Phép nghịch đảo và một số ứng dụng trong các bài toán hình học phẳng

I. ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình Hình học của các lớp Trung học phổ thơng đã có
giới thiệu về phương tích của điểm đối với đường trịn và các phép biến hình
trong mặt phẳng, trong đó phép biến hình sử dụng phương tích (phép NGHỊCH
ĐẢO) là một cơng cụ rất hữu hiệu khi giải tốn. Nhiều bài tốn hay có thể giải

tốt bằng cơng cụ này. Để tìm hiểu thêm về “phép nghịch đảo” tôi chọn đề tài:
“Phép nghịch đảo và một số ứng dụng trong các bài tốn hình học phẳng”.

4


II. NỘI DUNG
§ 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT
CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO
1. Định nghĩa
Cho một điểm O cố định và một số k  0. Nếu ứng với mỗi điểm M của
mặt phẳng khác với điểm O ta tìm được điểm M’ trên đường thẳng OM sao cho
OM . OM' = k thì phép biến hình f(M) = M’ gọi là phép nghịch đảo cực O,
phương tích k. Ta thường kí hiệu phép nghịch đảo đó là f(O, k). Phép nghịch đảo
f hoàn toàn được xác định nếu biết cực O và phương tích k của nó.
2. Các tính chất
a) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp vì OM . OM' = OM' . OM = k
nghĩa là nếu M’ = f(M) thì ta cũng có M = f(M’). Do đó f o f(M) = M hay f2 là
phép đồng nhất.
b) Nếu k > 0 thì hai điểm M và M’ = f(M) cùng nằm về một phía đối với
điểm O. Khi đó tập hợp những điểm kép của phép nghịch đảo f(O, k) là đường
tròn tâm O và có bán kính bằng

k . Ta gọi đường trịn này là đường tròn

nghịch đảo của phép nghịch đảo f(O, k).

k

2

Ta có OM . OM' = ( k ) = k (H1)

O
M’

Cần lưu ý rằng nếu điểm M nằm ở
miền trong của đường trịn nghịch đảo thì

M

Hình 1

điểm M’ = f(M) sẽ nằm ngồi đường trịn
A

nghịch đảo và ngược lại.
c) Nếu k < 0 thì hai điểm M và M’ =
f(M) nằm về hai phía đối với điểm O. Khi đó
ta khơng có điểm kép và do đó khơng có
đường trịn nghịch đảo vì k < 0.

M'

N'

O

M

N

B

Hình 2
Vì OM . OM' = k không đổi nên nếu điểm M tiến lại gần điểm O thì
5


điểm M’ càng đi xa điểm O). Ta vẽ đường trịn đường kính MM’ và từ O vẽ
đường thẳng vng góc với MM’ cắt đường trịn đó tại A và B. Ta có OA . OB
= OM . OM' = k.
Nếu N’ = f(N) qua phép nghịch đảo với k < 0 đã cho thì ta cũng có OA .
OB = ON . ON' = OM . OM' (H2).
Khi đó ta có bốn điểm N, N’, A, B cùng nằm trên một đường trịn.
3. Các định lí
Định lý 1. Nếu phép nghịch đảo f(O, k) có phương tích k > 0 thì mọi
đường trịn đi qua hai điểm tương ứng M và M’ = f(M) đều trực giao với
đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo đó.
Chứng minh.
Theo giả thiết ta có OM . OM' = k.

k

Giả sử (C) là một đường trịn bất kì

O

đi qua M và M’ = f(M). (H3).

C
M

Khi đó

P (O/(C) = OM . OM' = ( k )2

M'

(1).

Hình 3

Nếu đường trịn nghịch đảo tâm O có bán kính R =

k thì hệ thức (1)

chứng tỏ rằng đường tròn (C) trực giao với đường tròn (O). Ta suy ra mọi
đường tròn qua M và M’ (tạo nên một chùm đường tròn) đều trực giao với
đường tròn nghịch đảo tâm O bán kính R =

k.

