tính chất của môđun tự do trên vành chính

1

Mục lục
Trang
Mở đầu........................................................................................2
CHNG 1. KIN THC CHUN B ...............................................3
1.1. Vành chính ............................................................................3
1.2. Môđun con xoắn ..................................................................3
1.3. Linh hóa tử của môđun .........................................................3
1.4. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp ..............................................4
1.5. DÃy khớp .................................................................................5
1.6. Môđun hữu hạn sinh ...........................................................5
1.7. Môđun tự do..........................................................................5
1.8. Môđun nội xạ ........................................................................7
1.9. Nguyên lý Zermelo.................................................................7
1.10. Nguyên lý quy nạp siêu hạn...................................................7
1.11. Sự phân tích các môđun ..................................................7
chơng 2. môđun trên vành chính .........................................8
2.1. Môđun tự do trên vành chính ...............................................8
2.2. Môđun hữu hạn sinh trên vành chính ..................................8
Kết
luận
.......................................................................................................
12
Tài

liệu
13

tham

khảo


2

Mở đầu
Môđun và vành là một trong những đề tài đà đợc nghiên
cứu khá nhiều từ trớc đến nay. Có thể thấy rằng cấu trúc môđun
xuất hiện hầu hết trong các lý thuyết toán học hiện đại, nó có
khả năng thống nhất một cách bản chất với các cấu trúc vành,
iđêan, nhóm Aben, không gian véctơvà có khả năng linh hoạt tơng đối lớn. Ta thấy rằng cùng một môđun nhng gắn với những
lớp vành cơ sở khác nhau thì cÊu tróc cđa nã cã nhiỊu sù thay
®ỉi. Trong khãa luận tốt nghiệp này, trên cơ sở các kiến thức về
lý thuyết môđun đà đợc học và tìm hiểu ở các tài liệu, chúng
tôi trình bày một số vấn đề về lý thuyết môđun trên vành
chính. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội
dung khóa luận đợc chia làm hai chơng.
Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị: Trình bày (không chứng minh) các
kiến thức cơ sở của lý thuyết môđun có liên quan đến các kết
quả và chứng minh ở Chơng 2.
Chơng 2. Môđun trên vành chính: Trình bày một số tính chất
về môđun trên vành chính, cụ thể là môđun tự do và môđun
hữu hạn sinh trên vành chính. Đồng thời chỉ ra sự phân tích một
số môđun trên vành chính.
Khóa luận này đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự
hớng dẫn tận tình, chu đáo của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan.
Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất
đối với cô về sự giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực
cho tác giả trong quá trình hoàn thành khóa luận. Đồng thời tác
giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa To¸n,

3

các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô
tổ Đại số đà nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ chúng tôi trong suốt
quá trình học tập. Xin cảm ơn tập thể 47 B Toán đà động viên
chúng tôi trong thời gian làm khóa luận này.
Mặc dù đà có nhiều cố gắng nhng vì trình độ và thời
gian có hạn nên khóa luận còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong
nhận đợc những lời chỉ bảo của các thầy cô giáo và sự góp ý của
bạn đọc để khóa luận đợc hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 05 năm 2010
Tác giả
CHNG 1. KIN THC CHUN B
Trong chơng này chúng tôi trình bày (không chứng
minh) một số khái niệm và kết quả đợc dùng trong Chơng 2.
Trong toàn bộ chơng, vành luôn đợc giả thiết là giao hoán và có
đơn vị.
1.1. Vành chính
1.1.1. Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành chính nếu R l min
nguyên v mi iđêan của R đều là iđêan chính.
1.1.2. Ví dụ. Vành các số nguyên  là vành chính.
1.1.3. Mệnh đề. Giả sử là một phần tử khác 0, không khả
nghịch của một vành chính R có phân tích tiêu chuẩn l
= p1e1 ... pkek . Khi ®ã
R / Rα ≅ R / Rp1e1 ⊕ ... ⊕ R / Rpkek .

