GIÁO ÁN ĐSGT11 HK1 THEO CV 5512

Trường:TH
Tổ: TOÁN
Ngày soạn: …../…../2021
Tiết:

Họ và tên giáo viên:
Ngày dạy đầu tiên:……………………………..

CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán – ĐS>: 11
Thời gian thực hiện: ..... tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Nắm được định nghĩa, tính tuần hồn, chu kỳ, tính chẵn lẻ, tập giá trị, tập xác định, sự biến thiên
và đồ thị của các hàm số lượng giác.
- Tìm được tập xác định của các hàm số đơn giản.
- Nhận biết được tính tuần hồn và xác định được chu kỳ của một số hàm số đơn giản.
- Nhận biết được đồ thị các hàm số lượng giác từ đó đọc được các khoảng đồng biến và nghịch biến
của hàm số.
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Tìm số giao điểm của đường thẳng (cùng phương với trục hoành) với đồ thị hàm số.
2. Năng lực
- Năng lực tự học:Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều
chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.
- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân
tích được các tình huống trong học tập.
- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc
sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm,
các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hồn thành được nhiệm vụ được giao.
- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thơng qua hoạt động nhóm; có

thái độ tơn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.
- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng
góp hồn thành nhiệm vụ của chủ đề.
- Năng lực sử dụng ngơn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngơn ngữ Tốn học.
3. Phẩm chất:
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề tốn học một cách lơgic và hệ thống.
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp
tác xây dựng cao.
- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.
- Năng động, trung thực sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, biết quy lạ về quen, có
tinh thần hợp tác xây dựng cao.
- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
- Kiến thức về hàm số lượng giác
- Máy chiếu
- Bảng phụ
- Phiếu học tập
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC :


1.HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU
a) Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận với khái niệm hàm số lượng giác.
b) Nội dung: Cho học sinh quan sát hiện tượng:
Khi ta gõ trống, gảy đàn, thổi sáo hay mở miệng ra nói chuyện, tai ta sẽ nghe và cảm nhận được âm
thanh phát ra. Vật tạo ra âm thanh được gọi là nguồn phát âm, hay nguồn âm. Âm thanh (sound) là
dao động cơ lan truyền trong môi trường và tai ta cảm nhận được. Âm thanh nói riêng và các dao
động cơ nói chung khơng lan truyền qua chân khơng vì khơng có gì để truyền sóng. Âm thanh là
phương tiện trao đổi thông tin, liên lạc với nhau (communication media) phổ biến nhất của con
người, bên cạnh phương tiện hình ảnh. Như vậy nghiên cứu âm thanh có hai mặt: Đặc trưng vật lý
(lý tính) và đặc trưng sinh học. Vật lý khách quan: nguồn tạo ra âm thanh, tính chất lan truyền, đặc

tính âm thanh...

Biểu diễn tín hiệu theo thời gian
Nếu ta biểu diễn tín hiệu của âm thanh trên gắn vào hệ trục tọa độ như hình vẽ trên ( giả thiết
[ b; c ] là các tập đối xứng và a = 2b )
,

[ a; d ]

[ a; b] ; [ b;0] ; [ 0; c ] ; [ c; d ] ?
H1- Ta có nhận xét gì về đồ thị hàm số trên các đoạn
H2- Liệu có xác định đồ thị trên là đồ thị của hàm số nào mà chúng ta đã được học không?
c) Sản phẩm:
Câu trả lời của HS
L1- Trên các đoạn đó đồ thị có hình dạng giống nhau.
r
v = ( b − a;0 )
[ a; b] thành đoạn [ b;0] ; biến đoạn [ b;0]
Qua phép tịnh tiến theo
biến đồ thị đoạn
[ 0;c ] ; biến đoạn [ 0; c ] thành đoạn [ c; d ] .
thành đoạn
L2- Chúng ta thấy các đồ thị đã học không có đồ thị nào có hình dạng như thế.
d) Tổ chức thực hiện:
*) Chuyển giao nhiệm vụ : GV nêu câu hỏi.
*) Thực hiện: HS suy nghĩ độc lập.
*) Báo cáo, thảo luận:
- GV gọi lần lượt 2 hs, lên bảng trình bày câu trả lời của mình .
- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.
*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.
- Dẫn dắt vào bài mới.
2. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI:
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH TUẦN HỒN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
a) Mục tiêu:
- Hình thành khái niệm và tính tuần hồn của hàm số sin, hàm số cơsin, hàm số tang, hàm số
côtang.
b) Nội dung:
GV hướng dẫn, tổ chức học sinh tự đọc trước ở nhà, tìm tịi các kiến thức liên quan đến hàm số


lượng giác trình bày vào phiếu học tập và lên lớp thuyết trình:
H1- Em hãy nêu khái niệm và tính tuần hồn của hàm số sin và hàm số cơsin?
H2- Em hãy nêu khái niệm và tính tuần hồn của hàm số tang và hàm số côtang?
c) Sản phẩm: Bài làm của HS
1. Hàm số sin
Quy tắc đặt tương ứng
¡
sin: ¡
y = sin x

x

gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sin x .
•
TXĐ: D = ¡ .

[ −1;1] .

•

Tập giá trị:

•

Là hàm số lẻ và tuần hồn với chu kì 2π .

2. Hàm số cơsin
Quy tắc đặt tương ứng:
cos: ¡
x

¡
y = cos x

gọi là hàm số cơsin, kí hiệu y = cos x .
•
TXĐ: D = ¡ .

[ −1;1] .

•

Tập giá trị:

•

Là hàm số chẵn và tuần hồn với chu kì 2π .

3. Hàm số tang

Hàm số tang là hàm số xác định bởi cơng thức

•
•
•

y=

sin x
( cos x ≠ 0 )
cos x
. Kí hiệu: y = tan x .

π

D = ¡ \  + kπ | k ∈ ¢ 
2
.
TXĐ:
Tập giá trị: ¡ .
Là hàm số lẻ và tuần hồn với chu kì π .

