Đánh giá các mô hình số địa hình được xây dựng thông qua các thuật toán lưới tam giác không đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐÀO MẠNH DŨNG

ĐỀ TÀI:
ĐÁNH GIÁ CÁC MƠ HÌNH SỐ ĐỊA HÌNH
ĐƯỢC XÂY DỰNG THƠNG QUA CÁC THUẬT
TỐN LƯỚI TAM GIÁC KHƠNG ĐỀU
LUẬN VĂN CAO HỌC
CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT TRẮC ĐỊA

NĂM 2002


MỞ ĐẦU
Ngày nay cùng với sự ứng dụng rộng rãi công nghệ tin học trong
thành lập bản đồ số, mô hình số địa hình (DTM) và các ứng dụng của nó
đóng một vai trò quan trọng trong việc nội suy vẽ đường đồng mức cho bản
đồ địa hình. Mô hình số địa hình còn được sử dụng để giải các bài toán liên
quan đến địa hình phục vụ cho công tác thiết kế, quy hoạch các công trình
xây dựng. Mô hình số địa hình là một thành phần của hệ thống thông tin
địa lý (GIS) . Trong GIS mô hình số địa hình được sử dụng để phân tích các
chức năng địa hình phục vụ cho nhiều lónh vực dân sự và quân sự.
DTM thường được xây dựng dưới dạng lưới đều đặn hoặc dạng lưới
tam giác không đều (TIN). Cấu trúc của dạng lưới đều đặn đơn giản nên
việc lưu trữ dữ liệu đơn giản. Nhược điểm của DTM dạng này là phải dùng
lưới có phân khoảng nhỏ với nhiều điểm dữ liệu thì mới có thể mô hình
hoá được vùng địa hình phức tạp. DTM dạng lưới tam giác với các điểm dữ
liệu được đặt tại các điểm đặc trưng của địa hình ngày càng được sử dụng

rộng rãi, vì không cần tăng mật độ điểm dữ liệu như ở trường hợp mô hình
dạng lưới mà vẫn mô hình hoá được vùng địa hình phức tạp. Nhược điểm
của phương pháp lưới tam giác là chiếm nhiều bộ nhớ và thời gian máy
tính, nhưng vấn đề đó đã được vượt qua.
Đã có nhiều công trình nghiên cứu đánh giá mô hình số địa hình
nhưng chủ yếu liên quan đến mô hình dạng lưới đều đặn. Mô hình dạng
lưới tam giác (TIN) ngày càng trở nên thông dụng. thành phố Hồ Chí
Minh nhiều đơn vị khảo sát, thiết kế sử dụng nhiều phần mềm nước ngoài
xây dựng DTM dạng TIN, nhưng những nghiên cứu đánh giá về mô hình
dạng này còn ít. Vì vậy, chúng tôi mong muốn đi sâu tìm hiểu đánh giá
chúng, nhất là khả năng ứng dụng để thành lập bản đồ địa hình.
Mục tiêu thứ nhất của đề tài này là tìm hiểu cơ sở toán học xây dựng
mô hình TIN và kiểm tra tính đúng đắn của các phần mềm mô hình hoá
địa hình thông qua TIN, khi xem phạm vi bề mặt địa hình trong mỗi tam
giác là phẳng nghiêng.
Chỉ có cơ sở toán học vững chắc và tạo ra một chương trình hỗ trợ để
kiểm tra các phần mềm khác nhau thì lúc đó mới có thể kiến nghị nên sử
dụng phần mềm nào dựa trên tính đúng đắn cũng như ưu nhược điểm của
chúng.
Mục tiêu thứ hai được đặt ra là xây dựng một chương trình tính toán
để nội suy độ cao cho các điểm đã biết toạ độ mặt phẳng theo một số
phương pháp khác nhau để khảo sát đánh giá các mô hình số được xây
1


dựng sử dụng các phương pháp nội suy khác nhau (có thể để xây dựng các
nút lưới hoặc vẽ đường đồng mức).
Mục tiêu thứ ba là trên cơ sở xây dựng mô hình chuẩn bề mặt thực
địa một vùng có thể dùng để khảo sát các mô hình TIN cũng như lưới đều
đặn để từ đó theo tiêu chuẩn độ chính xác lập bản đồ địa hình mà đưa ra

các kiến nghị khác nhau.

2


CHƯƠNG I
KHÁI NIỆM VỀ ĐỊA HÌNH VÀ CÁC ĐẶC ĐIỂM VỀ ĐỊA HÌNH
I.1 Một số dạng địa hình và cách biểu diễn trên bản đồ
I.1.1 Giới thiệu chung
Bề mặt trái đất có những chỗ bằng phẳng , lồi lõm , cao , thấp khác
nhau người ta gọi chung là địa hình. Địa hình sẵn có được thiên nhiên tạo
nên, nó đặc trưng và xác định trạng thái bề mặt của một khu vực đất đai
nào đó.
Thông thường , sự cấu tạo các loại địa hình rất phức tạp, cho nên
việc nghiên cứu địa hình cũng rất khó khăn. Chúng ta phải nghiên cứu địa
hình bằng cách phân chia ra các dạng cơ bản.
Để dễ dàng khi xem xét và nghiên cứu, người ta thường biểu diễn
địa hình bằng các đường đồng mức. Khi không vẽ được đường đồng mức,
người ta ghi trên mặt bằng các độ cao của các điểm đo đạc được bố trí ở
những vị trí đặc trưng của địa hình. Ngoài ra, người ta còn dùng các ký
hiệu quy định khác như vách đất , khe nứt v.v…để biểu diễn dáng đất trên
bản đồ.
Đường đồng mức là đường cong nối những điểm có cùng độ cao.
Đường đồng mức được quy ước là hình chiếu trên mặt bằng của giao tuyến
tạo thành bởi bề mặt thực địa với mặt phẳng nằm ngang. Hiệu số độ cao
giữa hai đường đồng mức liên tiếp nhau gọi là khoảng cao đều của dường
đồng mức hay bước của đường đồng mức. Giá trị của khoảng cao đều được
quy định trong quy phạm thành lập bản đồ , phụ thuộc vào tỷ lệ bản đồ,
mục đích thành lập bản đồ và đặc điểm của địa hình, ngoài ra còn được lưu
ý tới độ chính xác đo đạc các điểm độ cao

