MỘT TRƯỜNG HỢP CỦA ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CHO DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC pptx

Tạp chí Khoa học 2011:17b 201-206 Trường Đại học Cần Thơ

201
MỘT TRƯỜNG HỢP CỦA ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRUNG
TÂM CHO DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC
Phạm Thị Thu Hường và Phạm Thị Thu Hoa
1

ABSTRACT
Central limit theorem plays an important role in probability theory and applied statistic.
However, the findings of this theorem mainly focus on the sequences of independent
random variables. Its results haven’t been found so much in the case of the sequences of
dependent radom variables. Although, the independence of the sequences of random
variables is not easy to meet and satisfy. So we need to find conditions to limit the range
of the sequences of dependent radom variables to get the results of the central limit
theorem. In this paper, we find out a range of conditions for the sequences of dependent
radom variables and prove that these conditions stronger than the results were outlined
in the paper of Dvoretzky but this still satisfies the central limit theorem.
Keywords: probability theory, applied statistic, Central limit theorem, the sequences of
independent random variables, the sequences of dependent radom variables
Title: A case of central limit theorem for the sequences of dependent random variables
TÓM TẮT
Định lý giới hạn trung tâm giữ một vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê
ứng dụng. Tuy nhiên, những kết quả nghiên cứu về định lý này chủ yếu tập trung vào dãy
những biến ngẫu nhiên độc lập, còn trong trường hợp những biến ngẫu nhiên phụ thuộc
kết quả nghiên cứu vẫn chưa được nhiều. Tuy nhiên, điều kiện độc lập của dãy các biến
ngẫu nhiên không phải lúc nào cũng th
ỏa mãn và dễ thỏa mãn. Nên ta cần phải tìm điều
kiện để hạn chế dãy những biến ngẫu nhiên phụ thuộc để có được kết quả của định lý giới
hạn trung tâm. Trong bài báo này, chúng tôi nêu ra một điều kiện cho dãy biến ngẫu
nhiên phụ thuộc và chứng minh điều kiện đưa ra chặt hơn kết quả đã nêu ra trong bài

báo của Dvoretzky nhưng dãy biến ngẫu nhiên này vẫn thỏa mãn đị
nh lí giới hạn
trung tâm.
Từ khóa: lí thuyết xác suất, thống kê ứng dụng, định lí giới hạn trung tâm, dãy biến
ngẫu nhiên độc lập, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc
1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CÓ LIÊN QUAN
Định lí 1: Định lí giới hạn trung tâm cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập:
Xét dãy tam giác
12
( , , , ), 1,2,
nn nn
XX X n

gồm các biến ngẫu nhiên sao cho
đối với mỗi
n
, các biến ngẫu nhiên
12
, , ,
nn nn
XX X độc lập,
1
()1
n
kn
k
DX




, và


1
Trường Đại học An Giang
Tạp chí Khoa học 2011:17b 201-206 Trường Đại học Cần Thơ

202
0,( 1, , )
kn
E
Xkn . Đặt
2
1
,(),
n
nknknkn
k
SX DXkn




, khi đó nếu với
2
s
 nào đó ,
2
1
(| | ,| | ) 0

n
s
kn kn
k
Emin X X



thì
(0,1)
D
n
SN
.
Từ đây ta thấy, khi có nhiều nhân tố ngẫu nhiên độc lập tác động sao cho không có
nhân tố nào vượt trội lấn át các nhân tố khác thì kết quả của chúng có dạng phân
phối tiệm cận chuẩn.
Định nghĩa 1:
Cho không gian xác suất
(, , )FPW , , là hai đại số của W khi đó ta định nghĩa:
(,) sup ( ) ()()PF G pFpGa =Ç- , supremum được lấy trên tất cả những
tập
F Î 
và G Î  .
Định nghĩa 2:
Cho dãy tam giác
, 1,2, 1,2, ,
()
n
nk n k k

X
==
,
,,1,
( , , )
nk n nk
XX



,1 , ,
( , , )
n
nk m nk nk
XX

 .
Ta định nghĩa :
,,1
1
() ( , )
n
nnknkm
kk m
msup




 

 
Định lí 2:
Cho x là một biến ngẫu nhiên giá trị phức thỏa mãn 1x £ , đặt ()x=
và
 là d - đại số trong không gian xác suất. Khi đó:

|(|) |2.(,)EE Exxpa-£.
Định lí 3:
Theo Dvoretzky (1972) ta có kết quả sau:
Cho một dãy tam giác biến ngẫu nhiên
,
( ), 1,2, , 1,2, ,
nk n
Xn k k

