Về phép đạo hàm trên đại số banach và ứng dụng

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1 Mở đầu về phép đạo hàm trên các đại số và đại số
Banach

5

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Phép đạo hàm trên các đại số . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Một số kết quả về đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Tính liên tục của đạo hàm trên đại số Banach giao hốn
và ứng dụng

18

2.1. Tính liên tục của đạo hàm trên đại số Banach giao hoán . . . . 18
2.2. Một vài ứng dụng
Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


2

MỞ ĐẦU

Một ánh xạ D từ đại số A vào chính nó được gọi là phép đạo hàm
nếu D là ánh xạ tuyến tính và D(ab) = D(a)b + aD(b) với mọi a, b ∈ A.
Phép đạo hàm trên các đại số tổng qt có vai trị rất quan trọng trong
việc nghiên cứu cấu trúc của nó.
Lý thuyết về đại số Banach là lĩnh vực quan trọng của Toán giải tích.
Nó có rất nhiều ứng dụng sâu sắc trong nhiều chuyên ngành của toán học,
đặc biệt là ứng dụng trong nghiên cứu giải tích phức, đại số đều, lý thuyết
tốn tử,. . . Đại số Banach là một lớp đại số đặc biệt, nó có cấu trúc giải
tích tương thích với cấu trúc đại số. Một sự tự nhiên là nghiên cứu phép
đạo hàm trên đại số Banach đã được Singer và Wermer đề xuất vào năm
1955 (xem [8] ). Khi đó, các tác giả đã chứng minh được rằng: tập giá trị
của phép đạo hàm liên tục trên đại số Banach giao hốn ln nằm trong
căn của đại số đó. Câu hỏi đặt ra là liệu kết luận cịn đúng khi bỏ tính

liên tục của phép đạo hàm? Năm 1988 Thomas trên một cơng trình cơng
bố trên tạp chí nổi tiếng là Annals of Mathematics (xem [6]) đã trả lời
khẳng định cho câu hỏi trên, từ đó suy ra rằng các đạo hàm trên đại số
Banach giao hoán nửa đơn luôn liên tục. Đối với các đại số Banach khơng
giao hốn thì đến nay chỉ có các câu trả lời bộ phận. Nghiên cứu đạo hàm
trên đại số Banach là vấn đề thú vị và vẫn còn khá nhiều bài tốn mở liên
quan. Nhằm tìm hiểu về phép đạo hàm trên đại số Banach, chúng tôi lựa
chọn đề tài sau cho luận văn của mình là: Về phép đạo hàm trên đại số
Banach và ứng dụng.
Nội dung chính của luận văn nghiên cứu về phép đạo hàm trên đại số


3

phức, tính liên tục của phép đạo hàm trên đại số Banach giao hốn và
một vài ứng dụng. Ngồi việc trình bày khái niệm, ví dụ và chứng minh
chi tiết các kết quả đã có trong các tài liệu, chúng tơi đề xuất một số kết
quả về tính chất của phép đạo hàm trên đại số Banach giao hoán dựa trên
phép tính hàm một biến trong đại số Banach giao hốn đã trình bày trong
[3]. Chúng tơi cũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho các kết quả. Các
nội dung của luận văn được trình bày trong 2 chương:
Chương 1. Mở đầu về phép đạo hàm trên các đại số và đại số
Banach
Nội dung chương này trình bày về một số kiến thức chuẩn bị về giải
tích phức và đại số cần dùng về sau; các khái niệm, ví dụ và chứng minh
chi tiết một số tính chất cơ bản của phép đạo hàm trên các đại số phức;
khái niệm, ví dụ và những kết quả cơ bản của đại số Banach giao hốn.
Chương 2. Tính liên tục của đạo hàm trên đại số Banach giao hoán
và ứng dụng
Chương này nghiên cứu về tính liên tục của phép đạo hàm trên đại

số Banach giao hoán và một vài ứng dụng. Đầu tiên, chúng tơi trình bày
chứng minh chi tiết kết quả của Wermer và Singer về tính chất của phép
đạo hàm trên đại số Banach giao hoán. Sau đó, chúng tơi đề xuất và chứng
minh một số tính chất của phép đạo hàm trên đại số Banach giao hốn
của đa thức, phân thức và hàm chỉnh hình đối với phép tính hàm một
biến trên đại số Banach giao hốn. Cuối cùng, chúng tơi trình bày hai
ứng dụng của phép đạo hàm liên tục trong chứng minh một điều kiện đủ
để một phần tử trong đại số các ánh xạ tuyến tính liên tục là lũy linh
tổng quát và chứng minh kết quả nổi tiếng của Shilov về sự không tồn tại
chuẩn trên đại số các hàm khả vi mọi cấp trên một đoạn để nó trở thành
đại số Banach.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của thầy giáo, TS. Kiều Phương Chi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu


4

sắc của mình đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban
lãnh đạo Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học và
cảm ơn các thầy, cơ giáo trong Bộ mơn Giải tích, Khoa Sư phạm Tốn học
đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các đồng nghiệp trong Tổ
Toán Trường THPT Trần Hưng Đạo, Quận Gị Vấp, Thành phố Hồ Chí
Minh đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa
học. Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các
bạn trong lớp Cao học 21 Giải tích tại Trường Đại học Sài gịn đã cộng
tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt q trình học tập và nghiên
cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy, cơ giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.

