Phân tích biến dạng dẻo xung quanh đỉnh vết nứt trong kết cấu hai chiều bằng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM

NGUYỄN DUY VÂN QUANG

PHÂN TÍCH BIẾN DẠNG DẺO XUNG QUANH
ĐỈNH VẾT NỨT TRONG KẾT CẤU HAI CHIỀU
BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG

Chuyên ngành: Xây dựng cơng trình dân dụng và cơng nghiệp
Mã số: 60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2013


CƠNG TRÌNH ĐƢỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
Cán bộ hướng dẫn khoa học :......................................................................................
Cán bộ chấm nhận xét 1 : ............................................................................................
Cán bộ chấm nhận xét 2 : ............................................................................................
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM
ngày 09 tháng 09 năm 2013.
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. PGS.TS Đỗ Kiến Quốc
2. PGS.TS Trương Tích Thiện
3. TS. Lê Văn Cảnh
4. TS. Bùi Đức Vinh
5. TS. Ngô Hữu Cường

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa.
Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV

Bộ môn quản lý chuyên ngành


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: Nguyễn Duy Vân Quang

MSHV: 09210203

Ngày, tháng, năm sinh: 01-09-1983

Nơi sinh: Tiền Giang

Chun ngành: Xây dựng cơng trình DD&CN

Mã số : 60.58.20

I. TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích biến dạng dẻo xung quanh đỉnh vết nứt trong kết cấu hai
chiều bằng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng.

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
1. Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM), lý thuyết cơ học nứt và
lý thuyết dẻo để lập trình mơ phỏng ứng xử vùng biến dạng dẻo xung quanh đỉnh
vết nứt, dự đoán khả năng tăng trưởng vết nứt trong kết cấu hai chiều (xem như một
tấm mỏng mặt cắt tiết diện ngang hình chữ nhật) cho bài toán biến dạng phẳng của
vật liệu thép C45 trên chương trình Matlab.
2. Mơ phỏng ứng xử vùng biến dạng dẻo xung quanh đỉnh vết nứt trong kết cấu hai
chiều bằng chương trình ANSYS trong cho bài tốn biến dạng phẳng.
3. So sánh kết quả giữa 2 phương pháp trên.
II. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 02/07/2012
II. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 21/06/2013
IV. CÁN BỘ HƢỚNG DẪN : PGS.TS Trương Tích Thiện
Tp. HCM, ngày . . . . tháng .. . . năm 2013
CÁN BỘ HƢỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO
(Họ tên và chữ ký)

TRƢỞNG KHOA….………
(Họ tên và chữ ký)


LỜI CÁM ƠN
Luận văn tốt nghiệp này được hoàn thành vào tháng 06 năm 2013 trong bộ
môn Khoa Học Ứng Dụng tại trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh.
Thời gian thực hiện luận văn từ 02/07/2012 đến 21/06/2013. Trong khoảng thời
gian này đã trải qua nhiều biến cố lớn trong cuộc sống và ảnh hưởng ít nhiều đến
quá trình học tập, nghiên cứu luận văn.
Để đạt được những thành quả khoa học này, ngồi nỗ lực khơng biết mệt

mỏi, vươn lên của bản thân, tác giả chắc chắn sẽ khơng thể hồn thành luận văn
này nếu khơng có sự giúp đỡ, động viên của gia đình, thầy cô, bạn bè và các bạn
đồng nghiệp…
Đầu tiên, tác giả tỏ lịng cảm ơn chân thành đến PGS.TS Trương Tích Thiện,
người thầy đã tiếp nhận, giao đề tài và hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng gửi lời cám ơn sâu sắc đến nghiên cứu sinh Nguyễn Ngọc Minh tại
Đại học Bochum của Đức, nghiên cứu sinh Trần Kim Bằng đã cung cấp những tài
liệu, hướng dẫn con đường ngắn nhất để đi đến kết quả cuối cùng.
Kế đến, tác giả cám ơn anh Hồ Đại Bảo, giám đốc cơng ty Cổ phần Khơng
Gian Hịa Bình đã tạo điều kiện học tập và thực hiện luận văn; các anh đồng nghiệp
trong công ty Licogi 16.1 đã gánh vác một phần công việc của tác giả trong thời
gian thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tác giả cảm ơn sâu sắc đến ba mẹ đã động viên, khuyến khích,
giúp đỡ cơng việc trong q trình thực hiện luận văn. Tác giả cũng cám ơn đến chị
Lý Kim Chi, kỹ sư hóa học trường Đại học Bách khoa Tp.HCM đang cơng tác tại
cơng ty Cổ phần Cơ Khí Xây Dựng Tân Định FICO, người đã trang trải kinh tế
trong suốt quá trình học tập và làm luận văn của tác giả.
Một lần nữa, tác giả chân thành cảm ơn tất cả.
Tp. HCM, ngày 21 tháng 06 năm 2013
Học viên thực hiện


TĨM TẮT LUẬN VĂN
Luận văn “Phân tích biến dạng dẻo xung quanh đỉnh vết nứt trong kết cấu hai
chiều bằng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng” là luận văn kết hợp giữa hai lý
thuyết: Lý thuyết cơ học nứt và lý thuyết dẻo. Trong đó, phương pháp số dùng để
tính tốn là phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM). Lý thuyết dẻo áp dụng
theo hướng tiếp cận hiện đại của Simo và Hughes (1998) [6], tham khảo thêm của
nhóm Owen và Petric (2008) [8]. Lý thuyết này được tính tốn theo dữ liệu đường
cong thí nghiệm chảy của thép C45, được đưa về mơ hình phi tuyến vật liệu bilinear