Hệ quả. Qua phép nghịch đảo với phương tích k > 0. Mọi đường tròn

trực giao với đường tròn nghịch đảo đều biến thành chính nó.
Định lí 2. Cho phép nghịch đảo f(O, k) với k > 0. Nếu có hai đường
trịnn trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O và cắt nhau tại M, M’ thì hai
điểm này là hai điểm tương ứng của phép nghịch đảo f(O, k) đã cho.
Chứng minh. Giả sử hai đường tròn (C1), (C2) trực giao với đường tròn
nghịch đảo (O) và chúng cắt nhau ở M và M’ (H4).

6


Trục đẳng phương MM’ của hai
đường tròn (C1) và (C2) đi qua tâm O của
đường tròn nghịch đảo và điểm O nằm
C1

ngồi đoạn MM’ vì O phải nằm ngồi hai
M

O

đường tròn (C1) và (C2). Đường tròn (O)

M'

trực giao với (C1) và (C2) nên ta có:

C2

P (O/(C ) = P (O/(C ) = ( k )2.
1

2

Do đó OM . OM' = k là đpcm.
Hình 4
Định lí 3. Đối với một phép nghịch đảo f(O, k) bất kì, hai điểm A, B
khơng thẳng hàng với cực nghịch đảo, cùng với ảnh của chúng là A’ = f(A), B’
A'

= f(B) cùng nằm trên một đường trịn.
A

Chứng minh.
Vì OA . OA' = OB . OB' = k nên
bốn điểm A, A’, B’, B cùng nằm trên một

o

O

B

B'

Hình 5

đường trịn (H5).

Định lí 4. Tích của hai phép nghịch đảo có cùng cực O là f(O, k) và
f’(O, k’) là một phép vị tự tâm O tỉ số

k'
.
k

Chứng minh.
Nếu phép nghịch đảo f(O, k) biến M thành M’ và phép nghịch đảo f’(O,
k’) biến M’ thành M thì:
OM . OM' = k, OM' . OM'' = k’
Do đó ta suy ra

OM' ' k '
=
k
OM'

Vậy tích của hai phép nghịch đảo đó là phép vị tự tâm O tỉ số

k'
.
k

Nói chung tích của hai phép nói trên khơng giao hốn trừ trường hợp | k |
= | k’|.

7


Hệ quả. Hình dạng ảnh của một hình H trong một phép nghịch đảo
khơng phụ thuộc vào phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của

cực nghịch đảo.
Thật vậy, giả sử H1 là ảnh của hình H trong phép nghịch đảo f 1(O, k1) và
H2 là ảnh của hình H trong phép nghịch đảo f2(O, k2), khi đó:
H1 = f1(H), H2 = f2(H)  H = f2-1(H2) = f2(H2)
Do đó:
H1 = f1[f2 (H2)] = f1 o f2(H2) = V(H2)
Với V là một phép vị tự. Do đó H1 và H2 là hai hình đồng dạng.
Định lí 5.

Cho hai điểm A và B và ảnh A’, B’ của chúng trong một

phép nghịch đảo cực O, phương tích k. Độ dài các đoạn thẳng AB và A’B’ liên
hệ với nhau bởi hệ thức: A’B’ = | k ||

AB
OA.OB

Chứng minh:
Ta xét hai trường hợp:
a) Ba điểm O, A, B không thẳng hàng (H6).

A'

Ta có OA.OA’ = OB.OB’ hay

A

OA OB'

.

OB OA'

Vậy hai tam giác OAB và OB’A’ đồng dạng
O

B'

B

Hình 6

nên:

A' B' OA' OA'.OA
|k|



.
AB OB OA.OB OA.OB

Do đó: A’B’ = | k |

AB
.
OA.OB

b) Ba điểm O, A, B thẳng hàng.
Khi đó ta có A' B' OB'  OA ' 
A' B' k.

k
k

OB OA

( OA  OB)
 AB
k
.
OA.OB
OA.OB

Lấy trị số tuyệt đối hai vế ta có: A’B’ = | k |

AB
.
OA.OB
8


§ 2. SỰ BẢO TỒN GÓC QUA PHÉP NGHỊCH ĐẢO
1. Định nghĩa
Cho hai đường cong (C1) và (C2) cắt nhau tại một điểm A và tạiđó chúng
có các tiếp tuyến. Ta gọi góc giữa hai tiếp tuyến đó là góc của hai đường cong
đã cho tại điểm A.
2. Bổ đề
Cho phép nghịch đảo f(O, k) biến đường cong (C ) thành đường cong
(C’). Nếu A, A' là hai điểm tương ứng trên (C ), (C ') và tại đó chúng có các
tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường trung trực của

