Luật số lớn cho tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ âm đôi một

1

MỞ ĐẦU
Hiện nay, có nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu đến các khái niệm
và tính chất của "Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm". Có thể kể đến các nhà khoa
học quan tâm nghiên cứu đến các vấn đề này: Feller (1946), Karlin Rinott
(1980), Ebrahimi và Ghosh (1981), Matula (1992),...
Mặt khác, chúng ta biết rằng luật số lớn là một trong ba viên ngọc quý của
lý thuyết xác suất, và thường xuyên được các nhà Toán học quan tâm nghiên
cứu. Feller (1946) đã chứng minh được rằng nếu { X n , n ≥ 1} là một dãy các biến
ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối thoả mãn

∑ (P X

một dãy số dương thoả mãn bn / n ↑ ∞ thì

(∑

∞

n =1
n

j =1

n

> bn ) < ∞ và { bn , n ≥ 1} là

)

X j / b j → 0 hầu chắc chắn.

Rosalsky (1987) đã mở rộng luật mạnh số lớn của Feller đối với dãy các biến
ngẫu nhiên độc lập đôi môt, cùng phân phối . Năm 1989, Adler và Rosalsky đã
mở rộng luật mạnh số lớn của Feller với tổng có trọng số của các biến ngẫu
nhiên độc lập, cùng phân phối. Ngoài ra, Adler, Rosalsky, và Taylor(1992) đã
mở rộng định lý của Adler và Rosalskys với tổng có trọng số các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc mà được làm trội bởi biến ngẫu nhiên X.
Chow và Teicher (1988) đã đưa ra luật số yếu cổ điển cho các biến ngẫu
nhiên độc lập, cùng phân phối với điều kiện nP { X 1 > n} = o(1) ; Adler và
Rosalsky cũng đã nghiên cứu luật yếu số lớn cho các biến ngẫu nhiên độc lập,
cùng phân phối. Năm 1991 Adler, Rosalsky và Taylor đã mở rộng kết quả của
Adler và Rosalsky và đã thu được luật yếu số lớn tổng quát cho tổng có trọng số
của các biến ngẫu nhiên độc lập mà được làm trội bởi biến ngẫu nhiên X.
Tuy nhiên, đối với luật số lớn cho tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc toạ độ âm đơi một đang được rất ít nhà Tốn học quan tâm. Nhận thức được
điều đó, dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng tôi
đã chọn đề tài: " Luật số lớn cho tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên

phụ thuộc toạ độ âm đôi một."


2

Ngồi phần mở đầu, kết luận văn được trình bày theo 2 chương
Chương I. Một số kiến thức cơ bản
Trong chương này chúng tơi trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản
về các dạng hội tụ và các kiến thức cơ bản để phục vụ cho việc trình bày và
chứng minh các kết quả của chương sau. Được chia làm 3 mục:
1.1. Các dạng hội tụ trong xác suất

1.2. Luật yếu số lớn
1.3. Luật mạnh số lớn
Chương II. Luật số lớn cho tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc toạ độ âm đôi một
Trong chương này chúng tơi trình bày luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn
cho tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên phụ thuọc tọa độ âm đôi một.
Được chia làm 3 mục
2.1. Khái niệm và tính chất của BNN phụ thuộc âm
2.2. Luật mạnh số lớn
2.3. Luật yếu số lớn
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn
của PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Nhân dịp này tác giả luận văn xin được bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng, người đã đặt vấn đề
cho bài toán và hướng dẫn tác giả thực hiện luận văn này. Nhân đây tác giả luận
văn cuảng xin bày tỏ lòng biết ơn tới tập thể các thầy cơ giáo Khoa Tốn, Khoa
Sau đại học Trường Đại học Vinh đã không ngừng dạy dỗ và tạo điều kiện để
tác giả được học tập nâng cao trình độ và hồn thành luận văn.
Mặc dù đã có cố gắng nhưng do điều kiện hạn chế về thời gian và kiến
thức nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Kinh mong nhận được sự góp ý
của quý Thầy cô giáo và người đọc để luận văn được hoàn thiện hơn và tác giả
của luận văn nhận thức sâu sắc hơn về đề tài.
Vinh, ngày .....tháng....... năm 2009
Học viên

Phạm Hùng Cường


3

MỤC LỤC

TT

Mục

Trang

1

MỞ ĐẦU

1

2

MỤC LỤC

3

3

CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

4

4

1.1 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

4

5

1.2. Các dạng hội tụ trong xác suất

5

6

1.3. Luật yếu số lớn

8

7

1.4. Luật mạnh số lớn

10

8

Chương 2: LUẬT SỐ LỚN CHO TỔNG CÓ TRỌNG
SỐ CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC TỌA

16

ĐỘ ÂM ĐƠI MỘT
9

2.1. Khái niệm và tính chất của BNN phụ thuộc âm

16

10

2.2. Luật mạnh số lớn

17

11

2.3. Luật yếu số lớn

21

12

KẾT LUẬN

26

13

TÀI LIỆU THAM KHẢO

27


4
Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1.1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là một số được ký hiệu là EX
và được xác định như sau:
EX = ∑ xi pi nếu P ( X = x ) = p với x ∈ ¡
i
i
i
i

