NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHÍNH QUY MÔN TOÁN CAO CẤP

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG

CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN

Độc lập - Tự do – Hạnh phúc

NGÂN HÀNG ĐỀ THI
Mơn: TỐN CAO CẤP 1
DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY KHỐI NGÀNH KINH TẾ
MỖI ĐỀ 4 CÂU (Mỗi phần A, B, C, D chọn một câu và tổng điểm bài thi bằng 10)

A) PHẦN A
Loại 2 điểm
Câu A 1.2: Tìm giới hạn

lim ( x + 2
3

1
x sin x

)

x →0

.

Câu A 2.2: Tìm giới hạn

lim ( 1 − cos3 x ) .
x

x →0

Câu A 3.2: Tìm giới hạn
x

1
lim+  ÷ .
x →0  x 
Câu A 4.2: Tìm giới hạn
x
3

xe
.
x →+∞ e x + 1
lim

Câu A 5.2: Tìm A để hàm số sau liên tục tại x = 1
 ( x 3 − 1) arctan x

nÕu x ≠ 1 .
f ( x) = 
x2 −1
 A
nÕu x = 1

Câu A 6.2: Tìm A để hàm số sau liên tục tại x = 0

 ln ( 1 + x 4 )

nÕu x ≠ 0
f ( x ) =  x 2 (cos x − 1)
.

nÕu x = 0
A

1


Câu A 7.2: Tìm giới hạn sau:
 1
1
lim 
− .
x → 0 ln( x + 1)
x

Câu A 8.2: Tìm giới hạn
lim+

x →0

1
2x + e

.

1
3x

Câu A 9.2: Tìm giới hạn
2

lim

x →0−

Câu A 10.2: Tìm giới hạn

3+ e

1
4x

.

(

)

lim cos x + 1 − cos x .

x →+∞

Loại 3 điểm
Câu A 1.3:
a) Tìm giới hạn

arcsin 5 x
.
x → 0 ( x + 4)sin x

lim
b) Tính tích phân sau:

∫x

2

arccos x dx.

Câu A 2.3:
a) Chứng tỏ rằng phương trình
x5 − 4 x3 + 5 x + 1
=0
x2 − 4
có ít nhất một nghiệm thực.
b) Tính tích phân sau:
π
4

sin 3 x
∫0 cos2 xdx.

Câu A 3.3:
a) Tìm số A để hàm số sau liên tục trên ¡

2

 4
1

f ( x) = 1 + 3 x

A + x

nÕu x < 0
nÕu x ≥ 0

b) Tính tích phân sau:
π

∫ x sin

2

2 x dx.

0

Câu A 4.3:
a) Xét sự liên tục của hàm số sau:
sin π x nÕu x ≤ 2
f ( x) = 
.
 2 − x nÕu x > 2
b) Tính tích phân sau:

∫

x + 2arcsin x
1− x

2

dx.

Câu A 5.3:
a) Tìm giới hạn
e2 x − 1 1
lim
ln .
x →0+ x + 2
x
b) Tính tích phân sau:

sin 5 x
∫ cosx − 1dx.
Câu A 6.3:
a) Tìm giới hạn
lim x ln(1+ x ) .

x →0+

b) Tính tích phân sau:
2

∫
Câu A 7.3:
a) Tìm giới hạn sau:

2

x2 − 1
dx.
2x

x + cos x
.
x →+∞ 2 x − sin x
lim

b) Tính tích phân sau:
3

.


3

∫ x arctanx dx.
0

Câu A 8.3:
a) Tìm A để hàm số sau liên tục trên ¡ .
nÕu x ≤ 1

A

πx

f ( x ) =  cos 2
2

2
 ( x − 1)
b) Tính tích phân sau:

∫

(2+

nÕu x > 1

)

x−3 x
x−3

dx.

Câu A 9.3:
a) Tìm giới hạn
1
 1

lim x 2  2 x − 2 x +1 ÷.

x →+∞



b) Tính tích phân sau:

∫e

x

dx.

