Phương pháp hệ vô hạn giải gần đúng một số bài toán biên tuyến tính trong miền không giới nội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

TRẦN ĐÌNH HÙNG

PHƯƠNG PHÁP HỆ VƠ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG
MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN TUYẾN TÍNH
TRONG MIỀN KHƠNG GIỚI NỘI

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2016


VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ
……..….***…………

TRẦN ĐÌNH HÙNG

PHƯƠNG PHÁP HỆ VƠ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG
MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN TUYẾN TÍNH
TRONG MIỀN KHƠNG GIỚI NỘI

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TỐN HỌC
Chun ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 62 46 01 12

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. ĐẶNG QUANG Á

Hà Nội – 2016


LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Đặng Quang
Á. Tôi xin cam đoan những kết quả trình bày trong luận án là mới, trung
thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ cơng trình của ai khác, các
kết quả thực nghiệm đã được kiểm tra bằng các chương trình do chính tơi
thiết kế và kiểm thử trên môi trường Matlab, số liệu là hoàn toàn trung
thực. Những kết quả viết chung với Thầy hướng dẫn đã được sự đồng ý
khi đưa vào luận án.

Nghiên cứu sinh

Trần Đình Hùng

i


LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy
hướng dẫn, GS. TS. Đặng Quang Á. Tôi vô cùng biết ơn sự giúp đỡ tận
tình, q báu mà Thầy đã dành cho tơi trong suốt q trình thực hiện
luận án. Thầy đã dành cho tôi rất nhiều sự quan tâm, chỉ dẫn và động

viên giúp tôi cảm thấy tự tin hơn, vượt qua được những khó khăn, vất vả
trong suốt q trình nghiên cứu. Nhờ những ý tưởng mà Thầy đã gợi ý,
những tài liệu bổ ích mà Thầy đã cung cấp cùng với sự hướng dẫn, chỉ
bảo nhiệt tình của Thầy về cơng việc nghiên cứu, tơi đã hồn thành đề tài
của mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn các Thầy và các cán bộ nghiên cứu trong
Viện Công nghệ thông tin. Trong thời gian qua, Viện CNTT đã tạo cho
tôi môi trường làm việc hết sức thuận lợi và thường xuyên có những lời
động viên, nhắc nhở giúp tơi thực hiện tốt công việc nghiên cứu đề tài.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Sư Phạm,
Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng toàn thể giáo viên
trong khoa, các bạn bè đồng nghiệp, đến gia đình và người thân đã động
viên khuyến khích, giúp đỡ tơi trong suốt q trình nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn.

ii


Danh mục các chữ viết tắt và các
ký hiệu

ABC

Điều kiện biên nhân tạo
(Artificial Boundary Condition)

NRBC Điều kiện biên không phản xạ
(Non-Reflecting Boundary Condition)
UG

Lưới đều (Uniform Grid)

Lr

Lưới không đều với các bước lưới tăng dần

xi+1 = xi + hi+1 , i = 0, 1, ..., hi+1 = rhi , i = 1, 2, ..., r > 1
HG

Lưới tựa đều hyperbol (Hyperbolic Grid)

LG

Lưới tựa đều logarithm (Logarithmic Grid)

TG

Lưới tựa đều tangent (Tangential Grid)

¯
h

¯ = minhi .
Bước lưới nhỏ nhất trong lưới không đều h

h

Bước lưới lớn nhất trong lưới không đều h = maxhi .

error

Sai số

∆

Toán tử Laplace

S

−1
Ma trận (sij )M
, sij =
1

Λ

Ma trận đường chéo [λ1 , λ2 , ..., λM −1 ],

i≥1

i≥1

2
M

sin ijπ
M , i, j = 1, 2, ..., M − 1

jπ
λj = 2 cos M

, j = 1, 2, ..., M − 1

iii


Danh sách hình vẽ
βi
1−αi

2.1

Đồ thị hàm αi , βi ,

với h = 0.1, ε = 0.01 trong Ví dụ 2.1.1. 41

2.2

Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới đều với h = 0.1, ε = 0.01,
error = 0.0085 trong Ví dụ 2.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3

Đồ thị các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.1.2. . . . . . . . . . . . 43

2.4

Đồ thị hàm

βi
1−αi

trên lưới đều với h = 0.1, ε = 0.01, N =

911, error = 0.0084 trong Ví dụ 2.1.2. . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5

Đồ thị hàm

βi
1−αi

trên lưới Lr với τ = 0.2, ε = 0.01, N =

50, j = 1, 2, ..., 10 trong Ví dụ 2.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6

Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới Lr với τ = 0.2, ε = 0.01, N =

50, j = 1, 2, ..., 10 trong Ví dụ 2.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7

Đồ thị hàm

βi
1−αi

trên lưới Lr với τ = 0.1, ε = 0.01, N =

73, j = 1, 2, ..., 10 trong Ví dụ 2.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8

Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới Lr với τ = 0.1, ε = 0.01, N =

73, j = 1, 2, ..., 10 trong Ví dụ 2.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.9

Đồ thị hàm

βi
1−αi

trên lưới Lr với τ = 0.1, ε = 0.01, N =

89, j = 1, 2, ..., 10 trong Ví dụ 2.2.3. . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.10 Đồ thị các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.2.3. . . . . . . . . . . . 53
2.11 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới đều với N = 160 trong Ví
dụ 2.3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.12 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới Lr với N = 55 trong Ví dụ 2.3.1.57

iv


2.13 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới tựa đều HG với Nq = 55
trong Ví dụ 2.3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.14 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới đều với N = 258 trong Ví
dụ 2.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.15 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới Lr với N = 59 trong Ví dụ 2.3.2.59
2.16 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới tựa đều HG với Nq = 100
trong Ví dụ 2.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1

Các điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2

Đồ thị hàm

βi,j
1−αi,j

với j = 1, 2, ..., 9, h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε =

0.1 trong Ví dụ 3.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3

Đồ thị nghiệm xấp xỉ với h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε = 0.1 trong
Ví dụ 3.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4

Đồ thị hàm

βi,j
1−αi,j

với j = 1, 2, ..., 9, h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε =

0.1 trong ví dụ 3.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5

Đồ thị hàm

βi,j
1−αi,j

với j = 1, 2, ..., 9, h1 = 0.01, h2 = 0.1, ε =

0.01 trong ví dụ 3.1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6

Đồ thị hàm

βi,j
1−αi,j

với j = 1, 2, ..., 9, h1 = 0.5, h2 = 0.1, ε =

0.1 trong ví dụ 3.1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.7

Đồ thị nghiệm xấp xỉ với h1 = 0.5, h2 = 0.1, ε = 0.1 trong
ví dụ 3.1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.8

Đồ thị hàm

βi,j
1−αi,j

với j = 1, 2, ..., 9, ε = 0.01, N = 70 trong

Ví dụ 3.1.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.9

Đồ thị các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.1.7 . . . . . . . . . . . 82

3.10 Các điều kiện biên hỗn hợp và miền con . . . . . . . . . . . . . 84
(10)

3.11 Đồ thị hàm

βi,j

(10)

1−αi,j

với j = 1, 2, ..., 15, τ = 0.5 trong Ví dụ 3.2.1.88

v


(10)

3.12 Đồ thị hàm

βi,j

(10)

1−αi,j

với j = 1, 2, ..., 15, τ = 0.5, N (10) = 23

trong Ví dụ 3.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.13 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm

0, 1, ..., N và hàm xấp xỉ

∂u
∂y (xi , 0),

∂u
∂y (xi , 0),

i =

i = 1, 2, ... với γ1 =

1, γ2 = 10, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N (10) = 40
trong Ví dụ 3.2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.14 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm

0, 1, ..., N và hàm xấp xỉ

∂u
∂y (xi , 0),

∂u

∂y (xi , 0),

i =

i = 1, 2, ... với γ1 =

10, γ2 = 1, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N (10) = 40
trong Ví dụ 3.2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.15 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm

0, 1, ..., N và hàm xấp xỉ

∂u
∂y (xi , 0),

∂u
∂y (xi , 0),

i =

i = 1, 2, ... với γ1 =

1, γ2 = 10, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N (10) = 41
trong Ví dụ 3.2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.16 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm

0, 1, ..., N và hàm xấp xỉ

∂u
∂y (xi , 0),

∂u
∂y (xi , 0),

i =

i = 1, 2, ... với γ1 =

10, γ2 = 1, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N (10) = 41
trong Ví dụ 3.2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.17 Đồ thị hàm

1
0
βi,j
βi,j
,
1
0
1−αi,j
1−αi,j

và đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 =

0.1, ε = 0.01 trong Ví dụ 3.3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.18 Đồ thị hàm

1
0
βi,j

βi,j
,
1
0
1−αi,j 1−αi,j

và đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 =

0.1, ε = 0.1 trong Ví dụ 3.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.19 Đồ thị hàm

