Phép nghịch đảo và một số ứng dụng trong các bài toán hình học phẳng (2)

1

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU………………………………………………………….

Trang
2

Chương I. Tương đẳng trên các nửa nhóm xyclic…………………...

4

1.1. Tương đẳng. Nửa nhóm thương……………………………………

4

1.2. Nửa nhóm xyclic…………………………………………………..

7

1.3. Tương đẳng trên các nửa nhóm xyclic……………………………..

10

Chương II. Vị nhóm con của nhóm cộng các số nguyên và nhóm
cộng các số hữu tỷ……………………………………………………...

16

2.1. Nửa nhóm giao hốn giản ước được………………………………

16

2.2. Vị nhóm con của nhóm cộng các số nguyên………………………

21

2.3. Vị nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỷ……………………….

26

KẾT LUẬN…………………………………………………………….

29

TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………….

30

LỜI NĨI ĐẦU
Lớp nửa nhóm xyclic là lớp nửa nhóm đóng một vai trị cơ sở trong Lý
thuyết nửa nhóm. Khảo sát các nửa nhóm xyclic, chúng ta sẽ hiểu sâu sắc hơn các
lớp nửa nhóm và nhóm quen thuộc trong số học như nửa nhóm cộng các số tự


2

nhiên, nhóm cộng tất cả các số nguyên và nhóm cộng tất cả các số hữu tỷ. Trên cơ
sở đó, những mối liên quan giữa các cấu trúc đại số và các kết quả trong Lý thuyết
số sẽ được làm sáng tỏ hơn.
Khóa luận gồm hai chương.

Chương I. Tương đẳng trên nửa nhóm xyclic.
Trong chương này, chúng tơi hệ thống lại các kết quả về tương đẳng trên nửa
nhóm và nửa nhóm thương, phân loại các cnửa nhóm xyclic hữu hạn và nửa nhóm
xyclic vơ hạn, chứng minh chi tiết kết quả mơ tả tương đẳng trên các nửa nhóm
đó.
Chương II. Vị nhóm con của nhóm cộng các số nguyên và nhóm cộng
các số hữu tỷ.
Chương này, trình bày một số ứng dụng dựa trên các đặc trưng của nửa nhóm
xyclic để làm sáng tỏ cấu trúc của các nửa nhóm quen thuộc trong Số học.
Trước hết, chúng tơi trình bày một kết quả liên quan đến nửa nhóm giao hốn
giản ước được (Định lý 2.1.4). Kết quả này có thể được xem như tổng hóa của kết
quả quen thuộc: Nửa nhóm cộng các số tự nhiên nhúng được vào nhóm cộng các
số ngun.
Sau đó, chúng tơi khảo sát các vị nhóm con của nhóm các số tự nhiên (chúng
được gọi là các vị nhóm số).
Một kết quả đáng chú ý của phần này là điều kiện để một vị nhóm con của vị
nhóm cộng các số nguyên là một nhóm con (Định lý 2.2.9). Kết quả này được mở
rộng cho các vị nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỷ (Định lý 2.3.3).
Khóa luận được hồn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy PGS.TS. Lê Quốc
Hán. Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy vì đã
có nhiều chỉ bảo, giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực cho tác giả trong
q trình hồn thành khóa luận.
Tác giả trân trọng cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trong tổ Đại số; q Thầy
giáo, Cơ giáo trong khoa Tốn trường Đại Học Vinh và tập thể 48B – Toán đã
động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa luận này.


3

Do trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận chắc chắn cịn nhiều thiếu sót,

tác giả kính mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của bạn đọc để khóa luận được
hồn thiện hơn.
Vinh, tháng 5 năm 2011.
Tác giả

CHƯƠNG I
TƯƠNG ĐẲNG TRÊN CÁC NỬA NHĨM XYCLIC
Mơ tả tất cả các tương đẳng trên một lớp nửa nhóm cụ thể là một trong
những vấn đề trọng tâm của Lý thuyết nửa nhóm, nhờ đó các cấu trúc sẽ hồn toàn
được xác định một cách tường minh. Chương này dành cho việc mô tả tương đẳng


4

trên các nửa nhóm xyclic, một trong những lớp nhóm cơ sở trong Lý thuyết nửa
nhóm.
1.1. Tương đẳng. Nửa nhóm thương.
1.1.1. Định nghĩa.
i) Giả sử X là một tập hợp tùy ý khác rỗng. Khi đó mỗi tập con ρ của tích đề
các X × X được gọi là một quan hệ trên X .
Giả sử ρ là một quan hệ trên X . Nếu (a, b) ∈ ρ trong đó a, b là các phần tử
thuộc X thì ta cũng sẽ viết a ρ b .
ii) Nếu ρ và δ là các quan hệ trên X , thì cái hợp thành ρ oδ được định
nghĩa như sau: (a, b) ∈ ρ oδ nếu tồn tại phần tử x ∈ X sao cho (a, x) ∈ ρ và

( x , b) ∈ ρ .
Phép tốn hai ngơi (o) trên tập hợp β X tất cả các quan hệ trên X kết hợp.
Thật vậy, nếu ρ , δ và τ là các quan hệ trên X , thì mỗi một trong các điều khẳng
định (a, b) ∈ ( ρ oδ ) oτ và (a, b) ∈ ρ o(δ oτ ) tương đương với khẳng định: tồn tại
các phần tử x và y thuộc X sao cho (a, x) ∈ ρ , ( x, y ) ∈ δ và ( y, b) ∈ τ . Do đó,

β X cùng với phép tốn (o) trở thành một nửa nhóm. Nửa nhóm β X đó được gọi là
nửa nhóm các quan hệ trên X .
1.1.2. Một số quan hệ hai ngôi đặc biệt. Giả sử X là một tập hợp tùy ý.
1) Quan hệ i được gọi là quan hệ bằng nhau nếu (a, b) ∈ i khi và chỉ khi

a = b với a, b ∈ X .
2) Quan hệ ω được gọi là quan hệ phổ dụng nếu (a, b) ∈ ω với mọi a, b ∈ X .
3) Giả sử ρ ∈ β X . Khi đó quan hệ ngược ρ −1 của ρ được định nghĩa như
−1
sau : ( a, b) ∈ ρ nếu và chỉ nếu (b, a) ∈ ρ .

4) Giả sử ρ , δ ∈ β X . Khi đó ρ ⊆ δ nếu ρ là tập con của δ , nghĩa là a ρ b
kéo theo a δ b . Vì β X gồm tất cả các tập con của X × X , nên ta có thể thực hiện
trong β các phép tốn : hợp, giao và phần bù.
X


5

5) Giả sử ρ là một quan hệ trên X . Khi đó ρ được gọi là đối xứng nếu

ρ −1 ∈ ρ (và do đó ρ −1 = ρ ).
Quan hệ ρ được gọi là phản xạ nếu i ⊆ ρ và được gọi là bắc cầu nếu

ρ oρ ⊆ ρ .
Một quan hệ ρ trên X được gọi là quan hệ tương đương nếu ρ phản xạ , đối
2
xứng và bắc cầu. Khi đó ρ là một lũy đẳng của nửa nhóm β X , nghĩa là ρ = ρ .