(2 đường thẳng, 1 đường là đàn hồi, 1 đường dẻo) và multilinear (đường cong ứng
suất biến dạng gồm nhiều đoạn thẳng nhỏ nối lại với nhau). Do mơ hình phi tuyến
vật liệu này, thuật tốn giải lặp Newton Raphson được áp dụng để giải hệ phương
trình phi tuyến. Q trình phân tích đàn dẻo là tải trọng tác dụng được chia thành
nhiều vòng lặp tải (load step), tải trọng tăng dần đến khi quá trình chảy dẻo xảy ra.
Sau mỗi bước tải, sai số giữa nội lực và ngoại lực tác dụng được kiểm tra, khi nào
đạt giá trị thấp nhất định trước mới chuyển sang bước tải mới. Các kết quả này được
so sánh với phần mềm ANSYS. Thuật toán trong lý thuyết dẻo là thuật toán return
mapping (thuật toán cập nhật ứng suất sau khi đã biết biến dạng, trong đó biến dạng
được tính từ đạo hàm của chuyển vị; còn XFEM dùng cho giai đoạn lắp ghép ma
trận để tính chuyển vị và biến dạng. Do đó, mục tiêu chính của luận văn là kết hợp
thuật toán return mapping và thuật toán của XFEM. Bên cạnh đó, luận văn cũng chỉ
ra những tồn tại của phương pháp XFEM trong thuật toán phát hiện vết nứt (Level
Set), và hướng khắc phục nhược điểm đó.


LỜI CAM ĐOAN CỦA TÁC GIẢ
Luận văn này là một nỗ lực tìm tịi của chính bản thân tác giả dưới sự hướng
dẫn của thầy PGS.TS Trương Tích Thiện, NCS Trần Kim Bằng và NCS Nguyễn
Ngọc Minh. Các thuật toán trong tính tốn số được ghi lại chính xác theo các lý
thuyết trong các tài liệu tham khảo tương ứng. Các kết quả tính tốn lập trình trên
Matlab được so sánh với phần mềm ANSYS cũng được trình bày. Do đề tài luận
văn là một hướng đi mới nên đa phần sẽ khơng có kết quả giải tích trên các bài báo
dẫn đến việc so sánh kết quả số rất khó khăn. Tuy nhiên, tác giả đã cố gắng xây
dựng thuật tốn dựa trên những lý thuyết tính tốn sẵn có để đưa ra những kết quả
tối ưu nhất, và cũng có những kết quả khơng tốt lắm. Tác giả cam đoan những gì
trình bày trong luận văn là những kết quả trung thực và chính xác.
Học viên thực hiện

Nguyễn Duy Vân Quang

Trang i

MỤC LỤC
TRANG BÌA
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN
LỜI CÁM ƠN
TĨM TẮT LUẬN VĂN
LỜI CAM ĐOAN CỦA TÁC GIẢ
MỤC LỤC ................................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC HÌNH ........................................................................................ iv
DANH MỤC CÁC BẢNG .....................................................................................viii
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN..................................................................................... 1
1.1. Giới thiệu đề tài ........................................................................................... 1
1.2. Sơ lược tình hình nghiên cứu phương pháp số XFEM và lý thuyết
dẻo ............................................................................................................... 1
1.3. Mục tiêu Luận văn ....................................................................................... 2
1.4. Bố cục của Luận văn ................................................................................... 3
CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG
TRONG CƠ HỌC NỨT ........................................................................................... 5
2.1. Các phương trình chủ đạo ........................................................................... 5
2.2. Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng ...................................................... 6
2.2.1. Phương trình xấp xỉ chuyển vị ......................................................... 6
2.2.2. Ý nghĩa của các hàm làm giàu .......................................................... 9
2.3. Phần tử 2 chiều dạng tứ giác trong FEM................................................... 10
2.4. Mối quan hệ giữa tọa độ vật lý và tự nhiên ............................................... 11
2.4.1. Chuyển từ tọa độ tự nhiên sang tọa độ vật lý ................................. 11
2.4.2. Đạo hàm các hàm dạng trong hệ tọa độ tổng thể (vật lý) ............... 12
2.4.3. Chuyển từ tọa độ tổng thể sang tọa độ tự nhiên ............................. 14

2.5. Ma trận độ cứng phần tử ........................................................................... 16
2.6. Kỹ thuật chuyển (shifting technique) ........................................................ 17
2.7. Mối quan hệ ứng suất-biến dạng trong XFEM ......................................... 18


Trang ii
2.7.1. Xác định ma trận B, B* .................................................................. 18
2.7.2. Đạo hàm các hàm nhánh (hàm làm giàu của phần tử
chứa đỉnh vết nứt ...................................................................................... 20
2.8. Kỹ thuật phát hiện vết nứt ......................................................................... 21
2.8.1. Phương pháp level set- Ưu nhược điểm ......................................... 21
2.8.2. Phương pháp phát hiện vết nứt bằng hình học ............................... 25
2.9. Tích phân số trong XFEM ......................................................................... 28
2.9.1. Tích phân số trong XFEM đối với các phần tử làm giàu .............. 28
2.9.2. Lựa chọn số điểm Gauss trong phần tử làm giàu ........................... 29
2.10. Cơ học phá hủy ........................................................................................ 30
2.10.1. Hệ số cường độ ứng suất (Stress Intensity Factor) ....................... 30
2.10.2. Tích phân tương tác ...................................................................... 31
2.10.3. Miền tích phân tương tác .............................................................. 34
2.10.4. Lựa chọn bán kính vịng trịn tính tích phân cho
bài tốn nứt dẻo ........................................................................................ 35
2.11. Tích phân tương tác trong FEM/XFEM .................................................. 36
2.11.1. Trạng thái 1................................................................................... 36
2.11.2. Trạng thái 2................................................................................... 37
2.11.2.1. Trường tiệm cận thuần mode I .......................................... 37
2.11.2.2. Trường tiệm cận thuần mode II......................................... 38
2.12. Điều kiện vết nứt phát triển ..................................................................... 38
2.13. Cơ học nứt đàn hồi tuyến tính cho vùng dẻo quanh
đỉnh vết nứt ....................................................................................................... 39
CHƢƠNG 3: LÝ THUYẾT DẺO .......................................................................... 41

