LTSGKBTOnthiHHGT12

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN *** A. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 1. Trong KG cho ba trục Ox, Oy, Oz phân biệt và vuông góc từng đôi một. Trên Ox. có véc tơ đơn vị i , trên Oy có véc tơ đơn   k . Hệ vị j và trên Oz có véc tơ đơn vị    Oxyz hay (O, i , j , k ) như trên là hệ tọa. độ không gian. 2. Gốc tọa độ O, truc hoành Ox, trục tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ Oxy, Oyz,Ozx. 3. Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz. 2 2 2 i  j k 1 2  2 a a    4. Chú ý: i j ik  jk 0. 5. Tọa độ véc tơ: .     u ( x; y; z )  u( x; y; z)  u  xi  y j  zk. 6. Tọa độ điểm: .    M ( x; y; z )  OM xi  y j  zk. 7. Các công thức tọa độ cần nhớ:   Cho u ( a; b; c),. a) b) c) d) e). v ( a; b; c).  a a    u v  b b c c    u v  a a; b b; c c  ku (ka; kb; kc )          u.v  u . v .cos(u ,v) aa  bb  cc   u.v aa  bb  cc cos(u,v)       u.v u.v.  2 u  u  a 2  b2  c2 f)     g) u  v  u.v 0 AB  xB  x A ; yB  y A ; z B  z A . h). i).  AB  AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2  ( z B  z A ) 2. . 8..  u, v  Chú ý: góc của 2 véc tơ. là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong.  0;   ..   sin u, v  1  cos 2 u, v 0.  . Suy. ra.  . 9. Chia tỉ lệ đoạn thẳng: M chia AB theo tỉ số  . k nghĩa là MA k MB , công thức tọa độ x A  kxB   xM  1  k  y A  kyB   yM  1 k  z A  kz B   zM  1  k của M là : . 10. M là trung điểm AB: x A  xB   xM  2  y A  yB   yM  2  z A  zB      zM  2 MA  MB 0  . 11. G là trọng tâm tam giác ABC: x A  xB  xC   xG  3  y  y  A B  yC  yG  3  z  z  A B  zC      zG  3 GA  GB  GC 0  . 12. G là trọng tâm tứ diện ABCD: x A  xB  xC  xD   xG  4  y A  yB  yC  yD   yG  4  z A  z B  zC  z D        zG  4 GA  GB  GC  GD 0  . 13. Các ví dụ:.   VD1: Tọa độ của các véc tơ i, j , k ?. VD2: Điểm M(a;b;c) thuộc (Oxy)? thuộc (Oyz)? thuộc (Ozx)?.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> VD3: Điểm M(a;b;c) thuộc Ox? thuộc Oy? thuộc Oz? VD4: Cho.  u  x; y; z .      u . Tính .i, u. j , u.k.    VD5: Trong không gian (O, i , j , k ) cho I, J, K là           các điểm sao cho i OI , j OJ , k OK . M là. trung điểm JK và G  là trọng tâm tam giác IJK. Tính tọa độ của G và MG . VD5: Trong không gian Oxyz cho A(5;3;1) B(2;3;4) C(1;2;0) D(2;1;2) a) Chứng minh 4 điểm ABCD không đồng phẳng b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc nhau c) Chứng minh D.ABC là hình chóp đều. d) Tìm toạ độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC HD:   a) DA và DB không cùng phương (A,B,C,D đồng   phẳng) .  m, n : DC m.DA  n.DB Ta giải hệ pt trên tìm ra m,n. b) Tính độ dài 6 cạnh để suy ra kết quả c) H chính là trọng tâm tam giác ABC 14. Định nghĩa  tích có hướng 2véc tơ: Cho 2.    véc tơ u (a; b; c) và v (a ; b ; c ) ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó.    u, v   v, u   và   VD8: So sánh  ( tích có hướng của 2 véc tơ không có tính chất “giao hoán”- khí thay đổi thứ tự 2 véc tơ thành phần thì kết quả cho 2 véc tơ đối nhau. 15. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ:.     u, v    u v a. vuông góc với và      u , v   u . v .sin(u, v)  b.      u, v  0 u  c.   , v cùng phương. 16. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ: a. Diện tích hình bình hành ABCD:.   S   AB, AD . b. Diện tích tam giác ABC:. 1   S  .  AB, AC  2   c. Ba véc tơ u , v, w đồng phẳng:    u, v  .w 0     Tương tự, ba véc tơ u , v, w không đồng phẳng là:    u, v  .w 0   d. Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD  và cạnh bên AA’:. V   AB, AD  . AA. e. Thể tích khối tứ diện S.ABC:. 1   V  .  AB, AC  .SA 6.    VD9: Cho 4 điểm A(0;1;1), B(1;0;2), C(1;1;0)  u, v    u là một véc tơ, kí hiệu hay  v có và D(2;1;2) toạ độ:.   b c c a a b  u, v   ; ;        b c c a a b   tức là:.   