tóm tắt luận án phương pháp giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
TRƯƠNG HÀ HẢI
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP
Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số : 62.46.30.01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Tập thể hướng dẫn khoa học
1. GS.TS Đặng Quang Á
2. TS. Vũ Vinh Quang
HÀ NỘI - 2013

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Nhiều bài toán vật lý và cơ học được mô hình hóa bởi các phương trình đạo hàm riêng. Vấn
đề giải số hiệu qua phương trình đạo hàm riêng vẫn luôn là một trong những vấn đề được quan
tâm nhất trong toán học tính toán, đặc biệt khi hệ số không trơn (gián đoạn trên một mặt phân
cách nào đó) hoặc điều kiện biên hỗn hợp mạnh (cả hai điều kiện biên dạng Dirichlet và Neumann
đều xuất hiện và chuyển đổi tại một hay nhiều điểm trên biên). Mặc dù đã có rất nhiều công trình
nghiên cứu lời giải gần đúng cho các bài toán hệ số gián đoạn và điều kiện biên hỗn hợp mạnh
bằng các phương pháp khác nhau, đây vẫn là một vấn đề được các nhà khoa học quan tâm. Các
lược đồ sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn, các phương pháp xấp xỉ biên, đều trở nên phức
tạp hơn khi phải chú ý đến mặt gián đoạn hay sự chuyển đổi của các điều kiện biên. Mặt khác các
cấu trúc của hệ phương trình đại số tuyến tính sẽ không còn đẹp đẽ như các trường hợp hệ số liên
tục hay điều kiện biên đơn giản. Khi đó độ phức tạp của thuật toán tăng đáng kể. Trong khoảng 3
thập kỷ gần đây, một hướng tiếp cận mới được các nhà khoa học đặc biệt quan tâm và có thể giải
quyết tốt vấn đề giải số lớp bài toán biên hỗn hợp mạnh hay hệ số gián đoạn. Đó là phương pháp
chia miền với ý tưởng chính là đưa bài toán phức tạp trên miền lớn về các bài toán đơn giản hơn

trên các miền con và kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh để sau đó giải các bài toán con này bằng
các phần mềm có sẵn. Đây chính là hướng nghiên cứu được lựa chọn để giải gần đúng một số lớp
bài toán biên của phương trình elliptic.
2. Mục đích và phương pháp nghiên cứu
Mục đích của luận án: Nghiên cứu lời giải gần đúng bài toán biên của phương trình elliptic và
phương trình song điều hòa với hệ số gián đoạn hoặc với điều kiện biên hỗn hợp mạnh.
Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng các phương pháp trong giải tích số cho phương trình đạo
hàm riêng như: Phương pháp chia miền, phương pháp đưa bài toán cấp cao về dãy các bài toán
cấp hai, kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm, phương pháp sai phân. Các phương pháp trên sẽ được
kết hợp một cách linh hoạt để xây dựng phương pháp mới phù hợp với từng bài toán cụ thể. Để
nghiên cứu sự hội tụ của các phương pháp được đề xuất, luận án sử dụng kỹ thuật đưa vào toán
tử biên thích hợp dẫn bài toán được xét về phương trình với toán tử đối xứng xác định dương hoặc
dương và hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert và áp dụng lược đồ lặp hai lớp cho chúng.
Việc hiện thực hóa các bước lặp này chính là việc giải các bài toán đối với phương trình cấp hai
trong các miền hình học đơn giản.
3. Những đóng góp mới của luận án
- Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm giải bài
toán biên của phương trình elliptic với hệ số gián đoạn.
- Đề xuất phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình elliptic với các điều kiện
biên hỗn hợp mạnh, áp dụng giải bài toán Motz.
- Đề xuất phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm
giải bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh.
- Giải gần đúng các bài toán vết nứt, bài toán về độ uốn của bản hình chữ nhật có một hoặc hai
giá đỡ bên trong.
4. Bố cục của luận án
2
Luận án được bố cục thành 3 chương với nội dung tóm tắt như sau:
Chương 1 : Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho các nội dung trong luận án và các kết quả xây
dựng thư viện chương trình giải số các bài toán biên hỗn hợp yếu trong trường hợp toán tử vi phân
là toán tử elliptic với hệ số là hằng số trong miền chữ nhật.

Chương 2: Trình bày các kết quả nghiên cứu về phát triển phương pháp chia miền kết hợp kỹ thuật
lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán elliptic cấp hai với hệ số gián đoạn, phương pháp lặp song
song giải bài toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh cho phép giải bài toán cỡ lớn trên các
hệ thống tính toán song song.
Chương 3: Trình bày các kết quả nghiên cứu về phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương
trình và kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp
mạnh. Giải gần đúng bài toán vết nứt và bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong.
Trong luận án, các kết quả lý thuyết được kiểm tra, thử nghiệm bằng các chương trình cài đặt
trong môi trường Matlab 8.0.
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Phần này giới thiệu một số khái niệm và kiến thức cơ sở được tham khảo từ các cuốn sách của
các tác giả Aubin, Adams, Cioranescu, Quarteroni và Rectorys:
• Không gian Sobolev: Các khái niệm và định nghĩa về miền Lipschitz, không gian Sobolev, định
lý vết, bất đẳng thức Poincare, công thức Green.
• Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hòa: Phát biểu các bài
toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất và các công thức yếu tương ứng.
Trình bày về toán tử song điều hòa, phương trình song điều hòa và các loại điều kiện biên.
• Các vấn đề cơ bản về phương pháp lặp: Các sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình toán tử, định lý
cơ bản về sự hội tụ của các sơ đồ lặp.
1.2 Kết quả bổ trợ
Với mục đích đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh về các bài toán biên hỗn hợp yếu nên nhiệm vụ
đầu tiên của luận án là: Xây dựng một thư viện chương trình giải số các bài toán biên hỗn hợp yếu
trong trường hợp toán tử vi phân là toán tử elliptic với hệ số là hằng số. Trên cơ sở của phương
pháp thu gọn khối lượng tính toán Samarskii-Nikolaev, trong phần này giới thiệu tóm tắt về các
kết quả xây dựng thư viện chương trình RC2009. Đây là một công cụ quan trọng để thực hiện việc
cài đặt các thuật toán được đề xuất trong chương 2 và chương 3. Các kết quả xây dựng thư viện
chương trình đã được công bố trong công trình [6].
Kết luận. Chương 1 đã trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, các khái niệm

và công thức yếu cho các bài toán biên của phương trình elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp
không thuần nhất, phương trình song điều hòa và các điều kiện biên thường gặp trong các ứng
dụng, lý thuyết về các sơ đồ lặp của Samarskii-Nikolaev và sự hội tụ của các sơ đồ lặp. Đặc biệt,
luận án đã đưa ra các kết quả xây dựng thư viện chương trình RC2009 giải số các bài toán biên
hỗn hợp yếu của phương trình elliptic cấp hai với hệ số hằng trong miền chữ nhật với các loại điều
kiện biên khác nhau. Đây là một công cụ quan trọng để cài đặt thử nghiệm tất cả các thuật toán
được đề xuất để giải các bài toán được xét đến trong các chương sau. Các kết quả đã đưa ra trong
3
chương 1 là nền tảng quan trọng cho việc trình bày các nội dung nghiên cứu về lý thuyết và thực
nghiệm trong các chương tiếp theo của luận án.
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN
CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI
Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật
lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm qua mặt phân cách, giải bài toán biên của phương trình
elliptic với hệ số gián đoạn là mô hình toán học của bài toán mặt phân cách và phương pháp lặp
song song giải bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Các kết quả này đã được
công bố trong các công trình [1] và [4].
2.1. Phương pháp gần đúng giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn
2.1.1. Mô hình bài toán mặt phân cách
Bài toán mặt phân cách (Interface Problem) là bài toán biên elliptic, trong đó các hệ số của
phương trình hoặc hàm vế phải bị gián đoạn qua một hoặc vài mặt phân cách giữa các vật liệu
xuất phát từ tính chất vật lý của bài toán. Bài toán này thường dẫn tới phương trình elliptic dạng:
Lu := −∇(k(x)∇u(x)) = f(x), x ∈ Ω, (2.1.1)
với các điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trong đó, x = (x
1
, x
2
), Ω là miền giới nội trong R
2

với biên ∂Ω, hệ số k(x) = (k
1
(x), k
2
(x)) là hàm số gián đoạn qua mặt phân cách Γ ⊂ Ω. Sự tồn
tại và duy nhất của nghiệm yếu u ∈ H
1
0
của bài toán Dirichlet (2.1.1) đã được đưa ra trong sách
của Gilbarg và Trudinger.
2.1.2. Một số hướng tiếp cận
Để giải bài toán mặt phân cách, một số các phương pháp khá hiệu quả đã được nghiên cứu như:
Các phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp sử dụng các phép nhúng, Phần này trình bày
một phương pháp giải bài toán mặt phân cách trên cơ sở phát triển phương pháp chia miền kết
hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm trên các biên phân cách, từ đó đưa
bài toán mặt phân cách trong môi trường phân lớp không đồng nhất về một dãy các bài toán con
trong các miền con trong đó tính chất của môi trường là liên tục. Sự hội tụ của phương pháp đã
được chứng minh bằng lý thuyết và được thử nghiệm qua nhiều ví dụ. Kết quả này đã được công
bố trong công trình [1].
2.1.3. Phương pháp lặp
Phát biểu bài toán
Xét bài toán
Lu := −
∂
∂x
1

k
1
(x)

