GIÁO án học PHẦN nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê toán lớp dạy đại học tiểu học khóa 2017 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂN TRÀO
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

GIÁO ÁN
HỌC PHẦN: Nhập môn Lý thuyết xác suất và thống kê Tốn
LỚP DẠY: Đại học Tiểu học khóa 2017- 2021

Họ và tên giảng viên: Lê Danh Tun
Bộ mơn: Tốn

Năm học 2017 - 2018


Ngày soạn:
Lớp dạy:

Ngày dạy:

Chương I: CÁC KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT
Bài 1: Phép thử. Quan hệ giữa các biến cố
Số tiết: 2 tiết
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
Cung cấp những khái niệm: Phép thử, biến cố, quan hệ giữa các biến cố. Các
định nghĩa về xác suất.
2. Kỹ năng:
Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:
- Phân biệt các loại biến cố và các quan hệ giữa các loại biến cố
3. Thái độ:
Chủ động tìm tịi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lí thuyết xác suất
trong việc dạy học toán.

II. Chuẩn bị
1. Giảng viên:
- Tài liệu chính:
[1] Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất - Thống kê , NXB GD Hà Nội , Hà Nội
- Tài liệu tham khảo:
[2] Trần Diên Hiển, Vũ Viết Yên (2007), Nhập mơn lí thuyết xác suất và Thống
kê tốn, NXBGD & NXB ĐHSP, Hà Nội.
[3] Đào Hữu Hồ (2006), Hướng dẫn giải các bài toán Xác suất thống kê, NXB
ĐHQG Hà Nội. Hà Nội.
[4] Đỗ Đức Thái - Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn hiện đại xác suất và
Thống kê, NXB ĐHSP, Hà Nội.
2. Sinh viên:


- Chuẩn bị tài liệu
- Ôn lại kiến thức ( phần cơ bản của đại số tổ hợp trong chương trình tốn
THPT)
III. Phương pháp, phương tiện dạy học
- Thuyết trình, Gợi mở - Vấn đáp.
- Giáo án, giáo trình.
IV. Nội dung bài giảng
Hoạt động của GV và SV
- Ví dụ: Khối 12 có 3 lớp, lớp 12A1
có 30 học sinh, lớp 12A2 có 35 học
sinh, lớp 12A3 có 32 học sinh. Cần
chọn 10 học sinh đi trực nhật sao cho
10 học sinh này gồm ba lớp và có ít
nhất 7 học sinh của lớp 12A1. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn?

- Cho phép thử là tung hai lần một
đồng xu, hãy xác định các biến cố
ngẫu nhiên,biến cố sơ cấp, biến cố
thứ cấp…?

Nội dung
I. Các kiến thức bổ trợ, phép thử, các
loại biến cố, quan hệ giữa các biến cố
1. Các kiến thức bổ trợ:
a) Quy tắc cộng, quy tắc nhân
b) Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
* Chú ý phân biệt giữa chỉnh hợp và tổ
hợp
2. Phép thử, biến cố:
+) Phép thử: là sự thực hiện một nhóm
các điều kiện xác định(có thể lặp lại vơ
số lần)
+) Một sự kiện có tính chất xảy ra hay
khơng xảy ra khi một phép thử được
thực hiện gọi là một biến cố ngẫu nhiên.
Ta dùng các chữ cái A,B,C,... để kí hiệu
các biến cố ngẫu nhiên.
Ví dụ: Gieo một lần một đồng xu đồng
chất, cân đối là thực hiện một phép thử
và có các biến cố ngẫu nhiên là S:”biến
cố xuất hiện mặt sấp” và N:”biến cố xuất
hiện mặt ngửa”
+) Biến cố sơ cấp là biến cố ngẫu nhiên
mà khơng thể phân tích thành các biến
cố nhỏ hơn, kí hiệu 

+) Biến cố thứ cấp là biến cố ngẫu nhiên
nhưng có thể phân tích thành các biến cố
nhỏ hơn
Ví dụ: Trong phép thử gieo một lần một
con xúc xắc, xét biến cố thứ cấp là
C:”biến cố xuất hiện số chấm lẻ”
+)Biến cố không xảy ra khi phép thử


được thực hiện gọi là biến cố rỗng, kí
hiệu 
Ví dụ: Trong phép thử gieo một lần một
con xúc xắc thì biến cố  :”biến cố xuất
hiện mặt 7 chấm”
+) Biến cố chắc chắn sẽ xảy ra trong một
phép thử gọi là biến cố chắc chắn, kí
hiệu 
3. Quan hệ giữa các biến cố
+) Biến cố A kéo theo( thuận lợi) đối với
biến cố B nếu sự xảy ra của A dẫn đến
sự xảy ra của B, kí hiệu A  B
Ví dụ: Xét phép thử gieo một lần một
con xúc xắc thì A:”biến cố xuất hiện mặt
5 chấm” và B:”biến cố xuất hiện mặt lẻ”
+) Biến cố A gọi là bằng biến cố B nếu
đồng thời A  B và B  A, kí hiệu A=B
Ví dụ: Xét phép thử gieo một lần một
con xúc xắc thì A:”biến cố xuất hiện mặt
lẻ” và B:”biến cố không xuất hiện mặt
chẵn”