3.1 Ứng dụng lý thuyết dẻo trong Luận văn .................................................... 41
3.2. Các khái niệm cơ bản trong lý thuyết dẻo ................................................. 41
3.3. Điều kiện dẻo............................................................................................. 44
3.4. Tiêu chuẩn von Mises................................................................................ 45
3.5. Lý thuyết biến dạng đối với vật liệu J 2...................................................... 46
3.6. Qui luật chảy kết hợp ................................................................................ 46


Trang iii
3.7. Tính chất quan trọng của vật liệu dẻo ....................................................... 46
3.8. Các mơ hình chảy dẻo ............................................................................... 46
3.9. Các mơ hình biến cứng .............................................................................. 47
3.10. Tính tốn dữ liệu thực nghiệm thép C45 ................................................. 48
3.10.1. Đường cong thực nghiệm vật liệu thép C45................................. 48
3.10.2. Ứng suất chảy ban đầu ................................................................. 51
3.11. Thuật toán return mapping cho trường hợp biến dạng phẳng tính
tốn cho 1 điểm Gauss...................................................................................... 55
3.11.1. Sơ lược về thuật tốn return mapping .......................................... 55
3.11.2. Qui trình thuật toán return mapping trong một bước tải .............. 58
3.11.3. Thuật toán return mapping cho bài toán biến dạng phẳng ........... 59
3.11.4. Điều kiện Kun-Tucker .................................................................. 68
3.12. Thuật toán Newton-Raphson giải bài toán cân bằng tĩnh học ................ 70
3.12.1. Các phương pháp giải bài toán cân bằng phi tuyến...................... 70
3.12.2. Ý nghĩa thuật toán giải bài toán cân bằng .................................... 70
3.12.3. Giải thuật giải bài toán cân bằng .................................................. 71
CHƢƠNG 4: VÍ DỤ SỐ.......................................................................................... 75
4.1. Tính tốn trên phần mềm ANSYS ......................................................... 75
4.2. Bài toán tấm chữ nhật chịu kéo ................................................................. 75
4.3. Bài tốn dầm chịu tải phân bố đều có vết nứt thẳng ................................. 79
4.4. Bài toán kết cấu khung L chịu kéo vết nứt thẳng ...................................... 82

4.5. Bài toán kết cấu khung L chịu kéo có vết nứt xiên ................................... 87
4.6. Bài toán kết cấu khung U chịu tải phân bố đều ......................................... 91
CHƢƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN ..................................... 97
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 99
PHỤ LỤC ............................................................................................................... 102
LÝ LỊCH TRÍCH NGANG


Trang iv

DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1. Mơ hình kết cấu chi lưới theo XFEM và FEM ........................................2
Hình 2.1. Vật thể với trạng thái cân bằng khi có tải tác dụng ..................................5
Hình 2.2. Tọa độ cực tại đỉnh vết nứt .......................................................................9
Hình 2.3. Phần tử trong tọa độ vật lý tổng thể và tọa độ tự nhiên .........................10
Hình 2.4. Xác định tọa độ địa phương của vết nứt .................................................21
Hình 2.5. Vết nứt bất kỳ trong lưới phần tử có 2 đỉnh ...........................................22
Hình 2.6. Hàm dấu..................................................................................................22
Hình 2.7. Dấu của các hàm  và  để xác định vị trí vết nứt ................................23
Hình 2.8. Nhận diện phần tử có vết nứt cắt qua bị sai ...........................................24
Hình 2.9. Sự phát hiện sai phần tử có vết nứt cắt qua và phần tử chứa đỉnh vết nứt
khi vết nứt phát triển ...............................................................................................25
Hình 2.10. Minh họa tọa độ vết nứt, cạnh phần tử và tọa độ giao điểm vết nứt với
cạnh phần tử ............................................................................................................26
Hình 2.11. Kết quả phát hiện vết nứt bằng cách tìm giao điểm trên
Matlab......................................................................................................................27
Hình 2.12. Chia nhỏ phần tử dạng tam giác tại phần tử có vết nứt cắt qua
và phần tử chứa đỉnh vết nứt ...................................................................................28
Hình 2.13. Chia nhỏ phần tử dạng tam giác tại phần tử có vết nứt cắt và
phần tử chứa đỉnh vết nứt trong Matlab ..................................................................28

Hình 2.14. Chia nhỏ phần tử dạng tam giác tại phần tử có vết nứt cắt qua
theo tài liệu của Rabczuk ........................................................................................29
Hình 2.15. Lựa chọn điểm Gauss trong phần tử thường và phần tử làm
giàu ..........................................................................................................................30
Hình 2.16. Biểu diễn trục tọa độ tại đỉnh vết nứt ...................................................31
Hình 2.17 Mơ hình tấm chịu kéo vết nứt góc .........................................................31
Hình 2.18 Quy ước cho miền J: miền A được bao quanh bởi Γ, C+, C- và
C0; pháp tuyến đơn vị mj = nj trên C0 và mj = -nj trên Γ .........................................34


