Luyện Tập Hàm Số Liên Tục Toán Lớp 11

ƠN THI
THPT QG

TỐN
11

GIẢI
TICH

LỚP

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

11

GIẢI TÍCH

Chương 4: GIỚI HẠN

BÀI
LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC


ƠN THI
THPT QG

TỐN
11

LỚP

GIẢI
TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

11

GIẢI TÍCH
Chương 4: GIỚI HẠN

Bài 3
LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC
I

DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1 Phương pháp giải
2 Bài tập vận dụng

II

DẠNG 2: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH
1 Phương pháp giải
2 Bài tập vận dụng

III

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM


ÔN THI

THPT QG

I

TOÁN
11

GIẢI
TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

DẠNG 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
PHƯƠNG PHÁP

Xét tính liên tục của hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) tại một điểm 𝒙𝟎

Bước 1: Tính 𝑓(𝑥0 )

Bước 2: Tính 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒙𝟎

Bước 3: So sánh 𝑓(𝑥0 ) và 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0

Nếu 𝒇(𝒙𝟎 ) = 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) thì hàm số liên tục tại điểm𝒙𝟎
𝒙→𝒙𝟎

Nếu 𝒇(𝒙𝟎 ) ≠ 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) thì hàm số khơng liên tục (hay gián đoạn)
tại điểm𝒙𝟎

𝒙→𝒙𝟎


ÔN THI
THPT QG

TOÁN
11

GIẢI
TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài tập 1 – sgk/140
Xét tính liên tục của hàm số 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟏 tại điểm 𝒙𝟎 = 𝟑
𝟑

Bài giải

Ta có: 𝒇 𝟑 = 𝟑𝟐
𝒍𝒊𝒎𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟑

𝒙→𝟑

𝟑
𝒙

+ 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟑𝟐

Vì 𝒍𝒊𝒎𝒇 𝒙 = 𝒇(𝟑) nên hàm số liên tục tại 𝒙𝟎 = 𝟑
𝒙→𝟑


ÔN THI
THPT QG

TOÁN
11

GIẢI
TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài tập 2 – sgk/140
𝟑

Trong biểu thức xác định

𝒙 −𝟖
,
𝒏ế𝒖
𝒙
≠
𝟐
𝒈
𝒙

ở
trên,
cần
thay
số
𝟓
Cho hàm số 𝒈 𝒙 = ൞ 𝒙 − 𝟐
𝟓
, 𝒏ế𝒖 𝒙 = 𝟐bởi số mấy thì hàm số liên
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 𝒙𝟎 =tục
𝟐 tại 𝒙𝟎 = 𝟐 ?

Bài giải

Ta có: 𝒈 𝟐 = 𝟓
𝟑
𝒙

−𝟖
𝟐
𝒍𝒊𝒎𝒈 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎
= 𝒍𝒊𝒎 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟏𝟐
𝒙→𝟐
𝒙→𝟐 𝒙 − 𝟐
𝒙→𝟐
𝐕ì: 𝒍𝒊𝒎𝒈 𝒙 ≠ 𝒈(𝟐)
𝒙→𝟐

nên hàm số gián đoạn tại 𝒙𝟎 = 𝟐

Chú ý: Trong biểu thức xác định 𝒈 𝒙 ở trên, cần thay số 𝟓 bởi số 𝟏𝟐
thì hàm số liên tục tại 𝒙𝟎 = 𝟐


ÔN THI
THPT QG

TOÁN
11

GIẢI
TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài tập 3
𝟐𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟏
,
𝒏ế𝒖
x>1
Cho hàm số 𝒇(𝒙) = ൞
𝒙−𝟏
𝒎𝒙 + 𝟐
, nếu x ≤ 𝟏
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 𝒎 để hàm số liên tục tại điểm 𝒙𝟎 = 𝟏

Bài giải
Ta có: 𝒇(𝟏) = 𝒎 + 𝟐

Để hàm số liên tục tại 𝒙𝟎 = 𝟏 thì

𝒍𝒊𝒎−𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎− 𝒎𝒙 + 𝟐 = 𝒎 + 𝟐

𝒍𝒊𝒎+𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎−𝒇 𝒙 = 𝒇 𝟏
𝒙→𝟏
𝒙→𝟏
𝟓
𝟑
⇔ 𝒎+𝟐 = ⇔ 𝒎 = −
𝟒
𝟒

