tiểu luận tìm hiểu về phép toán đối đạo hàm liên quan đến bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số và ứng dụng của nó

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.................................................................................................................. 1
Chương I. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG R n ..................................... 3
1.1. Điểm bất động....................................................................................................3
1.2. Bất đẳng thức biến phân.................................................................................... 3
Chương II. CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỐI ĐẠO HÀM CỦA
ÁNH XẠ ĐA TRỊ.....................................................................................................5
2.1. Các khái niệm và tính chất cơ sở........................................................................5
2.2. Các phép tính cơ bản liên quan đến đối đạo hàm của ánh xạ đa trị…………...6
Chương III. TÍNH CHẤT AUBIN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM.............................. 20
3.1. Các khái niệm và tính chất cơ sở......................................................................20
3.2. Tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm.................................................................22
KẾT LUẬN............................................................................................................ 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................... 35


2

MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức biến phân được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác
nhau như kinh tế, kỹ thuật, vật lý toán…. Một trong những hướng nghiên cứu quan
trọng của bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng phương pháp giải. Có rất nhiều
phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đã được nghiên cứu như: phương pháp
dựa trên kỹ thuật hàm chắn, phương pháp dựa trên cách tiếp cận điểm bất động,
phương pháp dựa trên tính ổn định nghiệm của bài toán.... Gần đây, bài toán về
tính ổn định nghiệm của bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số là một đề tài
được nhiều người quan tâm nghiên cứu.
Năm 1979 S. M. Robinson (xem [7]) đã xét đến tính chất liên tục Lipschitz của
ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số. Trong
khoảng những năm 1993-1996 B. S. Mordukhovich (xem [5], [6]) công bố một

loạt bài báo quan trọng ở đó ơng đưa ra nhiều ý tưởng và kỹ thuật mới, phát triển
một phiên bản vô hạn chiều sâu sắc và đẹp đẽ cho lý thuyết vi phân của ông, đồng
thời chỉ ra rằng một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị (như tính giả-Lipschitz
theo nghĩa Aubin, tính chính quy mêtric, tính mở địa phương) có thể đặc trưng
bằng cách sử dụng công cụ đối đạo hàm qua giới hạn.
Dưới sự hướng dẫn tận tình của cơ giáo Nguyễn Thị Tồn chúng tơi chọn đề tài:
“Tìm hiểu về phép toán đối đạo hàm liên quan đến bất đẳng thức biến phân
afin chứa tham số và ứng dụng của nó”, dựa trên bài báo của GS. TSKH.
Nguyễn Đơng n (xem [9], [10]). Mục đích của luận văn là tập trung nghiên cứu
tính chất Aubin và tính chính quy mêtric địa phương của các ánh xạ nghiệm của
bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số.
Với mục đích trên luận văn được chia làm ba chương:
Chương I. Bất đẳng thức biến phân trong R n .
Chương II. Các phép tính cơ bản liên quan đến đối đạo hàm của ánh xạ đa trị.
Chương III. Tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm.


3

Phần lớn các kết quả trình bày trong luận văn đã thu được bởi một số tác giả
trong các tài liệu [1], [2], [3], [8], [9], [10] và đã được trích dẫn trong luận văn.
Một số kết quả khác đã được tác giả chứng minh chi tiết dưới dạng nhận xét, bổ đề
hoặc mệnh đề. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực và thời gian có hạn nên
luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót cả về nội dung lẫn hình thức. Vì vậy, tác
giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các Thầy giáo, Cơ giáo và
những góp ý của bạn đọc.
Nhân dịp này, cho phép tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với Cô
giáo Nguyễn Thị Tồn người đã hướng dẫn nhiệt tình tác giả trong quá trình nghiên
cứu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cơ giáo trong tổ Giải tích
và trong khoa Tốn đã tận tình giảng dạy, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho

tác giả học tập và hồn thành khóa luận này.

Vinh, tháng 5 năm 2011
Tác giả


4

Chương I
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG R n
1.1. ĐIỂM BẤT ĐỘNG
1.1.1. Định nghĩa. Cho A là một tập hợp và ánh xạ F : A → A . Một điểm x ∈ A
được gọi là điểm bất động của F nếu F ( x ) = x .
Hay nói cách khác, các điểm bất động của F là nghiệm của phương trình
F ( x) = x .
1.1.2. Định nghĩa. Cho S là một không gian mêtric. Một ánh xạ F : S → S
được gọi là ánh xạ corút nếu
d ( F ( x ) , F ( y ) ) ≤ α d ( x, y ) , ∀ x, y ∈ S

(1)

và mỗi α : 0 ≤ α ≤ 1 .
Khi cho α = 1 , ánh xạ F được gọi là không giãn.
1.1.3. Định lý[`1]. Cho S là một không gian mêtric đầy đủ và F : S → S là một
ánh xạ corút. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm bất động của F .
1.1.4. Định lý (brower)[1]. Cho F là một ánh xạ liên tục từ một hình cầu đóng
B ⊂ R n vào chính nó. Khi đó F tồn tại ít nhất một điểm bất động.
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
1.2.1. Định nghĩa. Không gian đối ngẫu ( R n ) ′ của R n là không gian của tất cả
các dạng tuyến tính

a : Rn → R
x a < a, x >,
xác định trên R n .


5

1.2.2. Định lý[1]. Cho K ⊂ R n là tập compact, lồi và ánh xạ F : K → ( R n ) ′ là
liên tục. Khi đó, có một điểm x ∈ K sao cho:
< F ( x ) , y − x > ≤ 0, ∀ y ∈ K .

(2)

1.2.3. Hệ quả[1]. Cho x là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2) và giả
sử rằng x ∈ int K , phần trong của K . Khi đó, F ( x ) = 0.
1.2.4. Bài tốn. Cho K là một tập đóng, lồi trong R n và ánh xạ F : K → ( R n ) ′
là liên tục. Tìm x ∈ K sao cho
< F ( x ) , y − x > ≥ 0,

∀ y ∈ K.

(3)

Định lý sau đây, đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của Bài toán 1.2.4.
1.2.5. Định lý[1]. Cho K ⊂ R n là tập đóng, lồi và ánh xạ F : K → ( R n ) ′ là liên
tục. Điều kiện cần và đủ để Bài tốn 1.2.4 có nghiệm là tồn tại R > 0 sao cho có
một nghiệm xR ∈ K R của điều kiện (3) thỏa mãn : xR < R.
Trong đó K R = K ∩ B( 0, R ) với B( 0, R ) là hình cầu đóng tâm 0 ∈ R n , bán kính R .
1.2.6. Hệ quả[1]. Cho F : K → ( R n ) ′ thỏa mãn
< F ( x ) − F ( x0 ) , x − x0 >

x − x0

→+ ∞ khi x →+ ∞, x ∈ K ,

(4)

với x0 ∈ K bất kỳ. Khi đó, tồn tại một nghiệm của Bài toán 1.2.4.
1.2.7. Định nghĩa . Điều kiện (4) của Hệ quả 1.2.6 được gọi là điều kiện cưỡng
bức.
1.2.8. Định nghĩa. Ánh xạ F : K → ( R n ) ′ được gọi là đơn điệu nếu
< F ( x ) − F ( x′) , x − x′ > ≥ 0, ∀ x, x′ ∈ K .