0
1
βi,j
βi,j
,
1
0
1−αi,j 1−αi,j

và đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 =

0.1, ε = 0.01 trong Ví dụ 3.3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

vi


Danh sách bảng
1.1

Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0000.m (Biên
Dirichlet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2

Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0001.m (Một
biên Neumann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3

Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0002.m (Hai
biên Neumann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1

Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.1.1 . . . . . . . . . . 41

2.2

Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.1.2 . . . . . . . . . . 42

2.3

Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.2.1 . . . . . . . . . . 49

2.4

Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.2.2 . . . . . . . . . . 51

2.5

Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.2.3 . . . . . . . . . . 52

3.1

Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.1.1 . . . . . . . . . . 73

3.2

Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.1.2 . . . . . . . . . . 74

3.3

Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.1.3 . . . . . . . . . . 75

3.4

Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.1.4 . . . . . . . . . . 77

3.5

Sự hội tụ của 2 phương pháp trong Ví dụ 3.1.5 . . . . . . . . . 80

3.6

Sự hội tụ của 2 phương pháp trong Ví dụ 3.1.6 . . . . . . . . . 81

3.7

Sự hội tụ của 2 phương pháp trong Ví dụ 3.1.7 . . . . . . . . . 81

3.8

Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.2.1 . . . . . . . . . . 88

3.9

Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.2.2 . . . . . . . . . . 89
vii


3.10 Sự hội tụ của phương pháp với γ1 = 1, γ2 = 10 trong Ví dụ 3.2.390
3.11 Sự hội tụ của phương pháp với γ1 = 10, γ2 = 1 trong Ví dụ 3.2.491
3.12 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.3.1 . . . . . . . . . . 100
3.13 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.3.2 . . . . . . . . . . 101
3.14 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.3.3 . . . . . . . . . . 102

viii


Mục lục
Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu . . . . . . . . .

iii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ . . . . . . .

8

1.1. Phương pháp truy đuổi (phương pháp khử đuổi) giải hệ phương trình
vơ hướng ba điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1. Phương pháp truy đuổi từ phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2. Phương pháp truy đuổi từ hai phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.3. Tính khả thi và ổn định của phương pháp. . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2. Hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.2. Các định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.3. Hệ chính quy và hồn tồn chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3. Lưới tựa đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4. Giới thiệu về thư viện chương trình giải bài toán elliptic trong miền
chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1. Bài toán biên Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.4.2. Bài toán với điều kiện biên Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Chương 2. Phương pháp hệ vô hạn giải một số bài tốn biên tuyến
tính một chiều trên nửa trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.0. Phương pháp chặt cụt một loại phương trình sai phân ba điểm

ix

29


2.1. Phương pháp hệ vơ hạn giải bài tốn dừng một chiều trên nửa trục
33
2.1.1. Mô tả phương pháp hệ vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2. Sử dụng lưới không đều và lưới tựa đều . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.1.3. Kết quả thử nghiệm và so sánh hai phương pháp hệ vô hạn và
lưới tựa đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.2. Phương pháp hệ vơ hạn giải phương trình parabolic trên thanh nửa
vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.2.2. Kết quả thử nghiệm và so sánh hai phương pháp hệ vô hạn và
lưới tựa đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.3. Phương pháp hệ vơ hạn giải phương trình dạng phức hợp . . . . .

54

2.3.1. Phát biểu bài tốn và mơ tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . .

54

2.3.2. Ví dụ số và so sánh các phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Chương 3. Phương pháp gần đúng giải một số bài tốn biên tuyến
tính hai chiều trong nửa dải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1. Phương pháp hệ vô hạn giải một bài toán elliptic trong nửa dải 62
3.1.1. Xây dựng lược đồ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.1.2. Sự ổn định và hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.1.3. Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.1.4. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.1.5. So sánh phương pháp hệ vô hạn trên lưới không đều và phương
pháp lưới tựa đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3.2. Phương pháp số giải phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp
mạnh trong nửa dải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.1. Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

3.2.2. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

x


3.3. Phương pháp số giải một bài toán cho phương trình song điều hịa
trong nửa dải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.1. Xây dựng lược đồ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

3.3.2. Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

3.3.3. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

Danh mục các cơng trình đã cơng bố . . . . . . . . . . . .