+) Biến cố tổng: Tổng của hai biến cố A
và B, kí hiệu A  B là biến cố chỉ xảy ra
khi ít nhất một trong hai biến cố A,B xảy
ra
Ví dụ: Xét phép thử gieo một lần một
con xúc xắc thì A:”biến cố xuất hiện mặt
một chấm” và B:”biến cố xuất hiện mặt
ba chấm” và C:”biến cố xuất hiện mặt
năm chấm” thì A  B  C:”biến cố xuất
hiện số mặt lẻ”
+) Biến cố hiệu: Hiệu của hai biến cố A
và B, kí hiệu A\B là biến cố chỉ xảy ra
khi biến cố A xảy ra và biến cố B khơng
xảy ra
Ví dụ: Xét phép thử gieo một lần một
- Trong Ví dụ biến cố hiệu nếu C: con xúc xắc thì A:”biến cố xuất hiện số
biến cố xuất hiện mặt chẵn chấm” thì chấm lẻ” và B:”biến cố xuất hiện mặt
A-C là biến cố gì?
chấm nguyên tố” thì A\B:”biến cố xuất
hiện mặt một chấm”
+) Biến cố tích: Tích của hai biến cố A
và B, kí hiệu A  B là biến cố chỉ xảy ra
khi cả hai biến cố A,B xảy ra


- Chú ý: hai biến cố đối lập với nhau
thì xung khắc với nhau.nhưng điều
ngược lại khơng đúng
Ví dụ: Xét phép thử gieo một lần
một con xúc xắc thì A:”biến cố xuất

hiện số chấm lẻ” và B:”biến cố xuất
hiện mặt hai chấm” thì A và B là hai
biến cố xung khắc nhưng khơng phải
là hai biến cố đối lập

Ví dụ: Xét phép thử gieo một lần một
con xúc xắc thì A:”biến cố xuất hiện số
chấm lẻ” và B:”biến cố xuất hiện mặt số
chấm lớn hơn ba chấm” thì A  B:”biến
cố xuất hiện mặt năm chấm”
+) Biến cố xung khắc: hai biến cố A và
B gọi là xung khắc với nhau nếu A  B=

Ví dụ: Xét phép thử gieo một lần một
con xúc xắc thì A:”biến cố xuất hiện số
chấm lẻ” và B:”biến cố xuất hiện mặt
chẵn chấm” thì A  B= 
+) Dãy n biến cố B1,B2,…,Bn gọi là xung
khắc từng đôi một nếu Bi  Bj=  với i#j
và i,j=1,n
+) Hệ đầy đủ các biến cố: Dãy n biến cố
B1,B2,…,Bn lập thành hệ đầy đủ các biến
cố nếu nó thỏa mãn:
i) B1  B2  …  Bn= 
ii) Bi  Bj=  với i#j và i,j=1,n
+ Nếu các biến cố Bi, thỏa mãn hai điều
- Ví dụ: Hệ {Qnt, Q1,Q4,Q6} là một
kiện trên và ngoài ra các Bi đều là các
hệ đầy đủ các biến cố trong phép thử
biến cố sơ cấp thì ta nói hệ B1,B2,…,Bn

gieo xúc xắc
là một không gian biến cố sơ cấp, kí hiệu
 (Biến cố chắc chắn; Khơng gian mẫu)
+) Biến cố đối lập: Gọi A =  \A là biến
cố đối lập của biến cố A
V. Hướng dẫn sinh viên học tập
1. Nhắc lại định nghĩa phép thử, các loại biến cố, quan hệ giữa các biến cố.
2. Xét phép thử gieo hai lần đồng xu, hãy xác định không gian mẫu, và lấy ví dụ về
hai biến cố xung khắc?
Hướng dẫn

 =”SS, SN,NS,NN”
A:”biến cố hai lần xuất hiện mặt sấp”
B”biến cố ít nhất xuất hiện một mặt ngửa”
Thì A và B là hai biến cố xung khắc vì A  B=  , hơn nữa A và B còn là hai biến cố
đối lập


Ngày soạn:
Lớp dạy:

Ngày dạy:

Bài 2: Các định nghĩa xác suất. Tính chất của xác suất. Các cơng thức tính xác
suất
Số tiết: 2 tiết
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
Cung cấp những kiến thức: Các định nghĩa xác suất, tính chất của xác suất, các
cơng thức tính xác suất.

