Bái tập lớn môn công nghệ nano tính toán cấu trúc vùng cấm quang tử tinh thể quang tử ba chiều

l
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN ĐIỆN TỬ - VIỄN THÔNG
~~~~~ ~~~~~

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MÔN CÔNG NGHỆ NANO
Đề tài :

Tính tốn cấu trúc vùng cấm quang tử của tinh
thể quang tử ba chiều
GVHD: TS.Nguyễn Việt Hưng
NHÓM 4
Lê Văn Thuận
Trần Việt Hoàng
Nguyễn Tiến Thịnh
Trinh Ngọc Châu
Trần Sách Chƣơng
Nguyễn Đăng Huyên

20153658
20161722
20163928
20150337
20150426
20151725

Hà Nội, 11/2019

1

CuuDuongThanCong.com

/>

Contents
LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 3
TÓM TẮT BÀI TẬP LỚN .............................................................................................. 4
CHƢƠNG 1: TRUYỀN DẪN ÁNH SÁNG TRONG CÁC CẤU TRÚC ĐIỆN MƠI
BA CHIỀU: ...................................................................................................................... 5
1. Hệ phƣơng trình Maxwell: ....................................................................................... 5
2. Khảo sát hệ phƣơng trình Maxwell khi truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện
môi: ............................................................................................................................... 6
CHƢƠNG2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƢƠNG PHÁP TRIỂN KHAI SÓNG
PHẲNG (PWEM) SỬ DỤNG ĐỂ TÍNH TỐN CÁC VÙNG CẤM QUANG CỦA
TINH THỂ QUANG TỬ ............................................................................................... 11
1.Giới thiệu về tinh thể quang tử: ............................................................................... 11
2.Sợi tinh thể quang tử và kĩ thuật truyền dẫn trong sợi tinh thể quang tử : .............. 11
3.Phƣơng pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method) .................... 12
CHƢƠNG 3: KHÁI NIỆM VÙNG BRILLOUIN RÚT GỌN, MẠNG ĐẢO, CÁC
“ĐƢỜNG VECTO K”. .................................................................................................. 14
1. Khái niệm vùng Brillouin rút gọn. .......................................................................... 14
2.Mạng đảo là gì ?....................................................................................................... 15
3. Các 'đƣờng vector K' ? ............................................................................................ 21
CHƢƠNG 4: CÁC MODE PHÂN CỰC HỖN HỢP (HYBRID
POLARIZATION MODES). ......................................................................................... 22
CHƢƠNG 5: MƠ PHỎNG TÍNH TOÁN VÙNG CẤM QUANG CỦA CÁC TINH
THỂ QUANG TỬ BA CHIỀU CĨ CẤU TRÚC MẠNG TINH THỂ KIM CƢƠNG
CÁC HÌNH CẦU KHƠNG KHÍ ĐÚC TRONG KHỐI ĐIỆN MƠI. ............................ 30
1. Thiết kế layout cho mơ hình tinh thể quang tử 3 chiều có cấu trúc mạng kim

cƣơng. ......................................................................................................................... 30
PHỤ LỤC 1: BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC ....................................................... 41
PHỤ LỤC 2: CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT TRONG BÁO CÁO ............................ 42
PHỤ LỤC 3: CÁC HÌNH ẢNH SỬ DỤNG TRONG BÁO CÁO ................................ 43
TÀI LIÊU THAM KHẢO .............................................................................................. 44

2

CuuDuongThanCong.com

/>

LỜI MỞ ĐẦU

Nền khoa học công nghệ trên thế giới đang phát triển một cách nhanh chóng nhất là
các nƣớc đang phát triển nhƣ Mỹ, Nhật Bản... Sự phát triển của khoa học công nghệ đã
đem lại những diện mạo mới cho cuộc sống con ngƣời và công nghệ điện tử viễn
thơng. Hiện nay trên thế giới đang hình thành một ngành khoa học và cơng nghệ mới,
có nhiều triển vọng và dự đốn sẽ có tác động mạnh mẽ đến tất cả các lĩnh vực khoa
học công nghệ, kĩ thuật cũng nhƣ đời sống kinh tế xã hội của thế kỉ XXI - đó chính là
cơng nghệ nano. Với cơng nghệ nano cho phép chúng ta có thêm những ý tƣởng mới
trong nhiều lĩnh vực của đời sống xã hội. Trong công nghệ nano việc nghiên cứu về
tinh thể quang tử và vùng cấn quang của tính thể quang tử là việc vơ cùng quan trọng.