106

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

xi


MỞ ĐẦU

Nhiều bài tốn vật lý, cơ học, mơi trường, . . . được đặt ra trong các
miền không giới nội (hay cịn gọi là các miền vơ hạn), chẳng hạn, bài tốn
truyền nhiệt trong thanh dài vơ hạn hoặc nửa vơ hạn, bài tốn lan truyền
khí thải trong khí quyển, bài tốn thăm dị địa chất bằng điện trường, bài
tốn lan truyền sóng trong các lĩnh vực: âm học, khí động học, địa vật lý
chất rắn, hải dương học, khí tượng học, điện từ, ... Để giải quyết các bài
toán này, người ta thường hạn chế xét bài toán trong miền giới nội và sử
dụng nhiều phương pháp đã có để tìm nghiệm chính xác hoặc nghiệm gần
đúng trong miền hữu hạn này. Khi đó một loạt vấn đề đặt ra là xét miền
rộng bao nhiêu là đủ và đặt điều kiện trên biên ảo như thế nào để thu
được nghiệm gần đúng xấp xỉ tốt nghiệm của bài tốn trong miền khơng
giới nội. Cách làm đơn giản nhất là chuyển nguyên điều kiện biên tại vô
cùng vào biên ảo. Cách làm thơ thiển này tất nhiên có thể dẫn đến sự sai

khác lớn của nghiệm bài toán gốc. Vì thế, thay cho việc chuyển nguyên
điều kiện biên người ta tìm cách đặt điều kiện biên thích hợp trên biên ảo.
Những điều kiện biên này được gọi là điều kiện biên nhân tạo hay điều
kiện biên hấp thụ (ABC) (artificial or absorbing boundary condition) khi
một số "năng lượng" bị hấp thụ trên biên [2]. Hiện nay, hầu hết các kỹ
thuật được áp dụng để thiết lập ABC có thể chia thành hai cách thực hiện:
Cách thứ nhất (ABC toàn cục), ABC thường được cho dưới dạng các biểu
1


thức tích phân trên biên ảo. ABC tồn cục thường đạt được độ chính xác
cao và thuật tốn số tin cậy nhưng lại khá phức tạp và khó thực hiện tính
tốn. Cách thứ hai (ABC địa phương), ABC thường được cho dưới dạng
một phương trình trên biên ảo. ABC địa phương có thuật tốn đơn giản,
dễ dàng thực hiện giải số tuy nhiên chúng lại có độ chính xác khơng cao
bằng. Tsynkov [53] đã thực hiện so sánh một số bài toán đánh giá sự khác
biệt của hai cách thực hiện trên. Nếu nghiệm xấp xỉ hạn chế trên miền giới
nội trùng với nghiệm chính xác trên miền khơng giới nội thì các ABC này
được gọi là các ABC chính xác hay điều kiện biên trong suốt (transparent
boundary condition).
Trong các bài tốn về phương trình sóng (điện từ, âm thanh, địa
chấn,...), ABC thường được đề cập đến như các điều kiện biên không phản
xạ (NRBC) (non-reflecting boundary condition). Chúng được xây dựng
với mục đích xấp xỉ nghiệm chính xác của bài tốn trong miền khơng giới
nội giới hạn trong miền giới nội. Sử dụng NRBC, miền không giới nội được
chia thành hai phần, miền hữu hạn tính tốn và miền vơ hạn cịn lại. Điều
kiện biên đặc biệt được thiết lập trên ABC đảm bảo nghiệm trong miền
hữu hạn là duy nhất và khơng có (hoặc rất ít) sự phản xạ của sóng ảo xảy
ra từ ABC. Đây là hướng nghiên cứu được rất nhiều nhà toán học, cơ học,
vật lý quan tâm. Trước những năm 1980 một số NRBC bậc thấp được

đề xuất như Engquist-Majda NRBC [26] và Bayliss-Turkel NRBC [3]. Sau
đó, trong những năm 1990, Berenger [4] trình bày một miền hấp thụ hay
còn được gọi là "lớp khớp hoàn chỉnh". Hiện nay NRBC địa phương bậc
cao cho các phương trình sóng được phát triển ngày càng tinh vi (xem
[7, 30, 34, 35, 53]). Các ABC chính xác cũng được nghiên cứu cho phương
trình truyền nhiệt trong [39, 56], cho phương trình khuếch tán-truyền tải

