ tỗ t↕✐
C>0

s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ J ∈ F(I) t❤➻

i∈J

|xi | < C ✳


✶✶

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✳ ◆➳✉ {xi}i∈I

❧➔ ❤å ❦❤↔ tê♥❣ õ tờ S

t tỗ t J0 F(I) s❛♦ ❝❤♦

|SJ − S| < 1, ∀J > J0 ,
tr♦♥❣ ✤â SJ =

xi ✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ J ∈ F(I) t❛ ❝â
i∈J

xi − S + S −

xi =
i∈J

i∈J∪J0

xi
i∈J\J0

xi − S + |S| +
i∈J∪J0

|xi |
i∈J0

|xi |.

1 + |S| +
i∈J0

C
= 1 + |S| +
|xi | t❤➻ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✸ t❛ ❝â
4
i∈J0
♠å✐ J ∈ F(I)✳

|xi | < C ✈ỵ✐

◆➳✉ ✤➦t

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ừ sỷ tỗ t C > 0 s

iJ

|xi | < C ✈ỵ✐ ♠å✐ J ∈ F(I)✳
i∈J

✣➦t

|xi | : J ∈ F(I) < +∞.

C0 = sup
i∈J

❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ tr ú tỗ t J1 , ..., Jn , ... t❤✉ë❝ F(I) s❛♦ ❝❤♦

i∈Jn

1
|xi | > C0 − .
n

❱ỵ✐ ♠é✐ n = 1, 2, ... ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ J ∩ Jn = ∅ t❛ ❝â

|xi | =
i∈J

|xi |
iJJn

|xi | < C0 C0 +
iJn

ữ ợ ộ n = 1, 2, ... ♥➳✉ ✤➦t

Sn =

xi

i∈Jn

1
1
= .
n n


✶✷

t❤➻ ✈ỵ✐ m

n t❛ ❝â
|xi |

|Sm − Sn |
i∈Jm \Jn

1
→0
n

❦❤✐ n → ∞✳ ❈❤ù♥❣ tä {Sn } ❧➔ ❞➣② sè ❈❛✉❝❤②✱ ✈➻ ✈➟② ♥â ❤ë✐ tư tỵ✐ S ✳ ❈✉è✐
❝ị♥❣ t❛ ❝❤➾ r❛ {xi }i∈I ❝â tê♥❣ ❧➔ S ✳ ❱ỵ✐ ε > 0 ❝❤å♥ n ✤õ ❧ỵ♥ s❛♦ ❝❤♦

|Sn − S| <

1
ε
ε

✈➔
< .
2
n 2

❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ J ∈ F(I) ✈➔ J > Jn t❛ ❝â

|SJ − S| =

xi + |Sn − S| <

xi + Sn − S
i∈J\Jn

❱➟②

i∈J\Jn

1 ε
+ < ε.
n 2

xi = S ✳
i∈I

✶✳✷✳✺ ◆❤➟♥ ①➨t✳ ❚ø ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✹✱ t❛ t❤➜② ❤å sè {xi}i∈I ❧➔ ❦❤↔ tê♥❣ ❦❤✐
✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❤å {|xi |}i∈I ❦❤↔ tê♥❣✳ ✣➦❝ ❜✐➺t

|xi | : J ∈ F(I)}.

|xi | = sup{
i∈I

i∈J

✶✳✷✳✻ ❍➺ q✉↔✳ ◆➳✉ ❤å sè {xi}i∈I ❧➔ ❤å ❦❤↔ tê♥❣ t❤➻ ♠å✐ xi = 0 trứ r ởt
t ữủ
ự ợ ❝→❝ Jn✱ n = 1, 2, ... ♥❤÷ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ
❝õ❛ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✽✱ ✤➦t

∞

E=

Jn .
n=1

❑❤✐ ✤â E t ữủ ợ ồ xi I \ E t❛ ❝â xi ∈
/ Jn ✈ỵ✐ ♠å✐ n✳
1
❱➻ ✈➟② |xi | < ✈ỵ✐ ♠å✐ n = 1, 2, ...✳ ❈❤♦ n → ∞ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ xi = 0✳
n