∂u
∂x
1

−
∂
∂x
2

k
2
(x)
∂u
∂x
2

+ a(x)u = f(x), x ∈ Ω, (2.2.1)
[u]
Γ
= ψ
1
,

∂u
∂ν
L

Γ
= ψ
2

, (2.2.2)
u = ϕ, x ∈ ∂Ω, (2.2.3)
4
trong đó x = (x
1
, x
2
), Ω là miền giới nội trong R
2
với biên ∂Ω, các hệ số k
1
(x) và k
2
(x) gián đoạn
qua mặt phân cách Γ, kí hiệu [u]
Γ
là bước nhảy của u qua mặt phân cách, ∂u/∂ν
L
là đạo hàm theo
hướng của u gắn với toán tử L được xác định bởi công thức
∂u
∂ν
L
= k
1
∂u
∂x
1
cos(n, x
1

) + k
2
∂u
∂x
2
cos(n, x
2
),
n là véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài của biên. Điều kiện trong (2.2.2) mô tả bước nhảy của
nghiệm u và đạo hàm của u qua mặt phân cách Γ. Để giải bài toán mặt phân cách (2.2.1)-
(2.2.3) dựa trên ý tưởng của phương pháp chia miền, thay vì giải bài toán lớn phức tạp trên một
miền, có thể giải một số các bài toán đơn giản hơn trên các miền con. Chia miền Ω thành hai
miền con không giao nhau Ω
1
và Ω
2
với biên phân cách Γ. Ký hiệu Γ
1
= ∂Ω
1
\Γ, Γ
2
= ∂Ω
2
\Γ,
u
i
= u |
Ω
i

, f
i
= f |
Ω
i
k
1i
= k
1
(x), k
2i
= k
2
(x), x ∈ Ω
i
, i = 1, 2 và ký hiệu n
i
là pháp tuyến ngoài
của Γ so với Ω
i
. Khi đó đạo hàm pháp tuyến của u
i
trên Γ là
∂u
i
∂ν
L
i
= k
1i

∂u
i
∂x
1
cos(n
i
, x
1
) + k
2i
∂u
i
∂x
2
cos(n
i
, x
2
).
với giả thiết 0 < b
1
 k
1
(x), k
2
(x)  b
2
, a(x)  0.
Mô tả phương pháp
Xét sơ đồ lặp tìm hàm g = ∂u

1
/∂ν
L
1
trên biên Γ.
(i) Xuất phát từ một giá trị xấp xỉ g
(0)
trên Γ, ví dụ, g
(0)
= 0 trên Γ.
(ii) Biết g
(k)
, (k = 0, 1, 2, ) trên Γ, giải lần lượt hai bài toán
Lu
(k)
1
= f
1
trong Ω
1
,
u
(k)
1
= ϕ trên Γ
1
,
∂u
(k)
1

∂ν
L
1
= g
(k)
trên Γ,
(2.2.6)
Lu
(k)
2
= f
2
trong Ω
2
,
u
(k)
2
= ϕ trên Γ
2
,
u
(k)
2
= u
(k)
1
+ ψ
1
trên Γ.

(2.2.7)
(iii) Hiệu chỉnh xấp xỉ mới
g
(k+1)
= (1 −τ)g
(k)
− τ
∂u
(k)
2
∂ν
L
2
+ τψ
2
, (2.2.8)
trong đó τ là tham số lặp tối ưu cần lựa chọn.
Nghiên cứu sự hội tụ
Giả thiết về tính trơn của các dữ kiện như sau: f
i
∈ L
2
(Ω
i
), (i = 1, 2), ϕ ∈ H
1/2
(∂Ω), ψ
1
∈
H

1/2
(Γ), ψ
2
∈ H
−1/2
(Γ), trong đó H
s
(G) là không gian Sobolev. Với các giả thiết này, theo Aubin
các bài toán (2.2.6), (2.2.7) có nghiệm duy nhất u
k
i
∈ H
1
(Ω
i
, L), trong đó H
1
(Ω
i
, L) = {v ∈
H
1
(Ω
i
)|Lu ∈ L
2
(Ω
i
)} và theo định lý vết, ta có g
(k+1)

∈ H
−1/2
(Γ). Giả sử bài toán mặt phân cách
5
(2.2.1)-(2.2.3) có nghiệm duy nhất u và u
i
= u|
Ω
i
∈ H
1
(Ω
i
, L).
Để chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp, ta viết lại công thức (2.2.8) dưới dạng
g
(k+1)
− g
(k)
τ
+ g
(k)
+
∂u
(k)
2
∂ν
L
2
= ψ

2
. (2.2.9)
Đặt e
(k)
i
= u
(k)
i
− u
i
, (i = 1, 2) và ξ
(k)
= g
(k)
− g, ta có
ξ
(k+1)
− ξ
(k)
τ
+ ξ
(k)
+
∂e
(k)
2
∂ν
2
= 0. (2.2.13)
Đưa vào toán tử biên S

i
tác động lên hàm ξ bởi công thức S
i
ξ = ∂v
i
/∂ν
i
, (i = 1, 2) trong đó v
i
là
nghiệm của bài toán
Lv
i
= 0 trong Ω
i
,
v
i
= 0 trên Γ
i
,
v
i
= ξ trên Γ.
(2.2.15)
Các toán tử này là các toán tử Steklov-Poincare, v
i
là sự mở rộng toán tử L của ξ từ Γ tới Ω
i
. Ta

viết v
i
= L
i
ξ, khi đó toán tử nghịch đảo S
−1
i
của S
i
được xác định là S
−1
i
η = w
i
, trong đó w
i
là
nghiệm của bài toán
Lw
i
= 0 trong Ω
i
,
w
i
= 0 trên Γ
i
,
∂w
i

∂ν
i
= η trên Γ.
(2.2.17)
Với cách định nghĩa toán tử như trên ta thu được e
(k)
1
= S
−1
1
ξ
(k)
, S
2
e
(k)
1
= ∂e
(k)
2
/∂ν
L
2
. Do đó, có
thể viết công thức (2.2.13) dưới dạng (ξ
(k+1)
− ξ
(k)
)/τ + ξ
(k)

+ S
2
e
(k)
1
= 0. Tác động S
−1
1
lên hai
vế của đẳng thức trên, ta có
e
(k+1)
1
− e
(k)
1
τ
+ e
(k)
1
+ S
−1
1
S
2
e
(k)
1
= 0.
Do đó

e
(k+1)
1
= (I − τB) e
(k)
1
, (2.2.20)
trong đó B = I+S
−1
1
S
2
. Để thiết lập sự hội tụ của quá trình lặp (2.2.6)-(2.2.8), hoặc sơ đồ lặp tương
đương (2.2.20) ta xét toán tử B trong một không gian hàm thích hợp. Toán tử S
i
, (i = 1, 2) tác
động giữa không gian H = H
1/2
00
(Γ) = {v |
Γ
: v ∈ H
1
0
(Ω)} và không gian đối ngẫu H

= H
−1/2
00
(Γ).

