Tính địa phương của nhóm giải được

1

MỤC LỤC
Trang
LỜI NĨI ĐẦU.......................................................................................................2
Chương 1. Nhóm giải được.................................................................................4
§1. Nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn.............................................4
§2. Tác động của một nhóm trên một tập..............................................................9
§3. Nhóm giải được.............................................................................................16
§4. Nhóm giải được tổng qt.............................................................................20
Chương 2. Tính địa phương của nhóm giải được...........................................23
§1. Nhóm hữu hạn địa phương............................................................................23
§2. Tính địa phương của nhóm giải được............................................................26
KẾT LUẬN.........................................................................................................31
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................32


2

LỜI NĨI ĐẦU
Lớp nhóm giải được là một lớp nhóm giữ vị trí quan trọng trong đại số mói
riêng và tốn học nói chung. Nó có nhiều ứng dụng khơng chỉ trong lý thuyết
nhóm, mà cịn trong các ngành khoa học khác như lý thuyết Galoa, vật lý, hóa
học… Lớp nhóm này đã được nhiều nhà tồn học quan tâm nghiên cứu và thu
được nhiều kết quả tốt. Bản thân lý thuyết này cũng không ngừng phát triển bên
cạnh lý thuyết nhóm giải được trừu tượng, lý thuyết nhóm giải được tuyến tính…
Nội dung của khóa luận là hệ thống lại và tìm một số ví dụ minh họa về
nhóm giải được và tính địa phương của nhóm giải được. Khóa luận ngồi phần mở
đầu và tài liệu tham khảo, được chia làm hai chương:
Chương 1. Nhóm giải được
Nội dung chính của chương này nhắc lại các khái niệm về nhóm hữu hạn,

nhóm con với chỉ số hữu hạn, khái niệm về tác động. Từ định lý Sylow, tìm ra một
số ứng dụng của nó. Nhắc lại khái niệm về nhóm giải được và giải được hữu hạn,
từ đó tìm một số ví dụ và chứng minh một số tính chất của nó. Cụ thể được thể
hiện qua các mục sau:
§ 1. Nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn.
§ 2. Tác động của một nhóm trên một tập.
§ 3. Nhóm giải được.
§ 4. Nhóm giải được tổng qt.
Chương 2.Tính địa phương của nhóm giải được
Nội dung chính của chương này là nhắc lại khái niệm về nhóm hữu hạn địa
phương và từ đó xét một số tính chất của nó. Cuối cùng tác giả nghiên cứu một số
tính chất địa phương của nhóm giải được. Cụ thể được thể hiện qua các mục sau:
§ 1. Nhóm hữu hạn địa phương.
§ 2. Tính địa phương của nhóm giải được.
Khóa luận được hồn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo – Ths Nguyễn
Quốc Thơ. Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy vì sự giúp


3

đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực cho tác giả trong q trình hồn thành khóa
luận.
Tác giả trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán, các thầy giáo, cô giáo
trong tổ Đại số và tập thể lớp 48B – Toán đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận
lợi để tác giả hồn thành khóa luận này.
Với thời gian và năng lực hạn chế, chắc rằng khóa luận cịn nhiều thiếu sót,
tác giả mong được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận
được hồn thiện hơn.

4

CHƯƠNG 1
NHĨM GIẢI ĐƯỢC
§1. NHĨM HỮU HẠN VÀ NHĨM CON VỚI CHỈ SỐ HỮU HẠN
1.1. Khái niệm về nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn
1.1.1. Định nghĩa. Một nửa nhóm hoặc một nhóm G được gọi là hữu hạn nếu có
hữu hạn phần tử.
Khi đó, số các phần tử trong G được gọi là cấp của G. Giả sử G có n phần
tử, khi đó cấp của G được kí hiệu là: G = n hoặc là ord (G) = n.
1.1.2. Mệnh đề. Một nửa nhóm khác rỗng hữu hạn X là một nhóm khi và chỉ khi
phép tốn trong X có luật giản ước.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử X là một nhóm, khi đó với mọi x,y.z 
X ta có:

xy = xz

 x  1 (xy) = x  1 (xz)

 ey = ez

 (x  1 x)y = (x  1 x)z

y=z

Ta suy ra phép tốn trong X có luật giản ước trái.
Tương tự, phép tốn trong X có luật giản ước phải.
Vậy khi X là một nhóm thì phép tốn trong X có luật giản ước.
Điều kiện đủ: Giả sử X là nửa nhóm khác rỗng hữu hạn, phép tốn trong X
có luật giản ước. Cần chứng minh X là một nhóm.

Giả sử X = {a 1 ,…,a n }; a,b là các phần tử bất kỳ của X.
Ta có: aa 1 ,…,aa n là n phần tử khác nhau của X ( do trong X có luật giản
ước).
Do đó aX = {aa 1 ,…,aa n } là tập con của X và có cùng số phần tử với X.
Vì aX, X hữu hạn nên aX = X.
Vì b  X nên b  aX. Do đó, tồn tại a k  X (1  k  n) sao cho aa k = b.
Vậy phương trình ax = b có nghiệm x = a k trong X.
Tương tự, phương trình ya = b có nghiệm trong X. Theo định nghĩa của
nhóm ta suy ra X là một nhóm. 