Chính vì lí do đó trong bản báo cáo này chúng em xin trình bày nội dung nghiên cứu về
đề tài: "Tính tốn cấu trúc vùng cấm quang tử của tinh thể quang tử ba chiều".

Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn thầy TS. Nguyễn Việt Hƣng đã tận tình
hƣớng dẫn để chúng em có thể hồn thành đề tài này. Mặc dù đã rất cố gắng hoàn
thành đề tài một cách tốt nhất tuy nhiên nhóm vẫn khơng thể tránh khỏi những thiếu
xót về kiến thức, nhóm chúng em mong rằng sẽ đƣợc thầy và các bạn góp ý, nhận xét

để có thể hồn thiện hơn.

T11/2019
Nhóm 4_BTL Cơng nghệ nano

3

CuuDuongThanCong.com

/>

TĨM TẮT BÀI TẬP LỚN
Nội dung chính của đề tài là tính tốn cấu trúc vùng cấm quang của các tinh thể
quang tử ba chiều. Cụ thể bài tập lớn gồm 5 chƣơng:
Chƣơng 1: Truyền dẫn ánh sáng trong các cấu trúc điện môi ba chiều.
Chƣơng 2: Cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp triển khai sóng phẳng (PWEM).
Chƣơng 3: Khái niệm vùng Brillouin rút gọn, mạng đảo, các “đƣờng vecto K”
Chƣơng 4: Các mode phân cực hồn hợp (Hybrid Polarization Modes).
Chƣơng 5:Mơ phỏng tính tốn vùng cấm quang của các tinh thể quang tử ba
chiều có cấu trúc mạng tinh thể kim cƣơng các hình cầu khơng khí đúc trong
khối điện môi.

4

CuuDuongThanCong.com

/>

CHƢƠNG 1: TRUYỀN DẪN ÁNH SÁNG TRONG CÁC CẤU TRÚC
ĐIỆN MƠI BA CHIỀU:

1. Hệ phƣơng trình Maxwell:
Các phƣơng trình Maxwell bao gồm bốn phƣơng trình, đề ra bởi James Clerk
Maxwell, dùng để mô tả trƣờng điện từ cũng nhƣ những tƣơng tác của chúng đối
với vật chất. Bốn phƣơng trình Maxwell mơ tả lần lƣợt:
 Điện tích tạo ra điện trƣờng nhƣ thế nào (định luật Gauss).
 Sự không tồn tại của vật chất từ tích.
 Dịng điện tạo ra từ trƣờng nhƣ thế nào (định luật Ampere).
 Từ trƣờng tạo ra điện trƣờng nhƣ thế nào (định luật cảm ứng ).
Đây cũng chính là nội dung của thuyết điện từ học Maxwell.
Hệ phƣơng trình Maxwell (dạng vi phân):
∇.

=0

∇.

=ρ

∇×

+

=0

∇×

-

=

Hệ phƣơng trình Maxwell (dạng tích phân) :

Với

=ε

+ và

=μ

+

5

CuuDuongThanCong.com

/>

Trong đó :
•

là véc tơ cƣờng độ điện trƣờng.

•

là véc tơ cảm ứng điện.

•

là véc tơ cƣờng độ từ trƣờng.

•

là véc tơ cảm ứng từ.

•
•

ρ là mật độ điện tích.
là véc tơ mật độ dịng điện.

