Tính toán đồng nhất hóa vật liệu bằng phương pháp multis cale và phân tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES FEM)

i

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------------

ĐOÀN QUANG PHÁT

TÍNH TỐN ĐỒNG NHẤT HĨA VẬT LIỆU BẰNG PHƢƠNG
PHÁP MULTIS-CALE VÀ PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN DỰA
TRÊN CẠNH (ES-FEM)

Chuyên ngành : Kỹ thuật Xây dựng cơng trình Dân dụng và Cơng nghiệp
Mã ngành

: 62.58.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 6 năm 2013


ii

Cơng trình đƣợc hồn thành tại : Trƣờng Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM

Cán bộ hƣớng dẫn khoa học 1 :

TS. LÊ VĂN CẢNH

Cán bộ hƣớng dẫn khoa học 2:

TS.NGUYỄN SỸ LÂM

Cán bộ chấm nhận xét 1:……………………………………………………………

Cán bộ chấm nhận xét 2:……………………………………………………………

Luận văn thạc sĩ đƣợc bảo vệ tại Trƣờng Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM ngày……..
tháng……...năm………
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm
1……………………………………………………………………………………….
2……………………………………………………………………………………….
3……………………………………………………………………………………….
4……………………………………………………………………………………….
5……………………………………………………………………………………….
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Bộ môn quản lý chuyên ngành sau khi luận
văn đã đƣợc sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƢỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG


iii

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
----------------

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

---oOo----

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: ĐOÀN QUANG PHÁT
Ngày, tháng, năm sinh: 10/04/1986
Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng cơng trình DD & CN

Phái
: Nam
Nơi sinh : Thái Bình
MSHV : 11210241

1- TÊN ĐỀ TÀI: TÍNH TỐN ĐỒNG NHẤT HĨA VẬT LIỆU DỰA TRÊN PHƢƠNG
PHÁP MULTI-SCALE VÀ PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN DỰA TRÊN
CẠNH (ES_FEM)
2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:
 Áp dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) vào trong
bài toán Multi-Scale.
 Chuyển đổi giữa FEM và ES-FEM trong bài toán Multi-scale ở hai cấp độ vĩ mô
và vi mô để tìm ra cách áp dụng ES-FEM tối ƣu nhất.
 Lập trình và thực hiện tính tốn số cho các bài toán phẳng đƣợc khảo sát trong các
bài báo đã đƣợc xuất bản
 Phân tích so sánh kết quả thu đƣợc với kết quả số đã đƣợc công bố.
3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: tháng 01 năm 2013
4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: tháng 6 năm 2013
5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN 1: TS. LÊ VĂN CẢNH
HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN 2: TS. NGUYỄN SỸ LÂM
Tp.HCM, ngày 21 tháng 6 năm 2013
CÁN BỘ HƢỚNG DẪN 1

TS. LÊ VĂN CẢNH

BAN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

CÁN BỘ HƢỚNG DẪN 2

TS. NGUYỄN SỸ LÂM

TRƢỜNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG


iv

LỜI CÁM ƠN
Em xin gửi đến thầy TS. Lê Văn Cảnh hiện đang công tác tại trƣờng Đại học
Quốc Tế TP.HCM lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Trong suốt q trình làm
luận văn này thầy ln tận tâm trong việc hƣớng dẫn và cung cấp em những kiến thức
cơ bản cần thiết để em có thể tìm hiểu đề tài này. Ngoài các lĩnh vực về chuyên mơn
thầy cũng ln nhiệt tình động viên tinh thần và tạo một môi trƣờng nghiên cứu thuận
lợi để giúp em thực hiện luận văn này. Những kiến thức và những lời khuyên bổ ích mà
em nhận đƣợc từ thầy đã giúp em từng bƣớc một vƣợt qua những khó khăn để hoàn
thành đề tài luận văn này và em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy TS. Nguyễn
Sỹ Lâm hiện đang công tác tại trƣờng Đại học Bách Khoa TP.HCM. Thầy đã cùng thầy
Lê Văn Cảnh đã nhiệt tình chỉ bảo cho em những kiến thức khoa học bổ ích để em bổ
xung những kiến thức cịn thiếu và khắc phục những sai sót trong luận văn này. Đồng
thời mình cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn học viên cao học khóa K2011 hiện
đang nghiên cứu cùng nhóm với mình. Trong suốt thời gian qua nhóm đã ln tạo một
khơng khí học tập bình đẳng và sẵn sàng hỗ trợ lẫn nhau để cùng nhau tiến bộ hơn trên
con đƣờng tìm tịi và khám phá những kiến thức khoa học bổ ích.
Cuối cùng, con xin gửi lời cảm ơn sau sắc đến Ba mẹ. Ba mẹ vẫn và mãi luôn là

nguồn động viên chân thành và sâu sắc nhất của con đã luôn hết sức ủng hộ con,giúp
con hồn thành giấc mơ của mình.
Tp.HCM, ngày 28 tháng 6 năm 2013
Học Viên Cao Học

Đoàn Quang Phát


v

TĨM TẮT LUẬN VĂN

TÊN ĐỀ TÀI : TÍNH TỐN ĐỒNG NHẤT HÓA VẬT LIỆU DỰA TRÊN
PHƢƠNG PHÁP MULTISCALE KẾT HỢP VỚI PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ
HỮU HẠN TRƠN DỰA TRÊN CẠNH (ES_FEM)