4. Hàm số côtang
Hàm số côtang là hàm số xác định bởi công thc:

ã
ã
ã

TX:

D = Ă \ { k | k Â}

y=

cos x
( sin x ≠ 0 )
sin x
. Kí hiệu: y = cot x .

.

Tập giá trị: ¡ .
Là hàm số lẻ và tuần hồn với chu kì π .

d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao

- GV đặt vấn đề cho HS nghiên cứu trước ở nhà.
- Chia lớp thành 4 nhóm:
+) Nhóm 1, 2 hồn thành câu hỏi số 1;
+) Nhóm 3, 4 hoàn thành câu hỏi số 2.


+) Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ.
Thực hiện

- Các nhóm tìm hiểu, thảo luận đưa ra các khái niệm, tính chất của các hàm số rồi
trình bày trong phiếu học tập. Tổng hợp kết quả vào bảng phụ.
- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm khơng

hiểu nội dung cần trình bày.

Báo cáo thực
hiện

- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời của nhóm.
- GV gọi 2 HS của 2 nhóm lên trình bày lời giải cho nhóm.
- HS khác quan sát, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm các nhóm bạn.
- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời.

Đánh giá,
nhận xét, tổng
hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên
dương học sinh hồn thành tốt. Động viên các học sinh cịn lại tích cực, cố gắng
hơn trong các hoạt động học tiếp theo.
- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận, và tổng hợp hình thành khái
niệm và tính tuần hồn của hàm số lượng giác.

II. SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HĐ1. Hàm số y = sin x

[ 0; π ] và trên ¡ .
a) Mục tiêu: Nắm được sự biến thiên của hàm số y = sin x trên đoạn
b) Nội dung: GV yêu cầu HS nghiên cứu SGK và trả lời các câu hỏi:
π 
π 
y ÷
y ÷

CH1: Hãy so sánh  6  và  3  ?
 5π 
 2π 
y
y
÷
÷
CH 2: Hãy so sánh  6  và  3  ?

CH3: Hãy so sánh

y ( x1 )

 π
x1, , x2 ∈ 0; 
y ( x2 )
 2  và x1 < x2 ?
và
với

π 
x1, , x2 ∈  ; π 
y ( x1 )
y ( x2 )
 2  và x1 < x2 ?
CH4: Hãy so sánh
và
với
CH5: Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x trên tập xác định ¡ hãy chỉ ra điểm nằm trên đồ thị có tung
độ nhỏ nhất và lớn nhât ?

c) Sản phẩm:

1. Hàm số y = sin x

[ 0; π ]
a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn
 π
0; 
- Hàm số y = sin x đồng biến trên  2  và nghịch biến trên
Bảng biến thiên

[ −π ; π ]
- Đồ thị của hàm số y = sin x trên đoạn

π 
 2 ; π 


[ 0; π ] :
Đồ thị của hàm số y = sin x trên đoạn

b) Đồ thị của hàm số y = sin x trên tập xác định ¡
Dựa vào tính tuần hồn với chu kỳ 2π . Do đó muốn vẽ đồ thị của hàm số y = sin x trên tập xác
r
−π ; π ]
v = ( 2π ;0 )
[
y
=
sin

x
¡
định , ta tịnh tiến tiếp đồ thị hàm số
trên đoạn
theo các véc tơ
và
r
−v = ( −2π ;0 )
.
Giá trị lớn nhất của bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng −1 .
Vậy tập giá trị của hàm số là

[ −1;1] .

d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
Thực hiện
Báo cáo thảo luận

Đánh giá, nhận xét,
tổng hợp

- GV giao nhiệm vụ cho HS: nghiên cứu SGK, quan sát màn chiếu và trả
lời các câu hỏi.
- HS nghiên cứu tài liệu, thảo luận trả lời các câu hỏi của GV.
- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ.
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm.

[ 0; π ] .
- HS nêu được sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = sin x trên

- HS nêu được sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = sin x trên ¡ .
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh
cịn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.
- Chốt kiến thức về sự biến thiên của hàm số y = sin x .

HĐ2. Hàm số y = cos x

a) Mục tiêu: Nắm được sự biến thiên của hàm số y = cos x trên ¡ .
b) Nội dung: GV yêu cầu HS đọc SGK và trả lời các câu hỏi:

π

sin  x + ÷
2  và cos x ?

CH1: Hãy so sánh
CH2: Từ đồ thị hàm số y = f ( x + α ) nêu cách vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) ( với α là hằng số dương)
CH3: Có thể nêu cách vẽ của đồ thị hàm số y = cos x thông qua đồ thị hàm số y = sin x được
không?
c) Sản phẩm:
2. Hàm số y = cos x

π

sin  x + ÷ = cos x
2

Với mọi x ∈ ¡ ta có đẳng thức
.

r  π 
v =  − ;0÷
 2  ( tức là sang bên trái một đoạn có độ
Tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo véc tơ
π
dài bằng 2 ) thì ta được đồ thị hàm số y = cos x .

[ −π ;0] và nghịch biến trên
Từ đồ thị hàm số ta suy ra hàm số y = cos x đồng biến trên đoạn
[ 0; π ] .
đoạn
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
Thực hiện
Báo cáo thảo luận
Đánh giá, nhận xét,
tổng hợp

- GV giao nhiệm vụ cho HS: nghiên cứu SGK, quan sát màn chiếu và trả
lời các câu hỏi.
- HS nghiên cứu tài liệu, thảo luận trả lời các câu hỏi của GV.
- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ.
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm.
- HS nêu được sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cos x trên ¡ .
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh
cịn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.
- Chốt kiến thức về sự biến thiên của hàm số y = cos x .

