Slide thuật toán ứng dụng chương 4 chia để trị

.c
om

an

co

ng

THUẬT TỐN ỨNG DỤNG

cu

u

du
o

ng

th

CHIA ĐỂ TRỊ

Phạm Quang Dũng
Bộ mơn KHMT


1
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

NộI dung
 Tổng quan chia để trị

ng

 Ví dụ minh họa

cu

u

du
o

ng

th

an

 Giảm để trị

co

 Độ phức tạp chia để trị

2
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Tổng quan chia để trị
 Chia bài toán cần giải ban đầu thành các bài toán con

cu

u

du
o

ng

th

an

co

ng

độc lập nhau

 Giải (trị) các bài toán con
 Tổng hợp lời giải của các bài toán con để dẫn ra lời
giải của bài toán xuất phát

3
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Ví dụ minh họa
 Bài tốn dãy con dài nhất: cho dãy số nguyên a = a1,

ng

th

an

co

ng

a2, …, an. Tìm dãy con gồm một số liên tiếp các phần
tử có tổng lớn nhất
 Phân chia: ký hiệu P(i, j) là lời giải của bài tốn tìm dãy
con liên tiếp của dãy ai, ai+1,…, aj có tổng cực đại
 Tổng hợp lời giải

du
o

 Ký hiệu PL(i, j) là lời giải của bài tốn tìm dãy con liên tiếp

cu

u

của dãy ai, ai+1,…, aj sao cho phần tử cuối cùng là aj có
tổng cực đại
 Ký hiệu PR(i, j) là lời giải của bài tốn tìm dãy con liên
tiếp của dãy ai, ai+1,…, aj sao cho phần tử đầu tiên là ai
có tổng cực đại
4
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Ví dụ minh họa
 Xét đoạn [l,l+1,...,r]. Ký hiệu m = (l+r)/2

P(l,m)

th

m m+1

P(m+1,r)

cu

u

du
o

ng

l

an

co

ng

 P(l,r) = MAX{P(l, m), P(m+1,r), PL(l,m) + PR(m+1,r)}

PL(l,m)

PR(m+1,r)

5
CuuDuongThanCong.com

/>
r


.c
om

Ví dụ minh họa
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

ng

#define INF 1e9

co

#define MAX 1000000

an

int a[MAX];

th

int n;

ng

void input(){

cin >> n;

cu

u

}

du
o

for(int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];

6
CuuDuongThanCong.com

/>

ng
co
an
th

ng

int PL(int l, int r){
int rs = -INF;
int s = 0;
for(int i = r; i >= l; i--){
s += a[i];

rs = max(rs,s);
}
return rs;
}

.c
om

Ví dụ minh họa

cu

u

du
o

int PR(int l, int r){
int rs = -INF;
int s = 0;
for(int i = l; i <= r; i++){
s += a[i];
rs = max(rs,s);
}
return rs;
}

7
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Ví dụ minh họa
int P(int l, int r){
if(l == r) return a[r];

ng

int m = (l+r)/2;

co

return max(max(P(l,m),P(m+1,r)), PL(l,m)+PR(m+1,r));
}

an

void solve(){

th

cout << P(0,n-1);

ng

}

solve();

cu

}

u

input();

du
o

int main(){

8
CuuDuongThanCong.com

/>

 Chia bài toán xuất phát thành a bài



1.

𝑏

cu

u

 1 ,
𝑛 ≤ 𝑛0
T 𝑛 =ቐ
𝑛
𝑎𝑇
+ 𝐶 𝑛 + 𝐷 𝑛 , 𝑛 > 𝑛0

if(n  n0)

ng

2.
3.

co

du
o

ng



toán con, mỗi bài toán con kích
thước n/b
T(n): thời gian của bài tốn kích
thước n
Thời gian phân chia (dòng 4): D(n)

Thời gian tổng hợp lời giải (dịng 6):
C(n)
Cơng thức truy hồi:

an



procedure D-and-C(n) {

th



.c
om

Độ phức tạp tính tốn
xử lý trực tiếp

else{

4.

chia bài tốn xuất phát

thành a bài tốn con kích thước
n/b
5.

gọi đệ quy a bài tốn con

6.

tổng hợp lời giải

7.