✶✳✷✳✼ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ✭❬✽❪✮ ❍å sè {xi}i∈I ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ♥➳✉ t➟♣ {xi :

i ∈ I} ❧➔ t tự tỗ t M > 0 s❛♦ ❝❤♦ |xi | < M ✈ỵ✐ ♠å✐ i ∈ I ✳

ỵ

l (I) = {xi }iI : {xi }iI ❝❤➦♥
❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤å sè ❜à ❝❤➦♥✳ ❚r➯♥ l∞ (I) tr t ữ
s

P ở ợ ồ x = {xi}i∈I ✱ y = {yi}i∈I ∈ l∞(I) ✱t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
x + y = {xi + yi }i∈I .

P❤➨♣ ợ ổ ữợ ợ ồ x = {xi}iI l∞(I) ✈➔ λ ∈ K ✱ t❛ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛

λx = {λxi }i∈I .
❉➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷đ❝ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝❤♦ tr➯♥ ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ✈ỵ✐ ❤❛✐ ♣❤➨♣
t♦→♥ ♥➔② l∞ (I) ❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❍ì♥ ♥ú❛ l∞ (I) ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥

x = sup |xi |.
i∈I

✶✳✷✳✽ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ✭❬✽❪✮ ❍å sè {xi}i∈I ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tử tợ 0 ợ ồ
> 0, tỗ t J0 ∈ F(I) s❛♦ ❝❤♦
|xi | < ε, ∀i ∈ I \ J0 .
ỵ

C0 (I) = {xi }iI : {xi }i∈I ❤ë✐ tư tỵ✐ 0
❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤å ❤ë✐ tư tỵ✐ 0✳

✶✳✷✳✾ ▼➺♥❤ ✤➲✳ C0(I) ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ l∞(I)✳
❱ỵ✐ p

1 ✤➦t
|xi |p < ∞

lp (I) = {xi }i∈I :
i∈I


✶✹

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤å sè p−❦❤↔ tê♥❣✳ ❉➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷đ❝ lp (I) ❧➔ ❦❤ỉ♥❣
❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝õ❛ C0 (I)✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ❜↔♥ t❤➙♥ lp (I) ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈ỵ✐
❝❤✉➞♥

x

p

|xi |p

=

1
p.

i∈I

✣➦❝ ❜✐➺t ❦❤✐ p = 2 t❤➻ t❛ ❣å✐ l2 (I) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤å sè

tê♥❣✳ ◆â ổ rt ợ t ổ ữợ

ữỡ

xi yi , ∀x, y ∈ l2 (I).

< x|y >=
i∈I

✶✳✸✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥
❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔② ❝ì ❜↔♥ ✤➣ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ð ❞↕♥❣ tê♥❣ q✉→t
tr♦♥❣ ❬✸❪✳ ✣➸ t✐➺♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ t❤❡♦ ❞ã✐ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ t❤❡♦ ♠ư❝ ✤➼❝❤
❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ●✐↔ sû E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ tr trữớ K ỵ

l (E) = x = {xn } ⊂ E : { xn } : ❧➔ ❞➣② sè ❜à ❝❤➦♥ ;
C(E) = x = {xn } ⊂ E : {xn } ❤ë✐ tö ;
C0 (E) = x = {xn } ⊂ E : lim xn = 0 ;
n→∞

✈➔

∞

lp (E) = x = {xn } ⊂ E :

xn

p

< ∞ ,p

1.

n=1

❱ỵ✐ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣ ❝→❝ ❞➣② ✈➔ ♥❤➙♥ ởt số ợ ởt tổ tữớ
t õ l (E) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ C(E)✱ C0 (E) ✈➔ lp (E) ❧➔ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣
❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝õ❛ l∞ (E)✳ ❍ì♥ ♥ú❛

lp (E) ⊂ C0 (E) ⊂ C(E) ⊂ l∞ (E).
◆➳✉ E = K t❤➻ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ð ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✻✳




ỵ l(E) ổ ợ ữủ


x = sup xn ,
n 1



ợ ♠å✐ x ∈ l∞(E)✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ E ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ t l(E)
ổ
ỵ C(E) ✈➔ C0(E) ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ l∞(E)✳
✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♥➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤➻ C(E) C0(E) ụ
ỵ lp(E) ổ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
∞

x

p

=

xn

p

1/p

, ∀x ∈ lp (E).