Tùy thuộc vào dạng địa hình các đường đồng mức có hình dáng khác
nhau. Sau đây là một số dạng địa hình cơ bản.
I.1.2 Sườn dốc:
Phần địa hình nghiêng so với mặt phẳng một góc nào đó gọi là sườn
dốc. Độ nghiêng càng lớn thì khoảng cách giữa các đường đồng mức càng
nhỏ , và ngược lại.
Sườn dốc có thể nghiêng một góc không đổi so với mặt bằng, khi đó
các đường đồng mức chiếu xuống mặt bằng thành các đường song song
cách đều nhau. Sườn dốc như vậy gọi là sườn dốc nghiêng đều (hình I.1 a)

3


Hình I.1
Ngoài sườn dốc nghiêng đều còn có sườn dốc lồi theo hướng dốc,
đặc trưng bởi các đường đồng mức dần sát vào nhau theo hướng hạ thấp
xuống của sườn dốc (hình I.1 b).
Sườn dốc lõm theo hướng dốc được biểu diễn trên hình I.1 c. Hình
chiếu trên mặt bằng cho hình ảnh giống với hình ảnh ngược của sườn dốc
lồi.
Những ví dụ trên chưa bao hàm hết tất cả những khả năng
xảy ra ở thực địa. Còn có những trường hợp khác, thường gặp
nhất là sườn dốc luôn thay đổi độ nghiêng theo hướng đường
đồng mức.
I.1.3 Sống núi
Sống núi là dạng địa hình lồi tạo thành khi các sườn dốc tạo ra dạng
địa hình này quay hướng dốc theo các hướng ngược nhau. Hình I.2 biểu
diễn sự tạo thành sống núi do hai sườn dốc. Nối các điểm giao nhau của
các đường bình độ có cùng độ cao của hai sườn dốc, chúng ta nhận được
một đường mà từ đó tất cả các điểm trên hai sườn dốc theo hướng của

đường có độ dốc lớn nhất đều nằm bên dưới nó. Chúng ta gọi đường đó là
đường phân thủy (đường nét đứt trên hình I.2).
Hình dáng của đường phân thủy có thể rất đa dạng, phụ thuộc vào
loại sườn dốc tạo nên sống núi. Đường phân thủy có thể lồi, lõm, thẳng
hoặc uốn cong theo hướng một hoặc hai sườn dốc. Phụ thuộc vào độ lớn
của góc mà hai sườn dốc cắt nhau mà đường phân thủy thể hiện ít rõ ràng
hay rõ ràng hơn. Hình I.2b biểu diễn sống núi rộng tạo nên do hai sườn dốc
lồi nghiêng ñeàu.
4


Hình I.2
Trong trường hợp này đường phân thủy không rõ ràng và có dạng
đường thẳng (đường nét đứt).
I.1.4 Gò
Quan sát sống núi ở thực địa , đặc biệt ở dạng trải dài, có thể nhận
thấy đường sống núi có thể có các dạng khác nhau.

Hình I.3
Trên hình I.3 được chỉ ra những quả gò. Đó là dạng nâng cao của thực
địa, mà nơi cao nhất có thể là đỉnh hoặc vùng bằng phẳng không lớn lắm.
Phụ thuộc vào dạng sườn dốc tạo nên gò, mà nó có thể có dạng vòm, dạng
nón hoặc kéo dài (hình I.4)

5


a)

b)

c)

Hình I.4
I.1.5 Khe:
Hai sườn dốc quay mặt nghiêng của chúng vào nhau tạo thành dạng
địa hình lõm , và phụ thuộc vào độ nghiêng và góc dốc mà chúng cắt nhau
có thể tạo nên độ lõm nhẹ hoặc dựng đứng (hình I. 5).

a)

b)

c)

d)

Hình I.5
Đường nối những điểm giao nhau của các đường bình độ có cùng độ
cao của hai sườn dốc được gọi là đường tụ thủy. Nó là vị trí của những
điểm nằm thấp nhất giữa các sườn dốc tạo thành địa hình lõm, đồng thời là
đường dốc nhất của vùng lõm. Các đường của khe cắt đường tụ thủy dưới
một góc vuông và tại đó hướng đi của đường bình độ thay đổi
I.1.6 Yên ngựa:
Yên ngựa là chỗ thấp nhất giữa hai đường sống núi nhô cao (hình
I.6).

6

a)

b)

Hình I.6
Hình I.6b biểu diễn yên ngựa không đều được đặc trưng bởi sự phân
bố không đều của đường sống núi và khe núi.
I.1.7 Lòng chảo:
Lòng chảo là vùng địa hình trũng khép kín. Phụ thuộc vào hình dáng
của lòng chảo mà có thể có vài đường tụ thủy hướng tới điểm thấp nhất
hoặc đôi khi đường tụ thủy khó xác định. Lòng chảo được đặc trưng bởi
hình chiếu xuống mặt bằng là những đường đồng mức khép kín mà khoảng
cách giữa các đường đồng mức bằng nhau hoặc thay đổi phụ thuộc vào độ
nghiêng của sườn dốc.

