phương pháp giải toán lượng giác

Bằng các kỹ năng rèn luyện cho học sinh thực hành các bài tập một
cách đúng, chính xác, nhanh và hiệu quả các phương trình lượng giác một
cách hiệu quả nhất.
- Khả năng tư duy trước những bài toán vừa, khó và khó từ đó tìm ra
các phương pháp giải các bài tốn có tính trừu tượng cao hơn nhàm nâng cao
khả năng tư duy nhìn nhận trước các bài tốn địi hỏi tính logic chặt chẽ và sự
móc xích giữa các vấn đề trong bài tốn, từ đó đưa ra con đường, hướng giải
hợp lý nhất.
- Vấn đề rèn luyện kỹ năng áp dụng phương pháp dạy toán vào công
thức lượng giác là một vấn đề không phải dễ nhưng nó cũng khơng có gì khó
nếu người giáo viên thực sự chú trọng và quan tâm tìm hiểu các dạng tốn về
lượng giác một cách thích hợp để dần dần nâng cao năng lực của mình.
- Vấn đề rèn luyện kỹ năng áp dụng vào phương pháp dạy toán lượng
khác khơng chỉ địi hỏi người giáo viên phải có năng lực mà cần có kỹ năng
nhìn nhận bài tốn, về tính đa dạng đầy đủ mang tính phong phú về chiều sâu
và chiều rộng của lượng giác. Ngoài ra cần đòi hỏi học sinh phải nắm bắt
hiểu được và đầy đủ nội dung của nó một cách sâu sắc để có thể nhìn nhận bài
tốn và đưa ra phương pháp giải thích hợp nhất. Vấn đề giải tốn lượng giác
cũng khơng thật sự khó khăn hay rắc rối mà mấu chốt là hầu như học sinh có
thể giải được nhưng vì khơng biết điều kiện đối chiếu nghiệm hoặc là đối
chiếu nghiệm khơng đúng. Cũng có những trường hợp thuộc công thức lượng
giác nhưng vấn đề là không biết áp dụng đâu cho phù hợp. Chính vì vậy
chúng ta cần nắm vững cơng thức và vận dụng nó một cách linh hoạt nhất.

CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ CÁCH GIẢI ĐẶC BIỆT


Chúng ta đã biết có nhiều phương pháp để giải phương trình lượng
giác, phương pháp hay dùng nhất là biến đổi để đưa về dạng tích. Tuy nhiên
có một số phương trình lượng giác đặc biệt thể hiện tính khơng mẫu mực ở
ngay dạng của chúng. Cũng có những phương trình lượng giác ta thấy dạng

rất bình thường nhưng có cách giải lại khơng mẫu mực. Vì vậy mục đích của
chuyên đề này nhằm giới thiệu đến quý thầy cô và các em một số phương
pháp giải các phương trình lượng giác đặc biệt.
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG CỦA CÁC PHẦN
TỬ KHÔNG ÂM.
Nội dung phương pháp:
 A1 = 0
A = 0

A1 + A2 + ... + An = 0 ⇔  2
( Ai ≥ 0, i = 1, 2,...n )
...

 An = 0

Ví dụ 1: Giải phương trình cos 2 x − 4 cos x − 2 x sin x + x 2 + 3 = 0
Giải:
cos 2 x − 4 cos x − 2 x sin x + x 2 + 3 = 0 ⇔ x 2 − 2 x sin x + 1 + cos 2 x − 4 cos x + 2 = 0
⇔ ( x 2 − 2 x sin x + sin 2 x) + (2 cos 2 x − 4 cos x + 2) = 0 ⇔ ( x − sin x) 2 + 2(cos x − 1) 2 = 0
 x − sin x = 0
sin x = x
⇔
⇔
⇔ x=0
cos x − 1 = 0
cos x = 1

Ví dụ 2: Giải phương trình 8cos 4 x cos 2 2 x + 1 − cos 3 x + 1 = 0
Giải:
8cos 4 x cos 2 2 x + 1 − cos 3 x + 1 = 0 ⇔ 4 cos 4 x(1 + cos 4 x) + 1 − cos 3 x + 1 = 0

⇔ (4 cos 2 4 x + 4 cos 4 x + 1) + 1 − cos 3 x = 0 ⇔ (2 cos 4 x + 1) 2 + 1 − cos 3 x = 0
1

