Phân tích dao động tự do của tấm sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn dựa trên kỹ thuật bình phương cực tiểu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐẶNG MẠNH TUẤN

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
DỰA TRÊN KỸ THUẬT BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

Chuyên ngành

: XÂY DỰNG DÂN DỤNG & CÔNG NGHIỆP

Mã số

: 60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HCM, Tháng 12 Năm 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐẶNG MẠNH TUẤN

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
DỰA TRÊN KỸ THUẬT BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

Chuyên ngành

: XÂY DỰNG DÂN DỤNG & CÔNG NGHIỆP

Mã số

: 60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HCM, Tháng 12 Năm 2012


Cơng trình được hồn thành tại : Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG - HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS. NGUYỄN TRỌNG PHƯỚC

Cán bộ chấm nhận xét 1 : PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Cán bộ chấm nhận xét 2 : TS. NGUYỄN XUÂN HÙNG

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP.HCM ngày
31 tháng 01 năm 2013
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm :
1. PGS.TS Chu Quốc Thắng
2. PGS.TS Đỗ Kiến Quốc
3. PGS.TS Trương Tích Thiện
4. TS Nguyễn Trọng Phước
5. TS Nguyễn Xuân Hùng
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trưởng Khoa quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên:

MSHV: 09210216

ĐẶNG MẠNH TUẤN

Ngày, tháng, năm sinh: 02-06-1986

Nơi sinh: Nam Định

Chuyên ngành:

Mã số: 60.58.20

Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp

I.TÊN ĐỀ TÀI:
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP

SAI PHÂN HỮU HẠN DỰA TRÊN KỸ THUẬT BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương pháp sai phân hữu hạn kết hợp với kỹ thuật bình
phương cực tiểu (LSFD) để áp dụng phân tích dao động tự do của kết cấu tấm có hình
dạng và điều kiện biên bất kì.
- Xây dựng chương trình phân tích dao động tự do (tần số và dạng dao động) của tấm
bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB dựa trên cơ sở lý thuyết của phương pháp LSFD,
kiểm chứng sự đúng đắn của chương trình với các số liệu từ các nghiên cứu khác.
- Đánh giá sự hiệu quả của phương pháp LSFD so với kết quả của phương pháp phần tử
hữu hạn sử dụng phần mềm SAP 2000 và so sánh với kết quả của các tác giả khác.
II. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:

06/02/2012

III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:

06/12/2012

IV. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:

TS. NGUYỄN TRỌNG PHƯỚC

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua.
TP HCM, ngày … tháng … năm 2012
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

(Họ tên và chữ ký)

(Họ tên và chữ ký)

TS. Nguyễn Trọng Phước

PGS-TS. Đỗ Kiến Quốc

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG
(Họ tên và chữ ký)


LỜI CẢM ƠN

Trước hết học viên xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Trọng
Phước, người đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn, truyền đạt
nhiều kiến thức quý báu trong quá trình học viên thực hiện luận văn. Tiếp đến,
học viên xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô Trường Đại học Bách
Khoa TP. HCM, đặc biệt là những thầy cơ đã tận tình dạy bảo học viên trong
suốt thời gian học tập tại trường.
Nhân đây học viên cũng xin gửi lời cảm ơn đến các tác giả đã dày cơng
nghiên cứu và cơng bố các cơng trình nghiên cứu khoa học, giúp cho học viên
có các tài liệu khoa học chuyên ngành quý giá để tham khảo trong quá trình thực
hiện đề tài luận văn.
Cuối cùng, học viên khơng thể qn cơng ơn của bố mẹ, gia đình, bạn bè và
đồng nghiệp đã luôn luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ trong những lúc
khó khăn…

TP HCM, tháng 12 năm 2012
Đặng Mạnh Tuấn

TĨM TẮT
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
DỰA TRÊN KỸ THUẬT BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
Đặng Mạnh Tuấn

