DE THI VA DAP AN HSG TOAN 7 CAP HUYEN HOAI NHON NAMHOC 20122013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013 Đề chính thức. Môn: TOÁN 7 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề). Bài 1 (4 điểm): a) So sánh hai số: (– 5)39 và (– 2)91 b) Chứng minh rằng: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n  N Bài 2 (4 điểm):.  2x  a) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn:. y  7. 2012.  x 3. 2013. 0. b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1  2  3  . . .  n  aaa 1 Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa 3 số học sinh 1 1 của lớp 7A1, 4 số học sinh của lớp 7A2 và 5 số học sinh của lớp 7A3 đi thi học sinh giỏi cấp huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K.. ˆ ˆ ˆ Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có A 3B 6C . a) Tính số đo các góc của tam giác ABC. b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC). Chứng minh: AD < BD < CD. Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB. a) Chứng minh rằng: BM = CN b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: KC  AC. Ghi chú: Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 KỲ THI HSG CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2012 – 2013. Bài 39. 1 4 điểm. y  7. 2012. 3 4 điểm. 2,0đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ 2,0đ.  x 3 2012. 2. Điểm. a) So sánh hai số: (– 5) và (– 2) Ta có: (– 5)39 = – 539 = – (53)13 = – 12513 (– 2)91 = – 291 = – (27)13 = – 12813 Ta thấy: 12513 < 12813  – 12513 > – 12813  (– 5)39 > (– 2)91 b) Chứng minh: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n  N Ta có: A = 11n+2 + 122n+1 = 112.11n + 12.(122)n = 121.11n + 12.144n = (133 – 12).11n + 12.144n = 133.11n – 12.11n + 12.144n = 133.11n + 12.(144n – 11n) Ta thấy: 133.11n  133 (144n – 11n)  (144 – 11) = 133  12.(144n – 11n)  133 Do đó suy ra: 133.11n + 12.(144n – 11n) chia hết cho 133 Vậy: số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n  N a) Tìm tất cả các cặp số (x; y): Ta có: 2012 là số tự nhiên chẵn  (2x – y + 7)2012  0 2013 x  3 0  x  3 0 và.  2x  Do đó, từ. 4 điểm. Đáp án 91. 2013. 0. x 3. 2013. 0. suy ra: (2x – y + 7) = 0 và  2x – y + 7 = 0 (1) và x – 3 = 0 (2)  Từ (2) x=3  Từ (1) y = 2x + 7 = 2.3 + 7 = 13 Vậy cặp số (x; y) cần tìm là (3; 13) b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a n  n  1 1 2  3  . . .  n  2 Ta có: và aaa a.111 a.3.37 1  2  3  . . .  n  aaa  n  n  1  2.3.37.a Do đó, từ  n(n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37  n hoặc n + 1 chia hết cho 37 (1) n  n  1 aaa 2  999  n(n + 1)  1998  n < 45 (2) Mặt khác: Từ (1) và (2) suy ra hoặc n = 37, hoặc n + 1 = 37 37.38 aaa  703 2 - Với n = 37 thì (không thỏa) 36.37 aaa  666 2 - Với n + 1 = 37 thì (thỏa mãn) Vậy n = 36 và a = 6. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. Gọi tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là a, b, c (a,b,c  N*) 1 1 1 a  a b  b c  c 3 4 5 (*) và a + b + c =147 Theo bài ra ta có : 2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c       4 5  18 16 15  18 16 15 Từ (*)  3 Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có :. 1,0đ 0,5đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 4,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a b c a b c 147    3 18 16 15 = 18  16  15 49 . Suy ra : a = 54, b = 48, c = 45 Vậy tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là 54, 48 và 45. a) Tính số đo các góc của  ABC: Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ  Bˆ  Cˆ 1800      200 ˆ 3Bˆ 6Cˆ A 6 2 1 6  2  1 9 Từ  Aˆ 6.200 1200. Bˆ 2.200 400 Cˆ 1.200 200. 1,0đ 2,0đ 1,0đ. 1,0đ. 0 0 0 ˆ ˆ ˆ Vậy: A 120 ; B 40 ; C 20. 4 4 điểm. b) Chứng minh AD < BD < CD. - Trong  ACD có ˆ 900 ; Cˆ 200  Aˆ 700 ADC 2 ˆ  A 500 1. Bˆ 400  Aˆ1 50 0  AD  BD (1) - Xét  ADB có 0 0 2 2 ˆ ˆ - Xét  ABC có B 40  C 20  AB  AC  AB  AC (*) - Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông ADB và ADC có: AB2 = AD2 + BD2 và AC2 = AD2 + CD2 Do đó, từ (*)  AD2 + BD2 < AD2 + CD2  BD2 < CD2  BD < CD (2) Từ (1) và (2)  AD < BD < CD a) Chứng minh rằng: BM = CN Theo giả thiết, ta có: 2AB = AB + AB = AB + AM + BM AM + AN = AM + AC + CN  ABC cân ở A  AB = AC Do đó, từ AM + AN = 2AB  BM = CN. 5 4 điểm. b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. Qua M kẽ ME // AC (E  BC)  ABC cân ở A   BME cân ở M  EM = BM = CN   MEI =  NCI (g-c-g)  IM = IN Vậy: BC đi qua trung điểm của MN. c) Chứng minh rằng: KC  AN. + K thuộc đường trung trực của MN  KM = KN (1) ˆ ˆ +  ABK =  ACK (c-g-c)  KB = KC (2); ABK  ACK (*) + Kết quả câu c/m câu a) BM = CN (3) ˆ ˆ + Từ (1), (2) và (3)   BMK =  CNK (c-c-c)  ABK  NCK (**) 0 ˆ  NCK ˆ 180 900 ACK  KC  AN 2 + Từ (*) và (**) . * Ghi chú: Mọi cách giải khác mà đúng và phù hợp đều ghi điểm tối đa.. 2,0đ. 1,0đ. 1,0đ. 1,0đ. 1,5đ 0,75đ 0,75đ 1,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>

<span class='text_page_counter'>(5)</span>