2 cos 4 x + 1 = 0
cos 4 x = −
⇔
⇔
2
 1 − cos 3x = 0
cos 3 x = 1


Ví dụ 3. Giải phương trình

sin10 x + cos10 x
sin 6 x + cos 6 x
=
4
4 cos 2 2 x + sin 2 2 x

Giải:
3
sin 6 x + cos 6 x = 1 − sin 2 2 x;
4

4 cos 2 2 x + sin 2 2 x = 4 − 3sin 2 2 x

Do đó phương trình đã cho
3
1 − sin 2 2 x

sin10 x + cos10 x
sin 6 x + cos 6 x
sin10 x + cos10 x
1
4
=
⇔
=
=
2
2
2
4
4 cos 2 x + sin 2 x
4
4 − 3sin 2 x 4
10
10
2
10
2
10
⇔ sin x + cos x = 1 ⇔ (sin x − sin x) + (cos x − cos x) = 0
2
10
2
8
sin x − sin x = sin x(1 − sin x) ≥ 0
Ta có  2
10

2
8
cos x − cos x = cos x(1 − cos x) ≥ 0

sin 2 x − sin10 x = 0
sin 2 x(1 − sin 8 x) = 0
⇔ 2
⇔ 2
10
8
cos x − cos x = 0
cos x (1 − cos x) = 0

Pt
sin x = 0 ∨ sin x = ±1
π
⇔
⇔ x=k
2
cos x = 0 ∨ cos x = ±1

II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN.
Ví dụ 1. Giải phương trình
π
4

Giải: Đặt t = x + ⇒ 6 x = 6t −

π


32 cos 6  x + ÷− sin 6 x = 1
4

3π
2

Phương trình trở thành
3

3

3π 
 1 + cos 2t 

 1 + cos 2t 
32 
÷ − sin  6t −
÷ = 1 ⇔ 32 
÷ − cos 6t = 1
2
2 
2





2
3
3

⇔ 4(1 + 3cos 2t + 3cos 2t + cos 2t ) − (4 cos 2t − 3cos 2t ) = 1
⇔ 4 cos 2 2t + 5cos 2t + 1 = 0


Ví dụ 2. Giải phương trình

cos 2 x = cos

4x
3

Giải
cos 2 x = cos

Đặt t =

4x
1 + cos 2 x
4x
1
2x 
4x
⇔
= cos
⇔ 1 + cos 3. ÷ = cos
3
2
3
2
3 

3

2x
1
, phương trình trở thành: (1 + cos 3t ) = cos 2t (dùng công thức
3
2

nhân đôi, nhân ba khai triển để giải tiếp)
III. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
Ví dụ 1. Giải phương trình

sin 2 x + 2 + 5 − cos 2 x = 2

Giải:
Đặt a = sin 2 x + 2; b = 5 − cos 2 x
1

 a = 2
a + b = 2
⇔
Pt ⇔  2 2
 a − b = −2
b = 3

2

Ví dụ 2. Giải phương trình ( 3 cos x ) 2 + 3 sin 2 x − 3 = − 3 2
Giải: Đặt a = ( 3 cos x ) , b = 3 sin 2 x − 3
2

3
a + b = − 2
⇔
Lúc đó phương trình  3 3
a + b = −2

IV. PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP.
Để giải phương trình f ( x) = g ( x) , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh
tồn tại A sao cho f ( x) ≥ A, ∀x ∈ (a, b) và g ( x) ≤ A, ∀x ∈ (a, b) thì khi đó:
 f ( x) = A
f ( x) = g ( x) ⇔ 
 g ( x) = A


Nếu ta chỉ có f ( x) > A và g ( x) < A , ∀x ∈ (a, b) thì kết luận phương trình
vơ ngiệm.
Ví dụ 1. Giải phương trình
cos5 x + x 2 = 0 ⇔ x 2 = − cos5 x

Giải: Vì − 1 ≤ cos x ≤ 1 nên 0 ≤ x 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1
−π π 
,  ⇒ cos x > 0, ∀x ∈ [ − 1,1] ⇒ − cos 5 x < 0, ∀x ∈ [ − 1,1]
2
2



mà [ − 1,1] ⊂ 

Do x 2 ≥ 0 và − cos 5 x < 0 nên phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos x

1
1
− 1 + cos 3x
−1 = 1
cos x
cos 3x

cos x > 0
cos 3 x > 0

Điều kiện: 