•

∇ là tốn tử Nabla. Trong hệ tọa độ Đề Các ∇= (

•

là véc tơ phân cực điện môi, là số momen lƣỡng cực điện trên một đơn
vi thể tích

•

;

;

).

là véc tơ từ độ, là số momen lƣỡng cực từ trên một đơn vị thể tích.

•

ε0 là hằng số điện mơi chân khơng. ε0 = 8.859ì10-12 As/Vm

ã

0 = 4 ì 10-7 Vs/Am l t thẩm trong chân khơng

2. Khảo sát hệ phƣơng trình Maxwell khi truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc
điện môi:
a) Hiện tượng phân cực điện môi.
Phân cực điện môi là sự dịch chuyển của các điện tích trong giới hạn 1 phân tử
dƣới tác động của điện trƣờng ngồi và hình thành moment điện. Trạng thái của điện
mơi có thể đƣợc thể hiện bằng các đại lƣợng sau:
•

Cƣờng độ điện trƣờng E

•

Độ phân cực P

•

Cảm ứng điện D

•

Năng lƣợng điện trƣờng tích lũy trong điện mơi

•

Mật độ năng lƣợng điện trƣờng tích lũy trong điện mơiS

•

Tốc độ lan truyền sóng điện từ

•

Hệ số khúc xạ sóng điện từ

•

Bƣớc sóng truyền dẫn sóng điện từ
6

CuuDuongThanCong.com

/>

•

Trở kháng song

Sự biến thiên theo thời gian của phân cực tạo thành dòng điện phân cực
=

và mật độ điện tích phân cực ρpol = - div .

Hiện tƣợng từ hóa
 Từ hóa là q trình thay đổi các tính chất từ (cấu trúc từ, mômen từ...) của vật
chất dƣới tác dụng của từ trƣờng ngoài. Khi đƣợc sử dụng nhƣ một động từ, từ
hóa có nghĩa là làm thay đổi tính chất từ của chất bằng từ trƣờng ngồi.
 Xét về mặt hiện tƣợng, từ hóa là sự thay đổi tính chất từ của vật chất theo từ
trƣờng ngồi, xét về mặt bản chất, đây là sự thay đổi các mơmen từ ngun tử.
Khi đặt vào từ trƣờng ngồi, các mơmen từ ngun tử có xu hƣớng bị quay đi
theo từ trƣờng ngoài dẫn đến sự thay đổi về tính chất từ.
 Các mơmen từ ngun tố đƣợc biểu diễn ở mức vĩ mô bằng mômen từ ứng với
một đơn vị thể tích M :
= rot


Các điện tích và dòng điện: Gắn liền với sự dịch chuyển trong phạm vi rấtgiới
hạn của các điện tích; đƣợc gọi là các điện tích và dịng điện liên kết

a) Điện mơi tuyến tính, đồng nhất và đẳng hƣớng
 Trong mơi trƣờng điện mơi tuyến tính, đồng nhất và đẳng hƣớng :
•

Tính chất từ của mơi trƣờng khơng đáng kể. Khi đó

•

J= 0 và ρ =0. Khi đó

≈ 0 => = μ

=ε

 Biểu diễn phƣơng trình Maxwell
Trong cấu trúc điện mơi ba chiều thông qua hệ tọa độ Đề Các :
-μ

=

-

ɛ

=

-

-μ

=

-

ɛ

=

-

7

CuuDuongThanCong.com

/>

-μ

=

-

ɛ

=

-

b) Nghiệm của hệ phƣơng trình Maxwell khi truyền dẫn ánh sáng trong cấu
trúc điện môi
Nếu môi trường là đồng nhất: ε không phụ thuộc vào các tọa độ không gian:
 Bắt đầu từ phƣơng trình

 Trong chân khơng (với mật độ điện tích bằng khơng), phƣơng trình Maxwell Gauss có dạng:

 Nên phƣơng trình đầu tiên trở thành

 Quay sang phƣơng trình Maxwell-Faraday:

 Lấy rot hai vế, phƣơng trình trên trở thành:

 Suy ra:

8

CuuDuongThanCong.com

/>

 Cùng với mật độ điện tích, vectơ mật độ dịng điện trong chân khơng J = 0 nên
phƣơng trình Maxwell-Ampère trở thành:

 Cuối cùng ta đƣợc

là phƣơng trình sóng của thành phần điện trƣờng.