Từ công thức nghiệm yếu (2.2.15), ta có định nghĩa tương đương của các toán tử S
i
S
i
ξ, η
H,H

=

Ω
i

k
1i
∂(L
i
ξ)
∂x
1
∂(L
i
η)
∂x
1
+ k
2i
∂(L
i
ξ)
∂x

2
∂(L
i
η)
∂x
2

dx, ∀ξ, η ∈ H. (2.2.22)
Trong trường hợp, nếu S
i
ξ ∈ L
2
(Γ) ta có S
i
ξ, η
H

,H
= (S
i
ξ, η)
L
2
(Γ)
. Do đó, S
i
là đối xứng
và xác định dương (trong 2.2.3). Vì vậy, S
1
ξ, η

H,H

xác định một tích vô hướng của ξ, η ∈ H và
6
chuẩn sinh bởi tích vô hướng này là tương đương với chuẩn của H
1/2
(Γ). Ký hiệu tích vô hướng
này và chuẩn tương ứng bởi (., .)
S
1
và .
S
1
. Với (ξ, η)
S
1
= S
1
ξ, η
H

,H
, ta có
(Bξ, η)
S
1
=

S
1

(I + S
−1
1
S
2
)ξ, η

H

,H
= S
1
ξ, η
H

,H
+ S
2
ξ, η
H

,H
.
Vì S
1
và S
2
là đối xứng, toán tử B là đối xứng. Hơn nữa, giả sử khi chia Ω thành hai miền con
Ω
1

và Ω
2
, tồn tại các hằng số 0 < m  M sao cho
m 
S
2
ξ, ξ
H

,H
S
1
ξ, ξ
H

,H
 M, ∀ξ ∈ H. (2.2.26)
Khi đó (1 + m)I  B  (1 + M)I trong không gian năng lượng của S
1
. Theo lý thuyết tổng
quát của lược đồ lặp hai lớp, nếu
0 < τ <
2
1 + M
(2.2.27)
thì I − τ B
S
1
< 1. Do đó, quá trình lặp (2.2.20) hội tụ và ta có
u

(k)
i
→ u
i
trong H
1
(Ω
i
) khi k → ∞. (2.2.30)
Như vậy, giới hạn của nghiệm xấp xỉ được tính bởi quá trình lặp (2.2.6)-(2.2.8) chính là nghiệm
của bài toán (2.2.1)-(2.2.3). Theo Samarskii giá trị tối ưu τ trong quá trình lặp(2.2.20) là
τ
opt
=
2
2 + m + M
(2.2.32)
Giá trị này của τ thỏa mãn đánh giá



e
(k)
1



Γ




S
1
≤ ρ
(k)



e
(0)
1



Γ



S
1
, trong đó
ρ =
M −m
2 + m + M
. (2.2.34)
Theo các chuẩn tương đương ||.||
S
1
và ||.||
H

1/2
(Γ)
, từ (2.2.28) ta thu được



e
(k)
i



H
1
(Ω
i
)
≤ Cρ
k



e
(0)
1



Γ




H
1/2
(Γ)
, (2.2.35)
Định lý 2.2.1. Theo giả thiết (2.2.26) về các miền con Ω
1
và Ω
2
, phương pháp lặp (2.2.6)-(2.2.8)
giải bài toán (2.2.1)-(2.2.3) hội tụ nếu tham số lặp τ thỏa mãn điều kiện (2.2.27). Và với giá trị tối
ưu τ
opt
cho bởi (2.2.32) ta có ước lượng (2.2.35) cho các sai số, trong đó e
(k)
i
= u
(k)
i
−u
i
và ρ được
tính bởi (2.2.34).
2.1.4. Một trường hợp riêng
Xét trường hợp khi Ω là miền chữ nhật [0, 1] × [0, b] được chia thành hai miền con Ω
1
và Ω
2
bởi biên phân cách Γ = {x

1
= r, 0  x
2
 b}, 0 < r < 1. Các hệ số a(x) = 0 và k
1
(x), k
2
(x) được
cho như sau
k
1
(x) =



k
11
, x ∈ Ω
1
k
12
, x ∈ Ω
2
, k
2
(x) = 1, x ∈ Ω
trong đó k
11
, k
12

là các hằng số dương. Bằng phương pháp tách biến ta tìm được nghiệm của bài
toán và thiết lập được công thức cho tham số lặp tối ưu
τ
opt
=
2
2 +

k
11
k
12




1 +
tanh

πr
b
√
k
11

tanh

π (1 −r)
b
√

k
12





.
7
2.1.5. Các ví dụ thử nghiệm
Ví dụ 2.1.3. Xét bài toán trong miền Ω = [0, 1] × [0, 1] biết nghiệm đúng là
u (x
1
, x
2
) =

(x
2
1
+ 1) e
x
2
trong Ω
1
= [0, r] × [0, 1] ,
(x
2
1
+ x

1
+ 0.5) e
x
2
trong Ω
2
= [r, 1] × [0, 1] .
với điều kiện biên Dirichlet và các hệ số là các hằng số
k
1
(x) =

2, x ∈ Ω
1
1, x ∈ Ω
2
, k
2
(x) = 1 trong Ω.
Sự hội tụ của quá trình lặp tương ứng với các trường hợp r = 0.5 và một trường hợp r = 0.3 được
cho trong các Bảng 2.1 và Bảng 2.2 cùng với các đồ thị nghiệm tương ứng được cho trong các Hình
2.2 và Hình 2.3 (trong mục 2.2.5 của luận án).
Hình 2.3: Đồ thị nghiệm tương ứng với
r = 0.3.
Ví dụ 2.1.4. Thử nghiệm phương pháp lặp với bài toán trên trong miền hình học phức tạp nhận
được kết quả về sự hội tụ với tham số lặp tốt nhất là 0.6 như ví dụ trên.
Hình 2.5. Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong
miền dạng L.
Ví dụ 2.1.5. Áp dụng phương pháp lặp cho mô hình bài toán truyền nhiệt trong môi trường 3 lớp
không đồng nhất với lớp cách nhiệt có độ dày hữu hạn (Hình 2.6) thu được nghiệm xấp xỉ sau 7

bước lặp với sai số so với nghiệm đúng là 10
−4
. Đồ thị nghiệm xấp xỉ được cho trong Hình 2.7. Kết
quả này tương tự như kết quả mà các tác giả Seyidmamedov và Ozbilge đã tìm được bằng phương
pháp sai phân trên lưới không đều.
Các kết quả nghiên cứu cho thấy phương pháp lặp được đề xuất để giải bài toán mặt phân cách
với mục đích đưa bài toán mặt phân cách về một dãy các bài toán trên các miền con đã chứng tỏ
được một số ưu điểm: Có thể tận dụng được những thuật toán với độ chính xác cao có sẵn để giải
các bài toán con này, sự hội tụ nhanh của phương pháp cũng đã được chứng minh và kiểm tra qua
các ví dụ thử nghiệm. Hơn nữa, phương pháp lặp này còn đặc biệt hiệu quả khi miền tính toán bao
gồm các hình chữ nhật, khi đó miền tính toán sẽ được chia thành nhiều miền con và mỗi bài toán
8
Hình 2.6. Miền Ω với lớp cách nhiệt Ω
δ
.
Hình 2.7. Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài
toán trong môi trường 3 lớp không đồng
nhất.
bậc hai trong các miền con sẽ được giải bằng các phần mềm hiệu quả có sẵn.
2.2. Phương pháp lặp song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh đối với phương trình
elliptic
Phần này trình bày một phương pháp lặp song song mới đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh về
một dãy các bài toán hỗn hợp yếu, dễ giải. Sự hội tụ của phương pháp đã được chứng minh và
các thử nghiệm tính toán cũng được thực hiện để kiểm tra hiệu quả của phương pháp. Kết quả đã
được công bố trong công trình [4].
2.2.1. Mô tả phương pháp
Trong miền chữ nhật Ω = {(x
1
, x
2

) | 0 < x
1
< l
1
, 0 < x
2
< l
2
} với biên ∂Ω được cấu thành từ
hai phần biên Γ
N
= {(x
1
, 0) | a < x
1
< l
1
} và Γ
D
= ∂Ω\Γ
N
, xét bài toán biên hỗn hợp mạnh có
dạng:
Lu = f(x), x ∈ Ω,
u = g(x), x ∈ Γ
D
,
∂u
∂ν
= ϕ(x), x ∈ Γ

N
.
(2.3.1)
trong đó L là toán tử elliptic
Lu ≡ −
∂
∂x
1

a
1
(x)
∂u
∂x
1

−
∂
∂x
2

a
2
(x)
∂u
∂x
2

,
a

i
(x)  c
i
> 0, (i = 1, 2). Chia miền Ω thành hai miền con Ω
1
và Ω
2
bởi đường thẳng x
1
= a và
biên phân cách các miền con là Γ. Ký hiệu biên của miền Ω
i
bởi ∂Ω
i
, (i = 1, 2) và Γ
D
1
= ∂Ω
1
∩Γ
D
,
Γ
D
2
= ∂Ω
2
∩ Γ
D
, u = (u

1
, u
2
), với u
i
là nghiệm trong miền Ω
i
, ν
i
là pháp tuyến ngoài của ∂Ω
i
,
(i = 1, 2). Bài toán (2.3.1) giải được nếu tìm được ∂u
1
/∂ν
1
trên Γ. Đặt ∂u
1
/∂ν
1
= ψ trên Γ, khi
đó sơ đồ lặp song song tìm ψ như sau:
(i) Cho trước ψ
(0)
∈ L
2
(Γ), chẳng hạn ψ
(0)
= 0, x ∈ Γ.
(ii) Với mỗi giá trị ψ