5

1.1.3. Hệ quả. Một nửa nhóm con khác rỗng H của một nhóm hữu hạn G là một
nhóm con của G.
Chứng minh. Vì G là một nhóm hữu hạn phần tử nên theo Mệnh đề 1.1.2 G có
luật giản ước. Khi đó với  a,b,c  H và ac = bc thì a,b,c  G và ac = bc ( Vì H 
G)  a = b
Tương tự,  a,b,c  H và ca = cb  a = b. Do đó H có luật giản ước.
Vì H là tập con của G và G có hữu hạn phần tử nên H cũng có hữu hạn phần
tử. Theo mệnh đề 1.1.2, nửa nhóm con khác rỗng H là một nhóm và do đó H là
nhóm con của G. 
1.1.4. Định nghĩa: Giả sử G là một nhóm hữu hạn tùy ý cho trước có cấp n và H
là một nhóm con cấp m của G. Xét tập thương Q:= G/H =  xH : x  G  các lớp
ghép trái của G theo H. Khi đó, Q hữu hạn. Số k các phần tử của Q được gọi là chỉ
số của nhóm con H trong G. Kí hiệu: G : H .
1.1.5. Định lý Lagrange: Giả sử T là nhóm con của S trong đó S là nhóm con của
nhóm hữu hạn G. Khi đó: G : T  G : S . S : T .
Chứng minh. Giả sử {x 1 ,…,x n } (tương ứng { y 1 ,…,y n }) là tập các đại diện của
các lớp kề trái của S trong G (tương ứng của T trong S).

Khi đó, m = G : S , n = S : T và G, S được phân tích thành các hợp rời rạc:
G  x1 S  x 2 S  ...  x m S .
S  y1T  y 2T  ...  y nT .
m

Theo luật giản ước ta có: xi S  xi y1T  ...  xi y nT 

n

G xi y j T .
i 1 j 1

Vậy  xi y j , i 1, m, j 1, n là tập đại diện của các lớp kề trái của T trong G.
 G : T m.n  G : S . S : T . 

1.1.6. Hệ quả. Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn G là một ước
của cấp của G.
Chứng minh. Giả sử a  G, G = n.
Nếu a = {e} thì a = 1 nên a là ước của G .


6

Nếu a {e} thì cấp của a là cấp của nhóm xyclic (hữu hạn) a sinh bởi a.
Vì a là ước của G nên a là ước của G . 
1.1.7. Định lý Keli: Mọi nhóm con hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với một nhóm con
của nhóm đối xứng S n .
Chứng minh. Giả sử G = {x 1 ,…x n } là nhóm hữu hạn cấp n; P(X) là nhóm các
song ánh từ G lên G.
Với mỗi a  G, ta có ánh xạ  a : G  G là một song ánh

x  ax
Thật vậy,  x 1 ,x 2  G ta có:  a (x 1 ) =  a (x 2 )  ax 1 = ax 2  x 1 = x 2 (vì
G là một nhóm nên có luật giản ước). Vậy  a đơn ánh.
Với  g  G,  x = a  1 g  G sao cho:  a (x) = ax = a(a  1 g) = (aa  1 )g = eg = g
  a toàn ánh.

Vậy  a song ánh   a  P(X).
Khi đó ánh xạ  : G  P(X) là một đồng cấu
a  a
Thật vậy, ta có: (  a  b )(x) =  a (  b (x)) =  a (bx) = a(bx) = ab(x) =  ab (x), 
a.b  G,  x G   a  b =  ab .
Do đó  (ab) =  ab =  a  b =  (a).  (b),  a.b  G
  là một đồng cấu.

Mặt khác  a.b  G,  (a) =  (b)
 a = b
 ae = be

  a (e) =  b (e) (e là đơn vị của nhóm G).
 a=b

  đơn ánh. Vậy  là đơn cấu
 G   (G), trong đó  (G) là nhóm con của nhóm các phép thế bậc n. 


7

1.1.8. Khảo sát các nhóm con có chỉ số hữu hạn.
Giả sử G là một nhóm, H là nhóm con với chỉ số hữu hạn trong G (G không
nhất thiết là nhóm hữu hạn). Giả sử G : H m và x1 ,..., x m là đại diện của các lớp

ghép phải của G theo nhóm con H.
Với mỗi g  G, ta đặt:
 Hx

Hx

...

Hx 

1
2
m
ĝ =  Hx g Hx g ... Hx g 
2
m 
 1

Khi đó ta có ánh xạ

 : G G
H

g ĝ
Thật vậy, với g 1 , g 2  G ta có: g 1  g 2
 Hx1 ... Hx m 
 Hx1
 = 
  ( g 1 ) = ĝ 1 = 
 Hx1 g 1 ... Hx m g 1 

 Hx1 g 2

... Hx m 
 = ĝ =  ( g2 )
... Hx m g 2 

  ( g 1 ) =  ( g 2 ).

1.1.9. Định lý Poincare: Mọi nhóm con có chỉ số hữu hạn m đều chứa một ước
chuẩn có chỉ số hữu hạn chia hết cho m và chia hết m!.
Hx .
Chứng minh. Giả sử H là nhóm con của G với chỉ số hữu hạn m và N  x
G

Khi đó N chuẩn tắc trong G và được chửa trong H nên G : N  G : H H : N


G : N m H : N

Vậy G : N chia hết cho m.
Mặt khác, vì N là hạt nhân của đồng cấu biểu diễn  nên G/N đẳng cấu với
nhóm con của nhóm các phép thế T trên tập G/H gồm m phần tử. Khi đó: T m!
Theo định lý Lagrange, G / N là ước của m! hay G : N là ước của m!. 
1.1.10. Mệnh đề. Giao của một họ hữu hạn các nhóm con có chỉ số hữu hạn của
một nhóm G là một nhóm con có chỉ số hữu hạn của G.
Chứng minh. Theo nguyên lý quy nạp, ta chỉ cần chứng minh:
A và B các nhóm con có chỉ số hữu hạn của G là nhóm con có chỉ số hữu
hạn của G.