Nghệ An, tháng 9 năm 2015
Vũ Hoàng Vũ


5

CHƯƠNG 1
MỞ ĐẦU VỀ PHÉP ĐẠO HÀM TRÊN CÁC ĐẠI SỐ VÀ
ĐẠI SỐ BANACH

Trong chương này, ở mục đầu chúng tơi trình bày một số kiến thức
chuẩn bị về giải tích phức và đại số cần dùng về sau. Trong các mục tiếp
theo chúng tơi trình bày khái niệm, ví dụ và chứng minh chi tiết một số
tính chất cơ bản của phép đạo hàm trên các đại số phức; khái niệm, ví dụ
và những kết quả cơ bản của đại số Banach giao hoán.
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này chúng tơi trình bày một số kết quả mở đầu về giải tích phức
và đại số cần dùng về sau. Các kết quả được trích ra từ [2]. Cho Ω là tập
mở trong C. Ta ký hiệu H(Ω) là tập hợp tất cả các hàm chỉnh hình trên
Ω. Với mỗi tập X ⊂ C ta ký hiệu C(X) là tập hợp các hàm liên tục trên
X . Các kết quả đặc sắc sau thuộc lý thuyết Cauchy về hàm chỉnh hình

một biến.
1.1.1 Định lý. Nếu Ω là miền đơn liên trong C và f ∈ H(Ω) thì
f (z)dz = 0,
γ

với mọi đường cong Jordan đóng, trơn từng khúc γ ⊂ Ω.
Kết quả trên vẫn còn đúng cho trường hợp miền đa liên, thậm chí trong

thực hành chúng ta còn dùng ở mức độ tổng quát hơn.


6

1.1.2 Định lý. Nếu Ω ⊂ C là miền bị chặn sao cho ∂Ω (biên của
miền Ω) là hợp hữu hạn các đường cong Jordan trơn từng khúc và
f ∈ H(Ω) ∩ C(Ω) thì
f (z)dz = 0.
∂Ω

Sau đây là cơng thức tích phân Cauchy
1.1.3 Định lý. Cho D ⊂ C là miền đơn liên bị chặn sao cho ∂D là
đường cong Jordan trơn hoặc trơn từng khúc. Nếu f ∈ H(D) ∩ C(D)
thì
f (z) =

1
2πi

∂D

f (t)
dt,
t−z

với mọi z ∈ D.
Chú ý rằng cơng thức tích phân Cauchy vẫn đúng cho miền đa liên. Cụ
thể hơn, nếu biên ∂D của D có dạng
∂D = γ0 ∪ γ1− ∪ . . . ∪ γn−

thì
1
2πi
1
=
2πi

f (z) =

f (t)
dt
∂D t − z
f (t)
1
dt −
2πi
γ0 t − z

γ1

f (t)
1
dt − . . . −
t−z
2πi

γn

f (t)

dt,
t−z

với mọi z ∈ D.
Cơng thức thức tích phân Cauchy cịn có dạng biểu diễn cho đạo hàm
hạng cao.
1.1.4 Định lý. Cho D ⊂ C là miền đơn liên bị chặn sao cho ∂D là
đường cong Jordan trơn hoặc trơn từng khúc. Nếu f ∈ H(D) ∩ C(D)
thì
f (n) (z) =

n!
2πi

với mọi z ∈ D và n = 0, 1, 2, . . .

∂D

f (t)
dt,
(t − z)n+1


7

1.1.5 Định nghĩa. Cho Ω ⊂ Cn . Dãy hàm {fn } ⊂ C(Ω) được gọi là hội
tụ đều trên các tập compact tới hàm f ∈ C(Ω) nếu với mỗi tập compact
K⊂Ω
sup |fn (z) − f (z)| → 0
z∈K

khi n → ∞.
Kết quả sau là định lý Weierstrass về dãy hàm chỉnh hình.
1.1.6 Định lý. Nếu {fn } ⊂ H(Ω) và {fn } hội tụ đều trên các tập
compact của Ω tới hàm f thì f ∈ H(Ω).
Định lý sau đây là kết quả nổi tiếng của Runge về xấp xỉ hàm chỉnh
hình.
1.1.7 Định lý. Nếu f ∈ H(Ω) thì f xấp xỉ đều trên các tập compact
của Ω bởi dãy các hàm hữu tỷ cực điểm ngoài Ω. Đặc biệt, nếu C \ Ω
liên thơng thì f xấp xỉ đều trên các tập compact của Ω bởi dãy các đa
thức.
1.1.8 Định nghĩa. Một đại số phức A là một không gian véctơ A trên
trường C cùng với một phép nhân trong trên A thoả mãn các điều kiện:
1) x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A;
2) x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A;
3) (αx)y = αxy, ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C.
1.2. Phép đạo hàm trên các đại số