(k)
, k = (0, 1, 2, ) trên Γ tiến hành giải song song các bài toán hỗn hợp yếu
Lu
(k)
1
= f trong Ω
1
,
u
(k)
1
= g trên Γ
D
1
,
∂u
(k)
1
∂ν
1
= ψ
(k)
trên Γ,
(2.3.3)
9
Lu
(k)
2
= f trong Ω
2

,
∂u
(k)
2
∂ν
2
= ϕ trên Γ
N
,
u
(k)
2
= g trên Γ
D
2
,
∂u
(k)
2
∂ν
2
= −ψ
(k)
trên Γ,
(2.3.4)
(iii) Hiệu chỉnh xấp xỉ mới
ψ
(k+1)
= ψ
(k)

− τ[u
(k)
]
Γ
trên Γ. (2.3.5)
trong đó

u
(k)

Γ
= u
(k)
1
|
Γ
−u
(k)
2
|
Γ
và τ là tham số lặp tối ưu cần lựa chọn.
2.2.2. Nghiên cứu sự hội tụ
Đưa vào toán tử biên B xác định trên L
2
(Γ) bởi công thức Bh = [w]
Γ
, trong đó [w]
Γ
=

w
1
|
Γ
− w
2
|
Γ
, w
1
và w
2
là nghiệm của các bài toán











Lw
1
= 0 trong Ω
1
,
∂w

1
∂ν
1
= h trên Γ,
w
1
= 0 trên Γ
D
1
,



















Lw

2
= 0 trong Ω
2
,
∂w
2
∂ν
2
= 0 trên Γ
N
,
w
2
= 0 trên Γ
D
2
,
∂w
2
∂ν
2
= −h trên Γ.
Mệnh đề 2.2.1. Toán tử B là đối xứng và dương trong L
2
(Γ) và B là một ánh xạ hoàn toàn liên
tục từ L
2
(Γ) vào H
1
(Γ). Tiếp theo, ta đưa bài toán tìm hàm ψ = ∂u

1
/∂ν
1
trên Γ về một phương
trình toán tử với toán tử B.
Bψ = F, (2.3.12)
Mệnh đề 2.2.2. Hàm ψ = ∂u
1
/∂ν
1
, trong đó u
1
là nghiệm của bài toán (2.3.1) trên Ω
1
là nghiệm
của phương trình toán tử (2.3.12). Xét lược đồ lặp giải (2.3.12)
ψ
(k+1)
− ψ
(k)
τ
+ Bψ
(k)
= F, (k = 0, 1, 2, ) (2.3.14)
Mệnh đề 2.2.3. Quá trình lặp (2.3.3)-(2.3.5) là sự thực hiện lược đồ lặp (2.3.14).
Giả sử f ∈ L
2
(Ω), g ∈ H
1
(Γ

D
) và ϕ ∈ L
2
(Γ
N
). Với các kết quả đã chứng minh ở trên về tính
chất của toán tử B, ta có định lý:
Định lý 2.2.4. Lược đồ lặp (2.3.14) hội tụ trong L
2
(Γ) nếu 0 < τ < 2/ B.
2.2.3. Một trường hợp riêng
Đánh giá ||B|| khi toán tử vi phân L là toán tử Laplace và đặt l
1
= l
2
= 1.
B ≤ γ
2
(a), với γ
2
(a) =
tanh(πa)
π
+
tanh(π(1 − a)/2)
π/2
.
Với bất cứ 0  a  1 thì γ
2
(a)  0.7455. Đánh giá trên của B và Định lý 2.3.4 bảo đảm rằng,

nếu 0 < τ < 2.6826 thì quá trình lặp (2.3.3)-(2.3.5) hội tụ.
10
2.2.4. Kết quả thử nghiệm và so sánh với một số phương pháp
Ngoài phương pháp lặp song song đã trình bày, để dẫn bài toán biên hỗn hợp mạnh về một
dãy các bài toán hỗn hợp yếu có thể áp dụng các phương pháp chia miền khác, trong đó trên mỗi
bước lặp cần giải liên tiếp hai bài toán hỗn hợp yếu trong từng miền con: Phương pháp lặp tìm giá
trị hàm trên biên phân chia của Saito-Fujita (2001) và phương pháp lặp tìm giá trị đạo hàm trên
biên phân chia của ĐQA-VVQ (2006). Cả hai phương pháp này đều tiến hành giải tuần tự các bài
toán hỗn hợp yếu trên hai miền con. Tiến hành thử nghiệm cả 3 phương pháp cho bài toán trong
hình chữ nhật với l
1
= 2, l
2
= 1, a = 1. Xuất phát từ nghiệm đúng cho trước u(x
1
, x
2
) tính vế
phải và các điều kiện biên tương ứng của bài toán (2.3.1). Sau đó tiến hành xác định nghiệm xấp
xỉ u
(k)
(x
1
, x
2
) bằng cả ba phương pháp. Chọn bước lưới h = 1/64, tiêu chuẩn dừng lặp ε = 10
−4
.
Các thuật toán được thực hiện trên cùng một máy tính tuần tự với một bộ vi xử lý, các kết quả
thử nghiệm trong phần 2.3.4 của luận án đã chứng tỏ sự đúng đắn của các phương pháp lặp và

tốc độ hội tụ của cả ba phương pháp là tương đương. Tuy nhiên phương pháp lặp song song có ưu
điểm: cho phép giải các bài toán hỗn hợp mạnh cỡ lớn trên các hệ thống xử lý song song.
2.2.5 Áp dụng giải bài toán Motz. Phương pháp lặp song song được áp dụng giải bài toán
Motz, một bài toán biên hỗn hợp mạnh thường được sử dụng để thử nghiệm các phương pháp giải
số. Kết quả khảo sát dáng điệu đạo hàm khi có sự thay đổi đột ngột các loại điều kiện biên qua
điểm kỳ dị phù hợp với tính chất của các bài toán cơ học trong thực tế.
Kết luận chương 2. Chương 2 đã trình bày các kết quả nghiên cứu mới về việc phát triển phương
pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm, dựa vào tính chất
gián đoạn của hệ số qua mặt phân cách đưa bài toán biên với hệ số gián đoạn về các bài toán đơn
giản hơn trong các miền con có tính chất liên tục. Với bài toán biên của phương trình elliptic với
điều kiện biên hỗn hợp mạnh đã xây dựng được một sơ đồ lặp song song cho phép giải bài toán
biên hỗn hợp trên các hệ thống tính toán song song. Áp dụng phương pháp giải bài toán Motz và
khảo sát sự kỳ dị xuất hiện tại điểm phân cách các loại điều kiện biên. Sự hội tụ của các phương
pháp lặp đều đã được chứng minh về lý thuyết và trong một số trường hợp riêng đã thiết lập được
công thức tính tham số lặp tối ưu hoặc xác định được khoảng tham số lặp tối ưu. Sự hội tụ của
phương pháp và độ chính xác của nghiệm xấp xỉ còn được kiểm tra qua nhiều ví dụ thử nghiệm.
Các kết quả áp dụng giải một số bài toán mẫu và so sánh với các phương pháp khác cho thấy hiệu
quả của các phương pháp lặp được đề xuất trong chương này. Trên cơ sở những kết quả đã đạt
được, chúng tôi sẽ tiếp tục phát triển phương pháp chia miền kết hợp với các phương pháp khác
cho bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh được trình bày trong chương 3.
Chương 3
PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP MẠNH
Chương này trình bày kết quả nghiên cứu về phương pháp kết hợp các ý tưởng: hạ cấp phương
trình, chia miền và kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải phương trình song điều hòa với các điều
kiện biên hỗn hợp mạnh, từ đó đưa ra lời giải của hai bài toán: Bài toán vết nứt (Crack Problem)
và bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong (Problems for Plates with Partial Internal
Supports). Các kết quả đã được công bố trong các công trình [2] và [3].
11

3.2. Phương pháp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh
3.2.1. Phát biểu bài toán
Xét bài toán song điều hòa với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh
∆
2
u = f trong Ω,
u = g
0
trên Γ
1
,
∂u
∂ν
= g
1
trên ∂Ω = Γ
1
∪ Γ
2
,
∂∆u
∂ν
= g
2
trên Γ
2
,
(3.2.1)
trong đó Ω là hình chữ nhật (−L, L)×(0, 1), và Γ
1

= S
A
∪S
C
, Γ
2
= S
B
∪S
D
∪S
E
, S
A
, S
B
, S
C
, S
D
và S
E
là các phần của biên Γ = ∂Ω, ∆ là toán tử Laplace, f và g
i
(i = 0, 2 ) là các hàm cho trước
trong Ω và trên các phần của biên Γ tương ứng.
3.2.2. Mô tả phương pháp
Giả thiết bài toán (3.2.1) có nghiệm duy nhất và đủ trơn. Đặt ∆u = v trong Ω, v|
Γ
1