HĐ3. Hàm số y = tan x
a) Mục tiêu: Xác định được: tập xác định; tính chất chẵn, lẻ; tính tuần hồn; chu kì; khoảng đồng
biến, nghịch biến của hàm số y = tan x ;
- Vẽ được đồ thị của hàm số y = tan x .
b) Nội dung: GV yêu cầu HS đọc SGK và trả lời các câu hỏi:
CH1: Từ định nghĩa hãy xác định tập xác định, tính chẵn lẻ của hàm số y = tan x ?
CH2: Từ định nghĩa hãy xác định chu kì tuần hồn của hàm số y = tan x và từ đó tìm cách vẽ đồ
 π π
− ; ÷
y
=
tan
x
thị hàm số
trên khoảng  2 2  và tập xác định D ?
 π
 0; 2 ÷
y
=
tan
x
?
CH3: Trình bày sự biến thiên của đồ thị hàm số
trên nửa khoảng
CH4: Tìm tập giá trị và vẽ đồ thị hàm số y = tan x trên D ?
3π 

 −π ; 2 
CH5: (VD1) Hãy xác định giá trị của x trên đoạn

để hàm số y = tan x :
a) Nhận giá trị bằng 0 ;

b) Nhận giá trị −1 ;


c) Nhận giá trị âm;
d) Nhận giá trị dương.
c) Sản phẩm:
3. Hàm số y = tan x .
Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = tan x :
π

D = Ă \ + k , k Â
2
;
ã Có tập xác định là

• Là hàm số lẻ;
• Là hàm số tuần hồn với chu kì π .
 π
0; ÷
a) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = tan x trên nửa khoảng  2 

 π
x1 , x2 ∈ 0; ÷
 2  và x1 < x2 thì tan x1 < tan x2 . Điều đó chứng tỏ hàm số
Từ hình vẽ, ta thấy với
 π
0;

y = tan x đồng biến trên nửa khoảng  2 ÷
.

Bảng biến thiên

Để vẽ đồ thị hàm số hàm số y = tan x trên nửa khoảng ta làm như sau: Tính giá trị của hàm số
π
π
π
x=
x=
x=
y = tan x tại một số điểm đặc biệt như x = 0 ,
6,
4,
3 ,… rồi xác định các điểm
π

π  π

π  π

π

( 0; tan 0 ) ,  6 ; tan 6 ÷ ,  4 ; tan 4 ÷ ,  3 ; tan 3 ÷ , …
 π
0; 2 ÷
y
=
tan

x
 đi qua các điểm vừa tìm được.
Đồ thị hàm số
trên nửa khoảng
b) Đồ thị hàm số y = tan x trờn D

; ữ

ã th hàm số y = tan x trên  2 2 


• Đồ thị của hàm số y = tan x trên tập xác định D

Tập giá trị của hàm số y = tan x là ¡ .
Ví dụ 1:
a)

x ∈ { −π ; 0; π }

 3π π 5π 
x ∈ − ; ; 
 4 4 4 
b)
 −π   π 
x∈
;0 ÷∪  ; π ÷
 2
 2 
c)
−π   π   3π 


x ∈  −π ;
÷∪  0; ÷∪  π ; ÷
2   2 
2 

d)

d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
Thực hiện

- GV giao nhiệm vụ cho HS: nghiên cứu SGK và trả lời các câu hỏi.
- HS nghiên cứu tài liệu, thảo luận trả lời các câu hỏi của GV.
- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ.
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm.
- HS nêu được tập xác định, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn của hàm số
y = tan x .

Báo cáo thảo luận

 −π π 
; ÷

- HS nêu được cách vẽ đồ thị hàm số y = tan x trên khoảng  2 2  và
tập xác định D .
- HS trình bày được sự biến thiên của đồ thị hàm số y = tan x trên nửa
 π
0; 2 ÷
khoảng

.

- HS tìm được khoảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số y = tan x trên D .
- HS trả lời được ví dụ 1.


Đánh giá, nhận xét,
tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh
cịn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.
- Chốt kiến thức về sự biến thiên của hàm số y = tan x .

HĐ4. Hàm số y = cot x
a) Mục tiêu: Xác định được: tập xác định; tính chất chẵn, lẻ; tính tuần hồn; chu kì; khoảng đồng
biến, nghịch biến của hàm số y = cot x ;
- Vẽ được đồ thị của hàm số y = cot x .
b) Nội dung: GV yêu cầu HS đọc SGK và trả lời các câu hỏi:
CH1: Từ định nghĩa hãy xác định tập xác định, tính chẵn lẻ của hàm số y = cot x ?
CH2: Từ định nghĩa hãy xác định chu kì tuần hồn của hàm số y = cot x và trình bày sự biến thiên

( 0; π ) ?
của đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng
CH3: Tìm tập giá trị và vẽ đồ thị hàm số y = cot x trên D ?
π 
 2 ; π 
x
CH4: (VD2) Hãy xác định giá trị của trên đoạn
để hàm số y = cot x

a) Nhận giá trị bằng 0 ;

b) Nhận giá trị −1 ;
c) Nhận giá trị âm;
d) Nhận giá trị dương.
c) Sản phẩm:
4. Hàm số y = cot x .
Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = cot x :

D = ¡ \ { k , k Â}
ã Cú tp xác định là
;
• Là hàm số lẻ;
• Là hàm số tuần hồn với chu kì π .

( 0; π )
a) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cot x trên khoảng
- Hàm số

y = cot x nghịch biến trong khoảng ( 0; π )

- Bảng biến thiên

( 0; π )
Đồ thị hàm số trên y = cot x khoảng


b) Đồ thị hàm số y = cot x trên D

Tập giá trị của hàm số y = cot x là ¡ .

Ví dụ 2:
π
x=
2
a)
b)

x=

3π
4

π 
x ∈  ;π ÷
2 
c)

d) khơng có giá trị x nào để cot x nhận giá trị dương.
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
Thực hiện

- GV giao nhiệm vụ cho HS: nghiên cứu SGK và trả lời các câu hỏi.
- HS nghiên cứu tài liệu, thảo luận trả lời các câu hỏi của GV.
- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ.
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm.
- HS nêu được tập xác định, tính chẵn lẻ, tính tuần hồn của hàm số
y = cot x .

Báo cáo thảo luận

Đánh giá, nhận xét,
tổng hợp

- HS trình bày được sự biến thiên của đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng
( 0; π ) .
- HS tìm được khoảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số y = cot x trên D .
- HS trả lời được ví dụ 2.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh
cịn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo
- Chốt kiến thức về sự biến thiên của hàm số y = cot x .