Trong luận văn này phƣơng phƣơng pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh
(ES-FEM) sẽ đƣợc áp dụng vào trong quy trình tính tốn đồng nhất vật liệu theo
phƣơng pháp Multi-scale là một trong những phƣơng pháp tính tốn đồng nhất hóa cho
kết quả chính xác nhất hiện nay. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh sẽ
đƣợc sử dụng ở cả hai tỉ lệ vi mô và vĩ mơ để giải tồn bộ bài tốn với vật liệu đƣợc giả
định là đàn hồi tuyến tính và có biến dạng nhỏ. Điều kiện biên tính tuần hồn đƣợc sử
dụng để tính tốn các thành phần vật liệu đồng nhất của một cấu trúc vi mô RVE. Từ
các kết quả tính tốn ta tấy rằng ESFEM-FEM cho kết quả chính xác đồng thời chi phí
tính tốn giảm đáng kể do sử dụng biến dạng trung bình tại một điểm Gauss. Các ví dụ
số với các phần tử RVE khác nhau và các bài toán phẳng sẽ đƣợc phân tích đƣợc phân
tích trong luận văn này. Kết quả thu đƣợc sẽ đƣợc so sánh và đánh giá thông qua các
phƣơng pháp khác.

vi

SUMMARY OF THESIS
TITLE OF THESIS:
“COMPUTATIONAL HOMOGENIZATION FOR THE MULTI-SCALE ANALYSIS
OF MULTI-PHASE MATERIAL USE EDGE-BASED SMOOTH FINITE ELEMENT
METHOD (ES-FEM)”

In this thesis the Egde-base smooth finite element method (ES-FEM) will be
applied to the computation procedure homogeneous materials by multi-scale modelling
scheme is probably one of the most accurate techniques. The Egde-base smooth finite
element method is used at both scales macro and micro to solve the entire problem with
linear material behaviour undergoing small strains. The periodic boundary condition is
used to computing homogenized material properties for a RVE. It can be seen from
numerical solutions that ESFEM-FEM can provide accrurate solutions while
computional cost was redued significaltly because of that when smoothed strains were
used only one Gauss needed. Numerical example with several different RVEs and 2D
problem will be analysed. Obtained solutions are validated by comparing to those in
the literature.


vii

MỤC LỤC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ ............................................................................ iii
LỜI CÁM ƠN ............................................................................................................... iv
TĨM TẮT LUẬN VĂN .................................................................................................v
DANH MỤC HÌNH ẢNH ............................................................................................ ix
DANH MỤC BẢNG BIỂU .......................................................................................... xi

1.

TỔNG QUAN ...................................................................................................1

1.1. Đặt vấn đề ........................................................................................................ 1
1.2. Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nƣớc ..................................................... 2
1.2.1. Tình hình nghiên cứu ngồi nƣớc ............................................................. 2
1.2.2. Tình hình nghiên cứu trong nƣớc ............................................................. 3
1.3. Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn. ................................................................ 4
2.

TÍNH TỐN ĐỒNG NHẤT HĨA BẬC NHẤT (Kounetsova(2002)) ...........5

2.1. Giả thiết cơ bản. ............................................................................................... 5
2.1.1 Tính tuần hồn cục bộ. ............................................................................. 5
2.1.2. Ngun lý tính tốn đồng nhất hóa. .......................................................... 6
2.1.3. Quy trình tính tốn đồng nhất hóa ........................................................... 6
2.1.4. Các quy trình điều khiển các đại lƣợng động học Multi-scale ................. 7
2.2. Xác định các biến của bài toán ở cấp độ vi mơ ............................................... 8
2.2.1. Phần tử thể tích đại diện............................................................................ 8
2.2.2. Phƣơng trình cân bằng và các đặc trƣng cơ bản ở tỉ lệ vi mô................... 9
2.2.3. Chuyển đổi tỉ lệ từ vĩ mô sang vi mô ........................................................ 9
2.3. Các điều kiện biên ở tỉ lệ vi mô ..................................................................... 10
2.3.1. Điều kiện biên chuyển vị ........................................................................ 10
2.3.2. Điều kiện biên chịu kéo .......................................................................... 10
2.3.3. Điều kiện biên tuần hồn ........................................................................ 11
2.4. Kết hợp tính tốn ở hai cấp độ vi mô- vĩ mô. ................................................ 12
2.4.1. Biến dạng ................................................................................................ 12
2.4.2. Ứng suất .................................................................................................. 13
2.4.3. Công nội .................................................................................................. 14

2.4.5. Ma trận mô đun đàn hồi vật liệu ............................................................. 15


viii

3.

PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN TRÊN CẠNH (ESFEM) (G.R. Liu et al (2008)). ........................................................................18

4.

VÍ DỤ TÍNH TỐN. ......................................................................................22

4.1. Ảnh hƣởng của các thành phần cấu trúc vi mô rời rạc đến các đặc trƣng đồng
nhất của vật liệu. ...................................................................................................... 22
4.1.1. Mẫu RVE với 2 pha vật liệu khác nhau .................................................. 22
4.1.2. Mẫu RVE có chứa lỗ rỗng. ..................................................................... 23
4.1.3. Mẫu RVE có hai thành phần vật liệu. ..................................................... 27
4. 2. Bài toán dầm một đầu ngàm chịu uốn. .......................................................... 30
4.2.1. Áp dụng ES-FEM ở cấp độ vĩ mô và FEM ở vi mô ............................... 31
4.2.2. Áp dụng FEM ở cấp độ vĩ mô và ES-FEM ở vi mô ............................... 32
4.2.3. Áp dụng ES-FEM ở cả hai cấp độ vĩ mơ vi mơ ...................................... 33
4.3. Bài tốn tấm vơ hạn có lỗ trịn....................................................................... 35
KẾT LUẬN...................................................................................................................42
KIẾN NGHỊ ..................................................................................................................44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................45
PHỤ LỤC .....................................................................................................................50
LÝ LỊCH TRÍCH NGANG ..........................................................................................55