1.2. Môđun con xoắn
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử R là miền nguyên và M là một Rmôđun. Một phần tử x của M đợc gọi là phần tử xoắn nếu tồn t¹i

4

mét phÇn tư 0 ≠ a ∈ R sao cho ax = 0. Tập các phần tử xoắn của
M đợc kí hiệu là (M).
1.2.2. Mệnh đề. Cho R là một miền nguyên và M là một Rmôđun. Khi đó (M) là một môđun con của M.
1.2.3. Định nghĩa. Giả sử M là một môđun trên miền nguyên R.
Tập (M) các phần tử xoắn của M đợc gọi là môđun con xoắn
của M. Nếu (M) = {0M} thì M đợc gọi là môđun không xoắn.
Nếu (M) = M thì M đợc gọi là môđun xoắn.
1.2.4. Mệnh đề. Giả sử R là một miền nguyên và M là một Rmôđun. Khi đó ta có các khẳng định sau:
(i) (M) là một R-môđun xoắn.
(ii) M / (M) là một R-môđun không xoắn.
1.3. Linh hóa tử của môđun
1.3.1. Định nghĩa. Cho M là một R-môđun.
(i) Với mỗi x M, ta kí hiệu Ann(x) = {a ∈ R| ax = 0}.
(ii) Linh hãa tö của môđun M, kí hiệu là Ann(M), là tập tất cả các
phần tử a R sao cho ax = 0 víi mäi x ∈ M.
Ann(M) = {a∈R | ax = 0, xM}.
1.3.2.Nhận xét. Ann(x) và Ann(M) là những iđêan của vành R.
1.4. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp
1.4.1. Định nghĩa. Cho I là một tập khác rỗng và (M)I là một
họ các R-môđun chỉ số hóa bởi I. Kí hiệu M = I M là tích Đềcác
của (M)I. Trên M trang bị phép cộng và phép nhân với v« híng
nh sau:

( xα ) α∈I + ( yα ) α∈I = ( xα + yα ) α ∈I
a ( xα ) α ∈I = ( axα ) α∈I ,

,


5

víi mäi a ∈ R vµ mäi ( xα ) α∈I ; ( yα ) α ∈I ∈ M . Khi đó hai phép toán vừa xác
định ở trên làm cho M trở thành một R-môđun. M đợc gọi là tích
trực tiếp của họ các R-môđun (M)I.
Trong M = I M α ta lÊy ra tËp con α⊕∈I Mα bao gồm tất cả các phần
tử của M với các thành phần bằng 0 hầu hết, chỉ trừ một số hữu
hạn. Khi đó I M cũng là một R-môđun và đợc gọi là tổng trực
tiếp của họ các môđun (M)I.
1.4.2. Chú ý. (i) NÕu Mα = N víi mäi α∈I th× ta kÝ hiÖu αΠ∈I M α bëi
N I.
(ii) NÕu Mα = N víi mäi α∈I th× ta kÝ hiƯu α⊕∈I M bởi N(I).
1.4.3. Mệnh đề. Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị, I và
J là những tập khác rỗng, (M)I và (N)I là họ các R-môđun. Khi
®ã

(

)

HomA ⊕ M α , Π N β ≅
α ∈I

β ∈J

Π

( α , β ) ∈IxJ

HomA ( M α , N ) .

1.4.4. Định lí. Cho R-môđun M và N là một môđun con của nó.
Khi đó nếu N là một hạng tử trực tiếp của M thì M / N F , trong
đó F là môt môđun con nào đó của M.
1.5. DÃy khớp
1.5.1. Định nghĩa. Một dÃy đồng cấu các R-môđun
fi
f i+1
...
M i
M i +1
M i + 2
...

đợc gọi lµ mét d·y khíp nÕu Im fi = Ker fi+1, víi mäi i. Mét d·y khíp
cã d¹ng
f
g
0 
→ M 
→ N
P
0

đợc gọi là một dÃy khớp ngắn.
1.5.2. §Þnh nghÜa. D·y khíp

6
f
g
...
M
N
P
...

đợc gọi là chẻ ra tại M nếu Im f = Ker g là một hạng tử trực tiếp
của M. Nếu một dÃy khớp chẻ ra tại mọi môđun không ở hai đầu
mút của dÃy thì ta nói rằng nó chẻ ra.
1.5.3. Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị.
Một tập con khác rỗng S của A đợc gọi là tập đóng nhân của A
nếu 1 S và víi mäi a, b ∈ S th× ab ∈ S.
f
g
1.5.4. Mệnh đề. Cho dÃy khớp các R-môđun N
M
L và S

là một tập đóng nhân của A. Khi đó ta có dÃy khớp các S -1Rmôđun sau:
s f
s g
S −1 N 
→ S −1M 
→ S −1 L .
1