(5)

Ánh xạ F được gọi là đơn điệu ngặt nếu dấu " = " của (5) xảy ra khi và chỉ khi x = x′ .


6

Chương II
CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỐI ĐẠO HÀM CỦA
ÁNH XẠ ĐA TRỊ
2.1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ
2.1.1. Định nghĩa. Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ, F: X

Y là ánh xạ từ X

vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y ( được ký hiệu là 2 Y). Ta nói F là ánh
xạ đa trị từ X vào Y. Như vậy, với mỗi x ∈ X, F(x) là một tập hợp con của Y.
Ta sử dụng ký hiệu F: X

Y để chỉ F là ánh xạ đa trị từ X vào Y.

2.1.2. Định nghĩa. Cho X và Y là các không gian định chuẩn. Đồ thị gph F ,
miền hữu hiệu dom F và miền ảnh rge F của ánh xạ đa trị F: X

Y tương ứng

được xác định bằng các công thức
gph F = { ( x, y ) ∈ X ×Y : y∈ F ( x ) } ,
dom F = { x ∈ X : F ( x ) ≠ 0} ,
và

rge F = { y∈Y : ∃ x∈ X saocho y ∈ F ( x ) } .
Ánh xạ đa trị F được gọi là có đồ thị đóng địa phương trong lân cận điểm

( x0 , y0 ) ∈ gph F

nếu tồn tại một hình cầu đóng B tâm ( x0 , y0 ) trong X × Y, có

bán kính dương mà B ∩ gph F là tập đóng trong X × Y.
2.1.3. Định nghĩa. Tập M ⊂ Rk được gọi là tập lồi đa diện nếu M có thể biểu
diễn dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa khơng gian đóng của Rk.
2.1.4. Định nghĩa. Cho Ω là một tập con của Rk. Khi đó các ký hiệu Ω , int Ω
và cone Ω tương ứng biểu thị bao đóng của Ω , phần trong của Ω , hình nón sinh
bởi Ω , nghĩa là cone Ω = { t z : z ∈Ω, t ≥ 0} .
2.1.5. Định nghĩa. Cho X, Y là các không gian Euclide, Φ: X

Y là hàm đa

trị. Khi đó, giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski của Φ(x) khi x


7

sup Φ ( x ) = { ξ ∈ Y: ∃ dãy x →x , ξ → ξ , với
→x được ký hiệu xLim
k
k
→x

ξk ∈ Φ ( xk ) , ∀ k =1,2... }.
∧

2.1.6. Định nghĩa. Cho X là không gian Euclide, Ω ⊂ X . Tập N ε ( x; Ω ) là tập
các véctơ ε - pháp tuyến Fréchet của Ω tại x∈Ω được cho bởi công thức:

∧



N ε ( x; Ω ) = v∈ X :



lim

Ω→x
u 

sup

< v, u − x >
≤ε
Pu − x P


,




(1.1)

Ω x nghĩa là u → x và u∈ Ω .
ký hiệu u →
Nếu ε = 0 thì tập (1.1) là một hình nón lồi đóng và được gọi là nón pháp tuyến
∧

Fréchet của Ω tại x và được ký hiệu bởi N ( x ; Ω ) .
2.1.7. Định nghĩa. Cho X là khơng gian Euclide, Ω ⊂ X. Hình nón

N ( x; Ω ) =

lim

x→ x , ε ↓ 0

∧

sup N ε ( x ; Ω )

(1.2)

được gọi là nón pháp tuyến theo nghĩa Mordukhovich của Ω tại x .
2.1.8. Định nghĩa. Cho X và Y là các không gian Euclide. Khi đó ánh xạ

D∗Φ( x , y ) :

Y

X

được

xác

định

bởi

D∗Φ( x , y ) ( y∗ ) ={x∗ ∈ X : ( x∗, − y∗ ) ∈N ( ( x , y ) ; gph Φ) }

công

thức
(1.3)

được gọi là đối đạo hàm chuẩn tắc (hay đối đạo hàm qua giới hạn, đối đạo hàm
Mordukhovich) của Φ tại ( x , y ) .

2.2. CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỐI ĐẠO HÀM CỦA ÁNH
XẠ ĐA TRỊ
2.2.1. Bài toán. Xét bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số

0 ∈ M x + q + N ( x; ∆( A, b ) )

(1.4)


8

được ký hiệu AVI(M, q, A, b), với (q, b) ∈ Rn × Rm mơ tả nhiễu tuyến tính; M ∈
n
R n × n , A ∈ R m × n ; ∆( A, b ) ={ x ∈R : Ax ≤b} là tập lồi đa diện;

N ( x; ∆ ( A, b ) ) = {v ∈ R n : < v, u − x > ≤ 0, ∀ u ∈∆ ( A, b ) } là nón pháp tuyến
lồi của ∆(A, b) tại x ∈∆ ( A, b ) và < v, u > biểu thị tích vơ hướng của v và u .
Quy ước N ( x; ∆ ( A, b ) ) = ∅ khi x ∉ ∆ ( A, b ) . Tập nghiệm của (1.4) được ký hiệu là
S(q, b). Như vậy, x ∈ S(q, b) nghĩa là x ∈ ∆ ( A, b ) và

< M x + q, u − x > ≥ 0, ∀ u ∈ ∆ ( A, b ) .
(1.5) Trong chương này ta đặt C = ∆ ( A, b ) , X là không gian Euclide.
2.2.2. Nhận xét. Cho A = - E, với E là ma trận đơn vị trong R n × n và b = 0 ∈
R n . Khi đó x thỏa mãn (1.4) nếu và chỉ nếu

M x + q ≥ 0, x ≥ 0, < M x + q , x > = 0.
Chứng minh. Cần. Giả sử x thỏa mãn (1.4). Ta có ∆(A, b) = { x ∈ Rn : A x ≤
b} . Mà theo giả thiết A = - E, b = 0, do đó ∆(-E, 0) = { x ∈ Rn : -E x ≤ 0} = { x ∈
Rn : x ≥ 0}. Ta chọn u = 2 x thay vào (1.5) ta được < M x + q, x > ≥ 0, mà x
≥ 0 nên M x + q ≥ 0 . Chọn u =

1
x thay vào (1.5) ta được
2

< M x + q, x > ≤ 0 .

Do đó < M x + q, x > = 0 .
Đủ. Giả sử M x + q ≥ 0, x ≥ 0, < M x + q , x > = 0. Ta dễ dàng chứng
minh được x thỏa mãn (1.4).
2.2.3. Chú ý[9]. Nếu Ω ⊂ X là tập lồi và X là không gian Euclide thì
∧

N ( x ; Ω) = N ( x ; Ω) = { v ∈ X : < v, u − x > ≤ 0, ∀u ∈Ω} .
2.2.4. Định nghĩa. Cho J = {1, 2, ... , m}. Với mỗi x ∈ C , tập chỉ số hoạt ứng
với điểm x được cho bởi


9

I ( x ) = { i ∈ J : Ai x = bi } ,

(1.6)

Ai biểu thị hàng thứ i của A , b i là thành phần thứ i của b . Tập I ⊂ J, I = J \ I,
AI là ma trận hợp thành bởi các hàng A i , i ∈ I (định nghĩa AI tương tự). Khi đó
giả mặt FI của C = ∆ ( A, b ) tương ứng tập chỉ số I được định nghĩa bởi công thức

{

}

FI = x ∈ R n : AI x = bI , AI x < bI .
T
T
Pos { Ai : i ∈ I } là nón lồi được tạo bởi các véctơ cột { Ai : i ∈ I } .