✭✶✳✹✮

n=1

❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ E ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤➻ lp(E) ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳

✶✳✹✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ p✲✤à♥❤ ❝❤✉➞♥
❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝ì sð ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
t✉②➳♥ t➼♥❤ p✲✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❤❛② ✈✐➳t ❣å♥ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❝❤✉➞♥✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔
❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ♠ư❝ ♥➔② ❝ì ❜↔♥ ✤÷đ❝ tr➼❝❤ r❛ tø ❬✹❪✳
❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì ✤÷đ❝ ①➨t tr➯♥ tr÷í♥❣ K = R, C.

✶✳✹✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ p ∈ (0; 1]✱ ♠ët p✲❝❤✉➞♥ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì E
❧➔ →♥❤ ①↕ . : E → R+ t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿
✐✮ x = 0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = 0❀
✐✐✮ λx = |λ|p x , ✈ỵ✐ ♠å✐ λ ∈ K ✱ x ∈ E ❀
✐✐✐✮ x + y

x + y , ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ E ✳

(E, . ) ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ ❤❛② ✈✐➳t ❣å♥ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❝❤✉➞♥✳

✶✳✹✳✷ ◆❤➟♥ ①➨t✳ ❘ã r➔♥❣✱ ♥➳✉ p = 1 t❤➻ ♠é✐ 1✲❝❤✉➞♥ ❧➔ ♠ët ❝❤✉➞♥ ✈➔ ♠é✐
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 1✲❝❤✉➞♥ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳


✶✻

✶✳✹✳✸ ❱➼ ❞ư✳ ❳➨t t➟♣ R ✈ỵ✐ ❝➜✉ tró❝ t✉②➳♥ t tỹ tổ tữớ ợ
0
1 ố t ổ tự
x = |x|p , ∀x ∈ R.

❑❤✐ ✤â✱ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët p✲❝❤✉➞♥ tr➯♥ R✳

✶✳✹✳✹ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ▼ët tü❛ ❝❤✉➞♥ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì E tr➯♥ tr÷í♥❣ K
❧➔ →♥❤ ①↕ . : E → R+ t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿
✐✮ x = 0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = 0❀
✐✐✮ λx = |λ| x , ✈ỵ✐ ♠å✐ λ ∈ K ✱ x ∈ E ❀
✐✐✐✮ x + y

σ( x + y ), ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ E ✱ tr♦♥❣ ✤â σ

sè ✤ë❝ ❧➟♣ ✈ỵ✐ x, y ✳
❙è σ ♥❤ä ♥❤➜t ✤➸ ✐✐✐✮ ✤ó♥❣ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔

1 ❧➔ ❤➡♥❣

❤➡♥❣ sè tü❛ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

(E, . )✳

✶✳✹✳✺ ◆❤➟♥ ①➨t✳ ✶✮ ●✐↔ sû (E,

. ) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tü❛ ❝❤✉➞♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❤å

BE (0, ε) = {x ∈ E : x < ε}, ε > 0 ❧➔ ❝ì sð ❧➙♥ ❝➟♥ t↕✐ 0✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ E ❧➔
❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ❞♦ ❝ì sð ❧➙♥ ❝➟♥ t↕✐ ❣è❝ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ❧➔ ✤➳♠
✤÷đ❝✳
✷✮ ◆➳✉ . ❧➔ ♠ët p✲❝❤✉➞♥ tr➯♥ E ✈ỵ✐ 0 < p
tü❛ ❝❤✉➞♥✱ ❤ì♥ ♥ú❛ dp (x, y) = x − y

1
p

1 t❤➻ .