8

Thật vậy, ta có: G : A . A : A  B  G : A  B
(1)
Mặt khác, ta xác định ánh xạ f: A A  B  G B cho bởi f(x(A  B)) = xB.
Với  x,y  A, ta có: f(x(A  B)) = f(y(A  B))  xB = yB  x  1 y  B mà x
1

y  A nên suy ra x  1 y  A  B  x(A  B) = y(A  B).
Vậy f là đơn ánh


A: A  B G : B.

Từ (1), (2) suy ra G : A  B  G : A . G : B . 

(2)


9

§2. TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHĨM TRÊN MỘT TẬP
2.1.1. Định nghĩa.
Giả sử S là một tập và G là một nhóm. Khi đó ánh xạ: G S  S
( x ,s)  x s
được gọi là tác động của G trên S (bên trái) nếu hai điều kiện sau thỏa mãn:
i) ( xy) s = x( ys)
ii) es s
với x, y  G, s  S , e là đơn vị của G.
Trong trường hợp đó ta nói rằng G tác động trên tập S(bên trái) hay S là một

G – tập.
Ta xét G – tập S, x  G cảm sinh ánh xạ: Tx : S  S từ S vào chính nó cho
bởi cơng thức: Tx ( s )  xs, s  S .
Ngoài ra, theo định nghĩa với s  S ta có:
Txy ( s )  xys ( xs)( ys) Tx ( s )T y ( s)  Txy Tx T y .
1
Vì G là một nhóm nên ánh xạ Tx có ánh xạ ngược là ( Tx ) Tx .
1

Do đó, mỗi Tx là một phép thế trên tập S.
Xét ánh xạ  : x  Tx , ta có:
x, y  G, s  S ,  ( xy)( s) Txy ( s ) (Tx T y )( s ) Tx ( s )T y ( s)  ( x)( s) ( y )( s) ( ( x) ( y ))( s)

.   ( xy )  ( x) ( y ). Vậy  là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm các phép thế của
S và ta nói rằng G biểu diễn được dưới dạng nhóm các phép thế (hoặc nói rằng đã
cho một sự biểu diễn từ nhóm G vào nhóm các phép thế).
Chú ý: Nếu S là một tập (khơng nhất thiết hữu hạn). Khi đó, tập hợp các
song ánh từ S nên chính nó với phép nhân ánh xạ là một song ánh. Nó được gọi là
nhóm các phép thế của S.
2.1.2. Các ví dụ.
Ví dụ 1 (Phép liên hợp). Đối với mỗi x  G ta xác định ánh xạ  x : G  G bởi
công thức  x ( y ) xyx  1 .


10

Ánh xạ (x,y)   x ( y ) xyx  1 xác định một tác động của G lên chính nó
đượcgọi là phép liên hợp.
Thử trực tiếp các điều kiện của tác động:
i) ta có:

( x1 , x 2 ) y  x1 x2 ( y ) x1 x 2 yx 2 1 x1 1

(1)

x1 ( x 2 y ) x1 ( x2 ( y )) x1 ( x 2 yx 2 1 )  x1` ( x 2 yx 2 1 ) x1 x 2 yx 2 1 x1 1

(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: ( x1 , x 2 ) y x1 ( x 2 y )
ii) ey =  e ( y ) = ey e  1 = y ,  y G
Trong thực tế, mỗi  x là một tự đẳng cấu của G, nghĩa là x, y, z  G ta có:
 x ( yz ) xyzx  1 xyx  1 xzx  1  x ( y ) x ( z ) và  x có nghịch đảo là (  x )  1 =  x  1 .
Vì vậy, ánh xạ  : x   x là một đồng cấu từ G vào nhóm các tự đẳng cấu
của nó.
Hạt nhân đồng cấu  là:
Ker( ) =  x  G \  ( x)  y, y  G
=  x  G \ xyx  1  y, y  G
=  x  G \ xy  yx, y  G = C(G).
Vậy hạt nhân đồng cấu  trùng với tâm của G.
Để tránh nhầm lẫn, ta không dùng cách viết xy cho  x ( y ) . Đôi khi ta viết
 x  1 ( y ) x  1 yx  y x tức là dùng kí hiệu mũ, như thế các quy tắc sau được thỏa mãn:
y xz ( y x ) z , y e  y, x, y , z  G.

Chú ý rằng nhờ phép liên hợp, G cũng tác động trên họ các tập con của nó.
Thật vậy, giả sử S là tập hợp tất cả các tập con của G và A

1
. Khi đó, xax  S

và có thể kí hiệu:  x ( A ).

Thử trực tiếp thấy: ( x, A)  xax  1 là tác động của G trên S.
Ngoài ra, ta chú ý rằng nếu A là nhóm con của G thì xAx  1 cũng là nhóm con
của G.
Như vậy, nhờ phép liên hợp G cũng tác động trên họ tất cả các nhóm con.