ix

DANH MỤC HÌNH ẢNH
Hình 1: Một điểm vật liệu vĩ mơ liên tục dƣới cấu trúc vi mơ rời rạc............................5
Hình 2: Tính tuần hồn cục bộ (a) và tính tuần hồn tổng thể (b)..................................6
Hình 3: Quy trình tính tốn đồng nhất hóa bậc nhất ......................................................7
Hình 4: Phần tử thể tích đại diện (RVE) trong bài tốn phẳng ......................................8
Hình 5: Phân chia miền trơn  k ,  m ...........................................................................19
Hình 6: Các mẫu RVE với các pha vật liệu phân bố khác nhau ..................................22
Hình 7: Các mẫu RVE có lỗ rỗng tại tâm với các kích thƣớc lỗ rỗng khác nhau
trong đó V là thể tích lỗ rỗng , Vo là thể tích của RVE khơng có lỗ rỗng. ....24
Hình 8: Các mẫu RVE có hai lỗ rỗng bên trong với các kích thƣớc lỗ rỗng khác
nhau đó V là thể tích lỗ rỗng , Vo là thể tích của RVE khơng có lỗ rỗng ......25
Hình 9: Các mẫu RVE 4 có bốn lỗ rỗng bên trong với các kích thƣớc lỗ rỗng khác
nhau đó V là thể tích lỗ rỗng , Vo là thể tích của RVE khơng có lỗ rỗng ......26
Hình 10: Sự suy giảm Mơ đun cắt G khi kích thƣớc lỗ rỗng gia tăng của các mẫu
RVE có 1,2,4 lỗ rỗng. Trong đó Go là mơ đun cắt của vật liệu đồng nhất
khơng có lỗ rỗng .............................................................................................27
Hình 11: các mẫu RVE với hai thành phần vật liệu, với thành phần vật liệu bên
trong chiếm chỗ lần lƣợt là (a) 10% ; (b) 30% ; (c) 50% ...............................28
Hình 12: So sánh tỉ số giữa G/Gmatrix giữa nghiệm giải tích của Nemat-Nasser và
các hƣơng pháp khác (trong đó Gmatrix là mơ đun cắt của RVE khi chỉ có
1 thành phần vật liệu Epoxy) ..........................................................................29
Hình 13: Dầm 1 đầu ngàm chịu tải tập trung ở đầu tự do ............................................30
Hình 14: chia lƣới ở phần tử vĩ mơ và vi mơ................................................................31
Hình 15: So sánh chuyển vị tại trục trung hòa của dầm khi thể tích lỗ rỗng thay
đổi từ 10%-50% so sánh với nghiệm giải tích của Timochensko và FEMT3. ...................................................................................................................32
Hình 16: Chuyển vị tại trục trung hòa của dầm khi thể tích lỗ rỗng thay đổi từ
10%-50% so sánh với nghiệm giải tích của Timochensko và FEM-T3. ........32

x

Hình 17: Chuyển vị tại trục trung hịa của dầm khi thể tích lỗ rỗng thay đổi từ
10%-50% so sánh với nghiệm giải tích của Timochensko và FEM-T3. ........33
Hình 18: Chuyển vị tại trục trung hòa với các phƣơng pháp khác nhau thể tích lỗ
rỗng là 50%. ....................................................................................................33
Hình 19: chia lƣới phần tử vĩ mơ và hình dáng chuyển vị của dầm 1 đầu ngàm. ........34
Hình 20: Tấm vơ hạn có lỗ trịn chịu kéo ở vơ cực theo phƣơng x ..............................36
Hình 21: Chia lƣới phần tử vĩ mơ và hình dáng chuyển vị của ¼ tấm .........................36
Hình 22: Ba phẩn tử thể tích đại diện với các cấu trúc khác nhau ...............................37
Hình 23: Chuyển vị dọc trục x và y theo hai phƣơng pháp FE2 và ESFEM-M với
mẫu RVE đồng nhất ........................................................................................37
Hình 24: Chuyển vị dọc trục x và y theo hai phƣơng pháp FE2 và ESFEM-M với
mẫu RVE có lỗ rỗng tại tâm ...........................................................................38
Hình 25: Chuyển vị dọc trục x và y theo hai phƣơng pháp FE2 và ESFEM-M với
mẫu RVE có hai thành phần vật liệu ..............................................................38
Hình 26:Chuyển vị dọc theo trục x của các nút trên biên trái x(y=0), sử dụng
phƣơng pháp ESFEM-M với 3 mẫu RVE khác nhau và so sánh với
nghiệm chuyển vị giải tích ..............................................................................39
Hình 27:Chuyển vị dọc theo trục x của các nút trên biên trái y(x=0) sử dụng
phƣơng pháp ESFEM-M với 3 mẫu RVE khác nhau và so sánh với
nghiệm chuyển vị giải tích ..............................................................................40


xi

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 1 : Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của vật liệu với các kiểu phân bố khác

nhau .................................................................................................................23
Bảng 2 : Mô đun đàn hồi và mơ đun cắt của RVE có lỗ rỗng tại tâm ..........................24
Bảng 3 : Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của vật liệu của RVE có 2 lỗ rỗng ...............25
Bảng 4 : Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của vật liệu của RVE có 4 lỗ rỗng ...............26
Bảng 5 : Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của RVE có 2 vật liệu nhƣ hình 11 ..............28
Bảng 6: so sánh sự gia tăng thời gian và chuyển vị so với phƣơng pháp FE2 ..............34
Bảng 7: so sánh kết quả chuyển vị giữa FE2 và ESFEM-M .........................................39
Bảng 8: so sánh chênh lệch chuyển vị khi sử dụng các phần tử RVE khác nhau so
với nghiệm chuyển vị giải tích........................................................................40


1

TÍNH TỐN ĐỒNG NHẤT HĨA VẬT LIỆU DỰA TRÊN
PHƢƠNG PHÁP MULTISCALE KẾT HỢP VỚI PHƢƠNG
PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN DỰA TRÊN CẠNH
(ES_FEM)
1.