Hoặc: EX =

∞

∫ xp ( x ) dx

nếu X có hàm mật độ p ( x )

−∞

1.1.2. Tính chất của kỳ vọng
a. EC = C ( C là hằng số)
b. ECX = CEX
c. E ( X ± Y ) = EX ± EY

d. Nếu X , Y độc lập thì E ( XY ) = E ( X ) E ( Y )
f ( xi ) pi nếu P ( X = x ) = p
e. Ef ( X ) = ∑
i
i

i
Ef ( X ) =

∞

∫ f ( x ) p ( x ) dx

nếu X có hàm mật độ là p ( x )

−∞

Định nghĩa 1.1.3. Phương sai của biến ngẫu nhiên X là một số không âm, ký
hiệu DX , được xác định bởi:
DX = E ( X − EX )

{

2

2
Từ (1.1) ta có: E ( X − EX ) = E X − 2 XEX + ( EX )
2

(1.1)
2

}


5

= E ( X 2 ) + ( EX ) − 2 EX .EX = EX 2 − ( EX )
2

Vậy

DX = E ( X − EX ) = EX 2 − ( EX )
2

2

2

(1.2)

1.1.4. Tính chất của phương sai
a. DC = 0 ( C là hằng số)
b. DCX = C 2 DX
c. Nếu X và Y độc lập thì D ( X ± Y ) = DX ± DY

1.2. Các dạng hội tụ trong xác suất
Định nghĩa 1.2.1. Dãy các biến ngẫu nhiên { X n } ∞n=1 được gọi là hội tụ theo xác
P
→ X , nếu với mọi ε > 0 ta có
suất tới biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ , ký hiệu X n 

lim P [ | X n − X |≥ ε ] = 0

(1.3)

n →∞

Định nghĩa 1.2.2. Dãy Dãy các biến ngẫu nhiên { X n } ∞n=1 được gọi là hội tụ hầu
h .c .c
→ X nếu
chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ , ký hiệu X n 



P ω : lim X n (ω ) = X (ω )  = 1
n →∞



(1.4)



r
Nhận xét: Nếu đặt Ank = ω :| X n+ k ( ω ) − X ( ω ) |<  thì
r

1

∞

∞

∞

ω : lim X (ω ) = X (ω )  = I UI Ar = A

 n→∞ n
 r =1 n =1 k =1 nk

Khi đó, (2) trở thành P(A) = 1. Từ đó, tiêu chuẩn hội tụ hầu chắc chắn có thể
phát biểu như sau:


6
Dãy biến ngẫu nhiên { X n , n > 1} hội tụ hầu chắc chắn tới X khi n → ∞ khi và chỉ
khi với ε > 0 tuỳ ý,
∞ ∞

P I Uω :| X n + k ( ω ) − X ( ω ) |≥ ε   = 0
 n =1 k =1


(1.5)

hay


P  U[ ω :| X k − X |≥ ε ]  → 0 khi n → ∞ .
 n≥k


So sánh giữa hai loại hội tụ, từ nhận xét trên ta có:
P
P
P
→ X , Yn 

→ Y thì X n + Yn 
→ X + Y khi n → ∞
Bổ đề 1.2.3. Nếu X n 

Chứng minh. ∀ε > 0 :

Suy ra:

(

ε 
ε

X n + Yn − X − Y ≥ ε ) ⊂  X n − X ≥ ÷U  Yn − Y ≥ ÷
2 
2


ε
ε


P { X n + Yn − X − Y ≥ ε } ≤ P  X n − X ≥  + P  Yn − Y ≥ 
2
2



ε


P
→ X ⇒ P  X n − X ≥  → 0 khi n → ∞ ;
Do X n 


2

ε

P
Yn 
→ Y ⇒ P  Yn − Y ≥  → 0 khi n → ∞
2


Vậy

0 ≤ P { X n + Yn − X − Y ≥ ε } → 0 khi n → ∞

P
→ X + Y khi n → ∞
Hay: X n + Yn 

h .c .c
P
→ X thì X n 
→ X khi n → ∞
Định lý. 1.2.4. Nếu X n 

Điều ngược lại không đúng, tuy vậy nếu thêm điều kiện dãy các biến ngẫu nhiên

đơn điệu thì điều ngược lại của định lí trên đúng, hay ta có định lý sau đây


7
Định lí. 1.2.5. Nếu dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) là đơn điệu tăng (giảm) và
P
h .c .c
X n 
→ X khi n → ∞ thì X n 
→ X khi n → ∞ .