11

Giả sử A, B là hai tập con của G. Khi đó A, B được gọi là liên hợp với nhau
nếu tồn tại phần tử x  G sao cho B xAx  1 .
Ví dụ 2 (phép chuyển dịch). Đối với mỗi x  G, ta xác định phép chuyển dịch
T x : G  G bằng cách đặt T x (y) = xy.
Khi đó, ánh xạ (x,y)  xy = T x (y) xác định một tác động của nhóm G trên
chính nó.
Chú ý: T x khơng phải là một đồng cấu nhóm mà chỉ là một phép thế của G.
Tương tự, G tác động trên tập tất cả các tập con của nó nhờ phép chuyển
dịch (vì xA=T x (A) là tập con của G cùng với A ).
Nếu H là một nhóm con của G thì T x (H) có thể khơng phải là một nhóm con
của G nhưng nó là một lớp ghép trái của G theo H. Và do đó, G tác động trên tập
các lớp ghép trái của G theo H nhờ các phép chuyển dịch .
Kí hiệu tập các ghép trái của G theo H là G/H. Khi đó, G/H là một G- tập
ngay cả khi H không phải là ước chuẩn. Tập các ghép bên phải được kí hiệu là
H/G.
Hai cách biểu diễn nói trên của nhóm G dưới dạng nhóm các phép thế
thường được sử dụng sau này. Đặc biệt, sự biểu diễn bằng phép liên hợp sẽ dùng
để chứng minh định lý Sylow.
2.1.3. Nhóm đẳng hướng. Giả sử nhóm G tác động trên một tập S nào đó và s 
S. Tập các phần tử x  G thỏa mãn điều kiện xs = s là một nhóm con của G, nó
được gọi là nhóm đẳng hướng của phần tử s trong G. Kí hiệu là G s .
Khi G tác động trên chính nó nhờ phép liên hợp, nhóm đẳng của một phần

tử chẳng qua là cái chuẩn tắc hóa của phần tử đó.
Cũng đúng như thế, khi G tác động nhờ phép liên hợp trên nhóm con của
nó, nhóm đẳng hướng của một nhóm con lại là cái chuẩn tắc hóa của nhóm con đã
cho.
Giả sử G tác động trên tập S, s,s ' là các phần tử của S, y  G sao cho ys=s ' .
Khi đó G s = yG S y  1 .
'


12

Thật vậy, thấy ngay rằng yG S y  1 giữ s ' không đổi và yG S y  1 giữ s cố định,
từ đó suy ra đẳng thức G s = yG S y  1 . Nói khác đi, các nhóm đẳng hướng của các
'

phần tử s,s ' liên hợp với nhau.
2.1.4. Quỹ đạo. Giả sử G tác động trên tập S, s S, s cố định. Tập con của S gồm tất
cả các phần tử dạng xs (x G) được gọi là quỹ đạo của phần tử s đối với nhóm G.
Kí hiệu G s .
Nếu x và y cùng nằm trong một lớp ghép H = G s , thì xs = ý và ngược lại.
Vì vậy, ta được ánh xạ f: G/H  S cho bởi công thức f(xH) = xs.
Ánh xạ này là một cấu xạ của các G – tập, nghĩa là thỏa mãn điều kiên f(xs)
= xf(s), x  G, s  S . Thực ra ta thấy nó cảm sinh một song ánh từ tập các lớp
ghép trái G/H lên quỹ đạo G s .
Do đó, nếu G là một nhóm tác động trên tập S, s  S thì cấp (hoặc độ dài)
của quỹ đạo G s trùng với chỉ số G : G s .
Đặc biệt, nều G tác động nhờ phép liên hợp trên tập các nhóm con của nó và
H là một trong các nhóm ấy thì số các nhóm con liên hợp với H bằng chỉ số của cái
chuẩn tắc hóa N H trong G.
Ví dụ. Giả sử G là một nhóm, H là nhóm con có chỉ số bằng 2. Khi đó H  G.

Thật vậy, ta có: H  N G (H). Vì vậy chỉ số N G (H) có thể bằng 1 hoặc bằng 2.
Nếu chỉ số N G (H) bằng 1 thì H  G.
Giả sử chỉ số bằng 2. Cho G tác động liên hợp các tập con của G. Khi đó,
quỹ đạo H gồm hai phần tử và cho G tác động trên các quỹ đạo đó. Ta được đồng
cấu từ G vào nhóm các phép thế hai phần tử.
Vì có lớp liên hợp với H khơng bằng H nên hạt nhân của đồng cấu của nhóm
G là ước chuẩn có chỉ số bằng 2 và khi đó nó trùng với H tức H là ước chuẩn.
2.1.5. Định lý Slow. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố.
Tồn tại: Đối với mỗi lũy thừa p  chia hết cấp của G, tồn tại trong G nhóm
con cấp p  .


13

Lồng nhau: Nếu p  1 chia hết cấp của G, thì mỗi nhóm con cấp p  của G
được chứa trong một nhóm con cấp p  1 nào đó của G.
Nói riêng, p - nhóm con tối đại của G, đó chính là các nhóm con cấp p r ,
trong đó p r là lũy thừa cao nhất của p, chia hết cấp của G.
Liên hợp: Tất cả các p – nhóm con tối đại của G đều liên hợp với 1 theo
môđun p.
2.1.6. Ứng dụng định lý Sylow
Ứng dụng 1: Cho p là một số nguyên tố. Giả sử T là tập hợp các ma trận tam giác
trên cấp n, có các phần tử trên đường cháo chính bằng 1. Khi đó T là một p –
nhóm con Sylow của nhóm GLn GL(n, p).
Chứng minh. Gọi T là tập hợp các ma trận tam giác trên của GLn với các phần tử
trên đường chéo chính bằng 1, tức ma trận có dạng:
1
0

0


...
 0

*
1
0
...
0

*
*
1
...
0

...
...
...
...
...

*
* 
*

...
1 

Mỗi phần tử * trong ma trận trên có thể nhận một trong p giá trị tùy ý của

Zp.

Do đó, T là một nhóm con của GLn với T = p. p  ... p n 1 . p .
Ta tính GLn ?
Đồng nhất mỗi ma trận A  GLn với dãy có thứ tự các véctơ hàng của nó
a1 ,..., a n  ( Z p ) n . Rõ ràng A GLn nếu và chỉ nếu hệ a1 ,....a n độc lập tuyến tính.