𝒙→𝟏

𝒙→𝟏

𝟐𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟏
𝒍𝒊𝒎+𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎+
𝒙→𝟏
𝒙→𝟏
𝒙−𝟏
𝒙 − 𝟏 𝟒𝒙 + 𝟏
𝟓
= 𝒍𝒊𝒎+
=
𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏 𝟐𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟏
𝟒


ÔN THI

THPT QG

I

TOÁN
11

GIẢI
TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

DẠNG 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định
ĐỊNH LÍ 1
a. Hàm số đa thức liên tục trên tồn bộ tập số thực
b. Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số

lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng


ÔN THI
THPT QG

TOÁN
11

GIẢI
TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

DẠNG 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định
PHƯƠNG PHÁP

II

𝒉(𝒙), 𝒏ế𝒖 𝒙 ≠ 𝒙𝟎
* DẠNG 1: Cho hàm số 𝒇 𝒙 = ቊ
𝒈(𝒙), 𝒏ế𝒖 𝒙 = 𝒙𝟎
+ Bước 1: Tìm tập xác định
+ Bước 2: Với 𝒙 ≠ 𝒙𝟎 xét tính liên tục của hàm số 𝒇(𝒙) = 𝒉( 𝒙)
+ Bước 3: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 𝒙 = 𝒙𝟎
𝒉(𝒙), 𝒏ế𝒖 𝒙 > 𝒙𝟎
* DẠNG 2: Cho hàm số 𝒇 𝒙 = ቊ
𝒈(𝒙), 𝒏ế𝒖 𝒙 ≤ 𝒙𝟎
+ Bước 1: Tìm tập xác định

+ Bước 2: Với 𝒙 > 𝒙𝟎 xét tính liên tục của hàm số 𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙)
+ Bước 3: Với 𝒙 < 𝒙𝟎 xét tính liên tục của hàm số 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)
+ Bước 4: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 𝒙 = 𝒙𝟎


ÔN THI
THPT QG

TOÁN
11

GIẢI
TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài tập 2 – sgk/140
𝟑𝒙 + 𝟐 𝐧ế𝐮 𝒙 < −𝟏
Cho hàm số 𝒇 𝒙 = ቊ 𝟐
𝒙 − 𝟏 𝐧ế𝐮 𝒙 ≥ −𝟏
có đồ thị như hình bên:

a) Từ đồ thị hãy nhận xét tính liên tục của
hàm số khi x<−1,x>−1&x=−1?
b) Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định

Bài giải
a) Từ đồ thị ta thấy hàm số liên tục khi x<−1, x>−1,
tại x=−1 hàm số gián đoạn
b) Khi 𝒙 < −𝟏, ta có 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝟐 liên tục.
Khi 𝒙 > −𝟏, ta có 𝒇 𝒙 =

𝟐
𝒙

− 𝟏 liên tục.


ÔN THI
THPT QG

TOÁN
11

GIẢI
TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài tập 2 – sgk/140
3𝑥 + 2 nếu 𝑥 < −1
Cho hàm số 𝑓 𝑥 = ቊ 2
𝑥 − 1 nếu 𝑥 ≥ −1
có đồ thị như hình bên:

a) Từ đồ thị hãy nhận xét tính liên tục của hàm số khi
x<−1,x>−1&x=−1?
b) Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định

Bài giải
Khi 𝒙 = −𝟏, 𝑻𝒂 𝒄ó 𝒇 −𝟏 = 𝟎
Ta có 𝒍𝒊𝒎−𝒇(𝒙) = −𝟏; 𝒍𝒊𝒎+𝒇(𝒙) = 𝟎 nên hàm số không tồn tại 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙).
𝒙→−𝟏