2.2.5. Chú ý. Nón pháp tuyến N ( x; C ) của C tại x ∈ C là nón đối ngẫu của nón
tiếp tuyến T ( x; C ) , nghĩa là
∗

N ( x; C ) = ( T ( x; C ) ) = { x∗ ∈ X ∗ : < x∗ , v > ≤ 0, ∀ v ∈T ( x; C ) } ,

(1.7)

trong đó C ⊂ X, với X là khơng gian Euclide, X ∗ là không gian đối ngẫu của X.
2.2.6. Định lý[3] (bổ đề Farkas trong không gian véctơ tùy ý). Cho W là một
không gian véctơ chiều tùy ý. Giả sử rằng sự kéo theo sau đúng với bất kỳ u ∈ W
< xi∗ , u > ≤ 0, ∀ i ∈ I  ⇒ < x∗ , u > ≤ 0  ,
∗
trong đó I ⊂ N là tập chỉ số hữu hạn, với xi và x∗ là các phần tử của X ∗ , ∀ i ∈ I

. Khi đó sẽ tồn tại λi ≥ 0, i ∈ I sao cho
x∗ = ∑ λi xi∗.
i∈I

2.2.7. Mệnh đề. Giả sử x ∈ C , x ∈ FI và I = I ( x ) được xác định bởi (1.6).
Khi đó ta có
T
(i) N ( x; C ) = pos { Ai : i ∈ I } ,

(1.8)





i ∈ I



T
T
với pos { Ai : i ∈ I } =  ∑ λi Ai : λi ≥ 0 ;
n
(ii) T ( x ; C ) = { u ∈ R : AI u ≤ 0} ,
∗

với T ( x ; C ) = ( N ( x ; C ) ) .

(1.9)


10
∗
Chứng minh. (i) Giả sử x ∈ N ( x ; C ) được cho tùy ý. Từ định nghĩa nón pháp

tuyến lồi, ta có

< x∗ , x′ − x > ≤ 0, ∀ x′ ∈ C .

(1.10)

Do x ∈ FI nên Ai x < bi , ∀ i ∈ I , do đó sẽ tồn tại một lân cận V của x sao cho

Ai x′ ≤ bi , ∀ x′ ∈ V và i ∈I . Bây giờ ta sẽ chứng minh sự kéo theo sau là đúng
 Ai u ≤ 0, ∀ i ∈ I  ⇒ < x∗ , u > ≤ 0  .

(1.11)

Thật vậy, lấy bất kỳ u ∈ R n với Ai u ≤ 0, ∀ i ∈ I . Do V là lân cận của x nên
x+

u
u

∈ V, với n đủ lớn. Với i ∈I , ta có Ai  x + ÷ ≤ bi và khi i ∈I thì ta có
n
n


u
u
u
Ai x = bi , Ai  x + ÷ = Ai x + Ai = bi + Ai ≤ bi . Do đó A  x + u ÷ ≤ b . Suy ra
n
n
n
n




x+

u
∈ C , với n đủ lớn. Bởi vậy theo (1.10) ta có < x∗ , u > ≤ 0 . Khi đó theo bổ đề
n

Farkas ta có

N ( x ; C ) ⊂ pos { AiT : i ∈ I } .
T
T
Ta sẽ chứng minh N ( x ; C ) ⊃ pos { Ai : i ∈ I } . Lấy v ∈ pos { Ai : i ∈ I } , ta cần chứng

{

}

T
λi ATi , λi ≥ 0, ∀ i ∈ I .
minh v ∈ N ( x ; C ) . Do v ∈ pos Ai : i ∈ I nên suy ra v = i ∑
∈I

Chứng minh v ∈ N ( x; C ) tức cần chứng minh < v, x′ − x > ≤ 0, ∀ x′ ∈ C. Với mỗi

x′ ∈ C bất kỳ ta có

< v, x′ − x > = < ∑ λi AiT , x′ − x > = ∑ λi (Ai x′ − Ai x) = ∑ λi (Ai x′ − bi ) ≤ 0. Từ
i∈I

i∈I
i∈I
đó suy ra v ∈ N ( x; C ) .

{

}

T
Vậy N ( x ; C ) = pos Ai : i ∈ I .


11

(ii) Lấy u thuộc vế phải của (1.9), ta sẽ chứng minh u ∈ T ( x ; C ) . Với

u ∈ R n , Ai u ≤ 0, ∀ i ∈ I ta đã chứng minh được < x∗ , u > ≤ 0 , x∗ ∈ N ( x, C ) . Từ đó
n
suy ra u ∈ T ( x ; C ) . Do đó { u ∈ R : A I u ≤ 0} ⊂ T ( x ; C ) .

Ta cần chứng minh

{ u ∈ R n : A I u ≤ 0}

⊃ T ( x ; C ) . Lấy u ∈T ( x; C ) , ta sẽ

chứng minh u thuộc vế phải của (1.9). Ta có T ( x ; C ) = ( N ( x ; C ) )

{ u ∈ R n : < u, x∗ > ≤ 0, ∀ x∗ ∈ N ( x; C ) } .

Lúc

đó,

với

mỗi

i∈I ,

∗

=

chọn

λi > 0, λ j = 0 ∀ j ≠ i, j ∈ I thì ∑ λ j ATj = λi AiT ∈ N ( x; C ) . Từ đó ta có < u, λi AiT > ≤
j∈I
0, ∀ u ∈ T ( x; C ) . Hay ( Ai u ) λi ≤ 0, ∀ u ∈T ( x; C ) . Suy ra Ai u ≤ 0, ∀ u ∈T ( x; C ) .
n
Do đó T ( x ; C ) ⊂ { u ∈ R : Ai u ≤ 0, ∀ i ∈ I } .
n
Vậy T ( x ; C ) = { u ∈ R : AI u ≤ 0} .

Vậy mệnh đề được chứng minh.
2.2.8. Định nghĩa. Tập Q ⊂ Rn được gọi là mặt đóng của C nếu tồn tại I ⊂ J
sao cho

{

}

Q = FI = x ∈ R n: AI x = bI , AI x ≤ bI .
2.2.9. Chú ý. Định nghĩa 2.2.8 sẽ tương đương với phát biểu sau: Q ⊂ Rn là
một mặt đóng của C nếu tồn tại x ∈ C và

v ∈ N ( x ; C ) = pos { AiT : i ∈ I ( x ) }
sao cho Q = { x ∈C : < v , x − x > = 0} . Nếu C là nón (trong trường hợp b = 0) thì
Q là mặt đóng của C khi và chỉ khi tồn tại v ∈ C ∗ mà Q = { x ∈ C : < v , x > = 0} .
Tiếp theo chúng ta sẽ nêu ra các bổ đề mà đưa đến đối đạo hàm chuẩn tắc của
hàm đa trị F3 ( x ) = N ( x ; ∆ ( A, b ) ) tại điểm ( x, v ) ∈Ω3 , với Ω 3 = gph F3 .