2. Kỹ năng:
Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:
- Nắm vững các định nghĩa về xác suất, từ các định nghĩa khác nhau về xác suất
thấy được ý nghĩa của từng các định nghĩa
- Biết tính xác suất bằng định nghĩa
- Nắm vững các cơng thức tính xác suất vận dụng vào làm các dạng bài tập
khác nhau.
3. Thái độ:
Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lí thuyết xác suất
trong việc dạy học tốn.
II. Chuẩn bị
1. Giảng viên:
- Tài liệu chính:
[1] Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất - Thống kê , NXB GD Hà Nội , Hà Nội
- Tài liệu tham khảo:
[2] Trần Diên Hiển, Vũ Viết n (2007), Nhập mơn lí thuyết xác suất và Thống
kê toán, NXBGD & NXB ĐHSP, Hà Nội.


[3] Đào Hữu Hồ (2006), Hướng dẫn giải các bài toán Xác suất thống kê, NXB
ĐHQG Hà Nội. Hà Nội.
[4] Đỗ Đức Thái - Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn hiện đại xác suất và
Thống kê, NXB ĐHSP, Hà Nội.
2. Sinh viên:
- Chuẩn bị tài liệu
- Ôn lại kiến thức bài trước.
III. Phương pháp, phương tiện dạy học
- Thuyết trình, Gợi mở - Vấn đáp.
- Giáo án, giáo trình.
IV. Nội dung bài giảng

Hoạt động của GV và SV

- Ví dụ: Gieo đồng thời 2 con
sắc cân đối và đồng chất.Tìm
suất để:
i) Tổng số chấm ở mặt trên hai
xúc sắc bằng 8
ii) Số chấm ở mặt trên hai con
sắc bằng nhau

Nội dung

xúc
xác
con
xúc

Chú ý: Vì gieo đồng thời hai con
súc sắc đồng chất nên cặp (x,y) và
cặp (y,x) không phân biệt x, y lần
lượt là số chấm mỗi con súc sắc.
Vậy không gian mẫu  gồm 21
phần tử.
Cịn nếu gieo khơng đồng thời
không gian mẫu  gồm 36 phần
tử.

I. Các định nghĩa xác suất
1. Định nghĩa cổ điển
Cho một phép thử có không gian mẫu  gồm n

phần tử, biến cố A có m phần tử (hay m khả
năng xảy ra A, hay m thuận lợi xảy ra tính chất
m
A) thì số P(A)=
n
Ví dụ: Tung đồng xu hai lần liên tiếp. Tính xác
suất:
i) A:”hai lần xuất hiện mặt sấp”
ii) B:”một sấp, một ngửa”
iii) C:”lần thứ nhất là mặt sấp”
Giải
i)Ta có  =”SS,SN,NS,NN”
1
Và A=”SS” nên P(A)=
4
2 1
ii) B=”SN,NS” nên P(B)= 
4 2
2 1
iii) C=”SS,SN” nên P(C)= 
4 2
2. Định nghĩa theo thống kê
Giả sử ta có n phép thử và trong đó có m lần
xuất hiện biến cố A trong n phép thử đó thì ta


- Giả sử cho phép thử gieo con xúc
sắc thì xác suất xuất hiện mặt 1
1
chấm là

nhưng khi gieo lần I
6
không thấy xuất hiện mặt 1 chấm,
lần II cũng không xuất hiện mặt 1
chấm,… vậy câu hỏi đặt ra là con
1
số
ở đây là gì?như vậy xác suất
6
xuất hiện mặt 1 chấm phải bằng 0
chứ?
- Ví dụ minh họa t/c 3 P( Ql  Qnt )=
2
3

- Từ cơng thức tính xác suất tích
hai biến cố ngẫu nhiên độc lập ta có
trường hợp tổng qt cho cơng thức

m
 P( A)
n
Xét trong ví dụ trên thì ta có với n phép thử đủ
m
1
lớn thì lim  P( A) =
n 
n
6
3. Tính chất của xác suất

i) Nếu A  B thì P(A)≤P(B)
ii) P(  )=0, P(  )=1
iii) P(A  B)=P(A)+P(B) - P(A  B)
iv) P(A\B)=P(A)-P(A.B) vớiP(A  B)= P(A.B)
v) P(A)=1-P( A )
vi) 0≤P(A)≤1
*) Hai biến cố ngẫu nhiên độc lập
Xét phép thử:”Gieo một đồng xu và một con
xúc xắc”
Mỗi biến cố phép thử này có dạng:
N  Qk hoặc S  Qk ,với k=1,2,…6
Số biến cố trong phép thử là 12
Tìm xác suất của biến cố N  B=:”Trên đồng xu
xuất hiện mặt ngửa và con xúc xắc xuất hiện
mặt 3 chấm hoặc 6 chấm”
Có hai biến cố N  Q3 và N  Q6 thuận lợi cho
biến cố N  B. Vì vậy
2 1 2
P(N  B)= = . =P(N).P(B)
12 2 6
Ta nói hai biến cố N và biến cố B hai biến cố
ngẫu nhiên độc lập với nhau
Định nghĩa: Cho A và B là hai biến cố của
phép thử. Ta nói rằng hai biến cố A và B độc
lập với nhau, nếu
P(A  B)=P(A).P(B)
4. Xác suất có điều kiện. Cơng thức xác suất
tích. Cơng thức xác suất tồn phần. Cơng
thức Bayes
+) Cơng thức xác suất có điều kiện, cơng thức