}

}

9
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Độ phức tạp tính tốn
 Độ phức tạp của thuật tốn chia để trị (định lí thợ)

ng

 Cơng thức truy hồi:

cu

u

du
o

ng

th

an

co

T(n) = aT(n/b) + cnk, với các hằng số a  1, b > 1, c > 0
 Nếu a > bk thì T(n) = (𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 )
 Nếu a = bk thì T(n) = (𝑛𝑘 𝑙𝑜𝑔𝑛) với logn = 𝑙𝑜𝑔2 𝑛
 Nếu a < bk thì T(n) = (𝑛𝑘 )

10
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Độ phức tạp tính tốn
 Độ phức tạp của thuật tốn chia để trị (định lí thợ)

ng

 Cơng thức truy hồi:

du
o

ng

th

an

co

T(n) = aT(n/b) + cnk, với các hằng số a  1, b > 1, c > 0
 Nếu a > bk thì T(n) = (𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 )
 Nếu a = bk thì T(n) = (𝑛𝑘 𝑙𝑜𝑔𝑛) với logn = 𝑙𝑜𝑔2 𝑛
 Nếu a < bk thì T(n) = (𝑛𝑘 )

cu

u

→ Thuật toán chia để trị giải bài toán tổng con cực đại có
độ phức tạp là O(nlogn)
11
CuuDuongThanCong.com

/>

.c

om

Sắp xếp trộn
 Phân chia: Chia dãy a1, …, an thành 2 dãy con có độ dài bằng

cu

u

du
o

ng

th

an

co

ng

nhau
 Trị đệ quy: Sắp xếp 2 dãy con bằng thuật toán sắp xếp trộn
 Tổng hợp: Trộn 2 dãy con đã được sắp với nhau để thu được
dãy ban đầu được sắp thứ tự

12
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Sắp xếp trộn
 Trộn hai dãy đã được sắp xếp thành dãy mới được sắp

i

co

j

ng

xếp

3

8

9

20

4

an

1

5

10

11

23

u

ta

cu

k

du
o

ng

th

a

13
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Sắp xếp trộn
 Trộn hai dãy đã được sắp xếp thành dãy mới được sắp

i

co

j

ng

xếp

3

8

9

20

4

an

1

5

10

11

23

1

cu

ta

u

k

du
o

ng

th

a

14

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Sắp xếp trộn
 Trộn hai dãy đã được sắp xếp thành dãy mới được sắp

i

co

j

ng

xếp

3

8

9

20

4

an

1

5

10

11

23

du
o

ng

th

a

1

cu

ta

u

k

3

15
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Sắp xếp trộn
 Trộn hai dãy đã được sắp xếp thành dãy mới được sắp

xếp
i

co

ng

j

3

8

9

20

4

an

1

5

10

11

23

du
o

ng

th

a

1

cu

ta

u

k

3

4

16
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Sắp xếp trộn
 Trộn hai dãy đã được sắp xếp thành dãy mới được sắp

j

5

10

co

i

ng

xếp

3

8

9

20

4

an

1

11

23

1

cu

ta

k

u

du
o

ng

th

a

3

4

5

17
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Sắp xếp trộn
 Trộn hai dãy đã được sắp xếp thành dãy mới được sắp

j

5

10

co

i

ng

xếp

3

8

9

20

4

an

1

11

23

du

o

ng

th

a

u
1

cu

ta

k

3

4

5

8

18
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Sắp xếp trộn
 Trộn hai dãy đã được sắp xếp thành dãy mới được sắp

j

5

10

co

i

ng

xếp

3

8

9

20

4

an

1

11

23

du
o

ng

th

a

u
1

cu

ta

k

3

4

5

8

9

19
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Sắp xếp trộn
 Trộn hai dãy đã được sắp xếp thành dãy mới được sắp

xếp

j

co

ng

i
3

8

9

20

4

an

1

5

10

11

23

du
o

ng

th

a

u
1

cu

ta

k

3

4

5

8

9

10

20
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Sắp xếp trộn
 Trộn hai dãy đã được sắp xếp thành dãy mới được sắp

xếp

j

co

ng

i
3

8

9

20

4

an

1

5

10

11

23

du
o

ng

th

a

u
1

cu

ta

k

3

4

5

8

9

10

11

21
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Sắp xếp trộn
 Trộn hai dãy đã được sắp xếp thành dãy mới được sắp

j

co

ng

xếp

3

8

9

20

4

an

1

5

10

11

23

du
o

ng

th

a

u
1

cu

ta

k

3

4

5

8

9

10

11

20

23

22
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Sắp xếp trộn
 Trộn hai dãy đã được sắp xếp thành dãy mới được sắp

co

ng

xếp

3

8

9

20

4

an

1

5

10

11

23

ng

th

a

1

cu

ta

u

du
o

copy

3

4

5

8

9

10

11

20

23

23
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Sắp xếp trộn
 Trộn hai dãy đã được sắp xếp thành dãy mới được sắp

co

ng

xếp

ta

1

3

4

5

8

9

10

11

20

23

9

10

11

20

23

an

1

cu

u

du
o

ng

th

a

3

4

5

8

24
CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Sắp xếp trộn
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

ng

#define MAX 1000000

co

int a[MAX];
int n;

th

an

int ta[MAX];

ng

void input(){
cin >> n;
}

cu

void print(){

u

du
o

for(int i = 0; i < n; i++) cin>> a[i];

for(int i = 0; i < n; i++) cout << a[i] << " ";
}

25
CuuDuongThanCong.com

/>