Chứng minh. Không mất tính tổng qt, ta có thể giả thiết X

0; Xn > 0; X n ↓

P
→ X khi n → ∞
và X n 

Giả sử (Xn) không hội tụ hầu chắc chắn đến X. Điều đó có nghĩa là tồn tại ε > 0
X k > ε với ω Ỵ A và với mọi n. Vì (X ) là
và tập A với P ( A) > ∂ > 0 sao cho sup
n
k ≥n
X k = X n . Vậy P [ X > ε ] > P ( A ) > ∂ > 0 với mọi n.
dãy giảm khi n tăng nên sup
n
k ≥n
P
→ X . Định lí được chứng minh.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết X n 

P
h .c .c
→ 0 khi n → ∞ , nghĩa
→ X khi và chỉ khi sup | X k − X | 
Định lí. 1.2.6. X n 
k ≥n

là với ε > 0 cho trước thì


P  sup | X n − X |> ε ÷ → 0 khi n → ∞
k ≥n



(1.6)

P
h .c .c
→ 0 khi n → ∞ . Hơn
→ X khi và chỉ khi sup | X k − X | 
Chứng minh. Có X n 
k ≥n

| X k − X | là đơn điệu giảm và tiến tới 0 theo xác suất khi n → ∞ .
nữa, dãy sup
k ≥n
H .C .C

| X k − X | 
→ 0 khi n → ∞ . Định lí được
Theo Định lí 1.5 ta nhận được sup
k ≥n

chứng minh.
Định lí. 1.2.7. Nếu

∞

∑ P [ ω :| X
k =1

k

h .c .c
− X |> ε ] < ∞ với mọi ε > 0 thì X n 
→ X khi

n → ∞.

Chứng minh. Ta có:


P  U[ ω :| X k − X |≥ ε ]  <
 k ≥n


∞

∑ P [ ω :| X
k =1

k

− X |> ε ]


8

Theo giả thiết

∞

∑ P [ ω :| X
k =1

k

− X |> ε ] < ∞ nên phần dư

∞

∑ P [ ω :| X
k =n

k

− X |> ε ] → 0 khi

n → ∞.




 k ≥n



h .c .c
→ X khi n → ∞ .
Vậy P U ω : X k − X ≥ ε   → 0 khi n → ∞ , nghĩa là X n 

h .c .c
P
→X
→ X thì tồn tại dãy con {nk} sao cho X n 
Hệ quả. 1.2.8. Nếu X n 
k

khi n → ∞ .
P
→ X nên ta có thể chọn được dãy nk để
Chứng minh. Vì X n 

1
P  X nk − X > ε  ≤ 2
k
Suy ra
∞

∑ P [ ω :| X k − X |> ε ] <
k =1

∞

1

∑k
k =1

2

< +∞ .

h .c .c
→X .
Theo Định lí 1.2.7 ta có X n 
k

1.3. Luật yếu số lớn
Định nghĩa. 1.3.1. Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi là tuân theo luật yếu số
lớn nếu với ε > 0 cho trước tuỳ ý
1 n

1 n
lim P  ∑ X i − ∑ E ( X i ) ≥ ε  = 0
n →∞
n i =1
 n i =1



Định lí. 1.3.2. ( Bất đẳng thức Chebyshev) Giả sử biến ngẫu nhiên X có kì
vọng E(X) và phương sai D(X) hữu hạn. Khi đó:
1
P  X − EX ≥ ε  ≤ 2 DX
ε

Chứng minh. Đặt:

(1.7)


9

1 với

IA ( ω) = 
0 với


ω∈A

ω∉A

Vì: Ω = ω : X − EX < ε  U ω : X − EX > ε 
nên
I Ω = I  X − E ( X ) < ε  + I  X − E ( X ) ≥ ε 
Ta có

(
≥ E ( X − EX

) (
I  X − EX ≥ ε  ) ≥ ε EI  X − EX ≥ ε 

E ( X − EX ) = E X − EX I  X − EX ≥ ε  + E X − EX I  X − EX < ε 
2

2

2

2

)

2

≥ ε 2 P  X − EX ≥ ε 
Từ đó suy ra
1
P  X − EX ≥ ε  ≤ 2 DX
ε

Định lí. 1.3.3. (Định lí Chebyshev). Nếu dãy biến ngẫu nhiên { X n } n =1 độc lập và
∞

có phương sai bị chặn bởi hằng số C, thì dãy { X n } n =1 tuân theo luật yếu số lớn.
∞

1 n
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho đại lượng ngẫu nhiên ∑ X i ,
n i =1
ta có:
với ε > 0
1 n
 1 1 n
1 n
1 n

P  ∑ X i − ∑ EX i ≥ ε  ≤ 2 D  ∑ X i ÷ = 2 2 ∑ DX i
n i =1
 n i =1  ε n i =1
 n i =1
 ε


10

≤

nC
C
= 2 → 0 khi n → ∞ .
2 2
nε
nε

Do các X i là độc lập và DX i < c ; i = 1, 2,…, n. Định lí được chứng minh.