xác suất tích: Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu
P( A.B)
nhiên và P(A)>0 thì tỉ số
là xác suất có
P( A)
điều kiện của biến cố B với điều kiện biến cố A
P( A.B)
đã xảy ra và kí hiệu P(B/A)=
P( A)
Từ định nghĩa xác suất có điều kiện, ta suy ra

có lim
n 


xác suất tích cho hai biến cố bất kì cơng thức xác suất tích như sau
trong cùng một phép thử.
P(A.B)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)
Ví dụ: Một hộp gồm có 10 bi trong đó có 4 bi
đỏ và 6 bi xanh. Lấy liên tiếp không hồn lại 2
bi. Tìm xác suất để lần I lấy bi đỏ và lần II lấy
bi xanh?
Giải
- Trong ví dụ này nếu thay câu hỏi Gọi A là biến cố:” bi lấy lần I là bi đỏ”
là tính xác suất để lần I là bi xanh Gọi B là biến cố:”bi lấy lần II là bi xanh”
và lần II là bi đỏ thì xác suất tính Thì ta cần tính P(A.B)=?
như thế nào?
Ta
sử
dụng

công
thức
nhân
4 6 4
P(A.B)=P(A).P(B/A)= . =
10 9 15
+) Công thức xác suất tồn phần, cơng thức
Bayes: Cho B1,B2,…,Bn là một hệ đầy đủ biến
cố của một phép thử cho trước, và A là biến cố
bất kì có liên quan. Khi đó
n

P(A)=

 P( B ).P( A / B )
i 1

i

i

gọi là cơng thức xác

suất tồn phần
P( B ).P( A / Bk )
gọi là công thức
P( Bk / A)  n k
 P( Bi ).P( A / Bi )
i 1

- Chú ý: Với một phép thử bất kì có
thể có nhiều hệ đầy đủ các biến cố
của nó
Ví dụ: phép thử gieo một con xúc
xắc thì hệ B1,B2,…,B6 là một hệ đầy

Bayes
Trong đó P(Bi), i=1,n gọi là xác suất tiên
nghiệm
Ví dụ: Cho ba lơ sản phẩm. Lơ thứ I có 30 sản
phẩm trong đó có 20 sản phẩm tốt và 10 sản
phẩm xấu. Lơ thứ II có 30 sản phẩm trong đó cả
30 sản phẩm đều là tốt. Lơ thứ III có 30 sản
phẩm gồm 15 sản phẩm tốt, 15 sản phẩm xấu.
Lấy ngẫu nhiên một lơ và từ lơ đó lấy ngẫu
nhiên ra một sản phẩm
i) Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm
tốt
ii) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Tìm
xác suất để sản phẩm lấy ra là của lô III
Giải
i)Gọi A là biến cố” sản phẩm lấy ra là sản phẩm
tốt”
Gọi Bi là biến cố” sản phẩm lấy ra là của lô thứ
i” (i=1,2,3)


đủ biến cố. Mặt khác với A:”biến
cố xuất hiện số chấm lẻ” và B:”xuất
hiện số chấm chẵn” cũng tạo thành

một hệ đầy đủ các biến cố của phép
thử này.

Ta có B1,B2,B3 lập thành một hệ đầy đủ các
biến cố. Bởi vì sản phẩm khơng lấy ở lơ I thì lấy
ở lô II hoặc lô III. Hay B1  B2  B3=  . Và ta
có B1,B2,B3 đơi một xung khắc.
Theo cơng thức xác xuất tồn phẩn có
P(A)=P(B1).P(A/B1)+P(B2).P(A/B2)+
P(B3).P(A/B3)
1 20 1 30 1 15 13
= .  .  . 
3 30 3 30 3 30 18
ii) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt tức là
A đã xảy ra.
Lời giải của ý này là tìm xác suất điều kiện của
B3 với điều kiện A đã xảy ra. Áp dụng công
thức Bayes
1 15
.
P( B3 ).P( A / B3 ) 3 30 3
P(B3/A)=


13
P( A)
13
18
5. Xác suất nhị thức:
Định nghĩa: Dãy n phép thử G1,G2,…,Gn được

gọi là dãy n phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn
các điều kiện sau:
i) Dãy đó độc lập.
- Ví dụ: n lần phép thử bà mẹ sinh
ii) Trong mỗi phép thử Gi chỉ có 2 biến cố A
con (mỗi lần sinh một con) là một
hoặc A có thể xảy ra
dãy n phép thử Bernoulli vì:
iii) Xác suất biến cố A xuất hiện trong mỗi phép
i) Dãy đó độc lập
thử không thay đổi bằng p.
ii)Trong mỗi phép thử  ={A, A }
Bài tốn: Tìm xác suất để trong n phép thử
iii) P(A)=1/2 không thay đổi trong
Bernoulli biến cố A xuất hiện đúng k lần?
n lần sinh con.
Giải
Kí hiệu xác suất phải tìm là Pn(k). Thì Pn(k)=
k
k
nk
C n. p .(1  p)
Ví dụ: Gieo 20 lần một đồng tiền xu cân đối,
đồng chất. Tìm xác suất để:
i) Có đúng một lần xuất hiện mặt sấp
ii) Có ít nhất hai lần xuất hiện mặt sấp
Giải
Gieo 20 lần đồng tiền cân đối và đồng chất
được xem như là tiến hành 20 phép thử
Bernoulli. Xác suất của biến cố A”biến cố xuất