Hình I.7
Nhìn vào hình dáng đường bình độ không ghi độ cao, khó có thể xác
định được là gò hay lòng chảo. Để dễ đọc thường người ta vẽ thêm nét chỉ
dốc.
I.1.8 Rãnh nước chảy:
Rãnh nước chảy là vùng trũng không lớn trên sườn dốc có đường tụ
thủy với xu hướng trùng với đường có độ dốc lớn nhất của sườn dốc.

7


Hình I.8
Đường tụ thủy vẽ thành góc nhọn, còn hướng của nó phần lớn vuông
góc với đường đồng mức.
I.1.9 Khe sói mòn

Dưới ảnh hưởng của nước chảy trên sườn dốc và phụ thuộc vào loại
đất của nền móng, dòng nước ngày càng khóet sâu tạo thành dạng địa hình
có độ sâu khác nhau, thành rãnh rõ ràng và tạo thành sườn dốc ít dựng
đứng hay dựng đứng.

a)

b)

Hình I.9
Hình I.9a biểu diễn khe sói mòn có độ nghiêng ở mức có thể biểu
diễn bằng đường đồng mức được, trái lại ở hình I.9b biểu diễn khe sói mòn
có đáy tương đối rộng, phẳng, nhưng có vách rất dựng đứng phải dùng ký
hiệu vách đất đá mới biểu diễn được.
I.2 Một số tính toán cơ bản về địa hình
Trên bản đồ địa hình có vẽ các đường đồng mức và dựa vào đó người
ta thực hiện một số tính toán liên quan đến địa hình.

8


I.2.1 Xác định độ dốc
Theo hình vẽ I.10 hai điểm A,B nằm trên hai đường đồng mức kề
nhau. Độ dốc theo hướng AB tính theo công thức
i

=

α

tg

h

=

l

x

M

(I.1)
h : là khoảng cao đều của các đường đồng mức
l : là khoảng cách giữa hai đường đồng mức trên bản đồ
M: là mẫu số tỷ lệ bản đồ
Ở ngoài thực địa có thể xác định độ dốc bằng cách đo chênh cao h
giữa hai điểm A&B. Khi đó:
I = tgα =

HB − HA
S AB

(I.2)
B
X
+
A

l1

Hình I.10
I.2.2 Tính độ cao của điểm:
Tìm độ cao của điểm X (hình I.10) biết độ cao của điểm A là HA ,
của điểm B là HB và ba điểm A,X,B thẳng hàng, X nằm khoảng giữa hai
điểm A,B. Độ cao điểm X tính theo công thức:
H X = H A + (H B − H A ).

l1
h
= H A + l1 = H A + i.l1 .M
l
l

I.2.3 Veõ mặt cắt
9

(I.3)


A 1

2

3

4

5

6

7

B

Hình I.11
Hướng AB cho trước trên bản đồ. Kẻ đường AB cắt các đường bình
độ tại các điểm 1,2,3,4,5,6,7… Để vẽ mặt cắt ta kẻ hệ tọa độ vuông góc .
Tỷ lệ trục ngang thường lấy bằng tỷ lệ bản đồ, còn tỷ lệ trục đứng lớn hơn
tỷ lệ trục ngang nhiều lần. Chọn trên trục ngang một điểm làm điểm A. Từ
điểm A đặt các đoạn từ A đến 1,2,3, . . . , B tương ứng với khoảng cách đo
trên bản đồ. Tại các điểm nói trên theo chiều đứng đặt khoảng cách bằng
độ cao ghi trên bản đồ tại các điểm đó theo tỷ lệ trục đứng, rồi nối lại ta
được hình vẽ mặt cắt địa hình từ A đến B.
I.2.3 Tính thể tích:
Việc tính thể tích các lớp đất đá hoặc dung tích hồ chứa nước thường
được tính gần đúng bằng cách lấy trung bình diện tích mặt trên và mặt
dưới nhân với chiều cao được thể tích một lớp. Diện tích các mặt trên và
dưới tính theo giới hạn của các đường đồng mức trên và dưới, còn chiều
cao lấy bằng khoảng cao đều của đường đồng mức. Lớp trên cùng hoặc
dưới cùng tính theo công thức thể tích chỏm cầu. Cộng thể tích của tất cả
các lớp được giá trị cần tính.
I.3 Phân tích các đặc điểm địa hình.
Khi quy hoạch mặt bằng tổng thể và các công trình xây dựng
thường phải nghiên cứu phân tích các đặc điểm địa hình.
Địa hình được phân ra : bằng phẳng, trung bình, phức tạp.
Địa hình bằng phẳng khác với địa hình dốc thoải là không có những
chỏm đất cao, hố trũng sâu.
Địa hình trung bình là địa hình có thể có những đồi đất cao và

mương xói không lớn lắm.
Địa hình phức tạp đặc trưng bằng các mái dốc lớn và bề mặt gồ ghề
bị chia cắt nhiều mảnh.
10


Sự sắp xếp các đường đồng mức thiên nhiên trên mặt bằng cho phép
chúng ta phân biệt được hình dáng và mức độ phức tạp của địa hình gồm
đỉnh núi, sống núi, yên ngựa, khe, suối, thung lũng ... .
Để xây dựng các công trình người ta thường cân nhắc lựa chọn địa
hình, nghiên cứu các giải pháp hợp lý nhất. Trong đa số các trường hợp tốt
nhất là nên giữ lại địa hình thiên nhiên hoặc cố gắng bố trí các công trình
xây dựng trên những khu vực đất đai thuận lợi.
Trên đây là những dạng địa hình cơ bản và các phép tính độ cao,vẽ
mặt cắt, tính khối lượng đất đá dựa trên bản đồ địa hình theo các phương
pháp cổ điển được trình bày trong rất nhiều tài liệu trắc địa – bản đồ phổ
thông.
Tuy vậy các kiến thức này sẽ giúp chúng ta hình dung ra việc thành
lập bản đồ số như thế nào và cách khai thác nó ra sao.