Luận văn phân tích dao động tự do của kết cấu tấm bằng phương pháp
sai phân hữu hạn dựa trên kỹ thuật bình phương cực tiểu. Tấm được mơ hình
là tấm mỏng, đẳng hướng, có hình dạng bất kỳ với các điều kiện biên khác
nhau. Phương pháp phân tích là một dạng của các phương pháp không lưới
dựa vào sai phân hữu hạn và kỹ thuật bình phương cực tiểu hai chiều (TwoDimensional Least Square based Finite Difference Method - LSFD). Bằng
cách sử dụng quy luật dây chuyền (Chain Rule), các đạo hàm bậc bốn trong
phương trình chủ đạo của kết cấu tấm và điều kiện biên có thể được rời rạc
hóa trong hai hoặc ba bước bởi các chuyển vị nút của các điểm. Bài toán trị
riêng được giải và dạng dao động cũng như tần số riêng của tấm được tìm.
Một chương trình máy tính tổng quát để tạo ra sự phân bố các nút ngẫu nhiên,
xác định các tần số riêng và vẽ dạng dao động của tấm được lập trình bằng
ngơn ngữ MATLAB R2012a. Sự kiểm chứng độ tin cậy của chương trình này
cũng được thực hiện bằng cách so sánh với các kết quả từ các tác giả khác và
phần tử hữu hạn của SAP 2000. Cuối cùng sự hiệu quả của phương pháp
LSFD được đánh giá.


ABSTRACT
FREE VIBRATION ANALYSIS OF PLATES USING LEASTSQUARE-BASED FINITE DIFFERENCE METHOD
Dang Manh Tuan

In this research, the two-dimensional Least-Square-based Finite
Difference (LSFD) method is applied for analyzing free vibration problems of
plate structures. The plate model is isotropic, thin, arbitrarily shaped plate

with different boundary conditions. Analysis method is a form of the meshless
methods with two-dimensional Least-Square-based Finite Difference Method
– LSFD. Using the Chain Rule, the fourth-order derivatives of the plate
governing equation can be discretized in two or three steps as well as the
boundary conditions can be implemented directly into the governing equation
by displacement of node points. The eigenvalue problem has been solved and
shape modes as well as natural frequencies of the plates are determined. A
general computer programme for generating random distribution of points,
calculating natural frequencies and drawing mode shapes of vibration is
programmed by MATLAB R2012a language. Verify the reliability of this
programme is also done by comparing with the results from other authors and
Finite Element Method using Sap 2000. Finally, the effectiveness of LSFD
method is evaluated.


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan rằng tồn bộ nội dung trong luận văn này do tơi tự tìm hiểu
từ các tài liệu tham khảo dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Trọng Phước;
code chương trình do tơi tự viết, khảo sát và thiết lập công thức một cách chính
xác. Kết quả số trong bài được thực hiện một cách khách quan và trung thực.

Học viên thực hiện luận văn
Đặng Mạnh Tuấn


MỤC LỤC
Nhiệm vụ luận văn ........................................................................................................
Lời cảm ơn ....................................................................................................................
Tóm tắt (tiếng Việt) .......................................................................................................
Tóm tắt (tiếng Anh) .......................................................................................................

Mục lục..........................................................................................................................
Danh mục hình vẽ .........................................................................................................
Danh mục bảng biểu......................................................................................................
Các từ viết tắt trong luận văn ........................................................................................

Chương 1 Mở đầu ..................................................................................................... 1
1.1 Đặt vấn đề ......................................................................................................... 1
1.2 Mục tiêu luận văn ............................................................................................. 4
1.3 Cấu trúc của luận văn ....................................................................................... 4
Chương 2 Tổng quan ................................................................................................ 6
2.1 Giới thiệu .......................................................................................................... 6
2.2 Phương trình vi phân chủ đạo của tấm dao động ............................................. 6
2.3 Các phương pháp tính toán tần số dao động riêng ........................................... 9
2.4 Phương pháp sai phân hữu hạn ....................................................................... 16


2.4.1 Giới thiệu ................................................................................................. 16
2.4.2 Khái niệm sai phân hữu hạn .................................................................... 17
2.4.3 Phương trình sai phân hữu hạn ................................................................ 19
2.5 Phương pháp bình phương cực tiểu ................................................................ 21
2.5.1 Giới thiệu ................................................................................................. 21
2.5.2 Mơ tả phương pháp bình phương cực tiểu .............................................. 23
2.5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu tuyến tính ....................................... 24
2.5.4 Phương pháp bình phương cực tiểu phi tuyến ........................................ 26
2.5.5 Phương pháp bình phương cực tiểu có trọng số ...................................... 27
2.6 Kết luận ........................................................................................................... 29
Chương 3 Cơ sở lý thuyết ....................................................................................... 30
3.1 Giới thiệu ........................................................................................................ 30
3.2 Phương pháp sai phân hữu hạn dựa trên kỹ thuật bình phương cực tiểu ....... 30
3.2.1 Giới thiệu ................................................................................................. 30