 Chứng minh tƣơng tự ta sẽ có

là phƣơng trình sóng của thành phần điện trƣờng.

Nếu lan truyền sóng trong các vật liệu điện mơi có cấu trúc tuần hoàn :





H


D


E

t

t

1 


H




E

t


1
n



2

1
n



2




H

H

2
0

1
c

0

t

2
H

2

9

CuuDuongThanCong.com


H

/>
t

2

2


 Nghiệm riêng của phương trình trên là

 
H r,t


H r .e

 
E r,t

 Với
i
E r .e


E r

i t

i
n


H r

t

2

 
. .H r
 
. .E r

i
0

Với w là tần số riêng
 Đối với trường hợp vật liệu điện mơi có cấu trúc tuần hoàn
ε( ) = ε ( + m )
m: số ngun
: chu kì ( ơ cơ sở)
 Các nghiệm riêng
k

)=e

.

k

)

k

)=e

.

k

)

( ) và

( ) là các hàm Bloch

là các vecto song
Tần số riêng phụ thuộc vào vecto sóng

10

CuuDuongThanCong.com

/>

CHƢƠNG2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƢƠNG PHÁP TRIỂN KHAI
SÓNG PHẲNG (PWEM) SỬ DỤNG ĐỂ TÍNH TỐN CÁC VÙNG CẤM
QUANG CỦA TINH THỂ QUANG TỬ
1.Giới thiệu về tinh thể quang tử:
Các tinh thể quang tử cũng được biết đến như là các cấu trúc micro hoặc là các cấu

trúc có vùng cấm quang, là các vật liệu với cấu trúc tuần hồn về các hằng số điện mơi
khác nhau. Các tinh thể quang tử là 1D, 2D, 3D tùy theo sự tuần hồn về hằng số điện
mơi, theo khơng gian 1 chiều, 2 chiều hay 3 chiều. Các tinh thể quang tử 3D thì tương
tự với các tinh thể chất rắn. Ý tưởng tổng quát là các tinh thể photonic có thể làm
những việc với photon như là các tinh thể bán dẫn có thể làm với các điện tử, có nghĩa
là chúng có thể tạo ra tình trạng mà ở đó các photon ở một dãy năng lượng nào đó thì
khơng thể đi qua tinh thể được và chúng bị phản xạ khi chạm vào tinh thể hoặc là
không được phép truyền qua tất cả các hướng ở bên trong nó. Điều sau này rất quan
trọng, vì ví dụ ánh sáng có thể được phát ra từ một nguồn sáng, được phát xạ lại bởi
tinh thể, hiển nhiên là được tái hấp thụ, rồi lại tái phát xạ.

Hình 1 Tinh thể quang tử 1D, 2D và 3D

2.Sợi tinh thể quang tử và kĩ thuật truyền dẫn trong sợi tinh thể quang tử :
Sợi tinh thể quang tử (PCFs) là sợi có cấu trúc tuần hồn đƣợc làm bằng các ống
nhỏ (nhƣ ống mao dẫn). Những lỗ trống đƣợc chứa đầy khơng khí và nó có hình dạng
giống mạng lục giác.