11


CHƯƠNG II
MÔ HÌNH SỐ ĐỊA HÌNH:
II.1 Khái niệm về mô hình số địa hình
Mô hình số địa hình (DTM) là một bảng có thứ tự các con số mà nó
biểu diễn sự phân bố không gian các đặc tính địa hình.
Thường là một hệ thống tọa độ phẳng X,Y và độ cao địa hình Z. Các
đặc tính khác với độ cao có tính chất biến thiên liên tục trên mặt hai chiều

cũng có thể được dùng để định nghóa chiều thứ ba.
Dữ liệu được tổ chức như là một ma trận các tọa độ X,Y,Z hoặc như
là phương trình của bề mặt được định nghóa bởi đa thức hoặc chuỗi Fourier.
Một hệ thống DTM bao gồm các thành phần :
- Thu thập dữ liệu
- Tiền xử lý dữ liệu
- Lưu giữ và quản lý dữ liệu
- Sử dụng dữ liệu
Dữ liệu DTM có thể được thu thập từ những bản đồ hiện có, từ mô
hình lập thể đo vẽ ảnh, từ đo đạc trực tiếp mặt đất hoăc từ những hệ khác
như hệ thống định vị GPS, v.v...
Thông thường tiền xử lý dữ liệu đòi hỏi sắp xếp lại dữ liệu DTM
trong những dạng thích hợp. Trong đó bao gồm một số bước khác nhau :
- Biên tập dữ liệu
- Chuyển đổi định dạng
- Chuyển tọa độ
- Nội suy dữ liệu
Mô hình số địa hình thường là một thành phần của hệ thống thông
tin địa lý (GIS). Một trong những đặc tính của GIS là nó có số lượng lớn dữ
liệu. Vì vậy phải được tổ chức để lưu giữ và phục hồi một cách hiệu quả.

12


DTM được ứng dụng rất rộng rãi trong đó có thể kể ra một số ứng
dụng cần đến mô hình số độ cao như :
- Lưu trữ dữ liệu về độ cao cho các bản đồ địa hình trong cơ sở dữ liệu
quốc gia
- Thiết kế giao thông, công trình dân dụng và công nghiệp hoặc quân
sự

- Công tác qui hoạch liên quan đến chiều cao
- Giải các bài toán về xói mòn, địa mạo
- Tích hợp với các dữ liệu khác để giải các bài toán khác nhau như bài
toán về sinh thái ..
Mô hình số độ cao có thể cho ra một số sản phẩm như :
- Hiển thị bề mặt, tính toán độ dốc, độ lồi,độ lõm và hình thái
- Tính thể tích khối địa hình
- Tính tầm nhìn
- Vẽ bản đồ đường đồng mức
- Tạo mặt cắt
- Phân tích mạng sông suối, vùng trũng
V.V...
II.2 Các dạng mô hình số địa hình
Sự biến thiên của độ cao bề mặt trái đất được mô hình hóa theo
nhiều cách. Thường dùng phương pháp tìm một bề mặt toán học để xấp xỉ
dữ liệu độ cao hoặc phương pháp lưới điểm.
II.2.1 Phương pháp xấp xỉ bằng bề mặt toán học:
Khi nghiên cứu một quá trình biến thiên trong không gian dựa trên
cơ sở một tập số liệu mẫu rời rạc, người ta phải xấp xỉ được quá trình đó
bằng các hàm hoặc các quá trình đã biết. Phương pháp xấp xỉ này cho
phép dự đoán các thông tin tại các vị trí không lấy mẫu còn được gọi là
phép nội suy. Để nghiên cứu thông tin một cách chi tiết người ta luôn phải
tìm cách phân tích thông tin thành hai thành phần riêng biệt mang tính khu
vực và mang tính cục bộ, và xem như đó là hai thành phần độc lập. Thành
phần thông tin mang tính khu vực sẽ phụ thuộc vào tập mẫu và không gian
trên phạm vi toàn khu vực, gọi là Trend. Phương pháp phân tích quá trình
thành các thành phần: một thành phần mang các thông tin có tính khu vực,
một thành phần mang thông tin có tính thay đổi cục bộ gọi là phương pháp
phân tích Trend.

13


Phương pháp xấp xỉ bề mặt được xây dựng cho từng phân vùng dữ
liệu của tập dữ liệu quan trắc địa hình. Tại mỗi phân vùng này có một bề
mặt. Sau đó các bề mặt này được ráp nối lại. Trong quá trình ráp nối,
người ta có thủ thuật làm trơn vùng tiếp giáp.
Phương pháp toán học này mang lại chất lượng rất cao, bề mặt rất
trơn. Do vậy, nó sẽ rất có tác dụng khi được áp dụng cho các dữ liệu có
bản chất biến thiên trơn. Để đạt được bề mặt này người ta sử dụng các
phương pháp nội suy sau:
- Đa thức
- Chuỗi Furrier
♦ Xu thế bề mặt dùng đa thức thường được định nghóa như là hàm của các
tọa độ địa lý của các điểm quan trắc được xây dựng để bình phương các độ
lệch từ trend là nhỏ nhất. Trường hợp phân tích trend với hai biến độc lập
là hai tọa độ vuông góc x1, x2 , hàm tuyến tính có dạng
y=b0+b1x1+b2x2
(II.1)
Bởi vì phương trình có ba ẩn số là các hằng số b , ba phương trình
thường là cần thiết để giải các ẩn số. Cộng hai vế sau khi nhân với 1, x1 và
x2 nhận được
Σy = b0.n+b1Σx1+b2Σx2
Σx1y = b0Σx1+b1Σx12+b2Σx1x2
(II.2)
2
Σx2y = b0Σx2+b1Σx1x2+b2Σx2
Giải hệ phương trình sẽ nhận được các hệ số của trend bề mặt tuyến
tính phù hợp nhất theo tiêu chuẩn số bình phương nhỏ nhất.
Trend bề mặt có thể không là mặt phẳng và có thể phức tạp vô cùng.