Hệ quả 1. 3.4. Nếu X1, X2,..., Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có EXk = a và
DXk < C với mọi k = 1,2, .., n thì

X 1 + X 2 + ... + X n P

→ a khi n → ∞ .
n

1.4. Luật mạnh số lớn
Định nghĩa. 1.4.1. Dãy biến ngẫu nhiên { X n } n =1 được gọi là tuân theo luật mạnh
∞

số lớn nếu
1 n
1 n
 h .c .c
→0
 n ∑ X i − n ∑ EX i ÷
i =1
 i =1

n

∞
Nếu đặt Sn = ∑ X i thì dãy { X n } n =1 tuân theo luật mạnh số lớn nếu

i =1

1
h .c . c

→0
( Sn − ESn ) 
n

Bổ đề 1.4.2. (Bổ đề Borel – Cantelli)
∞

a) Nếu (An) là dãy các biến cố thoả mãn

∑ P ( A ) < +∞ thì
n

n =1

P  limsup An ÷ = 0
n


∞

b) Nếu (An) là dãy các biến cố độc lập và

∑ P ( A ) = +∞ thì
n =1

n

(1.8)

11
P  limsup An ÷ = 1
n


Chứng minh. a ) Ta có
∞

∞

lim sup Ak I

n →∞ k ≥ n

Ak = A∞
U
n =1 k = n

Suy ra
P ( A∞ )

 ∞
 n
≤ P  U Ak ÷ ≤ ∑ P ( Ak )
 k =n  k =n

Theo giả thiết
∞

∑ P ( An ) = +∞ nên số hạng dư

n =1

∞

b)

∞

∑ P ( A ) → 0 khi n → ∞ . Vậy P(A ∞ ) = 0.
k

n =1

∞

Ta có A∞ = UI Ak . Để chứng minh P ( A∞ ) = 1 ta cần chứng minh
n =1 k =n

( )

P A∞

 ∞

= 0 , hay ta phải chứng minh P  I Ak ÷ = 0 với mọi n. Với N > n ta có:
 k =n 

N
 ∞


 N
 N
 N

P  I Ak ÷ < P  I Ak ÷ = ∏ P Ak = ∏ ( 1 − P ( Ak ) ) ≤ exp −∑ P ( Ak ) 
k =n
 k =n

 k =n 
 k = n  k =n

( )

∞

vì 1 - x < e

-x

với mọi 0 < x < 1. Do

∑ P ( A ) → ∞ ta suy ra ∑ P ( A ) → ∞
n =1

N

 N

. Vậy exp −∑ P ( Ak )  → 0 khi N
 k =n



P ( A∞ ) = 1 . Bổ đề được chứng minh.

N

k

k =n

( )

k

khi

. Do đó P A∞ = 0 , nghĩa là


12

Bổ đề 1.4.3. (Bổ đề Kronecker). Giả sử bn là dãy số sao cho 0 < bn ↑ ∞ và chuỗi

∑x

n

hội tụ. Lúc đó khi n → ∞ thì
n

1
bn

Chứng minh. Đặt An =

∞

∑x

k = n +1

n

k

∑b x

n

k =1

k

k

→0

. Rõ ràng An → 0 và A = sup An < ∞ . Ta có:

∑b x = ∑b ( A

k

k

k =1

k =1

k −1

k

n

n

k =1

k =1

− Ak ) = ∑ bk Ak −1 − ∑ bk Ak

n

= ∑ ( bk +1 − bk ) Ak + b1 A0 − bn An ;
k =1

lim

1

bn

n

∑ bk xk ≤ lim
k =1

n −1

1
bn

∑ (b

k +1

k =1

− bk ) Ak

(1.9)

Giả sử ε > 0 đã cho, tồn tại n0 sao cho An < ε , n ≥ n0 . Khi đó, với n > n0
n −1

n0

k =1

k =1

∑ (bk +1 − bk ) Ak ≤ ∑ (bk +1 − bk ) Ak + ε

(

)

(

n −1

∑

k = n0 +1

≤ A bn0 +1 − b1 + ε bn − bn0

(bk +1 − bk )

)

Do đó
lim

n −1

1
bn

∑ (b

k +1

k =1

− bk ) Ak < ε

(1.10)

Từ 1.9) và (1.10) suy ra
lim

1
bn

n

∑b x
k =1

k

k

≤ε

Bổ đề được chứng minh
Định lí 1.4.4. (Bất đẳng thức Kolmogorov) Giả sử { X i } i =1 là dãy biến ngẫu
n

nhiên độc lập. Khi đó, với

> 0 cho trước tuỳ ý ta có


k

P  max ∑
 1≤k ≤n j =1


 n
 ∑ DX k
 ≤ k =1 2
ε



( X j − EX j )

(1.11)


13
k

c
Chứng minh. Đặt X = X k − EX k ; Sk = ∑ X i , k = 1, 2,…, n. Và:
c
k

i =1

Ak = ω : S1 < ε ,..., S k −1 < ε , Sk > ε 
Rõ ràng A0, A1,…, An là xung khắc từng đôi, trong đó A0 = ω : Sk < ε  , k = 1,
2,…,n.
Ta có
n

n

ω : max S ≥ ε  = U A và P ω : max S ≥ ε  = ∑ P ( A )
k
 1≤k ≤ n k
 k =1 k
 1≤k ≤n k
 k =1
n