= ϕ. Khi đó,
bài toán (3.2.1) được đưa về dãy các bài toán cấp hai với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh như sau
∆v = f trong Ω,
v = ϕ trên Γ
1
,
∂v
∂ν
= g
2
trên Γ
2
,
(3.2.2)
∆u = v trong Ω,
u = g
0
trên Γ
1
,
∂u
∂ν
= g
1
trên Γ
2
,
(3.2.3)
trong đó ϕ là hàm chưa biết nhưng có quan hệ với u qua điều kiện thứ ba trong (3.2.1) trên Γ
1

.
Quá trình lặp tìm ϕ được thực hiện như sau:
(i) Cho ϕ
(0)
∈ L
2
(Γ
1
), ví dụ,
ϕ
(0)
= 0 trên Γ
1
. (3.2.5)
(ii) Biết ϕ
(k)
trên Γ
1
(k = 0, 1, ), giải lần lượt hai bài toán cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp
mạnh
∆v
(k)
= f trong Ω,
v
(k)
= ϕ
(k)
trên Γ
1
,

∂v
(k)
∂ν
= g
2
trên Γ
2
,
(3.2.6)
∆u
(k)
= v
(k)
trong Ω,
u
(k)
= g
0
trên Γ
1
,
∂u
(k)
∂ν
= g
1
trên Γ
2
;
(3.2.7)

12
(iii) Tính xấp xỉ mới
ϕ
(k+1)
= ϕ
(k)
− τ

∂u
(k)
∂ν



Γ
1
− g
1

, (3.2.8)
trong đó τ là tham số lặp cần lựa chọn.
3.2.3. Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp
Viết sơ đồ lặp (3.2.8) dưới dạng lược đồ lặp hai lớp:
ϕ
(k+1)
− ϕ
(k)
τ
+
∂u

(k)
∂ν
− g
1
= 0 trên Γ
1
. (3.2.9)
Đưa vào toán tử B được tác động lên hàm biên ϕ bởi công thức:
Bϕ =
∂u
∂ν
trên Γ
1
, (3.2.10)
trong đó u và v là nghiệm tìm được từ các bài toán sau
∆v = 0 trong Ω,
v = ϕ trên Γ
1
,
∂v
∂ν
= 0 trên Γ
2
,
(3.2.11)
∆u = v trong Ω,
u = 0 trên Γ
1
,
∂u

∂ν
= 0 trên Γ
2
.
(3.2.12)
Biểu diễn nghiệm của (3.2.2)-(3.2.3) dưới dạng: u = u
1
+ u
2
; v = v
1
+ v
2
, trong đó u
1
, v
1
thỏa
mãn các bài toán (3.2.11)-(3.2.12) và u
2
, v
2
là các nghiệm của các bài toán Poisson trong Ω. Theo
định nghĩa của toán tử B ta có
Bϕ =
∂u
1
∂ν
trên Γ
1

. (3.2.16)
Bài toán (3.2.1) được đưa về phương trình toán tử Bϕ = F , trong đó F = g
1
−
∂u
2
∂ν
trên Γ
1
.
Mệnh đề 3.2.1. Quá trình lặp (3.2.6)-(3.2.8) là sự thực hiện lược đồ lặp hai lớp
ϕ
(k+1)
− ϕ
(k)
τ
+ Bϕ
(k)
= F, (k = 0, 1, ) (3.2.19)
đối với phương trình toán tử (3.2.16).
Mệnh đề 3.2.2. Toán tử B được xác định bởi (3.2.10)-(3.2.12) là tuyến tính, đối xứng, dương và
là toán tử compact trong không gian L
2
(Γ
1
).
Với các tính chất đối xứng, dương và compact của toán tử B, theo lý thuyết của lược đồ lặp hai
lớp thì quá trình lặp (3.2.6)-(3.2.8) hay lược đồ lặp (3.2.19) là hội tụ nếu 0 < τ < 2/||B||. Việc xác
định hay ước lượng ||B|| là rất phức tạp, nhưng trong phần sau, bằng các thử nghiệm số chúng tôi
có thể tìm được một khoảng của τ sao cho quá trình lặp hội tụ là tốt nhất.

13
3.2.4. Sơ đồ lặp kết hợp
Để thực hiện phương pháp lặp ở mức rời rạc, giải lần lượt hai bài toán biên hỗn hợp mạnh
(3.2.6), (3.2.7) trong miền Ω. Để giải các bài toán này cần sử dụng phương pháp chia miền trên cơ
sở lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm tại biên phân cách các miền con. Do đó, ta thực hiện
2 vòng lặp: vòng lặp bên trong của DDM với mỗi bài toán bậc hai và vòng lặp ngoài đã được mô
tả trong quá trình lặp (3.2.5)-(3.2.8) để tìm ϕ từ đó tìm u. Chia miền Ω thành hai miền con Ω
1
và
Ω
2
bởi đường thẳng x = 0, ký hiệu biên phân cách hai miền con là S
I
, u
i
= u |
Ω
i
, (i = 1, 2). Để
giảm khối lượng tính toán nhằm tăng tốc độ hội tụ của phương pháp lặp, ta sử dụng quá trình lặp
kết hợp:
Bước 1. Cho trước
ϕ
(0)
= 0 trên S
A
∪ S
C
; ξ
(0)

= 0, η
(0)
= 0 trên S
I
. (3.2.28)
Bước 2. Với mỗi giá trị ϕ
(k)
, ξ
(k)
, η
(k)
, (k = 0, 1, ), tiến hành giải lần lượt:
Các bài toán với v
(k)
1
và u
(k)
1






















∆v
(k)
1
= f trong Ω
1
,
v
(k)
1
= ϕ
(k)
trên S
A
,
∂v
(k)
1
∂ν
1
= g
2

trên S
E
,
∂v
(k)
1
∂ν
1
= ξ
(k)
trên S
I
,






















∆u
(k)
1
= v
(k)
1
trong Ω
2
,
u
(k)
1
= g
0
trên S
A
,
∂u
(k)
1
∂ν
1
= g
1
trên S
E

∪ S
D
1
,
∂u
(k)
1
∂ν
1
= η
(k)
trên S
I
,
(3.2.29)
Các bài toán với v
(k)
2
và u
(k)
2


















∆v
(k)
2
= f trong Ω
2
,
v
(k)
2
= ϕ
(k)
trên S
C
,
∂v
(k)
2
∂ν
2
= g
2
trên S

B
∪ S
D
2
,
v
(k)
2
= v
(k)
1
trên S
I
,


















∆u
(k)
2
= v
(k)
2
trong Ω
2
,
u
(k)
2
= g
0
trên S
C
,
∂u
(k)
2
∂ν
2
= g
1
trên S
B
∪ S
D
2

,
u
(k)
2
= u
(k)
1
trên S
I
,
(3.2.30)
Bước 3. Tính các xấp xỉ mới
ξ
(k+1)
= (1 − θ)ξ
(k)
− θ
∂v
(k)
2
∂ν
2
trên S
I
,
η
(k+1)
= (1 − θ)η
(k)
− θ

∂u
(k)
2
∂ν
2
trên S
I
,
ϕ
(k+1)
= ϕ
(k)
− τ

∂u
(k)
i
∂ν
i
− g
1

trên S
A
∪ S
C
, i = 1, 2,
(3.2.31)
trong đó θ, τ là các tham số lặp sẽ được lựa chọn để các sơ đồ lặp trên hội tụ.
Kiểm tra sự hội tụ của quá trình lặp (3.2.28)-(3.2.31) bằng cách: Trước hết tiến hành thử nghiệm

trong trường hợp biết trước nghiệm đúng của bài toán (3.2.1) trong miền Ω = [−1, 1] ×[0, 1]. Các
kết quả thử nghiệm với 3 hàm nghiệm đúng được lựa chọn trong luận án cho thấy (3.2.28)-(3.2.31)
hội tụ tốt nhất với tham số lặp chia miền θ = 0.7 và tham số lặp τ ∈ [1.4; 1.6]. Sau đó, trong
trường hợp không biết trước nghiệm đúng với các hàm f, g
0
, g
1
, g
2
là tùy ý cũng cho kết quả tương
14
tự. Như vậy, qua các kết quả thử nghiệm, quá trình lặp(3.2.6)-(3.2.8) giải bài toán (3.2.1) luôn luôn
hội tụ, tốc độ hội tụ là tốt nhất với tham số lặp tối ưu τ ∈ [1.4; 1.7].
3.2.6. Giải gần đúng một bài toán vết nứt trong cơ học
Áp dụng phương pháp lặp cho bài toán với vết nứt được mô tả trong Hình 3.3. Các điều kiện
∂u/∂y = 0, ∂
3
u/∂y
3
= 0 trên các phần biên S
B
và S
D
dẫn tới các điều kiện biên tương ứng
∂u/∂y = 0, ∂∆u/∂y = 0; ∂u/∂x = 0, ∂
3
u/∂x
3
= 0 trên các phần biên S
E