đoàn thẳng AA'.
3. Định lí. Phép nghịch đảo bảo tồn góc.
Chứng minh:
Giả sử qua phép nghịch đảo f, hai đường cong (C) và (D) cắt nhau
tại một điểm A biến thành các đường cong (C') và (D') cắt nhau tại điểm A' =
f(A) (H8).
Theo bổ đề các tiếp tuyến At và
A't' của (C) và (C') tại A đối xứng với

d

nhau qua đường trung trực d của đoạn
AA'. Tương tự các tiếp tuyến Au và A'u'
của (D) và (D') tại A và A' cũng đối

t'

(C) t
A

(C')
A'

xứng với nhau qua d. Vậy hai góc (At,
Au) và (A't', Au') đối xứng với nhau qua

(D) u
u'

(D')

d nên chúng có độ lớn hình học bằng
nhau nhưng ngược hướng.

Hình 7

Ta có (A't', A'u') = - (At, Au).

9


§3. ẢNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
QUA PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Từ định nghĩa, ta suy ra rằng phép nghịch đảo biến mỗi đường thẳng đi
qua cực nghịch đảo thành chính đường trịn đó. Cịn đối với đường thẳng
khơng đi qua cực nghịch đảo thì ảnh của nó được xác định bởi các định lí sau
đây.
1. Định lí 1. Phép nghịch đảo biến đường thẳng không đi qua cực
nghịch đảo O thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo trừ điểm O.
Ngược lại một đường tròn đi qua cực nghịch đảo O (trừ điểm O) thì có
ảnh là một đường thẳng khơng đi qua cực nghịch đảo đó.
Hệ quả. Nếu đường trịn tâm I biến thàng đường thẳng d thì tâm I của
nó biến thành điểm đối xứng I' của cực nghịch đảo O qua d. (H9).
2. Định lí 2. Một đường thẳng và một đường trịn có thể coi là ảnh của
nhau trong hai phép nghịch đảo, nếu đường thẳng khơng tiếp xúc với đường
trịn.
3.Định lí 3. Qua một phép nghịch đảo, một đường trịn khơng đi qua
cực nghịch đảo O biến thành một đường trịn khơng đi qua diểm O đó.

10

§4. PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỐI VỚI HAI ĐƯỜNG TRÒN
Ta biết rằng một phép nghịch đảo f(O, k) một đường tròn khơng đi qua
cực nghịch đảo O có ảnh là một đường tròn và cực nghịch đảo là một tâm vị tự
của hai đường trịn đó.
Ngược lại nếu cho trước hai đường tròn C(I, R) và C'(I',R'), ta hãy xét
xem chúng có thể là ảnh của nhau qua một phép nghịch đảo nào đó hay khơng.
Ta hãy xét các trường hợp sau:
1. Trường hợp tổng quát
Trường hợp hai đường tròn (C) và (C') khơng bằng nhau và khơng tiếp
R'

R'

xúc nhau, có hai phép vị tự VOR và V'OR' biến đường tròn (C) thành đường tròn
(C'). Các tâm vị tự O và O' khơng nằm trên hai đường trịn đó. Khi đó có hai
phép nghịch đảo biến (C) thành (C') (H13).
d
R'
R
I

O

O'

H

.I'

B
(C'
)

Hình 8

a) Phép nghịch đảo tâm O với phương tích k = lp =

R'
p trong đó p là
R

phương tích của điểm O đối với đường tròn (C).
b) Phép nghịch đảo tâm O' với phương tích k'=

R'
p' trong đó p' là
R

phương tích của điểm O' đối với đường tròn (C).
2. Các trường hợp đặc biệt.
a) Nếu hai đường tròn (C) và (C') bằng nhau và khơng tiếp xúc nhau thì
có một phép vị tự O' biến đường trịn này thành đường trịn kia.
(C')

(C)
I

O'

I'

11
Hình 9


Do đó ta chỉ có một phép nghịch đảo cực O' với phương tích k' = -

R'
p',
R

trong đó p' là phương tích của điểm O' đối với đường trịn (C) (bằng phương
tích của O' đối với đường trịn (C')). (H14).
b) Nếu hai đường tròn (C) và (C') tiếp xúc với nhau tại điểm A nhưng
khơng bằng nhau thì tiếp điểm là tâm vị tự nhưng không phải là cực nghịch
đảo và chỉ có tâm vị tự cịn lại là cực O của một phép nghịch đảo (H15).