2


trong [10, 38] và cho phương trình Schrodinger trong [2, 24]. Gần đây Guddati et al [32, 33] sử dụng một dạng ABC đặc biệt được gọi là ABC phân
số liên tục, một dạng ABC có hiệu quả cao áp dụng cho mơ hình sóng hấp
thụ trong miền khơng giới nội. Chúng được phát triển cho các miền đa
giác lồi.
Trong các bài tốn trong miền khơng giới nội sử dụng ABC, có một
nhận xét rằng trong các giả thiết của bài toán gốc, hàm vế phải và các
điều kiện biên ban đầu thơng thường được giả thiết có giá compact trong
không gian. Đây là điều kiện quan trọng trong việc chia miền khơng giới
nội thành hai miền tính tốn con giới nội và không giới nội trong các
phương pháp sử dụng ABC.
Gần đây một số nhà toán học Nga đã đề xuất một cách xử lý mới các
bài toán trong miền vơ hạn, đó là sử dụng lưới tính tốn tựa đều. Phương
pháp này dựa trên việc biến đổi tọa độ, ánh xạ miền không giới nội tới
miền giới nội. Một lưới đều trong miền bị chặn ánh xạ tới một lưới không
đều được gọi là lưới tựa đều trong miền vô hạn. Theo lưới tựa đều, điều
kiện biên tại vô cùng được xử lý một cách dễ dàng. Ý tưởng của phương
pháp này xuất hiện từ những năm bảy mươi của thế kỷ trước nhưng việc
sử dụng nó để giải các bài tốn trong miền khơng giới nội chỉ mới cách
đây hơn một thập kỷ trong các cơng trình [1, 28, 40, 41, 44]. Fazio và
Jannelli [28] xét lược đồ sai phân hữu hạn trên lưới tựa đều, xác định bởi

việc biến đổi tọa độ, áp dụng cho nghiệm số của bài tốn giá trị biên trên
các khoảng vơ hạn. Các tác giả áp dụng phương pháp trên cho hai bài
tốn kiểm tra. Bài tốn đầu tiên là mơ hình Falkner-Skan của lý thuyết
lớp biên. Bài tốn thứ hai là một vấn đề được quan tâm trong kỹ thuật
nền móng. Ngồi ra, các tác giả đã áp dụng ngoại suy Richardson để cải

3


tiến độ chính xác của các kết quả thu được. Đồng thời chỉ ra một cách
mở rộng bài toán trên toàn bộ trục thực. Koleva [44] sử dụng lưới tựa đều
cho các bài toán truyền nhiệt 1D và 2D với các điều kiện biên phi tuyến
đơn giản. Thuật toán được đề xuất hiệu quả đối với nghiệm bùng nổ do
sử dụng bước thời gian giảm, tương ứng với sự phát triển của nghiệm.
Zadorin và Chekanov [58] đã đề xuất một phương pháp giải lược đồ sai
phân véc tơ ba điểm trên một khoảng vô hạn và sử dụng một phương pháp
cắt cụt để giải lược đồ này. Phương pháp được áp dụng cho một bài toán
elliptic trong một dải. Tuy nhiên để thực hiện phương pháp địi hỏi việc
tìm nghiệm của các phương trình véc tơ rất phức tạp.
Khác với các cách làm trên, chúng tôi tiếp cận tới các bài tốn biên
tuyến tính trong miền khơng giới nội bởi hệ vơ hạn các phương trình đại
số tuyến tính [43]. Nói chính xác hơn là chúng tơi xây dựng lược đồ sai
phân của bài tốn trong tồn miền khơng giới nội và giải hệ vơ hạn phương
trình đại số tuyến tính thu được thơng qua việc chặt cụt hệ phương trình
vơ hạn, thu được nghiệm của bài tốn sai phân với sai số cho trước. Một
số kết quả đối với các bài tốn ơ nhiễm khí quyển dừng [11], [12] và một
số bài tốn khơng dừng một chiều khơng gian [13] đã được công bố gần
đây. Trong [14] chúng tôi đã phát triển thành cơng phương pháp cho một
bài tốn elliptic trong nửa dải. Cụ thể là, sau khi rời rạc hóa bài tốn bởi
phương pháp sai phân, sử dụng ý tưởng của Polozhii [48] trong phương

pháp biểu diễn tổng chúng tơi đã đưa được hệ vơ hạn phương trình véc
tơ ba điểm về các hệ phương trình sai phân vô hướng ba điểm và thu
nhận được nghiệm gần đúng của bài toán với sai số cho trước. Cần nhấn
mạnh ở đây rằng, trong phương pháp này các hàm vế phải và các điều
kiện ban đầu không cần giả thiết có giá compact - điều kiện tiên quyết