3.2.2 Khai triển Taylor 2 chiều và kỹ thuật sai phân hữu hạn khơng lưới ....... 32
3.2.3 Kỹ thuật bình phương cực tiểu ................................................................ 36
3.2.4 Phân tích sai số phương pháp .................................................................. 37
3.3 Áp dụng phương pháp LSFD vào bài toán dao động tự do của tấm .............. 39
3.4 Phương trình chủ đạo đối với dao động tự do của tấm mỏng đẳng hướng .... 44
3.5 Rời rạc hóa phương trình chủ đạo bằng phương pháp LSFD......................... 45
3.6 Điều kiện biên ................................................................................................. 47


3.6.1 Cạnh tựa đơn ........................................................................................... 47
3.6.2 Cạnh ngàm ............................................................................................... 48
3.6.3 Cách thay thế trực tiếp điều kiện biên vào trong phương trình
chủ đạo.............................................................................................................. 49
a. Cạnh tựa đơn ............................................................................................ 49
b. Cạnh ngàm ............................................................................................... 50
3.7 Dao động tự do – Bài toán trị riêng xác định tần số riêng của hệ .................. 51
3.8 Kết luận ........................................................................................................... 57
Chương 4 Ví dụ số ................................................................................................... 58
4.1 Giới thiệu ....................................................................................................... 58
4.2 Các ví dụ số đối với tấm vuông ...................................................................... 58
4.3 Khảo sát ảnh hưởng của hàm trọng số đến tần số dao động Ω ...................... 74
4.4 Khảo sát ảnh hưởng của hệ số khoảng cách đến tần số dao động Ω .............. 77
4.5 Các ví dụ số đối với tấm có hình dạng khác ................................................... 79
4.6 Khảo sát tấm chịu tải trọng tĩnh .................................................................... 103
4.7 Kết luận chương ............................................................................................ 107
Chương 5 Kết luận ................................................................................................ 108
5.1 Kết luận ......................................................................................................... 108
5.2 Hướng phát triển ........................................................................................... 109
Tài liệu tham khảo ......................................................................................................
Phụ lục ..........................................................................................................................

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 2.1 Xấp xỉ sai phân hữu hạn của hàm f(x) ..................................................... 18
Hình 2.2 Xấp xỉ sai phân hữu hạn của hàm f(x,y) .................................................. 19
Hình 2.3 Kỹ thuật bình phương cực tiểu dùng để khớp đường cong ..................... 22
Hình 3.1 Các điểm nút của lưới khơng nằm trên biên của miền (FDM) ................ 31
Hình 3.2 Các điểm hỗ trợ xung quanh điểm khảo sát ............................................ 33
Hình 3.3 Miền tính tốn với sự phân bố các nút là bất kỳ ...................................... 40
Hình 3.4 Hệ tọa độ địa phương (n,t) tại biên .......................................................... 49
Hình 3.5 Cấu trúc của ma trận khối Index .............................................................. 55
Hình 4.1 Tấm vng tựa đơn 4 cạnh, Ω = 

ℎ/ ......................................... 60

Hình 4.2 Tấm vng với sự phân bố các nút khác nhau ........................................ 61
Hình 4.3 So sánh độ hội tụ của phương pháp LSFD với nghiệm chính xác
(Mode 1 và Mode 2) .................................................................................................. 62
Hình 4.4 Sáu mode dao động đầu tiên xuất ra từ MATLAB.................................. 63
Hình 4.5 Sáu mode dao động đầu tiên xuất ra từ Sap 2000 ................................... 64
Hình 4.6 Tấm vng ngàm 4 cạnh, Ω = 