Thêm vào đó, thường không biết trước hàm số của trend nên là thế nào.
Để xấp xỉ tốt bề mặt người ta dùng đa thức mở rộng của trend bề mặt
tuyến tính. Đa thức vô cùng linh hoạt, và nếu mở rộng tới bậc đủ cao, có
thể thích hợp với những bề mặt rất phức tạp. Tuy nhiên lưu ý rằng các hàm
đa thức được dùng để phân tích trend chỉ là vấn đề thuận tiện, và sự sử
dụng chúng không báo cho biết hiệu quả nhân quả của việc xử lý bề mặt.
Sự mở rộng phương trình II.1 cho trend bề mặt bậc hai là
y=b0+b1x1+b2x2+b3x12+b4x22+b5x1x2
(II.3)
Lưu ý rằng phương trình gồm có các số hạng là bình phương của hai
tọa độ x1 , x2 và số hạng tích trực tiếp x1x2. Sự mở rộng của phương trình
trend bề mặt ngay cả tới số mũ cao hơn cũng tương đối dễ hiểu. Mỗi biến
địa lý được nâng lên mũ cao hơn tạo ra hai biến mới, rồi tích trực tiếp thích
hợp của hai tọa độ được tính để cho những biến mới khác. Ví dụ:
y=b0+b1x1+b2x2+b3x12+b4x22+b5x1x2+b6x13+b7x23+b8x12x2+b9x1x22
(II.4)
14


là trend bề mặt bậc ba. Các hệ số bậc nhất là b1 và b2 . Các hệ số b3, b4 và
b5 là bậc hai bởi vì các biến trong các số hạng đó là dạng x3= (x1x2) , x4=
(x2x2) và x5= (x1x2). Đó là, những biến là tích hai biến ban đầu nhân với
nhau. Tương tự , b6,b7,b8 và b9 là các hệ số bậc ba, cũng như các biến trong
những số hạng đó là kết quả của nhân ba biến ban đầu với nhau, đó là:
x6=(x1x1x1), x7=(x2x2x2), x8=(x1x1x2) và x9= (x1x2x2)
♦
Xu thế bề mặt dùng chuỗi Fourier là một sự lựa chọn khác để
mô hình hóa bề mặt. Chuỗi fourier kép được dùng rộng rãi nhất. Bề mặt
phức tạp được xem xét là tổng của hai tập tương tác của các dạng sóng
hình sin hai chiều, mỗi dạng bao gồm nhiều hàm điều hòa của các biên độ

và các góc pha khác nhau. Ở ví dụ đơn giản nhất, tất cả các hàm điều hòa
trong một hướng có biên độ bằng không, và chỉ một hàm điều hòa trong
hướng khác có biên độ lớn hơn không, kết quả cho bề mặt tương tự tấm tôn
lợp nhà dợn sóng (hình II.1 a)
Bề mặt phức tạp hơn có thể được tạo ra bởi hàm điều hòa đơn trong
một hướng và hàm điều hòa đơn trong hướng khác. Nếu hai sóng có cùng
biên độ và bước sóng, thì mẫu bề mặt giống thùng các tông khuôn trứng
(hình II.1 b).

a)

b)

c)

Hình II.1
Các bề mặt phức tạp được biểu diễn ở hình II.1c. Rõ ràng rằng những bề
mặt phức tạp có thể được tạo với chuỗi Fourier kép.
15


Nếu các bước sóng cơ bản trong hai hướng vuông góc với nhau ngắn
hơn các kích thước vùng ánh xạ, bề mặt Fourier sẽ lặp lại với vùng ánh xạ.
Thông thường bước sóng cơ bản được chọn dài hơn chiều dài ánh xạ, vì thế
sự lặp không xảy ra. Chọn hai bước sóng cơ bản λ1 và λ2 , và vị trí ban đầu
chuỗi hai chiều thường là tùy ý.
Về bản chất , mô hình được dùng cho phân tích Fourier kép giống
như được dùng cho phân tích trend bề mặt. Các biến ánh xạ j được xem
là hàm của trend tuyến tính trong các giá trị trung bình j ngang qua vùng
ánh xạ, thành phần khu vực và thành phần cục bộ được pha trộn với sai số

phân bố ngẫu nhiên. Phân tích Fourier hữu ích nhất ở nơi thành phần khu
vực gồm các thành phần tuần hoàn.
Chuỗi Fourier kép có dạng
Yij =

+

∞

∑

∞

∑ α n m cos

n =0m =0
∞

∞

∑ ∑ γ n m sin

n =0m =0

∞ ∞
2m πX 2 j
2m πX 2 j
2n πX 1i
2n πX 1i
cos

sin
+ ∑ ∑ β n m cos
λ1
λ2
λ1
λ2
n =0m =0

∞ ∞
2m πX 2 j
2m πX 2 j
2n πX 1i
2n πX 1i
cos
sin
+ ∑ ∑ δ n m sin
λ1
λ2
λ1
λ2
n =0m = 0