u, v   bc  bc; ca  ac; ab  ba  . VD6: Tính tích   có hướng của 2 véc tơ. u (1;0;  1) và v (2;1;1)     i, j   j , k   k , i  ;  VD7: Tính   , . a) Chứng minh 4 điểm đó không đồng phẳng suy ra sự tồn tại tứ diện ABCD b) Chứng minh tồn tại tam giác ABC c) Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC d) *Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC e) *Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC f) *Tính góc CBD g) *Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> h) Tính thể tích khối chóp ABCD 17. Phương trình mặt cầu a) Phương trình theo tâm và bán kính: Mặt cầu tâm I(x0;y0;z0) và bán kính R có phương trình:. b. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên các trục toạ độ. Tính khoảng cách từ M đến các trục toạ độ. c. Tìm toạ độ các điểm đối xứng với M qua các mp toạ độ. 2 2 2 2 d. Tìm toạ độ các điểm đối xứng với M  x  x0    y  y0    z  z0  R qua các trục toạ độ. b) Phương trình dạng khai triển: 6. Cho A(x1;y1;z1) và B(x2;y2;z2). Tìm toạ độ x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d 0 M(x;y;z) chia AB theo tỉ số k≠1. 7. Cho các điểm A(3;2;0), B(3;3;1), C(5;0;2). Trong đó : 2 2 2 2 a. Chứng minh A,B,C không thẳng hàng. tâm I(a;b;c) và R a  b  c  d với điều b. Viết phương trình mp(ABC). 2 2 2 kiện a  b  c  d  0 c. Tìm đỉnh D của hình bình hành ABCD. VD10: Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm d. Tính diện tích hình bình nành ABCD. A(0;0;0), B(1;0;0), C(0;1;0) và D(0;0;1) e. Tính khoảng cách các đường thẳng AB và CD. BÀI TẬP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN f. Tính khoảng cách B và đường thẳng AD.           u  i  2 j v  3 i  5( j  k ) AC  g. Tính góc giữa 2 véc tơ và BD 1. Cho , ,  véc tơ  các 8. Cho A(1;2;3) và B(3;3;2). Tìm phương trình w 2i  k  3 j tập hợp điểm M cách đều A và B. Tìm toạ độ a. Tìm toạ độ các véc tơ trên điểm M thuộc Oz và cách đều A,B.   .  v, i  , v, j . b. Tìm cosin của các góc . . c. Tính tích vô hướng u.i và v.w   u 0 . 2. Cho Chứng. minh.    cos u, i  cos 2 u, j  cos 2 u, k 1   u v 3. Tính góc giữa hai véc tơ và trong các 2.  .  .  . trường hợp: .  u  (1;1;1) v a.   và (2;1; 1)  b. u 3i  2 j và v  2 j  3k   u 2 v 5 4. Biết và góc giữa 2 véc tơ đó là   2  3 Tìm k để p k.u  17.v vuông góc  .   q 3.u  v 5. Cho M(a;b;c) a. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên các mp toạ độ. Tính khoảng cách từ M đến các mp toạ độ.. 9. Cho A(2;0;4), B(4; 3 ,5) và C(sin5t;cos3t;sin3t). Định t để AB vuông góc OC. 10. Cho A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1) a. Chứng minh A,B,C không thẳng hàng. b. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. c. Tính độ dài đường cao tam giác ABC kẻ từ A d. Tính các góc của tam giác ABC 11. Cho A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(2;1;2) a. Chứng minh tồn tại tứ diện ABCD b. Tính góc giữa các cạnh đối của ABCD c. Tính thể tích ABCD và chiều cao tứ diện đó kẻ từ A 12. Cho hình chóp SABC có đường cao SA=h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC=b, BC=a. Gọi M là trung điểm AC và N là điểm.  1 SN  SB 3 sao cho. a. Tính độ dài MN b. Tìm sự liên hệ a,b,h để MN vuông góc SB..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 13. Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu có phương trình: a. x2+y2+z28x+2y+1=0 b. 3x2+3y2+3z2+6x3y+15z2=0 c. 9x2+9y2+9z26x+18y+1=0 14. Viết phương trình mặt cầu qua A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) và có tâm thuộc mp(Oyz) 15. Viết phương trình mặt cầu có bán kính R=2, tiếp xúc mp(Oyz) và có tâm thuộc tia Ox. 16. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mp(Oyz)..   . (P) song song hoặc chứa Oy  B=0 (P) song song hoặc chứa Oz  C=0 (P) cắt Ox tại A(a;0;0), cắt Oy tại B(0;b;0) và cắt Oz tại C(0;0;c)  (P) có x y z   1 phương trình a b c. VD5: Cho M(30;15;6). Viết phương trình mp(P) qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ. Tìm tọa độ H, hình chiếu gốc tọa độ trên mp(P). (quy ước “hình chiếu” là “hình chiếu vuông góc”) B-PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG   6. Bộ số tỉ lệ: n 0 1. khác và có giá vuông góc mp(P) được  Xét những bộ số dạng gọi là véc tơ pháp tuyến của (P). ( xi )  x1 , x2 ,..., xn  trong đó các xi không đồng n là véc tơ pháp tuyến của (P) thì 2. Nếu thời bằng 0.  