11

CuuDuongThanCong.com

/>

Hình 2Mặt cắt sợi tinh thể quang tử (PCFs)

Ánh sáng có thể truyền dọc theo sợi bên trong những lỗ khuyết của cấu trúc tinh
thể. Một lỗ khuyết đƣợc tạo ra là do có sự dịch chuyển của một hay nhiều tâm của ống
nhỏ. Sợi tinh thể quang tử là một loại mới của sợi quang học. Kết hợp tính chất của sợi
quang và tính chất của tinh thể quang tử sợi tinh thể quang tử có nhiều tính chất mà

những sợi quang học trƣớc đây khơng thể có đƣợc .
3.Phƣơng pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method)
Thơng thƣờng sử dụng phƣơng pháp cho modeling của sợi quang học không thể
thành công trong PCF modeling. Những sợi này có hệ số phản xạ cao và có cấu trúc
tuần hồn với hằng số mạng cỡ bƣớc sóng ánh sáng. Bởi vậy những phƣơng pháp sử
dụng modeling trong tinh thể quang tử tƣơng tự trong sóng điện từ.
Phƣơng pháp khai triển sóng phẳng (PWE) cho ta một cách tiếp cận rất hiệu quảvà
gần với mơ hình PCFs. Phƣơng pháp này cho ta phép giải phƣơng trình vector sóng
đầy đủ cho trƣờng từ. Trong mơ hình này trƣờng tuần hồn cũng nhƣ vị trí phụ thuộc
vào hằng số điện mơi sử dụng khai triển Fourier của các hàm tuần hoàn đƣợc xác định
bởi vector mạng tƣơng hỗ.

Ta đã có phƣơng trình Master :
(3.1)
Coi tinh thể là vô tận theo trục z sử dụng định lí Bloch ta đƣợc:
12

CuuDuongThanCong.com

/>

(3.2)
Sử dụng biến đổi Fourier , hằng số điện môi:
(3.3)
Phƣơng trình Master có thể viết lại dƣới dạng đại số:

Phƣơng pháp PWE cho phép tính đƣợc độ tán sắc tƣơng đối và dải vùng cấm của
quang tử trong những cấu trúc điện mơi tuần hồn. Nó có thể đƣợc ứng dụng với bất kì
loại cấu trúc tinh thể nào, bao gồm cả những tinh thể bất thƣờng. Điều này cho phép
xác định cấu trúc dải cua quang tử trong cơ chế dẫn của PBG, cũng nhƣ những mode

trong chiết xuất của cơ chế dẫn sóng. Đây là phƣơng pháp tƣơng đối nhanh, chính xác,
tuy nhiên nó có một số nhƣợc điểm nhƣ khơng thể sử dụng để tính tốn cấu trúc của
những vật liệu có tính chất hoạt hóa(hấp thụ và khuếch đại). Ngồi ra, nó khơng mang
lại bất kì thông tin về tổn thất do tán xạ, truyền tải và ánh xạ của ánh sáng tới trong
PCF.

13

CuuDuongThanCong.com

/>

CHƢƠNG 3: KHÁI NIỆM VÙNG BRILLOUIN RÚT GỌN, MẠNG ĐẢO,
CÁC “ĐƢỜNG VECTO K”.
1.Khái niệm vùng Brillouin rút gọn.
Trong toán học và trạng thái vật lí của chất rắn, vùng Brillouin đầu tiên là một tế
bào nguyên thủy đƣợc xác định duy nhất trong không gian đối xứng. Ranh giới của ô
này đƣợc cho bởi các mặt phẳng liên quan đến các điểm trên mạng đối xứng. Tầm quan
trọng của vùng Brillouin bắt nguồn từ mơ tả sóng Bloch của sóng trong mơi trƣờng
tuần hồn, trong đó ngƣời ta thấy rằng các giải pháp có thể đƣợc đặc trƣng hồn tồn
bởi hành vi của chúng trong một vùng Brillouin duy nhất.