1.1.3. Phân hoạch một tập hợp. Giả sử ρ là một quan hệ trên X và a ∈ X . Khi
đó ta sẽ ký hiệu:

ρ a : = { x ∈ X x ρ a}
a ρ : = { x ∈ X a ρ x}
Nếu ρ là quan hệ tương đương trên X thì hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:
i) a ∈ a ρ với mọi a ∈ X .
ii) a ρ ∩ bρ ≠ φ kéo theo a ρ = b ρ .
Như vậy, họ các tập con a ρ , trong đó a ∈ X là một phân hoạch của X , nghĩa là
các tập con đó khơng giao nhau và hợp của chúng bằng X . Ta ký hiệu họ đó là
X

ρ và gọi a ρ là lớp tương đương của X theo mod ρ chứa a .
Đảo lại, mọi phân hoạch P của tập X xác định một quan hệ tương đương ρ

trên X mà P = X ρ , cụ thể a ρ b khi và chỉ khi a, b thuộc cùng một tập con của
phân hoạch P . Ta gọi ánh xạ a a a ρ là ánh xạ tự nhiên hay ánh xạ chính tắc từ
∗
X lên X ρ và ký hiệu ánh xạ đó là ρ ∗ . Chú ý rằng: ρ (a) = a ρ với mỗi a ∈ X .

1.1.4. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và ρ là một quan hệ trên S . Khi đó

ρ được gọi là một tương đẳng trên S nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
i) ρ là quan hệ tương đương trên S .
ii) ρ ổn định hai phía, nghĩa là nếu a ρ b thì ac ρ bc và ca ρ cb với mọi

c∈S .


6

1.1.5. Bổ đề [5]. Một quan hệ tương đương ρ trên nửa nhóm S là một tương
đẳng nếu và chỉ nếu với mọi x1 , x2 , y1 , y2 thuộc S có:

x1 ρ y1 , x2 ρ y2 ⇒ x1 x2 ρ y1 y2 .
1.1.6.Định nghĩa. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm S và
S

ρ

= { x ρ x ∈ S } là tập hợp các lớp tương đẳng của S theo ρ . Khi đó tương ứng

( x ρ , y ρ ) a xy ρ là một phép tốn hai ngơi trên S ρ (theo Bổ đề 1.1.5) và với
phép tốn đó S ρ trở thành một nửa nhóm. Nửa nhóm S ρ được xây dựng như trên
được gọi là nửa nhóm thương (của S theo mod ρ ).
Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.6 hợp lý, ta chỉ cần chứng tỏ phép toán hai ngơi
xác định trên S ρ như trên có tính chất kết hợp. Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ S có:
x ρ .( y ρ .z ρ ) = x ρ .( yz ρ ) = ( x( yz )) ρ = (( xy ) z ) ρ = ( xy ρ ).z ρ = ( x ρ . y ρ ).z ρ .

□

1.1.7. Định nghĩa. Giả sử S và T là các nửa nhóm. Ánh xạ ϕ : S → T được gọi là
một đồng cấu (nửa nhóm) nếu ϕ ( ab) = ϕ ( a).ϕ (b), ∀a, b ∈ S .
Đồng cấu ϕ được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu ϕ tương ứng là
đơn ánh, toàn ánh hay song ánh.
1.1.8. Định nghĩa. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm S . Khi đó, ánh xạ
∗
∗
tự nhiên ρ : S → S ρ cho bởi ρ (a) = a ρ là một tồn cấu và được gọi là tồn cấu

chính tắc.
Vì ρ ∗ là một toàn ánh, nên để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.8 hợp lý ta chỉ cần
chứng minh ρ ∗ là một đồng cấu. Thật vậy, với mọi x, y ∈ S ta có:

ρ ∗ ( xy ) = ( xy ) ρ = x ρ . y ρ = ρ ∗ ( x). ρ ∗ ( y ) ⇒ ρ ∗ là một đồng cấu.
1.1.9. Định nghĩa. Giả sử ϕ : S → T là một đồng cấu nửa nhóm. Khi đó quan hệ
Ker (ϕ ) trên S cho bởi ( x, y ) ∈ Ker (ϕ ) nếu và chỉ nếu ϕ ( x) = ϕ ( y) là một tương
đẳng trên S và được gọi là tương đẳng hạt nhân của ϕ .


7

Rõ ràng Ker (ϕ ) là một quan hệ tương đương trên S . Tính ổn định của Ker

(ϕ ) suy ra từ điều kiện ϕ là đồng cấu.
1.1.10. Mệnh đề [5].
1). Nếu { ρi i ∈ I } là một họ tương đẳng trên S , thế thì ρ : =

I

i∈I

ρi cũng là một

tương đẳng trên S .
2). Giả sử δ là một quan hệ trên S . Khi đó δ C : = I { ρ ρ là một tương đẳng
trên S , ρ ⊇ δ } là tương đẳng bé nhất trên S chứa δ (Tương đẳng δ C này được
gọi là tương đẳng sinh bởi δ ).
1.2. Nửa nhóm xyclic
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và a là một phần tử tùy ý của S .

Khi đó nửa nhóm con a của S gồm tất cả các lũy thừa nguyên dương của a :

a = { a, a 2 , a 3 ,...}
được gọi là nửa nhóm con xyclic của S sinh bởi a . Trong trường hợp S = a thì
S được gọi là nửa nhóm xyclic sinh bởi a và a được gọi là phần tử sinh .

Cấp của a được định nghĩa là cấp của nửa nhóm con xyclic a . Với mỗi

a ∈ S chỉ có hai khả năng xảy ra:
1) Hoặc mỗi lũy thừa của a đều khác nhau, khi đó a có cấp vơ hạn (đếm
được).
2) Hoặc tồn tại các số nguyên dương r , s với r < s sao cho a r = a s . Khi đó a
có cấp hữu hạn.
Giả sử s là số nguyên dương bé nhất sao cho a r là lũy thừa của phần tử a
bằng một lũy thừa bé hơn nào đó của phần tử đó. Thế thì a s = a r với r nào đó bé
hơn s ( r là số nguyên dương bé nhất có tính chất này).
Đặt m = s − r , khi đó a r = a m + r . Trong trường hợp này m được gọi là chu kỳ,

r được gọi là chỉ số của phần tử a hay của nửa nhóm xyclic a .


8

1.2.2. Mệnh đề. Giả sử a là một phần tử của nửa nhóm S và a là nửa nhóm
con xyclic sinh bởi a . Nếu a là nửa nhóm con xyclic vô hạn thì mọi lũy thừa của

a đều khác nhau. Nếu a là nửa nhóm xyclic hữu hạn với chỉ số r và chu kỳ m

{

}

2
m + r −1
thì a m + r = a r và a = a, a , ... , a
. Khi đó cấp của nửa nhóm con a bằng

m + r −1.