Hai bộ số (xi) và (yi) gọi là tỉ lệ với kn (k 0) cũng là véc tơ pháp tuyến của  nhau nếu có hằng số t sao cho yi=t.xi (với mọi (P). giá trị i từ 1 tới n). 3. Phương trình tổng quát của mp(P): qua  Khi đó ta viết: M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ pháp tuyến x1 : x2 :...: xn  y1 : y2 :...: yn  n ( A; B; C ) là: A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 ) 0. 4. Khai triển của phương trình tổng quát:. x1 x2 x  ...  n y1 y2 yn. . Ax  By  Cz  D 0. (A,B,C không đồng thời bằng 0) VD1: Viết phương trình mp có véc tơ pháp tuyến  n =(2;1;3) và đi qua điểm M(3;1;2). VD2: Viết phương trình mp qua 3 điểm A(1;2;0), B(0;1;2) và C(1;0;2). VD3: Viết phương trình mp qua A(1;2;4) và vuông góc đường thẳng BC (với B(1;6;0) và C(6;0;1)) VD4: Viết phương trình mp(P) qua M(1;1;2) và song song mp(Q):x+y+z1=0. 5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát:  (P) qua gốc tọa độ  D=0  (P) song song hoặc trùng (Oxy)  A=B=0  (P) song song hoặc trùng (Oyz)  B=C=0  (P) song song hoặc trùng (Ozx)  A=C=0  (P) song song hoặc chứa Ox  A=0. Với quy ước đó: 1:0:4=2:0:8 3 0 1   6 0 2. 7. Vị trí tương đối của 2 mp: ( P ) : Ax  By  Cz  D 0 Cho 2 mp: (Q) : A ' x  B ' y  C ' z  D ' 0 A B C D     (P)  (Q)  A ' B ' C ' D ' A B C D     (P) // (Q)  A ' B ' C ' D '  (P) cắt (Q)  A : B : C  A ' : B ' : C '  (P)  (Q)  AA ' BB ' CC ' 0. VD6:. Cho. hai. ( P ) : 2 x  my  10 z  m  1 0 (Q ) : x  2 y  (3m  1) z  10 0. Hãy tìm giá trị của m để: a) Hai mp trùng nhau b) Hai mp song song. mặt. phẳng.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> c) Hai mp cắt nhau. Suy ra phương trình đường thẳng giao tuyến d) Hai mp vuông góc nhau. 8. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng: Cho M(x0;y0;z0) và (P):Ax+By+Cz+D=0 d ( M ,( P )) . Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2. VD7: Cho tứ diện OABC có OA=a, OB=b, OC=c và đôi một vuông góc nhau. Tính độ dài đường cao OH của tứ diện. VD8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên các cạnh AA’,BC,C’D’ lần lượt lấy M,N,P sao cho AM=CN=D’P=t với 0<t<a. Chứng minh mp(MNP) song song mp(ACD’) và tính khoảng cách 2 mp đó. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Lập phương trình mặt phẳng 1. Lập phương trình mặt phẳng (P) biết: a) (P) đi qua điểm M(1;3;-2) và nhận  n (2;3;1) làm VTPT b) (P) đi qua M(1;3;-2) và song song (Q):x+y+z+1=0 c) (P) đi qua M(1;2;3) và song song với giá củacác vectơ  a (2;  1; 2), b (3;  2;1). d) (P) đi qua 2 điểm A(4;-1;1), B(3;1;1) và song song Ox e) (P) đi qua 3 điểm A(1;1;0), B(1;0;0), C(0;1;1) 2. Lập phương trình mp(P) biết : a) (P) đi qua 3 điểm A(-1;2;3) ,B(2;4;3),C(4;5;6) b) (P) đi qua M 0 (1;3;  2) và vuông góc Oy c) (P) đi qua M 0 (1;3;  2) và vuông góc BC, với B(0;2;-3),C(1;-4;1) d) (P) đi qua M 0 (1;3;  2) và song song với mp(Q):2x-y+3z+4=0 e) (P) đi qua A(3;1;-1),B(2;-1;4) và vuông góc mp 2x-y+3z+4=0. f) (P) đi qua M 0 (2;  1; 2) ,song song Oy và vuông góc mp 2x-y+3z+4=0 g) (P) đi qua M 0 ( 2;3;1) và vuông góc với 2 mặt phẳng 2x+y+2z+5=0,3x+2y+z-3=0 3. Cho A(1;2;3), B(3;4;-1) trong không gian Oxyz. a) Viết phương trình mp(P) là mặt phẳng trung trực của AB. b) Viết phương trình mp(Q) qua A, vuông góc (P) và vuông góc (Oyz) c) Viết phương trình mp(R) qua A và song song (P) 4. Lập phương trình mp(P) qua M(1;1;1) và song song các trục a) Ox,Oy b) Ox,Oz c) Oy,Oz 5. Lập phương trình mp đi qua 2 điểm A(1;-1;1), B(2;1;1) và song song với a) Ox; b) Oy c) Oz 6. Lập phương trình mp(P) a) Chứa Ox và đi qua A(1;-2;3) b) Chứa Oy và đi qua B(-1;3;-2) c) Chứa Oz và đi qua C(1;0;-2) 7. Lập phương trình mp(P) qua M(a;b;c) (với abc0) và song song với một mp tọa độ. 8. Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6) a) Viết phương trình các mp (ABC), (ACD), (ABD), (BCD) b) Viết phương trình mp (P) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD 9. Viết phương trình mp(P) qua các điểm là hình chiếu của điểm M(2;-3;4) lên các trục toạ độ. 10. Lập phương trình mp(P) qua G(1;2;3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. 11. Lập phương trình mp(P) qua H(2;1;1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. 12. Cho A(-1;6;0), B(3;0;-8), C(2;-3;0).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> a) Viết phương trình mp(P) qua 3 điểm A,B,C b) Mp(P) cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại K,M,N. Tính thể tích tứ diện OKMN Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: 10. Cho 2 mặt phẳng: (P):2x-my+3z6+m=0, (Q):(m+3)x-2y+(5m+1)z10=0.Với giá trị nào của m thì (P)và (Q) a) Song song với nhau b) Trùng nhau c) Cắt nhau 11. Tìm  để 2 mặt phẳng. 19. Lập phương trình mặt cầu tâm I(2;1;3) và tiếp xúc mp(P):x+2y+2z-1=0 20. Cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  6 x  2 y  4 z  5 0, M 0 (4;3;0). . Viết phương trình mp tiếp xúc mặt cầu. tại M 0 21. Cho A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(1;1;2). Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc (BCD) 22. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và có tâm I nằm trên mp x+y+z-3=0 1 x  y  z  5 0, x s in +ycos  z sin 3   2 0 23. Viết pt mp(P) chứa trục Oz và tạo với 4 0 vuông góc với nhau mp ( ) : 2 x  y  5 z 0 một góc 60 12. Viết phương trình mặt phẳng trong các 24. Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mp(P) trường hợp sau: và (Q) trong các trường hợp sau: M (2;1;  1) a) (P):2xy+4z+5=0, a) Đi qua điểm 0 và qua giao (Q):3x+5yz1=0 tuyến của 2 mặt phẳng: x-y+z-4=0, b) (P):2x+y2z1=0, 3x-y+z-1=0 (Q):6x3y+2z2=0 b) Qua giao tuyến của 2 mặt phẳng c) (P):x+2y+z1=0, y+2z-4=0, x+y-z+3=0 đồng thời (Q):x+2y+z+5=0 song song với mặt phẳng x+y+z-2=0 25. Cho 2 mặt phẳng song song c) Qua giao tuyến của 2 mặt phẳng 3x(P):Ax+By+Cz+D=0 và y+z-2=0, x+4y-5=0 đồng thời vuông (Q):Ax+By+Cz+D’=0. Tính khoảng góc với mặt phẳng 2x-z+7=0 cách 2 mp đó. 13. Xác định các giá trị k và m để 3 mp sau Giải bài toán không gian bằng phương đây cùng đi qua một đường thẳng pháp toạ độ 5x+ky+4z+m=0, 3x-7y+z-3=0, x-9y26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ 2z+5=0 có cạnh bằng 1. Khoảng cách a) Chứng minh 2 mp (AB’D’), (BC’D) 14. Cho 4 điểm: A(-2;1;0), B(3;1;-2), song song C(2;3;1), D(1;4;-1) b) Tính khoảng cách giữa 2 mp đó a) Viết phương trình mp (BCD). Suy ra c) Tính góc tạo bởi các đường thẳng 4 điểm A,B,C,D tạo thành một tứ AC’, A’B diện d) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các b) Tính diện tích tam giác BCD và cạnh A’B’, BC, DD’. Chứng minh khoảng cách từ A đến mp(BCD), suy AC’ vuông góc (MNP) ra thể tích của tứ diện ABCD e) Tính thể tích tứ diện AMNP 15. Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mp 27. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có (P): 2x-y+4z+5=0, (Q):3x+5y-z-1=0 cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Gọi I 16. Tính khoảng cách giữa 2 mp (P):x+y+zlà trung điểm của cạnh bên SC. Tính 6=0, (Q): x+y+z+5=0 khoảng cách từ S đến mp(ABI) 17. Trên trục Oz, tìm điểm cách đều điểm 28. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy A(2;3;4)và mp(P):2x+3y+z-17=0 bằng a, chiều cao h. Gọi M,N lần lượt là 18. Trên trục Oy, tìm điểm cách đều 2 mp x+y-z+1=0, x-y+z-5=0.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> a trung điểm SB,SC. Tính tỉ số h để. VD4: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua M(2;1;0) và song song đường  x 2   y 1  t  z 3  3t . mp(AMN)vuông góc mp(SBC) 29. Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 có đáy 0 ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, Â=60. , B1O  ( ABCD), BB1 a a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy b) Tính khoảng cách từ B, B1 đến ( ACD1 ). 