(II.5)

Trong đó λ1 và λ2 là các bước sóng cơ bản dọc theo hai tọa độ vuông
góc với nhau X1 và X2 và n và m là các điều hòa trong hai hướng X1 và X2
. λ1 và λ2 ban đầu không biết và được ước tính bởi L1 và L2 . Chuỗi thực
không phải là vô hạn trong khai triển, vì vậy giới hạn ∞ phải được thay thế
bằng số hữu hạn.
Biểu thức chuỗi Fourier kép có thể đơn giản hóa bằng cách viết tắt

các số hạng. Đó là:
2n πX 1i
λ1

C *m = cos

2n πX 1i
λ1

S*m = sin

C n = cos

S n = sin

2m πX 2 j
λ2

2m πX 2 j
λ2

Phương trình II.5 có thể được viết lại như là
Y ịij =

∞

∞

∑ ∑ (α n m C n C *m + β n m C n S*m + γ n m Sn C *m + δ n m Sn S*m

n =0m =0

(II.6)

Nếu chuỗi Fourier kép được viết lại bằng cách này, nó có thể được mở
rộng thành hệ các phương trình chuẩn để giải các hệ số chưa biết bằng
cách tương tự như các phương trình trend bề mặt. Tuy nhiên, bởi vì phương
16


trình gồm các hệ số có chỉ số kép và tích của hai chuỗi điều hòa nhập vào
mỗi số hạng, cho nên phương trình phức tạp ngay cả trong cách viết tắt.
Ma trận tổng và tích là ma trận [A] trong phương trình:
[A].[β] = [C]
Trong đó [β] là các hệ số chưa biết và ma trận [C] bao gồm tổng của tích
trực tiếp giữa Y và các hàm điều hòa khác nhau. Ma trận ẩn số [β] có thể
tìm được bằng cách nghịch đảo và nhân ma trận :
[β] = [A]-1.[C]
Ma trận tổng và tích trực tiếp được phát triển bằng cách khai triển chuỗi
Fourier tới số hạng mong muốn, là n trong hướng X1 và m trong hướng X2.
Các hàng và các cột của ma trận tổng có dạng:

coco*
coco*

Σ( coco* )2

c1co*
.
.

c3s1*
.
.
snsm*

×

c1co*
Σcoco*c1co* ...

c3s1*

snsm*

Σcoco*c3s1* ...

Σcoco*snsm*

Σ c1co* coco* Σ( c1co* )2

Σc1co*c3s1*

Σc1co*snsm*

Σc3s1*coco*

Σc3s1*c1co*

Σ( c3s1* )2

Σc3s1*snsm*

Σ snsm*coco*

Σ snsm*c1co*

Σ snsm*c3s1*

Σ(snsm*)2

α00

ΣYcoco*

α10
.
.
β31

ΣYc1co*

=

ΣYc3s1*
17

(II.7)


.

.
δnm
*

cos

0

sin

ΣYsnsm*
*

*

cos

1

sin

*

*

cos

2

sin

*

*

cos

3

sin

4 →n
cos* sin*

*

Cos
0
sin

c0c0*

c0c1*

C0s1* c0c2*

C0s2* c0c3*

C0s3* c0c4*

c0s4*

Cos
1
sin

c1c0*

c1c1*

C1s1* c1c2*

C1s2* c1c3*

C1s3* c1c4*

c1s4*

s1c0*

s1c2*

S1s1*

S1s2*

S1s3*

s1c4*

s1s4*

c2c0*

c2c1*

C2s1* c2c2*

C2s2* c2c3*

C2s3* c2c4*

c2s4*

s2c0*

s2c1*

S2s1*

S2s2*

S2s3*

s2c4*

s2s4*

c3c0*

c3c1*

C3s1* c3c2*

C3s2* c3c3*

C3s3* c3c4*

c3s4*

s3c0*

s3c1*

S3s1*

S3s2*

S3s3*

s3c4*

s3s4*

c4c0*

c4c1*

C4s1* c4c2*

C4s2* c4c3*

C4s3* c4c4*

c4s4*

s4c0*

s4c1*

S4s1*

S4s2*

S4s3*

S4s4*

Cos
2
sin
Cos
3
sin
Cos
4
sin

s1c2*

s2c2*

s3c2*

s4c2*

s1c3*

s2c3*

s3c3*

s4c3*

s4c4*

↓
m

Hình II.2
Nếu nhiều hàm điều hòa được tính phương trình ma trận trở thành
cực lớn, bởi vì bốn hệ số phải được tính cho mỗi hàm điều hòa. Ví dụ, nếu
năm hàm điều hòa được tính trong cả hai hướng sẽ phải tính khoảng một
trăm hệ số.
Lưu ý , rằng sin00=0 , nếu n hoặc m bằng không, các số hạng
s