Câu A 10.3:
a) Tìm giới hạn
lim ( x + 4

x →+∞

x

)

1
x

.

b) Tính tích phân sau:
1

∫( x
0

xdx

2

+ 1) 2 x + 1
2

B) PHẦN B
Loại 2 điểm
4

.

.


Câu B 1.2:
1

Cho y = x 3 x . Tính dy (2).
Câu B 2.2:
Cho y =

x2 + 1
. Tính d 2 y (2).
x
e

Câu B 3.2:
Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = 3 x − 6 .
Câu B 4.2:
Cho f ( x) =

1
. Tính f ( n ) ( x).
x −9
2

Câu B 5.2:
Chứng tỏ rằng
với mọi a, b ∈ (−1,1), a < b.

arcsin b − arcsin a ≥ b − a

Câu B 6.2:

Hàm số

0

f ( x ) =  ( x + 1) ln 2 x

 x −1

nÕu x ≤ 1
nÕu x > 1

có khả vi tại x = 1 hay khơng?
Câu B 7.2:
Tính đạo hàm cấp 25 của hàm số f ( x) = x cos 3 x.
Câu B 8.2:
Tính đạo hàm của hàm số:
 sin 3 x

f ( x) =  x
0


nÕu x ≠ 0
nÕu x = 0

Câu B 9.2:
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số
5

.


f ( x) = 3 2 x + 1.
Câu B 10.2:
Tính đạo hàm cấp n của hàm số
f ( x) =

3x − 1
.
4x + 3

Loại 3 điểm
Câu B 1.3:
a) Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên [ 0,1] , khả vi trên ( 0,1) . Chứng minh rằng tồn
f ′(c)
.
3c 2

tại c ∈ (0,1) sao cho f (1) − f (0) =
+∞

b) Tính tích phân suy rộng sau:

dx

∫ ( x − 1) .
3

2

Câu B 2.3:
a) Tính đạo hàm cấp 30 của hàm số
f ( x ) = x 2 sin 4 x.
b) Tính tích phân suy rộng sau:
−2

xe x
∫−∞ ( x + 1)2 dx.
Câu B 3.3:
a) Chứng minh rằng
3b − 3a

>b−a
ln 3
b) Tính tích phân suy rộng sau:

với 0 < a < b.

+∞

∫x
1

dx
.
+x

2

Câu B 4.3:
a) Cho f ( x) = ( x − 1)( x − 2)( x − 5)( x − 6) . Tính df (2).
b) Tính tích phân suy rộng sau:
3

∫
2

4− x
dx.
3
2− x

Câu B 5.3:
6


x2

t
a) Cho F ( x) = ∫ te dt. Tính F ′( x).
x

b) Tính tích phân suy rộng sau:
+∞

∫x
4

dx
.
x −1

Câu B 6.3:
a) Cho f ( x) =

x
, tính d 2 f (1).
2
x +2

b) Tính tích phân suy rộng sau:
+∞

∫

5

5

x9 e − x dx.

3

Câu B 7.3:
a) Tính gần đúng số A = sin(arccos 0, 01).
b) Tính tích phân suy rộng sau:
2

dx
.
x −1

∫
1

Câu B 8.3:
x3 + x − 1
. Tính d n f ( x) với n > 2.
2x +1
b) Tính tích phân suy rộng sau:
a) Cho f ( x) =

4

∫
2

dx
4x − x2

.

Câu B 9.3:
 ln ( 1 + 3x 2 )

a) Cho f ( x) = 
x
A


nÕu x ≠ 0
nÕu x = 0

Tìm A để f khả vi tại x = 0. Khi đó, hãy tính f ′(0).
b) Tính tích phân suy rộng sau:
π
2

cosx + 3 sin 7 x
∫0 3 sin x dx.