2
Vì E(Sn/Ak) = 0 nên DSn = ∑ P ( Ak ) E ( S n / Ak )
k =1

 2

c
c 2
c
c
E ( S / Ak ) = E  S k + 2∑ S k X j + ∑ ( X j ) + ∑ X j X h / Ak ÷

j >k
j >k
j >h >k

 
2
n

 2

c
c
c
≥ E  S k + 2∑ S k X j + ∑ X j X h / Ak ÷
j >k
j > h >k


c
Theo giả thiết Ak độc lập với các X j , j > k. Vì vậy

E ( S k X cj / Ak ) = E ( S k / Ak ) E ( X cj / Ak ) = 0 với j > k
E ( X cj X hc / Ak ) = 0 với h, j > k > 1 và E ( S n2 / Ak ) ≥ ε 2 với k > 1

Tóm lại


14

DSk ≥ ε

2

n

∑P( A ) = ε
k

k =1

2

P  max S k > ε 
 1≤ k ≤n


Từ đó suy ra

1
P  max Sk ≥ ε  ≤ 2
 1≤ k ≤ n
 ε

n

∑ DX
k =1

k

Định lí.1.4.5 (Định lí Kolmogorov 1). Nếu { X i } i =1 là dãy biến ngẫu nhiên độc
n

lập thoả mãn điều kiện
∞

DX k
< +∞
∑
2
k =1 k
thì dãy { X i } i =1 tuân theo luật số lớn.
n

n

Chứng minh. Đặt Sn = ∑ ( X k − EX k ) và Vn =
k =1

1
Sn . Xét xác suất
n

Pm = P  max Vn ≥ ε ; 2m ≤ n ≤ 2m +1 
 n≥m

Theo bất đẳng thức Kolomogrov ta có:

1
Pm = P  max S n ≥ 2m ε ; 2 m ≤ n ≤ 2 m +1  ≤

 n≥m
 2m ε 2
( )
∞

Vậy

∞

∑ Pm ≤ ∑
m =1

Đổi thứ tự lấy tổng ta có

m =1

1

(2 ε)
m

2

∑

j <2

m+1

DX j

∑

j <2

m +1

DX j


15
∞

1
P
≤
∑
m
ε2
m =1

∞

∑ DX ∑
j

j =1

{ m:2

m+1

}

2−2 m

>j

Do các số hạng ở vế phải của bất đẳng thức trên có thể ước lượng bởi

∑

{ m:2

m+1

}

2

−2 m

>j

∞

4
16
= ∑ 2−2 m = ×2−2 p ≤ 2
3

3j
m= p

trong đó p là số sao cho 2p < j < 2p + 1. Vậy:
∞

16
Pm ≤ 2
∑
3ε
m =1
∞

Hay chuỗi

∑P
m =1

m

∞

∑
j =1

DX j
j

2

< +∞

hội tụ. Từ đó suy ra Pm → 0 khi m → ∞ . Theo Định lí 1.2.6

ta có

1 n


P  lim ∑ ( X k − EX k ) = 0  = 1
n k =1


Vậy định lí được chứng minh.

Chương 2

LUẬT SỐ LỚN CHO TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CỦA CÁC
BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC
TỌA ĐỘ ÂM ĐÔI MỘT


16

2.1. Khái niệm và tính chất của BNN phụ thuộc âm
Định nghĩa. 2.1.1. [9] Dãy các biến ngẫu nhiên { X i } i =1 được gọi là phụ thuộc âm
n

nếu thoả mãn:
 n

 n
P  I [ X i ≤ ri ] ÷≤ ∏ P ( X i ≤ ri ) , ∀r1 , r2 ,...rn ∈ ¡ ,
 i =1
 i =1

(2.1)

và
 n
 n
P  I [ X i > ri ] ÷≤ ∏ P ( X i > ri ) , ∀r1 , r2 ,...rn ∈ ¡ .
 i =1
 i =1

(2.2)

Nhận xét
- Dãy các biến ngẫu nhiên { X i } i =1 phụ thuộc âm nếu mọi tập con hữu hạn
n

của nó phụ thuộc âm.
n
- Dãy các biến ngẫu nhiên { X i } i =1 phụ thuộc âm đôi một nếu với mọi i ≠ j

thì X j , X j phụ thuộc âm.
Định nghĩa. 2.1.2.[7] Dãy các biến ngẫu nhiên { X n : n ≥ 1} được gọi là phụ thuộc
toạ độ âm đôi một nếu với mọi ri , rj ∈ ¡ ; i ≠ j thì
P { X i > ri , X j > rj } ≤ P { X i > ri } P { X j > rj }
Bổ đề 2.1.3. (Matula 1992 [6]) Giả sử

( X ) n∈N

(2.3)

là dãy các biến ngẫu nhiên phụ

thuộc tọa độ âm đôi một, ( f n ) n∈N dãy của các hàm không giảm f n : R → R , khi
đó ( f n ( X n ) ) n∈N cũng phụ thuộc tọa độ âm đôi một.
Chứng minh. Vì f n là hàm khơng giảm nên

{ ω | f n ( X (ω )) > x} = { ω | X (ω ) > inf { t : f (t ) > x} }
Khi đó với mọi ri , rj ∈ ¡ ; i ≠ j ta có


17

{

P ( f i ( X i ) > ri ; f j ( X j ) > rj ) = P X i > inf { t : f i (t ) > ri } ; X j > inf { t : f j (t ) > rj }

(

≤ P ( X i > inf { t : f i (t ) > ri } ) P X j > inf { t : f j (t ) > rj }
= P ( f i ( X i ) > ri ) P ( f j ( X j ) > rj )

)

}

Hay ta có

P ( f i ( X i ) > ri ; f j ( X j ) > rj ) ≤ P ( f i ( X i ) > ri ) P ( f j ( X j ) > rj ) ∀ i ≠ j ,

có nghĩa là dãy ( f n ( X n ) ) n∈N phụ thuộc tọa độ âm đôi một.