4


trong các phương pháp sử dụng ABC. Có thể nói đây là một phương pháp
mới, áp dụng có hiệu quả đối với các bài tốn trong miền khơng giới nội
mà phương trình cuối được đưa về dạng hệ phương trình vơ hạn ba điểm.
Phương pháp này cũng có thể được sử dụng một cách linh hoạt khi kết
hợp với các phương pháp khác như phương pháp chia miền giải các bài
tốn biên hỗn hợp mạnh trong miền khơng giới nội. Hơn nữa, thuật tốn
số có thể dễ dàng lập trình tính tốn trên máy tính điện tử. Tuy nhiên
chúng tơi mới chỉ áp dụng thành công phương pháp này cho các bài tốn
biên tuyến tính trong miền khơng giới nội.
Nội dung chính của luận án trình bày các kết quả nghiên cứu về lý thuyết
và thực nghiệm tính tốn đối với phương pháp hệ vơ hạn các phương trình
đại số tuyến tính, phương pháp lưới tựa đều và so sánh hai phương pháp
áp dụng đối với một số bài toán biên tuyến tính trong miền khơng giới
nội: Các bài tốn một chiều truyền nhiệt dừng, khơng dừng, phương trình
dạng phức hợp, các bài tốn hai chiều elliptic, song điều hịa với các điều
kiện biên khác nhau: Dirichlet, Neumann hay điều kiện biên hỗn hợp.
Luận án được viết trên cơ sở các cơng trình [13, 14, 15, 16, 17, 18] đã
được công bố gần đây. Nội dung luận án gồm 3 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ bao gồm
một số kiến thức cơ bản về phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình
vơ hướng ba điểm, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, lưới tựa đều

và giới thiệu về thư viện chương trình giải số bài tốn elliptic với các điều
kiện biên hỗn hợp yếu. Các kiến thức cơ bản và kết quả thu được trong
chương 1 sẽ đóng vai trị rất quan trọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽ
được trình bày trong chương 2 và chương 3.
Chương 2 đề xuất phương pháp hệ vơ hạn các phương trình đại số tuyến

5


tính và trình bày phương pháp sử dụng lưới tựa đều giải một số bài toán
một chiều trên nửa trục là mơ hình của các q trình vật lý như truyền
nhiệt dừng, truyền nhiệt khơng dừng, bài tốn mơ phỏng hiện tượng sóng,
so sánh phương pháp hệ vơ hạn trên lưới đều, lưới không đều với các nút
lưới tăng dần và phương pháp lưới tựa đều.
Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về giải gần đúng một số bài
tốn hai chiều trong miền khơng giới nội. Đầu tiên chúng tơi giải một bài
tốn elliptic trong nửa dải, trong đó sử dụng ý tưởng của Polozhii trong
phương pháp biểu diễn tổng để đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm về
hệ phương trình vơ hướng ba điểm. Tiếp theo chúng tơi giải bài tốn biên
hỗn hợp mạnh trong nửa dải, trong đó có một điểm trên biên vơ hạn phân
cách các loại điều kiện biên, sử dụng phương pháp chia miền đưa về hai
bài toán elliptic trong miền giới nội và miền không giới nội. Đồng thời
trong chương này cũng trình bày phương pháp số giải bài tốn song điều
hòa với điều kiện biên hỗn hợp yếu trong nửa dải thơng qua việc giải hai
bài tốn cấp hai trong nửa dải.
Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực
nghiệm tính tốn được lập trình trong mơi trường MATLAB 7.0 trên máy
tính Intel Core i7-2670QM CPU 2.2GHz.

6

Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và thảo
luận tại:
1. Hội nghị khoa học quốc gia lần thứ VI "Nghiên cứu cơ bản và ứng
dụng CNTT", 20 - 21/6/2013 - Huế.
2. Vietnam International Applied Mathematics Conference, December
19 to 20, 2013 - Ho Chi Minh City, Vietnam.
3. Hội thảo Tối ưu và Tính tốn Khoa học lần thứ 12, 23 - 25/4/2014 Ba Vì.
4. Hội nghị khoa học quốc gia lần thứ VII "Nghiên cứu cơ bản và ứng
dụng CNTT", 19 - 20/6/2014 - Thái Nguyên.
5. 6th International Conference on High Performance Scientific Computing, March 16 - 20, 2015 - Hanoi, Vietnam.
6. Các buổi Seminar khoa học của phịng Các phương pháp tốn học
trong CNTT, Viện CNTT - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam.