Gọi L( a1 ,....a n ) là khơng gian véctơ sinh bởi a1 ,....a n . Khi đó, để a i độc lập
n
tuyến tính, có thể chọn tùy ý a1 từ p n  1 điểm của ( Z p ) \  0 .

Giả sử hệ a1 ,..., a i  1 độc lập tuyến tính. Để cho hệ a1 ,..., a i  1 , ai độc lập tuyến
n
tính ta có thể chọn tùy ý a i từ p n  p i  1 điểm của ( Z p ) \ L(a1 ,..., a i  1 ) .


14
n
n
n
n 1
Như thế, GLn ( p  1)( p  p)...( p  p ) . Lũy thừa cao nhất của p chia hết

GLn chính là : T  p. p 2 ... p n  1 .

Vậy T là p – nhóm con sylow của .
Ứng dụng 2: Mơ tả nhóm hữu hạn cấp pq.
Giả sử p và q là các số nguyên tố, G là nhóm hữu hạn cấp pq. Giả thiết rằng
pcấp nguyên tố nên xyclic. Giả sử a là p – nhóm con và b là q – nhóm con tối

đại. Theo định lý Sylow, số các q – nhóm con tối đại b là duy nhất. Từ đó, nó
chẩn tắc trong G. Số các p – nhóm con tối đại có dạng 1+kp và chia hết q, bởi vậy
có hai khả năng:
Khả năng 1: p - nhóm con tối đại a là duy nhất.
Khi đó nó chuẩn tắc trong G và do đó  a, b  a  b . Bởi vậy  ab 
pq

a pq .b pq 1 , nên G= ab .Như thế trong trường hợp này G Z(pq)

Khả năng 2: Có q nhóm con là p – nhóm con tối đại.
Rõ ràng rằng có thể q 1(mod p). Giả sử a  1 ba = b r .
Nếu r = 1 thì G = <ab>, nghĩa là G Z(pq).
Giả sử r 1, theo quy nạp ta có:
m
a  n b m a n b r n , với mọi m,n  Z, với m=p, n=1, ta có: r p 1 (mod q).

Ngồi ra, chúng ta nhận được cơng thức nhân
'

'

'

'

a m b n a m b n a m  m b n  n .

Ngược lại, dễ kiểm tra được nếu q  1 (mod p), r p 1 (mod p), r 1 (mod q),
thì cơng thức nhân trên xác định một nhóm khơng Abel cấp pq.
Cuối cùng, các nghiệm của phương trình đồng dư (mod p) tạo thành một

nhóm xyclic cấp p, bởi vậy từ các nghiệm này xác định một và chỉ một nhóm, bởi
vì nếu thay thế phần tử sinh a bởi

thì dẫn tới việc thay thế r bởi r j .


15

Như vậy, nhờ định lí Sylow chúng ta đã mơ tả được tất cả các dạng của lớp
nhóm hữu hạn cấp pq. Chúng có hai lớp nhóm Abel và khơng Abel, thêm vào đó
lớp nhóm thứ hai tồn tại khi và chỉ khi thỏa mãn điều kiện q

1 (mod p).

Ứng dụng 3: Ví dụ về p- nhóm con tối đại.

(1) Xét nhóm cộng Z(n), với n = p 1 p 2 …p k trong đó  i >0). Thế thì các p1

2

k

i

nhóm con tối đại Z(p) là nhóm xyclic cấp p i .
(2) p – nhóm con tối đại của nhóm nhân C * là các nhóm tựa xyclic C(p  ).
(3) Giả sử p là số nguyên tố, m,n  Z và m  1, n  1, q = p m . Khi đó p nhóm con tối đại của GL(n,p) là nhóm UT(n,q).


16

§3. NHĨM GIẢI ĐƯỢC
3.1. Định nghĩa: Một nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu thỏa mãn một trong
các điều kiện sau:
1) Nhóm G có một chuỗi chuẩn tắc giải được hữu hạn.
2) Nhóm G có một chuỗi bất biến giải được hữu hạn.
3) Dãy giảm các đạo nhóm của nhóm G dừng tại nhóm con đơn vị sau một
số hữu hạn bước.
3.2. Định lý. Ba điều kiện trong định nghĩa 3.1 của nhóm giải được là tương
đương nhau.
Chứng minh.
+ Từ 3) suy ra 2) vì dãy giảm các đạo nhóm nếu sau một số hữu hạn bước
dừng tại nhóm con đơn vị sẽ trở thành dãy bất biến giải được hữu hạn.
+ Rõ ràng từ 2) suy ra 1).
+ Ta chứng minh 1) suy ra 3):
Giả sử K (i ) là đạo nhóm thứ I của nhóm G và giả sử G có chuỗi chuẩn tắc
giải được hữu hạn:
G  H 0  H 1  ...  H n  E

Do nhóm thương G/ H 1 Aben nên H 1  K ' . Giả sử đã chứng minh được
H i  K (i ) từ nhóm thương H i /H i 1 aben, suy ra H i 1 chứa đạo nhóm của nhóm H i

và do đó H i 1 chứa đạo nhóm của nhóm K (i ) . Vậy H i 1  K (i 1) . Từ H n  E suy ra
K ( n )  E .

3.3. Định lý. Giả sử G là p - nhóm hữu hạn (nghĩa là tồn tại số tự nhiên n sao cho
G  p n ). Khi đó G giải được. Nếu cấp của G lớn hơn 1 thì G có tâm khơng tầm

thường.