hiện mặt sấp” là không đổi trong mỗi lần gieo


1
2
i) Theo công thức xác suất nhị thức:
1
n=20,k=1,p=
2
1
1
1 1
Vậy P20(1)= C 20.  .(1  )201
2
2
ii)
và bằng

V. Hướng dẫn sinh viên học tập
1. Nhắc lại định nghĩa xác suất, các tính chất xác suất, cơng thức xác suất tồn phần,
cơng thức Bayes, xác suất nhị thức.


2. Một bà mẹ sinh 2 con( mỗi lần sinh một con). Giả sử xác suất sinh con trai là 0,51.
Tìm xác suất để trong người con đó:
i) Có đúng một con trai
ii) Khơng có con trai
iii) Có hai con trai
Hướng dẫn

Ngày soạn:
Lớp dạy:

Ngày dạy:

BÀI TẬP
Số tiết: 4 tiết
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
Củng cố những kiến thức: cách tính xác suất bằng định nghĩa,sử dụng các tính
chất,hay áp dụng cơng thức xác suất tồn phần, cơng thức Bayes, xác suất nhị thức
2. Kỹ năng:
Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:
- Biết cách tính xác suất bằng định nghĩa
- Biết cách tính xác suất bằng cơng thức xác suất tồn phần, cơng thức Bayes
- Biết cách tính xác suất bằng cơng thức Bernoulli
3. Thái độ:
Chủ động tìm tịi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lí thuyết xác suất
trong việc giải các dạng bài toán trong chương I.
II. Chuẩn bị
1. Giảng viên:
- Tài liệu chính:
[1] Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất - Thống kê , NXB GD Hà Nội , Hà Nội
- Tài liệu tham khảo:
[2] Trần Diên Hiển, Vũ Viết n (2007), Nhập mơn lí thuyết xác suất và Thống
kê toán, NXBGD & NXB ĐHSP, Hà Nội.
[3] Đào Hữu Hồ (2006), Hướng dẫn giải các bài toán Xác suất thống kê, NXB
ĐHQG Hà Nội. Hà Nội.
[4] Đỗ Đức Thái - Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn hiện đại xác suất và

Thống kê, NXB ĐHSP, Hà Nội.


2. Sinh viên:
- Chuẩn bị tài liệu
- Ôn lại kiến thức đã học trong chương I
III. Phương pháp, phương tiện dạy học
- Thuyết trình, Gợi mở - Vấn đáp.
- Giáo án, giáo trình.
IV. Nội dung bài giảng
Hoạt động của GV và
SV

Nội dung

Bài 1: Có 30 đề thi trong đó có 10 đề khó, 20 đề trung
bình. Tìm xác suất để:
i)Một Học sinh bắt một đề gặp được đề trung bình.
ii) Một Học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung
bình.
Giải
i) Gọi A là biến cố Học sinh bắt được đề trung bình:
C120 20 2
P(A)  1 

C30 30 3
ii) Gọi B là biến cố học sinh bắt được 1 đề trung bình và
một đề khó
Gọi C là biến cố học sinh bắt được 2 đề trung bình.
Gọi D là biến cố học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề

trung bình.
1
2
C120 .C10
 C20
200  190

 0,896
Khiđó: P(D) 
2
C30
435
Bài 2: Có hai lớp 5A và 5 B mỗi lớp có 45 học sinh, số
- Áp dụng cơng thức cộng học sinh giỏi văn và số học sinh giỏi tốn được cho trong
xác suất
bảng sau. Có một đồn thanh tra, hiệu trưởng nên mời
P(A  B)=P(A)+P(B)-P(A vào lớp nào để khả năng gặp được một em giỏi ít nhất
 B)
một mơn là cao nhất?
Lớp

5A

5B

Giỏi
Văn
25
25
Tốn

30
30
Văn và Tốn 20
10
Giải
Gọi V là biến cố học sinh giỏi Văn, T là biến cố học sinh
giỏi Toán.