TỔNG QUAN

1.1.

Đặt vấn đề
Để dự đoán ứng xử của các vật liệu composite thì có nhiều kỹ thuật tính tốn
đồng nhất hóa đã đƣợc sử dụng. Tuy nhiên hầu hết các kỹ thuật tính tốn đồng
nhất hóa đang tồn tại khơng thích hợp trong trƣờng hợp có biến dạng lớn và tải
trọng phức tạp và khơng thể tính tốn trong trƣờng hợp hình dáng kết cấu thay đổi.
Trong trƣờng hợp các đặc trƣng không đồng nhất của vật liệu là quá nhỏ so với tỉ
lệ của toàn bộ bài tốn thì khối lƣợng tính tốn của bài tốn bài toán này bằng

phƣơng pháp phần tử hữu hạn sẽ trở nên quá lớn, để khắc phục những vấn đề này
một phƣơng pháp tính tốn đồng nhất hóa khác đã đƣợc phát triển, đó là kỹ thuật
đồng nhất Multi-Scale phƣơng pháp này làm giảm bớt khối lƣợng tính tốn nhƣng
vẫn giữ đƣợc các đặc tính khơng đồng nhất của vật liệu. Ma trận độ cứng tại các
điểm vật liệu sẽ đƣợc tính tốn thơng qua các phần tử thể tích đại diện (RVEs),
đƣợc rời rạc hố thơng qua phƣơng pháp phần tử hữu hạn thông thƣờng và các
điều kiện biên về tính tuần hồn sẽ đƣợc áp đặt lên các RVEs. Về cơ bản phƣơng
pháp này dựa trên việc giải quyết hai bài toán điều kiện biên kết hợp, một điều
kiện biên ở cấp độ vi mô và một điều kiện biên ở cấp độ vĩ mô, các ten sơ biến
dạng vĩ mơ (gradient) đƣợc tính tốn tại mỗi điểm vĩ mô và tiếp tục đƣợc sử dụng
để thiết lập điều kiện biên động học cho phần tử đại điện RVE ở cấp độ vi mô. Sau
khi giải quyết đƣợc bài tốn giá trị biên ở cấp độ vi mơ, các ten sơ ứng suất ở cấp


2

độ vĩ mô sẽ đạt đƣợc bằng cách lấy trung bình các kết quả của trƣờng ứng suất vi
mơ trên tồn bộ thể tích của phần tử đại điện RVE.
Trong luận văn này sẽ thay thế phƣơng pháp phần tử hữu hạn bằng phƣơng
pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) vào trong tính tốn ở cả hai
cấp độ vĩ mơ và vi mơ của bài tốn multi-scale với vật liệu đƣợc giả định đàn hồi
có biến dạng nhỏ. Ý tƣởng cốt lõi của phƣơng pháp phần tử hữu hạn trơn là sử
dụng giá trị trung bình của biến dạng (biến dạng trơn) thay vì sử dụng biến dạng
tƣơng thích nhƣ trong phƣơng pháp hữu hạn truyền thống. Khi biến dạng trơn
đƣợc sử dụng, ma trận độ cứng sẽ đƣợc mềm hóa và vì vậy phƣơng pháp này sẽ
cho kết quả chính xác hơn phƣơng pháp phần tử hữu hạn.
1.2.

Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nƣớc

1.2.1. Tình hình nghiên cứu ngồi nƣớc
Hầu hết các bài báo về tính tốn đồng nhất hóa vật liệu bằng phƣơng pháp
Multi-scale trên thế giới hiện nay đều dùng phƣơng pháp phần tử hữu hạn thơng
thƣờng để tính tốn. Tên các bài báo và sách nƣớc ngoài mà đề tài tham khảo:
[1].

Miehe, C. and Koch, A. (2002). Computational micro-to-macro transition of
discretized microstructures undergoing small strain.Arch. Appl. Mech., 72:300–
317.

[2].

Nemat-Nasser, S. and Hori, M. (1993).Micromechanics: overall properties of
heteroge-neous materials. Elsevier, Amsterdam.

[3].

V.-D. Nguyen, E. B ´ echet, C. Geuzaine, L. Noels. (2011). Imposing periodic
boundary condition on arbitrary meshes by polynomial interpolation.
Computational materials Science, 00:1–28.

[4].

Kouznetsova, V., Brekelmans, W. A. M., and Baaijens, F. P. T. (2000a). Micromacro modeling of heterogeneous materials. In Proceedings of the European


3

Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering
ECCOMAS,on CD–ROM, CIMNE, Barcelona, Spain.

[5].

Kouznetsova, V., Brekelmans, W. A. M., and Baaijens, F. P. T. (2001a). An
approach to micro-macro modeling of heterogeneous materials.Comput. Mech.,
27:37–48.

[6].

Kouznetsova, V. (2002). Computational homogenization for the multi-scale
analysis of multi-phase materials. PhD thesis. Technische Universiteit
Eindhoven.