Trang v
Hình 2.19 Hàm trọng lượng q trên các phần tử và bán kính chọn để tính
tích phân tương tác ..................................................................................................35
Hình 2.20 Các phần tử được lựa chọn quanh đỉnh vết nứt để tính tốn
tích phân tương tác ..................................................................................................36
Hình 2.21 Vết nứt góc với vùng dẻo tại đỉnh vết nứt .............................................39
Hình 3.1 Biểu đồ ứng suất biến dạng khi gia tải, cất tải, gia tải lại........................44
Hình 3.2 Mơ hình chảy dẻo lý tưởng & chảy dẻo có biến cứng ............................47
Hình 3.3 Minh họa bề mặt chảy trong mơ hình chảy dẻo lý tưởng .......................47
Hình 3.4 Biến cứng đẳng hướng. Thí nghiệm đơn trục và mặt phẳng  ................48
Hình 3.5 Các đường cong thực nghiệm của thép C45............................................49
Hình 3.6 “Đường cong” vẽ bởi nhiều đường thẳng (mulilinear) từ các
điểm ứng suất-biến dạng của đường cong thực nghiệm .........................................50
Hình 3.7 Ứng suất chảy ban đầu offset=ys ............................................................51
Hình 3.8 Mơ hình bilinear ......................................................................................55
Hình 3.9 Lưu đồ thuật tốn tính tốn dẻo của 1 điểm ............................................56
Hình 3.10 Thuật tốn return mapping ....................................................................57
Hình 3.11 Minh họa thuật tốn return mapping .....................................................57
Hình 3.12 Bước thử nghiệm (trial) vi phạm điều kiện f  0...................................58
Hình 3.13 Minh họa thuật tốn return mapping cho mơ hình von Mises trong

khơng gian ứng suất chính ......................................................................................60
Hình 3.14 Minh họa cập nhật ứng suất lệch trong mặt phẳng lệch  .....................61
Hình 3.15 Giải phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton-Raphson ......72
Hình 4.1 Tấm có vết nứt chịu kéo và mơ hình bilinear ..........................................75
Hình 4.2 Chuyển vị ux trong tấm ............................................................................76
Hình 4.3 Chuyển vị uy trong tấm ............................................................................76
Hình 4.4 So sánh biến dạng trong tấm ...................................................................77
Hình 4.5 Phần tử biến dạng dẻo và vịng trịn tính tích phân tương tác trong
tấm ...........................................................................................................................77
Hình 4.6 Dầm chịu tải phân bố đều có vết nứt .......................................................79


Trang vi
Hình 4.7 Mơ hình multilinear trong ANSYS ......................................................80
Hình 4.8 Chuyển vị ux trong dầm ...........................................................................80
Hình 4.9 Chuyển vị uy trong dầm ...........................................................................80
Hình 4.10 So sánh biến dạng trong dầm ................................................................81
Hình 4.11 Kích thước kết cấu khung L có vết nứt ngang ......................................82
Hình 4.12 Chuyển vị ux trong kết cấu khung L vết nứt ngang mơ hình
bilinear .....................................................................................................................83
Hình 4.13 Chuyển vị uy trong kết cấu khung L vết nứt ngang mơ hình
bilinear .....................................................................................................................83
Hình 4.14 So sánh biến dạng trong kết cấu khung L vết nứt ngang mơ hình
bilinear………………………………………………………………………… ....83
Hình 4.15 Chuyển vị ux kết cấu khung L vết nứt ngang mơ hình multilinear .......85
Hình 4.16 Chuyển vị uy kết cấu khung L vết nứt ngang mơ hình multilinear .......85
Hình 4.17 So sánh biến dạng kết cấu khung L vết nứt ngang mơ hình
multilinear ...............................................................................................................85
Hình 4.18 Kích thước kết cấu khung L có vết nứt xiên .........................................87
Hình 4.19 Chuyển vị ux trong kết cấu khung L vết nứt xiên mơ hình bilinear.......87

Hình 4.20 Chuyển vị uy trong kết cấu khung L vết nứt xiên mơ hình bilinear ......88
Hình 4.21 So sánh biến dạng kết cấu khung L vết nứt xiên mô hình bilinear .......88
Hình 4.22 Chuyển vị ux trong kết cấu khung L vết nứt xiên mơ hình
multilinear ...............................................................................................................89
Hình 4.23 Chuyển vị uy trong kết cấu khung L vết nứt xiên mơ hình
multilinear ...............................................................................................................90
Hình 4.24 So sánh biến dạng kết cấu khung L vết nứt xiên mơ hình bilinear .......90
Hình 4.25 Kích thước kết cấu khung U có vết nứt thẳng góc 900 ..........................92
Hình 4.26 So sánh chuyển vị ux trong kết cấu khung U vết nứt thẳng góc 900
mơ hình bilinear ......................................................................................................92
Hình 4.27 So sánh chuyển vị uy trong kết cấu khung U vết nứt thẳng góc 900
mơ hình bilinear ......................................................................................................92


Trang vii
Hình 4.28 So sánh biến dạng trong kết cấu khung U vết nứt thẳng góc 900
mơ hình bilinear ......................................................................................................93
Hình 4.29 Chuyển vị ux trong kết cấu khung U vết nứt thẳng góc 900 mơ
hình multilinear .......................................................................................................94
Hình 4.30 Chuyển vị uy trong kết cấu khung U vết nứt thẳng góc 900 mơ
hình multilinear .......................................................................................................94
Hình 4.31 Ứng suất tương đương von Mises trong kết cấu khung U ....................94
Hình 4.32 So sánh biến dạng kết cấu khung U vết nứt thẳng góc 900 mơ hình
multilinear ...............................................................................................................95


Trang viii

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1 Độ bền phá hủy KIC cho 1 số vật liệu ........................................................ 40