∧

2.2.10. Bổ đề[9]. Nếu ( x∗ , v∗ ) ∈ N ( ( x, v ) ; Ω3 ) thì

v∗ ∈ T ( x ; C ) ∩ v ⊥

(1.12)


12

và
∗

x∗ ∈ ( T ( x ; C ) ∩ v ⊥ ) ,

(1.13)

với v ⊥ = { u ∈ R n : < u, v > = 0} .
∗ ∗
∗ ∗
2.2.11. Bổ đề. Nếu cặp ( x , v ) thoả mãn (1.12) và (1.13) thì ( x , v ) ∈

∧

N ( ( x, v ) ; Ω3 ) .
∗ ∗
Chứng minh. Giả sử ( x , v ) thỏa mãn (1.12) và (1.13), ta chứng minh

∧

( x∗ , v∗ ) ∈ N ( ( x, v ) ; Ω3 ) , tức cần chứng minh
limsup

Ω3 → x, v
, v ) 
(
)
( x%%

< x∗, x%− x > + < v∗, v%− v >
≤0
Px%− x P+ Pv%− v P
.

, v ) ≠ ( x, v ) , x%∈ C được lấy đủ
, v ) ∈ C × N ( x%
; C ) là phần tử tùy ý với ( x%%

Giả sử ( x%%
; C ) ⊂ N ( x; C ) ; do vậy v%
∈ N ( x; C ) . Khi đó ta sẽ có đẳng thức
gần x sao cho N ( x%

sau

( T ( x ; C ) ∩ v⊥ )

∗

= N ( x ; C ) + R− v = N ( x ; C ) + R− v .

(1.14)

Thật vậy, lấy bất kỳ x∗ ∈ N ( x ; C ) + R − v . Khi đó sẽ tồn tại một dãy

{ xn∗} ⊂ N ( x ; C ) + R− v

sao cho xn∗ →x∗ . Ta giả sử rằng xn∗ = vn∗ + tnv với

vn∗∈N ( x ; C ) , tn ∈R −. Lấy bất kỳ

x%
∈T ( x ; C ) ∩v ⊥,

ta có

< xn∗ , x%> = < vn∗ + tnv, x%> = < vn∗ , x%> + tn < v, x%> = < vn∗ , x%> ≤ 0 . Cho n →∞ ,
%

∈T ( x ; C ) ∩v ⊥. Bởi vậy x∗ ∈ ( T ( x ; C ) ∩ v ⊥ )
>≤0 , ∀ x%
ta được < x∗, x
. Từ đó suy ra

(

)

∗

N ( x ; C ) + R v ⊂ T ( x ; C ) ∩ v ⊥ . Ta sẽ chứng minh
−

∗

N ( x ; C ) + R −v ⊃ ( T ( x ; C ) ∩ v ⊥ ) .

{ }

∗

Đặt Q = I ( x ) , P = i0′ ≅ { i0 } ⊂ Q , xét hệ { Ai , v} i ∈ Q ta có


13

A := T ( x ; C ) ∩ v ⊥ = { x%∈ X : Ai x%≤ 0, ∀ i ∈ I ( x ) = Q, < v, x%> = 0} .
∈ X : Ai′ x%≤ 0, ∀ i ∈ Γ = P ∪ Q} , với Ai′ = Ai , ∀ i ∈ Q
Đặt Ω′ = A , khi đó Ω′ = { x%

và Ai′ = − v nếu i ∈ P . Chọn x = 0 ∈ Ω′ , lúc đó I ( x ) = { i ∈Γ : Ai′ x = 0} = Γ . Do vậy

T ( x ; Ω′ ) = { u ∈ X : Ai′u ≤ 0, ∀ i ∈Γ} = Ω′ .
Từ đó ta có

{

A∗ = ( T ( x ; Ω′) ) = N ( x ; Ω′) = v%
∈ X : v%
∈ pos { A′iT : i ∈Γ}
∗

}









i ∈Γ









i ∈ Q









i ∈ Q



{

{


∈ X : v%
∈  ∑ α i Ai′T : αi ≥ 0, ∀ i ∈Γ 
= v%

 

∈ X : v%∈  ∑ α i Ai′T + ∑ α i Ai′T : α i ≥ 0, ∀ i ∈Γ 
= v%

 

i∈P


∈ X : v%∈  ∑ α i Ai′T + α i Ai′T : α i ≥ 0, ∀ i ∈ Q, α i ≥ 0
= v%
0 0
0

}

}

∈ X : v%∈ pos AiT : i ∈ I ( x ) + α i Ai′T , α i ≥ 0
= v%
0 0
0
−
= N ( x ; C ) − α i0 v ⊂ N ( x ; C ) + R v.

∗
∗
Vậy (1.14) được chứng minh. Do đó x = x0 + γ v với x0∗ ∈ N ( x ; C ) , γ ∈ R − . Từ

đó ta có

< x∗ , x%− x > + < v∗ , v%− v > = < x0∗ + γ v, x%− x > + < v∗ , v%> − < v∗ , v >
∗
∗

= < x0 , x%− x > + γ < v, x%− x > + < v , v%> .
∗
∈C
∈N ( x ; C ) , T ( x ; C ) = ( N ( x ; C ) ) , x0∗ ∈ N ( x ; C ) , x%
Vì v∗ ∈T ( x ; C ) , v%

∗
nên < v∗ , v%> ≤ 0 , < x0 , x%− x > ≤ 0 .

Từ đó suy ra

< x∗ , x%− x > + < v∗ , v%− v > ≤ γ < v, x%− x >
≤ γ < v, x%− x > + γ < v%
, x − x%> ≤ γ < v − v%%
, x − x >, γ ∈ R − , v%
∈ N ( x%
; C).
Ta suy ra


14

< x∗ , x%− x > + < v∗ , v%− v >
≤ γ max { Px%− x P, Pv%− v P} .
Px%− x P+ Pv%− v P
Do đó

lim sup

3 → x, v

, v ) Ω

(
)
( x%%

< x∗, x%− x > + < v∗, v%− v >
≤ 0.
Px%− x P+ Pv%− v P

Vậy bổ đề được chứng minh.
2.2.12.Định lý[9] (nón pháp tuyến theo nghĩa Mordukhovich, trường hợp b cố
định). Cho bất kỳ cặp ( x, v ) ∈ Ω 3 , khi đ ó
N ( ( x, v ) ; Ω 3 ) = U ( Q ∗ × Q ) ,
( I ′, Q )

(1.15)

với hợp sẽ được lấy trên họ các cặp ( I ′, Q ) , trong đó I ′ ⊂ I ( x ) = { i ∈ J : Ai x = bi }
thỏa mãn

v ∈ pos { AiT : i ∈ I ′}

(1.16)

⊥
và Q là một mặt đóng của nón lồi đa diện T ( FI ′ ; C ) ∩ v .