7


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị và kết
quả bổ trợ
Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị, kết quả bổ trợ thực
sự cần thiết cho các chương tiếp theo được tham khảo từ các tài liệu
[1, 41, 43, 50, 51].

1.1.

Phương pháp truy đuổi (phương pháp khử đuổi)
giải hệ phương trình vơ hướng ba điểm

Hệ phương trình ba điểm phát sinh từ xấp xỉ ba điểm cho bài tốn
giá trị biên của các phương trình vi phân thường cấp hai với các hệ số
hằng hoặc biến thiên. Nó cũng xuất hiện khi rời rạc hóa các phương trình
vi phân đạo hàm riêng cấp hai theo từng hướng. Trong trường hợp sau,
chúng ta thường phải giải không chỉ một hệ phương trình sai phân ba điểm
duy nhất mà phải giải một dãy các hệ phương trình với hàm vế phải khác
nhau, trong đó số lượng các hệ phương trình trong dãy có thể là hàng chục
hoặc hàng trăm và số lượng của các ẩn trong mỗi hệ phương trình là rất
lớn. Điều này dẫn tới cần thiết phải tìm các phương pháp hữu hiệu để giải
các hệ phương trình sai phân ba điểm, trong đó số lượng các phép toán tỷ
lệ thuận với số lượng ẩn số. Một trong các phương pháp trực tiếp hữu hiệu

8


xử lý bài toán giá trị biên cho các phương trình sai phân ba điểm với các
hệ số hằng số là phương pháp truy đuổi (một dạng đặc biệt của phương
pháp khử). Dưới đây chúng tơi sẽ trình bày tóm tắt phương pháp này.

1.1.1.

Phương pháp truy đuổi từ phải

Xét hệ phương trình ba điểm

c0 y0 − b0 y1 = f0 , i = 0,
(1.1.1)

−ai yi−1 + ci yi − bi yi+1 = fi , 1 ≤ i ≤ N − 1,

−aN yN −1 + cN yN = fN , i = N,
hay trong dạng véc tơ

AY = F,

(1.1.2)

trong đó Y = (y0 , y1 , ..., yN )T là véc tơ chưa biết, F = (f0 , f1 , ..., fN )T là
véc tơ vế phải, A là ma trận vng (N + 1) × (N + 1)

c
−b0
0
0
...
0
0
 0

−a1
c1 −b1
0
...
0
0


 0
−a2 c2 −b2 ...
0

0


A= .
.
.
.
...
.
.


 .
.
.
.
...
.
.


 0
0
0
0
... −aN −1 cN −1

0
0
0

0
...
0
−aN

0





0 


0 


. ,


. 


−bN −1 

cN

với các hệ số thực hoặc phức.
Theo ý tưởng của phương pháp Gauss, thực hiện phép khử các ẩn trong
(1.1.1). Từ đó ta có cơng thức tìm nghiệm như sau [51]

yi = αi+1 yi+1 + βi+1 , i = N − 1, N − 2, ..., 0,
yN = βN +1 ,
9

(1.1.3)


trong đó αi và βi được xác định từ cơng thức

αi+1 =

bi
b0
, i = 1, 2, ..., N − 1, α1 = ,
ci − ai αi
c0

(1.1.4)

f0
fi + ai βi
, i = 1, 2, ..., N, β1 = .
ci − ai αi
c0

(1.1.5)

βi+1 =

αi và βi được gọi là các hệ số truy đuổi (hệ số khử). Công thức (1.1.4) và
(1.1.5) mô tả q trình khử tiến và cơng thức (1.1.3) mơ tả q trình lùi.
Các cơng thức (1.1.3) - (1.1.5) được gọi chung là công thức truy đuổi từ
phải hay công thức khử từ phải.
Các công thức (1.1.3)-(1.1.5) chứa 3N phép nhân, 2N + 1 phép chia,

3N phép cộng và trừ. Khi đó tổng số phép tính tốn là Q = 8N + 1, trong
đó 3N − 2 phép tốn được sử dụng để tính αi và 5N + 3 phép tốn để
tính βi và yi .

1.1.2.

Phương pháp truy đuổi từ hai phía

Tương tự như trên ta cũng có cơng thức truy đuổi từ trái hay công thức
khử từ trái như sau:

ξi =

ai
aN
, i = N − 1, N − 2, ..., 1, ξN =
,
ci − bi ξi+1
cN

(1.1.6)

ηi =

fi + bi ηi+1
fN
, i = N − 1, N − 2, ..., 0, ηN =
,
ci − bi ξi+1
cN

(1.1.7)

yi+1 = ξi+1 yi + ηi+1 , i = 0, 1, ..., N − 1, y0 = η0 .