Bảng 3.1 Ứng suất-biến dạng tổng của thép C45 ..................................................... 49
Bảng 3.2 Ứng suất-biến dạng tổng-biến dạng dẻo của thép C45 ............................. 52
Bảng 4.1 So sánh giá trị chuyển vị lớn nhất trong tấm............................................. 78
Bảng 4.2 So sánh giá trị KI trong tấm ....................................................................... 78
Bảng 4.3 So sánh giá trị chuyển vị lớn nhất trong dầm ............................................ 81
Bảng 4.4 So sánh giá trị KI trong dầm ...................................................................... 81
Bảng 4.5 So sánh giá trị chuyển vị lớn nhất trong kết cấu khung L vết nứt ngang
mơ hình bilinear ........................................................................................................ 84
Bảng 4.6 So sánh giá trị chuyển vị nút 1 trong kết cấu khung L vết nứt ngang
mơ hình bilinear ........................................................................................................ 84
Bảng 4.7 So sánh giá trị KI trong kết cấu khung L vết nứt ngang mơ hình
bilinear ...................................................................................................................... 84
Bảng 4.8 So sánh giá trị chuyển vị lớn nhất trong kết cấu khung L vết nứt ngang
mơ hình multilinear ................................................................................................... 86
Bảng 4.9 So sánh giá trị chuyển vị nút 1 trong kết cấu khung L vết nứt ngang
mơ hình multilinear ................................................................................................... 86
Bảng 4.10 So sánh giá trị KI trong kết cấu khung L vết nứt ngang mơ hình
multilinear ................................................................................................................ 86
Bảng 4.11 So sánh giá trị chuyển vị lớn nhất trong kết cấu khung L vết nứt xiên
mơ hình bilinear ........................................................................................................ 88
Bảng 4.12 So sánh giá trị chuyển vị nút 1 trong kết cấu khung L vết nứt xiên
mơ hình bilinear ........................................................................................................ 89
Bảng 4.13 So sánh giá trị KI trong kết cấu khung L vết nứt xiên mơ hình
bilinear ...................................................................................................................... 89
Bảng 4.14 So sánh giá trị chuyển vị lớn nhất trong kết cấu khung L vết nứt xiên
mơ hình multilinear ................................................................................................... 90
Bảng 4.15 So sánh giá trị chuyển vị nút 1 trong kết cấu khung L vết nứt xiên


Trang ix

mơ hình multilinear ................................................................................................... 91
Bảng 4.16 So sánh giá trị KI trong kết cấu khung L vết nứt xiên mơ hình
multilinear ................................................................................................................ 91
Bảng 4.17 So sánh giá trị chuyển vị lớn nhất trong kết cấu khung U vết nứt thẳng
góc 900 mơ hình bilinear ........................................................................................... 93
Bảng 4.18 So sánh giá trị KI trong kết cấu khung U vết nứt thẳng góc 900 mơ hình
bilinear ...................................................................................................................... 93
Bảng 4.19 So sánh giá trị chuyển vị lớn nhất trong kết cấu khung U vết nứt thẳng
góc 900 mơ hình multilinear ...................................................................................... 95
Bảng 4.20 So sánh giá trị KI trong kết cấu khung U vết nứt thẳng góc 900 mơ hình
multilinear ................................................................................................................ 95


Trang 1
CHƢƠNG 1

TỔNG QUAN
1.1. Giới thiệu đề tài
Lý thuyết dẻo và lý thuyết cơ học nứt đã được áp dụng rất nhiều trong các
lĩnh vực khoa học thực tiễn. Cả hai lý thuyết này đều phát triển dựa trên nền tảng
của lý thuyết đàn hồi. Cả hai lý thuyết này phát triển theo hai hướng khác nhau,
nhưng trong một số trường hợp phải kết hợp với nhau để mô tả hiện tượng trong
thực tế như bài toán ứng xử của kết cấu khi có xuất hiện vết nứt khi tiếp tục gia tải.
Sự kết hợp giữa lý thuyết dẻo và lý thuyết cơ học nứt để giải quyết bài toán biến
dạng dẻo của vùng xung quanh đỉnh vết nứt trong kết cấu là một hướng đi mới
mang nhiều ý nghĩa thực tiễn và khoa học.
Luận văn này áp dụng một phương pháp số mới là phương pháp phần tử hữu
hạn mở rộng (Extended Finite Element Method hay XFEM) phát triển dựa trên nền
tảng lý thuyết cơ học nứt (một biến thể của phương pháp phần tử hữu hạn cổ điển
FEM) để giải quyết vấn đề trên do những ưu điểm nổi trội của XFEM trong bài tốn

kết cấu có vết nứt. Bên cạnh đó, lý thuyết dẻo được đưa vào để xử lý giá trị ứng suất
ngoài miền đàn hồi.
1.2. Sơ lƣợc tình hình nghiên cứu phƣơng pháp số XFEM và lý thuyết dẻo
Moës (1999) [23] của đại học Northwestern (U.S.A) đã mô phỏng sự phát
triển của vết nứt trong kết cấu tấm bằng XFEM, phương pháp tích phân tương tác
dùng để tính hệ số cường độ tập trung cường độ ứng suất cũng được giới thiệu. Thời
điểm năm 1999 được xem như thời điểm sơ khai của XFEM. Ưu điểm của phương
pháp là cho phép sự xuất hiện độc lập của toàn bộ vết nứt với việc chia lưới dựa
trên việc xây dựng hàm làm giàu (enriched function) thể hiện trong hình 1.1.
Phương pháp này đưa thêm vào một số bậc tự do ảo để xấp xỉ trường chuyển vị. Sau
đó XFEM đã được tiếp tục phát triển và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là
bài toán kết cấu có vết nứt. Phạm Trọng Sinh (2010) [19] đã ứng dụng XFEM để
mô phỏng vết nứt lan truyền trong luận văn thạc sĩ tại đại học Bách Khoa Tp.HCM.
Nguyễn Ngọc Minh (2011) [18] đã có một số hiệu chỉnh hàm dạng trong XFEM để


Trang 2
mô phỏng sự phát triển của vết nứt trong luận văn thạc sĩ tại đại học Bochum (Đức)
dựa trên nền tảng của tài liệu [23]. Tuy nhiên các nghiên cứu này chỉ dừng lại trong
cơ học nứt đàn hồi tuyến tính.