1
p

①→❝ ✤à♥❤ ♠ët

❧➔ ♠➯tr✐❝ s✐♥❤ r❛ tỉ♣ỉ t✉②➳♥ t➼♥❤

tr➯♥ E ✳
✸✮ ◆❣÷í✐ t❛ ❝á♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ r➡♥❣✿ ♥➳✉ E ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❜à

ữỡ t tỗ t ởt p . tr E s❛♦ ❝❤♦ dp (x, y) = x − y

1
p

❧➔

♠➯tr✐❝ s✐♥❤ r❛ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr➯♥ E ✳ ❉♦ ✤â✱ ♠é✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛
♣❤÷ì♥❣ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ♠ët p✲❝❤✉➞♥ ♥➔♦ ✤â✱ tù❝ ❧➔ ♥â ✤÷đ❝ ①❡♠
♥❤÷ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳

✶✳✹✳✻ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ E ữủ ồ p
õ ừ ợ tr s✐♥❤ ❜ð✐ p✲❝❤✉➞♥✳


✶✼

◆❤÷ ✈➟② ♠é✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤ ❧➔ F −❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥✳

✶✳✹✳✼ ❱➼ ❞ư✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ lp✱ 0 < p < 1 ữủ
p



|xn |p

x =
n=1

ợ ♠å✐ x ∈ lp ✳

✶✳✹✳✽ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ▼é✐ p✲❝❤✉➞♥ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ t❤ü❝ ❧✐➯♥ tö❝✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû

. ❧➔ ♠ët p✲❝❤✉➞♥ tr➯♥ E ✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣

t❤ù❝ s❛✉

| x − y |

x−y

✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ E ✳
❚❤➟t ✈➟②✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ E

x = x−y+y

x−y + y .

❙✉② r❛

x − y

x−y .

✭✶✳✺✮

▼➦t ❦❤→❝

y = y−x+x

y − x + x = | − 1|p x − y + x = x − y + x .

❙✉② r❛

− x−y

x − y .

❚ø ✭✶✳✺✮ ✈➔ ✭✶✳✻✮ s✉② r❛

| x − y |

x−y .

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä p✲❝❤✉➞♥ ❧✐➯♥ tö❝✳

✭✶✳✻✮


✶✽

✶✳✺✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲✤à♥❤
❝❤✉➞♥
❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ♠ư❝ ♥➔② ✤÷đ❝ ✤➲ ①✉➜t ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✷❪✳ ❈→❝ ❦➳t
q✉↔ ❝õ❛ ▼ö❝ ✶✳✸ ❧➔ ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ♠ö❝ ♥➔② ❦❤✐ p = 1✳
❚r♦♥❣ ❝↔ ♠ư❝ ♥➔②✱ t❛ ①➨t E ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ p✲✤à♥❤ ợ p .
ỵ

l (E) = x = {xn } ⊂ E : { xn } : ❧➔ ❞➣② sè ❜à ❝❤➦♥ .

❚❛ ❝â ❦➳t q✉↔ s❛✉

✶✳✺✳✶ ỵ l(E) ổ p ợ p ữủ


x = sup xn ,
n 1



ợ ồ x ∈ l∞(E)✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ E ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤ t❤➻ l∞(E) ❧➔
❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤✳
❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ①➨t ❧ỵ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② ❤ë✐ tư tỵ✐ ✵ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr
ổ p ỵ

C0 (E) = x = {xn } ⊂ E : {xn } ❤ë✐ tư tỵ✐ ;

ỵ C0(E) ổ ✤â♥❣ ❝õ❛ l∞(E)✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱
♥➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤ t C0(E) ổ p
ỵ

C(E) = x = {xn } ⊂ E : ❤ë✐ tö tr♦♥❣ E .

ỵ C(E) ổ õ ❝õ❛ l∞(E)✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♥➳✉
E

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤ t❤➻ C(E) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤✳

ỵ


lq (E) = x = {xn } E :

xn

q

< ,q

1.

n=1

ỵ lq (E) ổ ❣✐❛♥ p✲✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ✈ỵ✐ p✲❝❤✉➞♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
∞

x

q

=

xn

q

1/q

, ∀x ∈ lq (E).