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA a 3, SA  ( ABCD). a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) b) Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuông ABCD đến mp(SBC) c) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp(SAC) C-PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Phương trình tham số của đường thẳng qua điểm M(x0;y0;z0) và có véc tơ chỉ  u  a; b; c .  x x0  at   y  y0  bt  z z  ct 0 . phương là 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng qua điểm M(x0;y0;z0) và có véc tơ chỉ  u  a; b; c . x  x0 y  y0 z  z0   b c là a. phương Ghi chú : chỉ dùng phương trình chính tắc khi abc≠0 (tức là a,b,c là 3 giá trị cùng không ) VD1: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua 2 điểm A(1;2;3) và B(2;5;8) VD2: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua điểm M(2;1;0) và vuông góc với mp(P): 2xyz=0 VD3: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp(Oyz). Biết A(3;0;0), B(0;4;0) và C(0;2;9). thẳng có phương trình VD5: Cho 2 mp (P): 2x+2y+z4=0 và (Q): 2xyz+5=0. 1) Chứng minh (P) và (Q) cắt nhau 2) Tìm tọa độ hai điểm M,N phân biệt thuộc giao tuyến của (P) và (Q). 3) Tìm tọa độ một véc tơ chỉ phương của giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra phương trình tham số của giao tuyến của (P) và (Q).  x 1  2t   y 2  t  z 2t . VD6: Cho đường thẳng d: 1) Chỉ ra tọa độ chỉ phương của d. 2) Xác định tọa độ các điểm của d ứng với t=1; t=0; t=2. 3) Trong các điểm A(3;1;2), B(3;4;2), C(0;5/2;5), điểm nào thuộc d? VD7: Cho tứ diện ABCD với A(0;0;2), B(3;0;5), C(1’1’0), D(4;1;2). 1) Viết phương trình đường cao tứ diện ABCD vẽ từ D. 2) Tìm tọa độ hình chiếu H của D lên mp(ABC). Chú ý: SGK quy ước “hình chiếu” là “hình chiếu vuông góc”. VD8: Cho 2 mp (P): x+2y+z+1=0 và (Q): x+y+2z+3=0. 1) Chứng minh (P) và (Q) cắt nhau 2) Viết phương trình tham số của giao tuyến 2 mp trên. VD9: Từ phương trình tham số hãy viết phương trình chính tắc của các đường thẳng:  x 1  t   y t  z 2  t .  x 1  2t   y 3  t  z 2  5t .  x 1  t   y 2  z 2  t . 1) ; 2) ; 3) VD10: Từ phương trình chính tắc, hãy viết phương trình tham số của các đường thẳng: x 1 y z  1   1 2 1) 2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> x 1 y  6 z 1   3 5 2 2) x  5 y  2 z 1   6 5 3)  3. VD11: Cho 2 đường thẳng d1:.  x 1  mt  d m :  y m  2t  z 1  m  3t   x t   y  1  4t  z 6  6t . x y 1 z2   1  5 . Viết phương trình và d2: 2. chính tắc của đường thẳng qua M(1;1;2) và vuông góc với 2 đường thẳng trên. 3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng d (qua A và có véc tơ chỉ . phương  u ) và d’ (qua B và có véc tơ chỉ phương u  ) a. Hai đường thẳng d và d’ trùng nhau    u , u , AB đôi một cùng phương         u , u  u , AB  0    . b. Hai đường thẳng d vàd’ song song    u , u cùng phương và u , AB khác. phương .    u , u  0        u , AB  0. c.  Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau.     u, u khác phương và u, u, AB đồng. phẳng .    u , u  0        u , u  . AB 0. Tùy theo m xác định vị trí tương đồi của 2 đường thẳng.     u, u . AB  B1: xét     u , u  . AB 0 nếu     : chéo nhau(./.)   u , u  . AB 0  nếu  sang B2   u , u   B2: xét     u , u  0 nếu     : cắt nhau (./.)   u , u  0  nếu  : sang B3. B3: Lấy A (bất kỳ) thuộc dm nếu A thuộc dm’ thì 2 đường thẳng trùng nhau, nếu không thì song song (./.)     u , AB  0  Hoặc là xét  thì trùng nhau, nếu không. thì cắt nhau. Cũng có thể xét số giao điểm. nếu chỉ có 1 nghiệm: cắt nhau nếu có hơn 1 nghiệm: trùng nhau   .   u , u  u, u 0  nếu   nếu vô nghiệm: xét . thì song song, nếu không thì chéo nhau. Áp dụng cho VD2: VD2: Cho d là giao tuyến của 2 mp ( P) : x  y 0 và (Q ) : 2 x  y  z  15 0 và đường thẳng d’ có  x 1  t   y 2  2t  z 3 . phương trình . Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng. 4. Công thức tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d (qua M0 và có véc tơ chỉ  phương u :. d. Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau   u, u , AB không đồng phẳng     u , u  . AB 0  . VD1: Cho 2 đường thẳng :.  x m  2t '  d m :  y mt '  z 1  m  t ' .   