Hình 1.1. Sự khác biệt về lưới giữa XFEM và FEM [26]
(a) Mơ hình kết cấu được chia lưới XFEM
(b) Mơ hình kết cấu được chia lưới FEM
Hình 1.1 cho thấy các lưới trong (a) XFEM vẫn thẳng góc khơng phụ thuộc
vào phần tử trong khi hình (b) FEM lưới phải chia lưới lại trong từng phần tử để có
sự liên tục về lưới.
Trong các bài tốn về biến dạng dẻo (xem như biến dạng lớn), việc ứng dụng
các phương pháp số mới để tính tốn cịn rất ít, chủ yếu dựa trên phương pháp phần
tử hữu hạn. Hà Long Vân và Nguyễn Ngọc Minh (2007) [20] của trường đại học

Bách Khoa Tp.HCM đã áp dụng phương pháp không lưới cho bài toán chảy dẻo 2
chiều trong luận văn tốt nghiệp đại học. Ưu điểm của luận văn là áp dụng lý thuyết
dẻo theo hướng tiếp cận hiện đại của J.C.Simo & T.J.R.Hughes (1998) [6]. Tuy
nhiên chỉ dừng lại ở các kết cấu khơng có vết nứt. Riêng các cơng bố sử dụng
XFEM giải quyết bài tốn chảy dẻo cịn rất hạn chế, hoặc khơng rõ ràng. Một
nghiên cứu gần đây đã công bố như Kenta Shimomura và Yasuhiro Kanto (2013)
[17] của đại học Ibaraki (Nhật) đã hiệu chỉnh một ít ở hàm làm giàu dựa vào lời
giải giải tích để giải quyết bài tốn có vùng chảy dẻo lớn và kết quả được so sánh
với phần mềm ANSYS nhưng có sự sai số.
1.3. Mục tiêu của Luận văn
Sự kết hợp thuật toán của phương pháp số XFEM trong các tài liệu [3], [23]
và thuật toán đàn dẻo (return mapping) trong tài liệu [6] là mục tiêu chính của luận
văn, cũng là một hướng đi mới. Trong phạm vi nghiên cứu của luận văn này, tác giả


Trang 3
tiếp tục sử dụng XFEM với lý thuyết tính tốn đã có trong các tài liệu đã cơng bố
kết hợp với việc đưa thuật tốn tính tốn đàn dẻo để phân tích vùng biến dạng dẻo
xung quanh đỉnh vết nứt có sẵn trong kết cấu kết cấu hai chiềucho bài tốn biến
dạng phẳng (xem như tấm mỏng có mặt cắt ngang hình chữ nhật, chiều dài rất lớn
so với bề rộng có thể bỏ qua sự làm việc của bề dày tấm). Bên cạnh đó, tác giả cố
gắng khắc phục một hạn chế của phương pháp level set trong XFEM (kỹ thuật phát
hiện vết nứt) đã được chỉ ra bởi Nguyễn Ngọc Minh (2011) [18]. Đó là hai đóng
góp chính của luận văn này. Tiêu chuẩn von Mises dùng vật liệu kim loại (ở đây là
thép C45 có số liệu thí nghiệm) được áp dụng cho tất cả các ví dụ số. Thuật tốn
giải lặp Newton-Raphson đưa vào để giải bài toán phi tuyến giữa ứng suất và biến
dạng (phi tuyến vật liệu) trong quá trình tăng tải (dẻo). Mơ hình biến cứng đẳng
hướng được khảo sát ở cả dạng biến cứng tuyến tính (bilinear) và biến cứng phi
tuyến (multilinear). Sau mỗi bước tải, điều kiện hội tụ được kiểm tra, ứng suất và
các thông số vật liệu được cập nhật bằng thuật toán return mapping trong tài liệu về

tính tốn biến dạng dẻo của J.C.Simo và T.J.R.Hughes (1998) [6]. Các tính tốn này
được so sánh kết quả với thuật tốn phần tử hữu hạn trên phần mềm mơ phỏng
ANSYS®.
1.4. Bố cục của Luận văn
Luận văn sẽ gồm 4 chương với nội dung sau:
Chương 1: Tổng quan: Giới thiệu sơ lược mục tiêu, các đóng góp chính của
Luận văn, các thuật tốn, phương pháp tính sẽ áp dụng trong Luận văn…
Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng trong cơ học nứt: Trình
bày các lý thuyết của phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng được áp dụng tính
tốn vào cơ học nứt, một số lý thuyết của cơ học nứt cho bài toán nứt-dẻo, ưu
khuyết điểm của phương pháp level set để phát hiện vị trí vết nứt và hướng khắc
phục.
Chương 3: Lý thuyết dẻo: Trình bày một số lý thuyết về tính tốn bài tốn
biến dạng dẻo, thuật tốn cập nhật ứng suất ngồi miền đàn hồi (return mapping) và
cách kết hợp thuật toán này với thuật toán XFEM.


Trang 4
Chương 4: Ví dụ số: Trình bày các ví dụ số về phân tích biến dạng dẻo xung
quanh đỉnh vết nứt trên thuật tốn XFEM được lập trình bằng ngơn ngữ Matlab và
so sánh với thuật tốn FEM trên phần mềm ANSYS®.
Chương 5: Kết luận và hướng phát triển: là phần đưa ra các đánh giá, kết luận
và hướng mở rộng luận văn. Các danh mục tài liệu tham khảo chính của luận văn sẽ
liệt kê trong phần cuối cùng của Luận văn.


Trang 5
CHƢƠNG 2

PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG TRONG

CƠ HỌC NỨT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
2.1. Các phƣơng trình chủ đạo [23]
Xem miền  được bao bởi biên  minh họa trong hình 2.1.