{

}

r
r +1
r + m −1
Tập hợp K a = a , a , ... , a

là nhóm con xyclic cấp m của nửa

nhóm S .

{

}

2
3
Chứng minh. Giả sử a = a, a , a ,...

+ Nếu a là nửa nhóm xyclic vơ hạn, từ Định nghĩa 1.2.1 suy ra số phần tử
của nửa nhóm a là vơ hạn và mọi lũy thừa của a đều khác nhau.
+ Nếu a là nửa nhóm xyclic hữu hạn với chu kỳ m và chỉ số r thì theo
Định nghĩa 1.2.1, tồn tại hai số nguyên dương r và s sao cho a r = a s .
Do m là chu kỳ nên m = s − r ; khi đó a r = a m + r và vì các phần tử
a, a 2 ,..., a s − 1 đôi một khác nhau nên suy ra :

{

} {

}

a = a, a 2 ,..., a s − 1 = a, a 2 ,..., a r , a r + 1,..., a r + m − 1

Vậy a có cấp bằng m + r − 1 .

{

}

r
r +1
r + m −1
+ Tập hợp K a = a , a , ... , a
là nhóm con xyclic cấp m của S .

Thật vậy, hiển nhiên K a là nửa nhóm con của S . Ta đặt a n ∈ K a với

r ≤ n ≤ m + r −1

n
Xét ánh xạ ϕ : a a ( m ) + n

trong đó ( m ) + n là lớp thặng dư các số

nguyên theo mod m chứa n . Thế thì ϕ là một đẳng cấu từ K a lên nhóm cộng

Z

( m)

tất cả các lớp thặng dư theo mod m . Từ đó, K a là nhóm con xyclic cấp m


9

của

nửa

nhóm

S.

□
1.2.3. Mệnh đề. Giả sử S = a
số

r; n

là nửa nhóm xyclic hữu hạn với chu kỳ m và chỉ

là số tự nhiên thỏa mãn r ≤ n ≤ m + r và n ≡ 0 ( mod m ). Khi đó

{

an

}

r
r +1
r + m −1
.
là đơn vị của nhóm con tối đại K a = a , a , ... , a

Chứng minh. Xét ánh xạ ϕ : K a → ¢ m
ah a h

( )

h
Khi đó ϕ là một đồng cấu nhóm và ϕ a = 0 ⇔ h = 0 ⇔ h ≡ 0 ( mod m ) với

r ≤h≤m+r.

□

1.2.4. Chú ý.
1) Từ đây trở đi, ta sẽ ký hiệu nhóm cộng tất cả các số nguyên là ¢ , nửa

nhóm cộng tất cả các số ngun dương là ¢ + và vị nhóm cộng các số ngun
khơng âm là ¥ .Từ định nghĩa suy ra mọi nửa nhóm xyclic vơ hạn đều đẳng cấu
với ¢ + và mọi vị nhóm xyclic vơ hạn đẳng cấu với ¥ .
2) Đối với hai số nguyên dương tùy ý cho trước r và m , có thể xây dựng
nửa nhóm xyclic a mà chỉ số bằng r và chu kỳ bằng m ; chẳng hạn nửa nhóm
sinh bởi phép bin i
ổ
0
ỗ
a =ỗ
ỗ
ỗ
ố1

1

2 r- 1

2

3

r

ử
r ... r + m - 2 r + m - 1÷
÷
÷
÷
÷

r +1
r +m- 1
r
ø

của tập { 0,1, 2,..., r , r + 1, r + 2,..., r + m − 1} . Hiển nhiên hai nửa nhóm xyclic đẳng
cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng chỉ số và cùng chu kỳ.
1.2.5. Định nghĩa. Giả sử A là một tập con khác rỗng của nửa nhóm ¢ + . Khi đó
+
A được gọi là cô lập nếu từ đẳng thức a = b + c với a ∈ A, b ∈ A, c ∈¢ kéo theo

c ∈ A.
1.2.6. Mệnh đề. Giả sử A là nửa nhóm con của nửa nhóm xyclic vơ hạn ¢ + . Khi
đó A là nửa nhóm con xyclic khi và chỉ khi A cơ lập trong ¢ + .


10

Chứng minh.
+) Điều kiện cần. Giả sử A là nửa nhóm xyclic, khi đó A = m¢ + với m ∈¢ + .
Từ

a=b+c

với

a ∈ A, b ∈ A

suy ra tồn tại

a '∈¢+ , b '∈¢+

sao cho

a = m.a ', b = m.b ' . Vì a = b + c nên a > b , do đó a ' > b ' . Khi đó, từ m.a ' = m.b '+ c

suy ra c = m (a '− b ') ∈ A . Vậy A cơ lập trong ¢ + .
+) Điều kiện đủ. Giả sử A cô lập trong ¢ + . Gọi k : = min { a a ∈ A} và
n ∈ A, n = k .q + r với 0 ≤ r ≤ k .

- Nếu q = 0 thì n = r < k mâu thuẫn với cách chọn k .
- Nếu q ≤ −1 thì k .q ≤ − k , do đó k .q + r ≤ r − k suy ra n < 0 (vì r < k ) mâu
thuẫn với n ∈ A ⊂ ¢ + .
- Vậy chỉ có thể q ≥ 1 . Giả sử r ≠ 0 , vì A cơ lập và n = k .q + r nên từ
n ∈ A, k .q ∈ A suy ra r ∈ A , mâu thuẫn với cách chọn k . Do đó r = 0 nên
n = k .q . Vậy A là nửa nhóm xyclic sinh bởi k .

□

1.2.7. Mệnh đề. Tồn tại nửa nhóm con của nửa nhóm xyclic vơ hạn ¢ + khơng
phải là nhóm con xyclic.
Chứng minh. Thật vậy, xét nửa nhóm con A của ¢ + sinh bởi { 3; 5} . Khi đó A
+
khơng phải là nửa nhóm xyclic vì nếu A = k , k ∈ ¢ thì do 3 ∈ A, 5 ∈ A suy ra

3 = k .q, 5 = k .q ' với q, q ' ∈¢ + . Do đó k 3, k 5 mà ( 3, 5 ) = 1 nên k = 1 . Suy ra
+
+
A = ¢ + mà 1 ∈ ¢ = A = 3, 5 nên tồn tại p, p ' ∈¢ sao cho 1 = 3. p + 5. p ' , điều

này mâu thuẫn . Vậy A không phải là nửa nhóm con xyclic.