MM 0 , u    d (M , d )   u. Ghi chú: nhắc lại.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> a) Diện tích hình bình hành ABCD là   S   AB, AC . VD6: Cho 2 đường thẳng. 1 S 2 b) Diện tích tam giác ABC là.   AB, AC   . c) Thể tích hình hộp ABCDA’B’C’D’ là   V   AB, AC  . AA '. d) Thể tích tứ diện ABCD là:. 1   V   AB, AC  . AD 6. d ':. d:. x 2 y  3 z 4   2 3 5 ,. x 1 y  4 z  4   3 2  1 . Chứng minh đó là 2. đường thẳng chéo nhau, tính khoảng cách giữa chúng. 9. Tìm tọa độ chân đường vuông góc chung của 2 đường chéo nhau: . VD3: Tính khoảng cách từ M(4;3;2) tới đường Cách 1: d qua A và có véc tơ chỉ phương u , d’  thẳng. d:. x2 y 2 z   3 2 1. qua B và có véc tơ chỉ phương u . .   w  u , u . B1: Tính (cùng phương đường vuông góc chung) 5. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng cắt nhau B2: Viết phương trình mp(P) qua d (nên qua A) hay trùng nhau bằng 0.   và có cặp véc tơ chỉ phương là u và w 6. Khoảng cách của 2 đường thẳng song song B3: Viết phương trình mp(Q) qua d’ (nên qua B)   d, d’ là khoảng cách từ M thuộc d tới d’  u và có cặp véc tơ chỉ phương là và w B4: Viết phương trình đường thẳng a là giao 7. Khoảng cách của đường thẳng d tới mp(P) tuyến của (P) và (Q). song song nó là khoảng cách từ M thuộc d B5: Lập giao điểm C của a và (P); giao điểm D tới mp(P). của a và (Q). C và D chính là chân đường vuông góc chung của d và d’. VD5: Cho M(1;2;0) và mp(P): x+2y+2z=0. Viết Cách 2: phương trình đường thẳng qua M, song song (P). B1:Viết phương trình tham số t của d, và phương Tính khoảng cách giữa đường đó và (P). trình tham số t’của d’. B2: Gọi C thuộc d và D thuộc d’ là chân đường 8. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo vuông góc chung. Viết tọa độ C theo t và D theo nhau: t’.        u1 , u2  . AB   d (d1 , d 2 )     u1 , u2   . B3:  . CD.u 0,. Vì  . CD  u, CD  v. nên. CD.v 0. Thiết lập hệ phương trình theo t,t’. Giải ra t và t’ B4: Suy ra tọa độ C và D.. Thực chất của công thức trên là “chiều cao hình hộp bằng thể tích hình hộp chia diện tích đáy x 2 y  3 z 4 d:   hình hộp”. 2 3 5 , VD7: Cho 2 đường thẳng Cho AB, CD chéo nhau, khoảng cách AB,CD là:     AB, CD  . AC    d ( AB, CD)   AB, CD   . d ':. x 1 y  4 z  4   3 2  1 . Chứng minh đó là 2. đường thẳng chéo nhau, tìm tọa độ chân đường vuông góc của 2 đường thẳng. . 10. Góc của 2 đường thẳng:.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Góc của 2 đường thẳng là góc nhọn  xác định bởi:  cos   cos u, u. . b) Đi qua A(-2;1;2) và song song với trục Oz c) Đi qua A(2;3;-1), B(1;2;4) d) Đi qua A(4;3;1) và song song với. .  u , u lần lượt là véc tơ chỉ phương của 2 đường.  x 1  2t   :  y  3t  z 3  2t . thẳng. VD8: Cho 2 đường thẳng d ':. d:. đường thẳng e) Đi qua A(1;2;-1) và song song với đường thẳng giao tuyến của 2 mp x+y-z+3=0, 2x-y+5z-4=0 f) Đi qua A(-2;1;0) và vuông góc với mp x+2y-2z+1=0. g) Là giao tuyến của 2 mp x-3y+z=0, x+y-z+4=0. x 2 y  3 z 4   2 3 5 ,. x 1 y  4 z  4   3 2  1 . Tính góc giữa chúng.. 11. Góc của 2 mặt phẳng:. Góc của 2 mặt phẳng là góc nhọn  xác định bởi: 2. Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng  cos   cos n, n  x 1  2t. . .  n, n lần lượt là véc tơ pháp tuyến của 2 mặt. phẳng VD 9: Tính góc của mp(P):2xy=0 và mp(Oxy) 12. Góc của đường thẳng và mặt phẳng: Góc của đường thẳng và mặt phẳng là góc nhọn  xác định bởi:  sin   cos u , n.  .   u là véc tơ chỉ phương của đường thẳng và n là. véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.. VD10: Tính góc tạo bởi các mp tọa độ.. d:. x 2 y  3 z 4   2 3  5 và. *** BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) a) Đi qua A(2;0;-1) và cóvectơ chỉ    u  i  3 j  5k phương.  d :  y  2  3t  z 3  t . trên mỗi mp sau: mp(Oxy), mp(Oyz), (Oxz), ( ) : x  y  z  7 0 3. Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng 7   x  2  3t  d :  y  2t  z  2t   trên mp x+2y-2z-2=0. 4. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau: a). d:. x 1 y 7 z 3 x  6 y 1 z  2   ,d ':   2 1 4 3 2 1. x 1 y 2 z x y 8 z  4   ,d ':   2 2 1 2 3 1 b) x  2 y z 1 x 7 y 2 z d:   ,d ':   4 6 8 6 9 12 c) d:. d:. x 1 y 6 z 3 x 7 y 6 z 5   ,d ':   9 6 3 6 4 2. d) 5. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mp ( ) cho bởi các phương trình sau: x  12 y  9 z  1   4 3 1 , a) ( ) : 3 x  5 y  z  2 0 d:.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> x 1 y  3 z   2 4 3 , ( ) : 3 x  3 y  2 z  5 0 b) x 9 y 1 z 3 d:   8 2 3 , c) ( ) : x  2 y  4 z  1 0 x 7 y 1 z 5 d:   5 1 4 , d) ( ) : 3 x  y  2 z  5 0 d:. 6. Tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: d:. x  2 y  1 z 1   1 2 2. a) M(2;3;1), b) M(2;3;-1), d là giao tuyến của 2 mp x+y2z-1=0, x+3y+2z+2=0 x y  1 z 3   3 4 1 c) M(1;2;1), x 2 y 1 z d:   1 2 1 d) M(1;0;0), d:. 7. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:. a).  x 1  t  x 2  3t '   d1 :  y  1  t d 2 :  y  2  3t '  z 1  z 3t '  . ,. x  1 y 3 z  4   2 1 2 , b) x  2 y  1 z 1 d2 :   4 2 4 d1 :.  x 2  t  x  1 y  2 z  3 d 2 :  y  1  t d1 :    z t  1 2 3 , c). 8. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:. a).  x 1  2t   y  1  t  z 3  4t . ,.  x 2  t '   y  1  3t '  z 4  2t ' . x 1 y 2 z 2   3 1 4 , d’ là giao tuyến của b) 2 mp ( ) : x  2 y  z 1 0 , d:. ( ') : 2 x  3z  2 0. 9. Tính góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau:.  x 1  2t   :  y  1  3t  z 2  t  a) , ( ) : 2 x  y  2 z  1 0 x2 y  1 z  3 :   4 1  2 , ( ) : x  y  z  2 0 b) x  3 y 1 z  3   2 1 1 , ( ) : x  2 y  z  5 0 c) x  3 y  4 z 3 :   1 2  1 , ( ) : 2 x  y  z  1 0 d) :. 10. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm M 0 (1;  1; 2) trên mp ( ) : 2 x  y  2 z  12 0 11. Cho 4 điểm A(4;1;4),B(3;3;1),C(1;5;5),D(1;1;1). Tìm toạ độ hình chiếu của D lên mp(ABC) 12. Cho 3 điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1),C(2;-2;1).Tìm toạ độ hình chiếu của gốc O trên mp (ABC). 13. Tìm toạ độ điểm đối xứng của M 0 (2;  3;1) qua mp ( ) : x  3 y  z  2 0 14. Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(0;0;1) qua mp 6x+3y+2z-6=0 15. Tìm toạ độ điểm đối xứng của B(2;3;5) qua mp 2x+3y+z-17=0 16. Cho 2 điểm A(3;1;0),B(-9;4;9) và mp ( ) : 2 x  y  z  1 0 .Tìm toạ độ điểm M trên ( ) sao cho MA  MB đạt giá trị lớn nhất 17. Cho 2 điểm A(3;1;1),B(7;3;9) và mp ( ) : x  y  z  3 0 . Tìm điểm M trên ( ) để .  MA  MB. đạt giá trị nhỏ nhất. 18. Cho 3 điểm A(-1;3;2),B(4;0;-3),C(5;-1;4). Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng BC..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 19. Cho đường thẳng. d:. x 3 y 6 z 1   2 1 . Chứng minh hai phương trình  2. x2 y2 z   3 2  1 và điểm đường thẳng d và AB cùng nằm một mặt phẳng.. M 0 (4;  3; 2) .Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam. giác ABC cân tại A. M 0 trên đường thẳng d. 20. Tìm toạ độ điểm đối xứng của M 0 (2;  1;1) qua. đường thẳng.  x 1  1t  d :  y  1  t  z 2t . x y z1   1 1 2. 21. Tìm toạ độ điểm đối xứng của M 0 (  3;1;  1) qua đường thẳng d là giao tuyến của 2 mp ( ) : 4 x  3 y  13 0 , ( ') : y  2 z  5 0 22. Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau: x 2 y  3 z 4 d:   2 3 5 , a) x 1 y  4 z  4 d ':   3 2 1  x 2  t  x 2  2t   d :  y 1  t d ' :  y 3  z 2t  z t  . b). 3) Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có phương trình: a) Viết phương trình mp (P) đi qua A và vuông góc với d b) Tìm toạ độ điểm M thuộc d sao cho tam giác MOA cân tại O. 4) Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho 2 đường thẳng x  2 y 1 z  3 x  1 y  1 z 1     2 2 và d2: 1 2 2 d1: 1. a) Chứng minh d1 và d2 song song với nhau b) Viết phương trình mp chứa cả 2 đường thẳng trên c) Tính khoảng cánh giữa 2 đường d1 và d2. 