Chứng minh. Giả sử FI ′ là một giả mặt của C có x ∈ FI ′ . Khi đó I ′ ⊂ I ( x ) .
FI ′

Thật vậy, nếu x ∈ FI ′ và i ∈ I ′ \ I ( x ) thì khi đó sẽ tồn tại một dãy xk 
→ x mà

Ai xk = bi , ∀ k . Suy ra Ai x = bi , mâu thuẫn vì i ∈ I ′ \ I ( x ) . Ngược lại, nếu I ′ ⊂ I ( x )
và FI ′ ≠ ∅ thì x ∈ FI ′ . Thật vậy, lấy bất kỳ x′ ∈ FI ′ và đặt xt = ( 1 − t ) x + t x′ với

t ∈ ( 0,1) . Do x, x′ ∈ FI ′ nên ta có AI ′ x = bI ′ , AI ′ x < bI ′ và AI ′ x′ = bI ′ , AI ′ x′ < bI ′ mà
xt = ( 1 − t ) x + t x′ . Từ đó suy ra được xt ∈ FI ′ và xt → x khi t → 0+ .
∧

Theo định nghĩa, ( x∗, v∗ ) ∈ N ( ( x, v ) ; Ω3 ) nếu và chỉ nếu có dãy ( xk , v k ) → ( x, v )
∧

và ( xk∗, vk∗ ) →( x∗, v∗ ) , vk ∈N ( xk ; C ) , ( xk∗, vk∗ ) ∈N ( ( xk , vk ) ; Ω3 ) , ∀ k .


15

Từ số giả mặt của C là hữu hạn thì phải tồn tại một tập chỉ số I ′ ⊂ J và một dãy

{ }

con xk j của { xk } sao cho xk j ∈ FI ′ , với mỗi k j . Khi xk j → x , ta có I ′ ⊂ I ( x ) . Theo
∧

 ∗ ∗ 
các Bổ đề 2.2.10 và Bổ đề 2.2.11,  xk j , vk j ÷ ∈ N ( ( xk , vk ) ; Ω3 ) nghĩa là
∗

 x∗ , v ∗  ∈  T  x ; C  ∩ v ⊥  ×  T  x ; C  ∩ v ⊥ 

 kj kj ÷   kj
÷
÷
k j ÷   k j
kj ÷

  


 


(

)

∗

(

(1.17)

)

=  T FI ′ ; C vkj ữ ì T FI ; C ∩ vk⊥j ÷ .

 

⊥



Do vk j ∈ N  xk j ; C ÷ nên ta có < vk j , u > ≤ 0, với u ∈ T ( FI ′ ; C ) . Do đó T ( FI ′ ; C ) ∩ vk j





⊥
là một mặt đóng của nón lồi đa diện T ( FI ′ ; C ) . Ta đặt Q = T ( FI ′ ; C ) ∩ vk j , cho qua

giới

hạn

k j →∞ ,

từ

(1.17)

ta

được

( x ∗ , v ∗ ) ∈ Q∗ × Q .

Ta

suy

ra

N ( ( x, v ) ; Ω3 ) ⊂ U ( Q∗ × Q )
vk → v khi k j →∞ , dẫn đến Q ⊂ T ( F ; C ) ∩ v ⊥
.
Từ
j
I′
′
I
,
Q
(
)
⊥
và hơn nữa Q là một mặt đóng của nón lồi đa diện T ( FI ′ ; C ) ∩ vk j . Từ

vk ∈ N  xk ; C ÷ = pos { AiT : i ∈ I ′} , ∀ k j , pos { AiT : i ∈ I ′} là đóng, vk j → v khi k j → ∞
j
j




ta có (1.16).
Ta chứng minh

x∗ , v∗ ) ∈ U ( Q∗ × Q ) ,
N ( ( x, v ) ; Ω3 ) ⊃ U ( Q∗ × Q )
(

.
Giả
sử
rằng
với tập
( I ′, Q )
( I ′, Q )

⊥
chỉ số I ′ ⊂ I ( x ) thỏa mãn (1.16) và mặt đóng Q của nón lồi đa diện T ( FI ′ ; C ) ∩ vk j .

Từ FI ′ ≠ ∅ sẽ tồn tại dãy { xk } ⊂ FI ′ hội tụ tới x . Q là một mặt đóng của nón lồi đa

{

}

T
⊥
diện T ( FI ′ ; C ) , do đó sẽ có v ∈ K = pos Ai : i ∈ I ′ sao cho Q = T ( FI ′ ; C ) ∩ v .

+
Chọn dãy { tk } ⊂ ( 0,1) sao cho tk → 0 khi k →∞ . Do K là tập lồi nên ta có

vk = ( 1 − tk ) v + tk v ∈ K , ∀ k .


16

(

)

⊥
Từ đó ta có vk ∈ N ( xk ; C ) , ∀ k , vk → v khi k →∞ và Q = T FI ′ ; C ∩ vk , ∀ k . Do

đó, theo Bổ đề 2.2.11

∧

( x∗ , v∗ ) ∈ N ( ( xk , vk ) ; Ω3 ) , ∀ k .

Ta suy ra

( x∗ , v∗ ) ∈

( Q∗ × Q ) ⊂ N ( ( x, v ) ; Ω3 ) .
N ( ( x, v ) ; Ω 3 ) . Do đó I U
( ′, Q )
Vậy định lý được chứng minh.
2.2.13. Định lý[9] (đối đạo hàm chuẩn tắc, b cố định). Cho ( x, v ) ∈ gphF3 và

v∗ ∈ R n , khi đó tập D∗ F3 ( x, v ) ( v∗ ) gồm tất cả x∗ ∈ R n sao cho

( x∗, − v∗ ) ∈ Q∗ × Q,
với tập chỉ số I ′ ⊂ I = I ( x ) thỏa mãn (1.16) và một mặt đóng Q của nón lồi đa diện
T ( FI ′ ; C ) ∩ v ⊥ .

Tiếp theo chúng ta đưa ra ước lượng về đối đạo hàm chuẩn tắc của hàm đa trị
F2 ( x, b ) = N ( x; ∆ ( A, b ) ) tại

( x, b, v ) ∈Ω2 , với Ω2 = gph F2 , b ∈ R n tuỳ ý và

x ∈ ∆ ( A, b ) .