Mục này nghiên cứu khái niệm, ví dụ và chứng minh chi tiết một số
tính chất cơ bản của phép đạo hàm trên các đại số phức
1.2.1 Định nghĩa ([8]). Cho A là một đại số phức. Phép đạo hàm D
trên A là ánh xạ tuyến tính D : A → A thỏa mãn
D(ab) = D(a)b + aD(b)


8

với mọi a, b ∈ A. Sau đây là một số ví dụ về phép đạo hàm trên các
đại số.
1.2.2 Ví dụ. Cho giả sử A = P (R) là đại số các đa thức trên R, với các

phép toán cộng và nhân các đa thức thông thường. Trên P (R) ta xác ánh
xạ xác định bởi
D(p) = p

trong đó p là đạo hàm theo nghĩa thông thường của đa thức p. Khi đó,
D là phép đạo hàm trên P (R). Thật vậy, từ các tính chất quen thuộc
(p + q) (x) = p (x) + q (x), (λp) (x) = λp (x)

và (pq) (x) = p (x)q(x) + p(x)q (x) với mọi x ∈ R, của đạo hàm theo
nghĩa thơng thường ta có D là tuyến tính và D(pq) = D(p)q + pD(q) với
mọi P (R).
Tổng quát hơn ta có ví dụ sau
1.2.3 Ví dụ. Xét C ∞ ((a, b)) đại số các hàm khả vi mọi cấp trên (a, b)
với các phép tốn cộng, nhân vơ hướng và nhân theo điểm thơng thường.
Khi đó, Trên C ∞ ((a, b)) ta xác ánh xạ xác định bởi
D(f ) = f

trong đó f là đạo hàm theo nghĩa thơng thường của f . Khi đó, D là phép
đạo hàm trên C ∞ ((a, b)).
Sau đây là một ví dụ quen thuộc của phép đạo hàm.
1.2.4 Ví dụ. Giả sử A là đại số phức và a ∈ A. Xét ánh xạ Da (b) =
ab − ba với mọi b ∈ A. Khi đó, D là phép đạo hàm trên A. Thật vậy, với

mọi b, c ∈ A và λ ∈ C, từ các tính chất của phép tốn trên đại số phức
ta có
Da (b + c) = a(b + c) − (b + c)a = ab − ba + ac − ca = Da (b) + Da (c)


9

và
Da (λb) = a(λb) − (λb)a = λ(ab) − λ(ba) = λ(ab − ba) = λDa (b).

Suy ra Da tuyến tính. Nhờ tính kết hợp của phép nhân, ta có
Da (bc) = a(bc) − bc(a) = (ab)c − b(ca)

và
Da (b)c + bDa (c) = (ab − ba)c + b(ac − ca) = (ab)c − b(ca).

Do đó
Da (bc) = Da (b)c + bDa (c).

Vì vậy, Da là phép đạo hàm trên A. Chú ý rằng, đại số A giao hoán khi
và chỉ khi Da bằng 0 với mọi a ∈ A.
Sau đây là các trường hợp đặc biệt của ví dụ vừa trình bày.
1.2.5 Ví dụ. Xét Mn (C) là đại số các ma trận vng cấp n × n với các
phần tử phức. Với các phép tốn cộng, nhân thơng thường các ma trận
thì Mn (C) là đại số phức. Khi đó, với mỗi A ∈ Mn (C) ánh xạ
DA (B) = AB − BA

với mọi B ∈ Mn (C) là phép đạo hàm trên Mn (C). Phép đạo hàm này cịn
gọi là đạo hàm Lie trên Mn (C).
1.2.6 Ví dụ. Trong C3 ta xét tích Lie xác định bởi: với mọi Z =
(z1 , z2 , z3 ), W = (w1 , w2 , w3 ) ∈ C3
[Z, W ] =

z1 z2
z2 z3
z3 z1
,

,
w 2 w3
w3 w1
w1 w2

.

Khi đó C3 là đại số phức với các phép toán cộng, nhân một số với véctơ
thông thường và phép nhân xác định như trên. Khi đó, với mỗi Z ∈ C3
ánh xạ
DZ (W ) = [Z, W ] − [W, Z]


10

với mọi Z ∈ C3 là phép đạo hàm trên C3 . Nó là ví dụ khá quen thuộc về
phép đạo hàm trên đại số Lie.
Giả sử D là phép đạo hàm trên đại số A với đơn vị e. Ta ký hiệu
D0 (a) = a

và
Dn (a) = D(Dn−1 (a))

với mọi n

2. Ta có ngay kết quả sau:

1.2.7 Mệnh đề. Giả sử D là phép đạo hàm trên đại số A. Khi đó
Dn (a + b) = Dn (a) + Dn (b) và Dn (λa) = λDn (a) với mọi a ∈ A và
λ ∈ C.

Chứng minh. Vì D tuyến tính nên
D2 (a + b) = D(D(a + b)) = D(D(a) + D(b))
= D(D(a)) + D(D(b)) = D2 (a) + D2 (b)

với mọi a, b ∈ A. Vì vậy, kết luận được dễ dàng suy ra từ phép quy
nạp.
Sau đây là một kết quả tương tự của công thức Leibnitz cổ điển.
1.2.8 Định lý. Nếu A là đại số phức giao hốn thì
n
n

Cnk Dn−k (a)Dk (b).