[7].

H. W. Zhang· J. K. Wu· J. Lv. (2011). A new multiscale computational method
for

elasto-plastic

analysis

of

heterogeneous

materials. Computational

Mechanics, 49:149-169.
1.2.2. Tình hình nghiên cứu trong nƣớc
Nghiên cứu trong nƣớc về đề tài này vẫn chƣa đƣợc thực hiện nhiều

[8].

Canh V. Le, Harm Askes, Inna M. Gitman. FE2 computational homogenization
for effective properties of heterogeneous materials. The 1st International
Conference on Computational Science and Engineering in Ho-Chi-Minh City,
Vietnam on December 19-21th, 2011.

[9].

Vinh Phu Nguyen, Oriol Lloberas-Valls, Martijn Stroeven and Lambertus
Johannes Sluys. (2011). Computational homogenization for multiscale crack
modeling.Implementational and computational aspects, International Journal
For Numerical Methods In Engineering, 89:192–226.

[10].

Hoang Tuong, Thai Hoang Chien, Nguyen Vinh Phu and Nguyen Xuan Hung.
(2012). Isogeometric-based Heterogeneous Multiscale Method. International
Conference on Advances in Computational Mechanics.

[11].

Hoang Tuong, Thai Hoang Chien, Nguyen Vinh Phu and Nguyen Xuan Hung.
(2012). An efficient high order NURBS-based heterogeneous multiscale
method. 9th National Congress in Mechanics.


4

1.3.

Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn.
Mục tiêu của đề tài nghiên cứu này là phát tiển phƣơng pháp Tính tốn
đồng nhất hóa vật liệu đàn hồi bằng phƣơng pháp multi-scale kết hợp với phần
tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) bao gồm các giai đoạn
 Rời rạc hóa miền vật liệu của bài tốn vĩ mơ bằng pháp phần tử hữu hạn
trơn dựa trên cạnh (ES-FEM). Xác định các điểm gauss và gán cho mỗi
điểm Gauss là một phần tử RVE.
 Sử dụng phƣơng pháp tính tốn đồng nhất hóa bậc nhất (first order) của
Multi-scale để thiết lập bài toán điều kiện biên ở cấp độ vi mô và kết hợp
chuyển đổi tỉ lệ vi mô- vĩ mơ.
 Lập trình tính tốn số cho các bài bài tốn phẳng bằng ngơn ngữ lập trình
Matlab.
 Phân tích đánh giá tính hiệu quả của phƣơng pháp thơng qua việc so sánh
kết quả thu đƣợc với kết quả số khác.


5

2.

TÍNH TỐN ĐỒNG NHẤT HĨA BẬC NHẤT (Kounetsova(2002))

2.1.

Giả thiết cơ bản.

Trong tính tốn đồng nhất hóa, vật liệu đƣợc xem là đồng nhất và lien tục ở cấp độ vĩ
mô nhƣng ngƣợc lại rời rạc ở cấp độ vi mô. Điều này đƣợc minh họa trong hình 1. Tỉ lệ
chiều dài vi mơ lmicro thì lớn hơn nhiều lần so với kích thƣớc của các phân tử ldiscrete,

Tƣơng tự nhƣ vậy tỉ lệ chiều dài vi mô đƣợc giả định là nhỏ hơn nhiều lần chiều dài
của phần tử vĩ mơ lmacro .

ldiscrete  lmicro  lmacro

Hình 1: Một điểm vật liệu vĩ mô liên tục dƣới cấu trúc vi mơ rời rạc
2.1.1

Tính tuần hồn cục bộ.

Hầu hết các phƣơng pháp tiếp cận đồng nhất đều đƣa ra một giả định dựa trên tính chu
kỳ thổng thể của các cấu trúc vi mơ, điều này đƣợc hiểu là tồn bộ miền vật liệu vĩ mô
chứa đựng những phần tử đơn vị khơng gian lặp lại. Trong phƣơng pháp tính tốn đồng
nhất hoá, một giả định sát với thực tế hơn là tính tuần hồn cục bộ đã đƣợc đề xuất.
Theo giả định này, các cấu trúc vi mơ có thể có những hình thái tƣơng ứng khác nhau
tại các điểm vĩ mơ khác nhau, trong khi nó tự lặp lại trong một vùng kế cận nhỏ tại mỗi
điểm vĩ mô riêng biệt. Khái niệm về tính tuần hồn cục bộ và tổng thể đƣợc minh hoạ
trong hình 2. Giả định về tính tuần hồn tổng thể và cục bộ đƣợc áp dụng trong tính
tốn đồng nhất hố cho phép mơ hình hố các tác động của sự phân bổ khơng đồng đều
của các cấu trúc vi mô vào trong ứng xử của cấu trúc vĩ mơ (ví dụ nhƣ theo chức năng
cƣờng độ của các loại vật liệu).