ℎ/ ........................................... 65

Hình 4.7 So sánh độ hội tụ của phương pháp LSFD với nghiệm chính xác
(Mode 1 và Mode 2) .................................................................................................. 67
Hình 4.8 Sáu mode dao động đầu tiên xuất ra từ MATLAB.................................. 68
Hình 4.9 Sáu mode dao động đầu tiên xuất ra từ Sap 2000 ................................... 69

Hình 4.10 Tấm vng SS-C-SS-SS, Ω = 

ℎ/ ............................................. 70

Hình 4.11 Tấm vng SS-C-SS-C, Ω = 

ℎ/ .............................................. 72

Hình 4.12 Tấm vuông tựa đơn 4 cạnh, Ω = 

ℎ/ ......................................... 74

Hình 4.13 Khảo sát sự ảnh hưởng của các hàm trọng số đến tần số Ω .................... 76
Hình 4.14 Khảo sát sự ảnh hưởng của hệ số bán kính k đến tần số Ω ..................... 78
Hình 4.15 Tấm hình thang có / = 3.0; / = 2.5; Ω = (
Hình 4.16 Tấm hình thoi tựa đơn 4 cạnh, Ω = 

/

)

ℎ/ ...... 79

ℎ/ ..................................... 82

Hình 4.17 Sự phân bố các nút trong tấm hình thoi ................................................... 82
Hình 4.18 Tấm hình thoi ngàm 4 cạnh, Ω = 

ℎ/ ........................................ 84

Hình 4.19 Tấm trịn tựa đơn trên biên có ⁄ = 1.0, Ω = 

ℎ/ .................. 86

Hình 4.20 Sự phân bố các nút trong tấm trịn ........................................................... 88
Hình 4.21 Tấm trịn ngàm trên biên có ⁄ = 1.0, Ω = 
Hình 4.22 Tấm elip tựa đơn trên biên, Ω = 

ℎ/ ..................... 89

ℎ/ .......................................... 91

Hình 4.23 Sự phân bố các nút bên trong tấm Elip .................................................... 91
Hình 4.24 Tấm elip ngàm trên biên, Ω = 

ℎ/ ............................................. 93

Hình 4.25 Tấm vành khăn có tỉ lệ cạnh ⁄ = 0.5 , Ω = 

ℎ/ ................... 95

Hình 4.26 Sự phân bố các nút trong tấm vành khăn................................................. 96
Hình 4.27 Tấm tam giác đều tựa đơn trên biên, Ω = 

ℎ/ ........................... 98

Hình 4.28 Sự phân bố các nút ngẫu nhiên trong tấm tam giác ................................. 99


Hình 4.29 Tấm tam giác đều ngàm trên biên (CCC) .............................................. 100

Hình 4.30 Tấm chữ L có cạnh đặc trưng a, Ω = 

ℎ/

............................... 101

Hình 4.31 So sánh độ hội tụ của nghiệm LSFD với nghiệm chính xác ................. 104
Hình 4.32 So sánh mặt võng của tấm vuông nghiệm LSFD với Sap 2000 ............ 104
Hình 4.33 So sánh độ hội tụ của nghiệm LSFD với nghiệm chính xác ................. 106
Hình 4.34 So sánh mặt võng của tấm vuông nghiệm LSFD với Sap 2000 ............ 106


DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1 Khảo sát cond(S) và cond (S ) ................................................................. 35
Bảng 3.2 cond (S ) với số điểm hỗ trợ khác nhau .................................................... 36
Bảng 4.1 Tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông tựa đơn 4 cạnh ....... 59
Bảng 4.2 Tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông ngàm 4 cạnh .......... 66
Bảng 4.3 Tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông SS-C-SS-SS ........... 71
Bảng 4.4 Tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông SS-C-SS-C ............. 73
Bảng 4.5 Tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông tựa đơn 4 cạnh
(SS-SS-SS-SS), áp dụng các hàm trọng số khác nhau .............................................. 75
Bảng 4.6 Khảo sát ảnh hưởng của hệ số khoảng cách đến tần số dao động không
thứ nguyên của tấm vuông tựa đơn 4 cạnh (SS-SS-SS-SS) ...................................... 77
Bảng 4.7 Tần số dao động không thứ nguyên của tấm hình thang đối xứng,
tựa đơn 4 cạnh ........................................................................................................... 80
Bảng 4.8 Tần số dao động khơng thứ ngun của tấm hình thang đối xứng,
ngàm 4 cạnh .............................................................................................................. 81
Bảng 4.9 Tần số dao động khơng thứ ngun của tấm hình thoi tựa đơn 4 cạnh ... 83
Bảng 4.10 Tần số dao động khơng thứ ngun của tấm hình thoi ngàm 4 cạnh ...... 85