D (ab) =
k=0

Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp. Vì D là phép đạo hàm nên
kết luận đúng cho n = 1. Bây giờ, giả sử đúng cho n = m, tức là
m
m

k m−k
Cm
D
(a)Dk (b).

D (ab) =
k=0

11

Ta có
m

D

m+1

m

k m−k
Cm
D
(a)Dk (b)

(ab) = D(D (ab)) = D
k=0
m

k
Cm
D(Dm−k (a)Dk (b)) ( do D tuyến tính)

=
k=0
m

k

Cm
Dm−k+1 (a)Dk (b) + Dm−k (a)Dk+1 (b) ( do D là đạo hàm)

=
k=0

n
k
k−1
Cm
+ Cm
Dm−k+1 (a)Dk (b) ( do A giao hoán)

= Dm+1 (a)b +
k=1
m+1 m+1

k
Cm+1
Dm−k+1 (a)Dk (b),

=
k=0 k=0

k + C k−1 = C k
đẳng thức cuối có được là do Cm
m
m+1 . Vậy cơng thức đúng

cho n = m + 1.

1.3. Một số kết quả về đại số Banach

Mục này trình bày những khái niệm và tính chất mở đầu của Đại số
Banach giao hốn. Các kết quả được trích ra từ [1].
1.3.1 Định nghĩa. Một đại số Banach A là một đại số phức thoả mãn
các điều kiện
1) A là một không gian Banach với chuẩn . nào đó cho trước.
2) xy

x y , với mọi x, y ∈ A.

3) Tồn tại e ∈ A sao cho ex = xe = x, ∀x ∈ A.
4) e = 1.
Phần tử e được gọi là đơn vị của A. Nếu phép nhân trong trên A là giao
hốn thì ta gọi A là đại số Banach giao hoán.
Phần tử x ∈ A được gọi là khả nghịch trong A nếu tồn tại y = x−1 ∈ A
sao cho
x−1 x = xx−1 = e,


12

khi đó x−1 được gọi là phần tử nghịch đảo của x. Dễ dàng kiểm tra được
phần tử khả nghịch của x nếu tồn tại thì đó là phần tử duy nhất. Ký hiệu
G(A) là tập các phần tử nghịch đảo của A.

1.3.2 Nhận xét. 1) Phần tử đơn vị của đại số Banach là duy nhất.
2) Phép nhân trong là liên tục phải và liên tục trái. Thật vậy, giả sử
dãy {xn } ⊂ A và xn → x ∈ A khi n → ∞. Khi đó, với mỗi y ∈ A ta có
0

xn y − xy

xn − x

y →0

khi n → ∞. Nghĩa là xn y → xy , hay phép nhân là liên tục trái. Hoàn
toàn tương tự phép nhân liên tục phải.
1.3.3 Định nghĩa. Cho A là một đại số Banach. Khơng gian con đóng
B ⊂ A chứa đơn vị của A, khép kín với phép nhân trong của A được gọi

là một đại số con của A.
1.3.4 Ví dụ. 1) Đại số C với phép nhân hai số phức và chuẩn Euclide
thông thường là đại số Banach giao hốn có đơn vị là phần tử 1.
2) Cho E là khơng gian Banach và B(E) ={Tốn tử tuyến tính bị chặn
từ E vào E }, Trên B(E) xác định phép nhân trong
(f g)(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)), ∀f, g ∈ B(E), ∀x ∈ E

và chuẩn
f = sup |f (x)| , ∀f ∈ B(E).
x∈E

Khi đó, B(E) là đại số Banach khơng giao hốn có đơn vị là ánh xạ đồng
nhất trên E .
3) Cho X là không gian tôpô compact và C(X) là không gian Banach
các hàm phức liên tục với chuẩn hội tụ đều f = sup |f (x)| , ∀f ∈ C(X).
x∈X

Khi đó, C(X) là đại số Banach giao hốn có đơn vị là hàm đồng nhất bằng

1 trên X , với phép nhân theo điểm, tức là
(f g)(x) = f (x)g(x), ∀x ∈ X.


13

4) Cho K là tập compact trong Cn . Ký hiệu P (K), R(K) và A(K)
theo thứ tự là tập hợp các hàm f ∈ C(K) được xấp xỉ đều trên K bởi các
đa thức, các hàm hữu tỷ cực điểm ngồi K và các hàm chỉnh hình trên
phần trong của K và liên tục trên K . Khi đó, với các phép tốn cảm sinh
từ C(K) thì P (K), R(K) và A(K) là các đại số Banach con của C(K).
Hơn nữa, ta ln có bao hàm thức
P (K) ⊂ R(K) ⊂ A(K) ⊂ C(K).

1.3.5 Định nghĩa. Cho A, B là các đại số Banach.
1)ánh xạ tuyến tính h : A → B được gọi là một đồng cấu, nếu h(xy) =
h(x)h(y) với mọi x, y ∈ A.

2) Phiếm hàm tuyến tính ϕ : A → C khơng đồng nhất bằng 0 được
gọi là một đồng cấu phức trên A nếu
ϕ(x, y) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ A.