6

(a) tuần hồn cục bộ

(b) Tính tuần hồn tổng thể

Hình 2: Tính tuần hồn cục bộ (a) và tính tuần hồn tổng thể (b)

2.1.2. Ngun lý tính tốn đồng nhất hóa.
Ngun lý cơ bản của tính tốn đồng nhất hố bậc nhất (first order) đã đƣợc phát triển
dần dần từ những khái niệm đã đƣợc sử dụng trong nhiều phƣơng pháp đồng nhất hố
khác và thõa mãn theo quy trình 4 bƣớc đồng nhất hoá đƣợc đƣa ra bởi Suquet(1985):
1. Định nghĩa một phần tử thể tích cấu trúc vi mô đại diện (RVE) , với các ứng
xử cơ bản của các thành phần cấu tạo độc lập, đƣợc giả định là đã biết trƣớc;
2. Thành lập các điều kiện biên cấp độ vĩ mô từ các biến đầu đầu vào cấp độ vĩ
mô và áp đặt lên các RVE (phép chuyển đổi từ vĩ mơ sang vi mơ);
3. Tính tốn các biến đầu ra của cấp độ vĩ mơ từ việc phân tích biến dạng của
cách phần tử cấu trúc vi mô RVE (chuyển đổi từ vi mô sang vĩ mơ);
4. Có đƣợc mối liện hệ (về số) giữa các biến đầu vào và các biến đầu ra.
2.1.3. Quy trình tính tốn đồng nhất hóa
Trong phƣơng pháp tính tốn đồng nhất hoá bậc nhất, một ten sơ biến dạng vĩ mơ F M
thì đƣợc tính tốn tại mỗi điểm vật liệu của cấu trúc vĩ mơ (ví dụ tích hợp các điểm vĩ
mô vào trong môi trƣờng phần tử hữu hạn), trong nghiên cứu này chỉ số “M” đƣợc
xem là đại lƣợng vĩ mơ, cịn chỉ số “m” đƣợc kí hiệu là đại lƣợng vi mơ . Ten sơ biến


7

dạng M tại một điểm vĩ mô tiếp tục đƣợc sử dụng để xây dựng các điều kiện biên đối
với phần tử đại diện RVE đã đƣợc gán cho điểm này. Sau khi giải quyết bài toán giá trị
biên cho phần tử đại diện RVE , sẽ thu đƣợc ten sơ ứng suất M sẽ bằng cách lấy kết
quả trung bình của trƣờng ứng suất RVE trên tồn bộ thể tích của phần tử RVE. Theo
đó, mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng tại các điểm vĩ mô thì dễ dàng đƣợc nhận
thấy. Ngồi ra ma trận mơ đun đàn hồi tuyến tính của vật liệu sẽ đƣợc suy ra từ độ
cứng của cấu trúc vi mô, cơ chế này đƣợc minh hoạ trong hình 3. Tồn bộ kỹ thuật tính
tốn đồng nhất hóa đƣợc định nghĩa theo hƣớng này, là hoàn toàn phù hợp với các
nguyên lý ứng xử của cơ học môi trƣờng liên tục. Do đó, phản ứng tại các điểm vật liệu
vĩ mơ chỉ phụ thuộc vào độ dốc ban đầu của trƣờng chuyển vị.

Hình 3: Quy trình tính tốn đồng nhất hóa bậc nhất
Trong khn khổ của phƣơng pháp tính tốn đồng nhất hóa vĩ mơ này phƣơng
pháp này có thể đƣợc xếp loại là hƣớng pháp tiếp cận bậc nhất.
2.1.4. Các quy trình điều khiển các đại lƣợng động học Multi-scale
Quy trình chuyển đổi vi mô và vĩ mô đƣợc đƣa ra ở trên gọi là “điều khiển chuyển vị”
tức là trên cấp độ vĩ mơ cục bộ bài tốn đƣợc xây dựng nhƣ sau: cho 1 ten sơ biến dạng
vĩ mô, xác định ứng suất và các thành phần mô đun đàn hồi, dựa trên phản ứng ở cấp


8

độ vi mô đơn giản. Một phƣơng pháp khác gọi là “điều khiển ứng suất” cũng có thể
thực hiện đƣợc (cho một ứng suất vĩ mô cục bộ, thu đƣợc biến dạng).Tuy nhiên
phƣơng pháp này không trực tiếp thỏa mãn với các chuẩn chuyển vị của phƣơng pháp
phần tử hữu hạn là phƣơng pháp đƣợc sử dụng để giải quyết những bài toán giá trị điều
kiện biên cấp độ vĩ mơ. Ngồi ra trong trƣờng hợp biến dạng lớn bị ảnh hƣởng của góc
xoay cấp độ vĩ mơ đƣợc kể thêm vào một ten sơ ứng suất để xác định ten sơ biến dạng,
do đó việc thực hiện trở nên phức tạp. Vì vậy phƣơng pháp “điều khiển ứng suất”, chỉ
đƣợc sử dụng trong phân tích những phần tử đơn giản và khơng áp dụng trong q
trình kết hợp tính tốn đồng nhất hố giữa cấp độ vi mơ và vĩ mơ.
2.2.

Xác định các biến của bài tốn ở cấp độ vi mơ

2.2.1. Phần tử thể tích đại diện.
Các đặc trƣng hình học và vật liệu của các cấu trúc vi mơ thì đƣợc xác định bởi 1 phần
tử thể tích đại diện (RVE), Hình 4 mơ tả một phần tử RVE hai chiều. Sự lựa chọn thực
tế các phần tử RVE là một cách lựa chọn hợp lý, phần tử RVE phải đủ lớn để đại diện
cho các cấu trúc vi mơ mà khơng đƣa ra những đặc tính khơng tồn tại (ví dụ các thuộc

tính bất đẳng hƣớng khơng mong muốn). Do đó các bài tốn ở cấp độ phần tử RVE có
thể thiết lập các bài tốn giá trị biên nhƣ trong cơ học vật rắn biến dạng.