5) Trong hệ trục toạ độ 0xyz cho 3 điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C ( 1;1; 3). Hãy viết phương trình đưòng thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với m chứa tam giác ABC.. ,. ÔN TẬP. 1) Trong không gian với hệ trục 0xyz cho điểm A ( 1; 2; 1) , B ( 3; -1; 2). Cho đuờng thẳng d và 6) Trong không gian cho điểm A( -4; -5; 3) và 2 mặt phẳng (P) có phương trình đường thẳng : x y  2 z 4   1 2 d: 1 2 x  y  z  1 0. (P):. x  2 y 5 z  1 x 4 y 2 z 4     3 2 1 và d2: 2 3 5. a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau a) Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm A qua b) Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt cả mp (P) 2 đường d1, d2 b) Viết phương trình đuờng thẳng ( ) đi qua điểm A, cắt đường thẳng (d) và song song với 7) Trong không gian với hệ toạ đội 0xyz cho các đường d1 và d2, mp (P) có phương trình: mp(P). x 1 y  1 z  2 x 2 y 2 z c, Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho tổng     3 1 5 2, khaỏng cách MA +MB đạt giá trị nhỏ nhất. d1: 2 và d2: 1 (P): 2x – y – 5z +1 = 0 2) Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho 2 a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. Tính khoảng điểm A(4;2;2), B(0;0;7) và đường thẳng d có cánh 2 đường đó.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt cả d1, d2.. b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cánh từ M đến (P) lớn nhất. 8) Trong không gian cho tứ diện ABCD với A(7;4;3), B(1;1;1), C (2; -1; 2), D ( -1; 3; 1) a) Tính khoảng cách giữa hai đường AB và CD b) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên mp (BCD) c) Viết phương trình đường d đối xứng với đường thẳng AB qua mp (BCD). 14) Trong không gian cho A( 1; 4; 2) , B( -1; 2; 4) và đường thẳng d có phương trình. 9) Trong không gian cho A( 2; 5; 3) và đường x y z 2   2 thẳng d: 2 1. a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d b) Viết phương trình mp (P) chứa d sao cho khoảng cánh từ A đến (P) lớn nhất. x 1 y2 z   1 2 d:  1. a) Viết phương trình đường d1 qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mp (OAB) b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường d sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất 15) Trong không gian cho A ( 0;1;2) và 2 đưòng thẳng x y  1 z 1   1  1 và d2: d1: 2.  x 1  t   y  1  2t  z 2  t . a) Viết phương trình mp(P) qua A đồng thời song 10) Trong không gian cho A( 0; 1; 2), B( 2; -2; song với d1, d2 b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 1), C ( -2; 0; 1) sao cho 3 điểm A, M, N thẳng hàng a. Viết phương trình mp (ABC) b. Tìm toạ độ điểm M thuộc mp 2x + 2y + z 16) Cho A( 1; 2; 3) và 2 đường thẳng d 1: – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC x  1 y  1 z 1 11) Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho 4 x  2  y  2  z  3   điểm A(3;3;0), B(3; 0; 3), C(0;3;3), D ( 3; 3; 3) 2 1 1 và d2:  1 2 1 a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua đường ABCD d1 b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Viết phương trình đuờng d qua A vuông góc với ABC d1 và cắt d2 12) Trong không gian cho 2 đường thẳng d 1: x y  1 z 2   2 1 1 và d2:.  x  1  2t   y 1  t  z 3 . 17) Trong hệ toạ độ 0xyz cho đường thẳng d: x  1 y 3 z  3   1 2 1 và. mp(P): 2x + y – 2z+ 9 = 0 a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau từ I đến mp (P) bằng 2 b) Viết phương trình đường d vuông góc với mp b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và (P): 7x +y – 4z = 0 và cắt cả 2 đường d1, d2 mp (P). Viết phương trình tham số của đưòng   13) Trông không gian với hệ 0xyz cho mặt cầu thẳng nằm trong mp (P) biết đi qua A và vuông góc với d (S) và mp (P) có phưuơng trình: 18) cho mp (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và các 2 2 2 (S): x  y  z  2 x  4 y  2 z  3 0 và (P): 2x – y đường thẳng: + 2z – 14 = 0 x 1 y 3 z x  5 y z 5     a) Viết phương trình mp(Q) chứa trục 0x và cắt 3 2 và d2: 6 4 5 d1: 2 (S) theo một đường tròn có bán kính bàng 3.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> a) Viết phương trình mp (Q) chứa d1 và (Q) vuông góc với (P) b) Tìm các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với P và cách (P) một khoảng bằng 2.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>