Câu B 10.3:

a) Chứng minh rằng x 7 + 3 x + 2 cos x + sin x ≥ 2 với mọi x ≥ 0.
7


b) Tính tích phân suy rộng sau:
+∞

∫e
0

dx
.
+4

x

C) PHẦN C
Loại 2 điểm
x2 y + y
. Tính df (1,1).
Câu C 1.2: Cho f ( x, y ) = 2
x − y2 +1
Câu C 2.2: Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số
f ( x, y ) = y 2 sin xy.
Câu C 3.2: Cho f ( x, y ) = arctan

x
. Tính df (2,1).
x + 2 y2
2

Câu C 4.2: Cho f ( x, y ) = 2 x − y . Tính d 2 f (1, 0).
Câu C 5.2: Cho y = y ( x) là hàm số ẩn xác định từ hệ thức
4 x + 2 y + arctany = 0.
Tính y ′( x ), y ′′( x ).
Câu C 6.2: Cho z = yf ( x 2 + y 3 ) trong đó f là hàm số có đạo hàm liên tục.
Tính A =

1
1
1
z′x − 2 z ′y + 3 z.
2x
3y
3y

Câu C 7.2: Tìm cực trị của hàm số
f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 3 x 2 y − y.
Câu C 8.2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x, y ) = x 3 y + xy − x + 1
trên miền D xác định bởi 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
Câu C 9.2: Tìm cực trị của hàm số
1 3
x − x2 y + y 2.
3
Câu C 10.2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x, y ) =

f ( x, y ) = xy 2 − x − y
trên miền tam giác ABC , A(0,0), B (3,0), C (0,3).

Loại 3 điểm
8


Câu C 1.3:
a) Cho z = x + 2 y 2 , x = u + 2v − w, y = u − v + 2w .
Tính các đạo hàm riêng zu′ (u , v, w), zv′ (u , v, w), zw′ (u , v, w).
b) Tìm cực trị của hàm số f ( x, y ) =

1 4
x − 2 xy 2 + y 4 .
2

Câu C 2.3:

1
x

a) Cho z = f (3 y − ) trong đó f là hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục.
Tính A = z′′xx +

2
1
z′x − 2 z′′xy .
x
3x

b) Tìm cực trị của hàm số
f ( x, y ) = x 2 − xy + y 2 +

12
.
y

Câu C 3.3:
a) Cho f ( x, y ) = x x + y 2 + ye xy . Tính df ( x, y ).
b) Cho z = e − x f ( x + 3 y ) trong đó f là hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục.
Tính A = z′′xx −

1
2
z′′yy + z′y − z.
9
3

Câu C 4.3:
a) Cho f ( x, y ) =

x4
+ y . Tính df (1,0).
x2 + y 2

b) Cho y = y ( x) là hàm số ẩn xác định từ hệ thức
x + xy + arcsin y =

π
.
6

Tính y ′( x ), y ′(0).

Câu C 5.3:
x y
a) Cho z = z ( x, y ) là hàm số ẩn xác định từ hệ thức cos + = 2.
z z
Tính dz (0,1).
b) Tìm cực trị của hàm số
f ( x, y ) = e x ( x 2 − x − y 2 + 2 y ).

9


Câu C 6.3:
a) Tính các đạo hàm riêng cấp một của hàm số sau:

y
f ( x, y ) = x 2 y cos .
x
b) Cho u = u ( x, y ), v = v( x, y ) là các hàm số ẩn xác định bởi hệ thức
u + v = y
 3
3
u + v = x − x + y
Tính du ( x, y ), dv( x, y ).
Câu C 7.3:
a) Tính gần đúng
A = 3e0,02 + 0,992 .
b) Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số

z = ( x 2 − 3xy ) cos y.

Câu C 8.3:
3
a) Cho u = x 2 + xy − cos z và x = 2 s + t , y = s − 2t , z = s + st.

Tính các đạo hàm riêng u′s ( s, t ), ut′ ( s, t ).
b) Tìm cực trị của hàm số
f ( x, y ) = ( x + y 2 )( x + 2 y 2 ).
Câu C 9.3:
a) Tính các đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của hàm số

u ( x, y , z ) = x y z 2 .