✭✶✳✽✮

n=1

❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ E ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤ t❤➻ lq (E) ổ p
ỵ


xn ở tử tr♦♥❣ E .

l[E] = x = {xn } ⊂ E :
n=1

ỵ l[E] ổ p ợ p✲❝❤✉➞♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
x = sup xn , ∀x ∈ l[E].
n 1

✭✶✳✾✮


✷✵

❈❍×❒◆● ✷

❱➋ ❈⑩❈ ❍➴ ◆❍❾◆ ●■⑩ ❚❘➚ ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆
P ✲✣➚◆❍ ❈❍❯❽◆
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ð ♠ư❝ t❤ù ♥❤➜t ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ❤å tr♦♥❣

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ p✲❇❛♥❛❝❤ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤å ♥❤➟♥ ❣✐→ trà
tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ p✲✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳ ❚r♦♥❣ ♠ư❝ t❤ù ❤❛✐✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➔ ✈➼ ❞ư ❝õ❛ ❧ỵ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤➣ ①➙② ❞ü♥❣✳ ❈→❝ ♥ë✐ ❞✉♥❣
✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➲ ①✉➜t ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
❞ü❛ tr➯♥ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ q✉❡♥ t❤✉ë❝ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ổ
ữợ ữủ t t tr

❈→❝ ❤å ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲✤à♥❤ ❝❤✉➞♥
❚r♦♥❣ ❝↔ ♠ư❝ ♥➔②✱ t❛ ①➨t E ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ p✲✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ợ p .
I t số tũ ỵ ỵ

l (E) = x = {xi }iI E : { xi } ❧➔ ❤å sè ❜à ❝❤➦♥ .
◆➳✉ I = N t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤å ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

p✲✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② tr ữỡ trữợ E = K t t
ữủ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤å sè ❜à ❝❤➦♥ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✳
❚❛ ❝â t q s

ỵ l(E) ổ p ợ p ữủ


✷✶

✤à♥❤ ❜ð✐
x = sup xi ,

✭✷✳✶✮

i∈I

✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ l∞(E)✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ E ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤ t❤➻ l∞(E) ❧➔
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ①➨t ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ tr➯♥ l∞(E) ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
x + y = {xi + yi }, λx = {λxi }
✈ỵ✐ ♠å✐ x = {xi }, y = {yi } ∈ l∞ (E) ✈➔ λ ∈ K rữợ t t r
t ①→❝ ✤à♥❤✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ tø x, y ∈ l∞ (E) s✉② r❛ supi∈I xi < ∞✱

supi∈I yi < ∞✳ ❉♦ ✤â
sup xi + yi

sup xi + sup yi < ∞

i∈I

i∈I

i∈I

✈➔ ✈➻ t❤➳ x + y ∈ l∞ (E). ❱ỵ✐ ♠å✐ λ ∈ K t❛ ❝â

sup λxi = sup |λ|p xi < ∞,
i∈I

i∈I

tù❝ ❧➔ {λx} ∈ l∞ (E). ◆❤÷ ✈➟②✱ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ tr➯♥ ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❛
❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷đ❝ l∞ (E) ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈ỵ✐ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥
tr➯♥ ✈➔ ♣❤➛♥ tû ❦❤ỉ♥❣ ❝õ❛ l∞ (E) ❧➔ θ✱ tr♦♥❣ ✤â θi = 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ i ∈ I ✈➔ 0
❧➔ ♣❤➛♥ tû ❦❤æ♥❣ ❝õ❛ E ✳
❇➙② ❣✐í✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝

x = sup xi

✭✷✳✷✮

i∈I

❧➔ p✲❝❤✉➞♥ tr➯♥ l∞ (E)✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❦✐➸♠ tr❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ p✲❝❤✉➞♥✳ ❘ã
r➔♥❣ x = supi∈I xi

0 ✈ỵ✐ ♠å✐ x = {xi } ∈ l∞ (E)✳ ❚❛ ❝â

x = sup xi = 0 ⇔ xi = 0, ∀i ⇔ xi = 0, ∀i,
i∈I


✷✷

tù❝ ❧➔ ⇔ x = θ✳
❱ỵ✐ λ ∈ K ✈➔ x = {xi } ∈ l∞ (E) t❛ ❝â

λx = sup λxi = sup |λ|p xi = |λ|p sup xi = |λ|p x .
i 1

i∈I

i∈I

❱ỵ✐ x, y ∈ l∞ (E) t❛ ❝â

x + y = sup xi + yi

sup xi + sup yi = x + y .

i∈I

i∈I

i∈I

❱➟②✱ l∞ (E) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳
●✐↔ sû E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤ ✈➔ {xk } ⊂ l∞ (E) ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤②✳
õ ợ ồ > 0 tỗ t k0 s ❝❤♦

xk − xl = sup xki − xli < ε, ∀k, l

k0 .