2.2. Luật mạnh số lớn
Trong phần này, đối với tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc toạ độ âm đôi một, ta thiếp lập các điều kiện để thu được luật mạnh số lớn
tổng quát của dạng

(∑

n
j =1

)

h .c .c
a j X j / bn 
→ 0 , trong đó { an, n ≥ 1} và { bn , n ≥ 1} là

các dãy số với an > 0;0 < bn ↑ ∞ và bn / an ↑ .
Bổ đề. 2.2.1. Giả sử { X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ âm
đôi một cùng phân phối; { an, n ≥ 1} , { bn , n ≥ 1}

là các dãy số thoả mãn

an > 0; 0 < bn ↑ ∞ và bn / an ↑ , đồng thời các điều kiện sau thỏa mãn
∞

(i)

∑1 / b

(ii)

 bn 
 ÷
 an 

j =n

2

2
j

= O ( 1 / bn2 ) ,

 aj

∑
j =n  b j
∞

2


= O ( n) .
÷
÷



Đặt
(iii)

X n' = X n I ( an X n ≤ bn ) + cn I ( an X n > bn ) − cn I ( an X n < −bn ) ,

trong đó c0 = 0, cn = bn / an .
Giả thiết rằng:


18
∞

∑ P( a X

(iv)

n

n =1

∑

(v)

n
j =1

a j EX 'j

bn

> bn ) < ∞ ,

n

→0

khi đó,

∑

n
j =1

ajX j

bn

h .c .c

→0

(2.4)

Chứng minh. Đầu tiên ta sẽ chứng minh

∑

n
j =1

a j X 'j

bn

 ∑ n ( a j X 'j − a j EX 'j ) ∑ n a j EX 'j 
j =1
h .c .c
 
=  j =1
+
→0
bn
bn





(2.5)

để chứng minh (2.5), ta chỉ cần chứng tỏ rằng số hạng đầu tiên bên phải của
(2.5) hội tụ tới 0 h.c.c vì số hạng thứ hai bên phải của (2.5) là ο (1) do (v). Theo
bổ đề Borel - Cantelli, ta chỉ cần chứng minh rằng: với ε > 0 ta có
 ∑ n ( a j X 'j − a j EX 'j )

j =1


P
> ε ÷< ∞
∑

÷
b
n =1
n


∞

(2.6)

'
'
Theo Bổ đề 2.1.3 thì ( a j X j − a j EX j ) là phụ thuộc toạ độ âm từng cặp, nên ta

có:
 ∑ n ( a j X 'j − a j EX 'j )
E  j =1
∑

bn
n =1

∞

2


∞
n
∞
n
÷ ≤ ∑ 1 ∑ a 2jVar ( X 'j ) ≤ ∑ 1 ∑ a 2j EX 'j 2
÷ n=1 bn2 j =1
n =1 bn2 j =1


(2.7)

Theo (i), với hằng số d > 0 thì:
∞

∞
1 n 2 '2 ∞ 2 '2 ∞ 1
1
a
EX
=
a
EX
≤
d
EX 'j 2
∑
∑
∑
∑

j
j
j
j ∑
2
n =1 bn 2 j =1
j =1
n =1 bn 2
j =1 c j
∞

(

)

∞

(

1
= d ∑ P X j > c j + d ∑ 2 E ( X 2j ) I X j ≤ c j
j =1
j =1 c j

)

(2.8)


19

Chúng ta thấy rằng số hạng đầu tiên bên phải của (2.8) là hữu hạn được suy ra từ (iv).
Chú ý rằng (iv) tương đương với
∞

∑ nP ( c
n =1

n −1

< X 1 ≤ cn ) < ∞

(2.9)

Do đó, theo (ii) và (2.9), ta có
∞

∞
1
1 j
2
E ( X j ) I ( X 1 ≤ c j ) = ∑ 2 ∑ E ( X 12 ) I ( cn−1 < X 1 ≤ cn )
∑
2
j =1 c j
j =1 c j n =1
∞

∞

∞

∞
1
1
2
≤
c
P
c
<
X
≤
c
(
)
∑
∑
n
n
−
1
1
n
2
2
j =n c j
n =1
j =n c j

= ∑ E ( X 12 ) I ( cn−1 < X 1 ≤ cn ) ∑
n =1

(2.10)

∞

≤ C ∑ nP ( cn−1 < X 1 ≤ cn ) < ∞
n =1

trong đó C là hằng số dương. Bởi vậy, từ (2. 10) số hạng thứ hai bên phải của
(2.8) là hữu hạn và vì (2.7), (2.8) và bất đẳng thức Chebysev, (2.6) đúng, tức là,
(2.5) đúng. Cuối cùng, từ định nghĩa của X n , ta có:
∞

∞

n =1

n =1

∑ P ( X n ≠ X n' ) = ∑ P ( X 1 > cn ) < ∞ (suy ra từ (iv))
'
Vì vậy P  X n ≠ X n ..i.o. = 0 và do đó ta thu được (2.4) từ (2.5).

