Tài liệu Đề thi học kì 2 môn toán pptx

Nguyễn Tăng Vũ


1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2008 – 2009
Trường Phổ Thông Năng Khiếu MÔN THI: TOÁN
Lớp 11. Thời gian: 90 phút

(Đề thi chung cho các lớp 11 Tin, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Anh, A, D)

Câu 1. a)Tính
2
2
2
56
lim
616
x
xx
xx
→
−+
+−

b) Tính
()
()
()
2
41
lim 2

12
x
x
x
x xx
→−∞
+
+
−+

Câu 2. Gọi
( )
C
là đồ thị của hàm số
31
2
x
y
x
−
=
+
. Viết phương trình đường thẳng
( )
d
tiếp xúc với
( )
C
tại
( )

;4
M
Mx −

Câu 3. a) Tính đạo hàm của hàm số
2
cos
31
2
x
yx
x
=+−
+

b) Chứng minh phương trình
3
510xx−+=
có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1.
Câu 4. Cho hình chóp
.SABCD
,
( ) ( )
SAB ABC
⊥
. Tam giác
ABS
đều có tâm
I
,

,2
ACBCACBCa
⊥==
.
a) Chứng minh
( )
SI ABC⊥
và tam giác
ASC
cân.
b) Chứng minh
IS IA IB IC===
. Tính góc tạo bởi
SC
và mặt phẳng
( )
ABC

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
SC
và
AB

d) Tính góc tạo bởi
( )
SAC
và
( )
ABC

Hướng dẫn giải
Câu 1.
a) Ta có
( )( )
()()
2
2
22 2
23
56 323 1
lim lim lim
616 2 8 828 10
xx x
xx
xx x
xx x x x
→→ →
−−
−+ − −
====−
+− − + + +

b) Ta có

()
()
()
()( )
()( )

()( )
()
2
2
2
2
241
41
lim 2 lim
12
12
21 21
14 14
24 1
lim lim lim 2
11
1
11
xx
xx x
xx
x
x
xxx
xxx
x
xx
xx xx
xx
x

xx
→−∞ →−∞
→−∞ →−∞ →−∞
++
+
+=−=
−+
−+
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞
++ ++
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟
++
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠⎝ ⎠
=− =− =− =−
−
⎛⎞ ⎛⎞
−−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Câu 2.
31
2
x
y
x
−
=
+

Nguyễn Tăng Vũ


2
Ta có
( ) ( )
() ()
22
3231
7
22
xx
y
xx
+− −
′
==
++

Ta có
()()
31
;4 4 1
2
M
MM
M
x
Mx C x
x

−
−∈ ⇒−= ⇒ =−
+

Ta có
()
()
2
7
17
12
y
′
−= =
−+
.
Vậy phương trình đường thẳng
( )
d
tiếp xúc với
( )
C
tại
( )
1; 4
M
− −
là:
( )
714

yx
= +−
hay
73yx= +

Câu 3.
a)
2
cos
31
2
x
yx
x
=+−
+

Ta có
( )
( )
() ()
2
2
22
22
sin 2 2 cos
3 3 sin 2 cos 2sin
23 1 23 1
22
xx x x

x xxx x
y
xx
xx
−+−
++
′
=− =+
++
++

b)
( )
3
51f xx x=−+
. Ta có
f
là hàm số liên tục trên
\

Ta có
( )
13
f
=−
và
( )
313
f
=

Ta có
( ) ( )
1. 3 39 0
ff
=− <
, suy ra phương trình
( )
0
fx
=
có nghiệm trong khoảng
( )
1; 3

Vậy phương trình
3
510xx−+=
có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1.

Bài 4.
Nguyễn Tăng Vũ


3
I
E
D
B
A

S
C
F

a) Vì tam giác
SAB
đều và
I
là tâm tam giác đều nên
SI AB⊥
.
Ta có
()( )
()( )
()
SAB ABC
AB SAB ABC
SI AB
SI ABC
⊥⎧
⎪
=∩
⎨
⎪
⊥
⎩
⇒⊥

Gọi
D

là giao điểm của
SI
và
AB
thì
D
là trung điểm
AB
.
Tam giác
ABC
vuông cân tại
C
nên
22AB AC a==

Ta có
.3
3
2
AB
SD a== và
1
2
CD AB a==
Ta có
()
SD ABC SD CD
⊥⇒⊥
, suy ra

()
2
22 2
32
SC DC SD a a a=+= +=

Tam giác
SAC
có
2SA SC a==
nên cân tại
S

b)
Tam giác
ABC
vuông cân tại
C
có
D
là trung điểm
AB
nên
1
2
CD AB DB DA===
Vì
D
là hình chiếu của
I

trên mặt phẳng
( )
ABC
và
DA DB DC
= =
nên ta có
IAIBIC
==
.
Mặt khác
I là tâm của tam giác đều
SAB
nên
IAIBIS
= =
.
Vậy
ISIAIBIC
===

Nguyễn Tăng Vũ


4
Vì
CD
là hình chiếu của
SC
trên mặt phẳng

( )
ABC
nên góc giữa
SC
và mặt phẳng
()
ABC
là
n
SCD .
Ta có
n n
0
33
sin 60
22
SD a
SCD SCD
SC a
== =⇒ =

Vậy góc giữa
SC
và mặt phẳng
()
ABC
bằng
0
60

c) Vẽ
()()
1DF SC F SC⊥∈
.
Ta có
() ()
2
AB SD
AB SCD AB DF
AB CD
⊥
⎧
⇒⊥ ⇒⊥
⎨
⊥
⎩

Từ (1) và (2) ta có
DF
là đoạn vuông góc chung của
SC
và
AB
.
Ta có
n
0
3
.sin .sin 60
2

a
DF CD FCD a===

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng
SC
và
AB
là
3
2
a

d) Gọi
E
là trung điểm
AC
, ta có
SE AC⊥
(do tam giác
SAC
cân tại
S
)
Trong tam giác
ABC
có DE là đường trung bình nên
//
DE CB DE AC⇒⊥
.
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng

()
SAC
và
( )
ABC
là góc giữa hai đường thẳng
SE
và DE .
Ta có
n
323
tan 6
22
2
SD a
SED
DE
a
== = =
n
0
67 47SED
′
⇒=
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
()
SAC
và
()
ABC

là
0
67 47
′