𝒙→−𝟏

Hàm số gián đoạn tại 𝒙 = −𝟏

𝒙→−𝟏

Vậy hàm số liên tục trên −∞; −𝟏 , −𝟏; +∞ và gián đoạn tại 𝒙 = −𝟏

ƠN THI
THPT QG

GIẢI
TICH

TỐN
11

BÀI TẬP

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó
𝟐

𝐱 +𝐱−𝟐
,
𝐧ế𝐮
𝐱
≠
−2
𝒇(𝒙) = ൞ 𝟐 + 𝐱
1+2𝐱 ,
nếu 𝐱 = −2

Bài giải

+ TXĐ: 𝑫 = ℝ

+ 𝐱 ≠ −𝟐: 𝐟(𝐱) =

𝐱 𝟐 +𝐱−𝟐
𝐱+𝟐

hàm số liên tục trên hai khoảng

−∞; −𝟐 & −𝟐; +∞
+Tại 𝒙 = −𝟐 Ta có: 𝒇(−𝟐) = −𝟑

𝒍𝒊𝒎 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎

𝒙→−𝟐

𝒙→−𝟐

𝟐
𝒙

+𝒙−𝟐
𝟐+𝒙

= 𝒍𝒊𝒎 𝒙 − 𝟏 = −𝟑
𝒙→−𝟐

Vì 𝒍𝒊𝒎 𝒇 𝒙 = 𝒇(−𝟐) nên hàm số
𝒙→−𝟐

liên tục tại 𝒙 = −𝟐
Vậy hàm số liên tục trên 𝑫 = ℝ

ÔN THI
THPT QG

TOÁN
11

GIẢI
TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

III Câu hỏi trắc nghiệm:

CÂU 1
15
54
9
6
Giả sử 𝒚 = 𝒇 𝒙 và 𝒚 = 𝒈 𝒙 là hai hàm số liên tục tại điểm 𝒙𝟎 . Chọn mệnh đề sai.

A
C

Hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 liên tục tại 𝒙𝟎 .

B

Hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 liên tục tại 𝒙𝟎 .

D

Hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 . 𝒈 𝒙 liên tục tại 𝒙𝟎 .
Hàm số 𝒚 =

Bài giải
Hàm số 𝒚 =

𝒇 𝒙
𝒈 𝒙

liên tục tại 𝒙𝟎 nếu 𝒈 𝒙𝟎 ≠ 𝟎.

𝒇 𝒙
𝒈 𝒙

liên tục tại 𝒙𝟎 .


ÔN THI
THPT QG

TOÁN
11

GIẢI
TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

III Câu hỏi trắc nghiệm:

CÂU 2
15

A

𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙.

54
9
Hàm số nào sau đây không liên tục trên ℝ :

B

𝟐

𝒙 −𝟏
𝒚=
𝒙−𝟏

C

𝒙+𝟏
𝒚= 𝟐
𝒙 + 𝟐𝟎𝟐𝟎

6

D

𝟓

𝟒

𝒚 = 𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟐 l

Bài giải
Đáp án A: Hàm số lượng giác liên tục trên ℝ
Đáp án B: Hàm số 𝒚 =

𝒙𝟐 −𝟏
𝒙−𝟏

là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng

khoảng xác định. Vậy hàm số liên tục trên hai khoảng −∞; 𝟏 & 𝟏; +∞
Đáp án C: Hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là ℝ nên liên tục trên ℝ

Đáp án D: Hàm đa thức liên tục trên ℝ


ÔN THI
THPT QG

TOÁN
11

GIẢI

TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

III Câu hỏi trắc nghiệm:

CÂU 3
15

A

𝒚 = 𝒙 − 𝟑.

54
9
Hàm số nào sau đây liên tục tại 𝒙𝟎 = 𝟐?

B

𝒙
𝒚= 𝟐
.
𝒙 − 𝟐𝒙

C

𝟐

𝒚 = 𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟐.

6

D

Bài giải
Đáp án A, B, D: Hàm số không xác định tại điểm 𝒙𝟎 = 𝟐
Đáp án C: Hàm số 𝐲 =

𝟐
𝒙

− 𝟑𝒙 + 𝟐 là đa thức nên liên tục trên ℝ.

Do đó liên tục tại điểm 𝒙𝟎 = 𝟐

𝒚=

𝒔𝒊𝒏 𝒙
.
𝒙−𝟐


ÔN THI
THPT QG

TOÁN
11

GIẢI
TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

III Câu hỏi trắc nghiệm:

CÂU 4
15
54𝒙𝟐−𝟒
Cho hàm số 𝒇 𝒙 = ቐ 𝒙−𝟐
4

9

6

𝒌𝒉𝒊 𝒙 ≠ 𝟐 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
𝒌𝒉𝒊 𝒙 = 𝟐

A

𝑓(𝑥) không xác định tại 𝑥=2.