( x > 0)

b) Cho z = f ( x, y ) là hàm số ẩn xác định bởi phương trình

y
z
− xarctany − ln = 0 .
z
x
Tính gần đúng giá trị f (0,99; 0,02) .
Câu C 10.3:
a) Cho z =

−2 t
t
x 2 + y 2 và x = e , y = te .

Tính đạo hàm z′(t ).

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x, y ) = 2 x 2 + y
trên miền D xác định bởi x 2 + y 2 ≤ 1.

10


D) PHẦN D
Loại 2 điểm
Câu D 1.2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân

y′′ − 3 y′ + 2 y = 2 xe x
thỏa mãn điều kiện y (0) = 2, y ′ (0) = 1.
Câu D 2.2: Giải phương trình vi phân:

ydx − xdy = x 3e x dx.
Câu D 3.2: Tìm tích phân tổng qt của phương trình:

y 2 − x 2 y′ − xyy′ = 0.
Câu D 4.2: Giải phương trình vi phân:

y′′ + y = 2sin x.
Câu D 5.2: Giải phương trình vi phân

y′ −

3
1
y − = 0.
x ln x
x

Câu D 6.2: Giải phương trình vi phân sau:

y′ −

2 2
x
x + 1) = 2
y.
(
y
x +1

Câu D 7.2: Giải phương trình vi phân sau:

y′′ + y′ = e 2 x cos x.
Câu D 8.2: Giải phương trình vi phân sau

y′′ + 2 y′ + 2 y = 3cos x.
Câu D 9.2: Giải phương trình vi phân sau:

y +1
3y2 − x
dx +
dy = 0.
y
y2
Câu D 10.2: Tìm nghiệm của phương trình

( y sin y + 1) 3 + 2 x − x 2 dy − sin ydx = 0

thỏa mãn điều kiện y (1) =

π
.
2

Loại 3 điểm
11


Câu D 1.3:
a) Giải phương trình vi phân

( x + 3 y )dx − xdy = 0.
b) Tìm nghiệm của phương trình vi phân

y′′ − 2 y′ + y = 2e x
thỏa mãn điều kiện y′(0) = 3, y′′(0) = 6.
Câu D 2.3:
Giải các phương trình vi phân sau:





÷dx +  1 +


x2 + y 2 ÷




b) y′′ + 2 y′ + 5 y = sin 2 x.


÷dy = 0.
x2 + y 2 ÷


x

a)  2 x +

y

Câu D 3.3:
Giải các phương trình vi phân sau:

(

)

2
x
2
a) x y + e dx − x dy = 0.

b) y′′ − 2 y′ − 3 y = 2e3 x + 3 x 2 .
Câu D 4.3:
a) Tìm nghiệm của phương trình vi phân

( x − 2)dy + ydx = 0
thỏa mãn điều kiện y (0) = 2.
b) Giải phương trình vi phân

y′′ + y′ − 2 y = 4 x 2e 2 x .
Câu D 5.3:
Giải các phương trình vi phân sau:
a) y′ − 3 y = y 2e x .
b) y′′ + 4 y = cos 2 x + 3.
Câu D 6.3:
a) Tìm tích phân tổng qt của phương trình

( x + y ) y′ = 1.
b) Giải phương trình vi phân

12


y′′ + 2 y′ + y =

1 3
x.
6

Câu D 7.3:
a) Giải phương trình vi phân

( y − 2e ) dx − dy = 0.
−x

b) Tìm nghiệm của phương trình

y′′ + 4 y = 3cos 4 x
thỏa mãn điều kiện y (0) = 1, y′(0) = 4 .
Câu D 8.3:
Giải các phương trình vi phân sau:
a) xy 2 y′ − x 2 = y 3 .
b) y′′ − 4 y = 3 x cos x + sin x.
Câu D 9.3:
Giải các phương trình vi phân sau:
a) y′ +

y
= x2 y2.
x

b) y′′ + 2 y′ − 3 y = e −3 x + cosx.
Câu D 10.3:
Giải các phương trình vi phân sau:
a) y 2 dx + (2 xy + 7)dy = 0 .
b) y′′ − 3 y′ = sin 2 2 x.

13