3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh biết áp dụng các kiến thức đã học trong bài vào giải quyết các bài tập cụ thể.
b) Nội dung:
PHIẾU HỌC TẬP 1
Câu 1: Khẳng định nào dưới đây là sai ?
A. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.
B. Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
C. Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
Câu 2: Tập xác định của hàm số y = − tan x là:
π

D = ¡ \  + k 2π , k ∈ ¢ 
2
.
A.

C.

D = ¡ \ { k 2π , k ∈ ¢}

.
Câu 3: Tập giá trị của hàm số y = sin 2 x là:
[ −2; 2] .
[ 0; 2] .
A.
B.
Câu 4: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì π .
B. Hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì π .

D. Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.

B.

D = ¡ \ { k π , k ∈ ¢}

.

π

D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢ 
2
.
D.

C.

[ −1;1] .

D.

[ 0;1] .

C. Hàm số y = cot x tuần hồn với chu kì π .
D. Hàm số y = sin 2 x tuần hồn với chu kì π .
Câu 5: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin 2 x − 5 lần lượt là:
A. 3 ; −5 .
B. −2 ; −8 .
C. 2 ; −5 .
D. 8 ; 2 .

π

y = tan  2 x − ÷
3  là:

Câu 6: Tập xác định của hàm số
π
 5π
¡ \ +k 
2 , k ∈Z .
 12
A.

 5π


¡ \  + kπ 
 12
 , k ∈Z .
B.

π
 5π
¡ \ +k 
2 , k ∈Z .
 6
C.

 5π

¡ \  + kπ 
 6
 , k ∈Z .
D.
Câu 7: Tìm điều kiện xác định của hàm số y = tan x + cot x.
π
x ≠ + kπ
2
A. x ∈ R .
B.
, k ∈Z .
kπ
x≠
2 , k ∈Z .
C.
D. x ≠ kπ , k ∈ Z .

Câu 8: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A , B , C , D . Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. y = 1 + sin x .

B. y = 1 − sin x .

C. y = sin x .

D. y = cos x .


Câu 9: Tìm tập xác định D của hàm số y = tan 2 x :
π

D = ¡ \  + k 2π | k ∈ ¢ 
4
.
A.

π

D = ¡ \  + kπ | k ∈ ¢ 
2
.
B.

π
π


π

D = ¡ \  + kπ | k ∈ ¢ 
D = ¡ \  + k | k ∈ ¢
2
4
.
4
.
C.
D.
Câu 10: Trong bốn hàm số: (1) y = cos 2 x , (2) y = sin x ; (3) y = tan 2 x ; (4) y = cot 4 x có mấy
hàm số tuần hồn với chu kỳ π ?
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .
 kπ

D = ¡ \  , k ∈¢
 2
 là tập xác định của hàm số nào sau đây?
Câu 11: Tập
A. y = cot x .
B. y = cot 2 x .
C. y = tan x .

D. y = tan 2 x

Câu 12: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 sin x + 3 .

A. max y = 5, min y = 1 .

B. max y = 5, min y = 2 5 .

C. max y = 5, min y = 2 .
D. max y = 5, min y = 3 .
c) Sản phẩm: học sinh thể hiện trên bảng nhóm kết quả bài làm của mình .
d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1.
HS: Nhận nhiệm vụ.

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ.
HS: 4 nhóm tự phân cơng nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm
vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm.

Báo cáo thảo luận

Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận.
Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn
các vấn đề.

Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi
nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo.

4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG.
a)Mục tiêu: Giải quyết một số bài tốn khó liên quan.
b) Nội dung
PHIẾU HỌC TẬP 2
Câu 1: Số giờ có ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2021 được cho bởi một

π
( t − 60 ) + 10
178
hàm số
, với t ∈ Z và 0 < t ≤ 365 . Vào ngày nào trong năm thì thành phố
A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ?
A. 28 tháng 5 .
B. 29 tháng 5 .
C. 30 tháng 5 .
D. 31 tháng 5 .
y = 4sin

Lời giải
Chọn B


π
π
( t − 60 ) ≤ 1 ⇒ y = 4sin
( t − 60 ) + 10 ≤ 14
178
178

Vì
.
Ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất
sin

⇔ y = 14 ⇔ sin

π
π
π
( t − 60 ) = 1 ⇔ ( t − 60 ) = + k 2π ⇔ t = 149 + 356k
178
178
2
.

0 < t ≤ 365 ⇔ 0 < 149 + 356k ≤ 365 ⇔ −

149
54
356
89 .

Mà
Vì k ∈ ¢ nên k = 0 .
Với k = 0 ⇒ t = 149 tức rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4
có 30 ngày, riêng đối với năm 2021 thì khơng phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa
vào dữ kiện 0 < t ≤ 365 thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).
Câu 2: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước

π
 πt
h = 3cos 
+ ÷+ 12
7=8 4 
trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức
.
Mực nước của kênh cao nhất khi:
A. t = 13 (giờ).

B. t = 14 (giờ).
Lời giải

C. t = 15 (giờ).

D. t = 16 (giờ).

Chọn B
Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất
πt π
 πt π 
⇔ cos  + ÷ = 1 ⇔
+ = k 2π
8 4
 8 4
với 0 < t ≤ 24 và k ∈ ¢ .
Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn.
πt π
+ = 2π

Vì với t = 14 thì 8 4
(đúng với k = 1 ∈¢ ).
Câu 3: Tìm m để hàm số y = 5sin 4 x − 6 cos 4 x + 2 m − 1 xác định với mọi x .
A. m ≥ 1

B.

m≥

61 − 1
2

C.

m≥

61 + 1
2

D.

m<

61 + 1
2

Lời giải
Chọn C
Hàm số xác định với mọi x ⇔ 5sin 4 x − 6 cos 4 x ≥ 1 − 2m ∀x
⇔m≥

Do min(5sin 4 x − 6 cos 4 x) = − 61 ⇒ − 61 ≥ 1 − 2 m
c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày của 4 nhóm học sinh.

61 + 1
2 .

d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao
Thực hiện

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2.
HS: Nhận nhiệm vụ.
Các nhóm HS thảo luận, suy nghĩ, trình bày câu trả lời.

HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm .
Báo cáo thảo luận Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn
các vấn đề.
Đánh giá, nhận

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi


xét, tổng hợp

nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.
- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.
- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ
tư duy.
Ngày......tháng .......năm 2021

TTCM ký duyệt

Trường:……………………………..
Tổ: TOÁN
Ngày soạn: …../…../2021
Tiết:

Họ và tên giáo viên: ……………………………
Ngày dạy đầu tiên:……………………………..

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Mơn học/Hoạt động giáo dục: Tốn – ĐS-GT: 11
Thời gian thực hiện: ..... tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Biết phương trình lượng giác cơ bản sin x = a; cos x = a;tan x = a;cot x = a và công thức nghiệm.
- Nắm được điều kiện của a để các phương trình sin x = a; cos x = a có nghiệm.
- Biết cách sử dụng các kí hiệu arcsin a,arccos a,arctan a,arccot a.
2. Năng lực
- Năng lực tự học:Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh
được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.
- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích
được các tình huống trong học tập.
- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống;
trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân cơng nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các
thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hồn thành được nhiệm vụ được giao.
- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thơng qua hoạt động nhóm; có thái
độ tơn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.
- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp
hồn thành nhiệm vụ của chủ đề.

- Năng lực sử dụng ngơn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngơn ngữ Tốn học.
3. Phẩm chất:
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề tốn học một cách lơgic và hệ thống.
- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.
- Năng động, trung thực, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh
thần hợp tác xây dựng cao.
- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
- Các kiến thức về công thức lượng giác
- Ti vi, máy tính
- Phiếu học tập


III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC :
1. HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU
a) Mục tiêu: tiếp cận phương trình lượng giác cơ bản
b) Nội dung: Ta xét bài toán sau:
Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái đất theo quỹ đạo hình elíp (hình dưới). Độ cao h (tính bằng
π
h = 550 + 450 cos t
50 , trong đó
km) của vệ tinh so với bề mặt trái đất được xác định bởi cơng thức
t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Người ta cần thực hiện một thí
nghiệm khoa học khi vệ tinh cách mặt đất 250 km. Hãy tìm các thời điểm để có thể thực hiện thí
nghiệm đó.

c) Sản phẩm:
550 + 450 cos

π

π
2
t = 250 ⇔ cos t = −
50
50
3

Bài toán này dẫn đến việc giải phương trình
π
2
x= t
cos x = −
50 thì phương trình trên có dạng
3 .
Nếu đặt
d) Tổ chức thực hiện:
*) Chuyển giao nhiệm vụ : GV nêu và trình chiếu câu hỏi, yêu cầu HS làm việc cá nhân để hoàn
thành hệ thống câu hỏi.
*) Thực hiện: Yêu cầu HS suy nghĩ, trao đổi tích cực
GV gợi ý bằng cách đưa ra các các câu hỏi:
- Câu hỏi 1: Nêu u cầu của bài tốn này?
π
x= t
50 thì hãy viết lại phương trình theo x ?
- Câu hỏi 2: Nếu đặt
*) Báo cáo, thảo luận:
- GV gọi lần lượt 2 HS lên bảng trình bày câu trả lời của mình.
- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.
*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:
- GV nhận xét, đánh giá phần trả lời của HS.

2
cos x = −
3 ”
- GV nhấn mạnh kết quả: “ tìm x để
Trong thực tế có nhiều bài tốn dẫn đến việc giải các phương trình có dạng:

sin x = a, cos x = a, tan x = a, cot x = a với x là ẩn, a là tham số.
Các phương trình trên gọi là phương trình lượng giác cơ bản.
2.HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚ
HĐ1: Phương trình sin x = a
a) Mục tiêu: Hình thành cơng thức và biết vận dụng giải phương trình sin x = a
b)Nội dung


H1: Tìm cơng thức nghiệm của phương trình sin x = a và các trường hợp đặc biệt của nó
H2: Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

1
a )sin x = ,
2
c) Sản phẩm:

2
b)sin x = ,
5

c)sin( x + 150 ) =

− 3
,

2

d ) s in5x =

− 2
2

Phương trình sin x = a (1)
+
+

a >1
a ≤1

: phương trình

( 1)

vơ nghiệm.

( 1) có nghiệm là:
: Gọi sin α = a , phương trình

 x = α + k 2π
sin x = sinα ⇔ 
;k ∈ ¢
 x = π − α + k 2π
Chú ý.

 x = β o + k 360o

sin x = sin β ⇔ 
,k ∈¢
x = 1800 − β o + k 360o

+
o

π
 π
− ≤ α ≤
2 ⇒ α = arcsina
 2

+  sin α = a
, phương trình (1) có nghiệm:

 x = arcsina + k 2π
;k ∈ ¢

x
=
π
−
arcsin
a
+
k
2
π


 f ( x) = g ( x) + k 2π
sin f ( x) = sin g ( x) ⇔ 
,k ∈¢
 f ( x) = π − g ( x) + k 2π
+
Đặc biệt:
*
*

sin x = 1 ⇔ x =

π
+ k 2π , k ∈ ¢
2

sin x = −1 ⇔ x = −

π
+ k 2π , k ∈ ¢
2

* sin x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ¢
Ví dụ 1:

π
π


x = + k 2π

x = + k 2π


1
π
6
6
a ) sin x = = sin ⇔ 
⇔
,k ∈Z
2
6
 x = π − π + k 2π
 x = 5π + k 2π

6
6

2

x
=
arcsin
+ k 2π

2
5
b) sin x = ⇔ 
,k ∈Z
5

 x = π − arcsin 2 + k 2π

5

 x + 150 = −600 + k 3600
 x = −750 + k 3600
− 3
0
c )sin( x + 15 ) =
= sin ( −60 ) ⇔ 
⇔
,k ∈Z
0
0
0
0
0
0
2
 x + 15 = 180 + 60 + k 360
 x = 225 + k 360
0