Hình 3

2D

14

CuuDuongThanCong.com

/>

4

3D

Vùng Brillouin đầu tiên là vị trí của các điểm trong không gian đối xứng gần với
nguồn gốc của mạng lƣới đối xứng hơn so với bất kỳ điểm mạng lƣới đối xứng nào
khác.
Ngồi ra cịn có các vùng Brillouin thứ hai, thứ ba, v.v., tƣơng ứng với một chuỗi
các vùng tách rời (tất cả có cùng âm lƣợng) với khoảng cách ngày càng tăng từ gốc,
nhƣng chúng đƣợc sử dụng ít thƣờng xun hơn. Do đó, vùng Brillouin đầu tiên
thƣờng đƣợc gọi đơn giản là vùng Brillouin. Tổng quan, vùng Brillouin thứ n bao gồm
tập hợp các điểm có thể đạt đƣợc từ điểm gốc bằng cách vƣợt qua chính xác n - 1 mặt
phẳng Bragg khác biệt (mặt phẳng không gian đối xứng chia đôi vector mạng đối
xứng).
Vùng Brillouin rút gọn là vùng đƣợc xác định bởi các đƣờng trung trực giữa các nút
cách nhau 1 đơn vị (nút) đối với 1 chiều và 2 chiều. Đối với không gian 3 chiều, vùng
Brillouin rút gọn đƣợc xác định là môt mặt phẳng phân giác chia không gian đối xứng
thành hai nửa bẳng nhau.
2.Mạng đảo là gì ?
 Mạng đảo là khái niệm sử dụng trong tinh thể học và vật lí chất rắn, biểu diễn
của một mạng tinh thể( mạng Bravais ) trong khơng gian sóng thơng qua phép
biến đổi Fourier. Mạng đảo đƣợc nhà vật lí Auguste Bravais đề xuất và nhà vật
lí Josiah Willard Gibbs xây dựng.
 Mạng thuận (mạng Bravais) là mạng hình học của mạng tinh thể.
 Mọi tinh thể bao gồm 2 mạng, mạng thuận và mạng đảo.

15

CuuDuongThanCong.com

/>

 Hình ảnh nhiễu xạ của tinh thể mà ta quan sát thấy chính là ảnh của mạng đảo
 Hình ảnh quan sát đƣợc qua kính hiển vi (giả định) là hình ảnh của mạng thuận
 Mạng đảo đƣợc xây dựng từ 3 vector cơ sở là a1,b1,c1 :
a1 = 2pi*(b x c)/ a.(b x c);
b1 = 2pi*(c x a)/ b.(c x a);
c1 = 2pi*(a x b)/ c.(a x b);
Nếu a,b,c là các vector tối giản của mạng thuận thì cũng là a1,b1,c1 vector tối
giản của mạng đảo.
 Tính chất trực giao :
a * a1 = 2pi*v;
b * b1 = 2pi*v;
c * c1 = 2pi*v;
Trong đó :
v1 = (b x c)/(b x c);
v2 = (c x a)/(c x a);
v3 = (a x b)/(a x b)
Vị trí các nút mạng đƣợc xác định với vector G của mảng đảo
G = x1*a1 + x2*b1 + x3*c1;
 Một số điểm quan trọng trong một số loại mạng :
Γ Trung tâm vùng Brillouin
Simple cube
•

M

Trung tâm một cạnh

•

R

Điểm góc của hình khối

•

X

Điểm chính giữa một mặt
16

CuuDuongThanCong.com

/>

Face-centered cubic
•

K

Điểm giữa một cạnh nối giữa hai mặt lục giác

•

L

Điểm chính giữa một mặt lục giác

•

U

Điểm giữa một cạnh nối một mặt lục giác và một mặt hình vng

•

W

Điểm góc của hình khối

•

X

Điểm chính giữa của một mặt hình vng

Body-centered cubic
•

H

Giao điểm bốn cạnh

•

N

Điểm chính giữa của một mặt

•

P

Điểm góc nối ba cạnh

 Mảng đảo của một số mạng cụ thể :
2.1 Mảng đảo của mạng Simple Cubic:
a.Vector mạng thuận :
a = h*x; b = h*y; c = h*z;
Trong đó:
x, y, z lần lƣợt là các vector trực giao có độ dài bằng đơn vị (vector đơn vị).