Khi đó pt ⇔ cos x − cos 2 x + cos 3x − cos 2 3x = 1
1
4

1
2

Vì a 2 − a + = (a − ) 2 ≥ 0 ⇒ a − a 2 ≤
Do đó cos x − cos 2 x ≤
⇒ cos x − cos 2 x ≤

1
4

1

1
và cos 3x − cos 2 3x ≤
4
4

1
1
và cos 3 x − cos 2 3 x ≤
2
2

1
1


2
cos x − cos x = 4
cos x = 2
⇔
⇔ x∈∅
Dấu bằng xảy ra ⇔ 
cos 3 x − cos 2 3 x = 1
cos 3 x = 1
4
2



Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình

sin 2012 x + cos 2012 x = 1


Giải : Pt ⇔ sin 2012 x + cos2012 x = sin 2 x + cos 2 x
⇔ sin 2 x(sin 2010 x − 1) = cos 2 x(1 − cos 2010 x) (*)
sin 2 x ≥ 0
⇒ sin 2 x(sin 2010 x − 1) ≤ 0, ∀x
Ta thấy  2010
x ≤1
sin
2
cos x ≥ 0
⇒ cos 2 x (1 − cos 2010 x) ≥ 0, ∀x
Mà 
2010
1 − cos x ≥ 0

  x = mπ

 sin x = 0
  x = π + mπ

sin x = ±1
sin 2 x(sin 2010 x − 1) = 0


2
⇔
⇔
(m, n ∈ Z )

Do đó (*) ⇔  2
2010
cos x(1 − cos x) = 0
 cos x = 0
  x = π + nπ
 cos x = ±1  
2

  x = nπ


π
2

Vậy nghiệm của phương trình là: x = k (k ∈ Z )
Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng
những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây:
sin ax = 1

sin bx = 1
sin ax. sin bx = 1 ⇔ 
sin ax = −1

sin bx = −1

sin ax = 1

sin bx = −1
sin ax. sin bx = −1 ⇔ 
sin ax = −1


sin bx = 1

Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:
cos ax. cos bx = 1
cos ax. cos bx = −1
sin ax. cos bx = 1
sin ax. cos bx = −1


Ví dụ 4. Giải phương trình
Với điều kiện x ≠ k

1
(tan x + cot x) n = cos n x + sin n x (n = 2,3, 4,...)
4

π
ta có tan x và cot x luôn cùng dấu nên:
2
n

1
1
1
1
tan x + cot x = tan x + cot x ≥ 2 tan x ⋅ cot x = 1 ⇒ tan x + cot x ≥ 1
4
4
4

4

Dấu "=" xảy ra ⇔ tan x =
•

2

1
Với n = 2 : phương trình  tan x + cot x  = 1 có nghiệm cho bởi:
4



tan x = ±

•

1
1
1
cot x ⇔ tan 2 x = ⇔ tan x = ±
4
4
2

1
1
⇔ x = ± arctan + kπ (k ∈ Z )
2
2

Với n ∈ Z , n > 2 thì:

cos n x + sin n x ≤ cos 2 x + sin 2 x = 1

π

 x = k 2 khi n = 2m
(k , m ∈ Z )
Dấu bằng xảy ra ⇔ 
 x = 2kπ hay x = π + 2kπ khi n = 2m + 1

2

(đều không thoả mãn điều kiện x ≠ k

π
của phương trình)
2

Vậy với n > 2, n ∈ Z thì phương trình vơ nghiệm.
1
2

ĐS x = ± arctan + kπ (k ∈ Z )
V. PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH
TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM
Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm
của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong
những cách thông dụng sau:

• Dùng tính chất đại số
• Áp dụng tính đơn điệu của hàm số
Phương trình f ( x) = 0 có 1 nghiệm x = α ∈ (a, b) và hàm f đơn điệu
trong (a, b) thì f ( x) = 0 có nghiệm duy nhất là x = α .
Phương trình f ( x) = g ( x) có 1 nghiệm x = α ∈ (a, b) , f (x) tăng (giảm)
trong (a, b) , g (x) giảm (tăng) trong (a, b) thì phương trình f ( x) = g ( x) có
nghiệm x = α là duy nhất.
Ví dụ 1. Giải phương trình: cos x = 1 −

x2
với x > 0
2

Giải
Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm x = 0 .
Đặt

x2
f ( x) = cos x +
−1
2

có đạo hàm f '( x) = − sin x + x ≥ 0, ∀x ≥ 0 (vì

x > sin x , ∀x )
⇒ Hàm f luôn đơn điệu tăng trong [ 0; +∞ )
⇒ f ( x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất trong [ 0; +∞ )