Bảng 4.11 Tần số dao động không thứ nguyên của tấm tròn tựa đơn trên biên ....... 87
Bảng 4.12 Tần số dao động khơng thứ ngun của tấm trịn ngàm trên biên .......... 90
Bảng 4.13 Tần số dao động không thứ nguyên của tấm elip tựa đơn trên biên........ 92


Bảng 4.14 Tần số dao động không thứ nguyên của tấm elip ngàm trên biên ........... 94
Bảng 4.15 Tần số dao động khơng thứ ngun của tấm vành khăn có tỉ lệ cạnh
⁄ = 0.5 ................................................................................................................. 96
Bảng 4.16 Tần số dao động không thứ nguyên của tấm tam giác đều tựa đơn
trên biên ..................................................................................................................... 99
Bảng 4.17 Tần số dao động không thứ nguyên của tấm tam giác đều ngàm
trên biên ................................................................................................................... 100
Bảng 4.18 Tần số dao động không thứ nguyên của tấm hình chữ L tựa đơn hoặc
ngàm ........................................................................................................................ 102
Bảng 4.19 Chuyển vị tại tâm tấm vuông tựa đơn 4 cạnh, chịu tải phân bố đều ..... 103
Bảng 4.20 Chuyển vị tại tâm tấm vuông tựa đơn 4 cạnh, chịu tải tập trung........... 105


CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
BEM

Boundary Element Method

DCM

Differential Cubature Method

DEM

Diffuse Element Method

DQM

Differential Quadrature Method

EFG

Element-free Galerkin method

FDM

Finite Difference Method

FEM

Finite Element Method

FP

Finite Point method

FSDT

First-order Shear Deformation Theory

FVM

Finite Volume Method

GFD

General Finite Difference method

GFEM

Galerkin Finite Element Method

LSFD

Least Square-based Finite Difference

MLSDQ Moving Least-squares Differential Quadrature
MQ

Multi-Quadric

ODE

Ordinary Differential Equation

PDE

Partial Differential Equation

PIM

Point Interpolation Method

RBF

Radial Basis Function

RKPM

Reproducing Kernel Particle Method

SPH

Smooth Particle Hydrodynamics


Chương 1. Mở đầu

Trang 1

CHƯƠNG 1

MỞ ĐẦU
1.1

Đặt vấn đề
Bài toán phân tích ứng xử của kết cấu dạng tấm là quan trọng trong ngành kỹ

thuật kết cấu. Sự dao động của sàn trong các kết cấu cơng trình khi chịu các nguyên
nhân động là một vấn đề thời sự và thu hút sự quan tâm của nhiều người. Có nhiều
nguồn gây dao động khi sử dụng như: động cơ điện, máy móc hoạt động, và các
kiểu tải trọng khác nhau như hoạt động khiêu vũ, hoạt động thể thao… và sự hiện
diện của chúng cũng trở nên phổ biến hơn trong thực tế. Xu hướng hiện nay trong
việc thiết kế hệ thống khung sàn của cơng trình là sử dụng các loại vật liệu có độ
bền cao do đó thường hay giảm chiều dày dẫn đến giảm độ cứng. Chính vì vậy, nó

sẽ làm giảm tần số và làm tăng chu kỳ dao động của kết cấu lên, đôi lúc có thể tiếp
cận với chu kỳ của nguồn gây ra dao động. Dẫn đến ứng xử động có thể xảy ra và
gây ra ứng suất và biên độ dao động lớn hơn.
Hệ thống kết cấu sàn trong các cơng trình xây dựng không những phải thỏa
mãn yêu cầu về cường độ mà còn phải đáp ứng yêu cầu về độ cứng, võng. Chuyển
vị lớn gây ra nhiều bất tiện vì một số lý do sau:
- Chuyển vị vượt quá mức cho phép khiến người sử dụng có ấn tượng xấu
rằng cơng trình khơng cứng, mặc dù cơng trình vẫn cịn làm việc. Ví dụ như: đồ sứ
kêu lách cách khi mỗi lần có người đi qua, các tấm gương trong phịng có thể lắc lư,
ngồi ra dao động có thể gây ra sự phá hủy kết cấu do các liên kết ở nút khung thép
bị long ra, phá hoại giòn của các đường hàn…