Ta có: Lớp 5A
P(V  T)  P(V)  P(T)  P(V.T) 

25 30 20 7



45 45 45 9

Lớp 5B:
P(V  T)  P(V)  P(T)  P(V.T) 

25 30 10


1
45 45 45

Vậy nên chọn lớp 5B.
Bài 3: Lớp có 100 Sinh viên, trong đó có 50 SV giỏi Anh
- Áp dụng công thức cộng

Văn, 45 SV giỏi Pháp Văn, 10 SV giỏi cả hai ngoại ngữ.
xác suất và tính chất
Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tính xác suất:
P(A)=1-P( A )
a) Sinh viên này giỏi ít nhất một ngoại ngữ.
b) Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết.
c) Sinh viên này chỉ giỏi đúng một ngoại ngữ.
d)Sinh viên này chỉ giỏi duy nhất môn Anh Văn.
Giải
a) Gọi A là biến cố sinh viên giỏi Anh Văn.
Gọi B là biến cố sinh viên giỏi Pháp Văn.
Gọi C là biến cố sinh viên giỏi ít nhất một ngoại ngữ.
50 45 10
P(C)  P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A.B) 


 0,85
100 100 100
b) Gọi D là biến cố sinh viên này không giỏi ngoại ngữ
nào hết.

P(D)  1  P(C)  1  0,85  0,15

c)
P((A \ B)  (B \ A))  P(A \ B)  P(B \ A)  P((A \ B)  (B \ A))
ma P((A \ B)  (B \ A))  P()  0va P(A \ B)  P(B \ A)
P((A \ B)  (B \ A))  P(A)  P(B)  2P(A.B)
50 45
10



 2.
 0,75
100 100
100
50 10

 0,4
d) P(A \ B)  P(A)  P(A.B) 
100 100
Bài 4: Một lô hàng có 20 sản phẩm trong đó có 15 sản
phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tìm
xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có đúng 7 sản phẩm
tốt?
Giải
Số sản phẩm xấu của lô hàng là 20-15=5 (sản phẩm)
Số khả năng lấy 10 sản phẩm trong 20 sản phẩm là C2010
Số khả năng lấy 7 sản phẩm tốt trong 15 sản phẩm tốt là
C157
Số khả năng lấy 10 sản phẩm từ lơ hàng trong đó có 7


sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu là C157 . C53
Vậy xác suất phải tìm là
C157 .C53 225
P(A)= 10 =
646
C20
Bài 5: Có 2 chuồng thỏ. Chuồng 1 có 15 con thỏ trong đó
- Áp dụng cơng thức xác 10 con thỏ trắng và 5 con thỏ đen. Chuồng 2 có 10 con

st tồn phần
thỏ trong đó 5 con thỏ trắng và 5 con thỏ đen. Bắt ngẫu
nhiên 1 con thỏ từ chuồng 1 bỏ vào chuồng 2 và từ
chuồng 2 lại bắt ngẫu nhiên ra 1 con thỏ. Tìm xác suất để
con thỏ bắt ra sau cùng là thỏ đen.
Giải
Gọi A là biến cố "con thỏ bắt ra sau cùng là thỏ đen"
B1 là b/c "con thỏ bắt từ chuồng 1 sang chuồng 2 là thỏ
trắng"
B2 là biến cố "con thỏ bắt từ chuồng 1 sang chuồng 2 là
thỏ đen"
Khi đó: B1, B2 lập thành hệ đầy đủ với phép thử bắt ngẫu
nhiên một con thỏ từ chuồng 1 bỏ vào chuồng 2
Theo cơng thức xác suất tồn phần, ta có:
P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2)
10 5
5
6
16
P(A) =
.
+ .
=
15 11 15 11
33
Bài 6: Có 2 hộp cầu. Hộp 1 có 12 quả cầu trong đó 8 quả
cầu trắng và 4 quả cầu đen. Hộp 2 có 13 quả cầu trong đó
7 quả cầu trắng và 6 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 1 quả
cầu từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 và từ hộp 2 lại lấy ngẫu nhiên
ra 1 quả cầu. Tìm xác suất để quả cầu lấy ra sau cùng là

cầu đen.
Giải
Gọi A là biến cố "quả cầu lấy ra sau cùng là cầu đen"
B1 là b/c "quả cầu lấy từ hộp 1 sang hộp 2 là cầu trắng"
B2 là biến cố "quả cầu lấy từ hộp 1 sang hộp 2 là cầu


đen"
Khi đó: B1, B2 lập thành hệ đầy đủ với phép thử lấy ngẫu
nhiên 1 quả cầu từ hộp 1 sang hộp 2
Theo cơng thức xác suất tồn phần, ta có:
P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2)
8
6
4
7
19
P(A) =
.
+
.
=
12 14
12 14
42
Bài 7: Cho 2 lơ sản phẩm. Lơ 1 có 25 sản phẩm trong đó
20 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Lơ 2 có 35 sản phẩm
trong đó 30 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu
nhiên 1 lô và từ lơ đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tìm
xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt.