Trước hết, chúng ta đưa ra vài bổ đề về nón pháp tuyến Fréchet của Ω2 tại

( x, b, v ) ∈ Ω 2 .
∧

2.2.14. Bổ đề[9]. Nếu ( x∗ , b∗ , v∗ ) ∈ N ( ( x, b, v ) ; Ω 2 ) thì khi đó
∗

( x∗ , v∗ ) ∈ ( T ( x; ∆ ( A, b ) ) ∩ v ⊥ ) × ( T ( x; ∆ ( A, b ) ) ∩ v ⊥ ) ,

(1.18)

x∗ = − AIT bI∗

(1.19)

bI∗ = 0 ,

(1.20)

và

λi AiT , λi ≥ 0, ∀ i ∈ I
với I = I A, b ( x ) = { i ∈ I : Ai x = bi } , I = J \ I . Hơn nữa, nếu v = i ∑
∈I

và I 0 = { i ∈ I : λi = 0} thì
bI∗ ≤ 0
0

(1.21)


17

Chứng minh. Giả sử rằng ( x, b, v ) ∈ Ω 2 . Với I A, b ( x ) , I , I được xác định như
∧

trong bổ đề. Giả sử ( x∗ , b∗ , v∗ ) ∈ N ( ( x, b, v ) ; Ω2 ) , ta cần chứng minh (1.18), (1.19)
∧

và (1.20) là đúng. Vì ( x∗ , b∗ , v∗ ) ∈ N ( ( x, b, v ) ; Ω2 ) nên ta có

< x∗ , x%− x > + < b∗ , b%− b > + < v∗ , v%− v >
≤ 0.
%
%
%


Ω
P
x
−
x
P

+
P
b
−
b
P
+
P
v
−
v
P
2 →  x, b, v 
%
, b%
, v%÷
x

÷
limsup




÷




(1.22)



Chọn b%= b thế vào (1.22) ta được

limsup

Ω2 →( x, v )
, v ) 
( x%%

< x∗, x%− x > + < v∗, v%− v >
≤ 0.
Px%− x P+ Pv%− v P

Do đó theo Bổ đề 2.2.10 suy ra
∗

( x∗ , v∗ ) ∈ ( T ( x; ∆ ( A, b ) ) ∩ v ⊥ ) × ( T ( x; ∆ ( A, b ) ) ∩ v ⊥ ) ,

tức (1.18) được chứng

minh.

%%
%
%
→ x , ta chọn b%
∈
Cho bất kỳ x%

I = AI x, bI = bI , v =v. Dễ thấy v

(

(

))

(

)

, b%
, v% với
N x%
; ∆ A, b% khi x%được lấy đủ gần x . Ta có bI = AI x , thế bộ ba x%
cách chọn trên vào (1.22), ta được
lim sup

x%→ x

< x∗ , x%− x > + < bI∗ , AI x%− AI x >
≤ 0.
Px%− x P + P AI x%− AI x P

Từ đó ta suy ra

lim sup

x%→ x

< x∗ + AIT bI∗ , x%− x >
≤ 0.
Px%− x P + P AI ( x%− x) P

Suy ra

x%− x
>
I I Px
%− x P
lim sup
≤ 0.
x%− x
x%→ x
1 + P AI (
)P
Px%− x P
< x∗ + AT b∗ ,

Do đó ta có


18

< x∗ + AIT bI∗ , w>
≤ 0,
1 + P AI w P
∀ w ∈ R n mà Pw P=1 . Từ đó suy ra x∗ + AIT bI∗ = 0 . Vậy (1.19) được chứng minh.
Lấy bất kỳ j ∈ I . Tính chất (1.20) sẽ được chứng minh nếu ta chứng minh

được

b∗j = 0.

Giả

sử

b%
i = bi ,

(

)

i ∈ J \ { j} , b%
j ∈ b j − ε , b j + ε , trong đó

với

%
ε = b j − A j x > 0. Từ đó ta có Ai x = b%
i , ∀ i ∈ I , Ai x ≤ bi , ∀ i ∈ I .

(

)

Do đó x%= x sẽ thuộc ∆ A, b% và v%= v thỏa mãn hệ thức

(

))

(

v%
∈ pos ( Ai : i ∈ I ) = N x%
; ∆ A, b% .

(

)

Ω2
, b%
, v%
→ ( x, b, v ) khi b%
Lúc đó x%
j → b j . Do vậy, từ (1.22) ta có

lim sup

b%→ b

b∗ ( b%− b)
≤ 0.
b%− b

Ta suy ra

b∗j ( b%
j − bj )
lim sup
≤ 0.
%− b
b%
→
b
b
j
j
j
j

(

)

∗
Do b%
j ∈ b j − ε , b j + ε được chọn tùy ý nên suy ra b j = 0. Vậy (1.20) được chứng

minh.
λi AiT , λi ≥ 0, ∀ i ∈ I và I = { i ∈ I : λ = 0 } , ta cần chứng minh
Giả sử v = i ∑
i
0
∈I

bI∗ ≤ 0 , tức chứng minh b∗j ≤ 0, ∀ j ∈I 0 . Cố định chỉ số j ∈I0 , chọn
0

%
%
%
%
b%
j →b j , b j > b j , bi = bi , ∀ i ∈ J \ { j} , x = x, v = v. Khi đó, ta có
v%= v = ∑ λi AiT = ∑ λi AiT + ∑ λi AiT = ∑ λi AiT , λi ≥ 0.
i∈I

i ∈ I \{ j }

i ∈ I0

i ∈ I \{ j}

; ∆ ( A, b ) ) .
Từ đó suy ra v%= v ∈ pos { Ai : i ∈ I \ { j} } = N ( x%


19

(

)

Ω2
+

, b%
, v%
→ ( x, b, v ) khi b%
Lúc đó x%
j →b j . Do vậy, từ (1.22) ta có

b∗j ( b%
j − bj )
lim sup
≤ 0.
b%→ b+
b%− b
j

(

j

j

j

)

∗
%
%
b∗ ≤ 0, ∀ j ∈ I 0 . Như vậy
Do đó b j b%
j − b j ≤ 0 , mà b j > b j nên b j − b j > 0 . Suy ra j

(1.21) được chứng minh.
Vậy bổ đề được chứng minh.
∗ ∗ ∗
n
m
n
2.2.15. Bổ đề[9]. Nếu ( x, b, v ) ∈ Ω2 và ( x , b , v ) ∈ R × R × R là bộ ba thỏa

mãn (1.18), (1.19), (1.20) và cộng thêm điều kiện

bI∗ ≤ 0

(1.23)

∧

thì ( x∗ , b∗ , v∗ ) ∈ N ( ( x, b, v ) ; Ω2 ) .
Sử dụng Bổ đề 2.2.14 chúng ta đưa ra một ước lượng trên cho nón pháp tuyến
Mordukhovich của Ω2 tại ( x, b, v ) ∈ Ω2 .
2.2.16. Định lý[9]. (Nón pháp tuyến theo nghĩa Mordukhovich của Ω2 ). Cho
bất

kỳ

điểm

( x , b, v ) ∈ Ω 2 ,

( x∗ , b∗, v∗ ) ∈ R n × R m × R n

nếu

mà

( x∗ , b∗ , v∗ ) ∈ N ( ( x, b, v ) ; Ω2 ) , thì sẽ tồn tại một tập chỉ số
I ′ ⊂ I A, b ( x ) = { i ∈ J : Ai x = bi }

(1.24)
thỏa mãn
v ∈ pos { AiT : i ∈ I ′}

(1.25)

(

)

⊥
và một mặt đóng Q của nón lối đa diện T FI ' ; C ∩ v sao cho

( x∗ , v∗ ) ∈ Q ∗ × Q ,
(1.26)


20

x∗ = − AIT′ bI∗′ ,
(1.27)
và

bI∗′ = 0 ,

(1.28)
với FI ′ = { x : AI ′ x = bI ′ , AI ′ x < bI ′ } , I ′ = J \ I ′.
∗ ∗ ∗
Chứng minh. Giả sử ( x , b , v ) ∈ N ( ( x, b, v ) ; Ω2 ) . Khi đó sẽ tồn tại dãy

( xk , bk , vk ) → ( x, b, v )

(

)

∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
và ( xk , bk , vk ) → ( x , b , v ) sao cho vk ∈ N xk ; ∆ ( A, bk ) và

∧

( xk∗ , bk∗ , vk∗ ) ∈ N ( ( xk , bk , vk ) ; Ω2 ) ,

∀k .