h : độ dài vector mảng thuân.
b.Các vector tịnh tiến tối giản của mạng đảo:
a1 = 2pi*x/h; b1 = 2pi*y/h; c1 = 2pi*z/h;
 Mạng đảo cũng là một mạng lập phƣơng đơn giản có hằng số mạng là : 2pi/h;
 Biên vùng Brillouin thứ nhất là các mặt phẳng pháp tuyến của 6 vectors mạng
đảo : +- a1, +- b1, +- c1;
17

CuuDuongThanCong.com

/>

Vị trí các điểm giữa: +-a1 = +- pi*x/h; +-b1 = +- pi*y/h; +-c1 = +- pi*z/h;
c.Vùng Brillouin thứ nhất: là hình lập phƣơng đơn giản:
Độ dài mỗi cạnh: 2pi/h
Thể tích vùng Brillouin: V = (2pi/h)^3

2.2 Mảng đảo của mạng Body Centered Cubic:
a.Vector mạng thuận :
a = h*(-x + y + z)/2;
b = h*(x - y + z)/2;
c = h*(x + y - z)/2;
Thể tích của vùng Brillouin rút gọn: V = |a*b*c| = h^3/2;
b.Vector tinh tiến tối giản của mảng đảo:
a1 = 2pi*(y + z)/h;
b1 = 2pi*(x + z)/h;
18

CuuDuongThanCong.com

/>

c1 = 2pi*(x + y)/h;
Dạng tổng quát của vector mạng đảo:
G = v1*a1 + v2*b1 + v3*c1 = 2pi*[(v2 + v3)*x + (v1+v3)*y +(v1+v2)*z]/h;
c.Vùng Brillouin thứ nhất:
Bao gồm 12 vectors ngắn nhất:
Tổ hợp của các biểu thức với dấu khác nhau:
2pi*(+-y +- z)/h;
2pi*(+-x +- z)/h;
2pi*(+-x +- y)/h;
d.Vùng Brillouin tối giản của mảng đảo:
Là hình hộp tạo bởi các vectors: a1, b1, c1.
Mỗi vùng chỉ chứa một nút mạng đảo
Thể tích của vùng Brillouin: V = a1*b1*c1 = 2*(2pi/h)^3;

19

CuuDuongThanCong.com

/>

2.3Mạng đảo của mạng Face Centered Cubic:
a.Vector mảng thuân:
a = h*(y + z)/2; b = h*(x + z)/2; c = h*(x + y)/2;
Thể tích của vùng Brillouin rút gọn: V = |a*b*c| = h^3/4;
Vector mảng đảo:
a1 = 2pi*(-x + y + z)/h;
b1 = 2pi*(x - y + z)/h;
c1 = 2pi*(x + y - z)/h;
Thể tích của vùng Brillouin rút gọn: V = a1*b1*c1 = 4*(2pi/h)^3;
Các vector mạng đảo ngắn nhất: 8 vectors: 2pi*(+-x +-y +-z)/h;
Các mặt phẳng cắt nhau tại 6 vectors: 2pi*(+-2x)/h; 2pi*(+-2y)/h; 2pi*(+-2z)/h;
b.Vùng Brillouin thứ nhất là hình 8 mặt, trong đó có 6 mặt nằm trong hình lập phƣơng
có cạnh có chiều dài: 4pi/h;

20

CuuDuongThanCong.com

/>

2.4 Ý nghĩ và ứng dụng thực tiễn của mảng đảo:
 Mạng đảo là cấu trúc chuyển động chứa các vector tịnh tiến trong mạng tinh thể.
 Mạng đảo giúp đơn giản hố bài tốn nhiễu xạ cac sóng trên mạng tinh thể.