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = 0 .
Ví dụ 2. Giải phương trình:
sin x + tan x − 2 x = 0 với 0 ≤ x ≤

π
2

Giải
Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm x = 0
 π
Đặt f ( x) = sin x + tan x − 2 x liên tục trên 0; 


Có đạo hàm: f ' ( x) =

2

(cos x − 1)(cos 2 x − cos x − 1)
 π
≥ 0 , ∀x ∈ 0; 
2
cos x
 2


do

1− 5
1+ 5
< 0 ≤ cos x ≤ 1 <

⇒ cos 2 x − cos x − 1 < 0
2
2

 π
⇒ f đơn điệu tăng trên 0; 
 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Ta có 3 kĩ năng giải phương trình lượng giác tổng quát
Kĩ năng 1: Phát hiện các biểu thức đặc biệt:
Chú ý đến những biểu thức đặc biệt (khi trong pt có những biểu thức
này ta nên biến đổi theo hướng sau) để xác định nhanh hướng biến đổi, đặc
biệt là trong những phương trình tích:
(chỉ cần nhớ hướng biến đổi)
tan u + tan v =

sin u.cos v + sin v.cos u sin(u + v)
=
cos u.cos v
cos u.cos v

tanu + tanv=\frac{sinu}{cosu}+\frac{sinv}{cos}=\frac{sinu
.cosv+sinv.cosu}{cosu.cosv}=\frac{sin(u+v)}{cosu.c osv}
tanu + cotv =

cos(u − v )
Các dạng
cos u.sin v

1+tanu.tanv
1-cotu.cotv
1-tanu.cotv
Viết dưới dạng sin, cos rồi qui đồng dùng cơng thức cộng
Nói chung có dạng \frac{sin}{cos} \pm \frac{cos}{sin}
Khi gặp các biểu thức dạng nàytrong pt, ta lấy ra biến đổi riêng.
sin^2x

= 1 - cos^2x = (1 - cosx)(1 + cosx)

sin 2 x = 1 − cos 2 x = (1 − cos x)(1 + sin x)

cos^2x

= 1 - 2sin^2x = (1 - sinx)(1 + sinx)=1-2sin2x=2cos2x-1


cos2x=cos^2x-sin^2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx)
= cos2x – sin2x +(sinx+cosx)(cosx-sinx)
1+sin2x = (cosx+sinx)2
1-sin2x=(cosx-sinx)^2 = (cosx – sinx)2
Khi gặp các biểu thức dạng này, ta chỉ dùng khi trong pt có các số hạng
trùng với nhân tử của nó.
sqrt{3}:Khi gặp số sqrt{3}, sqrt{3}cosx hay gom với sinx,sqrt{3}sinx
hay gom với cosx
VD:giải pt: cotx-tanx+4sin2x=\frac{2}{sin2x} cotx – tanx =
ĐK:sin2x\not=\0
Trong pt có biểu thức cotx-tanx: biến đổi cụm nay trước:
ta

có:cotx-tanx=\frac{cosx}{sinx}-\frac{sinx}{cosx}=\frac{cos^2x-

sin^2x}{sinx.cosx}
vậy pt:
\frac{2cos2x}{sin2x}+4sin2x=\frac{2}{sin2x}\Leftri
2cos2x=4sin^2x=2
chuyển về cùng ĐK:
VD PT: 4 cos 2 x + 2 cos 2 x + 2 = 0
4cos^2x+2cos2x+2=0\
trường hợp thứ nhất loại vì cos2x=1 thì sin2x=0
Kĩ năng 2: nhìn các biểu thức cùng cung, cùng loại.
Gom các biểu thức cùng cung lại xem có cơng thức đặc biệt ko? Nếu có
cơng thức đặc biệt thì đi theo hướng này.
Tỉ lệ hệ số trong là \le2 thì thường ta dùng cơng thức đưa các biểu thức