□

1.3. Tương đẳng trên các nửa nhóm xyclic.
Vì mọi nửa nhóm con xyclic vơ hạn đều đẳng cấu với nửa nhóm cộng các số
ngun dương ¢ + , nên ta chỉ cần mô tả tương đẳng trên nửa nhóm ¢ + .
1.3.1. Bổ đề. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm xyclic vơ hạn ¢ + và

ρ ≠ i ( i là quan hệ đồng nhất trên ¢ + ). Khi đó tồn tại duy nhất một cặp số nguyên
dương (m, r ) sao cho a ρb khi và chỉ khi:
nếu max (a, b) < r thì a = b


11

nếu max (a, b) ≥ r thì a ≡ b (mod m)
Đảo lại, nếu (m, r ) là cặp số nguyên dương và ρ là quan hệ trên ¢ + xác
định bởi hệ thức (1) thì ρ là một tương đẳng trên ¢ + .
Chứng minh.
+
¢
+ Điều kiện cần. Ta thấy
ρ là nửa nhóm xyclic sinh bởi 1ρ . Vì ρ ≠ i nên

+
+
tồn tại p, q ∈¢ sao cho p ≠ q nhưng p ρ = q ρ . Từ đó ¢ ρ là nửa nhóm xyclic

hữu hạn. Do đó tồn tại cặp số (m, r ) sao cho r ρ = (m + r ) ρ và m + r là số nguyên

dương bé nhất có thể chọn được thỏa mãn điều kiện ấy (nghĩa là mρ là chu kỳ và
+
r ρ là chỉ số của ¢ ) . Khi đó, mỗi lớp 1ρ , 2 ρ ,...,(r − 1) ρ chỉ chứa một phần tử
ρ

của ¢ + nên nếu max (a, b) < r thì a ρb nếu và chỉ nếu a = b .
+
¢
(
a
,
b
)
≥
r
Giả sử max
và
ρ = { 1ρ , 2 ρ ,..., ( r − 1) ρ ,..., ( r + m − 1) ρ }

ψ : K1ρ → ¢ m

là

đẳng

cấu

xét

trong

Mệnh

đề

1.2.3.

Thế

cịn
thì

a ρ = bρ ⇔ a (1ρ ) = b (1ρ ) ⇔ a = b ⇔ a ≡ b (mod m) .

Cặp số nguyên dương (m; r ) tồn tại và duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại cặp
+
¢
(
n
;
s
)
số nguyên dương
thỏa mãn (1). Khi đó
ρ gồm s lớp, mỗi lớp chỉ chứa

một phần tử của ¢ + và n lớp, mỗi lớp chứa nhiều hơn một phần tử của ¢ + . Từ đó
+
suy ra s = r và n = m (vì các lớp của ¢ ρ khơng giao nhau).

+ Điều kiện đủ. Giả sử (m, r ) là cặp số tự nhiên và ρ là quan hệ trên ¢ + thỏa
mãn (1). Thế thì ρ là một tương đẳng trên ¢ + . Thật vậy, tính phản xạ và đối xứng
của ρ là hiển nhiên. Ta chứng minh tính bắc cầu của ρ , nghĩa là ρ oρ ⊆ ρ .
Giả sử (a, b) ∈ ρ oρ ; khi đó tồn tại c ∈¢ + sao cho (a, c) ∈ ρ và (c, b) ∈ ρ .
Theo (1) chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:


12

Trường hợp 1: max (a, c) < r và max (c, b) < r . Khi đó a = c, c = b và max
(a, b) < r nên (a, b) ∈ ρ .

Trường hợp 2: max (a, c) < r và max (c, b) ≥ r . Khi đó a = c và c ≡ b (mod m)
, max (a, b) ≥ r . Suy ra a ≡ b (mod m ) và max (a, b) ≥ r nên (a, b) ∈ ρ .
Trường hợp 3: max (a, c) ≥ r và max (c, b) < r . Lý luận như trường hợp 2, ta
có (a, b) ∈ ρ .
Trường hợp 4: max (a, c) ≥ r và max (c, b) ≥ r . Khi đó, a ≡ c (mod m ),

c ≡ b (mod m ) và max (a, b) ≥ r nên a ≡ b (mod m ), max (a, b) ≥ r . Suy ra
( a , b) ∈ ρ .

Vậy ρ có tính chất bắc cầu.
Giả sử a ρb và c ∈¢ + . Khi đó điều kiện:
nếu max (a, b) < r thì a = b
nếu max (a, b) ≥ r thì a ≡ b (mod m)
dẫn đến điều kiện sau:
nếu max (a + c, b + c) < r thì a + c = b + c
nếu max (a + c, b + c) ≥ r thì a + c ≡ b + c (mod m)
Do đó (a + c, b + c) ∈ ρ . Vậy ρ ổn định bên phải. Vì ¢ + giao hốn nên từ đó

ρ ổn định bên trái. Suy ra ρ là tương đẳng trên ¢ + .
Từ Bổ đề trên suy ra Định lý sau:

□


13

1.3.2. Định lý. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm xyclic vơ hạn ¢ + . Thế
thì:
i) Hoặc ρ là quan hệ đồng nhất của ¢ + ;
ii) Hoặc tồn taị cặp số nguyên dương duy nhất (m, r ) sao cho a ρ b nếu và chỉ
nếu:
nếu max (a, b) < r thì a = b
nếu max (a, b) ≥ r thì a ≡ b (mod m)
Đảo lại nếu quan hệ ρ trên ¢ + xác định như Bổ đề 1.3.1 thì ρ là một tương
đẳng trên ¢ + .
1.3.3. Bổ đề. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm xyclic hữu hạn S = a
với chu kỳ là m , chỉ số r và ρ không phải là quan hệ đồng nhất trên S . Khi đó
tồn tại một cặp số nguyên dương duy nhất ( s, n) với s < r , n \ m sao cho với mọi
a x ∈ S , a y ∈ S thì a x ρ a y khi và chỉ khi :

nếu max ( x, y ) < s thì x = y
nếu max ( x, y ) ≥ s thì x ≡ y (mod n)
Đảo lại, nếu s và n là hai số nguyên dương với s < r , n \ m và ρ là một
quan hệ trên S xác định bởi (2) thì ρ là một tương đẳng trên S .
Chứng minh.
+) Điều kiện cần. Giả sử ρ là một tương đẳng trên S = a và ρ ≠ i . Khi đó

S

a ρ . Suy ra tồn tại các số tự nhiên s, n sao cho
ρ là nửa nhóm xyclic sinh bởi

a s ρ = a s + r ρ , với s + n là số nguyên dương nhỏ nhất có thể chọn được ( s là chỉ số,

n là chu kỳ của S ρ ). Khi đó mỗi lớp a ρ , a 2 ρ ,..., a s −1 ρ chỉ chứa một phần tử của
S.

S

Vậy

nếu

max ( x, y ) < s

thì

axρa y

khi

và

chỉ

khi

x= y.

Vì

= { a, a 2 ,..., a s −1 , a s ρ ,..., a s + n−1 ρ } và K aρ = { a s ρ ,..., a s +n −r ρ} trong đó K aρ ≅ ¢ n
ρ

p
q
nên a ρ = a ρ ( p ≥ s , q ≥ s ) nếu và chỉ nếu p = q ⇔ p ≡ q (mod n ).


14

Mặt khác, a r = a r + m kéo theo a r ρ = a r + m ρ nên r ≡ r + m (mod n) . Suy ra
m ≡ 0 (mod n) và do đó n \ m .