 Ứng dung thực tiễn: Nghiên cƣu cấu trúc mạng tinh thể bằng kỹ thuật nhiễu xạ

tia X cụ thể phƣơng pháp nhiễu xạ bột phổ biến nhất để xác định cấu trúc tinh
thể.

3. Các 'đƣờng vector K' ?
 Các đƣờng vector K là các vector sóng mơ tả sự thay đổi của sóng phẳng, trong
hệ toạ độ trực giao (x, y, z). Đại lƣợng có đầy đử các thành phần về độ lớn,
hƣớng.
 Độ lớn tổng quát của vector sóng:
k = 2pi*n/Lamda
Trong đó: n : số bƣớc sóng
 Đối với một phƣơng truyền sóng trong một hƣớng đƣợc mô tả bởi các toạ độ
cầu, các wavevector k cho bởi:
k = (kx, ky, kz) = 2pi*(sin)/Lamda
Tần số pha của sóng phẳng: 2pi/Lamda
 Độ lớn vector K:
kx^2 + ky^2 + kz^2 = (k)^2 = (2pi/Lamda)^2

21

CuuDuongThanCong.com

/>

CHƢƠNG 4: CÁC MODE PHÂN CỰC HỖN HỢP (HYBRID
POLARIZATION MODES).

Điện trƣờng và từ trƣờng khác không theo hƣớng truyền.
Trong các ống dẫn sóng, Sự kết hợp Chế độ điện ngang (TE) và Chế độ từ tính
ngang (TM)có thể xảy ra ngay cả khi các vật liệu đẳng hƣớng nhƣ InP (Indium
phosphide ) hoặc GaAs (Gallium arsenide) đƣợc sử dụng.

Ta nghiên cứu chế độ này trong sợi quang
Trong sợi quang các trƣờng điện từ trong sợi quang đƣợc biểu thị theo tọa độ
hình trụ nhƣ sau:

(4.1)
Thay thế từ phƣơng trình Maxwell ta đƣợc:

(4.2)
Trong các sợi quang đối xứng trục, phân bố chiết suất không phụ thuộc vào ,
đƣợc biểu thị bằng n(r):

(4.3)

22

CuuDuongThanCong.com

/>

Trong hybrid modes thành phần trƣờng điện từ

và

là khác không. Do đó,

nghiệm của phƣơng trình (4.2) đƣợcxác định bởi các hàm Bessel. Thành phần

và

liên tục tại r = a. Ngoài ra từ phƣơng trình (4.3) co:

,

(hoặc

,

) cùng phụ thuộc

Từ những điều này, các thành phần theo trục z của trƣờng điện từ đƣợc biểu thị
bằng:

(4.4)

(4.5)
Sự phụ thuộc phƣơng vị của các trƣờng điện từ trong các sợi đối xứng trục đƣợc
biểu thị bằng

, trong đó n là một số nguyên và

hoặc

biểu thị pha.

23

CuuDuongThanCong.com

/>

J là proper solution trong lớp lõi

K là the proper solution trong lớp cladding
Thay thế các phƣơng trình(4.4) và (4.5) vào (4.3), ta đƣợc:

Vùng lõi (

v(4.6)
v

24

CuuDuongThanCong.com

/>

Ngoài lõi (

(4.7)

Tại r=a, các thành phần

và

phải liên tục, từ đó ta có:
(4.8)
(4.9)

Chúng ta có đƣợc phƣơng trình tán sắc từ cơng thức (4.8) và (4.9):
(4.10)
,

uy ra
(4.10) cịn có thế viết dƣới dạng:

Trong thực tế độ chênh lệch chiết suất xấp xỉ là 1%, do đó chúng ta có thể
coi

trong một số trƣờng hợp. Hằng số C trong các biểu thức trƣờng điện từ

25

CuuDuongThanCong.com

/>