B

C

𝒇 𝒙 gián đoạn tại 𝒙 = 𝟐.

D

𝒍𝒊𝒎𝒇 𝒙 = 𝟎.
𝒙→𝟐

𝒇 𝒙 liên tục tại 𝒙 = 𝟐.

Bài giải
Đáp án A: Tập xác định của hàm số là ℝ

Đáp án B : 𝒍𝒊𝒎𝒇 𝒙 =
𝒙→𝟐

𝒙𝟐 −𝟒
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐 𝒙−𝟐

= 𝒍𝒊𝒎 𝒙 + 𝟐 = 𝟒
𝒙→𝟐

Đáp án C, D : 𝒇 𝟐 = 𝟒; 𝒍𝒊𝒎𝒇 𝒙 = 𝒇(𝟐) nên hàm số liên tục tại 𝒙 = 𝟐.
𝒙→𝟐


ÔN THI
THPT QG

TOÁN
11

GIẢI
TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

III Câu hỏi trắc nghiệm:

CÂU 5
15
54
Cho hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 có đồ thị cho bởi hình vẽ

9

6

Hàm số gián đoạn tại điểm nào sau đây?

A

𝒙 = −𝟏.

B

C

𝒙 = 𝟏.

D

𝒙 = 𝟎.
𝒙 = 𝟐.

Bài giải
Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên hai khoảng −∞; 𝟎 & 𝟎; +∞ ;
hàm số gián đoạn tại điểm 𝒙 = 𝟎


GIẢI
TICH

TỐN
11

ƠN THI
THPT QG

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

III Câu hỏi trắc nghiệm:

CÂU 6
𝟐
15
54
9
6
𝒙
+
𝒙
khi
𝒙

≤
𝟏
Tính tổng 𝑺 gồm tất cả các giá trị 𝒎 để hàm số 𝒇 𝒙 = ቊ 𝟐
𝒎 𝒙 + 𝟏 khi 𝒙 > 𝟏
liên tục tại 𝒙 = 𝟏.

A

B

𝑺 = 𝟎.

Bài giải

Ta có 𝒇 𝟏 = 𝟐

𝒍𝒊𝒎+𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎+

𝒙→𝟏

𝒙→𝟏

𝟐
𝒎 𝒙

+𝟏 =

C

𝑺 =-1.

𝟐
𝒎

𝒍𝒊𝒎−𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎−

𝒙→𝟏

𝒙→𝟏

+𝟏 =𝟐

D

𝑺 =2.

Vậy hàm số liên tục tại 𝒙 = 𝟏 khi và chỉ khi
+ 𝟏.

𝒍𝒊𝒎+𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎−𝒇 𝒙 = 𝒇 𝟏

𝒙→𝟏
𝟐
𝒙

𝑺 =1.

⇔

𝟐

𝒎

𝒙→𝟏

+ 𝟏 = 𝟐 ⇔ 𝒎 = ±𝟏.


ÔN THI
THPT QG

TOÁN
11

GIẢI
TICH

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

III Câu hỏi trắc nghiệm:

CÂU 7
15
54
9
6
𝟓
𝟑
Phương trình 𝟑𝒙 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?

A

B

−𝟐; −𝟏 .

−𝟏𝟎; −𝟐 .

Bài giải
Cách 1: Tự luận
𝟓
𝟑
Xét 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 liên tục trên ℝ
nên 𝒇 𝒙 liên tục trên −𝟐; −𝟏 .

Ta có 𝒇 −𝟐 = −𝟏𝟐𝟔, 𝒇 −𝟏 = 𝟐,
suy ra 𝒇 −𝟐 . 𝒇 −𝟏 < 𝟎.
Vậy phương trình 𝟑𝒙 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 có ít
nhất 1 nghiệm thuộc khoảng −𝟐; −𝟏 .
𝟓

𝟑

C

𝟎; 𝟏 .

D

−𝟏; 𝟎 .

Cách 2: Trắc nghiệm, sử dụng MTCT
+ Sử dụng chức năng Table (Mode 7)
𝟓
𝟑
với hàm số𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎.
𝟏𝟏
Start: -10
End: 1
Step: .
𝟏𝟗

Quan sát kết quả ta thấy giá trị của 𝒇 𝒙
tại các điểm trong khoảng −𝟏𝟎; −𝟐 ,
𝟎; 𝟏 , −𝟏; 𝟎 khơng đổi dấu, cịn trong
khoảng −𝟐; −𝟏 đổi dấu 1 lần.