17

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh khẳng định thứ hai của định lý.
Khẳng định là tầm thường nếu G 1 .
Vì thế ta giả sử G là p – nhóm hữu hạn, có cấp lớn hơn 1. Ta dùng cơng thức
về lớp với Z là tâm của nhóm G:

G : 1  Z   G : G x . Ở đây, tổng chỉ lấy theo

những x  G mà G : G x 1.
Vì G là một p – nhóm nên G và mỗi G : G x đều chia hết cho p.
Vì vậy tâm Z khơng tầm thường (tức Z  e ).
Khẳng định thứ nhất của định lý được suy ra tử khẳng định thứ hai.
Vì nếu G có tâm Z khơng tầm thường và theo quy nạp ta có tháp Abel đối
với G/Z.
Ta có thể nâng cấp tháp Abel đó tới G và chứng tỏ rằng G giải được.□
3.4. Ví dụ về nhóm giải được:
a) Nhóm các phép thế chẵn bậc bốn A(4) là nhóm giải được. Thật vậy,
A(4) có dãy á chuẩn
1  1, (12), (34)   1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)  A(4) , với các thương là

nhóm xyclic cấp 2, 2, 3 tương ứng.
b) Nhóm Abel là nhóm giải được vì G '  e .
3.5. Nhóm giải được hữu hạn.
Định lý Sylow về nhóm hữu hạn được nhà tốn học người Norway L.Sylow
cơng bố đầu tiên vào 1872 có rất nhiều ứng dụng trong toán học. Hơn nửa thế kỷ
sau, 1937 nhà toán học P.Hall đã thu được kết quả tương tự cho nhóm giải được
hữu hạn
Giả sử G là nhóm giải được hữu hạn có cấp là n. Ta gọi số nguyên dương k

n
k



là “ước hall” của n nếu k\n và  , k  =1. Từ đây về sau ta chỉ xét đến các “ước


Hall” ( mà không nhắc lại từ Hall).
3.6. Định lý P.Hall. Giả sử G là nhóm giải được hữu hạn cấp n và k là ước của n.
Khi đó:


18

i) Trong nhóm G tồn tại ít nhất một nhóm con cấp k.
ii) Hai nhóm con cấp k bất kỳ liên hợp với nhau.
iii) Nhóm con cấp k bất kỳ k’\k được chứa trong nhóm con cấp k nào đó.
3.7. Định nghĩa. Nhóm con H của nhóm G được gọi là nhóm con Carter nếu H lũy
linh và trùng với cái chuẩn hóa của nó trong G (nghĩa là N G (H) = H).
Nhắc lại định nghĩa nhóm lũy linh: Giả sử G là một nhóm, dãy chuẩn tắc:
1 G0G1  ...G s G được gọi là dãy tâm, nếu các thương của nó thỏa mãn

điều kiện

Gi 1

Gi

 C  G  , với mọi i, hay tương đương  Gi 1 , Gi   Gi , với mọi i.

 Gi 

Nhóm có dãy tâm được là nhóm lũy linh.
3.8. Định lý. Nhóm giải được hữu hạn G có ít nhất một nhóm con Crater và mọi
nhóm con Carter của nhóm G liên hợp với nhau.
3.9. Các tính chất của nhóm giải được:
Tính chất 1: Mọi chuỗi chuẩn tắc của một nhóm giải được đều có thể mịn hóa
thành

một chuỗi giải được. Vì vậy, mọi ước chuẩn của nhóm giải được ,được

chứa trong một chuỗi giải được nào đó .
Tính chất 2: Nhóm thương của một nhóm giải được là giải được.
Tính chất 3: Nhóm con của một nhóm giải được là nhóm giải được.
Tính chất 4: Mở rộng của một nhóm giải được nhờ một nhóm giải được là nhóm
giải được.
Tính chất 5: Tích trực tiếp của một số hữu hạn các nhóm giải được là nhóm giải
được.
Việc chứng minh các tính chất trên khơng có gì khó. Chẳng hạn, ta chứng
minh tính chất 4:
Để chứng minh tính chất này ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề: Nếu trong một nhóm G đã cho một chuỗi chuẩn tắc
G = G 0  G1  .....Gk  E

(1)

Thì mọi nhóm con của F của nhóm G đều đều có chuỗi chuẩn tắc mà các
thương của nó đẳng cấu với các thương của chuỗi (1).

19

Chứng minh.
Thật vậy, đặt:
F i = F  Gi , i = 1,2………k.
Từ Bổ đề Zasenhao: Nếu U,V là các nhóm con của nhóm G, u U , v V thì:
u (U  V )

u (U  v)



v(U  V )

v(u  V )

Ở đây, nếu ta lấy U = F, u = E,V = G i  1 , V = G i thì ta có:
F i  F i  1 và F i  1  G i F i  1 /G i
Nhưng G i  1  G i F i  1  G i tức là nhóm thương

con của nhóm thương

Gi  1

Fi  1

Fi

đẳng cấu với nhóm

Gi .

Ta có chuỗi:
F  F0  F1  .....Fk  E

là chuỗi chuẩn tắc cần tìm của F. Bổ đề được chứng minh.
Từ bổ đề trên, bỏ đi các bước lặp trong chuỗi chuẩn tắc của F ta có chuỗi
giải được trong F.
Vậy F là nhóm giải được. 


20

§4. NHĨM GIẢI ĐƯỢC TỔNG QT
4.1. Định nghĩa. Cho một chuỗi hữu hạn các nhóm con lồng vào nhau của nhóm
con G:
G G0  G1  ...  Gk  e .

(1)

a) Chuỗi (1) được gọi là chuỗi chuẩn tắc của G nếu bất kỳ nhóm con Gi là
ước chuẩn thực sự của nhóm con Gi 1 . Khi đó k được gọi là độ dài của chuỗi (1).
G
b) Nhóm các thương: G G1 , G G2 ,…, k  1  e gọi là các thương của chuỗi (1).

c) Chuỗi các ước chuẩn
G  F0  F1  ...  Fl  e .