1

1.6. Môđun hữu hạn sinh. Cho M là một R-môđun và S là tập
con của R-môđun M. Khi đó giao của tất cả các môđun con của
M chứa S cũng là một môđun con của M. Môđun con này đợc gọi
là môđun con của M sinh bởi S.
Nếu môđun con sinh bởi S của M chính là M thì ta bảo rằng S là
một hệ sinh của M. Nếu M có hệ sinh hữu hạn thì ta nói M là
một môđun hữu hạn sinh. Khi M có một hệ sinh chỉ gồm một
phần tử thì M đợc gọi là một môđun đơn sinh, hay môđun
xyclic.
1.7. Môđun tự do
1.7.1. Định nghĩa. Tập con S của một R-môđun M đợc gọi là
một tập độc lập tuyến tính nếu từ mỗi đẳng thøc
a1x1 + ... + anxn = 0
víi x1, ..., xn S từng đôi một khác nhau, ta rút ra a 1 = ... = an =
0. Nếu trái lại thì S đợc gọi là một tập phụ thuộc tuyến tính. Nếu
môđun M có một hệ sinh độc lập tuyến tính thì nó đợc gọi là
một môđun tự do và tập S đợc gọi là một cơ sở của M.


7

1.7.2. Ví dụ
(i) Vành R là một môđun tự do trên chính nó với cơ sở {1}. Tổng
quát hơn, với I lµ mét tËp chØ sè bÊt kú, R (I) là một R-môđun tự do
với cơ sở {ei| i I} trong đó ei có thành phần thứ i bằng 1, các
thành phần còn lại bằng 0. Cơ sở này đợc gọi là cơ sở tự nhiên
hay cơ sở chính tắc của A(I).
(ii) Mỗi không gian vectơ trên một trờng K là một K-môđun tự do

vì nó luôn có cơ sở.
(iii) Vành  6 tất cả các lớp số nguyên mod 6 là một  -môđun. Tuy
nhiên do 6 x = 0 với mọi x  6 nên  6 không có cơ sở nên nó không là
môđun tự do.
(iv) Xét vành R = Â 6 . Gọi M và N lần lợt là các R-môđun con của R
sinh bởi 2 và 3 của R. Hai môđun này không tự do trên R vì 2.3 = 0 .
1.7.3. Định lý. Nếu M là một R-môđun tự do với cơ sở S thì M

R(S).
1.7.4. Định lý. Một R-môđun là hữu hạn sinh khi và chỉ khi nó
đẳng cấu với một môđun thơng của R n, với n là số nguyên dơng
nào đó.
1.7.5. Mệnh đề. DÃy khớp các R-môđun
0
M
N
F
0

là chẻ ra nếu F là môđun tự do.
1.7.6. Định nghĩa. Cho M là một môđun tự do trên vành giao
hoán có đơn vị R. Khi đó lực lợng của một cơ sở của M đợc gọi là
hạng của R-môđun M và kí hiệu là r(M).
1.7.7. Mệnh đề. Cho R là vành giao hoán. M, N, P là các
môđun tự do trên vành R. Khi đó nếu có dÃy khớp ngắn các Rmôđun


8
0 
→ N 

→ M 
→ P 
→0

th× r(M) = r(N) + r(P).
1.8. Môđun nội xạ
1.8.1. Định nghĩa. Một R-môđun I đợc gọi là nội xạ nếu và chỉ
I và mọi đơn cấu à : M '
M các
nếu với mọi đồng cấu : M '
I sao cho à = .
R-môđun, đều tồn tại mét ®ång cÊu λ :M 

1.8.2. MƯnh ®Ị. NÕu I là một R-môđun nội xạ và M ' M là các
R-môđun thì mọi đồng cấu R-môđun từ M đến I đều mở rộng
đợc thành một đồng cấu R-môđun từ M đến I.
1.8.3. Định nghĩa. Một nhóm Aben D đợc gọi là chia đợc nếu
với mọi d D và mäi n ≠ 0, tån t¹i c ∈ D sao cho d = nc.
1.8.4. Mệnh đề. Một nhóm Aben là chia đợc nếu và chỉ nếu
nó là một  môđun nội xạ.
1.9. Nguyên lý Zermelo. Mọi tập hợp đều có thể sắp thứ tự
tốt.
1.10. Nguyên lý quy nạp siêu hạn. Giả sử (X, ) là một tập sắp
thứ tự tốt và là một tính chất nào đó đối với các phần tử của X
thỏa mÃn hai điều kiện sau:
(i) Phần tử đầu tiên có tính chất .
(ii) NÕu mäi y ∈ X mµ y < x (x X) đều có tính chất thì suy ra
x cũng có tính chất .
Khi đó mọi phần tử của X đều có tính chất .
1.11. Sự phân tích các môđun. Một R-môđun M đợc gọi là