n

=

sin

2 n π X

λ

1 i

s

1

18

*
m

=

sin

2 m

π X
λ 2

2

j

sẽ bằng không. Vì thế , tất cả các số hạng có sin của hàm điều hòa thứ
zero bằng không , và một hàng và một cột của ma trận tổng và tích trực
tiếp biến mất . Các số hạng bằng không được bỏ trống ở hình II.2. Cũng
vậy, c0 và c0* bằng một, bởi vì cos00 = 1. Điều này làm đơn giản biểu thức
của hàng và cột của ma trận mà có những số hạng đó. Ở trong hình II.2
khối không chỉ có một số hạng , mà nó tạo ra mặt phẳng nằm ngang tại giá
trị của hệ số của nó. Khối một gồm tám số hạng mà nó biểu diễn những bề
mặt của những bước sóng cơ bản. Khối không và khối một chung nhau
biểu diễn các hệ số của trend bề mặt điều hòa thứ nhất. Khối hai gồm
mười sáu số hạng thêm vào mà biểu diễn bề mặt điều hòa thứ hai có bước
sóng bằng một nửa bước sóng cơ bản. Bề mặt điều hòa đầy đủ thứ hai
được hợp thành từ các hệ số của khối không, một và hai. Mỗi bề mặt kế
tiếp được xây dựng bằng cách cộng thêm các số hạng trong khối tiếp theo.
Phân tích Fourier kép thường được áp dụng cho các lớp vấn đề tương
tự với những trường hợp mà trend bề mặt đa thức được dùng để giải quyết.
Dữ liệu bản đồ xếp đặt không đều đặn được trùng khớp với bề mặt bởi
hàm nội suy đặt nền tảng trên các tọa độ địa lý của các điểm dữ liệu. Biểu
diễn dạng tổng quát của các hàm nội suy được dùng để tách tính thay đổi
của dữ liệu thành hai thành phần : trend khu vực được biểu diễn bằng hàm
số và những phần dư cục bộ được biểu diễn bằng đôï lệch. Chuỗi Fourier
có thể là hàm nội suy thích hợp hơn chuỗi đa thức bậc cao, nếu dữ liệu có
vẻ gồm các thành phần không gian lặp đi lặp lại. Khi không cần làm khớp
chính xác dữ liệu thì chỉ cần một số hữu hạn các hàm điều hòa là đủ cho
sự phân tích. Dữ liệu trong trend bề mặt thường ở dạng bố trí không đều
đặn, vì thế cần tính các hệ số Fourier bằng cách giải hệ phương trình
chuẩn II.7. Vì kích thước rất lớn của ma trận cần phải xử lý , cho nên khi
dùng máy tính nhỏ chỉ tính được chuỗi có ít hàm điều hòa. Ví dụ , như thấy
ở hình II.2 cần giải 49 hệ số khi chuỗi chỉ có ba hàm điều hòa. Ma trận

nghịch đảo để tìm các hệ số đó gồm 2450 số hạng. Những hạn chế gây ra
không chỉ bởi khả năng bộ nhớ của máy tính, mà còn bởi sai số làm tròn có
thể càng lúc càng rắc rối khi nghịch đảo ma trận rất lớn.
II.2.2 Mô hình lưới điểm
Mô hình lưới điểm là mô hình số độ cao dựa trên tập hợp các điểm
độ cao. Có hai loại mô hình thông dụng, đó là ma trân độ cao và lưới tam
giác
ƒ Mô hình ma trận độ cao

19


Mô hình ma trận độ cao là mô hình số độ cao, mà nó lưu lại độ cao tại
vị trí các nút của lưới hình chữ nhật đều đặn(lưới ô vuông là dạng thông
dụng nhất). Dữ liệu độ cao này có thể thu đưọc bằng nhiều phương pháp
khác nhau. Nó được sử dụng rộng rãi ,ví dụ, trong đo lưới thủy chuẩn vùng
đất xây dựng bởi những nhà trắc địa và trong sự thu thập dữ liệu mặt cắt
địa hình khi xử lý ảnh hàng không trên máy đo vẽ ảnh lập thể , đặc biệt
khi dùng máy vẽ giải tích dưới sự điều khiển bán tự động hoặc tự động của
máy tính.
Khuyết điểm của phương pháp dựa trên lưới đều đặn là sự phân bố
các điểm dữ liệu không liên hệ tới các điểm đặc trưng của thực địa. Nếu
các điểm dữ liệu lấy mẫu được chỉ đạo trên cơ sở của lưới đều đặn, thì mật
độ phải khá cao để vẽ chính xác hình dáng những đặc trưng thực địa nhỏ
nhất có mặt trên vùng được mô hình hóa.
Một giải pháp khắc phục khuyết điểm trên là áp dụng việc lấy mẫu
liên tiến. Giải pháp này dễ áp dụng khi xử lý đo vẽ ảnh được kiểm soát
bằng máy tính. Mật độ lấy mẫu thay đổi trong những phần khác nhau của
mô hình phù hợp với sự lồi lõm cục bộ của bề mặt thực địa. Bắt đầu với
một lưới cạnh dài (độ phân giải thấp) bao phủ trên toàn bộ bề mặt của mô

hình. Máy tính nối trực tiếp với dụng cụ đo vẽ ảnh và trên cơ sở phân tích
độ cao và độ dốc thực địa sẽ quyết định mật độ lấy mẫu liên tiến. Dựa trên
kết quả phân tích thực địa, lưới cơ sở đầu tiên được tăng mật độ bằng cách
chia đôi kích thước ô lưới trong vùng giới hạn nào đó. Việc đo các điểm độ
cao tại vùng có mật độ liên tiến được tiến hành dưới sự điều khiển của
máy tính chỉ ở những vùng được chỉ định trước. Dựa trên cơ sở phân tích dữ
liệu lần hai, mật độ tăng lên của các điểm có thể được chỉ ra cho những
vùng nhỏ hơn. Thông thường lặp ba lần là có khả năng đạt được dữ liệu
thực địa cần thiết để xây dựng được mô hình vừa ý.