(2)

gọi là mịn hóa của chuỗi chuẩn tắc (1) nếu mọi nhóm con Gi trong chuỗi (1)
trùng với một trong các nhóm con F j của chuỗi (2).
d) Chuỗi (1) được gọi là chuỗi hợp thành của G nếu nó khơng lặp lại và
khơng mịn hóa được.
e) Hai chuỗi chuẩn tắc của G được gọi là đẳng cấu với nhau nếu chúng có
cùng độ dài và các thương tương ứng đẳng cấu với nhau.
4.2. Định nghĩa.
a) Một hệ các nhóm con lồng nhau Λ = [Λ  ] chứa đơn vị  e và G của nhóm
G được gọi là hệ chuẩn tắc của nhóm G nếu:  Λ  , Λ
b) Nếu

 1

thì Λ  Δ Λ

 1

.

Λ   Λ, Λ  Δ G thì Λ được gọi là hệ bất biến.

c) Mọi hệ chuẩn tắc Λ của nhóm G khơng mịn hóa được gọi là hệ hợp
thành.
d) Mọi hệ bất biến Λ của nhóm G khơng mịn hóa được gọi là hệ chính.
e) Mọi hệ chuẩn tắc hay hệ bất biến Λ của nhóm G được gọi là hệ giải được
nếu các thương của nó đều là nhóm Abel.


21

4.3. Định nghĩa 3. Một nhóm G được gọi là:
a) RN - nhóm nếu nó có một hệ chuẩn tắc giải được.
b) RI - nhóm nếu nó có một hệ bất biến giải được.
c) RK - nhóm nếu chuỗi đạo nhóm của nó có thể kéo dài đến nhóm con đơn
vị.
d) RN - nhóm nếu nó có một quan hệ hợp thành giải được.
e) RI - nhóm nếu nó có một hệ chính giải được.
g) RN * - nhóm nếu nó có một hệ chuẩn tắc tăng giải được.
h) RI * - nhóm nếu nó có một hệ bất biến tăng giải được.
4.4. Mệnh đề. RK – nhóm là RI – nhóm và do đó là RN – nhóm.
Chứng minh. Thật vậy, nếu G là RK – nhóm thì trong G chuỗi các đạo nhóm của G
có thể kéo dài đến đơn vị. Theo định lý 2.2 thì G là nhóm giải được và do đó trong
G có chuỗi bất biến giải được. Chuỗi bất biến giải được chính là hệ bất biến giải
được của G và do đó G là RI – nhóm. Cũng lại do định lý 2.2 thì trong G có chuỗi
chuẩn tắc giải được hữu hạn. Chuỗi chuẩn tắc giải được hữu hạn cũng chính là hệ
chuẩn tắc giải được hữu hạn của G và do đó G là RN – nhóm.
4.5. Mệnh đề. RN – nhóm và RI – nhóm tương ứng là RN - nhóm và RI - nhóm.
Chứng minh.
+ Nếu G là RN – nhóm thì trong G có một hệ chuẩn tắc U =  A  giải được
chứa E. Mịn hóa hệ u đến một chuối hợp thành ta có G là RN - nhóm.
+ Nếu G là RI – nhóm thì trong G có một hệ u =  A  bất biến chứa E. Mịn
hóa u đến một chuỗi chính ta có G là RI - nhóm.
4.6. Mệnh đề. Nhóm con của nhóm RK, RI, RN – nhóm tương ứng cũng là RK, RI,
RN– nhóm.
Chứng minh.
+ Giả sử G là RK – nhóm, A là một nhóm con tùy ý của nhóm G. Khi đó
trong G có hệ chuỗi các đạo nhóm của nó  G (n )  dừng tại nhóm con đơn vị E. Xét
hệ  G ( n )  A sẽ là hệ bất biến giải được của A và do đó A là nhóm giải được. Theo

22

định lí 2.2 thì trong A chuỗi các đạo nhóm của A dừng tại nhóm con đơn vị E và do
đó A là RK – nhóm.
Chứng minh tương tự đối với RI, RN - nhóm
4.7. Mệnh đề. Nhóm thương của RN - nhóm ( RI - nhóm) cũng là RN - nhóm ( RI nhóm).
Chứng minh. Giả sử G là RN - nhóm, HG . Giả sử U là hệ hợp thành giải được
trong G, qua phép chiếu chính tắc hệ u sẽ chuyển thành hệ hợp thành giải được
trong nhóm thương G/H. Vậy G/H là RN - nhóm.
Với RI - nhóm, chứng minh hồn tồn tương tự.
4.8. Mệnh đề. Nhóm con, nhóm thương của RN * - nhóm ( hay RI * - nhóm) cũng là
RN * - nhóm ( hay RI * - nhóm).
Chứng minh. Giả sử trong nhóm G cho H G . U là chuỗi chuẩn tắc tăng giải được
trong H. Từ u ta lập chuỗi
E H G

(1)

Mịn hóa chuỗi (1) đến một chuỗi giải được, ta có chuỗi chuẩn tắc tăng giải
được trong G. Từ đó suy ra chuỗi chuẩn tắc tăng giải được trong G/H.
Tương tự với chứng minh nhóm thương của RI * - nhóm.
Với nhóm con kết quả là hiển nhiên.