không phân tích đợc nếu M không thể biểu diễn đợc dới dạng
tổng trực tiếp của hai R-môđun con không tầm thờng.


9

chơng 2. môđun trên vành chính
2.1. Môđun tự do trên vành chính
Ta biết rằng, trên một vành bất kỳ, không phải môđun con
của môđun tự do nào cũng là môđun tự do. Chẳng hạn, lấy R =
 6 thì R là R-môđun tự do. Xét M là R-môđun con của R sinh bởi

phần tử 2 R thì M không phải là một R-môđun tự do (xem Ví dụ
1.7.2).Tuy nhiên trên một vành chính thì tình hình khác hẳn,
bởi mọi môđun con của một môđun tự do trên vành chính lại là
một môđun tự do. Ta có định lý sau.
2.1. 1. Định lý. Giả sử R là một vành chính. Khi đó mọi môđun
con của một R-môđun tự do là một R-môđun tự do.
2.1.2. Định lý. Giả sử T là một môđun tự do trên một vành
chính R và M là một môđun con của T có hạng hữu hạn n. Khi đó
tồn tại n phần tử 1 , 2 ,..., n của R và một cơ sở cđa T chøa n phÇn
tư e1, e2, ... , en sao cho:
(i) Các phần tử e11, e22, ... , enn lập thành một cơ sở của M.
(ii) i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1, 2, ... , n-1.
2.1.3. Mệnh đề. Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị và
mọi iđêan của R đều là môđun con tự do của R. Khi đó vành R
là một vành chính.
2.2. Môđun hữu hạn sinh trên vành chÝnh

10

Trong mục này, chúng tôi trình bày các kết quả về
môđun hữu hạn sinh trên vành chính. Trớc hết ta có định lý sau
đây mà thực chất có thể xem nh một hệ quả của Định lý 2.1.1.
2.2.1. Định lý. Cho M là một môđun sinh bởi n phần tử trên
vành chính R. Khi đó mọi môđun con của M đều có một hệ
sinh chứa không quá n phần tử.
Từ định lý trên ta có ngay hệ quả sau.
2.2.2. Hệ quả. Trên một vành chính mọi môđun con của
môđun xyclic là môđun xyclic.
2.2.3. Hệ quả. Trên một vành chính mọi môđun con của
môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh.
Định lý sau là một hệ quả của Định lý 2.1.2.
2.2.4. Định lý. Giả sử M là một môđun hữu hạn sinh trên một
vành chính R. Thế thì M đẳng cấu với một R-môđun dạng
R/ R1 ... R/ Rn,
trong đó 1, 2, ... , n thuộc R và α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1,
2, ... , n-1.
Từ Định lý 2.2.4 ta lập tức suy ra hệ quả sau đây giúp quy
bài toán phân loại môđun hữu hạn sinh trên vành chính về bài
toán phân loại môđun xoắn hữu hạn sinh.
2.2.5. Hệ quả. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một
vành chÝnh R. Khi ®ã:
(i) M = τ(M) ⊕ F víi (M) là môđun con xoắn của M và F là một
môđun tự do.
(ii) M là một môđun tự do nếu và chỉ nếu M không xoắn.
2.2.6. Nhận xét. Có thể chứng minh 2.2.5 một cách trực tiếp
mà không cần thông qua Định lý 2.2.4.