(1.29)

{

}

Từ I A, bk ( xk ) = i ∈ J : Ai xk = ( bk ) i ⊂ J , sẽ tồn tại một tập I ′ ⊂ J sao cho

I A, b ( xk ) = I ′ đúng cho một số vô hạn chỉ số k. Qua cách xét một dãy con, ta giả sử
k

rằng I A, bk ( xk ) = I ′, ∀ k. Khi đó bao hàm thức I ′ ⊂ I là đúng. Thật vậy, giả sử

j ∈ I ′ \ I và A j xk = (bk ) j , ∀ k . Qua giới hạn ta được A j x = b j , điều này là vô lý.
Từ Bổ đề 2.2.14, (1.29) và I A, bk ( xk ) = I ′ ta sẽ có

( xk∗ , vk∗ ) ∈ ( T ( xk ; ∆ ( A, bk ) )

) (
∗

)

∩ vk⊥ × T ( xk ; ∆ ( A, bk ) ) ∩ vk⊥ ,

(1.30)

xk∗ = − AIT′ ( bk∗ ) I ′ ,
(1.31)

( bk∗ ) I ′ = 0
(1.32)
và


21

( bk∗ ) I0′ ( k ) ≤ 0 ,

(1.33)
k T
k
k
với I ′ = J \ I ′, vk = i ∈∑I ′ λi Ai , λi ≥ 0, ∀ i ∈ I ′ và I0′ ( k ) = { i ∈ I ′ : λi = 0} .

Từ T ( xk ; ∆ ( A, bk ) ) = { v : AI ′v ≤ 0} = T ( FI ′ ; C ) , ∀ k , ta có thể viết lại (1.30) như sau
∗

( xk∗ , vk∗ ) ∈ ( T ( FI ′; C ) ∩ vk⊥ ) × ( T ( FI ′; C ) ∩ vk⊥ ) .
(1.34)
Cho k →∞ và dựa vào chứng minh của Định lý 2.2.12, từ (1.34), (1.31) và (1.32)
ta suy ra được điều cần chứng minh.
Vậy định lý được chứng minh.
T
′
2.2.17. Chú ý. Cho v = ∑ λi Ai , λi ≥ 0, ∀ i ∈ I và I 0′ = { i ∈ I ′ : λi = 0} . Liên quan
i∈I′

đến tập chỉ số I 0′ ( k ) xuất hiện trong (1.33), với k tuỳ ý. Qua cách xét một dãy con,
ta giả sử rằng I0′ ( k ) = I ′′ ⊂ I ′ . Nhưng nói chung, khi vk → v khơng kéo theo I ′′ ⊂ I 0′ .
∗
Do vậy từ (1.33) ta khơng thể có bI0′ ≤ 0 . Điều này cho thấy tại sao (1.33) không

được đưa vào kết luận của định lý trên.
2.2.18. Định lý[9]. (Đối đạo hàm chuẩn tắc, với b tuỳ ý). Cho bất kỳ

( x, b, v ) ∈ gph F2 và v∗ ∈ R n , nếu ( x∗ , b∗ ) ∈ D∗ F2 ( x, b, v ) ( v∗ ) thì sẽ tồn tại một tập
chỉ số I ′ ⊂ I A, b ( x ) thỏa mãn (1.25) và một mặt đóng Q của nón lồi đa diện
T ( FI ′; C ) ∩ v ⊥ sao cho các điều kiện (1.27), (1.28) được thỏa mãn và

( x∗ , − v∗ ) ∈ Q∗ × Q.


22

Chương III
TÍNH CHẤT AUBIN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM
3.1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ
Chúng tơi sử dụng bài toán và các định nghĩa, định lý, ký hiệu ở chương II vào
chương III nhằm xét điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm có tính chất Aubin.
3.1.1. Định nghĩa. (i) Ánh xạ nghiệm S(q, b) của bài toán (1.4) được gọi là có
tính chất Aubin trong lân cận điểm ( q0 , b0 , x0 ) ∈ gph S nếu tồn tại các lân cận U1
của

q0 , U 2

của b0 , V

của

x0

và một hằng số

l >0

sao cho

S (q′, b′) ∩ V ⊂ S ( q, b ) + l ( Pq′ − q P + Pb′ − b P) BRn , ∀ ( q′, b′ ) , ( q, b ) ∈ U1 × U 2

, trong đó BRn là hình cầu đóng đơn vị trong R n .
(ii) Ánh xạ nghiệm S(w, b) của bài toán 0 ∈ f ( x, w ) + N ( x; ∆ ( A, b ) ) , với

f : R n × R s → R n là một hàm véctơ C1 đã cho được gọi là có tính chất Aubin trong
lân cận điểm ( w 0 , b0 , x0 ) ∈ gph S nếu tồn tại các lân cận W của w 0 , U của b0 , V
của x0 và một hằng số l > 0 sao cho

S ( w ′, b′) ∩ V ⊂ S ( w, b ) + l ( Pw ′ − w P + Pb′ − b P) BRn , ∀ ( w ′, b′) , ( w, b ) ∈ W × U.
3.1.2. Chú ý. dist(u, Ω) = inf{ Pu − ω P: ω ∈ Ω} ký hiệu khoảng cách từ u đến
Ω ⊂ Rn.
3.1.3. Định nghĩa. (i) Ánh xạ nghiệm S(q, b) của bài tốn (1.4) là chính quy
mêtric địa phương theo nghĩa Robinson trong lân cận điểm ω0 = ( x0 , q0 , b0 , 0 Rn )
thỏa mãn 0 ∈ M x0 + q0 + N ( x0 ; ∆ ( A, b0 ) ) nếu tồn tại các hằng số γ > 0, µ > 0 và
các lân cận V của x0 , U1 của q0 , U 2 của b0 sao cho

(
(

)
)

 dist ( x, S ( q, b ) ) ≤ γ dist 0, M x + q + N ( x; ∆ ( A, b ) )


 x ∈V , q ∈U1, b ∈U 2 , dist 0, M x + q + N ( x; ∆ ( A, b ) ) < µ.


23

(ii) Ánh xạ nghiệm S(w, b) của bái toán 0 ∈ f ( x, w ) + N ( x; ∆ ( A, b ) ) , với

f : R n × R s → R n là một hàm véctơ C1 đã cho được gọi là chính quy mêtric địa
phương theo nghĩa Robinson trong lân cận điểm ω0 = ( x0 , w 0 , b0 , 0 Rn ) thỏa mãn

0 ∈ f ( x0 , w 0 ) + N ( x0 ; ∆ ( A, b0 ) ) nếu tồn tại các hằng số γ > 0, µ > 0 và các lân cận
V của x0 , W của w 0 , U của b0 sao cho

(
(

)
)

 dist ( x, S ( w, b ) ) ≤ γ dist 0, f ( x, w ) + N ( x; ∆ ( A, b ) )


 x ∈V , w ∈ W, b ∈U , dist 0, f ( x, w ) + N ( x; ∆ ( A, b ) ) < µ.