Mệnh đề sau trình bày những tính chất đặc trưng của đồng cấu phức.
1.3.6 Mệnh đề. Giả sử ϕ là một đồng cấu phức trên đại số phức A
có đơn vị e. Khi đó
1) ϕ(e) = 1.
2) ϕ(x) = 0 nếu x là phần tử khả nghịch.
1.3.7 Định lý. Cho A là một đại số Banach và x ∈ A với x < 1.
Khi đó
1) e − x là phần tử khả nghịch trong A;

x 2
−1
2) (e − x) − e − x
;
1− x
3) |ϕ(x)| < 1 với mọi đồng cấu phức ϕ trên A.
1.3.8 Nhận xét. Mọi đồng cấu phức ϕ trên đại số Banach A đều là
phiếm hàm tuyến tính liên tục và ϕ = 1. Thật vậy, từ Định lý 1.1.9 ta


14

có
|ϕ

x
|λ| x

|=

|ϕ(x)|
< 1, ∀|λ| > 1, ∀x ∈ A, x = 0.
|λ| x

Từ đây suy ra
|ϕ(x)| < λ x , |λ| > 1, ∀x ∈ A.

Do đó ϕ liên tục và λ

1. Mặt khác

ϕ = sup |ϕ(x)|

|ϕ(e)| = 1.

|x|=1

Vì vậy ϕ = 1.
1.3.9 Mệnh đề. Tập các phần tử nghịch đảo G(A) của đại số Banach
A là một nhóm với phép nhân trong A. Hơn nữa, G(A) là tập mở của
A và ánh xạ x → x−1 là phép đồng phơi từ G(A) lên chính nó.

1.3.10 Định nghĩa. Cho A là một đại số Banach.
Phổ của x ∈ A được ký hiệu là σ(x), là tập hợp tất cả λ ∈ C sao cho
λe − x khả nghịch trong A, tức là λe − x ∈ G(A).

Tập hợp C \ σ(x) được gọi là giải ( giải thức) của x ∈ A.
Số thực ρ(x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)} được gọi là bán kính phổ của x.
1.3.11 Định lý. Giả sử A là một đại số Banach và x ∈ A. Khi đó
1) Phổ σ(x) của x là tập compact khác rỗng của C.
2) Bán kính phổ được biểu diễn bởi công thức
ρ(x) = lim xn
n→∞

1
n

= inf xn
n 1

1
n

.

Từ định lý trên chúng ta thu được một kết quả quan trọng
1.3.12 Hệ quả. (Gelfand-Mazur) Nếu đại số Banach giao hoán A mà
mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch thì nó đẳng cấu, đẳng cự với C.
1.3.13 Định nghĩa. Cho A là một đại số Banach giao hoán. Tập con
J ⊂ A được gọi là một ideal nếu J là một không gian con của A và
f g ∈ J với mọi f ∈ J và với mọi g ∈ A.


15

Ideal J của A được gọi là ideal cực đại nếu J = A và J không nằm
trong bất kỳ một ideal thực sự nào của A.
1.3.14 Bổ đề. ([1]) i) Mỗi ideal thực sự của A được chứa trong một
ideal cực đại của A.
ii) Ideal J là cực đại khi và chỉ khi A/J là một trường.
1.3.15 Định lý. 1) Mỗi ideal cực đại là một tập đóng.
2) Nếu J là một ideal cực đại thì khơng gian thương A/J đẳng
cấu, đẳng cự với trường số phức C.
Cho A là một đại số Banach giao hoán. Ta ký hiệu ∆A là tập hợp tất
cả các đồng cấu phức trên A, MA là tập hợp các ideal cực đại của A. Khi
đó ta có kết quả quan trọng sau.
1.3.16 Định lý. ánh xạ f : ∆A → MA xác định bởi
f (φ) = kerφ ,

trong đó kerφ là hạt nhân của φ là song ánh.

1.3.17 Nhận xét. Từ Nhận xét 1.1.10 và Định lý 1.1.22 ta có thể đồng
nhất MA với một tập con của hình cầu đơn vị trong không gian liên hợp
A∗ của A. Trên MA ta xét tôpô yếu sao cảm sinh từ tôpô yếu sao trên
A∗ . Cụ thể hơn, cơ sở lân cận của ψ ∈ MA là họ tập có dạng
U (ψ, f1 , f2 , . . . , fn , ε)
= {ϕ ∈ MA : |ϕ(fi ) − ψ(fi )| < ε, fi ∈ A, i = 1, 2, . . . , n, ε > 0, n ∈ N∗ }.

Dãy (suy rộng) ϕn ⊂ MA hội tụ ϕ nào đó nếu và chỉ nếu
ϕn (f ) → ϕ(f ), ∀f ∈ A.

1.3.18 Định lý. Không gian các ideal cực đại MA của đại số Banach
giao hoán A là Hausdorff compact.


16

1.3.19 Định nghĩa. Cho A là một đại số Banach giao hốn , MA là
khơng gian các ideal cực đại của A và f ∈ A. Phép biến đổi Gelfand của
f là hàm nhận giá trị phức fˆ : MA → C được xác định bởi
fˆ(φ) = φ(f ), ∀φ ∈ MA .