 . Đặt
,, , , ,0, ,
1
,,
n
b
n
nab nk nb n b nk
ka
SXSSSS
=+
===
å
,
1

n
k
nk
k
X
=
=
å
. Sao cho
,
0, 1,2, 1, 2, ,
nk n
E
Xnkk  . Một dãy tổng riêng của
,
()
nk
X là
,
( ), 1,2, 1,2, ,
ni n
Yn i r với 0(0)(1) ()
nn nnn
j
jjrk

  sao cho:

()
,,

(1)1
n
n
ji
ni nk
kji
YX



thỏa mãn:

2
,
0
ni
n
i
lim EY



chaún
(1)
2
,
1
ni
n
ile

lim EY



(2)
Tạp chí Khoa học 2011:17b 201-206 Trường Đại học Cần Thơ

203

2
,,
1
0, 0
n
r
ni ni
n
i
lim E Y I Y







(3)
và
()0
nn n

n
lim r m


 với
1
[() ( 1)]
n
nnn
ik
mminjiji


 (4)
Thì
(0,1)
D
n
SN .
2 KẾT QUẢ MỚI CỦA BÀI BÁO
Chúng tôi nêu ra một điều kiện cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc dựa trên ý
tưởng của Đào Quang Tuyến (2003) và chứng minh điều kiện đưa ra chặc hơn kết
quả đã nêu ra trong bài báo của Dvoretzky (1972), nhưng dãy biến ngẫu nhiên này
vẫn thỏa mãn định lí giới hạn trung tâm.
Từ kết quả trong bài báo Asymp của Dvoretzky (1972), chúng tôi tổng quát kết
quả trên như sau:
Định lí 4:
Cho m
ột dãy tam giác biến ngẫu nhiên
,

( ), 1,2, , 1,2, ,
nk n
Xn k k

 thỏa mãn
,
0, 1,2, 1,2, ,
nk n
E
Xnkk  , và một dãy tổng riêng của
,
()
nk
X là
,
( ), 1,2, 1,2, ,
ni n
Yn i r

 với 0(0)(1) ()
nn nnn
j
jjrk

  sao cho:

()
,,
(1)1
n

n
ji
ni nk
kji
YX



thỏa mãn:
2
,
0
ni
n
i
lim EY



chaún
(1’)

2
,
1
lÎ
ni
n
i
lim EY




(2’)

2
,,
1
0, 0
n
r
ni ni
n
i
lim E Y I Y







(3’) và với t

thỏa điều kiện sau:
2
,,
1(0,)
v,()0
n

k
r
n
nj nk
kjk
Co exp it Y exp itY







  




(4’)
Ở đây ,
2k
I  tập hợp những số nguyên chẳn (lẻ) trong tập I, nếu
k
là số chẳn hay
lẻ Thì
(0,1)
D
n
SN .
Chứng minh: ta có thể tổng quát được như trên vì ở đây điều kiện (4’) chặc hơn so

với điều kiện (4), cụ thể là:
Tạp chí Khoa học 2011:17b 201-206 Trường Đại học Cần Thơ

204
2
,,
1(0,)
v,()2.()
n
k
r
nj nk n n n
kjk
Co exp it Y exp itY r m






  





Hay ta có:
2
,,
(0, )

v,()
k
nj nk
jk
Co exp it Y exp itY





  




()
nn
m


.
Thật vậy,
2
,,
(0, )
v,()
k
nj nk
jk
Co exp it Y exp itY






  




=
,,
,
(0, )
(0, )
,
2
2
nj nk
nj
jk
jk
nk
k
k
it Y Y
it Y
itY
Ee Ee Ee












,,
,
(0, )
(0, )
,
2
2
,
nj nk
nj
jk
jk
nk
k
k
it Y Y
it Y
itY
nj
E E Ee Ee Ee






















với
2
(0, )
k
j
k


,,

,
(0, )
(0, )
,
2
2
,
nj nk
nj
jk
jk
nk
k
k
it Y Y
it Y
itY
nj
E E Ee Ee Ee

















với
2
(0, )
k
j
k


=
,,
,
(0, )
(0, )
,
2
2
,,
()
nj nk
nj
jk
jk
nk
k
k

it Y Y
it Y
itY
nj nj
EEe Ee Ee
















với
2
(0, )
k
j
k


=



,
(0, )
,,
2
,
nj
jk
nk nk
k
it Y
itY itY
nj
Ee E Ee Ee


 
với
2
(0, )
k
j
k


,,
1.2 ( , )
nj nk



  với
,,1, ,1,()
( , , ) ( , , )
n
nj n nj n nj j
YY X X 
,,(1)1,()
( , , )
nn
nk n j k n j k
XX



2()
nn
m


 với
1
[() ( 1)]
n
nnn
ik
mminjiji

,
,,1

1
() ( , )
n
nnknkm
kk m
msup




 

 .
(theo bổ đề 5.3 của Dvoretzky).
Tp chớ Khoa hc 2011:17b 201-206 Trng i hc Cn Th