Chương 1. Mở đầu

Trang 2

- Chuyển vị vượt quá mức có thể đưa đến độ cong hoặc sự khơng thẳng hàng
có thể nhận thấy được bằng mắt thường.
- Chuyển vị lớn có thể đưa đến sự đứt gãy của các yếu tố kiến trúc như vữa
hoặc khối xây…
Hệ thống sàn của cơng trình là một hệ thống có tính chất động học khá phức
tạp, thường sở hữu vài tần số riêng gần nhau nên góp phần đáng kể vào đáp ứng
động học của sàn. Khi nghiên cứu về dao động ở một trường cơ sở, người ta nhận
thấy rằng sàn có sáu tần số riêng và các dạng dao động tương ứng góp phần đáng kể
vào đáp ứng tại vị trí đo lường. Các tần số này dao động trong phạm vi từ 5 đến 15
Hz. Sàn này được xem là điển hình cho một sàn cơng trình khung thép nơi mà tần
số cơ bản được tìm thấy phổ biến trong phạm vi từ 5 đến 8 Hz. Điều này thật không
may bởi các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng con người hầu như rất nhạy cảm với dao
động trong phạm vi này, một hiện tượng được giải thích bằng việc nhiều cơ quan

chính trong cơ thể con người cộng hưởng trong phạm vi tần số này. Webster và
Vaicaitis đã làm thí nghiệm về dao động của sàn và thấy rằng: Sàn thí nghiệm có
tần số riêng cơ bản là 2.4 Hz, cộng hưởng với tiếng đập của nhiều bài hát khiêu vũ
phổ biến. Đáp ứng cộng hưởng này đã sản sinh ra các mức độ gia tốc và chuyển vị
lớn nhất bằng 7% của gia tốc trọng trường (g = 9.81 m/s2) và 0.13 in = 0.33 cm. Các
mức độ như vậy thực tế đã gây ra các làn sóng óc ách trong các ly nước và tiếng nảy
đáng lưu ý của các đèn treo trên trần. Người sử dụng khi thấy các mức độ dao động
này là hoàn toàn chướng tai gai mắt [41].
Một hiện tượng đặc biệt cần xem xét cẩn thận và tránh xa đó là hiện tượng
cộng hưởng (resonance). Cộng hưởng xảy ra khi một trong các tần số riêng cơ bản
của hệ kết cấu trùng với tần số của nguồn kích thích. Khi đó biên độ dao động của
hệ sẽ lớn và có thể gây nguy hiểm cho cơng trình. Vì vậy việc phân tích đáp ứng
động lực học của hệ thống sàn trong cơng trình xây dựng là việc làm có ý nghĩa
thực tiễn, cho dù đây là lĩnh vực phức tạp về mặt toán học lẫn cơ học.


Chương 1. Mở đầu

Trang 3

Việc xác định các đặc trưng động lực học của kết cấu sàn, gồm các tần số
riêng và các dạng dao động tương ứng là một bước trong tồn bộ q trình phân tích
động lực học và là rất cần thiết vì nó là tiêu chuẩn để đánh giá độ cứng của hệ thống
kết cấu và để đánh giá phản ứng động rất nguy hiểm cho các cơng trình xây dựng.
Việc phân tích dao động của kết cấu tấm bằng các phương pháp giải tích đã giải
quyết được một số bài toán tấm nhất định và có những đóng góp đáng kể. Tuy
nhiên, do sự khó khăn về toán học bởi phải giải quá nhiều phương trình vi phân đạo
hàm riêng nên phương pháp này ít được phát triển trong thời gian gần đây. Do đó đã
có rất nhiều phương pháp số được áp dụng để giải loại bài toán này.
Các phương pháp số truyền thống để có lời giải xấp xỉ phương trình đạo hàm