Như vậy, nếu max ( x y ) ≥ s thì a x ρ a y khi và chỉ khi x ≡ y (mod n) .
Với mỗi tương đẳng ρ trên S thì cặp ( s, n) là tồn tại duy nhất. Thật vậy,
nếu cặp số tự nhiên ( s ', n ') thỏa mãn điều kiện trên thì S ρ gồm s ' lớp, mỗi lớp
chứa đúng một phần tử và n ' lớp, mỗi lớp chứa nhiều hơn một phần tử. Vì các lớp
khơng giao nhau nên suy ra s ' = s và n ' = n .
+) Điều kiện đủ. Giả sử ( s, n) là cặp số nguyên dương và ρ là quan hệ trên

S thỏa mãn các điều kiện trên. Khi đó ρ là tương đẳng trên S . Thật vậy:
i) ρ là quan hệ tương đương vì
Tính phản xạ: với mọi a x ∈ S thì a x ρ a x vì nếu x < s thì x = x ; nếu x > s
thì x ≡ x (mod n) là đúng.
Tính đối xứng: a x ρ a y ⇒ a y ρ a x là hiển nhiên.
x
y

y
z
Tính bắc cầu: Giả sử a ρ a , a ρ a , khi đó a x ρ a z . Thật vậy:

a x ρ a y nếu và chỉ nếu : max ( x, y ) < s thì
max ( x, y ) ≥ s thì

x= y
x ≡ y (mod n)

(∗)

a y ρ a z nếu và chỉ nếu: max ( y, z ) < s thì y = z
max ( y, z ) ≥ s thì y ≡ z (mod n)
Từ (∗) và (∗∗) suy ra : max ( x, z ) < s thì x = z

(∗∗)

max ( x, z ) ≥ s thì x ≡ z (mod n) .
Do đó x ρ z .
ii) ρ ổn định phải. Thật vậy, nếu a x ρ a y thì :
nếu max ( x, y ) < s thì x = y
nếu max ( x, y ) ≥ s thì x ≡ y (mod n)
Do đó ∀z thích hợp,có:
nếu max ( x + z , y + z ) < s thì x + z = y + z


15

nếu max ( x + z , y + z ) ≥ s thì x + z ≡ y + z (mod n)

Suy ra a x+ z ρ a y + z . Vậy ρ ổn định phải. Tương tự ρ ổn định trái nên ρ là
tương đẳng trên S .

□

Từ bổ đề trên ta trực tiếp suy ra định lý sau đây.
1.3.4. Định lý. Giả sử S = a là nửa nhóm xyclic hữu hạn với chu kỳ m và chỉ
số r ; ρ là một tương đẳng trên S . Khi đó:
i) Hoặc ρ là tương đẳng bằng nhau trên S ;
ii) Hoặc tồn tại duy nhất cặp số nguyên dương ( s, n) thỏa mãn s < r , n \ m
sao cho với mọi a x ∈ S , a y ∈ S thì a x ρ a y khi và chỉ khi:
nếu max ( x, y ) < s thì x = y
nếu max ( x, y ) ≥ s thì x ≡ y (mod n) .


16

CHƯƠNG II
NỬA NHÓM CON CỦA NHÓM CỘNG CÁC SỐ NGUYÊN VÀ NHÓM
CỘNG CÁC SỐ HỮU TỶ
Chương này dành cho việc khảo sát một số tính chất của các nửa nhóm con
của nhóm cộng các số nguyên , nhóm cộng các số hữu tỷ.
2.1. Nửa nhóm giao hốn giản ước được.
2.1.1. Định nghĩa và ký hiệu.
Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm giao hốn nếu phép tốn trên S có tính
chất giao hốn, nghĩa là a + b = b + a với mọi a, b ∈ S . Ở đây, phép toán đươc định
nghĩa theo lối cộng.
Nếu S là vị nhóm, nghĩa là S có đơn vị thì đơn vị của S được gọi là phần tử
không của S , ký hiệu bởi 0.
Giả sử S là một nửa nhóm khơng có đơn vị, khi đó S có thể nhúng được vào

0
vị nhóm S = S ∪ { t } , trong đó t là một ký hiệu khơng thuộc S thỏa mãn điều

kiện: t + x = x + t = x, ∀x ∈ S 0 . Khi đó, t trở thành phần tử đơn vị của S .
Giả sử S là một nửa nhóm và A, B là các tập con khác rỗng của S . Ký hiệu
A + B : = { a + b a ∈ A, b ∈ B} .

Tập con khác rỗng T của nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm con của S nếu
bản thân T là nửa nhóm với phép toán của S cảm sinh trên T , nghĩa là
∀a, b ∈T

⇒ a + b ∈T .

Giả sử { Sα α ∈ I } là một họ các nửa nhóm con của nửa nhóm S sao cho

I { Sα α ∈ I } ≠

. Khi đó, T = I { Sα α ∈ I } là một nửa nhóm con của S và là nửa

nhóm con nhỏ nhất của S được chứa trong các Sα , α ∈ I .
Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S . Khi đó giao của tất cả
các nửa nhóm con của S chứa B là một nửa nhóm con nhỏ nhất của S chứa B .
Nó được gọi là nửa nhóm con của S được sinh bởi B và được ký hiệu là B . Rõ


17

ràng

B

n

chứa tất cả các phần tử dạng

∑b = b + b
i

1

2

+ ... + bn trong đó

i =1

bi ∈ B, ∀i = 1, 2,..., n .
Tập con khác rỗng I của nửa nhóm S được gọi là một iđêan của S nếu
I ⊇ s + I , ∀s ∈ S , trong đó s + I : = { s + a a ∈ I } .

Giao của một họ tùy ý các iđêan của nửa nhóm S là một iđêan của S nếu
giao này khác rỗng.
Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S , thế thì B ∪ ( B + S ) là
iđêan của S và là iđêan nhỏ nhất của S chứa B . Nó được gọi là iđêan sinh bởi B
(của S ). Nếu S là một vị nhóm thì B ⊆ B + S nên B + S là iđêan của S sinh bởi

B.
Giả sử I là một iđêan thực sự của nửa nhóm S (nghĩa là I ≠ S ), khi đó I
được gọi là iđêan nguyên tố của S nếu x + y ∈ I kéo theo x ∈ I hoặc y ∈ I (đối
với x, y ∈ S ). Như vậy, một iđêan thực sự I của nửa nhóm S là iđêan nguyên tố

nếu và chỉ nếu phần bù S − I của I trong S là nửa nhóm con của S .
Giả sử I là một iđêan của nửa nhóm S và ¢ + là tập hợp tất cả các số nguyên
dương. Khi đó, tập con { s ∈ S tồn tại n ∈ ¢ + sao cho n.s ∈ I } là một iđêan của

S và được gọi là căn của iđêan I , ký hiệu bởi rad ( I ) hay

I.