Hình 4: Phần tử thể tích đại diện (RVE) trong bài toán phẳng


9

2.2.2. Phƣơng trình cân bằng và các đặc trƣng cơ bản ở tỉ lệ vi mô
Các trƣờng biến dạng của phần tử RVE tại 1 điểm với vec tơ vị trí ban đầu X (trong
miền tham chiếu V0) và vec tơ vị trí thực tế x (trong miền V thực tại), đƣợc mô tả bởi
ten sơ biến dạng cấu trúc vi mơ m= (0 m x )c , trong đó tốn tử gradient  0,m đƣợc lấy
đối với các hình dạng tham chiếu của cấu trúc vi mô. Ký hiệu “c” là chỉ số liên hiệp.
Phần tử RVE ở trạng thái cân bằng đƣợc biểu diễn dƣới dạng ten sơ ứng suất
Cauchy (bỏ qua lực khối):
m m  0 trong miền V

(2.1)

Trong đó tốn tử gradient  0m có mối liên hệ với hình dạng hiện tại ở tỉ lệ vi mô.
Những đặc trƣng cơ học của các thành phần cấu trúc vi mô sẽ đƣợc mô tả bởi các định
luật cơ bản.
2.2.3. Chuyển đổi tỉ lệ từ vĩ mô sang vi mô
Chuyển đổi từ tỉ lệ vĩ mô sang vi mô là sự áp đặt các gradient ten sơ biến dạng vĩ mô
M hay ứng suất vĩ mô M lên cấu trúc RVE vi mô. Để thực hiện quá trình này ta có
các phƣơng pháp nhƣ sau:
 Bằng cách áp đặt tất các các thành phần cấu trúc vi mô chịu một biến dạng hằng
số giống nhƣ ở cấp độ vĩ mô (giả định Taylor hay giả định Voigt).
 Bằng cách áp đặt toàn bộ ứng suất của các thành phần là khơng đổi (kể cả góc
xoay), giả định này gọi là giả định Sachs (hay Reuss).

 Bằng các phƣơng pháp trung gian, trong đó các giả định của Sachs và Taylor chỉ
áp dụng đƣợc cho một số thành phần ten sơ biến dạng và ten sơ ứng suất nhất
định.


10

Những phƣơng pháp trên chƣa thỏa mãn hết tất cả các phƣơng trình cân bằng tĩnh học
và các điều kiện tƣơng thích. Do đó chỉ cung cấp những đánh giá rất sơ bộ về tính chất
tổng thể của vật liệu và khơng thích hợp ứng dụng cho trạng thái làm việc phi tuyến.
Giả định Taylor thƣờng đánh giá quá cứng độ cứng tổng thể, trong khi giả định Sach
lại đánh giá quá mềm độ cứng tổng thể, Tuy nhiên các phƣơng pháp lấy trung bình
theo Taylor và Sachs đơi khi đƣợc sử dụng để có những ƣớc lƣợng ban đầu về độ cứng
tổng thể của vật liệu liên hợp.
2.3.

Các điều kiện biên ở tỉ lệ vi mơ

Có nhiều phƣơng pháp lấy trung bình chính xác để giải quyết chi tiết bài tốn về giá trị
biên của cấu trúc vi mơ thông qua việc chuyển đổi các biến số vĩ mô về vi mơ qua các
điều kiện biên. Có 3 kiểu điều kiện biên của phần tử RVE đƣợc sử dụng:
2.3.1. Điều kiện biên chuyển vị
Vector vị trí tại mỗi điểm nằm trên biên phần tử RVE đƣợc xác định thông qua ten sơ
biến dạng vĩ mô theo công thức sau:

x   M X với X ở trên biên trƣớc khi biến dạng  o

(2.2)

2.3.2. Điều kiện biên chịu kéo

Điều kiện biên này đƣợc xác định bởi tất cả các lực kéo ràng buộc trên biên RVE thông
qua các ten sơ ứng suất vĩ mô theo công thức sau:

t  n. M
Trong đó: t là lực kéo trên biên  m của phần tử RVE

n là pháp vector trên biên  của phần tử RVE

(2.3)


11

Tuy nhiên trong điều kiện biên chịu kéo (2.3) không xác định đƣợc hồn tồn bài tốn
giá trị biên cấp độ vi mô nhƣ đƣợc miêu tả ở mục 2.2.2. Hơn nữa chúng khơng thích
hợp trong phƣơng pháp điều khiển chuyển vị. Vì vậy các điều kiện biên chịu kéo
khơng đƣợc sử dụng trong phƣơng pháp này. Chúng trình bày ở đây chỉ mang tính chất
tổng quát.
2.3.3. Điều kiện biên tuần hồn
Dựa trên các giả định về tính tuần hồn cục bộ của cấu trúc vi mô đƣợc minh hoạ trong
Hình 4 điều. Điều kiện về tính tuần hồn của RVE dƣới dạng cấu trúc vi mô đƣợc viết
dƣới dạng tổng quát nhƣ sau:

x   x    M .( X   X  ),

(2.4)

t   t ,

(2.5)

Cơng thức (2.4) biểu diễn tính biến dạng tuần hồn theo và cơng thức (2.5) biểu diễn
lực kéo bất tuần hoàn trên các biên đối xứng của RVE. Ở đây các phần trên biên và  m
và   của phần tử RVE đƣợc định nghĩa là n   n  tại các điểm tƣơng ứng trên biên
m

  và   đƣợc minh hoạ trong Hình 4. Điều kiện về tính tuần hồn (2.4) đƣợc quy
m

m

định trên các phần tử RVE ban đầu vẫn đƣợc giữ nguyên khi các phần tử RVE bị biến
dạng. Theo những nghiên cứu trƣớc đây của các tác giả (Van der Sluis et al (2000);
Terada at al (2000) ) đã cho ra thấy rằng các kết quả đƣợc cung cấp bởi điều kiện biên
tuần hoàn cho kết quả tốt hơn điều kiện biên chuyển vị và lực kéo trên biên. Vì vậy
trong luận văn này sẽ chỉ sử dụng điều kiện biên tính tuần hồn để tính tốn.
Đối với các RVE 2 chiều đƣợc mơ tả trên hình 4, điều kiện (2.4) có thể đƣợc tính tốn
lại thành các mối quan hệ ràng buộc nhƣ sau (phù hợp hơn trong việc tính toán thực tế)

xR  xL  x2  x1

(2.6)