Hình 2.1 Vật thể với trạng thái cân bằng khi có tải tác dụng [23]
Điều kiện biên mô tả bởi biên chuyển vị  u và biên đặt lực

 t . Vì thế

u  t   . Bề mặt vết nứt  c giả định như biên kéo tự do.

Phương trình cân bằng và điều kiện biên cho bởi:
.  b  0 trong 

(2.1a)

_

 .n  t trên t

(2.1b)

 .n  0 trên c

(2.1c)

 .n  0 trên c

(2.1d)

__

u  u trên u
Trong đó:

 : Ten xơ ứng suất Cauchy

n : véc tơ pháp tuyến đơn vị.
b : véc tơ lực khối.

u : véc tơ chuyển vị nút.
_

t : véc tơ lực kéo bên ngoài.

(2.1e)


Trang 6
Mối quan hệ ứng suất-biến dạng trong cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính:

  C

(2.2)

C : Ma trận thuộc tính vật liệu

 : Ten xơ biến dạng xác định bởi
ε  ε  u   su 



1
u  T u
2



(2.3)

Dạng yếu của phương trình cân bằng nhận được từ biến đổi (2.1) để tính xấp
xỉ:
_

  . .d   b. ud    t . ud 





(2.4)



Hay:
_

  u  : C :   u  d   b. ud    t . ud 





(2.4a)



Dạng yếu của phương trình vi phân là dạng đã biến đổi để có thể tính toán xấp
xỉ . Từ dạng yếu mới đưa các hàm xấp xỉ vào và rút ra hệ phương trình  K  u=F để
giải tìm ẩn chuyển vị.
2.2. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn mở rộng [3], [21]
2.2.1.Phƣơng trình xấp xỉ chuyển vị
Phương trình xấp xỉ chuyển vị trong XFEM được phát triển dựa trên nền tảng
của phương pháp FEM bằng cách thêm vào các bậc tự do. Thành phần bậc tự do
thêm vào này gọi là phần làm giàu hay mở rộng. XFEM đặc biệt hữu dụng cho các
bài tốn có tồn tại yếu tố bất liên tục, suy biến… (ở đó chuyển vị bất liên tục) như:
vết nứt, lỗ rỗng, bề mặt phân cách giữa 2 vật liệu, sự thay đổi độ cứng…Dạng tổng
quát của phương trình xấp xỉ chuyển vị:
u h  x    Ni  x  ui   N j  x   x  a j
iI

(2.5)

jJ

FEM

ENRICHMENT

N và N  là hàm dạng. Nói chung N có thể khác N  , N  phải thỏa mãn

thuộc tính phân chia đơn vị (patition of unity). Tuy nhiên để thuận tiện trong tính
tốn, N và N  được chọn giống nhau.


Trang 7
  x  là hàm làm giàu.

Dạng khai triển của (2.2) như sau:
u 

uh  x    x 
u
 y

0
0
0
0 
 N N 2 N3 N 4 0 0 0 0 N1 1 N 2 2 N3 3 N 4 4
 1
*
0
0
0
N1 1 N 2 2 N3 3 N 4 4 
 0 0 0 0 N1 N 2 N3 N 4 0
ux1 ux 2

ux3 ux3 uy1 uy2 uy3 uy4 ax1 ax 2

ax 3

ax 4 a y1 a y 2

ay3

a y 4 

T

(2.6)

Phương trình (2.6) phản ánh bản chất của XFEM là tăng số bậc tự do để không
phải chia lại lưới phần tử. Điều này được xem như một cải tiến của XFEM. Việc
chia lại lưới rất phức tạp về mặt thuật toán, và phương pháp FEM đã giải quyết rất
tốt phần này. Các phần mềm thương mại như ANSYS đã giải quyết được bài toán
bất liên tục như vết nứt bằng việc chia lại lưới vùng đỉnh vết nứt và các vị trí vết nứt
đi qua. Tuy nhiên, ta sẽ không đi sâu vào phần này mà sẽ đi sâu vào ưu điểm của
XFEM là không quá phụ thuộc vào việc chia lưới phần tử. Với bất kỳ hệ lưới nào
định trước, XFEM sẽ giải quyết được bằng cách tăng số bậc tự do phần tử. Số lượng
bậc tự do trong XFEM sẽ nhiều hơn FEM. Cụ thể, tại mỗi nút của phần tử có vết
nứt cắt qua sẽ tăng thêm 1 bậc tự do (do hàm làm giàu Heaviside) và mỗi nút tại
phần tử chứa đỉnh vết nứt sẽ tăng thêm 4 bậc tự do (do 4 hàm làm giàu tại đỉnh vết
nứt), nên tổng số bậc tự do của hệ sẽ tăng lên theo công thức:

total dof  numnode*nsd  numsplitnode*1*nsd  numstipnode*4*nsd
(2.7)
total dof: tổng số bậc tự do của hệ
numnode: tổng số nút của hệ
numsplitnode: tổng số nút của phần tử có vết nứt cắt qua

numstipnode: tổng số nút của phần tử chứa đỉnh vết nứt
nsd: số bậc tự do tại mổi nút của phần tử thường
Điều thuận lợi khi sử dụng các hàm làm giàu trong XFEM là vết nứt độc lập
với lưới so với FEM, nghĩa là không phải chia lại lưới tại vị trí vết nứt như FEM.
Đối với mơ phỏng vết nứt, có hai loại hàm làm giàu được sử dụng: Hàm Heaviside
thường được chọn như hàm xét dấu dùng mô phỏng các sự bất liên tục đối với phần


Trang 8
tử có vết nứt cắt qua (split element) và 4 hàm làm giàu cho phần tử chứa đỉnh vết
nứt, cịn gọi là 4 hàm nhánh (xem [23]) dùng mơ phỏng sự bất liên tục phần tử chứa
đỉnh vết nứt (tip-element). Dạng chung của XFEM dùng mô phỏng vết nứt nhận
được bởi:

uh  x    ui Ni   b j N j S  x    N j   ckl F l  x  
4

iI

jJ

kK

(2.8)

l 1

Trong đó: uh  x  là hàm xấp xỉ của trường chuyển vị

N là giá trị hàm dạng tính tại nút.

u, b, c là các bậc tự do chưa biết phụ thuộc vào I , J , K .