Chúng ta hệ thống lại một số kết quả đã biết trong lý thuyết nửa nhóm về các
iđêan trong nửa nhóm.
2.1.2. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm.
(1) S là một nhóm nếu và chỉ nếu S có một iđêan duy nhất là S .
(2) Nếu I là một iđêan của S và T là nửa nhóm con của S sao cho I ∩ T =

φ , thế thì tồn tại một iđêan nguyên tố P của S sao cho P chứa I và P ∩ T = φ .
(3) Nếu I là một iđêan của S , thế thì căn rad ( I ) là giao của họ các iđêan
nguyên tố chứa I của S .


18

Chứng minh
(1) Giả sử S là một nhóm và I là iđêan của S . Khi đó I ≠ φ

nên tồn tại

a ∈ I . Vì S là một nhóm nên tồn tại b ∈ S sao cho a + b = 0 , trong đó 0 là phần tử
đơn vị của S . Vì I là iđêan của S và a ∈ I nên 0 = a + b ∈ I . Khi đó ∀x ∈ S có

x = 0 + x ∈ I nên S ⊆ I . Hiển nhiên I ⊆ S nên I = S .

Giả sử a, b ∈ S . Khi đó a + S là iđêan của S và theo giả thiết ( S là iđêan
duy nhất của S ) có a + S = S . Vì b ∈ S nên b ∈ a + S . Suy ra tồn tại c ∈ S sao
cho a + c = b , do đó phương trình a + x = b có nghiệm trong S . Vì S giao hốn
nên phương trình y + a = b cũng có nghiệm trong S . Vậy S là một nhóm.
(2) Theo bổ đề Zorn, ta chỉ cần chứng minh rằng I là iđêan nguyên tố nếu I
là tối đại trong các iđêan không giao với T . Thật vậy, giả sử a, b ∉ I , khi đó

I ∪ { a} ∪ ( a + S ) và I ∪ { b} ∪ (b + S ) đều là các iđêan của S chứa I nên có giao
với T . Suy ra tồn tại s1 , s2 ∈ S sao cho a + s1 ∈ T và b + s2 ∈ T . Từ đó

a + s1 + b + s2 ∈ T

hay a + b + s ∈ T

với s = s1 + s2 ∈ S . Vì I ∩ T = φ

nên

a + b ∉ T . Vậy I là iđêan nguyên tố.
(3) suy ra trực tiếp từ định nghĩa căn rad ( I ) và kết quả (2) ở trên.

□

2.1.3. Định nghĩa và ký hiệu.
Giả sử S là một vị nhóm giao hốn (cộng tính) với đơn vị (phần tử khơng) là
0. Khi đó phần tử s ∈ S được gọi là khả nghịch nếu tồn tại x ∈ S sao cho s + x = 0 .
Tập hợp G tất cả các phần tử khả nghịch của S tạo thành một nhóm con của S và
là nhóm con lớn nhất của S chứa 0. Một tổng hữu hạn

n

∑ si các phần tử thuộc S là
i =1

khả nghịch nếu và chỉ nếu mỗi phần tử si khả nghịch. Như vậy, S − G là một
iđêan nguyên tố của S nếu G ≠ S . Nếu H là một nhóm con tùy ý của S chứa 0,
thế thì cũng như trong trường hợp các nhóm, H cảm sinh một sự phân hoạch S
thành các lớp ghép rời nhau s + H của H . Thực tế, nếu quan hệ ~ trên S được
xác định bởi a ~ b nếu a = b + h với h ∈ H nào đó, thế thì ~ là một quan hệ tương
đương trên S và s + H là lớp tương đương chứa s ∈ S .


19

Một phần tử s ∈ S được gọi là giản ước được nếu s + a = s + b kéo theo

a = b đối với a, b ∈ S . Giả sử C là tập hợp tất cả các phần tử giản ước được của
nửa nhóm S và C ≠ φ . Thế thì C là nửa nhóm con của S . Khi đó một tổng hữu
n

hạn

∑ si
i =1

các phần tử thuộc C nếu và chỉ nếu mỗi si ∈ C , và từ đó S − C là một

iđêan nguyên tố của S nếu S ≠ C . Trong trường hợp S = C , ta nói rằng S là một
nửa nhóm giản ước được.
Một kết quả quen thuộc trong lý thuyết nhóm sơ cấp phát biểu rằng nhóm

giản ước được hữu hạn là một nhóm. Hiển nhiên, một nửa nhóm con của một
nhóm là giản ước được. Định lý 2.1.4 sau đây khẳng định kết quả ngược lại.
2.1.4. Định lý. Nếu S là một nửa nhóm cộng tính (giao hốn) và C là nửa nhóm
của S sao cho mỗi phần tử thuộc C giản ước được trong S , thế thì tồn tại một
phép nhúng f từ S vào một vị nhóm giao hốn T sao cho các điều kiện sau đây
được thỏa mãn:
(1) Với mỗi c ∈ C , f (c) có một nghịch đảo trong T (mà ta sẽ ký hiệu là

− f (c) ).
(2) T = { f ( s) − f (c) s ∈ S và c ∈ C} . Vị nhóm T được xác định (bởi các
tính chất (1) và (2)) sai khác đẳng cấu nửa nhóm.
Nếu S là nửa nhóm giản ước được và S = C thế thì T là một nhóm.
Chứng minh. Chúng ta nêu lên cách xây dựng vị nhóm T tương tự như cách xây
dựng vành tất cả các số nguyên ¢ từ tập hợp các số ngun khơng âm. Giả sử

A = S × C và ~ là quan hệ trên A xác định bởi ( s1 , c1 ) ~ ( s2 , c2 ) nếu

s1 + c2 = s2 + c1 . Vì C giản ước được nên ~ là một quan hệ tương đương trên A .
Ký hiệu [ s, c ] là lớp tương đương chứa ( s, c ) và T là tập hợp tất cả các lớp tương
đương [ s, c ] với s ∈ S , c ∈ C . Thế thì T cùng với phép tốn cho bởi

[ s ,c ] +[ s ,c ] =[s
1

1

2

2

1

+ s2 , c1 + c2 ]


20

là một vị nhóm giao hốn với đơn vị (phần tử không) là (c, c), ∀c ∈ C .
Hơn nữa, ánh xạ f : S → T xác định bởi f ( s ) = [ s + c, c ] là một phép nhúng
từ S vào T . Nếu c ∈ C , thế thì f ( s) = [ 2c, c ] có nghịch đảo [ c, 2c ] trong T , và
một

phần

tử

[ s + c, c ] + [ c , 2 c ] =

tùy

ý

[ s, c ]

của

T

được

viết

dưới

dạng

f ( s ) − f (c) . Rõ ràng T được xác định (bởi các tính chất (1)

và (2)) sai khác đẳng cấu nửa nhóm, nghĩa là nếu g : S → T ' là một phép nhúng từ

S vào một vị nhóm giao hốn T ' sao cho hai điều kiện (1) và (2) được thỏa mãn
thì tồn tại một đẳng cấu nửa nhóm ϕ : T → T ' sao cho

ϕ o f = g , nghĩa là biểu

đồ sau giao hoán:

S
g

f

T

ϕ
T'

Hơn nữa , nếu S = C thế thì một phần tử tùy ý [ s, c ] của T có nghịch đảo

[ c, s ]

trong T nên T là một nhóm.
Điều này kết thúc phép chứng minh Định lý 2.1.4.