về cùng cung. Ví dụ trong phương trình lượng giác có x.2x,3x ta có thể tìm
cách đưa về x; trong phương trình có 2x,4x có thể đưa về các giá trị của 2x...
Trong phương trình nếu có cả sin, cos, tan(hoặc cot) thì đưa về tan, cot
về dạng \frac{sin}{cos},\frac{cos}{sin}.
Ví dụ1: Giải phương trình: sin2x+sinx = 2cot2x (1)
Cách thử ĐK: cos2x=0 thì sin2x\not=0(thỏa), cịn lại tính 2x thử sin.
Ví dụ 2: giải phương trình: sin2x+2sin\left(\frac{\pi}{2}+2x=1+sinx4cosx) (1)
Chú ý cơng thức liên kết, đưa về cùng cung:
sin\left(\frac{\pi}{2}+2x)=cos2x
(1) \Leftri 2sinxcosx+2cos2x-sinx+4cosx-1=0
cos2x=2cos^2x-1 hay 1-2sin^2x hay cos^2x-sin^2x???
= 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x = cos 2 x − sin 2 x

Có tổng, tích hai đại lượng: sinx và cosx ta phân tích thành nhân tử.

Kĩ năng phân tích thành nhân tử: Gom các số hạng có tỉ lệ hệ số bằng
nhau; quan niệm phương trình bậc hai theo một ẩn để phân tích thành nhân tử:
+ nếu quan niệm theo B2 đối với sinx, ta đưa cos2x=1-sin^2x. Phương
trình chia làm 2 cụm:
(-4sin^2x-sinx+1) và (2sinxcosx+4cosx), phương trình đầu ko có
nghiệm đặc biệt nên ko thê quan niệm bậc hai theo phương trình bậc hai đối
với sinx được.
+ Vậy quan niệm theo đối với cosx, ta đưa cos2x=2cos^2x-1
(1) \Leftri (4cos^2x+4cosx-3)+(2sinxcosx-sinx)=0
\Leftri (2cosx-1)(2cosx+3)+sinx(2cosx-1)=0
\Leftri (2cosx-1)(2cosx+sinx+3)=0 \Leftri\[\begin{cosx=\frac{1}{2}}\\


{2cosx+sinx+3=0}
cosx=\frac{1}{2}\Leftri x=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi(k\in Z)
2cosx+sinx+3=0 (vơ nghiệm do 2^2+1^2<3^2)
Kĩ năng 3: Nhìn biểu thức trong, hệ số ngồi.
Hệ số ngồi:
Nếu có cùng tỉ lệ thì thường gom các biểu thức cùng tỉ lệ để phân tích
nhân tử.
Chú ý hệ số ngồi ko giống nhau thì ko áp dụng cơng thức lượng giác
được, như vậy các số hạng có hệ số ngồi khác hẳn(như 3va5...)thì ta ko gom
lai với nhau.
Trong bài tốn có phân số:
+ Mẫu số đơn giản: quy đồng, nhân chéo được.
+ Mẫu số phức tạp: rút gọn phân số trước.
Biểu thức trong:
Xem các biểu thức có mối quan hệ gì với nhau để áp dụng công thức
+ Chú ý tổng, hiệu các hệ số trong xem có bằng nhau ko để xác định
cách sử dụng công thức, VD A + B = C thì liên tưởng tới cơng thức tích thành

tổng.
+ A + B = 2C thì liên tưởng tới cơng thức tổng thành tích...
(2) \Leftri \sqrt2cos(\frac{3x}{2})[\sqrt2cos(x+\frac{\pi}{4})+1]=0
\Leftri\[\begin{cos(\frac{3x}{2})=0}\\{cos(x+\frac{\pi}{4}) }=\frac{-1}
{\sqrt2}
Ta có 3 kĩ năng giải phương trình lượng giác tổng quát
Kĩ năng 1:
Phát hiện các biểu thức đặc biệt:


Chú ý đến những biểu thức đặc biệt (khi trong pt có những biểu thức
này ta nên biến đổi theo hướng sau) để xác định nhanh hướng biến đổi, đặc
biệt là trong những phương trình tích:
(chỉ cần nhớ hướng biến đổi)

tan a + tan b ⇒ sin a + cos b + cos a.sin b ⇒ sin a cos b + cos a.sin b ⇒ sin( a + b)

Đưa về các dạng
1. 1+tanu.tanv
2. 1-cotu.cotv
3. 1-tanu.cotv
Viết dưới dạng sin, cos rồi qui đồng dùng cơng thức cộng
Nói chung có dạng sin a cos b ± cos a.sin b
Khi gặp các biểu thức dạng nàytrong pt, ta lấy ra biến đổi riêng.
1 − cos 2 x = (1 + cos)(1 − sin x) = cos 2 x
cos 2 x = (1 − sin 2 x) = (1 − sin x)(1 + sin x)
cos 2 x = (cos x − sin x)(cos x + sin x)
1 + sin 2 x = (cos x + sin x)2
1 − sin 2 x = (cos x − sin x)2

