Tài liệu Ôn tập về hàm số bậc 3 pdf

ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3


Giả sử : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d với a ≠ 0 có đồ thị là (C). y’ = 3ax
2
+ 2bx + c, y” = 6ax
+ 2b
1) y” = 0 ⇔ x =
a3
b−
(a ≠ 0 )
x =
a3
b−
là hoành độ điểm uốn. Đồ thị hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

2) Để vẽ đồ thị 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2

⇒ hàm số đạt cực đại tại x
1
và đạt cực tiểu tại x
2
.
Ngoài ra ta còn có :
+ x
1
+ x
2
= 2x
0
với x
0
là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (−∞, x
1
)
+ hàm số tăng trên (x
2
, +∞)
+ hàm số giảm trên (x
1
, x
2
)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x

2
với x
1
< x
2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực đại tại x
2
thỏa điều kiện x
1
+ x
2
= 2x
0
(x
0
là
hoành độ điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x
1
)
+ hàm số giảm trên (x
2
, +∞)
+ hàm số tăng trên (x
1
, x
2
)

3) Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là hằng số
khác 0;
thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = r x + q

4) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt






<
=
0)
2
x(y).
1
x(y
2
x,
1
x bieọt aõnnghieọm ph 2 coự 0'y


5) Gi s a > 0 ta cú :
i) (C) ct Ox ti 3 im phõn bit >

<
<
<<=
0)
2
x(y).
1
x(y
0)(y
2
x
1
x thoỷa bieọt aõnnghieọm ph 2 coự 0'y

ii) (C) ct Ox ti 3 im phõn bit <








<
>

<<=
0)
2
x(y).
1
x(y
0)(y
2
x
1
x thoỷa bieọt aõnnghieọm ph 2 coự 0'y

Tng t khi a < 0 .
6) Tip tuyn
: Gi I l im un. Cho M (C).
Nu M I thỡ ta cú ỳng 1 tip tuyn qua M.
Nu M khỏc I thỡ ta cú ỳng 2 tip tuyn qua M.
Bin lun s tip tuyn qua 1 im N khụng nm trờn (C) ta cú nhiu trng hp
hn.

7) (C) ct Ox ti 3 im phõn bit cỏch u nhau y = 0 cú 2 nghim phõn bit v
y(x
0
) = 0 (x
0
l honh im un)

8) Bin lun s nghim ca phng trỡnh : ax
3
+ bx

2
+ cx + d = 0 (1) (a 0) khi x =
l 1 nghim ca (1).
Nu x = l 1 nghim ca (1), ta cú
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = (x - )(ax
2
+ b
1
x + c
1
)
nghim ca (1) l x = vi nghim ca phng trỡnh ax
2
+ b
1
x + c
1
= 0 (2). Ta cú
cỏc trng hp sau:
i) nu (2) vụ nghim thỡ (1) cú duy nht nghim x =
ii) nu (2) cú nghim kộp x = thỡ (1) cú duy nht nghim x =
iii) nu (2) cú 2 nghim phõn bit thỡ (1) cú 3 nghim phõn bit
iv) nếu (2) có 1 nghiệm x = α và 1 nghiệm khác α thì (1) có 2 nghiệm.
v) nếu (2) có nghiệm kép ≠ α thì (1) có 2 nghiệm
BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3
Cho họ đường cong bậc ba (C

m
) và họ đường thẳng (D
k
) lần lượt có phương trình
là
y = −x
3
+ mx
2
− m và y = kx + k + 1.
(I) PHẦN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung
AB với M khác A , B . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có
tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C).
2) Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ
E ∈ ∆ với (C).
3) Tìm E ∈ ∆ để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với
nhau.
4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này
chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.
5) Tìm M ∈ (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).
(II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.
6) Tìm điểm cố định của (C
m
). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này
vuông góc nhau.
7) Định m để (C
m
) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực

trị.
8) Định m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghịch biến trong (0,
+∞).
10) Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.
11) Tìm điều kiện giữa k và m để (D
k
) cắt (C
m
) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (D
k
)
cắt (C
m
) thành hai đoạn bằng nhau.
12) Viết phương trình tiếp tuyến với (C
m
) và đi qua điểm (-1, 1).
13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (C
m
) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ
số góc lớn nhất.

BÀI GIẢI

PHẦN I : m = 3
Khảo sát và vẽ đồ thị (độc giả tự làm)

1) Gọi n là hoành độ của M. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = 2
nên 0 < n < 2; y' = – 3x
2
+ 6x ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k
1
= – 3n
2
+ 6n
∈ (0, 3] (vì n ∈ (0, 2)). Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại M có hệ số góc
là k
2
=
1
k
1
−
(với 0 < k
1
≤ 3). Hoành độ của tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến M
là nghiệm của – 3x
2
+ 6x =
1
k
1
−
(= k

2
) ⇔ 3x
2
– 6x
1
k
1
−
= 0. Phương trình này
có a.c < 0, ∀ k
1
∈ (0, 3] nên có 2 nghiệm phân biệt, ∀ k
1
∈ (0, 3]. Vậy trên (C)
luôn có 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tại M.

2) E (e, 1) ∈ ∆. Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D). (D) tiếp
xúc (C) ⇔ hệ



=+−
+−=−+−
hx6x3
1)ex(h3n3x
2
23
có nghiệm.
⇒ Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
– x

3
+ 3x
2
– 3 = (– 3x
2
+ 6x)(x – e)+ 1 (1)
⇔ – x
3
+ 3x
2
– 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
⇔ (x – 2)(x
2
– x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)
⇔ x = 2 hay x
2
– x – 2 = 3x
2
– 3ex
⇔ x = 2 hay 2x
2
– (3e – 1)x + 2 = 0 (2)
(2) có ∆ = (3e – 1)
2
– 16 = (3e – 5)(3e + 3)
(2) có nghiệm x = 2 ⇔ 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 ⇔ e = 2
Ta có ∆ > 0 ⇔ e < – 1 hay e >
3
5
.

Biện luận :
i) Nu e < 1 hay
3
5
< e < 2 hay e > 2
(1) cú 3 nghim phõn bit cú 3 tip tuyn.
ii) Nu e = 1 hay e =
3
5
hay e = 2
(1) cú 2 nghim cú 2 tip tuyn.
iii) Nu 1 < e <
3
5
(1) cú 1 nghim cú 1 tip tuyn.
Nhn xột : T th, ta cú y = 1 l tip tuyn ti (2, 1) nờn phng trỡnh (1) chc chn
cú nghim x = 2, e.
3) Vỡ y = 1 l tip tuyn qua E (e, 1), e v ng x = khụng l tip tuyn nờn yờu
cu bi toỏn.
(2) cú 2 nghim phõn bit x
1
, x
2
tha : y'(x
1
).y'(x
2
) = 1

=++
><
1)x6x3)(x6x3(
)2(cuỷanghieọmlaứx,x
3
5
e1e
2
2
21
2
1
21

=
=

=+
><
1)2x)(2x(x.x9
1x.x
2
1e3
xx
3
5
ehay1e
2121
21
21







=+
><
1]4)1e3(1[9
3
5
ehay1e

e =
27
55
. Vy E






1,
27
55

4) Tip im ca tip tuyn (vi (C)) cú h s gúc bng p l nghim ca :
y' = p 3x
2
6x + p = 0 (3)
Ta cú ' = 9 3p > 0 p < 3
Vy khi p < 3 thỡ cú 2 tip tuyn song song v cú h s gúc bng p.
Gi x
3
, x
4
l nghim ca (3).