I'

(C'
)

O

I

A

A

(C)

(C)

O
(C')

Hình 10
c) Nếu hai đường tròn (C) và (C')
bằng nhau tiếp xúc với nhau thì khơng có
phép nghịch đảo nào biến đường trịn này
thành đường trịn kia. (H16).

.I

.I'

(C)

(C')

Hình 11

Chú ý: Giả sử phép nghịch đảo f(O, k) biến đường tròn (C) thành đường
tròn (C') thì tâm I của đường trịn (C) khơng biến thành tâm I' của đường tròn (C').
Gọi J = f(I), muốn tìm J ta vẽ qua I một đường thẳng d bất kỳ và như vậy d vng
góc với (C). Vì d không qua cực O nên d' = f(d) là đường tròn đi qua O và trực giao
với đường tròn (C') = f(C). Đường kính AB của đường trịn (C') đi qua O cắt đường

tròn d' tại J và O. Ta có A, B, J, O là một hàng điểm điều hồ vì d' trực giao với
đường trịn (C'). Vậy ta có (ABJO) = -1 và O, J là hai điểm liên hợp đối với đường
tròn (C') (xem H12).

12


§5. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI TOÁN
Do phép nghịch đảo có khả năng biến đường trịn thành đường thẳng
nên người ta khai thác khả năng này của phép nghịch đảo để giải toán. Muốn
vậy, trong các bài toán người ta thường chọn cực nghịch đảo là giao điểm của
một số đường trịn và các tính chất được đề cập đến phải là các bất biến của
phép nghịch đảo như độ lớn của góc, tính trực giao của các đường, sự tiếp xúc
của các đường ...
1. Bài toán 1. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) trực giao với nhau và
cắt nhau tại ở A và B. Ta lấy các điểm C và D trên hai đường tròn đó sao cho
đường thẳng CD khơng đi qua A và B. Chứng minh rằng các đường tròn
(ACD) và (BCD) lúc đó trực giao với nhau. (H17a).
Giải.
a) Cách giải thứ 1: Dùng phép nghịch đảo f cực A biến các đường tròn
trực giao (O1) và (O2) thành các đường thẳng (O'1), (O'2) vng góc với nhau
tại một điểm B' = f(B). Ta có C' = f(C), D' = f(D) là các điểm trên (O' 1) và
(O'2). (H17b).
Khi đó đường trịn (BCD) biến thành đường trịn (B'C'D').
B'

D'

C'
A

C

.O
1

O2.
1

(O'2)

(O'1)
1

D

Hình 12b

B

(O )

1
Do B'C'
vng góc với B'D' nên C'D' là đường kính của đường trịn
Hình 12a
(B'C'D'), có nghĩa là C'D' trực giao với đường trịn (B'C'D'). Vì C'D' là ảnh của

đường trịn (ACD) nên ta suy ra đường tròn này trực giao với đường tròn
(BCD) do phép nghịch đảo bảo tồn góc.
13

Nếu chọn B làm cực nghịch đảo thì ta cũng có được cách giải tương tự
như trên.
b) Cách giải thứ hai: Dùng phép nghịch đảo j cực C biến đường tròn
(O1) thành đường thẳng (O'1) biến đường tròn (O2) thành đường tròn (O'2),
trực giao với đường thẳng (O'1) tại A' = j(A) và B' = j(B). Còn điểm D biến
thành điểm D' thuộc đường trịn (O'2). (H18).
D'

Vì A'B' là đường kính của
đường trịn (O'2) nên A'D' vng góc
với B'D' tại D'. Từ đó ta suy ra sự trực

B'

A'

(O'1)

giao của các đường trịn(ACD) và
(BCD).
Nếu chọn B làm cực nghịch đảo

(O2)

Hình 13

ta cũng có cách giải tương tự.