−π
π


x=
+ k 2π
x = − + k 2π



− 2
π
4
4
d )sin x =
= sin( − ) ⇔ 
⇔
,k ∈Z
π
5
π
2
4
 x = π + + k 2π
x =
+ k 2π


4
4


d) Tổ chức thực hiện
Chuyển giao

Thực hiện

- GV trình chiếu hình vẽ trong SGK → đặt vấn đề nghiên cứu cơng thức

nghiệm
- HS vẽ hình và nhớ lại tính tuần hồn của hàm số sin
- HS thảo luận cặp đơi thực hiện nhiệm vụ
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm

Báo cáo thảo luận

- HS nắm được cơng thức nghiệm của phương trình sin x = a và các
trường hợp đặc biệt của nó.
- Phân biệt các trường hợp của cơng thức để vận dụng giải tốn.
- Trong công thức nghiệm không thể chứa cùng lúc 2 đơn vị radian và độ
- GV gọi 4HS lên bảng trình bày lời giải cho VD1
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm

Đánh giá, nhận xét,
tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh
cịn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo
- Chốt kiến thức và các bước giải phương trình

HĐ2. Phương trình cos x = a
a) Mục tiêu: Hình thành cơng thức và biết vận dụng giải phương trình sin x = a .
b) Nội dung:
H1: Tìm cơng thức nghiệm của phương trình cos x = a và các trường hợp đặc biệt của nó
H2: Ví dụ 2: Giải các phương trình sau

3π  −3
−1


a) cos  x +
b) cos ( 2 x + 50 ) = ,
÷= ,
8  2
2

c) Sản phẩm:
Phương trình cos x = a (2)
+
+

a >1
a ≤1

: phương trình
: Gọi

( 2)

cos α = a ,

4
c) cos 3 x = ,
5

d ) cos 2x = cos

vơ nghiệm.
phương trình

( 2 ) có nghiệm là:

 x = α + k 2π
 x = −α + k 2π , k ∈ ¢

.
Chú ý.
 x = α + k 2π
cos x = cos α ⇔ 
,k ∈¢
x
=
−
α
+
k
2
π

+
 x = β o + k 360o
cos x = cos β ⇔ 
,k ∈¢
o
o
 x = − β + k 360
+
o

0 ≤ α ≤ π
⇒ α = arccosa

cos
α
=
a

+
, phương trình (2) có nghiệm: x = ± arccos a + k 2π , k ∈ ¢
 f ( x ) = g ( x) + k 2π
cos f ( x) = cos g ( x) ⇔ 
,k ∈¢
 f ( x ) = − g ( x) + k 2π
+
Đặc biệt:

π
10


+ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ¢
+ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ¢
π
cos x = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ ¢
2
+
Ví dụ 2:

a)

b)
c)
d)

−3
∉ [ −1;1]
Phương trình vơ nghiệm vì 2


1150
x
=
+ k1800
0
0
0


2
x
+
5
=
120
+
k
360
−
1

2
cos(2 x + 50 ) =
= cos1200 ⇔ 
⇔
,k ∈Z
0
0
0
2
−1250

0
 2 x + 5 = −120 + k 360
 x = 2 + k180
4
4
1
4 k 2π
cos 3 x = ⇔ 3 x = arccos + k 2π ⇔ x = arccos +
,k ∈Z
5
5
3
5
3
π
π
π
cos 2 x = cos ⇔ 2 x = ± + k 2π ⇔ x = ±
+ kπ , k ∈ Z

10
10
20

d) Tổ chức thực hiện
- GV trình chiếu hình vẽ trong SGK → đặt vấn đề nghiên cứu cơng thức
nghiệm
- HS vẽ hình và nhớ lại tính tuần hoàn của hàm số cos

Chuyển giao

- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm

Thực hiện

Báo cáo thảo luận

- HS nắm được cơng thức nghiệm của phương trình cos x = a và các
trường hợp đặc biệt của nó.
- Phân biệt các trường hợp của công thức để vận dụng giải tốn.
- Trong cơng thức nghiệm khơng thể chứa cùng lúc 2 đơn vị radian và độ
- GV gọi 4HS lên bảng trình bày lời giải cho VD2
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm

Đánh giá, nhận xét,
tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh

cịn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo
- Chốt kiến thức và các bước giải phương trình

HĐ 3. Phương trình tan x = a
a) Mục tiêu: Hình thành cơng thức và biết vận dụng giải phương trình tan x = a .
b) Nội dung:
H1: Tìm cơng thức nghiệm của phương trình tan x = a và các trường hợp đặc biệt của nó
H2: Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
2π
0

a ) tan x = tan

5

,

b) tan x = −5,

c) Sản phẩm:
Phương trình tan x = a (3)
Điều kiện của phương trình là:

c) tan( x − 35 ) = 3 ,

d ) tan 4 x = −1


x≠

π
+ kπ ( k ∈ Ζ ) .
2

- Gọi x1 là hồnh độ giao điểm(
Kí hiệu

x1 = arctan a

tan x1 = a.

)thỏa mãn điều kiện

. Khi đó, nghiệm của phương trình là:

−

π
π
< x1 < .
2
2

x = arctan a + kπ ( k ∈ Z )

* Chú ý: a) Phương trình tan x = tan α ⇒ x = α + kπ (k ∈ Z )
Tổng quát:

tan f ( x ) = tan g ( x ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) + kπ (k ∈ Z )

tan x = tan β 0 ⇒ x = β 0 + k1800 (k ∈ Z )

b) Phương trình
c) Các trường hợp đặc biệt:

•
•
•

tan x = 1 ⇒ x =

π
+ kπ ( k ∈ Z )
4

tan x = −1 ⇒ x = −

π
+ kπ (k ∈ Z )
4

tan x = 0 ⇒ x = k π (k ∈ Z )

Ví dụ 3:
a ) tan x = tan

2π
2π
⇔x=
+ kπ ,

5
5

b) tan x = −5 ⇔ x = arctan( −5) + kπ ,

k ∈Z
k∈Z

c) tan( x − 350 ) = 3 ⇔ x − 350 = 600 + k1800 ⇔ x = 950 + k1800
d ) tan 4 x = −1 ⇔ 4 x =