□

2.1.5. Định nghĩa. Vị nhóm thương được xây dựng trong phép chứng minh Định
lý 2.1.4 được gọi là vị nhóm thương của S theo C . Vì f là đơn cấu nên ta có thể
đồng nhất f ( s ) với s , và như vậy mỗi phần tử của T được viết dưới dạng s − c
thay thế cho f ( s) − f (c) . Nếu S giản ước được, thế thì nhóm T trong Định lý
2.1.4 được gọi là nhóm thương của S , và nếu không kể sự sai khác đẳng cấu thì T
chính là nhóm Abel nhỏ nhất mà S có thể được nhúng vào.
2.1.6. Chú ý. Từ Định nghĩa 2.1.5 và Định lý 2.1.4, ta có thể phân lớp các nửa
nhóm (giao hốn) giản ước được theo thuật ngữ các nhóm thương (Abel) của
chúng.
Ta nhắc lại rằng một nhóm Abel G được gọi là nhóm Abel phi xoắn nếu 0 là
phần tử duy nhất của G có cấp hữu hạn; G được gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần
tử của G đều có cấp hữu hạn. Thế thì từ Định lý 2.1.4 ta suy ra:


21

Giả sử S là nửa nhóm (giao hốn) giản ước được và G là nhóm thương của
nó. Thế thì G là nhóm phi xoắn nếu và chỉ nếu S thỏa mãn điều kiện:
(*) Đối với mọi số nguyên dương n và x, y ∈ S tùy ý, đẳng thức n.x = n. y
kéo theo x = y .
Từ đó ta đưa đến Định nghĩa:
Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm phi xoắn nếu điều kiện (*) được thỏa
mãn.
2.2. Vị nhóm con của nhóm cộng các số nguyên.

Trước hết, ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản về nửa nhóm
xyclic đã trình bày trong chương I, nhưng ở đây phép tốn trên nửa nhóm S được
ký hiệu theo lối cộng.
Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm xyclic nếu tồn tại phần tử a ∈ S sao
cho S = a = { a, 2a,.., na,...} . Có hai trường hợp xảy ra:
Thứ nhất, với hai số nguyên m, n khác nhau thì ma ≠ na , khi đó S đẳng cấu
với nửa nhóm cộng ¢ + tất cả các số nguyên dương, và S có cấp vô hạn.
Thứ hai, tồn tại m ≠ n nhưng ma = na , ta nhận được kết quả sau:
2.2.1. Định lý. Giả thiết rằng S = a là một nửa nhóm xyclic sao cho ma = na
với các số nguyên dương m, n khác nhau nào đó. Giả sử k là số nguyên dương
nhỏ nhất sao cho ka = ra với r < k , và giả sử

m=k −r.

(1) Đối với u ≥ v ≥ r , đẳng thức ua = va đúng nếu và chỉ nếu m chia hết

u −v.
(2) S = { a, 2a,..., (k − 1)a} có lực lượng k − 1 .
(3) G = { ra, (r + 1)a,..., (k − 1) a} là một nhóm con của S ; đơn vị của G là ha
, trong đó h là số nguyên thỏa mãn r < h < m + r − 1 và h chia hết cho m .
Phần tử a được gọi là phần tử sinh của nửa nhóm S = a ; r được gọi là chỉ
số và m được gọi là chu kỳ của a (và cũng được gọi là chỉ số và chu kỳ của

a = S ); còn số nguyên r + m − 1 được gọi là cấp của a (và cũng được gọi là cấp
của a = S ).


22

Nếu a hữu hạn thì phần tử a được gọi là tuần hồn. Nửa nhóm S được gọi

là nửa nhóm tuần hoàn nếu mọi phần tử của S tuần hoàn. Nếu a vơ hạn thì phần
tử a được gọi là khơng tuần hồn. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm khơng tuần
hồn nếu mọi phần tử khác đơn vị (nếu có) của S khơng tuần hồn.
Chỉ số và chu kỳ của một nửa nhóm xyclic xác định duy nhất sai khác đẳng
cấu. Hơn nữa, đối với hai số nguyên dương r và m , tồn tại nửa nhóm xyclic
C ( r , m) chỉ số r và chu kỳ m . Một trong các nửa nhóm như vậy là nửa nhóm

nhận được sinh bởi lớp X trong ¢ [ X ]

(X

r +m

− X r ) . Chúng ta chú ý rằng C (r , m)

là một nhóm nếu và chỉ nếu r = 1 , hơn nữa C (1, m) là nhóm xyclic cấp m . Mặt
khác, mỗi nửa nhóm xyclic C ( r , m) chứa một lũy đẳng duy nhất (chú ý rằng nếu

S là một nửa nhóm được ký hiệu theo lối cộng thì phần tử e ∈ S được gọi là phần
tử lũy đẳng nếu thỏa mãn điều kiện e + e = e ).
Nửa nhóm cộng ¢ + tất cả các số ngun dương là nửa nhóm xyclic vơ hạn và
nửa nhóm cộng các số ngun khơng âm ¥ là vị nhóm nhận được từ ¢ + bằng
cách bổ sung thêm phần tử khơng. Mặt khác, Định lý cơ bản của Số học chứng tỏ
rằng nửa nhóm nhân ¢ + là tổng trực tiếp yếu của một số đếm được các bản copy
theo nghĩa sau đây:
2.2.2. Định nghĩa. Giả sử S là một vị nhóm cộng tính với phần tử khơng là 0.
Nếu { Sα } α∈I là một họ các vị nhóm con của S chứa 0 thỏa mãn điều kiện : mỗi
phần tử của S biểu diễn được dưới dạng

n

∑ sαi
i =1

với sαi ∈ Sαi đối với mỗi i (trong

đó α i ∈ I , ∀i = 1, 2,..., n ), và nếu mỗi đẳng thức

n

n

i =1

i =1

∑ sαi = ∑ tαi kéo theo sαi = tαi

(với mỗi i = 1, 2,..., n ), thế thì S được gọi là tổng trực tiếp yếu (trong) của họ

{ Sα } α∈I .
W
Ký hiệu S = ∑ Sα .

α∈I


23
W
Sα và Sα ∩ ∑ S β = { 0}

Từ định nghĩa suy ra rằng nếu S = ∑ Sα thì S = α∑
β ≠α
∈I

α∈I

đối với mỗi α ∈ I , nhưng hai điều kiện trên không đảm bảo S là tổng trực tiếp yếu

{ Sα } α∈I .

của họ

Trong trường hợp I hữu hạn, I = { 1, 2,..., n} thì ta viết
n

S = S1 ⊕ S 2 ⊕ ... ⊕ S n hay S = ⊕ Si . Tr v trng hp (Â + , ã) , gi sử p1 < p2 < ...
i =1

{ }

j
là tập hợp các số nguyên tố và Si là vị nhóm con pi

∞
j =0

của ¢ + đối với mỗi i .