205
Vy,
2
,,
1(0,)
v,()2.()
n
k
r
nj nk n n n
kjk
Co exp it Y exp itY r m

.
Ta i chng minh nh lý 4 tha món nh lớ gii hn trung tõm:
Do ta cú
2
,
0
ni
n
i
lim EY



chaỳn
(1) v t iu kin
2
,,
1(0,)
v,()0
n
k

r
n
nj nk
kjk
Co exp it Y exp itY












(4)
õy ,
2k
I
tp hp nhng s nguyờn chn (l) trong tp I, nu k l s chn hay
l. Nờn ta cú:
,2 2
0
p
nk
k
Y
+

ắ
ắắ
ồ
chaỳn
.
Mc khỏc:
2
,
1
ni
n
i
lim EY



leỷ
(2),
,
0, 1,2, 1,2, ,
nk n
E
Xnkk
Da theo phng phỏp so sỏnh c trỡnh by trong [2] ta nh ngha
,
(),()
nk n
Yklr
*
Êeỷ l dóy nhng bin ngu nhiờn c lp, sao cho hm phõn b

ca mi
,nk
Y
*
trựng vi
,nk
Y vi mi n v mi ()
n
krÊẻl .
Kt hp vi cỏc iu kin (2) v (3) ta cú
,
()
(0,1)
D
nk
k
YN
*
ắắắ
ồ
leỷ
.
Mc khỏc:
,,
,
((0,) ((0,)
((0,)
,2 , ,
*
2

((0,)
nk nk
nj
n
kl r kl r
jk
nk nk nk
nn
n
it Y it Y
it Y
r
itY itY itY
k
kr
Ee Ee Ee Ee Ee Ee
ẻẻ
ẻ
-
+
ẻ
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
ồồ
ồ
-= -
ồ

leỷ
leỷ
ẻ) ẻ)
)
)

,
((0,)
,2 , ,
2
((0,)
nj
n
jl k
nk nk nk
n
it Y
r
itY itY itY

k
kl r
Ee Ee Ee Ee
ẻ
-
+
ẻ
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
ồ
Ê-
ồ

ẻ)
ẻ)

,

,
((0,) ((0,)
v,()
n
nj
nk
kr jk
Co exp it Y exp itY
ẻẻ
ỡỹ
ùù
ổử
ùù
ữ
ỗ
ùữù
ỗ
ùù
ữ
ỗ
ớý
ữ
ỗ
ữ
ùù
ỗ
ữ
ùù
ữ
ỗ

ốứ
ùù
ùù
ợỵ
=-
ồồ
leỷ leỷ))

Tp chớ Khoa hc 2011:17b 201-206 Trng i hc Cn Th

206
2
,
,
1
(0, )
v,()0
n
k
r
n
nj
nk
k
jk
Co exp it Y exp itY
=
ẻ
ỡỹ
ùù

ổử
ùù
ữ
ỗ
ùữù
ỗ
ùù
ữ
ỗ
ắ
ắắ
ớý
ữ
ỗ
ữ
ùù
ỗ
ữ
ùù
ỗ
ữ
ốứ
ùù
ùù
ợỵ
Ê-
ồồ
( do 4)
Nờn
,

()
(0,1)
D
nk
k
YNắắắ
ồ
leỷ

Do ú,
1
,(0,1)
n
r
D
n
i
SYni N
=
ắắắ=
ồ
.
Vớ d:
Cho
()
k
X l dóy bin ngu nhiờn bt kỡ cú k vng v phng sai hu hn. t
, 1,2, ,
kk
kn

n
XEX
Xkn
B


,
*2
1
1
()
,()
n
kk
n
k
nnk
k
n
XEX
SBDX
B






,
***

,, , ,0,
1
,
b
nab kn nb n b
ka
SXSS



. Khi ú vi
0

bt k
2
2
1
1
[( ) ,| |> ] 0
n
kkkkn
k
n
EX EX X EX B
B




v iu kin

*
,1
1
|cov ( ), ( ) | 0
n
n
nk kn
k
exp itS exp itX




c tha món thỡ
*
(0,1)
D
n
SN .
TI LIU THAM KHO
A. Dvoretzky, Asymptotic normality for sums of dependent random variables, Proc.Sixth
Berkeley Symp. Math. Statist. Prob. Univ of California Press, 1972, 513-535.
o Quang Tuyn, Central limit theorems for Mixing Arrays, Vietnam journal of
Mathematics 32 (2004), 277-292.
Nguyn Duy Tin - V Vit Yờn, Lý thuyt xỏc sut thng kờ, nh xut bn giỏo dc, 2003.
Y.S. Chow and H. Teicher, Probability theory, Springer, Newyork, Heidelberg, Berlin, 1978.