Giải
Gọi A là biến cố "sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt"
B1 là biến cố "sản phẩm lấy ra từ lô 1"
B2 là biến cố "sản phẩm lấy ra từ lơ 2"
Khi đó: B1, B2 lập thành hệ đầy đủ với phép thử lấy ngẫu
nhiên một lô sản phẩm
Theo cơng thức xác suất tồn phần, ta có:
P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2)
1 20
1 30
29
P(A) = .
+ .
=
2 25
2 35
35
- Áp dụng công thức
Bài 8: Gieo 10 đồng tiền cân đối đồng chất. Tìm xác suất
Bernoulli
để:
i) Có đúng 6 lần xuất hiện mặt sấp
ii) Có nhiều nhất hai lần xuất hiện mặt sấp
iii) Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp
Giải
Gieo 10 lần đồng tiền cân đối đồng chất được xem như
tiến hành 10 phép thử Bernoulli. Xác suất của biến cố
A”biến cố xuất hiện mặt sấp” không đổi trong mỗi lần
1
gieo và bằng p=

2
Theo công thức xác suất nhị thức, ta có:
k
Pn(k)= C n. p k .(1  p)nk


1
i) k=6;n=10;p=
2

1
Vậy P10(6)= C . 
2
6
10

6

10 6

 1
. 1  
 2

 C106 .

1
210

ii) Ta có P10(k≤2)=P10(0)+ P10(1)+ P10(2)=

1 2 k
 C10
210 k 0

iii) Xác suất phải tìm là P10(k≥1)
trước hết ta tìm xác suất của biến cố đối lập với biến cố
1
1
“k≥1” tức là P10(k<1)= P10(0)= C100 . 10  10
2
2
1
Vậy P10(k≥1)=1- 10
2
V. Hướng dẫn sinh viên học tập
1. Nhắc lại các dạng bài toán thường gặp và áp dụng những cơng thức xác suất tồn
phần, cơng thức Bayes, xác suất nhị thức. Chú ý cho các em các bài tốn sử dụng
cơng thức xác suất tồn phần, thì các biến cố Bi là các biến cố xảy ra trước biến cố A,
và biến cố A là biến cố có liên quan đến phép thử mà các biến cố Bi lập thành một hệ
đầy đủ.
2. Một sọt Cam có 10 trái trong đó có 4 trái hư. Lấy ngẫu nhiên ra ba trái.
i) Tính xác suất lấy được 3 trái hư.
ii)Tính xác suất lấy được 1 trái hư.
iii)Tính xác suất lấy được ít nhất một trái hư.
iv)Tính xác suất lấy được nhiều nhất 2 trái hư.
Giải

C34
4

 0,03
i) P(A)  3 
C10 120
C14C62 60
 0,5
ii) P(B)  3 
C10 120
C36
iii) P(C  1)  1  P(C  1)  1  3  0,83
C10
iv) P(D  2)  P(D  0)  P(D  1)  P(D  2)  0,97


Ngày soạn:
Lớp dạy:

Ngày dạy:

Chương II: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI
Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc
Số tiết: 4 tiết
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
Cung cấp những khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên), biến ngẫu
nhiên rời rạc, hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc, các số đặc trưng của biến
ngẫu nhiên rời rạc.
2. Kỹ năng:
Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:
- Lập được bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
- Biết cách lập hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc

- Biết cách tính các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc.
3. Thái độ:
Chủ động tìm tịi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lí thuyết biến ngẫu
nhiên rời rạc trong việc dạy học tốn.
II. Chuẩn bị
1. Giảng viên:
- Tài liệu chính:
[1] Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất - Thống kê , NXB GD Hà Nội , Hà Nội
- Tài liệu tham khảo:
[2] Trần Diên Hiển, Vũ Viết Yên (2007), Nhập môn lí thuyết xác suất và Thống
kê tốn, NXBGD & NXB ĐHSP, Hà Nội.
[3] Đào Hữu Hồ (2006), Hướng dẫn giải các bài toán Xác suất thống kê, NXB
ĐHQG Hà Nội. Hà Nội.


[4] Đỗ Đức Thái - Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn hiện đại xác suất và
Thống kê, NXB ĐHSP, Hà Nội.
2. Sinh viên:
- Chuẩn bị tài liệu
- Ôn lại kiến thức tính xác suất phần chương I
III. Phương pháp, phương tiện dạy học
- Thuyết trình, Gợi mở - Vấn đáp.
- Giáo án, giáo trình.
IV. Nội dung bài giảng
Hoạt động của GV và SV

Nội dung
I. Biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc
1. Các định nghĩa:
Định nghĩa 1: Biến ngẫu nhiên(bnn) còn gọi là