riêng cần thiết phải sử dụng lưới: phương pháp sai phân hữu hạn truyền thống
(FDM), phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp phần tử biên (BEM)…
Những khó khăn trong các phương pháp dựa trên lưới chính là việc xây dựng các
lưới. Vì vậy, nhiều nhà nghiên cứu đã cố gắng để phát triển các phương pháp nhằm
xây dựng lưới hoặc làm mịn lưới để đạt kết quả tốt cho bài toán [1]. Trong những
năm gần đây, lĩnh vực cơ học tính tốn xuất hiện phương pháp khơng lưới giúp loại
bỏ sự cần thiết việc sử dụng lưới hoặc giảm thiểu sự phụ thuộc vào lưới. Belytschko
[1] đã đưa ra một cái nhìn tổng quan về các phương pháp này, bao gồm cả phương
pháp động lực học thuỷ tĩnh làm mịn các phần tử (SPH), xấp xỉ bình phương cực
tiểu động, phương pháp phân chia đồng nhất (PUM) và phương pháp hp-clouds.
Phương pháp mô phỏng hạt nhân (RKPM) được giới thiệu và áp dụng bởi Liu và
các cộng sự [12]. Các phương pháp không lưới khác bao gồm phương pháp phần tử
tự do Galerkin (EFG), phương pháp không lưới cục bộ Petrov-Galerkin, phương
pháp phần tử hữu hạn đa tỉ lệ, phương pháp phần tử khuếch tán (DEM), phương
pháp cầu phương vi phân bình phương cực tiểu động (MLSDQ), phương pháp vi
phân khối tích (DC) [12].


Chương 1. Mở đầu

Trang 4

Trong đề tài luận văn này, một phương pháp không lưới, cụ thể là phương
pháp sai phân hữu hạn kết hợp với kỹ thuật bình phương cực tiểu (Least Square
based Finite Difference Method - LSFD) được tìm hiểu để phân tích dao động tự do
của tấm mỏng, đẳng hướng với mong muốn được tham gia vào xu hướng nghiên
cứu mới của các nhà khoa học; đồng thời có thể rút ra được những kết luận về một
phương pháp số tương đối mới đã được công bố trong nhiều bài báo rất gần đây để
có thể áp dụng cho các bài toán khác nhau trong việc nghiên cứu lĩnh vực động lực
học và phản ứng động cho các loại kết cấu.

1.2

Mục tiêu luận văn
Mục tiêu của Luận văn là phân tích dao động tự do của tấm mỏng, đẳng

hướng; sử dụng phương pháp không lưới dựa trên sai phân hữu hạn kết hợp với kỹ
thuật bình phương cực tiểu (LSFD). Trước hết, tìm hiểu cơ sở lý thuyết, bản chất
xấp xỉ gần đúng của phương pháp LSFD. Từ đó, chương trình tính tốn bằng ngơn
ngữ lập trình MATLAB để giải phương trình vi phân chủ đạo của tấm, xác định tần
số dao động riêng và dạng dao động của các loại tấm mỏng có hình dạng khác nhau
được xây dựng. Kiểm tra kết quả đạt được và so sánh với kết quả của các tác giả
khác. Phần tiếp theo, dùng chương trình MATLAB đã viết để khảo sát tần số dao
động riêng của các loại tấm ở các khía cạnh: sử dụng các hàm trọng số khác nhau,
các điều kiện biên khác nhau (biên tựa đơn và biên ngàm), khảo sát hệ số bán kính
(hệ số khoảng cách) của miền hỗ trợ. Cuối cùng, đưa ra nhận xét, kết luận và hướng
phát triển của đề tài.
1.3

Cấu trúc của luận văn
Trong luận văn này, tần số dao động riêng của tấm mỏng đẳng hướng được

phân tích bằng cách áp dụng phương pháp không lưới sai phân hữu hạn kết hợp kỹ
thuật bình phương cực tiểu (LSFD).


