Phân tích ổn định nghiệm cho bài toán cân bằng ngẫu nhiên và áp dụng vào bài toán tối ưu ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Tên đề tài: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CHO
BÀI TỐN CÂN BẰNG NGẪU NHIÊN VÀ
ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN
Mã số: 233/HĐ-NCKHPTCN

Tên báo cáo chuyên đề: ĐỘ ĐO METRIC
TRONG KHÔNG GIAN ĐỘ ĐO VÀ
MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN

Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Xuân Hải
Người chủ trì thực hiện chuyên đề: TS. Nguyễn Xuân Hải, Khoa Khoa
học tự nhiên

Bình Dương, Tháng 9 Năm 2015


Mục lục
Trang
Đặt vấn đề
Nội dung nghiên cứu và kết quả đạt được
Kết luận
Tài liệu tham khảo

1
1
4
5

1. Đặt vấn đề
Trong đề tài chúng tôi nghiên cứu nội dung sau.
Gọi Xcũ n,

5

và p(Q) là tập tất cả các độ đo xác suất Borel trên ố . Gọi

K:XX p(Q)" Xlà một ánh xạ đa trị và f :Q X X X X —>□ u{ ± 00} sao cho, với mỗi
x, y <= X, f (., x, y) là hàm đo được. Chúng tơi xét bài tốn cân bằng ngẫu nhiên phụ
thuộc tham số độ đo xác suất dưới đây:
(SEP) Tìm x G X sao cho x G K(x, ự) và f (o, x, ự) < 0, Vy G K(x, ự),
ở đây E f (o, x, y) =
ự

J f (o, x, y ')ự(dị) là giá trị kì vọng của f (., x, y) theo độ
đo ố

ự.
Với bài toán (SEP), định nghĩa
S(ự)={x G X:x E K(x,ự),

J f (o,x,y)ự(dò)

< 0, Vy 6 K(x,ự)}. (1)

ố

Khi đó S xác định một ánh xạ đa trị từ p(Q) vào X và được gọi là ánh xạ nghiệm

của bài toán (SEP).
Nội dung của đề tài là nghiên cứu tính ổn định của ánh xạ nghiệm S(ự), cụ thể là
nghiên cứu khi nào S là nửa liên tục theo tham số độ đo xác suất ự, hay nói cách khác
khi ự thay đổi thì S có thay đổi một cách liên tục theo ự không.
Để đo sự thay đổi của tham số độ đo xác suất thì ta cần xác định được khoảng cách
giữa hai độ đo xác suất, đó chính là nghiên cứu về các loại metric trong không gian độ
đo xác suất.
2. Nội dung nghiên cứu và kết quả đạt được
Nhiều mêtric xác suất đã được đưa ra bởi nhiều tác giả nhằm nghiên cứu các bài
toán ngẫu nhiên khác nhau (xem Rachev, S. T., 1991). Trong mục này chúng tôi giới
thiệu vài mêtric và xây dựng các không gian tham số độ đo xác suất để nghiên cứu bài
toán (SEP).
Với p > 1, đặt Pp (ố) := {ự e p(ố): J||o||p ự(do) < X* . Nhắc lại rằng, trên @p(ố), ố
mêtric Fortet-Mourier (xem Rachev, S. T., 1991) được xác định bởi: với mọi ự,VGpp (ố^


ở đây

dp

sup

geM p ( Q)

J g MPV
(

)(

-

)( d(

5

'd

)

Q

Mp(Q) = ig:Q^ : |g(®)-g(^)| <11^-^max{1,||®||p 1,||^ }, VweQ; . Với

các dữ kiện của bài toán (SEP), ta đặt r(y,y) = {x e X:

J f (rn, x,y)p(dm)

< 0} , và

Q

định nghĩa khoảng cách p và ơ tương ứng trên p(Q) và @(Q) như sau:
•

fyyep(Q),

/X^ ỳ) = supx^xh(K (x,
•

K(

x v)) + supy xh(r(^, y), r(v, y));
G

V^,yepp(Q),

J g ® ^v

ơp p v = sup xeXh K (x Àh K (x,lX) + sup.g. M (Q)
(

,

)

(

(

)( - )( d

<

Q

ở đây h là khoảng cách Hausdorff xác định trên lớp tất cả các tập con của X.
Bổ đề 2.1 Với mỗi tìeQ và y eX, nếu f (w,.,y) là Isc thì r(^,y) là tập đóng trong X với
mọi p e ỳXQ).
Chứng minh. Lấy bất kỳ dãy {x„ }"=1 dly y) sao cho x x e X, theo bổ đề Fatou,

J f (m, x, y)ụ(d®))

< lim inf

QQ

J f (m, x , y) p(d('))
n

< 0.

Do đó xeT(p,y) . Vậy r(//,y) là tập đóng. LI
Từ bây giờ trở đi, với bài tốn (SEP) ta ln giả thiết thêm X là tập con compact
của □ n, ánh xạ đa trị K có các ảnh đóng, và f (rn,.,y) là lsc với mọi (úẶy) eQxX. Với
các giả thiết này, các khoảng cách p và ơp tương ứng trở thành các mêtric trên p(Q) và

Ịp (Q), và như vậy các không gian tham số độ đo xác suất (p(Q), p) và (p (Q),ơp )là
các không gian mêtric. Sau này, khi xét cho (p(Q), p) (tương ứng, (p (Q),^,)) thì ta
ln giả thiết ánh xạ K từ X X ỳXQ) (tương ứng, X X p (Q)) vào X. Trong trường hợp
K: X X Ịpp (Q) ■■ X được xác định bởi


K(x,/d):=K(p)={x e X:

Jm (®,x' Ịp(dm)
Q

5

< 0,i = 1,2,...,l},

(2)


ở đây mt: Qx X thỏa mãn: với mỗi x e X, m (., x) e M (Q) , và với mỗi (ữ efì,m(®,.) là
lsc. Thế thì K khơng phụ thuộc vào x, và ta xem K như là ánh xạ từ @ (Q) vào X. Trong
trường hợp này, dùng bổ đề Fatou ta dễ dàng thấy rằng K luôn có các ảnh đóng.
Bổ đề 2.2 Với khơng gian (p(Q), p), nếu ánh xạ K: X xp(Q)" X là liên tục theo biến
thứ nhất thì nó là ánh xạ đóng và nửa liên tục dưới.
Chứng minh. Gọi {((xn Án ),yn )}^=J c GraphK là một dãy bất kỳ sao cho

((

x

n

Án yn) ((x
),

ÁÁ y . Ta có:
)

h(K(x ,

n

Án \ K(x ÁO h(K(xn, Án X K(Xn ÁO + h(K(Xn ÁXK(x Á))
,

Khi Án

,

<

supx Xh(K(x',Áj, n, Á)) ' h(K(xn, Á), K(x, Án

<

P Á, Á) + h( K (xn, ÁX K (x, Á)).

G

(

Á trong (p(Q),p) và xn

h(K(xn, Á), K(x, Á))
d( ,K(

y

x trong X ta có: p(pn,Á)

0. Do đó h(K(xn, Án ), K(x, Á))

0 và

0. Bây giờ

x Á))=infZ K (x ,Á) II y - M < II yn - y||+h( K (x„, ÁX
G

x Á))

K( ,

0

.

Suy ra d(y,K(x,Á)) = 0. Vì K(x,Á) là tập đóng trong X, y GK(x,Á). Vậy K là ánh xạ
đóng. Ta chứng minh K nửa liên tục dưới. Lấy bất kì dãy {(xn ,Án )}^=J c X x (p(Q), p)
hội tụ đến (x, Á) , và lấy bất kì y e K(x,Á). Với mỗi n, do K(xn, Án ) là tập đóng nên tồn
tại yn G K(xn, Án ) sao cho ||y„ - y|| = d(y,K(xn ,Án )). Khi đó ta có
k - y|| = d Cy K (xn ,Án )) < SuPy K(x,Á)d (y', K (xn, Án ))
0
< h(K(xn, Án X K(x, Á)) < P Án, Á)
,
I

e

(

nghĩa là yn

y. Vậy K là nửa liên tục dưới. □

Chứng minh tương tự như của Bổ đề 2.2 ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.3 Với không gian (pp(Q),^,,), nếu ánh xạ K: Xx@(Q)■■ X là liên tục theo biến
thứ nhất thì nó là ánh xạ đóng và nửa liên tục dưới.
Bổ đề 2.4 Với không gian (pp(Q),^), ánh xạ K: @(Q) " X được xác định bởi (2) là
đóng, và do K có các ảnh đóng nên K là nửa liên tục trên.
Chứng minh. Lấy bất kì dãy {ựn

}

n=1

hội tụ đến ự trong (pp(ố),^p), và gọi {yn

}

n=1

là dãy bất kì


trong X sao cho với mọi n, yn G K(ụn ), và yn

y. Do bổ đề Fatou, với

mọi ỉ = 1,2,..., I, ta có

J m (à, y) ự(dà) < lim inf J m (à, y )ự(dà)
ố

J

m

n >z

ố

(àliminf
y„ ) ựn -ự) dà) + Jmi (à yn )ựn dà) ốố

i<

(

(

J g <(àliminf
) A A
(

n

-

)(dà)

+
sup

(

J

m

i

(à y„ )ựn (dà) ốố

geM p (ố)

f

< lim illf £p ựn,ự) + ™i (àyn)
_ố
(

ự(dà = hmmf ímt (ày„)ự„(dà) < 0.

Vậy y e K(ự), tức là K là đóng. □
3. Kết luận
Trong chuyên đề này chúng tôi đã đưa ra được một số loại metric mới trong không
gian độ đo xác suất. Một số các kết quả liên quan đến các loại metric này được đưa ra
nhằm làm công cụ cho các chứng minh trong phần chính của đề tài.


4.

Tài liệu tham khảo
[1] Cho, G.M., 1995. Stability of the Multiple Objective Linear Stochastic

Programming Problems. Bulletin of the Korean Mathematical Society. 32: 287296.
[2] Henrion, R. and W. Romisch, 1999. Metric Regular and Quantitative Stability
in

Stochastic

Programs

with

Probabilistic

Constraints.

Mathematical

Programming. 84: 55-88.
[3] Nemirovski, A. et al., 2009. Robust Stochastic Approximation Approach to
Stochastic Programming. SIAM Journal on Optimization. 19: 1574-1609.
[4] Rachev, S. T., 1991. Probability Metrics and the Stability of Stochastic Models.
Wiley, Chichester, U.K. 493pp.
[5] Rachev, S. T. and W. Romisch, 2002. Quantitative Stability in Stochastic
Programming: the Method of Probability Metrics. Mathematics of Operation
Reseach. 27: 792-818.
[6] Romisch, W. and R. J-B. Wets, 2007. Stability of £-Approximate Solutions to
Convex Stochastic Programs. SIAM Journal on Optimization. 18(3): 961-979.
[7] Shapiro, A., 2008. Stochastic Programming Approach to Optimization under
Uncertainty. Mathematical Programming. 112(B): 183-220.

Người thực hiện chuyên đề

TS. Nguyễn Xuân Hải