LỚP

11

BÀI
3
GIẢI TÍCH
Chương IV

Theo em ở bức ảnh
nào xe có thể chạy
thơng suốt?

GIỚI HẠN

Hình 1
Hình 2
Cầu quay sơng Hàn – Đà Nẵng

Hình 4
Hình 3
Hố tử thần xuất hiện ở thành phố Fukuoka – Nhật Bản


LỚP

11

BÀI
3
GIẢI TÍCH
Chương IV

GIỚI HẠN

Cho các đồ thị hàm số.
Đồ thị nào được vẽ
bằng một nét liền?
Hình 5

Hình 6

Hình 7

Hình 8


LỚP

LỚP

BÀI
3
GIẢI TÍCH
Chương IV

11

11

GIỚI HẠN

ĐẠI SỐ
Chương 4: GIỚI HẠN

Bài 3
HÀM SỐ LIÊN TỤC
I

HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

II

HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

III

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
1 Định lý 1
2 Định lý 2
3 Định lý 3


LỚP

11
I

BÀI
3
GIẢI TÍCH
Chương IV

GIỚI HẠN

Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa 1
Cho hàm số 𝑓 𝑥 xác định trên khoảng 𝐾 và 𝑥0 ∈ 𝐾 . Hàm số 𝑓 𝑥 được gọi là liên
tục tại điểm 𝑥0 nếu lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0
𝑥→𝑥0

Hàm số 𝑓 𝑥 không liên tục tại điểm 𝑥0 được gọi là gián đoạn tại điểm 𝑥0

Phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Bước 1: Tìm tập xác định D, kiểm tra 𝑥0 ∈ 𝐷 khơng?
Bước 2: Tính 𝑓 𝑥0 và lim 𝑓 𝑥
𝑥→𝑥0

Bước 3: So sánh 𝑓 𝑥0 và lim 𝑓 𝑥 . Rồi kết luận.
𝑥→𝑥0


LỚP

11
I

BÀI
3
GIẢI TÍCH
Chương IV

GIỚI HẠN

HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Ví dụ 1

Xét tính liên tục của hàm số 𝑓 𝑥 =

𝑥
𝑥−2

tại 𝑥0 = 3

Bài giải Tập xác định: 𝐷 = 𝑅\{2}
• Hàm số y = 𝑓 𝑥 xác định trên 𝑅\{2}, do đó hàm số 𝑓 𝑥 xác định tại 𝑥0 = 3
𝑥
lim 𝑓 𝑥 = lim
=3
Ta có: 𝑥→3
𝑥→3 𝑥 − 2
𝑓 3 =3
⇒ lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 3 = 3
𝑥→3

Vậy hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 liên tục tại 𝑥0 = 3


LỚP

11

BÀI
3
GIẢI TÍCH
Chương IV

GIỚI HẠN

II GIỚI HẠN HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa 2
Hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi

điểm của khoảng đó.
Hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 được gọi là liên tục trên một đoạn 𝑎; 𝑏 nếu nó liên tục khoảng
(𝑎; 𝑏) và lim+ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 , lim− 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑏
𝑥→𝑎

𝑥→𝑏

Chú ý: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là một đường liền nét trên khoảng,
đoạn đó.


LỚP

11

BÀI
3
GIẢI TÍCH
Chương IV

GIỚI HẠN

III MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

Định lý 1
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực 𝑅 .
Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục
trên từng khoảng của tập xác định của chúng .

Ví dụ 1

a) 𝑓 𝑥 =

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng
3
𝑥

−𝑥+1

b) 𝑔 𝑥 =

𝑥 2 +1
𝑥−1

a) Tập xác định: 𝐷 = 𝑅
3
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 + 1 là hàm đa thức nên 𝑓 𝑥 liên tục trên 𝑅.

b) Tập xác định: 𝐷 = 𝑅\{1}

𝑔 𝑥 =

𝑥 2 +1
𝑥−1

liên tục trên khoảng −∞; 1 và 1; +∞ .

c) Tập xác định: 𝐷 = 𝑅
ℎ(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 liên tục trên khoảng (−∞; +∞).

c) h(x) = 𝑠𝑖𝑛𝑥