Chương 1. Mở đầu

Trang 5

Luận văn này bao gồm 5 chương, trong đó chương 1 tập trung giải thích lý

do chọn đề tài này, mục tiêu của luận văn cũng như cấu trúc của luận văn. Chương
2 thiết lập phương trình vi phân chủ đạo của tấm dao động, các phương pháp tính
tốn tần số dao động riêng đồng thời giới thiệu tổng quan về tình hình nghiên cứu ở
trong và ngồi nước có liên quan đến luận văn. Cơ sở lý thuyết của phương pháp sai
phân hữu hạn kết hợp kỹ thuật bình phương cực tiểu để giải phương trình vi phân
đạo hàm riêng của tấm dao động sẽ được nêu chi tiết trong chương 3. Phần đầu
chương 4 trình bày một vài ví dụ số khảo sát sự hội tụ, so sánh với các nghiên cứu
trước để chứng minh sự chính xác của phương pháp và chương trình tính trong luận
văn này. Phần tiếp theo của chương 4 trình bày về những khảo sát đối với phân tích
dao động tự do của các loại tấm có hình dạng khác nhau. Chương 5 trình bày những
kết luận chung và hướng phát triển của đề tài. Các chương trình tính được viết bằng
ngơn ngữ lập trình MATLAB R2012a và các tài liệu tham khảo có liên quan đến đề
tài được trình bày ở phần cuối luận văn.


Chương 2. Tổng quan

Trang 6

CHƯƠNG 2

TỔNG QUAN
2.1

Giới thiệu
Chương này trình bày sơ lược về lịch sử nghiên cứu và phát triển liên quan

đến bài tốn ứng xử và đặc tính của kết cấu tấm được một số nhà khoa học trên thế
giới và trong nước có đề cập thơng qua các tài liệu tham khảo. Đầu tiên, phương
trình vi phân chủ đạo của tấm dao động sẽ được thiết lập. Sau đó, phần trình bày các

phương pháp tính tốn tần số dao động riêng được thể hiện ở phần tiếp theo của
chương. Lý thuyết về phương pháp sai phân hữu hạn truyền thống và kỹ thuật bình
phương cực tiểu cũng được trình bày để làm nền tảng cơ sở lý thuyết cho phương
pháp khơng lưới LSFD trong chương 3.
2.2

Phương trình vi phân chủ đạo của tấm dao động
Xét một tấm mỏng đẳng hướng chịu tải trọng phân bố q(x,y), phương trình

chuyển động đối với tấm dao động được thiết lập theo nguyên lý Hamilton [3].
Động năng T của tấm dao động được xác định như sau

=

1
2

ℎ

̇

Trong đó R là diện tích tiết diện ngang của tấm,

(2.1)

là dung trọng của vật liệu tấm và

h là bề dày tấm. Thế năng toàn phần của tấm được tính bởi phương trình

Chương 2. Tổng quan

=

(∇

2

Trang 7

) + 2(1 − )

−

∙

−

(2.2)
Theo nguyên lý Hamilton, biến phân của năng lượng là
( − )=0

(2.3)

Thay các phương trình (2.1) và (2.2) vào (2.3) thu được
ℎ
̇ −
(∇
2
2

) + 2(1 − )

−

−

∙

=0

(2.4)

Thay thế vận tốc bằng đạo hàm của chuyển vị, phương trình (2.4) trở thành

ℎ

∙

−

(∇

×

)(∇

) + 2(1 − )
−

1
2

−

1
2

−

=0

(2.5)

Theo định lí Green

ℎ

∙

được biến đổi thành

=

ℎ

∙

−

Chương 2. Tổng quan

0−

Trang 8

ℎ

(2.6)

Sử dụng điều kiện trên, ta có thể viết lại phương trình (2.5) dưới dạng

−ℎ

(∇

−

)+

+ 2( 1 − )
−

(∇
−

)

1

2

−

1
2

=0

(2.7)

Ta khơng lấy tích phân đường trong phương trình (2.7) bởi vì các thành phần động
học trong động năng của hệ khơng tham gia vào tích phân đường. Do đó, phương
trình (2.7) trở thành

{−ℎ

̈ − ∇

+ }

=0

(2.8)

Từ (2.8) rút ra được phương trình vi phân chuyển động của tấm là
∇
với

+ ℎ ̈ =

=

(

)

(2.9)
là độ cứng trụ của tấm

Trường hợp tấm dao động tự do,

= 0, phương trình chuyển động đối với dao

động của tấm có dạng
∇

+ ℎ

Trong đó:

=0
là chuyển vị ngang của tấm

(2.10)