23

CHƯƠNG 2
TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA NHĨM GIẢI ĐƯỢC
§ 1. NHĨM HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG
1.1. Định nghĩa. Nhóm G gọi là nhóm hữu hạn địa phương nếu bất kì nhóm con

hữu hạn sinh của G đều là nhóm hữu hạn.
Nhận xét: Nhóm hữu hạn là nhóm hữu hạn địa phương. Tuy nhiên điều ngược lại
khơng đúng. Ví dụ nhóm P  là nhóm hữu hạn địa phương nhưng khơng phải là
nhóm hữu hạn.
1.2. Mệnh đề. Nhóm con, nhóm thương của nhóm hữu hạn địa phương là nhóm
hữu hạn địa phương.
Chứng minh.
+ Nếu G là nhóm hữu hạn địa phương và A là một nhóm con tùy ý của
nhóm G. Khi đó lấy một nhóm con hữu hạn sinh H bất kì của nhóm con A thì H là
nhóm con của G. Do G là nhóm hữu hạn địa phương, nên mọi nhóm con hữu hạn
sinh của nó đều hữu hạn. Nên H là nhóm hữu hạn. Vậy A là nhóm hữu hạn địa
phương.
+ Nếu G là là một nhóm hữu hạn địa phương, A là một nhóm con chuẩn tắc
bất kỳ của G. Khi đó ta có nhóm thương:
G/A =  xA / x  G
Xét một nhóm con hữu hạn sinh H bất kỳ của nhóm thương G/A
Giả sử:

H = x1 A, x2 A,..., x n A

Khi đó xét nhóm con B của G sinh bởi hữu hạn phần tử: x1 , x 2 ,..., x n .
B = x1 , x 2 ,...., x n


24

Thì B là nhóm con của nhóm G hữu hạn địa phương nên B là nhóm hữu hạn.
Do đó H là nhóm hữu hạn. Ta có nhóm thương G/A là nhóm hữu hạn địa phương.
Định lí 2. Nếu G là mở rộng của nhóm hữu hạn địa phương G 1 nhờ nhóm hữu
hạn địa phương G 2 thì G là nhóm hữu hạn địa phương.

Chứng minh.
Trước hết, ta thấy G là nhóm xoắn vì với phần tử g  G thì nhóm con của G
sinh bởi phần tử g là H =  g  phải hữu hạn.
Giả sử đã chọn được trong tập G tập hợp M gồm hữu hạn phần tử
M = x1 , x 2 ,..., x n
Ta chứng minh {M} =  x1 , x 2 ,..., x n  là nhóm con của G sinh bởi các phần tử
x1 , x 2 ,..., x n

sẽ là nhóm hữu hạn.

Kí hiệu H = { G1 , M} là nhóm con của G, sinh bởi tập G1 và tập M. Vì G2 là
nhóm hữu hạn địa phương nên H/ G1 là nhóm hữu hạn vì
H/ G1

 x1G1 , x2 G1 ,..., xn G1 

Ta thấy mỗi lớp ghép của H theo G1 chứa ít nhất một phần tử của M. Khi đó,
mỗi tích

thuộc một trong các lớp ghép của H theo G1 và do đó nó viết được

dưới dạng tích của một phần tử trong M với một phần tử trong G1 . Với mỗi cặp
ta có sự biểu diễn:
x i x j  x k a ii , a ij  G1

Vì G là nhóm xoắn nên mỗi phần tử g

{M} có thể biểu hiện được dưới

dạng tích của các lũy thừa của các phần tử trong M với số mũ (+1)

g = xi1 xi 2 ...xik , xij  M
Do đó, g biểu diễn được dưới dạng tích của các phần tử trong M với các
phần tử a ij Mỗi cặp xi x j có một ai. j  G1 tương ứng. Số các cặp là hữu hạn nên


25

số các tương ứng hữu hạn. G1 là nhóm hữu hạn địa phương nên nhóm con sinh
bởi các a ij là hữu hạn. Vậy nhóm {M} hữu hạn. Điều đó chứng tỏ G là nhóm hữu
hạn địa phương
1.4. Định lý. Tích trực tiếp của hai, và do đó của một số hữu hạn các nhóm hữu
hạn địa phương là nhóm hữu hạn địa phương.
Kết quả này là hệ quả trực tiếp của định lý 2.
1.5. Định nghĩa. Một nhóm G được gọi là nhóm giải được địa phương nếu nhóm
con bất kì của G được sinh bởi một số hữu hạn phần tử là nhóm giải được.
1.6. Định lý. Một nhóm xoắn, giải được địa phương G bất kỳ là nhóm hữu hạn địa
phương.
Chứng minh.
+ Trước hết, nếu G là nhóm giải được, khi đó trong G có dãy đạo nhóm
dừng tại nhóm con đơn vị, sau một số bước hữu hạn.
G = G0  G '  G ''  ...  G ( n  1)  G ( n ) = E
Vì G ( n  1) / G n G ( n  1) abel, xoắn nên G ( n  1) là nhóm hữu hạn địa phương. Ta
lại có G ( n  2) / G ( n  1) là nhóm aben, xoắn nên nó là nhóm hữu hạn đại phương. Theo
định lí 2, nhóm G ( n  2) là nhóm hữu hạn địa phương. Cứ tiếp tục như vậy, sau một
số hữu hạn bước ta suy ra G là nhóm hữu hạn địa phương.
+ Với trường hợp G là nhóm giải được địa phương:
Giả sử < g 1 , g 2 ,..., g k > là tập hợp hữu hạn các phần tử trong G và H là nhóm
con của G sinh bởi các phần tử đó
H = { g 1 , g 2 ,..., g k }
Khi đó H là nhóm giải được vì G giải được địa phương. Theo chứng minh

trên H là nhóm hữu hạn đại phương, nhưng vì H hữu hạn sinh nên H là nhóm hữu
hạn. Định lý được chứng minh hoàn toàn.