11

2.2.7. Nhận xét. Hệ quả 2.2.5 (i) không còn đúng khi bỏ đi giả
thiết hữu hạn sinh.
Từ Hệ quả 2.2.5, ta thu đợc hệ quả sau.
2.2.8. Hệ quả. Một môđun trên vành chính có hạng bằng 0 nếu
và chỉ nếu nó là một môđun xoắn.
2.2.9. Định lý. Cho R là một vành chính, M là một R-môđun
hữu hạn sinh và N là một môđun con của M. Khi đó M và N có
cùng hạng nếu và chỉ nếu M|N là một môđun xoắn.
2.2.10. Định nghĩa. Giả sử M là một môđun xoắn hữu hạn
sinh trên vành chính R. Với mỗi x ∈ M, tËp Ann(x) = {a ∈ R| ax =
0} là một iđêan khác 0 của R. Vì R là một vành chính, tồn tại
phần tử R, α ≠ 0 sao cho Ann(x) = R α . Phần tử xác định duy
nhất, sai khác một nhân tử khả nghịch, đợc gọi là cấp của x, kí
hiệu 0(x).
Cũng vì R là một vành chính, tồn tại duy nhất, sai khác một
nhân tử khả nghịch, một phần tử khác không R sao cho
Ann(M) = R . Ta gäi β lµ sè mị cđa M vµ kí hiệu là exp(M).
2.2.11. Nhận xét. Từ Định nghĩa 2.2.10, ta dƠ dµng nhËn thÊy :
(i) Sè mị cđa M chia hÕt cho cÊp cđa mäi phÇn tư cđa nã.
(ii) Nếu M là một môđun xyclic sinh bởi phần tử x thì exp(M) =
0(x).
2.2.12. Định lý. Cho R là một vành chính và M 1, M2 là những
môđun xyclic trên vành R với các số mũ lần lợt là , . Khi đó M1
M2 là một R-môđun xyclic nếu và chỉ nếu và nguyên tố cùng
nhau.
2.2.13. Mệnh đề. Cho R lµ mét vµnh chÝnh vµ M lµ mét Rmôđun xyclic với số mũ . Khi đó M là một R|R mô đun tự do.

12

2.2.14. Định lý. Mỗi môđun xoắn hữu hạn sinh M trên một vành
chính R đều có phân tích
M = M1 M2 .... Mn,
trong đó mỗi Mi là một môđun con xyclic có số mũ exp(M i) = pi e

i

là lũy thừa của một phần tử bất khả quy pi R.
2.2.15. Định nghĩa. Cho R là một vành chính. Với mỗi phần tử
bất khả quy p R, ta kí hiệu Cp(M) là tập các phần tử cđa M cã
cÊp lµ mét lịy thõa cđa p.
DƠ thÊy từ định nghĩa trên, Cp(M) là một môđun con của M.
2.2.16. Định lý. Cho M là một môđun xoắn hữu hạn sinh trên
vành chính R với số mũ exp(M) = có phân tích tiêu chuẩn
= p1e1 . p2e2 ... pkek . Khi ®ã
M = C p1 ( M ) ⊕ ... ⊕ C pk ( M ) ,
e
trong ®ã exp ( C p ( M ) ) = p víi mäi i = 1, 2, ... , k.
i

i

i

H¬n nữa, phân tích dạng này của M là duy nhất nếu không kể
đến thứ tự hạng tử.
2.2.17. Mệnh đề. Cho R là một vành chính. Khi đó các phát

biểu sau là đúng.
(i) R là một R-môđun không phân tích đợc.
(ii) Trờng các thơng của R cũng là một R-môđun không phân
tích đợc.
(iii) Nếu p là một phần tử bất khả quy của R và e là một số
nguyên dơng thì R-môđun R|Rpe là không phân tích đợc. Và
ngợc lại, nếu một R môđun xyclic là không phân tích đợc, thì sè
mị cđa nã liªn kÕt víi lịy thõa cđa mét phần tử bất khả quy của
R.


13

Kết luận
Dựa vào tài liệu tham khảo, Khóa luận đà trình bày đợc
một số tính chất
của môđun trên vành chính. Cụ thể là Khóa luận đà hoàn thành
đợc những việc sau :
1. Trình bày một số tính chất của môđun tự do trên vành chính.


14

2. Trình bày một số tính chất của môđun hữu hạn sinh trên
vành chính.

Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Tự Cờng (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, nxb Đại
học Quốc gia Hµ Néi.

15

[2] Nguyễn Bá Thị Lệ Hằng (2009), Một số tính chất của môđun
phẳng, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh.
[3] Hoàng Xuân Sính (1992), Đại số đại cơng, nxb Giáo dục.
[4] Dơng Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, nxb đại học
S phạm.