I : là tổng số nút trong toàn miền.
J : tổng số nút làm giàu bởi hàm dấu S  x  .
K : tổng số nút làm giàu bởi hàm làm giàu chứa đỉnh vết nứt F l  x  .

Hàm dấu (sign-distance fuction):
1
S  x  
1

  x, t   0
  x, t   0

(2.9)

Hàm Heaviside gốc ban đầu là hàm bước (jump fuction), nhưng ở đây được
hiểu rộng hơn là hàm lấy dấu: H   x, t   .

  x, t  hàm level set (được trình bày trong mục 2.8.1)
Hàm làm giàu chứa đỉnh vết nứt F l  x  được biết đến như các hàm nhánh:


F 1  r ,   r sin  
2

(2.10a)


F 2  r ,   r cos  

2

(2.10b)

 

F 3  r ,   r sin   sin 
2
 

F 4  r ,   r cos   sin 
2

Với  r ,  tọa độ cực xác định tại đỉnh vết nứt thể hiện trong hình 2.2.

(2.10c)
(2.10d)


Trang 9

Hình 2.2 Tọa độ cực tại đỉnh vết nứt [3]
Bài tốn có vết nứt là bài tốn có trường chuyển vị bất liên tục. Trong FEM
thông thường ta đã có hàm xấp xỉ chuyển vị. Bây giờ XFEM là cộng thêm vào một
vài cụm nữa để biểu diễn sự bất liên tục đó (tăng bậc tự do-phần làm giàu), mà
không làm thay đổi lưới phần tử.
Trong XFEM cho bài toán vết nứt ta quan tâm 2 hàm làm giàu quan trọng:
 Hàm làm giàu dạng Heaviside (Heaviside-type enrichment)
 Hàm làm giàu cho đỉnh vết nứt (crack tip-enrichment)
2.2.2. Ý nghĩa của các hàm làm giàu

Vết nứt là yếu tố bất liên tục nên chuyển vị cũng như ứng suất, biến dạng đều
bất liên tục tại vết nứt. Trước khi có XFEM, người ta phải "xé" phần tử ra, tức là
phải chia lại lưới (remeshing) đối với bài toán vết nứt phát triển. Việc chia lại lưới
rất phức tạp về mặt thuật tốn nên sẽ khơng xét trong luận văn này. Với XFEM,
trong bài tốn 2D thì thơng tin về vết nứt chỉ là tọa độ các điểm mà vết nứt đi qua.
Các mô tả về sự bất liên tục của trường chuyển vị đều thể hiện ở các hàm làm giàu.
Hàm làm giàu (enrichment function) là để biểu diễn đặc tính bất liên tục,
khơng trơn (non-smooth) của vết nứt như bước nhảy (jump) và suy biến
(singularity), ...
Ta có một hàm H(x) cho các nút thuộc phần tử có vết nứt cắt qua; và 4 hàm
F1(r,), F2(r,), F3(r,), F4(r,) cho mỗi nút thuộc phần tử chứa đỉnh vết nứt. Đây là
kết quả nghiên cứu của những người đi trước. Về mặt ý nghĩa, thì hàm H(x) biểu
diễn sự "xé" ra, cịn các hàm làm giàu chứa đỉnh vết nứt (tip-enriched functions) thì


Trang 10
rút ra từ các trường tiệm cận (asymptotic fields) cho trường chuyển vị và ứng suất
quanh đỉnh vết nứt trong lời giải giải tích.
Hàm làm giàu   x  có thể được chọn để áp dụng thích hợp trong việc phân
tích các giải pháp của dạng bất liên tục. Mục đích chính cho việc sử dụng khác nhau
của hàm làm giàu trong XFEM có thể được diễn tả như sau:
 Thể hiện được bản chất của miền kỳ dị lân cận đỉnh vết nứt. Sự tập trung,
suy biến ứng suất tại phần tử chứa đỉnh vết nứt.
 Thể hiện sự liên tục trong chuyển vị giữa các PTHH gần nhau.
 Miền biến dạng phía trên bề mặt vết nứt độc lập với miền biến dạng phía
dưới bề mặt vết nứt (đối với phần tử có vết nứt cắt qua).
Hàm xét dấu H   x, t   tăng thêm tại mỗi nút 1 bậc tự do; mỗi hàm làm giàu
chứa đỉnh vết nứt tăng thêm tại mỗi nút 1 bậc tự do, vì có 4 hàm nên tăng cả thảy là
4 bậc tự do cho mỗi nút của phần tử chứa đỉnh vết nứt.
2.3. Phần tử hai chiều dạng tứ giác trong FEM

Hệ tọa độ tự nhiên cho phần tử tứ giác là một hệ tọa độ địa phương sao cho các
trục r, s của nó đi qua các điểm giữa của các cặp cạnh đối diện thể hiện ở hình 2.3.
Các cạnh này được xác định bởi phương trình r  1 và s  1 . Khi đó điểm bất kỳ
thuộc phần tử có tọa độ (x,y) trong hệ tọa độ vng góc tổng thể sẽ có tọa độ (r,s)
trong hệ tọa độ tự nhiên. Các tọa độ tự nhiên này không thứ nguyên và có giá trị
trong khoảng -1 đến 1. Trong XFEM, phần tử tứ giác 4 nút với hàm dạng tuyến tính
thường được sử dụng làm phần tử thường (phần tử không được làm giàu).

Hình 2.3 Phần tử trong tọa độ vật lý tổng thể và trong tọa độ tự nhiên [21]