dẫn tới ∂u/∂x =
0, ∂∆u/∂x = 0. Do đó, bài toán có dạng (3.2.1). Quá trình lặp với tham số τ = 1.7 để giải bài
toán trên lưới 65 ×65 nút với độ chính xác 10
−4
hội tụ sau 14 bước lặp. Đồ thị nghiệm xấp xỉ được
chỉ ra trong Hình 3.4. Sử dụng nghiệm xấp xỉ thu được của bài toán Crack, tính đạo hàm bậc hai
Hình 3.3. Bài toán với vết nứt.
Hình 3.4. Đồ thị nghiệm của bài toán
vết nứt.
∂
2
u/∂y
2
trên biên y = 0 biểu diễn ứng suất dọc theo vết nứt. So sánh kết quả này với kết quả tính
đạo hàm bậc hai bằng phương pháp SFBIM với 15 hệ số đầu tiên trong khai triển tiệm cận của
hàm ứng suất Airy gần với đỉnh vết nứt. Các đồ thị tương ứng trong Hình 3.5 cho thấy ứng suất
dọc theo vết nứt thu được bởi hai phương pháp DDM và SFBIM là tương đương.
3.3. Phương pháp kết hợp giải gần đúng bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên
Hình 3.5. Dáng điệu đạo hàm bậc hai biểu diễn ứng suất dọc theo vết nứt: theo DDM (bên trái) và
theo SFBIM (bên phải)
trong
3.3.1. Mô hình bài toán độ uốn của bản có giá đỡ bên trong
Xét bài toán về độ uốn của bản hình chữ nhật có một hoặc hai giá đỡ bên trong (line partial
internal supports-LPIS) được mô tả trong Hình 3.6 và Hình 3.7. Giả sử bản có tải trọng q được
phân bố đều, các cạnh trên và dưới của bản là ngàm, các cạnh trái và phải là gối tự do. Khi đó mô
hình toán học tương ứng của bài toán là: tìm nghiệm u(x, y) của phương trình song điều hòa:
∆
2
u = f (3.3.1)
15

Hình 3.6. Bản với một giá đỡ bên trong. Hình 3.7. Bản với hai giá đỡ bên trong.
với u(x, y) là hàm độ võng, f = q/D, D là độ cứng của bản. Vì giá đỡ bên trong đặt ở giữa bản
và hàm độ võng đối xứng theo cả hai chiều nên có thể xét bài toán với các điều kiện biên trên 1/4
bản. Khi đó, ta có bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh xét trong 1/4 bản với
trường hợp một giá đỡ và hai giá đỡ được biểu diễn trong các Hình 3.8 và Hình 3.9 tương ứng.
Phương pháp lặp đưa bài toán (3.3.1) với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh được mô tả trong các
Hình 3.8. Bài toán có một LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét trong 1/4 bản.
Hình 3.9. Bài toán có hai LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét trong 1/4 bản.
Hình 3.8 và Hình 3.9 về một dãy các bài toán biên với phương trình Poisson với mục đích sử dụng
các phương pháp hiệu quả và các phần mềm có sẵn cho các phương trình cuối. Phương pháp này
không chỉ áp dụng cho bài toán một LPIS mà còn sử dụng rất hiệu quả cho bài toán hai LPIS trong
khi với trường hợp bản có hai LPIS thì phương pháp phương trình chuỗi cặp sẽ đưa bài toán về các
phương trình chuỗi bộ ba rất phức tạp. Với các bài toán được mô tả trong các Hình 3.8 và Hình
16
3.9, trên cạnh y = 0 cặp điều kiện biên ∂u/∂y = 0, ∂
3
u/∂y
3
= 0 là tương đương với cặp điều kiện
∂u/∂y = 0, ∂∆u/∂y = 0, trên cạnh S
C
(x = b) cặp các điều kiện biên ∂u/∂x = 0, ∂
3
u/∂x
3
= 0
là tương đương với cặp điều kiện ∂u/∂x = 0, ∂∆u/∂x = 0, trên cạnh S
E
(x = 0) cặp các điều kiện
biên u = 0, ∂

2
u/∂x
2
= 0 là tương đương với cặp điều kiện u = 0, ∆u = 0. Trong phần tiếp theo
chúng tôi sử dụng các điều kiện biên tương đương dưới dạng u, ∂u/∂ν, ∆u và ∂∆u/∂ν, trong đó
ν là pháp tuyến ngoài của biên.
3.3.2. Phương pháp kết hợp giải bài toán với bản có một LPIS
Xét bài toán sau
∆
2
u = f trong Ω,
u = g
0
trên S
B
∪ S
D
∪ S
E
,
∂u
∂ν
= g
1
trên Γ \ S
E
,
∆u = g
2
trên S

E
,
∂
∂ν
∆u = g
3
trên S
A
∪ S
C
,
(3.3.2)
trong đó Ω là hình chữ nhật (0, a) × (0, b), S
A
, S
B
, S
C
, S
D
và S
E
là các phần của biền Γ = ∂Ω
như đã mô tả trong Hình 3.8, ∆ là toán tử Laplace, f và g
i
(i = 0, 3) là các hàm cho trong Ω và
trên các phần của biên Γ tương ứng. Trong trường hợp nếu tất cả các hàm g
i
= 0 (i = 0, 3) ta có
bài toán về độ uốn của 1/4 bản hình chữ nhật với một LPIS (Hình 3.8).

Giả thiết bài toán (3.3.2) có nghiệm duy nhất và đủ trơn. Ký hiệu Γ
1
= S
B
∪ S
D
. Để đưa bài
toán song điều hòa về dãy các bài toán cấp hai, ta đặt ∆u = v trong Ω, v |
Γ
1
= ϕ. Khi đó bài toán
(3.3.2) được đưa về dãy các bài toán Poisson với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh như sau
∆v = f trong Ω,
v = ϕ trên Γ
1
,
v = g
2
trên S
E
,
∂v
∂ν
= g
3
trên S
A
∪ S
C
,

(3.3.3)
∆u = v trong Ω,
u = g
0
trên Γ
1
∪ S
E
,
∂u
∂ν
= g
1
trên S
A
∪ S
C
,
(3.3.4)
trong đó ϕ là hàm chưa biết. Ta có quá trình lặp tìm ϕ từ đó tìm u như sau:
(i) Cho ϕ
(0)
∈ L
2
(Γ
1
), ví dụ,
ϕ
(0)
= 0 trên Γ

1
. (3.3.6)
17
(ii) Biết ϕ
(k)
trên Γ
1
(k = 0, 1, ), giải lần lượt hai bài toán
∆v
(k)
= f trong Ω,
v
(k)
= ϕ
(k)
trên Γ
1
,
v
(k)
= g
2
trên S
E
,
∂v
(k)
∂ν
= g
3

trên S
A
∪ S
C
,
(3.3.7)
∆u
(k)
= v
(k)
trong Ω,
u
(k)
= g
0
trên Γ
1
∪ S
E
,
∂u
(k)
∂ν
= g
1
trên S
A
∪ S
C
,

(3.3.8)
(iii) Tính các xấp xỉ mới
ϕ
(k+1)
= ϕ
(k)
− τ

∂u
(k)
∂ν



Γ
1
− g
1

trên Γ
1
, (3.3.9)
trong đó τ là tham số lặp được chọn sau.
Nghiên cứu sự hội tụ. Bằng cách đưa vào toán tử biên B, thiết lập các tính chất đối xứng,
dương, hoàn toàn liên tục của B. Sự hội tụ của phương pháp lặp giải bài toán (3.3.2) được chứng
minh tương tự như phần 3.2.3.
Sơ đồ lặp kết hợp
Chia miền Ω thành hai miền con Ω
1
và Ω

2
bởi đường x = e và ký hiệu biên phân cách hai miền
con là S
I
, u
i
= u |
Ω
i
, (i = 1, 2) (Hình 3.10). Tương tự như trong mục 3.2.4, sử dụng phương pháp
lặp kết hợp như sau:
Bước 1. Cho
Hình 3.10. Miền Ω và các miền con Ω
1
, Ω
2
ϕ
(0)
= 0 trên S
B
∪ S
D
; ξ
(0)
= 0, η
(0)
= 0 trên S
I
. (3.3.22)
Bước 2. Biết ϕ

(k)
, ξ
(k)
, η
(k)
, (k = 0, 1, ), giải lần lượt các bài toán sau:
Các bài toán với v
(k)
2
và u
(k)
2




