Định lý. 2.2.2. Giả sử { X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ
âm đôi một, cùng phân phối và { an, n ≥ 1} , { bn , n ≥ 1} là các dãy số thoả mãn
an > 0;0 < bn ↑ ∞ , đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau
(i)
(ii)

bn / an ↑ ,


b 
bn
b
→ ∞ , n = O  inf j ≥n j ÷

nan
nan
ja j ÷


n

(iii)

∑a
j =1

j

= O ( nan )

Nếu thêm các điều kiện (i) và (iv) trong Bổ đề 2.2.1 thỏa mãn, tức là


20
∞

∑1 / b
j =n

2
j

= O ( 1 / bn2 ) ,

và
∞

∑ P( a X
n

n =1

n

> bn ) < ∞

khi đó ta có luật mạnh số lớn (2.4) , tức là

∑

n
j =1

ajX j

bn

h .c .c


→0

Chứng minh. Giả sử c0 = 0, cn = bn / an , n ≥ 1 . Ta xác định
X n' = X n I  X n ≤ cn  + cn I [ X n > cn ] − cn I [ X n < −cn ]
Theo chứng minh Định lý 6 trong [2], từ (ii) ta có
2

 bn 
 ÷
 an 

 aj

∑
j =n  b j
∞

2

∞

1
2
≤ Cn ∑ 2 = O ( n ) ,
÷
÷
j =n j


(2.11)

Nghĩa là điều kiện (ii) trong Bổ đề 2.2.1 được thỏa mãn ; từ (ii) và (iii) suy ra
n

∑a
j =1

j

= ο ( bn )

(2.12)

Cuối cùng chúng ta kiểm tra điều kiện (v) trong Bổ đề 2.2.1. Giả sử n > N ≥ 1 .
Ta có
1
bn

n

(

)

1 n
1 n
a j EX ≤ ∑ a j E X j I X j ≤ c j + ∑ b j P ( X j > c j )
∑
bn j =1

bn j =1
j =1
'
j

(2.13)

Số hạng thứ hai bên phải của (2.13) là ο (1) suy ra từ (iv) của Bổ đề 2.2.1 và bổ
đề Kronecker. Từ điều kiện (i), (ii), (iii) ta có số hạng thứ hai bên phải của
(2.13) được làm trội bởi
cN
bn

n

∑aj + C
j =1

n

∑ kP { c

k = N +1

k −1

< X 1 ≤ ck } , khi n > N ≥ 1

(2.14)

21
Ta có số hạng đầu tiên bên phải của (2.14) hội tụ về 0 h.c.c khi n → ∞ được suy
ra từ (2.12) và số hạng thứ hai hội tụ về 0 h.c.c khi N → ∞ suy ra từ (iv) trong
Bổ đề 2.2.1. Do đó, điêu kiện (v) trong Bổ đề 2.2.1 được thỏa mãn.
Vậy, theo Bổ đề 2.2.1 ta có dãy { X n , n ≥ 1} tuân theo luật mạnh số lớn (2.4) , tức là:

∑

n
j =1

ajX j

bn

h .c .c

→0

Định lí hồn tồn được chứng minh.

2.3. Luật yếu số lớn
Bổ đề. 2.3.1. Giả sử { X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân phối,

{a

n,

n ≥ 1} , { bn , n ≥ 1} là các dãy số thoả mãn an > 0;

0 < bn → ∞ .

Đặt cn = bn / an , và
X nj = X j I  X j ≤ cn  + cn I  X j > cn  − cn I  X j < −cn  ;1 ≤ j ≤ n; n ≥ 1 .
Nếu

b 
nP  X 1 > n  = o ( 1)
an 


(2.15)

Khi đó, ta có luật yếu số lớn

∑

n
j =1

a j ( X j − X nj )
bn

P

→0

Chứng minh. Với ε > 0 tuỳ ý ta có:
 n a (X −X )


j
nj
n

 ∑ j =1 j

P
> ε  ≤ P U X j ≠ X nj  
bn
 j =1





n

{

}

≤ ∑ P X j > cn ≤ nP { X 1 > cn } = o ( 1) .
j =1

Suy ra điều phải chứng minh.