2. Bài tốn 2. Cho tam giác ABC và các đường cao BH, CK. Chứng
minh rằng đường thẳng HK song song với tiếp tuyến tại A của đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải.
Vì BHC = BKC = 900 nên các điểm H và K nằm trên đường trịn đường
kính BC. Do đó ta có: AB.AK AC.AH .
Với phép nghịch đảo f tâm A và phương tích
k = AB.AK AC.AH ,
A

điểm B biến thành điểm K, điểm C

H

biến thành điểm H. Khi đó đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABC biến thành
đường thẳng KH vì nó đi qua cực

K
B

C

nghịch đảo A. Mặt khác qua phép
nghịch đảo f này tiếp tuyến của đường

Hình 14

trịn ngoại tiếp tam giác

14


ABC đi qua cực nghịch đảo A nên biến thành chính nó. Do đó tiếp tuyến này
song song với KH vì phép nghịch đảo bảo tồn góc.
3. Bài tốn 3. Cho một đường tròn cố định tâm O và một dây cung cố
định AB của đường trịn đó. Một điểm M di động trên đường tròn (O). Gọi M'
là giao điểm thứ hai của các đường tròn qua M, lần lượt tiếp xúc với đường
thẳng AB tại A và B. Hãy tìm tập hợp các điểm M'.
Giải.
Gọi (C) và (C') là hai đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại A và
B. Đờng thẳng MM' là trục đẳng phương của (C) và (C') phải đi qua trung
điểm I của đoạn AB. Ta có
(C)

IM . IM' = IA2 = IB2 (H20)

M

Điểm M' là ảnh của M trong phép
nghịch đảo cực I và phương tích

k=

O.

IA2 = IB2.
Điểm M vạch nên đường tròn (O)

A

(C')

M'

I

nên điểm M' vạch nên đường tròn (O') là

O'

ảnh của (O) trong phép nghịch đảo trên.

H

Đờng tròn (O) qua hai điểm A, B là hai

Hình 15

B

điểm bất biến của
phép nghịch đảo. Vậy (O') là đường tròn đi qua ba điểm A, B, M'. Vẽ tam giác
vuông OAH.
Ta có: IO.IH = IA.IB hay IA2 = IO'.IH với O' là điểm đối xứng của O
qua AB và ta có IO'   IO .
Vậy: Tập hợp các điểm M' là đường tròn (O') đối xứng với đường tròn
tâm O qua đường thẳng AB.

15

4. Bài tốn 4. Định lí Ptolémée
Điều kiện cần và đủ để một tứ giác lồi nội tiếp đợc là tích hai đường
chéo của nó bằng tích của các cạnh đối diện.

A'

Chứng minh.

A

Cho một tứ giác lồi ABCD. Gọi
f là một phép nghịch đảo cực D

B

B'

D

phương tích k biến A, B, C lần lợt

C

thành A', B', C'. Ta biết rằng điều kiện
cần và đủ để bốn điểm A, B, C, D
cùng nằm trên một đường

Hình 16

C'

trịn là ba điểm A', B', C' thẳng hàng. Điều kiện thẳng hàng của ba điểm A', B',
C' là:

A'C' = A'B' + B'C' (H21).

hay

|k|

AC
AB
BC
= |k|
+ |k|
.
DA.DC
DA.DB
DB.DC

Nhân hai vế với DA.DB.DC . | k | ta đợc:
AC. DB = AB. CD + AD.BC là đpcm.
5. Bài toán 5. Hệ thức Euler
Cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý nằm trên đường thẳng m. Gọi ảnh của A,
B, C trong phép nghịch đảo cực D, phương tích k là A', B', C'. Ta ln ln có:
B' C' + C' A' + A' B' = 0
Do A' B' = k.

 AB
 BC
 CA
, B' C' = k.
, C' A' = k.
DC.DA
DB.DC'
DC.DA

Ta có:

k
k
k
- CA
-  AB
=0
DB.DC
DC.DA
DA.DB

- BC

Nhân 2 vế với - DA.DB.DC . k ta được: DA.BC  DB.CA  DC.AC = 0
ta được hệ thức Euler là đpcm.