đại lượng ngẫu nhiên. Ánh xạ X từ không gian
mẫu  vào tập số thực R
X :  R

X    R
Được gọi là bnn kí hiệu là X, Y,… cịn giá trị
của nó kí hiệu là x, y,…
Và X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc (bnnrr)
khi X(  ) là hữu hạn hay vô hạn đếm được
Ví dụ: Gọi X là chỉ số con trai trong một lần
sinh(mỗi lần sinh một con). Khi đó X là biến
ngẫu nhiên rời rạc. Các giá trị có thể nhận của X
là 0,1.
Ví dụ: Gọi X là chỉ số viên đạn trúng đích khi
bắn 3 viên đạn vào một mục tiêu thì X là biến
ngẫu nhiên rời rạc. Giá trị X có thể nhận là
0,1,2,3.
Ví dụ: Gọi X là chỉ số lần xuất hiện mặt ngửa
khi tung một đồng xu liên tiếp 2 lần. Khi đó X
là biến ngẫu nhiên rời rạc. Các giá trị X có thể
nhận được là 0,1,2.
Định nghĩa 2: (Bảng phân phối)
Ta gọi dãy P[X=xi]=pi, i=1,2,…. Là phân phối
xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X
Ta có bảng phân phối xác suất




Với



p
i 1

i

1

Định nghĩa 3(Hàm phân phối)

- Chú ý: Nói cách khác muốn tính
giá trị hàm phân phối tại x là giá trị
bất kí ta đi tính tổng của xác suất
trước x

Tính chất hàm phân phối:
i) 0≤F(x)≤1
ii) Hàm phân phối ln là hàm không giảm, tức
là x1iii) lim F ( x)  1, lim F ( x)  0
x 

x 

iv) P(a≤x≤b)=F(b)-F(a)

2.Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời
rạc
- Kì vọng tốn E(X) hay cịn được +) Kì vọng tốn: cho bảng phân phối xác suất
kí hiệu bẳng µ

Thì tổng



 x .p
i 1

i

i

được gọi là kì vọng tốn của

biến ngẫu nhiên rởi rạc X. Kí hiệu E(X)=


 x .p
i

i

- Chú ý: Phương sai cịn được kí i 1
+) Phương sai: Ta gọi E(X-E(X))2 là phương
hiệu là Var(X), hoặc  2  X 
sai của biến ngẫu nhiên X và kí hiệu là DX=

Và ta thường dùng hai tính chất E(X-E(X))2
này để tính phương sai
Các t/c của phương sai

Ý nghĩa: Đo mức độ phân tán của các giá trị của
X so với vị trí kì vọng E(X) của nó. Về tốn
học, phương sai là độ lệch bình phương trung
bình giữa các X so với kì vọng E(X).
+) Độ lệch chuẩn:  X  D( X )
+) Momen gốc: Gọi momen gốc bậc k của biến
ngẫu nhiên X là E(Xk). Khi k=1
 E  X k   E  X  là kì vọng tốn của X
+) Trung vị (Median): Giá trị xMe của biến ngẫu
1
nhiên X được gọi là trung vị nếu F(xMe)= , kí
2
- Chú ý: ModX có thể có nhận hiệu Med(X)
nhiều giá trị, cịn MedX chỉ có một +) Mod: Giá trị x
mod của biến ngẫu nhiên X
giá trị
được gọi là mod nếu P[X= xmod] là số lớn nhất,
kí hiệu Mod X
Ví dụ: Cho phân phối xác suất của X là
X
-1
0
1
P[X]
1
1

2
6
6
3
Tính kì vọng, phương sai,  X , ModX, MedX?
Giải


1
1
2
+0. +1. =0
6
6
3
1
1 1
2
E(X2)= =(-1)2. +02. +12. =
6
6 3
3
1
1
Vậy DX= -02=
3
3
1
 X  D( X ) =
3

ModX=0
MedX= 0
Ví dụ: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối
như sau:
X
-1
0
1
P[X]
1
1
1
3
3
3
3
4
Tính E(X ), ModX, E(X-EX)
Giải
3
1
1
1
Ta có E(X3)=  xi3 . pi =(-1)3. +03. +(1)3. =0
3
3
3
i 1

EX=(-1).

3

EX=  xi . pi =0
i 1

3

3

E(X-EX)4=   xi  EX  . pi   xi4 . pi =
4

i 1

i 1

2
3

ModX=-1; ModX=0; ModX=1
Ví dụ: Một hộp đựng 10 quả trong đó 8 quả
cam và 2 quả quýt. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4
quả. Gọi X là số quả quýt trong 4 quả lấy ra.
Lập phân phối xác suất của X?
Giải
Các giá trị X có thể nhận là: 0; 1; 2.
Với X = 0  P(X = 0) = C02 . C48 / C410 =
4
Với X = 1  P(X = 1) = C21 . C38 / C10

=

Với X = 2  P(X = 2) = C22 . C28 / C410 =

70
210
112
210
28
210


Phân phối xác suất của X là
X

0

1

2

P[X]

70 112
210 210

28
210

V. Hướng dẫn sinh viên học tập

1. Nhắc lại định nghĩa biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân phối, các
số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc
2. Cho phân phối xác suất của X là:
X
1
P[X]
1
6

2
2
3

Tìm EX, DX, ModX, E(X3)?
Hướng dẫn
EX=2; E(X2)=

26
6

1
DX= ; ModX=2; và E(X3)=10
3

3
1
6