Mệnh đề sau trình bày một số tính chất đơn giản của phép biến đổi
Gelfand.
1.3.20 Mệnh đề. Giả sử A là đại số Banach giao hốn. Khi đó
1) ab = aˆˆb với mọi a, b ∈ A;
1
2) Nếu a ∈ A khả nghịch thì a−1 = .
a
ˆ
Đặt Aˆ = {fˆ : f ∈ A}. Khi đó Aˆ là đại số con của đại số Banach

C(MA ), các hàm số phức liên tục trên MA .

1.3.21 Định lý. Đại số Aˆ chứa hằng, tách các điểm của MA . Phép
biến đổi Gelfand f → fˆ là đồng cấu của A lên Aˆ và
fˆ

MA

f , ∀f ∈ A.

Ta nhận được kết quả cơ bản sau.
1.3.22 Định lý. Giả sử A là đại số Banach giáo hoán và f ∈ A. Khi
đó
σ(f ) = fˆ(MA ).

1.3.23 Hệ quả. Cho A là một đại số Banach giao hoán và f ∈ A.
Khi đó
ρ(f ) = f

MA .

1.3.24 Hệ quả. Cho A là một đại số Banach giao hoán. Phép biến
đổi Gelfand G : f → fˆ là đẳng cự khi và chỉ khi f 2 = f 2 , ∀f ∈ A.


17

1.3.25 Định nghĩa. Cho A là đại số Banach giao hoán. Giao tất cả các
ideal cực đại của A được gọi là căn của đại số A và ký hiệu là radA. Đại
số Banach A được gọi là nửa đơn nếu radA = {0}.

1.3.26 Định nghĩa. Cho A là đại số Banach. Phần tử a ∈ A được gọi
là lũy linh tổng qt nếu bán kính phổ của nó bằng 0.
1.3.27 Nhận xét. Phần tử x ∈ radA nếu và chỉ nếu ρ(x) = lim xn
n→∞

0.

Chứng minh. Giả sử lim xn
n→∞

ρ(x) = lim xn

1
n

n→∞

1
n

= 0. Khi đó

= sup{|ˆ
x(ϕ)| : ϕ ∈ MA } = 0.

Suy ra xˆ(ϕ) = ϕ(x) = 0 với mọi ϕ ∈ MA . Vậy x ∈ radA.
Ngược lại, nếu x ∈ radA. Khi đó,
xˆ(ϕ) = ϕ(x) = 0

với mọi ϕ ∈ MA . Do đó

ρ(x) = lim xn
n→∞

1
n

= sup{|ˆ
x(ϕ)| : ϕ ∈ MA } = 0.

1
n

=


18

CHƯƠNG 2
TÍNH LIÊN TỤC CỦA ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ
BANACH GIAO HỐN VÀ ỨNG DỤNG

Chương này nghiên cứu về tính liên tục của phép đạo hàm trên đại số
Banach giao hoán và một vài ứng dụng. Trong mục thứ nhất, chúng tơi
trình bày chứng minh chi tiết kết quả của Wermer và Singer về tính chất
của phép đạo hàm trên đại số Banach giao hốn. Sau đó, chúng tơi đề xuất
và chứng minh một số tính chất của phép đạo hàm trên đại số Banach
giao hoán của đa thức, phân thức và hàm chỉnh hình đối với phép tính
hàm một biến trên đại số Banach giao hoán. Trong mục thứ hai, chúng
tơi trình bày hai ứng dụng của phép đạo hàm liên tục trong chứng minh
một điều kiện đủ để một phần tử trong đại số các ánh xạ tuyến tính liên

tục là lũy linh tổng quát và chứng minh kết quả nổi tiếng của Shilov về
sự không tồn tại chuẩn trên đại số các hàm khả vi mọi cấp trên một đoạn
để nó trở thành đại số Banach.
2.1. Tính liên tục của đạo hàm trên đại số Banach giao hốn

Mục này trình bày các kết quả của Singer, Wermer về tính liên tục của
phép đạo hàm trên đại số Banach.
2.1.1 Định nghĩa. ([8]) Cho D là đạo hàm trên đại số Banach A. Khi
đó D được gọi là bị chặn nếu
sup D(a) = D < ∞.
a =1


19

2.1.2 Định lý. Nếu A là đại số Banach giao hoán và D là đạo hàm
bị chặn ở trên A. Khi đó, D biến U vào căn của nó. Đặt biệt, nếu A
là nửa đơn thì D = 0.
2.1.3 Nhận xét. Sau khi chứng minh kết quả trên Singer và Wermer
đề xuất giả thuyết kết quả trên vẫn đúng khi bỏ giả thiết đạo hàm D
bị chặn. Năm 1988 Thomas (xem [6])chứng minh được giả thuyết của
Singer và Wermer và cơng bố trên Tạp chí tốn học nổi tiếng Annals of
Mathematics. Vì phép chứng minh rất cơng phu và sử dụng nhiều kiến
thức hiện đại nên chúng tôi không thể trình bày trong khn khổ luận
văn này.
Để chứng minh định lý trên ta cần một số kết quả bổ trợ. Bổ đề sau
được dùng trong [8] nhưng bỏ qua chứng minh cụ thể.
2.1.4 Bổ đề. Nếu D là toán tử bị chặn trên A thì eλD là tốn tử bị
chặn trên A với mọi λ ∈ C và
eλD (ab) = eλD (a)eλD (b)