12

xT  xB  x4  x1

(2.7)

Trong đó: xL , xR , xB và xT là các kí hiệu véc tơ tại các điểm trái, phải, dƣới và trên của
biên phần tử RVE tƣơng ứng; xi , i  1, 2, 4 là véc tơ vị trí tại các điểm góc 1, 2, 4 ở
trạng thái biến dạng

xi   M . X i ,

i=1, 2, 4.

(2.8)

Những điều kiện biên khác cũng có thể đƣợc áp dụng lên phần tử RVE. Với yêu cầu
duy nhất là các điều kiện này phải phù hợp với định lý trung bình. Định lý trung bình
đƣợc sử dụng để giải quyết bài tốn kết hợp vi mơ – vĩ mơ sẽ đƣợc trình bày trong
phần tiếp theo.
2.4.

Kết hợp tính tốn ở hai cấp độ vi mô- vĩ mô.

Sự kết hợp thực tế giữa cấp độ vi mô và vĩ mô là dựa trên lý thuyết trung bình. Biểu
thức lấy tích phân trung bình theo biến dạng nhỏ đƣợc đề cập lần đầu tiên bởi Hill
(1963), và sau đó đƣợc mở rộng ra biến dạng lớn bởi Hill (1984) và NematNasser(1999).
2.4.1. Biến dạng
Những mối quan hệ cần đƣợc lƣu ý đầu tiên của việc kết hợp vi mơ- vĩ mơ chính là các
đại lƣợng động học. Nó đƣợc mặc định rằng ten sơ biến dạng vĩ mơ  M đƣợc lấy trung
bình từ thể tích của ten sơ biến dạng vi mô m.

M 

1
1

 m dVm 
xnd  m

Vm V
Vm 
m

(2.9)

m

Trong đó định lý phân Green’s Lemma sử dụng để chuyển đổi tích phân từ đạng thể
tích Vm sang tích phân mặt của RVE.


13

Kiểm tra điều kiện biên (2.4) thực sự đáp ứng đƣợc (2.9). Thay thế (2.4) vào (2.9) và
sử dụng định lý trung bình với m X  I . biên  m chia thành các phần  m và  m .

  
 1
 
x
n
d


x
n

d

x   x   n d m


m
m 



 Vo 

1
1
=  M  X   X  n  d o   M  XNd  m   M
Vm 
Vm 

M 

1
Vo


m


m



m




m



(2.10)

m

2.4.2. Ứng suất
Tƣơng tự cách lấy trung bình cho ten sơ biến dạng , ten sơ ứng suất đƣợc tính nhƣ sau :

M 

1
 m dVm
Vm V

(2.11)

m

Biễu diễn theo cách khác ten sơ ứng suất vĩ mô M bằng các đại lƣợng của cấu trúc
vi mô trên bề mặt RVE bằng cách sử dụng các mối liên hệ sau:

 m  cm  0


 m X  I







 m   om cm  X   m om X  om  cm X



(2.12)

Thay (2.12) vào (2.11), áp dụng định lý trung bình với t  n. cm ta đƣợc:

M 





1
1
1
 m .  cm X dVm 
n. cm Xd  m 
tXd  m



Vm V
Vm 
Vm 
m

m

m

Thay điều kiện (2.4) vào phƣơng trình dẫn đến đẳng thức trên.

(2.13)


14

Sau khi giải quyết xong bài toán điều kiện biên kết cấu vi mô RVE với kỹ thuật giải
quyết xấp xỉ (ví dụ FEM). Ten sơ ứng suất M bằng cách tích phân trên biên RVE theo
(2.13), trong trƣờng hợp giới hạn điều kiện biên chuyển vị dẫn đến phƣơng trình đơn
giản sau:

1 N
 M   fi X i
Vm i 1
p

(2.14)

Trong đó:

-

f i là nội lực tại các nút trên biên

-

X i là véc tơ vị trí của nút ở trạng thái biến dạng

-

Np là số nút trên biên

Dùng các điều kiện (2.7)-(2.9) cho phần tử 2D mô tả trong hình 2.4 ta nhận thấy tích
phân (2.17) chỉ phụ thuộc vào nội lực tại 3 điểm góc.

M 

1
 fi X i
Vm i 1,2,4

(2.15)

2.4.3. Cơng nội
Định lý bảo tồn năng lƣợng trung bình, cịn gọi là điệu kiện Hill – Mandel hay điều
kiện đồng nhất vĩ mô (Hill (1963); Suquet(1985)), u cầu sự biến thiên cơng đƣợc lấy
trung bình trên ở cấp độ vi mô trên RVE phải bằng với sự thay đổi cục bộ của công ở
cấp độ vĩ mô . Thành lập công thức dạng kết hợp công của ten sơ biến dạng và ten sơ
ứng suất ban đầu Piola-Kirchhoff theo điều kiện Hill-Mandel đƣợc viết dƣới dạng:

1
 m :  cm dVo   M :  cM

Vm V
m

(2.16)