(1.1.8)

Kết hợp phép truy đuổi trái và phải ta được phương pháp truy đuổi hai
phía. Phương pháp này được áp dụng thích hợp nhất khi muốn tìm một
giá trị chưa biết ym (0 ≤ m ≤ N ) hoặc một nhóm giá trị liền nhau. Giả
10


sử 1 ≤ m ≤ N , ta viết các công thức (1.1.3) và (1.1.8) tại i = m − 1:

ym−1 = αm ym + βm , ym = ξm ym−1 + ηm ,
từ đó tìm được ym :

ym =

ηm + ξm βm
.
1 − ξm αm

Sử dụng ym , lần lượt tìm ym−1 , ym−2 , ..., y0 từ (1.1.3) và ym+1 , ym+2 , ..., yN
từ (1.1.8). Khi đó ta có cơng thức cho phương pháp truy đuổi hai phía sau
để tính các hệ số

bi
b0
, i = 1, 2, ..., m − 1, α1 = ,
ci − ai αi
c0
fi + ai βi
f0
βi+1 =
, i = 1, 2, ..., m − 1, β1 = ,
ci − ai αi
c0
ai
aN
ξi =
, i = N − 1, N − 2, ..., m, ξN =
,
ci − bi ξi+1
cN
fi + bi ηi+1
fN
ηi =
, i = N − 1, N − 2, ..., m, ηN =
ci − bi ξi+1
cN
αi+1 =

(1.1.9)

và cơng thức để tìm nghiệm:

yi = αi+1 yi+1 + βi+1 , i = m − 1, m − 2, ..., 0,
yi+1 = ξi+1 yi + ηi+1 , i = m, m + 1, ..., N − 1,
ηm + ξm βm
ym =
.
1 − ξm αm

(1.1.10)

Số phép tính sử dụng trong cơng thức truy đuổi hai phía bằng với số phép
tính trong cơng thức truy đuổi trái hay phải, Q ≈ 8N .

1.1.3.

Tính khả thi và ổn định của phương pháp

Phương pháp truy đuổi từ phải được gọi là khả thi nếu ci − ai αi =

0, i = 1, 2, ..., N và nó được gọi là ổn định nếu |αi | ≤ 1.
Bổ đề sau là điều kiện đủ cho tính khả thi và ổn định của công thức
truy đuổi từ phải.
11


Bổ đề 1.1.1. [51] Giả sử các hệ số của hệ (1.1.1) là số thực và thỏa mãn
điều kiện

|b0 | ≥ 0, |aN | ≥ 0, |c0 | > 0, |cN | > 0, |ai | > 0, |bi | > 0, i = 1, 2, ..., N − 1,

|ci | ≥ |ai | + |bi |, i = 1, 2, ..., N − 1,

(1.1.11)

|c0 | ≥ |b0 |, |cN | ≥ |aN |,

(1.1.12)

trong đó có ít nhất một bất đẳng thức trong (1.1.11) hoặc (1.1.12) là chặt,
tức là ma trận A là chéo trội. Khi đó trong cơng thức (1.1.3)-(1.1.5) của
phương pháp truy đuổi ta có

ci − ai αi = 0, |αi | ≤ 1, i = 1, 2, ..., N − 1.
Điều này đảm bảo tính khả thi và ổn định của phương pháp.
Chú ý 1.1.2. Các điều kiện của Bổ đề 1.1.1 cũng đảm bảo cho tính khả
thi và ổn định của phương pháp truy đuổi từ trái và từ hai phía. Bổ đề
1.1.1 cũng áp dụng được trong trường hợp các hệ số ai , bi , ci là số phức
trong hệ (1.1.1).
Chú ý 1.1.3. Nếu các điều kiện trong Bổ đề 1.1.1 thỏa mãn thì hệ (1.1.1)
có nghiệm duy nhất với mọi vế phải.

1.2.

Hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính

Lý thuyết hệ vơ hạn phương trình tuyến tính nảy sinh và phát triển
xuất phát từ các ứng dụng của nó đối với các bài tốn lấy tích phân của

phương trình vi phân. Hệ vơ hạn đóng vai trị quan trọng trong việc giải
các phương trình tích phân và đặc biệt trong việc tìm nghiệm của các bài
12