với mọi a, b ∈ A.
Chứng minh. Nếu D là tốn tử bị chặn trên A thì eλD là toán tử bị chặn
trên A là kết quả quen thuộc của lý thuyết toán tử (chứng minh chi tiết có
thể xem trong [7]). Nhờ cơng thức Leibnitz (Định lý 1.2.8) cho đạo hàm,
ta có
∞
λD

e

(ab) =
n=0

λn Dn
(ab)
n!
n

= lim

n→∞

k=0
n

= lim

n→∞

k=1

λk Dk (ab)
k! k!
λk
k!

k

Ckj Dk−j (a)Dj (b)
j=1


20

n

= lim

n→∞

k=1
n

= lim

n→∞
∞

=

n=0
λD

=e

k=1
λDn

n!
(a)e

λk k
D (a)
k!

n

l=1

λl l
D (b)
l!

λk k
D (a) lim
n→∞
k!
∞

(a)

n=0

λD

n

l=1

λl l
D (b)
l!

λDn
(b)
n!

(b).

với mọi a, b ∈ A.
2.1.5 Bổ đề. ([8]) Giả sử f là một đồng cấu phức trên A. Khi đó, với
mỗi λ ∈ C, ánh xạ ϕλ : A → C xác định bởi
ϕλ (a) = f eλD (a)

với mọi a ∈ A là một đồng cấu phức trên A.
Chứng minh. Giả sử a, b ∈ A. Khi đó, từ tính tuyến tính, liên tục của


21

đồng cấu phức f và Mệnh đề 1.2 ta có

ϕλ (a + b) = f eλD (a + b)
∞

=f
n=0
∞

=f
∞

=

n=0
λn

n=0
∞

=
n=0

λn Dn (a + b)
n!
λn Dn (a) + Dn (b)
n!
f (Dn (a)) + f (Dn (b))
n!

λn f Dn (a)
+

n!
∞

=f
n=0

∞
n=0

λn Dn (a)
+f
n!

λn f Dn (a)
n!
∞
n=0

λn Dn (b)
n!

= f eλD (a) + f eλD (a)
= ϕλ (a) + ϕλ (b)

và với α ∈ C

ϕλ (αa) = f eλD (a)
∞

=f

n=0
∞

=f
n=0
∞

=
n=0

λn Dn (αa)
n!
λn α Dn (a)
n!

λn f (Dn (a))
α
n!

= αf eλD (a) + f eλD (a)
= αϕλ (a).

Vậy ϕλ là ánh xạ tuyến tính.
Tiếp theo ta chỉ ra ϕλ (ab) = ϕλ (a)ϕλ (b). Đầu tiên, từ Định lý 1.2.8 ta


22

có

Dn (ab)
=
n!

i+j=n

Di (a) Dj (b)
.
i!
j!

Do đó,
∞

ϕλ (ab) =
n=0

λn f (Dn (ab))
=
n!

∞
n

λ
n=0

i+j=n

Di (a) Dj (b)

.
i!
j!

Mặt khác
∞

ϕλ (a)ϕλ (b) =
i=0

λi f (Di (ab))
i!

∞
i=0

λj f (Dj (ab))
.
j!

Do các chuỗi vế phải đều hội tụ tuyệt đối ta nhận được
ϕλ (ab) = ϕλ (a)ϕλ (b).

Chứng minh Định lý 2.1.2. Đầu tiên, nhờ Bổ đề 2.1.5 ta có ϕλ là
đồng cấu phức với mọi λ nên ϕλ = 1 và |ϕλ (a)|

a với mỗi a ∈ A.

Mặt khác, với mỗi a ∈ A, thì
∞

g(λ) = ϕλ (a) =
n=0

λn f (Dn (a))
n!

là hàm nguyên theo biến λ. Ta có |g(λ)|

a với mọi λ ∈ C. Do đó,

g(λ) bị chặn trên C. Theo Định lý Louvile thì g là hàm hằng. Suy ra
f (Dn (a)) = 0 với mọi n. Đặc biệt, f (D(a)) = 0. Vì vậy,
D(a) ∈ f −1 (0)

với mọi f là đồng cấu phức. Do đó, D(a) ∈ radA với mọi a ∈ A. Như
vây, tập giá trị của đạo hàm nằm trong căn của A.
Đặc biệt, nếu A là nửa đơn thì radA = {0}. Vì vậy, D = 0. Định lý
được chứng minh.


23

Cho A là một đại số Banach giao hoán. Giả sử P (z) =

n
k
k=0 αk z

là

một đa thức trên C. Khi đó, với mỗi x ∈ A
n

αk xk ∈ A.