Thế thì ¢ + là tổng (hoặc tích) trực tiếp yếu của họ { Si } i =0 .
∞

2.2.3. Định nghĩa. Các vị nhóm con của vị nhóm cộng ¥ được gọi là các vị nhóm
số (numberical monoids).
Nếu S là một vị nhóm số khác khơng, giả sử d là ước chung lớn nhất

( g. c. d )

của các phần tử thuộc S . Thế thì S = d . T trong đó T ≅ S và g . c. d

của các phần tử thuộc T bằng 1 ; chúng ta gọi vị nhóm số T như vậy là nguyên
thủy. Để xác định tất cả các vị nhóm số, ta cần xác định các vị nhóm nguyên thủy.
Trước hết ta chứng minh các kết quả sau:
2.2.4. Định lý. Giả sử a và b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Nếu

n ≥ (a − 1) (b − 1) , thế thì tồn tại các số nguyên không âm x và y sao cho
n = xa + yb .
Chứng minh. Trường hợp a hoặc b bằng 1 là tầm thường, vì vậy chúng ta có thể
giả thiết rằng 1 < a < b . Chúng ta viết ib = qi a + ri , trong đó 0 ≤ ri < a và

0 ≤ i ≤ a − 1 . Vì b ≡ 1 (mod a) nên tập hợp { ri } i =0 là một tập đầy đủ các thặng dư
a −1

mod a .
Nếu n ≥ (a − 1) (b − 1) , chúng ta viết n = ta + r , trong đó 0 ≤ r < a , và từ đó

r ∈{ ri } i =0 .
a −1

Nếu

r = rj ,

thế

thì

t ≥ qj;

đối

với

t < qj

kéo

theo


24

ta + rj = n < q j a + ri = jb .

jb − n

cho

a . Nhưng

Do đó t ≥ q j và do đó n = (t − q j ) a + q j a + rj = (t − q j ) a + jb .

□

Do

đó

chia

hết

jb − (a − 1) (b − 1) ≤ ( a − 1) ; mâu thuẫn.

Từ Định lý 2.2.4 suy ra rằng vị nhóm số chứa hai số nguyên dương nguyên
tố cùng nhau sẽ chứa một iđêan k + ¥ = {x ∈ ¥

x ≥ k } của ¥ , trong đó k là

một số nguyên dương nào đó. Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng mỗi vị nhóm số
nguyên thủy khác không chứa một cặp số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.
2.2.5. Định lý. Nếu S là một vị nhóm số nguyên thủy khác không, thế thì tồn tại
các số nguyên dương a, b ∈ S sao cho gcd { a, b} = 1 .

{

Chứng minh. Tồn tại một tập con hữu hạn a1, a2 ,..., an

}

của S ∩ ¢ + với g .c.d

bằng 1. Chọn các số nguyên x1 , x2 ,..., xn sao cho 1 = x1a1 + ... + xn an . Thế thì
1 + [ k (a1 + ... + an−1 ) − xn ] an = ( x1 + kan ) a1 + ... + ( xn −1 + kan ) an −1

đối với mỗi số

nguyên k , và đối với k đủ lớn, mỗi xi + kxn là các số dương sao cho
n −1

∑ ( xi + kan ) ai = 1 + [ k (a1 + ... + an−1 ) − xn ] an ∈ S

và nguyên tố cùng nhau với

i =1

an ∈ S .

□

2.2.6. Định lý. Giả sử S là một vị nhóm số khác khơng và giả sử d là ước chung
lớn nhất ( g .c.d ) của các phần tử thuộc S .
(1) Tồn tại một số nguyên dương k sao cho S chứa md đối với mỗi m ≥ k .
(2) S hữu hạn sinh. Từ đó, ¥ thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng ( a.c.c ) trên
các vị nhóm con.
(3) Tồn tại một tập hợp hữu hạn B của các phần tử sinh vị nhóm S sao cho
nếu C là một tập sinh tùy ý của S (xét như một vị nhóm) thế thì B ⊆ C .
Chứng minh. Khẳng định (1) suy ra trực tiếp từ các Định lý 2.2.4 và 2.2.5.


25

Để chứng minh (2), chúng ta chú ý rằng tập hợp

{ si }

t
i =1

các phần tử thuộc S

mà bé hơn k d là hữu hạn, và S được sinh bởi:

{ si }

t
i =1

∪ { k d , (k + 1) d ,..., (2k − 1) d } .

Khẳng định nói rằng mỗi vị nhóm con của ¥ hữu hạn sinh suy ra rằng a.c.c
trên các vị nhóm con được thỏa mãn trong ¥ .
Để chứng minh (3), giả sử b1 là phần tử dương nhỏ nhất của S . Thế thì b1
thuộc vào mỗi tập sinh C của S . Nếu { b1} sinh ra S như một vị nhóm, thế thì hãy
lấy B = { b1} . Ngược lại, giả sử b2 là phần tử nhỏ nhất của S khơng nằm trong vị
nhóm b
1

0

được sinh bởi b1 . Thế thì { b1 , b2 } ⊆ C đối với tập sinh C bất kỳ của

0
S . Tiếp tục quá trình này, ta nhận được b1, b2 ,...,bn = S đối với n nào đó vì ¥

thỏa mãn điều kiện a.c.c trên các vị nhóm con, và ta hãy lấy B = { b1 , b2 ,..., bn } .

□

Chúng ta đã thấy rằng mỗi vị nhóm số đẳng cấu với một vị nhóm nguyên
thủy. Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng các vị nhóm số ngun thủy khác nhau
khơng đẳng cấu với nhau.
2.2.7. Định lý. Giả thiết rằng S và T là các vị nhóm số. Nếu ϕ : S → T là một
đồng cấu, thế thì tồn tại số hữu tỷ q không âm sao cho h ( s) = qs , với mỗi s ∈ S .
Như vậy, ϕ hoặc đơn ánh, hoặc ánh xạ tất cả các phần tử của S thành 0. Nếu S
và T là các vị nhóm nguyên thủy và ϕ là một đẳng cấu từ S lên T thế thì S = T .
Chứng minh. Giả sử s là một phần tử khác không của S và t = ϕ ( s ) , giả sử

q = t . Lấy s ' ∈ S .
s
Nếu s ' = 0 thế thì ϕ ( s ') = 0 = qs ' .
Nếu s ' ≠ 0 , thế thì ϕ ( ss ') = s ϕ ( s ') = s 'ϕ ( s ) nên ϕ ( s ') = qs ' .
Như vậy ϕ hoặc là đơn ánh hoặc là ánh xạ không tùy theo q ≠ 0 hay q = 0 .
Nếu S và T là các vị nhóm nguyên thủy và ϕ là tồn ánh , thế thì tính nguyên