∆v
(k)
2
= f trong Ω
2
,
v
(k)
2
= ϕ
(k)
trên S
B
∪ S
D2
,
∂v
(k)
2
∂ν
2
= g
3
trên S
C
,
∂v
(k)
2

∂ν
2
= ξ
(k)
trên S
I
,



















∆u
(k)
2
= v

(k)
2
trong Ω
2
,
u
(k)
2
= g
0
trên S
B
∪ S
D2
∂u
(k)
2
∂ν
2
= g
1
trên S
C
,
∂u
(k)
2
∂ν
2
= η

(k)
trên S
I
,
(3.3.23)
18
Các bài toán với v
(k)
1
và u
(k)
1




















∆v
(k)
1
= f trong Ω
1
,
v
(k)
1
= ϕ
(k)
trên S
D1
,
v
(k)
1
= g
2
trên S
E
,
∂v
(k)
1
∂ν
1
= g
3

trên S
A
,
v
(k)
1
= v
(k)
2
trên S
I
,















∆u
(k)
1

= v
(k)
1
trong Ω
1
,
u
(k)
1
= g
0
trên S
E
∪ S
D1
,
∂u
(k)
1
∂ν
1
= g
1
trên S
A
∪ S
D1
,
u
(k)

1
= u
(k)
2
trên S
I
,
(3.3.24)
Bước 3. Tính các xấp xỉ mới
ξ
(k+1)
= (1 − θ)ξ
(k)
− θ
∂v
(k)
1
∂ν
1
trên S
I
η
(k+1)
= (1 − θ)η
(k)
− θ
∂u
(k)
1
∂ν

1
trên S
I
ϕ
(k+1)
= ϕ
(k)
− τ

∂u
(k)
i
∂ν
i
− g
1

trên S
B
∪ S
D
, i = 1, 2,
(3.3.25)
trong đó θ, τ là các tham số lặp cần lựa chọn để các sơ đồ lặp trên hội tụ. Các ví dụ thử nghiệm
xét trong các trường hợp biết trước nghiệm đúng và trường hợp không biết trước nghiệm đúng đều
cho thấy quá trình lặp (3.3.22)-(3.3.25) để giải bài toán (3.3.2) luôn hội tụ với cách chọn tham số
lặp τ ∈ [1.3; 1.8].
Áp dụng phương pháp lặp cho bài toán với bản hình chữ nhật (Hình 3.8), trong đó u(x, y) là
hàm độ võng, f = qa
4

/π
4
D, D được xác định bởi D = Eh
3
/12(1 −σ
2
), h là độ dày của bản, σ và
E là tỷ lệ Poisson và modul Young tương ứng. Quá trình lặp (3.3.22)-(3.3.25) giải bài toán bản với
một LPIS trong miền Ω = [0, π/2] ×[0, π/2] trên lưới 65 ×65 nút trên mỗi miền con với độ chính
xác 10
−4
, h = 0.5, q = 0.3, τ = 0.6 hội tụ sau 14 bước lặp. Trong Hình 3.11 là kết quả biểu diễn
các hàm độ võng tương ứng với các vị trí đặt giá đỡ (e/π) có độ dài khác nhau cho bản có các điều
kiện biên trên cách cạnh như trong Hình 3.8. Độ dốc của bản theo hướng của x và y dọc theo giá
đỡ bên trong được biểu diễn trong Hình 3.12. Mặt võng của toàn bản được biểu diễn trong Hình
3.13.
Các kết quả thu được ở trên trong trường hợp bản với một giá đỡ bên trong là giống như các
kết quả của Sompornjaroensuk và Kiattikomol đã trình bày, nhưng được tính toán đơn giản và rất
nhanh. Hơn nữa, phương pháp lặp đã được đề xuất có thể dễ dàng áp dụng cho các bài toán phức
tạp hơn.
3.3.3. Phương pháp kết hợp giải bài toán có hai giá đỡ
Xét bài toán về bản có hai LPIS dạng tổng quát:
∆
2
u = f trong Ω,
u = g
0
trên S
B
∪ S

D
∪ S
E
,
∂u
∂ν
= g
1
trên Γ \ S
D
,
∆u = g
2
trên S
D
,
∂
∂ν
∆u = g
3
trên S
A
∪ S
C
∪ S
F
,
(3.3.26)
19
Hình 3.11. Mặt võng của 1/4 bản với các e/π khác nhau.

Hình 3.12. Độ dốc của bản theo hướng x và y dọc theo giá đỡ.
trong đó Ω là hình chữ nhật (0, a) ×(0, b), S
A
, S
B
, S
C
, S
D
, S
E
và S
F
là các phần của biên Γ = ∂Ω
được mô tả trong Hình 3.9, f và g
i
, (i = 0, 3) là các hàm cho trong Ω và các phần tương ứng của
biên Γ. Chia miền Ω thành ba miền con Ω
1
, Ω
2
và Ω
3
bởi các đường x = e
1
và x = e
2
, và ký hiệu
các biên phân cách các miền con này là S
I

1
và S
I
2
(Hình 3.14). Xét phương pháp lặp kết hợp trong
Hình 3.13. Mặt võng của toàn bản có
một giá đỡ.
Hình 3.14. Miền Ω và các miền con Ω
1
,
Ω
2
, Ω
3
đó hiệu chỉnh đồng thời v = ∆u trên S
B
∪ S
E
và ξ = ∂∆u/∂ν, η = ∂u/∂ν trên các biên phân
cách S
I
1
, S
I
2
Bước 1. Cho ϕ
(0)
= 0 trên S
B
∪ S

E
; ξ
(0)
i
= 0, η
(0)
i
= 0 trên S
I
i
, (i = 1, 2).
Bước 2. Biết ϕ
(k)
, ξ
(k)
i
, η
(k)
i
, (k = 0, 1, ), (i = 1, 2) giải lần lượt:
20
Các bài toán với v
(k)
2
và u
(k)
2










∆v
(k)
2
= f trong Ω
2
,
v
(k)
2
= ϕ
(k)
trên S
B
∪ S
E2
,
∂v
(k)
2
∂ν
2
= ξ
(k)
i

trên S
I
i
, (i = 1, 2),









∆u
(k)
2
= v
(k)
2
trong Ω
2
,
u
(k)
2
= g
0
trên S
B
∪ S

E2
∂u
(k)
2
∂ν
2
= η
(k)
i
trên S
I
i
, (i = 1, 2),
Các bài toán với v
(k)
1
và u
(k)
1
















∆v
(k)
1
= f trong Ω
1
,
∂v
(k)
1
∂ν
1
= g
3
trên S
A
∪ S
F
,
v
(k)
1
= ϕ
(k)
trên S
E1
,

v
(k)
1
= v
(k)
2
trên S
I
1
,















∆u
(k)
1
= v
(k)

1
trong Ω
1
,
u
(k)
1
= g
0
trên S
D1
,
∂u
(k)
1
∂ν
1
= g
1
trên S
A
∪ S
F
,
u
(k)
1
= u
(k)
2

trên S
I
1
,
Các bài toán với v
(k)
3
và u
(k)
3



















∆v

(k)
3
= f trong Ω
3
,
∂v
(k)
3
∂ν
3
= g
3
trên S
C
,
v
(k)
3
= ϕ
(k)
trên S
E3
,
v
(k)
3
= g
2
trên S
D

,
v
(k)
3
= v
(k)
2
trên S
I
2
,















∆u
(k)
3
= v

(k)
3
trong Ω
3
,
u
(k)
3
= g
0
trên S
D
∪ S
E3
,
∂u
(k)
3
∂ν
3
= g
1
trên S
C
,
u
(k)
3
= u
(k)

2
trên S
I
2
,
Bước 3. Tính các xấp xỉ mới
ξ
(k+1)
1
= (1 − θ)ξ
(k)
1
− θ
∂v
(k)
1
∂ν
1
trên S
I
1
η
(k+1)
1
= (1 − θ)η
(k)
1
− θ
∂u
(k)

1
∂ν
1
trên S
I
1
ξ
(k+1)
2
= (1 − θ)ξ
(k)
2
− θ
∂v
(k)
3
∂ν
3
trên S
I
2
η
(k+1)
2
= (1 − θ)η
(k)
2
− θ
∂u
(k)

3
∂ν
3
trên S
I
2
ϕ
(k+1)
= ϕ
(k)
− τ
i

∂u
(k)
i
∂ν
i
− g
1

trên S
B
∪ S
E
,
trong đó θ, τ
i
là các tham số được chọn sau trong các miền con tương ứng Ω
i