(2.16)

22
Bổ đề. 2.3.2. [2] Giả sử { X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiê cùng phân
phối, { an, n ≥ 1} , { bn , n ≥ 1} là các dãy số thoả mãn an > 0; 0 < bn → ∞ và giả sử
một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
bn
b
↑, n ↓,
an
nan

n

∑a
j =1

2
j

= o( b

2
n

)

n

∑

và

j =1

 b2 
= O  nn 2 ÷
2 2
 ∑ aj ÷
j aj
 j =1 
b 2j

(2.17)

hoặc
bn
b
↑, n → ∞ ,
an
nan
 b2 
a = o ( nb ) , và ∑ n 2 2 = O  n n ÷
∑
 ∑ a 2j ÷
j aj
j =1
j =1
 j =1 
n

2

j

b 2j

n

2
n

(2.18)

hoặc
bn
↑ , và
nan

n

∑a
j =1

2
j

= o ( nan2 )

(2.19)

Khi đó, điều kiện (2.15) suy ra các đẳng thức sau đúng
n

∑a P{ X
2
j

j =1

1

> cn } = o ( an2 )

(2.20)

Và
n

∑a
j =1

2
j

X 12 I { X 1 ≤ cn } = o ( bn2 ) ,

(2.21)

trong đó cn = bn / cn .
Bổ đề. 2.3.3. Giả sử { X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ âm
đôi một, cùng phân phối,

{a

n,

n ≥ 1} ,

{ bn , n ≥ 1} là các dãy số thoả mãn

an > 0; 0 < bn → ∞ và giả sử một trong các điều kiện (2.17) hoặc (2.18) hoặc
(2.19) thỏa mãn. Khi đó điều kiện (2.15) suy ra luật yếu số lớn


23

∑

n
j =1

a j ( X nj − EX nj )

P

→0 ,

bn

(2.22)

trong đó,

X nj = X j I  X j ≤ cn  + cn I  X j > cn  − cn I  X j < −cn  ; 1 ≤ j ≤ n; n ≥ 1 .
Chứng minh. Ta có dãy { X nj − EX nj } là dãy các biến ngẫu ngiên phụ thuộc tọa
độ âm đơi một. Theo Bổ đê 2.3.2 thì với mọi ε > 0 ta có

 ∑ n a j ( X nj − X nj )

1
 j =1

P
>ε≤ 2 2 E
bn

 ε bn

n

∑a ( X
j =1

j

nj

− EX nj )

2

(Do bất đẳng thức Chebyshev)

1
≤ 2 2
ε bn

n

∑a E ( X
j =1

2
j

− EX njj )

nj

2

(Do phụ thuộc toạ độ âm đôi một)

1
≤ 2 2
ε bn
1
≤ 2 2
ε bn
1
≤ 2 2
ε bn

n

∑a E( X )
j =1
n

2
j

2

nj

(

)

1
a EX I X j ≤ cn + 2 2
∑
ε bn
j =1
n

2
j

2
j

2

∑ a c P{ X
n

j =1

1
a E X 1 I ( X 1 ≤ cn ) + 2 2
∑
ε bn
j =1
2
j

2 2
j n

n

∑ a P{ X
j =1

2
j

> cn

j

1

> cn } = o ( 1)

Được suy ra từ (2.20) và (2.21). Suy ra (2.22) được thỏa mãn.
Từ Bổ đề 2.3.1 và Bổ đề 2.3.3, ta thu được kết quả sau:

}


24
Định lý. 2.3.4. Giả sử { X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ
âm đôi một, cùng phân phối;

{a

n,

n ≥ 1} ,

{ bn , n ≥ 1} là các dãy số thoả mãn

an > 0; 0 < bn → ∞ , n ≥ 1 và giả sử rằng một trong các điều kiện (2.17) hoặc
(2.18) hoặc (2.19) của Bổ đề 3.3.2 được thỏa mãn. Nếu điều kiện (2.15 ) thỏa
mãn, khi đó đó ta có luật yếu số lớn

∑

n
j =1

a j ( X j − EX nj )
bn

P

→0 ,

trong đó,
X nj = X j I  X j ≤ cn  + cn I  X j > cn  − cn I  X j < −cn  ;1 ≤ j ≤ n; n ≥ 1
và cn = bn / cn .
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.3.1 ta có:

∑

n
j =1

a j ( X j − X nj )
bn

P

→0

Theo Bổ đề 2.3.3 ta có:

∑

n

j =1

a j ( X nj − EX nj )

P

→0

bn
Suy ra:

∑ j=1 a j ( X j − X nj )
n

bn

+

∑

n
j =1

a j ( X nj − EX nj )
bn

P

→0

Ta có:

∑

a ( X j − X nj )
j =1 j

n

bn

∑
+

a ( X nj − EX nj )
j =1 j

n

bn

∑
=

n
j =1

a j ( X j − X nj + X nj − EX nj )
bn

25

∑
=

Vậy

∑

n
j =1

n
j =1

a j ( X j − EX nj )
bn

a j ( X j − EX nj )
bn

P

→0

Định lý được chứng minh.

KẾT LUẬN
Luận văn này thu được kết quả chính như sau:

- Chứng minh được một số kết quả từ [8]; Matula [6];
- Đưa ra một số điều kiện cho luật mạnh số lớn tổng quát dưới dạng

(∑

n
j =1

)

h .c .c
a j X j / bn 
→ 0 , ở đây

an > 0;0 < bn ↑ ∞ ;

{a

n,

n ≥ 1} ,

{ bn , n ≥ 1} là các dãy số với