P (x) =
k=0

Ta có khẳng định sau được dùng tới trong [8] nhưng không chứng minh.
2.1.6 Định lý. Cho A là một đại số Banach giao hoán và P (z) =
n
k
k=0 αk z

là một đa thức trên C, với đạo hàm P (z) =

Giả sử D là phép đạo hàm trên A. Khi đó,
D(P (a)) = P (a)D(a)

với mọi a ∈ A.
Chứng minh. Với mọi a ∈ A và k ∈ N ta có
D(a2 ) = D(aa) = D(a)a + aD(a) = 2aD(a)

vì A giao hốn. Do đó, bằng phép quy nạp ta có
D(ak ) = kak−1 D(a).

Vì vậy, nhờ tính tuyến tính của đạo hàm ta có
n

D P (a) = D

n

αk a

k

k=0

αk D(ak )

=
k=0

n

=

αk kak−1 D(a)
k=0
n

kαk ak−1 D(a)

=
k=0

= P (a)D(a).

Ta cần bổ đề sau cho kết quả tiếp theo.

n
k−1 .
k=0 kαk z


24

2.1.7 Bổ đề. Cho A là một đại số Banach giao hoán với đơn vị e và
a ∈ G(A). Khi đó, nếu D là phép đạo hàm trên A thì
D(a−1 ) = −(a−1 )2 D(a).

Chứng minh. Ta có e2 = e. Suy ra D(e) = D(e2 ) = D(e)e + eD(e) =
2D(e). Suy ra D(e) = 0. Vì vậy,
0 = D(e) = D(aa−1 ) = D(a)a−1 + aD(a−1 .

Suy ra D(a−1 ) = −(a−1 )2 D(a).
Bổ đề sau cho điều kiện đủ để phép tính hàm trên đại số Banach đối
P (z)
với hàm hữu tỷ là thực hiện được. Sau đây, các hàm hữu tỷ f (z) =
,
Q(z)
trong đó P, Q là các đa thức một biến phức.
2.1.8 Bổ đề. ([3]) Cho x ∈ A và f (z) =

P (z)
là một hàm hữu tỷ cực
Q(z)

điểm ngồi σ(x). Khi đó,
1) f (x) = P (x) Q(x)

−1

∈ A và f (x) = f (ˆ
x);

2) σ(f (x)) = f (σ(x)).
Ta thu được kết quả sau đây:
2.1.9 Định lý. Cho A là một đại số Banach giao hoán và P (z) =
n
k
k=0 αk z

là một đa thức trên C, với đạo hàm P (z) =

n
k−1 .
k=0 kαk z

Giả sử D là phép đạo hàm trên A. Khi đó, nếu f (z) có các cực điểm
ngồi σ(a) thì
D(f (a)) = P (a)Q(a) − Q (a)P (a) [Q−1 (a)]2 D(a) = f (a)D(a),

với mọi a ∈ A.
Chứng minh. Từ Bổ đề 2.1.8 và giả thiết f (z) có cực điểm ngồi σ(a) suy
ra
f (a) = P (a)[Q(a)]−1

25

là xác định trong A. Nhờ Bổ đề 2.1.7, ta có
D(f (a)) = D P (a)[Q(a)]−1 = D P (a) [Q(a)]−1 + P (a)D [Q(a)]−1
= P (a)D(a)[Q(a)]−1 + P (a) ([Q(a)]−1 )−2 D Q(a)
= P (a)[Q(a)]−1 D(a) + P (a) [Q(a)]−1

−2

Q (a)D(a)

= P (a)Q(a) − Q (a)P (a) [Q−1 (a)]2 D(a).

Bổ đề sau được xây dựng từ định lý Cauchy và cơng thức tích phân
Cauchy đối với hàm phức một biến.
2.1.10 Bổ đề. [3] Cho A là đại số Banach giao hoán và x ∈ A. Cho
Ω là tập mở chứa σ(x) và Ω1 là miền bị chặn sao cho
σ(x) ⊂ Ω1 ⊂ Ω1 ⊂ Ω

và biên γ = ∂Ω1 của Ω1 là hợp hữu hạn của các đường cong Jordan
trơn. Nếu f là hàm hữu tỷ cực điểm ngoài Ω thì
f (x) =

1
2πi

f (t)(t − x)−1 dt.
γ

Cho Ω là một tập mở chứa σ(x) và f ∈ H(Ω). Khi đó, theo định lý
Runge tồn tại dãy {fn } các hàm hữu tỷ cực điểm ngoài Ω sao cho {fn } hội
tụ về f theo tôpô hội tụ đều trên các tập compact. Với mỗi n = 1, 2, . . .
thì fn (x) ∈ A. Ta có bổ đề sau.
2.1.11 Bổ đề. [3] lim fn (x) ∈ A là tồn tại và chỉ phụ thuộc vào x và
n→∞

f.

Từ phép đạo hàm D là tuyến tính và bị chặn ta suy ra ngay bổ đề sau.
2.1.12 Bổ đề. Cho A là một đại số Banach giao hoán và D là phép
đạo hàm trên A. Giả sử (an ), (bn ) là các dãy hội tụ tới a thì (D(an )),
(D(bn )) hội tụ tới D(a).