3.1.4. Định nghĩa. Cho X và Y là các không gian Banach, hàm f : X →Y được
gọi là khả vi chặt tại x ∈ X nếu f khả vi Fréchet tại x và
f ( x) − f ( u ) − f ′( x ) ( x − u )
= 0.
Px − u P
x → x, u → x
lim

n
m
n
3.1.5. Định lý[10]. Cho φ1 : R → R là khả vi chặt tại x , φ2 : R

R m là

một ánh xạ đa trị tùy ý có đồ thị đóng. Khi đó, với bất kỳ y ∈ φ1 ( x ) + φ2 ( x ) và
y∗ ∈ R m ta có

D∗ ( φ1 + φ2 ) ( x , y ) ( y∗ ) = ( ∇φ1 ( x ) ) y∗ + D∗φ2 ( x , y − φ1 ( x ) ) ( y∗ ) .
T

3.1.6. Định nghĩa. Cho X, Y là các không gian véctơ và F : X → Y . Khi đó hạt
nhân của F ký hiệu ker F được định nghĩa bởi công thức ker F = { x ∈ X : F ( x ) = 0}
.
3.1.7. Định lý[10]. Cho X , Y , Z là các không gian Euclide hữu hạn chiều, ánh
xạ đa trị F : X × Y

Z , ( x0 , y0 ) ∈ X × Y sao cho 0 ∈ F ( x0 , y0 ) . Giả sử G là

hàm ẩn đa trị được xác định bởi G ( y ) = { x ∈ X : 0 ∈ F ( x, y ) } . Nếu gph F là tập
đóng địa phương trong lân cận điểm ω0 = ( x0 , y0 , 0Z ) và
ker D∗ F ( ω0 ) = { 0}

(2.1)


24

{

}

D∗G ( y0 , x0 ) ( x∗ ) ⊂ y ∗ ∈ Y ∗ : ∃ z∗ ∈ Z ∗ , ( − x∗ , y∗ ) ∈ D∗F ( ω0 ) ( z ∗ ) ,

thì
(2.2)

với mỗi x∗ ∈ X ∗ .

3.1.8. Định lý[10]. Với các ký hiệu như trong Định lý 3.1.7, nếu (2.1) được thỏa
mãn và

{ y∗ ∈Y ∗ : ∃ z∗ ∈ Z ∗, ( 0, y∗ ) ∈ D∗F ( ω0 ) ( z∗ ) } = { 0}
(2.3)
thì hàm ẩn đa trị G có tính chất Aubin trong lân cận điểm ( y0 , x0 ) , nghĩa là tồn
tại các lân cận U của x0 , V của y0 và hằng số l > 0 sao cho
G ( y′) ∩ U ⊂ G ( y ) + l P y′ − y PBX , ∀ y, y′ ∈V .

3.1.9. Định lý[10]. Cho X , Y , Z là các không gian Euclide hữu hạn chiều, ánh
xạ đa trị F : X × Y

(

)

Z , ( x0 , y0 ) ∈ X × Y sao cho 0 ∈ F x0 , y0 . Giả sử G là

hàm ẩn đa trị được xác định bởi G ( y ) = { x ∈ X : 0 ∈ F ( x, y ) } . Nếu gph F là đóng
địa phương trong lân cận điểm ω0 = ( x0 , y0 , 0Z ) , (2.1) và (2.3) được thỏa mãn thì
G là chính quy mêtric địa phương theo nghĩa Robinson trong lân cận điểm
ω0 = ( x0 , y0 , 0Z ) , nghĩa là tồn tại các hằng số γ > 0, µ > 0 và các lân cận U của x0

, V của y0 sao cho
 dist ( x, G ( y ) ) ≤ γ dist ( 0, F ( x, y ) )

 x ∈U , y ∈V , dist ( 0, F ( x, y ) ) ≤ µ.

3.2. TÍNH CHẤT AUBIN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM
3.2.1. Các tính chất của ánh xạ nghiệm q → S ( q, b ) và w → S ( w, b )
Trong phần này, cho b ∈ R m và x0 ∈ S ( q0 , b ) . Lúc đó, ta có 0 ∈ F ( x0 , y0 ) ,
với

F1 ( x, q ) =M x +q

F ( x, y ) = F1 ( x, y ) + F3 ( x, y ) , y = q, y0 =q0 ,
và F3 ( x, q ) = N ( x ; ∆ ( A, b ) ) .


25

3.2.1.1. Định lý[10]. Nếu với bất kỳ q∗ ∈ R n , ta có q∗ = 0 khi
 T ∗

M q , q ữ Q ì Q,



(2.4)
vi tập chỉ số I ′ ⊂ I = I ( x0 ) = { i ∈ J : Ai x0 = bi } và một mặt đóng Q của nón lồi đa
diện T ( FI ′ ; C ) ∩ ( M x0 + q0 )
(i)

Ánh xạ

⊥

thì có các tính chất sau:

q → S ( q, b )

có tính chất Aubin trong lân cận điểm

( q0 , x0 ) ∈ gph S ( ., b ) ;
(ii)

Ánh xạ q → S ( q, b ) là chính quy mêtric địa phương theo nghĩa Robinson
trong lân cận điểm ( x0 , q0 , 0 Rn ) .

Chứng minh. Dễ thấy F1 là khả vi chặt tại ( x0 , q0 ) . Ta sẽ chứng minh F3 là
ánh xạ đa trị có đồ thị đóng, tức chứng minh gph F3 là tập đóng.
Thật vậy, giả sử ( xn , qn , vn ) ∈ gph F3 mà ( xn , qn , vn ) → ( x, q, v ) , ta cần chứng
minh ( x, q, v ) ∈ gph F3 . Từ ( xn , qn , vn ) ∈ gph F3 suy ra vn ∈ N ( xn ; C ) . Do đó
< vn , x′ − xn > ≤ 0, ∀ x′ ∈ C .

Cho n→∞ thì ta có < v, x′ − x > ≤ 0, ∀ x′ ∈ C. Từ đó suy ra v ∈ N ( x ; C ) . Do vậy

( x, q, v ) ∈ gph F3 . Khi đó áp dụng Định lý 3.1.5 cho tổng F = F1 + F3 tại điểm

( x0 , q0 , 0Rn ) ∈ gph F , với q∗ ∈ R n

bất kỳ ta có

D∗ F ( x0 , q0 , 0 Rn ) ( q∗ ) = ( M T q∗ + D∗F3 ( x0 , − M x0 − q0 ) ( q∗ ) ) × { q∗} .

(2.5)
∗
Với ω0 = ( x0 , y0 , 0 Rn ) = ( x0 , q0 , 0 Rn ) , từ (2.5) suy ra ker D F ( ω 0 ) = { 0} .

Điều kiện (2.3) sẽ được viết như sau:
M T q∗ ∈ D∗ F3 ( x0 , − M x0 − q0 ) ( −q∗ ) ⇒ q∗ = 0.