16


6. Bài toán 6

Chứng minh rằng phép nghịch đảo bảo tồn hàng điểm điều hoà với cực
nghịch đảo ở trên đường thẳng chứa hàng điểm đó.
Chứng minh
Gọi I là trung điểm của AB. Theo hệ

A

I C

D

. .

B.

thức Newton ta có
(ABCD) = -1  IA2 = IC.ID
Hình 17

 IB2 = IC.ID

Chọn I làm cực nghịch đảo với phương tích k= IA 2 = IB2 ta có đường
trịn nghịch đảo là đường trịn đường kính AB. Qua phép nghịch đảo này ta có:
A  A, B  B, C  D, D  C.
(ABCD) = -1  (ABCD) = -1
7. Bài toán 7.
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và d là đường trung trực của AB. Một
đường tròn (O) thay đổi đi qua A, B cắt d ở D và E. Các đường thẳng CD và
CE cắt đường tròn (O) ở D' và E'. Tìm tập hợp các điểm D' và E'.
Giải

Ta có CD.CD' CE.CE ' CA.CB = k
(k khơng đổi)
 D', E' lần lợt là ảnh của D, E trong
phép nghịch đảo cực C, phương tích k.

D' D'
I

A

B

C

O

.

E'
E

Hình 18
 Tập hợp các điểm D' và E' là đường tròn ảnh của đường thẳng d qua

phép nghịch đảo trên. Đờng tròn này đi qua các điểm C, D', E' và cắt AB tại I
sao cho (ABIC) = -1

17

8. Bài toán 8
Cho tam giác ABC. Gọi O, I lần lợt là tâm các đường tròn ngoại tiếp và
nội tiếp có bán kính R và r. Gọi OI = d. Chứng minh rằng d 2 = R2 - 2Rr (công
A

thức Euler)
Chứng minh


Gọi M, N, P lần lợt là tiếp điểm của
M

đường tròn (I) với các cạnh AB, AC, BC và

B'

A', B', C' là các giao điểm của AI, BI, CI
với MN, MP, NP.


A'

B

Ta có IA.IA' IB.IB' IC.IC' r 2

N

I C'
P

C

Hình 19

 A', B', C' là ảnh của A, B, C trong phép nghịch đảo tâm I, phương
tích k = r2  đường tròn (A'B'C') là ảnh của đường tròn (ABC) trong phép
nghịch đảo đó, mà đường trịn (A'B'C') chính là đường trịn Euler của tâm giác
MNP và có bán kính

r
. Theo tính chất của phép nghịch đảo, đường trịn
2

(A'B'C') là ảnh của đường tròn (ABC) qua phép vị tự tâm I với tỷ số vị tự  =
k
với p = P (I)/(ABC).
p
r
r
Mặt khác || = 2 hay  =
và p = P (I)/(ABC) = IO2 - R2 = d2 - R2
2R
R
Vì I nằm trong đường trịn (O) nên p = P (I)/(ABC) < O
|k|
r
|k|
r
r2




Do đó || =
hay
| p | 2R | d 2  R 2 |
2R R 2  d 2
Suy ra d2 = R2 - 2Rr

18


III. KẾT LUẬN
Qua các nội dung vừa trình bày tơi muốn đưa ra một hệ thống lý thuyết
tương đối đầy đủ và một số các ứng dụng cụ thể về nhiều khía cạnh khác nhau
trong Hình học phẳng của phép biến hình nghịch đảo, trên cơ sở đó có thể phát
triển, tìm tịi, chuyển hố thành một cơng cụ trong học tập, giải tốn hình học..
Vinh, tháng 04 năm 2010

Nguyễn Đức Toàn

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Văn Như Cương, Hình học 10, NXB Giáo dục, Hà nội, 2001.
2. V.V. PRAXOLOV, Các bài tốn về hình học phẳng, NXB Hải Phịng,
1994.
3. Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục,
Hà Nội, 1997.

4. Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng
giải Tốn hình học, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2005
5. Tạp chí Tốn học và tuổi trẻ.
6. Các đề thi vơ địch Tốn các nước (19 nước), NXB Hải Phòng, 1993.

20