−π
−π kπ
+ kπ ⇔ x =
+
,
4
16
4

k∈Z

k∈Z

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao

- GV trình chiếu hình vẽ trong SGK → đặt vấn đề nghiên cứu công thức
nghiệm

- HS vẽ hình và quan sát sự tương giao của đồ thị hàm số y = tan x và
đường thẳng y = a . Từ đó hình thành cơng thức nghiệm

Thực hiện

- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ.
- GV quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm chưa
hiểu rõ nội dung vấn đề nêu ra

Báo cáo thảo luận

- HS nắm được công thức nghiệm của phương trình tan x = a và các
trường hợp đặc biệt của nó.
- Phân biệt các trường hợp của cơng thức để vận dụng giải tốn.
- Trong cơng thức nghiệm không thể chứa cùng lúc 2 đơn vị radian và độ
- GV gọi 4HS lên bảng trình bày lời giải cho VD3
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm

Đánh giá, nhận xét,
tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh
còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo
- Chốt kiến thức và các bước giải phương trình


HĐ 4. Phương trình cot x = a
a) Mục tiêu: Hình thành cơng thức và biết vận dụng giải phương trình cot x = a .
b)Nội dung:

H1: Tìm cơng thức nghiệm của phương trình cot x = a và các trường hợp đặc biệt của nó
H2: Ví dụ 2: Giải các phương trình sau

a ) cot x = cot

π
,
5

b) cot( x + 50 ) =

π

c) cot  − 2 x ÷ = −1,
4


−1
,
3

d ) cot 2 x = 7

c) Sản phẩm:
Phương trình cot x = a (4)

- Điều kiện của phương trình là: x ≠
- Gọi x1 là hồnh độ giao điểm(
Kí hiệu

x1 = arccot a

kπ, (k ∈ Z)

cot x1 = a.

)thỏa mãn điều kiện

0 < x1 < π .

. Khi đó, nghiệm của phương trình là:

x = arccot a + kπ ( k ∈ Z )

* Chú ý: a) Phương trình cot x = cot α ⇒ x = α + kπ ( k ∈ Z )
Tổng quát:

cot f ( x ) = cot g ( x ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) + kπ (k ∈ Z )

cot x = cot β 0 ⇒ x = β 0 + k1800 (k ∈ Z )

b) Phương trình
c) Các trường hợp đặc biệt:

•
•
•

π
+ kπ ( k ∈ Z )

4

cot x = 1 ⇒ x =

cot x = −1 ⇒ x = −

cot x = 0 ⇒ x =

π
+ kπ ( k ∈ Z )
4

π
+ kπ ( k ∈ Z )
2

Ví dụ 4:
a ) cot x = cot

π
π
⇔ x = + kπ ,
5
5

b) cot( x + 50 ) =

k ∈Z

−1

⇔ x + 50 = −600 + k1800 ⇔ x = −650 + k1800 ,
3

π
−π
π kπ
π

c) cot  − 2 x ÷ = −1 ⇔ − 2 x =
+ kπ ⇔ x = +
,
4
4
4 2
4


k∈Z

1
kπ
arccot 7 +
,
2
2

k ∈Z

d ) cot 2 x = 7 ⇔ 2 x = arccot 7 + kπ ⇔ x =

d) Tổ chức thực hiện

k ∈Z


Chuyển giao

- GV trình chiếu hình vẽ trong SGK → đặt vấn đề nghiên cứu cơng thức
nghiệm
- HS vẽ hình và quan sát sự tương giao của đồ thị hàm số y = cot x và
đường thẳng y = a . Từ đó hình thành cơng thức nghiệm

- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ.
- GV quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm chưa
hiểu rõ nội dung vấn đề nêu ra

Thực hiện

Báo cáo thảo luận

- HS nắm được công thức nghiệm của phương trình cot x = a và các trường
hợp đặc biệt của nó.
- Phân biệt các trường hợp của cơng thức để vận dụng giải tốn.
- Trong cơng thức nghiệm không thể chứa cùng lúc 2 đơn vị radian và độ
- GV gọi 4HS lên bảng trình bày lời giải cho VD4
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm

Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và
tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh cịn lại
tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo
- Chốt kiến thức và các bước giải phương trình

3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh biết áp dụng các kiến thức về phương trình lượng giác vào các dạng bài tập
cụ thể.
b) Nội dung:
PHIẾU HỌC TẬP 1
Câu hỏi
Câu 1: Trong các phương trình sau, phương
trình nào vơ nghiệm ?
A. cot x = −2 .
B. sin( x − π ) = 1.
π
C.

cos 2 x =

D.

3

.

2 sin x =

3
.

2

Câu 2: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai ?
π
sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π .
2
A.
B. sin x = 0 ⇔ x = kπ .
C. sin x = 0 ⇔ x = k 2π .
π
sin x = 1 ⇔ x = + k 2π .
2
D.
Câu 3: Phương trình tan x = 4 có nghiệm là
A. vô nghiệm .
π
x = + kπ
4
B.
, k ∈Ζ.

Lời giải chi tiết
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….

………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….


C. x = arctan 4 + kπ , k ∈ Ζ .
D. x = arctan 4 + k 2π , k ∈ Ζ .

………………………………………………….
………………………………………………….

Câu 4: Chọn đáp án đúng trong các câu sau.

………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
…………………………………………………

 x = y + k 2π
sin x = sin y ⇔ 
(k ∈ Ζ)
x
=
π
−
y
+
k
2
π

A.
 x = y + kπ
sin x = sin y ⇔ 
(k ∈ Ζ )
x
=
π
−
y
+
k
π

B.
.
 x = y + k 2π

sin x = sin y ⇔ 
(k ∈ Ζ)
x
=
−
y
+
k
2
π

C.
.
 x = y + kπ
sin x = sin y ⇔ 
( k ∈ Ζ)
x
=
−
y
+
k
π

D.
.
Câu 5: Tìm các giá trị của m để phương trình
cos 2x = m có nghiệm.
A. −2 ≤ m ≤ 2.
B. m ≤ 1.

C. −1 ≤ m ≤ 1.
D. m < 2.
cos x = −

1
2

………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….