20


Hình II.3
Bằng cách này kỹ thuật lấy mẫu liên tiến cố gắng tối ưu hóa tự động
hoặc bán tự động liên quan giữa độ chính xác yêu cầu, mật độ lấy mẫu và
các đặc trưng của thực địa.
Khi thu thập dữ liệu trực tiếp ngoài thực địa bằng máy toàn đạc
thông thường hoặc toàn đạc điện tử, phải đặt mia hoặc gương phản xạ tại
những điểm độ cao đặc trưng như đỉnh núi, dọc theo sống núi, những chỗ
lõm hoặc yên ngựa v.v... Nếu xây dựng mô hình theo dạng lưới đều đặn
dùng những điểm riêng biệt được đặt ngẫu nhiên như thế, thì phải phải
thực hiện việc nội suy để chuyển đổi dữ liệu đo cho lưới kích thước đều
đặn thích hợp. Các phương pháp nội suy khác nhau được áp dụng cho lưới
ngẫu nhiên có đặc tính phân biệt là khoảng xác định của hàm nội suy.
Người ta phân biệt ba phương pháp nội suy :
Phương pháp điểm
Phương pháp toàn cục
Phương pháp mảnh

21


22


(b)

(a)

Điểm được nội suy
Điểm tìm thấy
Điểm loại bỏ

(c)

Hình II.5
Những phương pháp nội suy điểm đòi hỏi phải nội suy những giá trị
độ cao tại những mắt lưới cụ thể từ những điểm độ cao được đo đặt ngẫu
nhiên gần nó. Mỗi điểm nút trên lưới được xác định độc lập với nút khác,
và bề mặt liên tục có thể được tạo ra qua tất cả các mắt lưới.
Hầu như tất cả các thuật toán được dùng để xác định độ cao
của mỗi mắt lưới riêng biệt đều dựa trên việc tìm kiếm tập
những điểm lân cận gần nhất, kèm theo lấy trọng số độ cao của
chúng bằng một hàm số nào đó của khoảng cách tương ứng tính
từ vị trí mắt lưới. Những cách tìm kiếm các điểm lân cận khác
nhau được minh họa ở hình II.5.
Việc tìm kiếm những điểm lân cận gần nhất có thể dùng kỹ thuật
tìm kiếm vùng đơn (hình II.5a), ở đó các điểm dữ liệu được chọn trong
vòng tròn bán kính cho trước, hoặc một hộp có kích thước cho trước để xác

định giá trị độ cao cho mắt lưới. Một kỹ thuật khác cũng có thể được dùng
là chọn n điểm gần nhất, trong đó n được người dùng chỉ định nhưng thông
thường trong khoảng 6 đến 10 điểm (hìnhII.5b) . Vì hai phương pháp này
không yêu cầu kiểm tra sự phân bố của các điểm được dùng nội suy cho
điểm mắt lưới, một phương pháp nữa khác biệt hơn nhiều được đưa ra là
tìm các điểm gần nhất được phân khu, trong đó vùng gần điểm mắt lưới
được chia thành các khu bằng nhau, thường là bốn hoặc tám khu, với hai
hoặc bốn điểm gần nhất được tìm cho mỗi khu (hình II.5c).
Những phương pháp nội suy toàn cục đòi hỏi phải làm khớp bề mặt
đơn ba chiều được định nghóa bởi đa thức bậc cao qua tất cả các điểm độ
cao địa hình được đo ở những nơi ngẫu nhiên có mặt trong mô hình. Từ đó
bề mặt toàn cục này được xác định, và những hệ số của đa thức được xác
định, vì thế những giá trị độ cao của mỗi mắt lưới có thể được nội suy. Các
23


khó khăn có thể tăng lên khi dùng đa thức bậc cao với nhiều số hạng và
tập dữ liệu dùng để tạo mô hình lớn. Thêm vào, tính chất dao động không
tiên đoán được do đa thức bậc cao gây ra có thể tạo nên những giá trị nội
suy tồi cho các điểm mắt lưới.
Những phương pháp nội suy mảnh nằm trung gian giữa phương pháp
điểm và phương pháp toàn cục. Toàn bộ vùng được tạo mô hình được chia
thành một loạt mảnh có kích thước bằng nhau. Hình dáng của mỗi mảnh là
dạng đều đặn, hình vuông hoặc hình chữ nhật. Những hàm số toán học
hoàn toàn riêng biệt được tạo ra để xây dựng mô hình bề mặt cho mỗi
mảnh. Những tập riêng rẽ các tham số phù hợp được tính cho mỗi mảnh
riêng biệt.
Có hai phương pháp nội suy mảnh khác nhau :
- Phương pháp mảnh ghép chính xác (hình II.6a) có thể được định
nghóa trong đó mỗi mảnh tiếp giáp chính xác với mảnh bên cạnh. Giữa

những mảnh như thế có thể tạo ra những sự gián đoạn đột ngột để lộ ra rõ
ràng dọc theo những mối nối của chúng sau khi vẽ xong đường đồng mức.
- Phương pháp mảnh chồng phủ (hình II.6b) là một sự lựa chọn khác,
trong trường hợp mà sẽ có những điểm nằm trong vùng gối phủ sẽ được
dùng trong tính toán các tham số cho mỗi mảnh .
Những ưu điểm của phương pháp mảnh so với phương pháp toàn cục
là dùng đa thức bậc thấp cũng đủ để miêu tả mỗi mảnh, như vậy số ẩn số
cần giải phương trình cho mỗi mảnh ít, đồng thời dùng phương pháp số
bình phương nhỏ nhất để giải. Một khi đã giải được các ẩn số dể dàng tính
được giá trị các mắt lưới bằng sự thay thế ngược trong các hàm số hoặc
phương trình miêu tả mảnh.
Tuy nhiên, cũng có một số nhược điểm của phương pháp mảnh là nó cần
tổ chức dữ liệu và xử lý nhiều hơn phương pháp điểm và phương pháp toàn
cục .

24