•
•

Khi gặp các biểu thức dạng này, ta chỉ dùng khi trong pt có các số
hạng trùng với nhân tử của nó.
•

:Khi gặp số , cosx hay gom với sinx, sinx hay gom với cosx


VD:giải pt: cot x − tan x + 2sin 2 xcox = sin 2 x
ĐK:
Trong pt có biểu thức cotx-tanx: biến đổi cụm nay trước:
Ta có:
cot x − tan x =

cos 2 x − sin 2 x
sin x.cos x

vậy pt:
chuyển về cùng ĐK:
trường hợp thứ nhất loại vì cos2x=1 thì sin2x=0
Kĩ năng 2: nhìn các biểu thức cùng cung, cùng loại.
•

Gom các biểu thức cùng cung lại xem có cơng thức đặc biệt ko? Nếu

có cơng thức đặc biệt thì đi theo hướng này.
•

Tỉ lệ hệ số trong là

thì thường ta dùng công thức đưa các biểu

thức về cùng cung. Ví dụ trong phương trình lượng giác có x.2x,3x ta có thể
tìm cách đưa về x; trong phương trình có 2x,4x có thể đưa về các giá trị của
2x...
Trong phương trình nếu có cả sin, cos, tan(hoặc cot) thì đưa về tan, cot
về dạng .
Ví dụ1: Giải phương trình:
(1)
ĐK:
Khơng có biểu thức đặc biệt, biểu thức trong là x và 2x: gom các biểu
thức cùng cung lại:
có cơng thức đặc biệt là: 1-sin^2 = 1 – sin2x


có cơng thức đặc biệt. Như vậy trước hết gom các biểu thức này biến
đổi trước.
(Vì có nhân tử chung ta đặt nhân tử chung)
Cách thử ĐK:

thì

(thỏa), cịn lại tính 2x thử sin2x.

Ví dụ 2: giải phương trình: (1)
Chú ý cơng thức liên kết, đưa về cùng cung: (1)
Có tổng, tích hai đại lượng: sinx và cosx ta phân tích thành nhân tử.
Kĩ năng phân tích thành nhân tử: Gom các số hạng có tỉ lệ hệ số bằng nhau;

quan niệm phương trình bậc hai theo một ẩn để phân tích thành nhân tử:
+ nếu quan niệm theo B2 đối với sinx, ta đưa . Phương trình chia làm 2
cụm:
(

và , phương trình đầu ko có nghiệm đặc biệt nên ko thê quan

niệm bậc hai theo phương trình bậc hai đối với sinx được.
+ Vậy quan niệm theo đối với cosx, ta đưa

2cosx+sinx+3=0 (vơ nghiệm do )
Kĩ năng 3: Nhìn biểu thức trong, hệ số ngồi.
Hệ số ngồi:
•

Nếu có cùng tỉ lệ thì thường gom các biểu thức cùng tỉ lệ để phân

tích nhân tử.
•

Chú ý hệ số ngồi ko giống nhau thì ko áp dụng cơng thức lượng

giác được, như vậy các số hạng có hệ số ngồi khác hẳn(như 3va5...)thì ta ko
gom lai với nhau.
•

Trong bài tốn có phân số:

+ Mẫu số đơn giản: quy đồng, nhân chéo được.

+ Mẫu số phức tạp: rút gọn phân số trước.
Biểu thức trong:
•

Xem các biểu thức có mối quan hệ gì với nhau để áp dụng công

thức
+ Chú ý tổng, hiệu các hệ số trong xem có bằng nhau ko để xác định
cách sử dụng công thức, VD A + B = C thì liên tưởng tới cơng thức tích thành
tổng.
+ A + B = 2C thì liên tưởng tới cơng thức tổng thành tích...
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
Hệ số ngoài: hai biểu thức đầu giống nhau, biểu thức sau không giống:
bỏ riêng biểu thức số 3 ra; ta chú ý tới 2 biểu thức đầu.
Hệ số trong có mối quan hệ đặc biệt:: ta dùng công thức cộng để đưa về tích,
nhưng trong cơng thức khơng có sin-cos
cơng thức.
Ta có:
Chú ý tới cơng thức phụ:

ta đổi cos thành sin để dùng được