Câu 6: Nghiệm của phương trình
là
π
x = ± + k 2π , k ∈ Ζ.
3
A.

2π
x= ±
+ kπ
, k ∈ Ζ.
3
B.
2π
x= ±
+ k 2π
, k ∈ Ζ.
3
C.
π
x = ± + k 2π
, k ∈ Ζ.
6
D.
π
………………………………………………….
x = − + k 2π
6
Câu 7.
là họ nghiệm của ………………………………………………….
phương trình nào sau đây ?
………………………………………………….
………………………………………………….
3
sin x =
………………………………………………….
2 .

A.
………………………………………………….
3
………………………………………………….
sin x = −
2 .
B.
………………………………………………….
………………………………………………….
3
cosx =
………………………………………………….
2 .
C.
………………………………………………….
D.

cosx = −

3
2 .


Câu 8: Nghiệm của phương trình

cot 2 x = − 3 là
π
π
A.
B.

C.
D.

x=−

6

+k

2

,k ∈ Ζ

.

x=−

π
+ kπ , k ∈ Ζ
12
.

x=−

π
π
+ k ,k ∈ Ζ
12
2
.

x = arccot( −

………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….

3
) + kπ , k ∈ Ζ
2
.

Câu 9: Số nghiệm của phương trình

sin(2 x − 300 ) = 1 trong khoảng

( −1800 ;1800 )

A. 0
B. 1.
C. 2.
D. 3.

Câu 10: Phương trình

3cos 2 2 x + 2sin 2 x − 5
=0
1 − sin x
có nghiệm là
A. x = kπ .
π
+ kπ
2
B.
.
C. x = π + k 2π
π
x = − + k 2π
2
D.
.
x=

là

………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….

………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….

c) Sản phẩm:
- Học sinh viết bài làm ra phiếu học tập cá nhân.
- Học sinh thể hiện trên bảng nhóm kết quả bài làm của mình.
Dự kiến
Câu hỏi

Lời giải chi tiết

Câu 1: Trong các phương trình sau,
phương trình nào vơ nghiệm ?
A. cot x = −2 .
B. sin( x − π ) = 1.
π
C.
D.

cos 2 x =

2 sin x =

3

cos 2 x =

π
>1
3

.

3
.
2

Vậy phương trình vơ nghiệm.
Đáp án C


Câu 2: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là
sai ?
π
sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π .
2
A.
B. sin x = 0 ⇔ x = kπ .
C. sin x = 0 ⇔ x = k 2π .
π
D.

sin x = 1 ⇔ x =

2

Đáp án C

+ k 2π .

Câu 3: Phương trình tan x = 4 có nghiệm
là
A. vô nghiệm .
π
x = + kπ
4
B.
, k ∈Ζ.
C. x = arctan 4 + kπ , k ∈ Ζ .
D. x = arctan 4 + k 2π , k ∈ Ζ .

Đáp án C.

x = arctan 4 + kπ

Câu 4: Chọn đáp án đúng trong các câu
sau.
A.
 x = y + k 2π
sin x = sin y ⇔ 
( k ∈ Ζ)
 x = π − y + k 2π
 x = y + kπ
sin x = sin y ⇔ 
(k ∈ Ζ )

x
=
π
−
y
+
k
π

B.
.

Đáp án A
 x = y + k 2π
sin x = sin y ⇔ 
( k ∈ Ζ)
 x = π − y + k 2π

 x = y + k 2π
sin x = sin y ⇔ 
(k ∈ Ζ)
x
=
−
y
+
k
2
π


C.
.
 x = y + kπ
sin x = sin y ⇔ 
( k ∈ Ζ)
x
=
−
y
+
k
π

D.
.
Câu 5: Tìm các giá trị của m để phương
trình cos 2x = m có nghiệm.
A. −2 ≤ m ≤ 2.
B. m ≤ 1.
C. −1 ≤ m ≤ 1.
D. m < 2.

Đáp án C

−1 ≤ m ≤ 1.

Câu 6: Nghiệm của phương trình
cos x = −

A.

B.
C.

1
2 là

x= ±

π
+ k 2π , k ∈ Ζ.
3

x= ±

2π
+ kπ
, k ∈ Ζ.
3

x= ±

2π
+ k 2π
, k ∈ Ζ.
3

Đáp án C


D.

π
+ k 2π
, k ∈ Ζ.
6

x= ±

x= ±

2π
+ k 2π
3

π
+ k 2π
6
Câu 7.
là họ nghiệm của
phương trình nào sau đây ?
x=−

A.

sin x =

3
2 .

sin x = −

B.
C.
D.

cosx =

3
2 .

Đáp án C

π

x = + k 2π

3
6
cosx =
⇔
2
 x = − π + k 2π

6

3
2 .

cosx = −

3
2 .

Câu 8: Nghiệm của phương trình

cot 2 x = − 3 là
π
π
A.
B.

x=−

x=−

6

+k

2

,k ∈ Ζ

.

π
+ kπ , k ∈ Ζ
12
.

π
π
x = − + k ,k ∈ Ζ
12
2
C.
.
D.

x = arccot( −

Đáp án C

π
+ kπ
6
π kπ
⇔ x=− +
12 2

cot 2 x = − 3 ⇔ 2 x = −

3
) + kπ , k ∈ Ζ
2
.

Câu 9: Số nghiệm của phương trình

sin(2 x − 300 ) = 1 trong khoảng

(−1800 ;1800 )

là

A. 0
B. 1.
C. 2.
D. 3.

Đáp án C
sin(2 x − 300 ) = 1 ⇔ 2 x − 300 = 900 + k 3600
⇔ x = 600 + k1800

(

Vậy có hai nghiệm.

Câu 10: Phương trình

3cos 2 2 x + 2sin 2 x − 5
=0
1 − sin x
có nghiệm là
A. x = kπ .
π
+ kπ
2
B.
.
C. x = π + k 2π

x=

)

{

x ∈ −1800 ;1800 ⇒ x ∈ −1200 ;600

Đáp án D

}