✭✷✳✸✮

i∈I

❙✉② r❛✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ ∈ I t❛ ❝â

xki − xli < ε
✈ỵ✐ ♠å✐ k, l

k0 ✱ tù❝ ❧➔ ❞➣② {xki }∞
k=1 ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ E ✳ ❱➻ E ❧➔ ❦❤æ♥❣

❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤ ♥➯♥ lim xki = xi ∈ E ✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ i ∈ I. ✣➦t x = {xi }i∈I ✳ ❑❤✐
k→∞

✤â✱ tø ✭✷✳✸✮ ❝è ✤à♥❤ k

k0 ❝❤♦ l → ∞ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝

sup xki − xi < ε, ∀k

k0 ,

i 1

tù❝ ❧➔ xk − x < ε ✈ỵ✐ ♠å✐ k

✭✷✳✹✮

k0 ✱ ❤❛② xk → x ❦❤✐ k → ∞✳ ❚ø ✭✷✳✹✮ s✉②

r❛ xki 0 − xi < ε ✈ỵ✐ ♠å✐ i✳ ❱➻ ✈➟②

xi

xki 0 − xi + xki 0 < c < ∞

✈ỵ✐ ♠å✐ i ∈ I ✱ tù❝ ❧➔ x ∈ l∞ (E)✳ ◆❤÷ ✈➟② l∞ (E) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤✳
❑❤✐ E = K✱ t❛ ♥❤➟♥ ♥❣❛② ❝→❝ ❤➺ q✉↔ s❛✉


✷✸

✷✳✶✳✷ ❍➺ q✉↔✳ l∞(K) ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤ ✈ỵ✐ p✲❝❤✉➞♥
x = sup |xi |p .
i∈I

❑❤✐ p = 1 t❛ ❝â ❤➺ q✉↔ s❛✉✳

✷✳✶✳✸ ❍➺ q✉↔✳ ◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ t❤➻ l∞(E) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♥➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤➻ l∞(E) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤✳

✷✳✷✳ ❈→❝ ❤å ❤ë✐ tư tỵ✐ 0 ✈➔ ❝→❝ ❤å ❤ë✐ tư tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤
❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ①➨t ❧ỵ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤å ❤ë✐ tư tỵ✐ 0 ♥❤➟♥ ❣✐→ tr tr ổ
p ỵ

C0 (E) = x = {xi }i∈I ⊂ E : {xi } ❤ë✐ tö tợ .
r ồ {xi } ữủ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tư tỵ✐ 0 ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ ε > 0 tỗ t

J0 F(I) s xi < ε ✈ỵ✐ ♠å✐ i ∈ I \ J0 ✳

✷✳✷✳✶ ✣à♥❤ ỵ C0(E) ổ õ ừ l(E) ❜✐➺t✱ ♥➳✉ E

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤ t❤➻ C0(E) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ p✲❇❛♥❛❝❤✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝❤➾ r❛ C0(E) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝õ❛ l∞(E)✳ ●✐↔ sû x =
{xi }, y = {yi } ∈ C0 (E)✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ε > 0 tỗ t J1 , J2 F(I) s


xi <

ε

2

✈ỵ✐ ♠å✐ i ∈ I \ J1 ✈➔

ε
2
✈ỵ✐ ♠å✐ i ∈ I \ J2 ✳ ✣➦t J0 = J1 ∪ J2 ✳ ❑❤✐ ✤â✱ J0 ∈ F(I) ✈➔
yi <

xi − yi

xi + yi < ε