, u
i
= u |
Ω
i
, ∂/∂ν
i
,
i = (1, 2, 3) là các đạo hàm theo hướng tương ứng trên các phần của biên.
Các ví dụ thử nghiệm. Xét các trường hợp sau đây:
(a) Trong 1/4 bản, Ω là miền chữ nhật, một giá đỡ đặt tại phần giữa của cạnh trên của hình
chữ nhật, khi đó miền Ω được chia thành ba miền con bằng nhau bởi các biên phân cách
S
I
1
= {x = e
1
, 0 ≤ y ≤ b} và S
I
2
= {x = e
2
, 0 ≤ y ≤ b}. Quá trình lặp (3.3.27)-(3.3.30) giải
bài toán với hai LPIS trong miền Ω = [0, π/2]×[0, π/2], e
1
= π/6, e
2
= π/3, h = 0.5, q = 0.3,
trên lưới 65 ×65 nút cho mỗi miền con với độ chính xác 10
−4

, θ = 0.7, τ
1
= τ
3
= 0.9, τ
2
= 0.3
hội tụ sau 14 bước lặp. Độ dốc theo hướng x dọc theo giá đỡ và độ dốc theo hướng y tại điểm
giữa của giá đỡ cho trong Hình 3.15 và Hình 3.16. Độ võng của nửa bản trong Hình 3.17 và độ
võng với toàn bản trong Hình 3.18.
21
Hình 3.15. Độ dốc của bản theo hướng
x dọc theo giá đỡ.
Hình 3.16. Độ dốc của bản theo hướng
y xét tại điểm giữa của giá đỡ.
Hình 3.17. Mặt võng của 1/4 bản với
hai LPIS.
Hình 3.18. Mặt võng của toàn bản có
hai LPIS.
(b) Trong 1/4 bản, Ω là hình chữ nhật, một giá đỡ được đặt tại vị trí tùy ý ở cạnh trên của hình
chữ nhật, khi đó Ω được chia thành ba miền con không bằng nhau bởi các biên phân cách
S
I
1
= {x = e
1
, 0 ≤ y ≤ b} và S
I
2
= {x = e

2
, 0 ≤ y ≤ b}. Quá trình lặp (3.3.27)-(3.3.30) giải
bài toán trong miền Ω = [0, π/2] × [0, π/2], h = 0.5, q = 0.3, trên lưới 65 × 65 nút với độ
chính xác 10
−4
, θ = 0.7, τ
1
= τ
3
= 0.9, τ
2
= 0.3, e
1
= π/10, e
2
= 3π/10 sẽ hội tụ sau 16 lần
lặp. Các Hình 3.19, Hình 3.20, Hình 3.21 là các kết quả tương ứng biểu diễn: Độ dốc của bản
theo hướng x, y và độ võng của 1/4 bản.
Hình 3.19. Độ dốc của bản theo hướng
x với giá đỡ đặt tại vị trí tùy ý.
Hình 3.20. Độ dốc của bản theo hướng
y xét tại điểm giữa của giá đỡ.
(c) Xét trường hợp khi tải trọng phân bố không đều và là một hàm chẵn theo biến y, giả sử
q = cos(y). Giống như các trường hợp trên, xét bài toán trong miền Ω = [0, π/2] × [0, π/2],
có một giá đỡ đặt tại vị trí tùy ý trên cạnh trên của hình chữ nhật. Các kết quả tương ứng thu
được biểu diễn trong Hình 3.22 sau 16 lần lặp.
Qua các kết quả nghiên cứu về độ võng của bản có giá đỡ bên trong với các điều kiện biên ngàm
hoặc gối tự do giúp cho chúng ta có thể xác định được độ võng của bản phụ thuộc vào các thông
22
Hình 3.21. Mặt võng của 1/4 bản với

giá đỡ đặt tại vị trí tùy ý.
Hình 3.22. Mặt võng của bản chịu tải
trọng không đều q = cos(y).
số như: số giá đỡ bên trong, vị trí đặt các giá đỡ, tải trọng tác động lên bản, Bằng phương pháp
lặp tìm nghiệm của bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp, chúng ta có thể xác định
được độ võng của bản trong từng trường hợp có thể xảy ra. Điều này rất có ý nghĩa trong thực tế.
Kết luận chương 3. Chương 3 đã trình bày các kết quả nghiên cứu mới trên cơ sở kết hợp hai
ý tưởng hạ cấp phương trình và chia miền, luận án đã đề xuất một phương pháp lặp giải bài toán
song điều hòa với các điều kiện biên phức tạp, nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp và kiểm tra
sự hội tụ bằng nhiều ví dụ thử nghiệm. Áp dụng giải hai mô hình bài toán trong cơ học, đó là bài
toán về vết nứt và bài toán về độ võng của bản có một hoặc hai giá đỡ bên trong. Qua các kết
quả nghiên cứu cả về lý thuyết và thử nghiệm, so sánh với một số phương pháp như: Phương pháp
SFBIM giải bài toán vết nứt, phương pháp phương trình chuỗi cặp giải bài toán bản với một giá
đỡ, các kết quả tính toán đã chứng tỏ hiệu quả của phương pháp là: Các phép lặp hội tụ nhanh, sự
tính toán là đơn giản và dễ dàng thực hiện trên máy tính điện tử, khắc phục được những khó khăn
của các phương pháp khác khi trên biên xuất hiện nhiều điểm phân cách các dạng điều kiện biên.
Phương pháp lặp kết hợp này còn có thể áp dụng cho các bài toán:
- với một hoặc nhiều giá đỡ bên trong, các giá đỡ này có thể được đặt ở vị trí không đối xứng qua
tâm của bản.
- khi tải trọng được phân bố không đều và là một hàm chẵn theo biến y.
- khi có một cạnh được gối ngang với hạn chế quay đàn hồi không đều:
D∆u + K(s)
∂u
∂n
= 0.
Phương pháp lặp cũng có thể sử dụng để giải bài toán về thanh trượt phẳng (The planar stick-slip)
với nhiều phần thanh trượt, trong khi với phương pháp SFBIM thì khó có thể áp dụng được.
KẾT LUẬN CHUNG
Kết hợp các ý tưởng chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh đạo hàm, luận án đã đề xuất
các phương pháp hiệu quả giải một số bài toán đối với phương trình elliptic với các điều kiện biên

hỗn hợp phức tạp nảy sinh từ cơ học và vật lý. Các kết quả chính của luận án bao gồm:
(1) Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm trên
biên phân chia giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn, đưa bài toán mặt phân cách trong
môi trường không đồng nhất về các bài toán con, trong các miền ở đó tính chất của môi trường
là liên tục. Các kết quả đã được chứng minh bằng lý thuyết và kiểm tra bằng các chương trình
thực nghiệm tính toán trên một số miền cả đơn giản và phức tạp.
23
(2) Đề xuất một phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình elliptic với điều
kiện biên hỗn hợp mạnh, chứng minh sự hội tụ của phương pháp, tìm khoảng tham số lặp tối
ưu cho một trường hợp riêng và áp dụng giải bài toán Motz. Phương pháp này cho phép giải
bài toán biên hỗn hợp trên các hệ thống tính toán song song.
(3) Đề xuất một phương pháp kết hợp giữa chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh đạo
hàm giải bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Các
kết quả đã được chứng minh chặt chẽ về mặt lý thuyết và được kiểm tra trên nhiều thực nghiệm
tính toán. Đặc biệt, hiệu quả của phương pháp đã được khẳng định qua các kết quả giải các
bài toán:
- Bài toán vết nứt
- Bài toán về độ uốn của bản mỏng có một hoặc hai giá đỡ bên trong. Đặc biệt, kết quả về bài
toán bản với hai giá đỡ bên trong là hoàn toàn mới, và đã được chấp nhận đăng trên tạp chí
Journal of Engineering Mathematics (SCI), 03/2013.
Các thử nghiệm tính toán đã được thực hiện trên nhiều ví dụ và so sánh với các phương pháp
khác (Phương pháp SFBIM, phương pháp phương trình chuỗi cặp, ) chứng tỏ tính hiệu quả
của các phương pháp đã được đề xuất.
(4) Xây dựng một thư viện chương trình giải số bài toán biên hỗn hợp yếu của phương trình elliptic
với hệ số hằng trong miền chữ nhật với các điều kiện biên khác nhau dựa trên thuật toán thu
gọn khối lượng tính toán của Samarskij-Nikolaev. Thư viện chương trình này là công cụ quan
trọng để giải số các bài toán phức tạp được nghiên cứu trong luận án.
Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:
• Nghiên cứu biện pháp làm tăng tốc độ hội tụ của các phương pháp lặp trên cơ sở phương
pháp ngoại suy tham số .

• Phát triển các phương pháp lặp đã đề xuất đối với các miền hình học phức tạp và điều kiện
biên phức tạp hơn.
• Ứng dụng các phương pháp này đối với một số mô hình bài toán khác trong cơ học và vật lý.
• Nghiên cứu phương pháp lặp dựa trên chia miền đối với các dạng phương trình hyperbolic và
parabolic.
24